Mecánica y Termodinamica

Clase 1a

http://materias.df.uba.ar/mtb2019c1/laboratorio-martes-jueves/

Introducción a conceptos de error y

estadística

Repaso: Magnitudes

→ Magnitud física: atributo cuantificable susceptible de ser medido

→ Medición: Instrumento + método + sistema de unidades (SI)

→ Definición de unidades atadas a

constantes físicas

→ Realización de unidades mediante

"experimentos"

→ Comparación

→ Calibración de instrumentos de

medición

Metrología

Repaso: Incertezas

→ Resultado de una medición:

→ Valor (con unidad)

→ Medida de mi desconocimiento: Incerteza

x0

Δx

Intervalo

→

¿Cómo se reporta el error?

→ Cifras signifiactivas

x0

Δx

→ ( x0 ± Δx ) u

→ ( 2.23 ± 0.12 ) m

→ ( 123 ± 4 ) s

→ x0(Δx) u

→ 2.23(12) m

→ 123(4) s

x0 = 3745.12845 mΔx = 0.04932 m → x0 = 3745.13 mΔx = 0.05 m

x0 = ( 3745.13±0.05 ) m

Repaso: Fuentes de error instrumental

→ Error de apreciación σap

→ Error de exactitud σex

→ Error de interacción σint

→ Error de definición σdef

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Resolución del instrumentoPresición

Calibración del instrumento

Método de mediciónObservador

Naturaleza del objeto

Repaso: Fuentes de error instrumental

→ Error de apreciación σap

→ Error de exactitud σex

→ Error de interacción σint

→ Error de definición σdef

Resolución del instrumentoPresición

Calibración del instrumento

Método de mediciónObservador

Naturaleza del objeto

σnom 2 = σap

2 + σex 2 + σint

2 + σdef2

Repaso: Tipos de error

→ Error Sistemático

→ Ej: error instrumental de calibración

→ Siempre aporta en un mismo sentido

→ Error Estadístico

→ Producto del azar

→ Intrínseco (naturaleza)

→ Desconocimiento

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Medición,incertidumbre yestadística(una breveintroducción)

LucianoA.Masullo

Laboratorio 1(1erCuatrimestre 2018)Departamento deFísica

FacultaddeCienciasExactasyNaturalesUniversidaddeBuenosAires

Probabilidad

• Variablealeatoria:esunacantidad cuyo valornoesfijo sino quepuedetomardiferentes valores como resultados deunexperimento aleatorio.

• Lavariablealeatoria toma una serie devalores asociados aunconjunto deeventos posibles• Nosepuedepredecir elpróximo resultado(ovalordelavariablealeatoria)perosísepuede,enprincipio,conocersuprobabilidad.

• Probabilidad: esunafunciónquevadeunconjunto(deeventosposibles)ylesasignaunvalorentre0(imposible)y1(seguro).

• Lasumadelasprobabilidadesdetodosloselementosdelconjuntodeeventosdebeseriguala1.

• Elconjuntodeeventosposiblespuedeserdiscreto(ej:“resultadosdetirarundado”)ocontinuo(ej:“resultadosdelamedicióndelladodeunamesa”).

Resultados deunexperimentoTirar undadoN=100veces

Medición # Caradeldado

1 2

2 6

3 1

… …

99 4

100 1

Medición# Tiempo (s)

1 1,02

2 0,98

3 1,07

… …

99 1,22

100 1,10

Medir elperíodo deunfaroN=100veces

Histogramas

→ Relevar variable aleatoria

→ bin size

→ Límites

→ Numero de bins

Resultados deunexperimento:histogramaTirar undadoN=100veces Medir elperíodo deunfaroN=100veces

Histograma normalizadoTirar undadoN=100veces Medir elperíodo deunfaroN=100veces

𝐹" =𝑛"𝑁 𝐹" = 𝑑"𝑎 𝑑" =

𝑛"𝑎𝑁

con

𝐹" =frecucencia delresultado k-ésimo𝑛" =número deresultadosenelbin k-ésimo𝑑" =densidaddeprobabilidaddelbin k-ésimo𝑎=tamañodelbin (bin size)𝑁 =númerototaldeeventos

Normalización:

Distribución deprobabilidad N=10

Distribución deprobabilidad N=100

Distribución deprobabilidad N=1000

Distribución deprobabilidad N=10000

Distribución deprobabilidad N=10000

Distribuciones deprobabilidad

Distribuciones deprobabilidaddiscretaycontinua

Condicióndenormalización

Discreto Continuo

𝑁 → ∞𝑎 → 0

𝐹" =𝑛"𝑁 𝐹" = 𝑑" 𝑎 𝑑" =

𝑛"𝑎𝑁con

𝑎:binsize

X:variablealeatoria (ej:resultado deunamedición)xk:resultadok-ésimox:resultadocontinuo Fk:frecuenciadelresultadoxkf(x):densidaddeprobabilidad delresultadoxN:númerototalderesultados (ej:mediciones)nk:númerodevecesqueseobtuvo xk

f(x)dx esanálogoaFk

xesanálogoaxk

Notaciones

Caso discreto Caso continuo

Valormedio

Varianza

Desviaciónestándar

Valormedio,varianzaydesviaciónestándar

Cálculodeprobabilidadenunciertointervalo¿Cuáleslaprobabilidad dequeunamediciónestécomprendidaentre𝑎 y𝑏?

¿Tienesentidopreguntarsecuáleslaprobabilidadde

medirunciertonúmeroreal?

𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

Cálculodeprobabilidadenunciertointervalo¿Cuáleslaprobabilidad dequeunamediciónestécomprendidaentre𝑎 y𝑏?

¿Tienesentidopreguntarsecuáleslaprobabilidadde

medirunciertonúmeroreal?

ej: ej:

𝑎 𝑏

Ejemplo:¿Cuáleslaprobabilidadquealtirareldadosalga3omenorque3?

Ejemplo:¿Cuáleslaprobabilidadquealmedirelperíododelfaroelcronómetroindiqueentre1,0y1,1s?

𝑎 𝑏

EjemplosdedistribucionesdeprobabilidadBinomial

Poisson

Gauss

Exponencial

Ejemplosdedistribucionesdeprobabilidad

¡LadeGaussnoeslaúnicadistribución deprobabilidad!

Binomial

Poisson

Gauss

Exponencial

DistribucióndeGauss

Ladistribución deGaussesunabuenaaproximación paramuchísimoscasos*

*Ver Teorema centraldellímite

DistribucióndeGauss

Ladistribución deGaussesunabuenaaproximación paramuchísimoscasos*

*Ver Teorema centraldellímite

𝜇 = 2

𝜎 = 1

𝜇 = 2

𝜎 = 1

DistribucióndeGauss

Ladistribución deGaussesunabuenaaproximación paramuchísimoscasos*

*Ver Teorema centraldellímite

DistribucióndeGauss:algunaspropiedades• Estácentradaen𝑥 = 𝜇• Essimétricaalrededorde𝑥 = 𝜇• Tiendeexponencialmentea0para 𝑥 − 𝜇 ≫ 𝜎• Elparámetro𝜎 daunamedidadesuancho

𝜇 = 0𝜎 = 2

𝜇 = 2𝜎 = 1

𝜇 = 5𝜎 = 3

Estadística

Objetivo:estimar losparámetros deladistribucióndeprobabilidaddelavariablealeatoriaapartirdelosdatos.

¿Dequédistribucióndeprobabilidad provienenmisdatos?

porejemplo𝜇 y𝜎 delagaussiana

¿ ?¿𝜇, 𝜎 ?

Datos obtenidos

EstimacióndelosparámetrosdeladistribucióndeGauss

Sonestimadores:funciones delosdatos medidos 𝑥7 Parámetros desconocidosdeladistribucióndeGauss

n:cantidad demediciones delavariablealeatoria Xrealizadas

Distribucióndelavariablealeatoria“unamedición”

n=10000

Distribucióndelavariablealeatoria“promediodeNmediciones”

n=10000n=400N=25

*

*Lademostracióndeesteresultadogeneralestáenelapéndice

:variablealeatoria “una medición”

:variablealeatoria “promediodeNmediciones”

n:númerodecuentasenelhistograma

promedio de

desv.estándar de

desv.estándar de

promedio de

Distribucióndelavariablealeatoria“promediodeNmediciones”

n=10000n=400N=25

*

*Lademostracióndeesteresultadogeneralestáenelapéndice

:variablealeatoria “una medición”

:variablealeatoria “promediodeNmediciones”

n:númerodecuentasenelhistograma

promedio de

desv.estándar de

desv.estándar de

promedio de

Errorestadísticoyerrorinstrumental

LlamaremoserrorestadísticoaladesviaciónestándardelamediadeNmediciones

• Elerrorestadísticodisminuyeamedidaqueserealizanmásmedicionescondependencia ∝ 9:

• Elerrorinstrumentalnodependedelacantidaddemediciones realizadas

Elerrortotaldeunamedicióneslasumaencuadratura*detodaslascontribuciones deerrorindependientes.Sivolvemosalejemplodelamedicióndelperíododelfaroconsiderandoporahorasolamenteelerrorinstrumental(porej.laprecisiónparamedirtiempodelcronómetro)yelerrorestadístico(lavariabilidadenlamediciónporpartedelexperimentador)

¿Cuántas vecesesnecesariomedirparaque𝑒<=>=? seadespreciablerespectoa𝑒7@<=? ?

*Esteresultado esunresultado delaestadística yprovienedesuponerquelascontribucionessonindependientesentresí.VerporejemploBairdDC,Experimentación, Prentice-HallHispanoamérica(1991),pp 46-50

𝑒=A=? = 𝑒<=>=? + 𝑒7@<=?

𝑒<=>= ≡ 𝜎DEF

Resultadodeunamedicióneintervalodeconfianza

¿Cuál eslaprobabilidad dequeunamedición(ounpromediodeNmediciones)estéentre𝜇 − 𝜎y𝜇 + 𝜎?

¿Yentre𝜇 − 𝑡𝜎y𝜇 + 𝑡𝜎?

Niveldeconfianza

Lanotación

resultado=valor± error

Significa error=𝜎(nivel deconfianza del68,3%)

Resultadodeunamedicióneintervalodeconfianza

Laprobabilidad dequelapróxima mediciónseencuentreentre𝜇 − 𝜎y𝜇 + 𝜎esdel68,3%

Laprobabilidad dequeelvalorreal𝜇seencuentreentre 𝑥I − 𝜎y𝑥I + 𝜎esdel68,3%

Dosinterpretaciones:

=

resultado=valor± error

ej:T=(1,10± 0,07)s

𝜇𝑥I

𝑥I:valormedido

Histogramas

→ Relevar variable aleatoria

→ bin size

→ Límites

→ Numero de bins

Histogramas

bin size =

On optimal and Data

based histograms,

D. W. Scott,

Biometrika,

1979

Estadísitca

Moda: Valor más frecuente

Mediana: Separa el 50% de los valores más bajos del 50% de los más altos

Media: Promedio de los valores

Teorema central del límite

Suma de variables

aleatorias CON media y

varianza ....

... tiende a Gaussiana

Sumario

→ Desviación Estándar (de la muestra)

→ Permite predecir probabilidad de hallar valores al medir

→ SD o σ

→ Error Estándar

→ SD/√N

→ Incerteza del valor medio μ o x0

→ SE o σX0

→ Valor medio

→ Estimación del valor real que se trata de medir

→ μ o x0 o <x> o x