MECÂNICA - DINÂMICA Dinâmica de um Ponto Material: Impulso e Quantidade de Movimento Cap. 15

MECÂNICA - DINÂMICA

Dinâmica de um Ponto Material: Impulso e

Quantidade de MovimentoCap. 15

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2015 Curotto, C.L. - UFPR 2

Desenvolver o princípio do impulso e quantidade de movimento.

Estudar a conservação da quantidade de movimento para pontos materiais.

Analisar a mecânica de colisões.Introduzir o conceito de impulso angular e momento

angular.

Objetivos


15.2 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov. para um Sist. de Pontos Materiais

A equação de movimento para um sistema de pontosmateriais de massa pode ser escrita como:

(15.5)

onde são medidas num ref. inercial.As forças internas aparecem aos pares e

i

ii i

i

i md

mdt

vF

v

se anulam ao serem somadas, nãoaparecendo na eq. (15.5).

Aula 13



1

1

1 2

Rearranjando a eq. (15.5) e integrando entreos limites , e , :

(15.6)

a quantidade de movimento do sistemano instante mais a somatória dos impulsosdas

2t

i i i i it

1 1 2 2

m dt m

t

forças et

er

t

xt

v

v v

v F

1 2

2

aplicados no intervalo a é igual a quantidade de movimento

do sistema no instante .t

n st

t

a

Aula 13



O centro de massa G do sistema é determinado por

, onde é a massa total do

sistema. Então a derivada temporal nos fornece:

equação que estabelece que a quantidadede movimento tota

G i i i

G i i

m m m m

m m

r r

v v

l do sistema éequivalente à quantidade de movimentode um ponto material fictício de massaigual à massa total do sistema e de posiçãoigual ao do centro de massa do sistema.

Aula 13



1

1 2

1

Substituindo a eq. anterior em (15.6):

(15.7)

a quantidade de movimento do

de massa no instante

mais a somatória dos impulsos das aplicados

2t

G it

i

G

ponto

fictício

forças externa

m

m

m

m

t

d

s

t

v F v

1 2

2

no intervalo a é igual a quantidade de

movimento do ponto no instante .t t

t

Aula 13


15.3 Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais

1 2

Quando a soma dos é nula, a eq. (15.6)se reduz à equação seguinte, que expressa a

:

(15.8)

a quantidade de movimento total de um

i i i i

impulsos externosconservação

da quantidade de movime

m

nto

m

v v

1 2

sistemade pontos materiais permanece constante durante ointervalo de tempo a .t t








15.3 * - Forças impulsivas e não impulsivas






15.2-15.3 – Procedimento para Análise

Geralmente, aplica-se o princípio do impulso e quantidade de movimentoou a conservação da quantidade de movimento a sistemas de pontosmateriais para se determinarem as velocidades finais dos pontosimediatamente após o intervalo de tempo considerado.

Ao se aplicar essas equações ao sistema inteiros, os impulsosinternos são eliminados da análise.






0

Uma estaca rígida de 800 kg mostrada na figura estásendo cravada no solo usando-se o bate-estaca de300 kg. O bate-estaca, inicialmente em repouso,cai de uma altura 0.5 m e atinge a cabeçada est

PH

y aca. Determine o impulso que o

bate-estaca imprime à estaca, supondo queesta esteja imersa em areia fofa, de modo que, após o impacto, o bate-estaca não perdecontato com a estaca.

Exemplo 15.7


Exemplo 15.7 - Solução

0 0 1 1

2 2

0 10 1

2

1

1

Conservação da Energia (referência na cabeça da estaca):

1 12 2

300 9.81

10 0.5 2943.0 3

2943.0 N

3

00 0

.132 m2

1 /s

H H H H H H

H H

H

H

T V T V

m v W y m

W

v

W

v W y

v



Diagrama de corpo livre (durante o tempo de duraçãoda colisão):Como o bate-estaca e a estaca estão se movendopara dentro da areia fofa, sem resistência considerávelda mesma, as forças do peso do bate-

s

estaca, dopeso da estaca e da resistência da areia ( ) são nãoimpulsivas. As forças impulsivas internas ( e - )se cancelam. Portanto a quantidade de movimentose conserva durante este breve período d

FR R

e tempo.



22 2

2 2

2 2

2

1 1

Conservação da Quantidade de Movimento:O bate-estaca não perde contato com a estacaimediatamente apó

0.

s a colisão, logo:

300 3.1321 0 300 8

85421 m s

00

/

H P

H H P P H P

v v v

m v m v m v m v

v v

v



1

21

Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento:Impulso do bate-estaca na estaca:

800 0 800 0.8542

683.37 N 683 N.

1

s.s

2t

P P y Pt

Rd

m v F dt m v

Rd

Rd

t

tt

800 kg

0.85421 m/s



1

21

Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento:Impulso da estaca no bate-estaca:

300 3.1321 300 0.8542

683.37 N

1

683 N.s .s

2t

H H y Ht

Rd

m v F dt m v

Rd

Rd

t

tt

300 kg

3.1321 m/s



Cálculo de R após o impulso:Bate-estaca e estaca se movem juntos com mesmavelocidade e aceleração. O peso da estaca ésuportado pela areia ( ) (pois a estacaestá imóvel a princípio).

800 9.81

s

P P

PF W

W W F

22943

784

3

8 N

2.6700 8 55 m/0 s0H P s

s

y

y

y y

yF

W W F ma

a a

ma

ya

ysF

PW

HW300 kg

800 kg



Cálculo de R após o impulso:

2943 300 2.6755

2140.3 N

y y

H yW R ma

F m

R

a

R

ya

y

R

HW300 kg

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