if

FisB

io20

10

Breve Lembrete das Leis de Newton

Enfatizar aqui: 2a Lei

que pode ser melhor entendida se a escrevermos como

Ou seja, a aceleração de um corpo é resultado daação do resto do universo sobre ela

(ação que chamamos de Força F).Além disso, a aceleração que resulta dessa ação, é inversamenteproporcional à massa do corpo!

amF =

mFa

=

[ ] [ ] [ ][ ]2T

LMF =As dimensões incluem a “massa” ede “força” completam o “nome” dos sistemas MKS e CGS

As unidades são newton (1N=1m•1kg/s2)dina (1dina=1cm•1g/s2)

0 0

=⇒= aF

A 1a Lei é conhecida como Lei da Inércia, e diz que se não há forças,não há aceleração:

A terceira é conhecida como Lei da Ação e Reação, e é muito importante,pois nos diz como calcular as forças em um sistema mais complexo:

As forças agem ao mesmo tempo e em separado, para cada par de corposno universo, e para cada par essas forças são iguais em magnitude, e “contrárias”:

2,11,2 FF

−=

Notem que as acelerações podem ser diferentes em magnitude, pois os corpos podem ter massas diferentes !

12

112212

21

2

aa

amammm

=

−=⇒=

1,2F

2,1F

além disso, para quase todas as interações, existe uma mesma “linha de ação” das forças, que é aquela que liga os dois corpos.

1m

2m

19Mecânica: Dinâmica

if

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10Vejam que no caso de 3 corpos, cada qual sofre ação de 2 forças; se fossem n corpos, cada um sofreria ação de (n-1) forças, e cada uma poderia ter uma direção diferente...

É preciso lidar com a direcionalidade dasações entre os corpos:

Vetor

•Ente matemático definido (no espaço 3D) por um módulo,

uma direção, e um sentido (de O para P )

•Não tem ponto de aplicação

OP aa ′=

•É definida a SOMA de vetores pela regra do paralelogramo

ab abba

+=+

)()( baabab

−−=−=−+

•É definida a Multiplicação de vetor por escalar (como no caso do negativodo vetor)

aa =

20

a−

a

a2 e multiplicação de vetor por vetor

if

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10•Produto escalar de 2 vetores

é um escalar, só definível parapares de vetores

(vamos usar em Física logo mais)

existem outros tipos de produto entre vetores, mas que não usaremos agora...ver apêndice A

b

a

α

21

com essas operações entre números e vetores, podemos definir um conceito essencial em Física, que é o

Sistema de CoordenadasPodemos escolher no plano•dois vetores (ou 3, no espaço 3D) •ortogonais entre si,•de módulo unitário

versores

Com isso, contruir um sistema de eixos,paralelos aos versores

e para qualquer vetor, decompô-lo em Coordenadasatravés do produto escalare da regra do paralelogramo

yxˆˆ

XR

YRxRR XX ˆ⋅=

YX RRR

+=

yRR YY ˆ⋅=

x

y

α

α

α

RsenyRR

RxRR

Y

X

=⋅=

=⋅=

cos

YX RRR

+=

xy

z

OPR

O movimento do ponto P pode ser representado pelo vetor posição Isso é ideal para descrever o movimento dos corpos, e portanto ideal para aMecânica!

Pergunta: Por quê a Física precisa de Derivadas e Vetores?

if

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10Resposta 1:

O produto momento linear ou “momento” de um corpo

é muito importante em Mecânica.Notem que

Se a massa do corpo for constante, vemos que a derivada temporal do momento é a força que atua sobre o corpo

Suponham um sistema de N partículas que interagem umas com as outras, masnão interagem com nenhum outro corpo fora do sistema; chamamos a isso um sistema isolado (ou “universo”).

Podemos definir o Momento Total do sistema como a soma

22

A Lei de Conservação do Momento afirma o fato experimental que, em tal sistema, o Momento Total se conserva (é constante no tempo):

As Leis de Newton podem então ser colocadas de forma mais geral,em termos do Momento Linear de cada partícula no conjunto de N:

if

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10Exemplos de fácil verificação podem ser montados em uma mesa de bilhar: No choque de duas bolas de bilhar o desenvolvimento da ação é previsível, ouseja, se soubermos as condições iniciais (massas e velecidades das duas bolas) saberemos o que vem depois, as condições finais. Começamos pelo momento inicial total, que pode ser obtido da soma vetorial

Decompomos cada vetor nas suas componentes, somamos em cada eixo e obtemos as componentesdo vetor soma; somamos vetorialmente e chegamosao resultado:

Precisamos do impulso transmitido, que depende da posição exata de uma bola emrelação à outra no momento do choque, para saber o momento individual de cadabola depois do choque;mas se soubermos o momento de uma delas, como o momento total agora se conserva

(sistema isolado) saberemos o momento da segunda bola:

Essa lei não pode ser formulada ou utilizada sem a figura do VETOR

23

if

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10Exemplos de fácil verificação podem ser montados em uma mesa de bilhar:Todos sabemos por experiência o que aconteceráà bola de bilhar que se choca com uma borda (“parede”) da mesa:

a bola vinha em linha reta em direção à borda, e ao se chocarmuda de direção de forma previsível.

Para “prever” o resultado montamos um sistema de coordenadas e “descrevemos vetorialmente” o processoinicial (antes do choque):

Associamos um eixo à direção da borda mesa, e um eixo perperdicular a ele completa o sistema de coordenadas; Agora decompomos o vetor momento linear da bola de bilhar (antes do choque) em suas componentes:

Notamos que na direção (paralela à borda da mesa) não há nenhum impulsosobre a bola, portanto o momento naquela direção se conserva

mas na direção perpendicular o impulso do choque é tal que inverte o sentidodaquela componente do momento

Podemos agora juntar tudo e “montar” de novo o momento final

24

Estranho… o momento total mudou?

É que não estamos considerando o efeito sobre a mesa, que não se move…pois•em primeiro lugar tem já massa muito maior•em segundo lugar estápresa ao solo,

•que está preso à Terra!

if

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10Voltamos ao caso da queda livre de um corpo perto da superfície da Terra, mesmo experimentador, mas agora em um veículo que se move

com velocidade constante em relação ao solo:

)( gttv −=

02

21)( ygtty +−=

massa m

Experiência indistinguível dentro ou fora do veículo, mas resultados diferentes para observadores diferentes ?

As leis da Física devem respeitar a experiência, encontrar o que é comum às duas tabelas!

A lei que descreve o movimento é a mesma, no solo ou naquele veículo!

x′

xO mesmo hobbit agora está medindo tudo, mas de um sistema de referências

fixo no solo: as tabelas agora são diferentes, pois x varia com o tempo...

assim, em módulo

A tabela que o experimentador constrói, dentro do veículo, é exatamente igual àquela que ele havia fornecido ao hobbit,quando a experiência havia sido feita no solo, e leva a:

y’(vertical

ixa ao solo)

yvertical

local)

ygta ˆ)( −=

25Resposta 2

a única quantidade que é a mesma nos dois casos é a aceleração (2a derivada)

vetorial do corpo!

if

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10Aceleração vetorial: mesmo conceito, aplicado ao espaço 3D:

trajetória da partícula deve ser colocada em termos dos

versores (eixos)

e do sistema de coordenadas

(origem e unidades correspondentes)

“tangente à curva”

velocidade também muda? mesmo que seja “só”de direção?

aceleração vetorial

26

if

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10

( )( )2,12

2,1

21)2,1( e

RmGmFG =

G é uma constante universal, R(1,2) éa distância entre os dois corpos, e

é o versor na direção entre os corpos,no sentido de 1 para 2;( )2,1e

As forças da natureza são de 4 tipos:GravitacionalEletromagnéticaNuclear forteNuclear fraca não vamos tratar aqui

A Força Elétrica* é parte da eletromagnética, e tem a mesma forma da gravitacional, mas não depende da massa e sim da carga da partícula

A carga é uma qualidade que pode ser de dois tipos, ou não existir, e podeser medida e trabalhada como se fosse positiva, negativa ou nula.A única convenção é a escolha do + (ou -).

A força entre corpos carregadosdepende do sinal das cargas envolvidas, e é

atrativa se as cargas são de sinais opostos repulsiva se são de mesmo sinal

*As primeiras experiências “modernas” com a eletricidade estática datam do século XVII, e as hipóteses não conseguiamsistematizar os resultados, o que foi conseguido só no século XIX (ver as sedes indicadas na sede desta disciplina na Web)

( )( )2,12

2,1

21)2,1( e

RqKqFE −=

021 <qq

Notem que à medida que se desenrola a interação entre dois corpos,a força entre eles (e sobre cada um deles) varia!

A gravidade constante na superfície da Terra é uma aproximação (muito boa) sea distância percorrida pelo corpo é muuuito pequena em relação ao raio da Terra

27

(quando incluimos todos os corpos, e todas as forças, temos um “universo”)

Na verdade a força gravitacional entre dois corpos não é constante, diminui àmedida que a distância entre os corpos aumenta; a força sentida pelo corpo 1 é:

Forças Conservativas

if

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1028Um conceito útil muitas vezes (como no caso de g) é o de

Força Externa Pensem que, em um arranjo de corpos em interação, estamos interessados

em prever o movimento (em um dado instante)

de apenas um deles:

Não há necessidade de incluir as forçasentre os demais corpos, somente as

interações entre o corpo de interesse e os demais.

à soma de todas as forças agindo sobreele chamamos Força Externa

Já utilizamos esse conceito ao falar de Força Gravitacional nas proximidades da superfície terrestre: (a Terra não é considerada de forma explícita).gmF

=

Ainda mais útil seria considerar qual seria a força sofrida por um corpo de provade massa unitária (no caso da interação gravitacional) ou um corpo de cargaunitária positiva (no caso da interação elétrica) :

falamos então de Campo de Forças

rr

GMrG ˆ)( 2−=

Por exemplo o campo gravitacional de um corpo de massa M situado na origem do sistema de coordenadas seria

Aqui introduzimos o versor radial , um vetor unitário que aponta da origem para a posição do ponto P, ou seja, acompanha a direção e o sentido do vetor posição do corpo de prova,apenas tem módulo unitário.

x

z

yr

r

No caso de a intensidade do campo diminui conforme aumenta a distância ao centro; como o campo é atrativo, o sentido aponta do corpo para a origem, por isso temos a dependência com

G

r

r

r−

if

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No caso do campo gravitacional, não é fácil produzir em laboratório camposmuito variados, mas é fácil para o Campo Elétrico

qFE

=Caso mais simples: uma carga puntiforme positiva +Q, estacionária;A força atuante na carga de prova é

semelhante na forma à gravitacional.Entretanto, como cargas iguais se repelem, o campo aponta “para fora”, ou seja, colocando a carga +Q na origem das coordenadas o campo fica

(repulsivo para a carga de prova),e apontaria para dentro se a carga causadora do campo fosse negativa.

rrKQrE ˆ)( 2+=

( )( )Qq

qQQqE e

RKQqF ,2

,),( ˆ−=

Tudo isso pode ser colocado graficamente

em termos de linhas de campo, querepresentam diretamente a direção e o sentido da força sofrida pela cargade prova.

A intensidade é representada pela densidade relativa de linhas em cada região: decai conforme aumenta a distância ao centro.

r

É razovavelmente fácil montar um sistema de cargas puntiformes, ouespalhadas uniformemente em alguma superfície, e conseguir um campo elétrico de características especiais

Outras Forças Conservativas (e Campos) 29

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10

Podemos notar que à medida que se distancia do dipolo, o campo diminui em intensidade, seja porque a distância às cargas aumenta, seja porque aumenta a proporçãoentre o cancelamento (projeção x)e a soma (projeção z);

para pontos suficientemente afastados, no plano bissetor,o campo de dipolo podeser aproximado por

sendo r a distância ao centro das duas cargas.

Um caso muito importante é o de um Dipolo Elétricoduas cargas puntiformes, de mesma magnitude mas de sinais contrários, a uma distância fixa uma da outra. A força elétrica sobre uma carga de prova é a soma vetorial das forças causadas pelas duas cargas separadamente.

Definindo o momento de dipolo dirigido da carga negativapara a positiva

o campo de dipolo é antiparalelo a pzqdp ˆ=

3rpE ≅

0

=+

O campo em um ponto genérico do espaçonão é simples, mas vamos nos concentrarno plano bissetor da linha que une os centros de força: as componentes dos campos da carga positiva e negativa paralelas ao plano bissetor se anulam

e o campo resultante é perpendicular ao plano.

Como ficaria o campo de duas cargas de mesmo sinal? e de uma linha ou um plano de

cargas de mesmo sinal?

30

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10

Existem também muitos modelos mecânicos de força externa variável, compostos de sistemas, máquinas, que dependem de propriedades (quânticas...)de materiais. Um exemplo importante é a Força Restauradora Linear

Um corpo em repouso na origem,

que é forçado a se afastar por umaforça ou agente externo ao sistema,

mas que quando cessa essa ação, exista uma força sobre ele, do sistema,que tenda a trazê-lo de volta à origem(restaurar a situação inicial).

No caso ideal, o corpo ultrapassa aorigem, e nunca mais para de oscilar !

A força depende da posição em relação a um ponto de equilíbrio (x=0):

( ) 0 0 =⇒= xFx

( ) 0 0 <⇒> xFx

( ) 0 0 >⇒< xFx

x

x

x

Essa força é restauradora linearse a dependência com o deslocamentofor linear:

kxxF −=)(

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]22 TMkLk

TLMF =⇒==

Força Restauradora Linear

k é conhecida como constante elásticae tem dimensões de

31

if

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10Este sistema é extremamente importante em Física, e é conhecido como

Oscilador Harmônicodo qual o melhor modelo mecânico é o sistema mola-massa dentro do limite elástico:

00 −= )()( ttx

)( t

Na figura, vemos uma mola sendo alongada de seu comprimento naturalaté o comprimento . dentro do limite elástico a força que a mola exerce sobre a massa é restauradora e linear (Lei de Hooke):

0

kxxF −=)(

kxxdtdm

kxma

−=

−=

2

2

Onde x é a elongação da mola, ou seja, pela lei de Newton

se quisermos chegar à função posição do corpo no tempo, precisamosno caso mais geral integrar a equação do movimento

0

0

22

2

2

2

=+

=+

xxdtd

kxxdtdm

ω

Vejam que a lei de Newton nos fornece o fundamental (a aceleração),

onde substituímos

mk

=ω [ ] [ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ] 122

2

1 ; −=

==

==

TTT

Mk

LkTLMF

ω

ω tem dimensões defrequência

32

if

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10Neste caso particular, nós sabemos a resposta sem precisar integrar, poistemos

xxdtd 2

2

2

ω−=

a segunda derivada da função é o negativo da própria função, multiplicada por uma constante: reconhecemos esse comportamento!

)()(

)cos()()sen()(

)cos()(

txta

tAtatAtv

tAtx

2

2

ω

ϕωω

φωωφω

−=

+−=

+−=+= A posição do corpo oscila senoidalmente,

realiza um movimento periódico de período

fT

22 ππω ==

Caso típico: freqüência angular ω ∼1— 50 rad/s (radianos por segundo)freqüência f ∼ 0.1 — 10 Hz (hertz, segundo a menos um)período T ∼10 — 0.1 s (segundos)

freqüência depende da mola e da massa

limite de pequenos ângulos

θ

Outro exemplo: Pêndulo Simples) cos( )( 0 φωθθ += tt

neste caso a freqüência independe da massa

valores típicos (laboratório) f ∼ 0.1 — 1 Hz

fg 2 πω ==

Outros exemplos? da formação de gotas na torneiraà vibração da molécula de amônia, à corrente elétrica nas tomadas de casa...

à...

φθ , 0 ângulo máximo, fase;

fT 12

==ωπ

A freqüência angular está relacionada à freqüência (ciclos por unidade de tempo)

33

if

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10Resumindo: Corpo sujeito a força restauradora linear

movimento harmônico simples

φω

)(

A

tx

)cos()( φω += tAtx

coordenada do corpo(linear, angular...)

amplitude do movimento

frequência angular

fase inicial

A frequência é determinada pelo sistema em si (massa, constante da mola;

comprimento do pêndulo, gravidade local)

A fase é arbitrária (momento em que o relógio é ligado)

...e a amplitude?

Movimento harmônico:

o corpo passa sempre pelo mesmo ponto com a mesma velocidadecom a mesma aceleração...

um monte de “mesmas”...

Quando alguma coisa é a “mesma” dizemos que é “conservada”

Importante destacar tudo o que é constante no tempo para o sistema:a amplitude está ligada à

Energia

e para definir essa quantidade voltamos à queda livre

34