Medidas de polarização da distribuição da renda e sua ... · não estão bem estabelecidos. Há medidas de bipolarização e medidas mais amplas de multipolarização que, eventualmente,

Economia e Sociedade, Campinas, Unicamp. IE. http://dx.doi.org/10.1590/1982-3533.2017v26n1art6

Economia e Sociedade, Campinas, v. 26, n. 1 (59), p. 165-187, abr. 2017.

Medidas de polarização da distribuição da renda e sua

evolução no Brasil de 1995 a 2013

Rodolfo Hoffmann**

Resumo

As principais medidas de polarização em uso são criticamente avaliadas. Posteriormente, medidas de

polarização baseadas no índice de Gini ou no índice T de Theil, considerando a divisão da distribuição

da renda em dois ou três estratos, são aplicadas à distribuição da renda domiciliar per capita no Brasil,

no período de 1995 a 2013. Constata-se clara tendência de redução da polarização, acompanhando a

redução da desigualdade. Uma análise de dados regionais mostra o comportamento divergente da

polarização da distribuição da renda no Distrito Federal. Finalmente, procura-se explicar os erros de

trabalhos com resultados contrários.

Palavras-chave: Polarização; Distribuição da renda; Brasil – Desigualdade; Estratos de renda.

Abstract

Polarization measures of income distribution in Brazil and their evolution from 1995 to 2013

In this study the main measures of polarization in use are critically evaluated. Following this,

polarization measures based on the Gini index or on Theil´s T inequality index, considering the division

of the income distribution in two or three strata, are applied to data on per capita household income in

Brazil, from 1995 to 2013. A clear tendency of decreasing income polarization is observed, similar to

the reduction in inequality. Analyzing regional data, it is observed that the trend in income polarization

is considerably different in the Federal District. Finally, explanations of the mistakes of papers with

opposite results are presented.

Key words: Polarization; Income distribution; Brazil – Inequality; Income strata.

JEL D31, D39, D63.

Introdução

O conceito e a medida da polarização de uma distribuição de renda ainda

não estão bem estabelecidos. Há medidas de bipolarização e medidas mais amplas

de multipolarização que, eventualmente, não são corretamente interpretadas.

Quando se fala em “polarização” é usual pensar em dois polos (positivo e negativo,

norte e sul). É razoável, então, considerar que uma maior polarização da distribuição

de renda corresponda a uma maior densidade de probabilidade nas caudas, isto é, um

crescimento nas frequências relativas de pobres e de ricos. O aumento da polarização

está associado à redução da classe média.

Artigo recebido em 9 de setembro de 2016 e aprovado em 30 de setembro de 2016. ** Professor Sênior da Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz (Esalq), da Universidade de São

Paulo (USP), Piracicaba, SP, Brasil. O autor agradece a Josimar Gonçalves de Jesus e a um parecerista de Economia

e Sociedade pelas correções e valiosas sugestões para aperfeiçoar o artigo. E-mail: [email protected].

http://dx.doi.org/10.1590/1982-3533.2017v26n1art26

http://www4.esalq.usp.br/

http://www5.usp.br/

mailto:[email protected]

Rodolfo Hoffmann

166 Economia e Sociedade, Campinas, v. 26, n. 1 (59), p. 165-187, abr. 2017.

Um aumento da desigualdade da distribuição da renda significa, usualmente,

um crescimento do número de pessoas relativamente pobres e/ou a concentração da

renda nos mais ricos. À primeira vista, maior polarização se confunde com maior

desigualdade. Há, realmente, autores que usam o termo “polarização” como um

recurso retórico para ressaltar o fato de que maior desigualdade está associada a mais

pobreza relativa e/ou mais concentração da renda a favor dos ricos. Mas, como será

esclarecido na próxima seção, “polarização” pode ser definido como um conceito

distinto de “desigualdade”, podendo ocorrer aumento de polarização

simultaneamente com redução da desigualdade. Para a análise científica é melhor

que haja essa distinção entre os dois conceitos, pois isso possibilita aprofundar nossa

compreensão das mudanças na distribuição da renda de um país.

De acordo com os dados da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios

(PNAD), de 1995 a 2014 ocorreu substancial redução da desigualdade da

distribuição da renda no Brasil. Considerando, especificamente, a distribuição da

renda domiciliar per capita, verifica-se que a redução da desigualdade foi mais

intensa e sistemática de 2001 a 2014. Trata-se de um processo socioeconômico muito

importante, que contribuiu para a redução da pobreza no País e gerou grande número

de trabalhos avaliando sua intensidade e discutindo suas causas1. Veremos que

alguns autores pretendem ter descoberto que em determinados períodos a redução da

desigualdade foi acompanhada por aumento da polarização. Em princípio isso pode

ocorrer, mas seria algo extraordinário, demandando uma explicação para um

fenômeno tão inesperado. Veremos, entretanto, que esses autores calcularam

medidas erradas e/ou não souberam interpretar seus resultados.

O objetivo principal deste artigo é, com base nos dados da PNAD, deixar

claro como evoluiu a polarização da distribuição da renda domiciliar per capita no

Brasil de 1995 a 2013. Para isso, na próxima seção, são analisadas, previamente, as

medidas de polarização. Tendo em vista deixar mais claro o conceito de polarização

e como ele se distingue do conceito de desigualdade, na seção 2 são comparadas as

medidas de desigualdade e polarização para algumas distribuições teóricas. Na seção

3 os dados da PNAD são utilizados para mostrar como evoluiu a polarização da

distribuição da RDPC no Brasil de 1995 a 2013 e na seção seguinte procura-se

explicar por que existem artigos com resultados divergentes. A seção 5 mostra a

evolução diferenciada da polarização em cinco regiões do Brasil, seguindo-se a

conclusão do trabalho.

(1) Basta lembrar, por exemplo, o livro em dois volumes organizado por Barros, Foguel e Ulyssea (2006,

2007).

Medidas de polarização da distribuição da renda e sua evolução no Brasil de 1995 a 2013

Economia e Sociedade, Campinas, v. 26, n. 1 (59), p. 165-187, abr. 2017. 167

1 Medidas de polarização

Como já foi comentado, o termo “polarização” pode se referir tanto a dois

polos (norte e sul ou positivo e negativo) como a um número qualquer de polos

(como ocorre, por exemplo, na análise de polos de desenvolvimento). Neste trabalho

a palavra “polarização” é usada quando se considera o contraste entre 2 polos (ricos

e pobres), tomando o cuidado de usar “multipolarização” quando o enfoque

possibilita a existência de um número qualquer de polos, como acontece no caso da

medida de Esteban e Ray (1994), discutida adiante.

A redução da classe média e o aumento da frequência relativa de pobres e

ricos tende a aumentar a desigualdade da distribuição. Mas desigualdade e

polarização de uma distribuição são conceitos distintos e podem até variar em

sentidos opostos. Um exemplo numérico simples ajuda a entender isso. Considere-

se uma população com apenas 6 pessoas com rendas 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Imagine que

sejam feitas duas transferências progressivas de renda de uma unidade monetária: da

3a para a 1a pessoa e da 6a para a 4a pessoa. A nova distribuição tem 3 pessoas com

renda 2 e 3 pessoas com renda 5. Uma vez que foram feitas duas transferências

progressivas, a desigualdade diminuiu, mas a nova distribuição é mais polarizada.

Note-se que a diferença entre a renda média da metade mais pobre (2) e a renda

média da metade mais rica (5) continua a mesma, mas aumentou a identidade dentro

dos dois polos. A ideia é que a polarização cresce com a separação (ou alienação)

entre os polos e com a identidade dentro dos polos. Para o exemplo artificial

descrito, o índice de Gini diminui de 0,278 para 0,214 e a medida de polarização de

Wolfson, definida adiante [expressão (2)], aumenta de 0,151 para 0,214.

Em trabalho pioneiro, Foster e Wolfson (1992) criticam as tentativas

anteriores de medir o declínio da classe média devido à necessidade de adotar valores

muito arbitrários de renda para delimitar essa classe média. Eles propõem uma

medida baseada na divisão em dois estratos com base na mediana. Essa medida foi

reapresentada e analisada em dois artigos posteriores de Wolfson (1994, 1997), e

vamos denominá-la medida de polarização de Wolfson (𝑃𝑊).

Em um gráfico da curva de Lorenz, denomina-se discrepância (D) à

diferença entre a ordenada da linha de perfeita igualdade e a ordenada da curva de

Lorenz. Seja 𝐷50 a discrepância no ponto correspondente à mediana, que é o

segmento VT na Figura 1. Seja µ a renda média da população e sejam 𝜇𝐿 e 𝜇𝑈 as

rendas médias para a metade mais pobre e para a metade mais rica. Foster e Wolfson

(1992) definem a seguinte medida de distância relativa entre ricos e pobres2:

(2) No original essa distância relativa é indicada por T, que substituímos por 𝛿 porque T é reservado para

representar uma das medidas de desigualdade de Theil.

Rodolfo Hoffmann


𝛿 =𝜇𝑈−𝜇𝐿

𝜇 (1)

Como a renda média relativa de um estrato é igual à razão entre suas

participações na renda e na população, temos

𝜇𝐿

𝜇=

0,5−𝐷50

0,5 e

𝜇𝑈

𝜇=

0,5+𝐷50

0,5

Subtraindo a primeira expressão da segunda, membro-a-membro, deduz-se que 𝛿 =

4𝐷50. Foster e Wolfson (1992) erram ao afirmar que 𝛿 é igual ao dobro de 𝐷50.

Pode-se verificar que 𝐷50 é igual ao índice de Gini da desigualdade entre os

dois estratos, que indicaremos por 𝐺𝑒.

Na Figura 1, a linha SU é tangente à curva de Lorenz no ponto

correspondente à mediana e pode-se verificar que a área do trapézio SOAU é igual

a 𝐷50. Então 𝛿 = 4𝐷50 é igual a 4 vezes a área do trapézio SOAU, embora Foster e

Wolfson (1992) afirmem que 𝛿 é o dobro dessa área. Levando em consideração esse

engano, a sua proposta de medida de polarização deve ser escrita como

𝑃𝑊 = (2𝐷50 − 𝐺)𝜇

𝑚= (2𝐺𝑒 − 𝐺)

𝜇

𝑚 (2)

com m indicando a mediana e 𝐺 representando o índice de Gini de toda a distribuição.

A diferença 2𝐺𝑒 − 𝐺 é multiplicada pela medida de assimetria 𝜇 𝑚⁄ .

A diferença 2𝐷50 − 𝐺 corresponde, na Figura 1, ao dobro da área

compreendida entre a tangente SU e a curva de Lorenz, mostrando que 𝑃𝑊 ≥ 0, com

𝑃𝑊 = 0 apenas se 𝐺 = 0.

A diferença 2𝐺𝑒 − 𝐺 pode ser interpretada como um contraste entre a

desigualdade entre os dois estratos (𝐺𝑒) e a desigualdade dentro dos estratos, dada

por 𝐺 − 𝐺𝑒:

𝐺𝑒 − (𝐺 − 𝐺𝑒) = 2𝐺𝑒 − 𝐺 (3)

As expressões (2) e (3) mostram que a medida de polarização de Wolfson

cresce com a desigualdade entre as duas metades da distribuição (𝐺𝑒) e cresce,

também, com a redução da desigualdade dentro das metades (𝐺 − 𝐺𝑒). Em outras

palavras, 𝑃𝑤 cresce com a separação (alienação) entre as duas metades e com a

homogeneidade (identidade) dentro das metades.

Sendo a diferença média da distribuição e lembrando que 𝐺 =∆

2𝜇 e 𝛿 =

4𝐺𝑒 , temos

2𝐺𝑒 − 𝐺 =𝛿

2−

∆

2𝜇=

1

2𝜇(𝜇𝑈 − 𝜇𝐿 − ∆) (4)

mostrando que a medida de polarização está relacionada com a diferença relativa

entre 𝜇𝑈 − 𝜇𝐿 e .



Figura 1

A curva de Lorenz e a sua tangente no ponto correspondente à mediana da distribuição

Wolfson (1994) modifica a fórmula da medida de polarização (2),

multiplicando-a por 2. Como sua justificativa para isso é falha (ver Hoffmann, 2008),

parece mais apropriado manter a fórmula (2).

Chakravarty (2009) faz uma exposição abrangente sobre o conceito e várias

medidas de polarização. Ressalta que a distinção essencial entre os conceitos de

polarização e de desigualdade é dada pelo axioma da bipolaridade aumentada, o

qual estabelece que, quando uma distribuição de renda é dividida em duas metades

(abaixo e acima da mediana), transferências progressivas envolvendo pessoas que

estão e permanecem dentro de uma das metades causam aumento da polarização, ao

mesmo tempo em que, de acordo com o princípio de Pigou-Dalton, reduzem a

desigualdade dentro das metades e a desigualdade total, pois a desigualdade entre as

duas metades permanece a mesma.

Curiosamente, Chakravarty (2009) apresenta, sem maior crítica, a medida de

polarização de Milanovic (2000), que não obedece ao axioma da bipolaridade

Rodolfo Hoffmann


aumentada. A medida de Milanovic diminui quando é feita uma transferência

progressiva entre os relativamente pobres e não é uma medida apropriada de

polarização. Um exemplo numérico simples mostra o problema. Considere-se a

distribuição de rendas definida pelo conjunto A={1, 3, 5, 7}. Após uma transferência

progressiva entre as duas pessoas relativamente pobres as rendas são B={2, 2, 5, 7}.

Em seguida, com uma transferência progressiva entre os dois relativamente ricos, o

conjunto fica C={2, 2, 6, 6}. A pretensa medida de polarização de Milanovic para os

conjuntos A, B e C é, respectivamente, 0,5, 0,475 e 0,5. A medida de Wolfson (𝑃𝑊),

por sua vez, aumenta sucessivamente com as transferências progressivas que

reduzem a desigualdade dentro das duas metades da distribuição, passando de 0,1875

no conjunto A para 0,21875 no conjunto B, e atingindo 0,25 no conjunto C.

Com base na ideia de que uma medida de polarização da distribuição da

renda é um contraste entre a desigualdade entre dois estratos e a desigualdade dentro

dos dois estratos, podem ser definidas várias outras medidas, variando o limite entre

estratos e a medida de desigualdade (Lopes, 2009). Quando o limite entre estratos

não é a mediana, é necessário generalizar o axioma da bipolaridade aumentada, cujo

enunciado passa a ser: transferências progressivas entre pessoas que estão e

permanecem dentro de um dos dois estratos causam aumento da polarização, ao

mesmo tempo em que, de acordo com o princípio de Pigou-Dalton, reduzem a

desigualdade dentro dos estratos e a desigualdade total, pois a desigualdade entre os

estratos permanece a mesma.

Dividindo a distribuição em dois estratos por meio da renda média e

lembrando que a discrepância correspondente é a discrepância máxima 𝐷𝑀 ,

podemos definir a medida de polarização

𝑃𝑀 = 2𝐷𝑀 − 𝐺 (5)

Curiosamente, a expressão (5) é um caso particular de uma medida muito

mais geral, como mostram Esteban, Gradin e Ray (2007).

É interessante lembrar, nesse contexto, que a média é o limite entre dois

estratos que maximiza o índice de Gini da desigualdade entre estratos (Aghevli;

Mehran, 1981).

Pode-se verificar que a medida (5) também é igual a duas vezes a área

compreendida entre a curva de Lorenz e uma tangente a essa curva no ponto

correspondente à média. Como essa tangente à curva de Lorenz é paralela à linha de

perfeita igualdade, o trapézio com área igual a 𝐷𝑀 é um paralelogramo. A medida

𝑃𝑀 é igual ao dobro da diferença entre a área desse paralelogramo e a área de

desigualdade, podendo-se concluir que 𝑃𝑀 > 0 se 𝐺 > 0. Entretanto, com escolha

arbitrária do limite entre os dois estratos e da própria medida de desigualdade, não

há garantia de que o dobro da medida de desigualdade entre os dois estratos não seja

inferior à medida geral de desigualdade, isto é, não há garantia de que a medida de



polarização definida como um contraste entre a medida de desigualdade entre os dois

estratos e a medida da desigualdade dentro dos estratos não possa ser negativa.

Adotando o índice T de Theil como medida de desigualdade e considerando

dois estratos delimitados pela média, podemos definir a medida de polarização

𝑃𝑇𝑀 = 2𝑇𝑒𝑀 − 𝑇 (6)

com 𝑇𝑒𝑀 representando o valor do índice T de Theil para a desigualdade entre esses

dois estratos.

Se os dois estratos forem delimitados pelo 90o percentil, temos

𝑃𝑇90 = 2𝑇𝑒90 − 𝑇, (7)

com 𝑇𝑒90 indicando o valor do T de Theil relativo à desigualdade entre os 90% mais

pobres e os 10% mais ricos.

Outra possibilidade seria considerar a divisão em dois estratos de maneira a

maximizar o valor do T de Theil referente à desigualdade entre os dois estratos.

Outra possibilidade, ainda, seria utilizar a divisão da distribuição entre

“relativamente pobres” e “relativamente ricos” considerando o ponto no qual muda

de sinal o efeito de um pequeno acréscimo na renda de uma pessoa sobre a medida

de desigualdade (ver Hoffmann, 2001; Lambert; Lanza, 2006).

Como a ideia de polarização da distribuição de renda está associada ao

aumento da frequência relativa de pobres e ricos, com redução da classe média, pode

ser apropriado considerar a divisão da distribuição em 3 estratos. Evitando o uso de

limites arbitrários, a divisão em 3 estratos pode ser feita de maneira a maximizar a

desigualdade entre os 3 estratos, conforme a medida de desigualdade adotada. A

metodologia básica para isso está descrita em Aghevli e Mehran (1981). Ver,

também, Hoffmann (2007). Tanto para o índice de Gini como para as medidas de

desigualdade T e L de Theil, a determinação dos dois limites exige um processo

iterativo relativamente trabalhoso.

Seja 𝐺𝑒3 o índice de Gini da desigualdade entre 3 estratos, delimitados de

maneira a maximizar o valor dessa medida. Para as medidas de desigualdade de Theil

(T e L) definimos, analogamente, 𝑇𝑒3 e 𝐿𝑒3. Podemos definir, então, três outras

medidas de polarização como contrastes entre a desigualdade entre os 3 estratos e

dentro dos 3 estratos:

𝑃𝐺3 = 2𝐺𝑒3 − 𝐺, (8)

𝑃𝑇3 = 2𝑇𝑒3 − 𝑇 (9)

e

𝑃𝐿3 = 2𝐿𝑒3 − 𝐿 (10)

Rodolfo Hoffmann


Quando uma distribuição de renda é dividida em estratos, as três medidas de

desigualdade mencionadas podem ser separadas em uma parcela referente à

desigualdade entre estratos e uma parcela referente à desigualdade dentro dos

estratos. No caso do índice T de Theil essa última parcela é uma média ponderada

dos valores de T dentro de cada estrato, com ponderação pela participação do estrato

na renda total. No caso do L de Theil essa parcela também é uma média ponderada

das medidas de desigualdade dentro de cada estrato, mas com ponderação pela

participação de cada estrato na população. No caso do índice de Gini, entretanto, a

parte do índice global referente à desigualdade dentro dos estratos é igual à soma

ponderada dos índices de Gini dentro dos estratos, com fatores de ponderação iguais

ao produto da participação de cada estrato na população e na renda total. A soma de

tais fatores é, obviamente, menor do que 1, contribuindo para tornar relativamente

menor a parcela do índice de Gini referente à desigualdade dentro dos estratos. Isso

deve ser levado em consideração ao interpretar os resultados.

Esteban e Ray (1994) criaram uma medida para a multipolarização de uma

distribuição de renda. Nesse caso pode haver apenas um ou muitos polos, de maneira

análoga ao que acontece com os “polos de desenvolvimento econômico”. A medida

é rediscutida em Duclos, Esteban e Ray (2004) e Esteban, Gradín e Ray (2007). Ela

capta a existência de conjuntos de pessoas com rendas semelhantes que se destacam

dos demais membros da população. Os próprios autores perceberam o perigo do seu

uso inapropriado e no artigo de 2007 afirmam que a medida só deve ser usada “after

the population has been regrouped in a way that captures the group identification

structure of society” (Esteban; Gradín; Ray, 2007, p. 4). Veremos adiante que essa

medida tem sido erroneamente interpretada em estudos sobre a distribuição da renda

no Brasil.

Handcock e Morris (1999), em livro sobre “Relative distribution methods in

the social sciences”, definem o que eles denominam de median relative polarization

index (MRP). Trata-se de tentativa de captar se há ou não aumento de polarização

por meio de comparação de duas distribuições: uma distribuição básica A e uma outra

distribuição C. Para isso deve-se construir uma distribuição intermediária B,

deslocando a distribuição A de maneira que fique com mediana igual à de C. Seja R

a posição de ordem, na distribuição B, dos quantis da distribuição C. Sendo E o

operador de esperança matemática, o índice MRP é definido como

𝑀𝑅𝑃 = 4𝐸(|𝑅 − 0,5|) − 1 (11)

No caso de termos n valores igualmente prováveis na distribuição final,

𝑀𝑅𝑃 =4

𝑛∑ |𝑅𝑖 − 0,5|𝑛

𝑖=1 − 1 (12)

Como no cálculo do MRP somam-se os valores absolutos de 𝑅𝑖 − 0,5 acima

e abaixo da mediana, verifica-se que ele não é afetado por transferências progressivas

que envolvem pessoas que estão e permanecem abaixo da mediana ou por

transferência progressivas entre pessoas que estão e permanecem acima da mediana.



O índice MRP não obedece ao axioma da bipolaridade aumentada. Na realidade, a

medida MRP avalia se na distribuição C a desigualdade entre as duas metades é ou

não maior do que na distribuição B. A leitura do livro de Handcock e Morris deixa

claro que eles se referem a polarização como sinônimo de desigualdade.

O pior, ainda, é que os autores não deixam claro que o deslocamento de A

para B deve ser feito por meio de alteração na escala, isto é, multiplicando todas as

rendas por uma constante ou, equivalentemente, somando uma constante aos

logaritmos das rendas. Apenas dessa maneira se evita que haja alteração da

desigualdade (e da polarização) na passagem de A para B. O livro dá a entender que

o deslocamento de A para B pode ser feito adicionando uma constante a todas as

rendas; se essa constante for positiva, haverá redução da desigualdade e a

comparação de C com B poderá indicar mudanças na desigualdade com sinal oposto

ao da diferença de desigualdade entre C e A. Adiante veremos que esse é o erro

cometido por Clementi e Schettino (2013) ao analisarem a evolução da polarização

da distribuição da renda no Brasil de 2001 a 2011.

2 Desigualdade e polarização em algumas distribuições teóricas

Não há dúvida de que o conceito de qualquer fenômeno deve ser

estabelecido antes de se definir uma medida de sua intensidade. Mas é inegável,

também, que o uso de determinadas medidas ajuda a estabelecer o conceito. Nesta

seção analisa-se o comportamento das medidas de polarização 𝑃𝑊 e 𝑃𝑀 para algumas

distribuições teóricas, visando tornar mais claro o próprio conceito de polarização.

Todas as medidas usuais de desigualdade da distribuição de renda (índice de

Gini, as medidas T e L de Theil, o coeficiente de variação, a porcentagem da renda

apropriada pelo décimo mais rico) são insensíveis à unidade monetária usada. É claro

que a desigualdade da distribuição da renda no Brasil não mudou, de um dia para o

outro, nas diversas ocasiões em que a unidade monetária se tornou mil vezes maior.

É razoável estabelecer que a polarização de uma distribuição também não é alterada

quando todos os valores são multiplicados por uma constante.

Para ilustrar a questão, considere-se uma distribuição uniforme de a a b = a

+θ , com 𝜃 > 0 e 𝑎 ≥ 0. A média e a mediana são iguais a (𝑎 + 𝑏)/2 e pode-se

demonstrar que o índice de Gini é igual a

𝐺 =1

3(2𝑎

𝜃+1)

(13)

Como o valor de G depende apenas da relação 𝑎/𝜃, é óbvio que ele não é

alterado com uma mudança de escala (equivalente a multiplicar todas as rendas por

uma constante). Note-se que para a = 0 o índice de Gini é igual a 1/3, qualquer que

seja o valor de 𝜃. Note-se, também, que um aumento no valor de a, que corresponde

a uma translação da distribuição para a direita, causa redução do índice de Gini.

Rodolfo Hoffmann


Pode-se demonstrar que em uma distribuição uniforme de a a b = a + 𝜃 , a

discrepância máxima, igual ao índice de Gini da desigualdade entre as duas metades,

é

𝐷50 =1

4(2𝑎

𝜃+1)

(14)

e que o índice de polarização de Wolfson é

𝑃𝑊 =1

6(2𝑎

𝜃+1)

=𝐺

2 (15)

Se a = 0, 𝐺 = 1/3 e 𝑃𝑊 = 1/6. Aumento no valor de a causa redução na

desigualdade e na polarização, mantendo a relação 𝐺 = 2𝑃𝑊. Quando se comparam

distribuições uniformes, a desigualdade e a polarização variam, necessariamente, no

mesmo sentido.

No caso de uma distribuição uniforme, tanto o índice de Gini como a medida

de polarização de Wolfson dependem apenas da relação 𝑎/𝜃, não sendo afetados por

uma mudança de escala que altere a e θ na mesma proporção. Por outro lado, as duas

medidas são reduzidas com uma translação da distribuição para a direita, isto é, um

aumento no valor de a sem alteração no valor de θ. Ter essas propriedades em mente

ajuda a entender a análise crítica da medida de polarização de Handcock e Morris

feita anteriormente e que será usada posteriormente na crítica do artigo de Clementi

e Schettino (2013).

No caso de uma distribuição exponencial, com função de densidade

𝑓(𝑥) = 𝜃𝑒−𝜃𝑥 para 𝑥 ≥ 0 ,

verifica-se que a média é 1/𝜃 , G = 0,5 , 𝑃𝑊 = 1 −1

2 ln 2 e 𝑃𝑀 =

2

𝑒−

1

2

Note-se que os valores de G e das duas medidas de polarização não dependem do

parâmetro 𝜃. Como nessa distribuição uma alteração em θ corresponde a uma

mudança na unidade de medida de x, reafirma-se a ideia de que esse tipo de mudança

não afeta a desigualdade nem a polarização.

Considere-se, finalmente, uma variável x com distribuição log-normal, de

maneira que o logaritmo neperiano da variável tem distribuição normal com média

µ e variância 𝜎2. De acordo com Aitchison e Brown (1957), a média, a mediana e a

moda de x são exp (𝜇 +𝜎2

2) , exp(𝜇) e exp(𝜇 − 𝜎2), respectivamente, e o índice de

Gini é

𝐺 = 2Φ (𝜎

√2) − 1,

com Φ indicando a função de distribuição normal reduzida. Pode-se verificar que os

índices de Gini da desigualdade entre as duas metades (acima e abaixo da mediana)

ou entre as duas partes delimitadas pela média também dependem apenas de 𝜎 e que

no intervalo 0,25 ≤ 𝐺 ≤ 0,75 as medidas 𝑃𝑊 e 𝑃𝑀 são funções crescentes e

aproximadamente lineares de G, como mostra a Figura 2.



Figura 2

As medidas de polarização 𝑃𝑊 e 𝑃𝑀 em função do índice de Gini

para uma distribuição log-normal

Multiplicar os valores de x por uma constante, no caso de uma distribuição

log-normal, altera apenas o parâmetro µ , e não o parâmetro 𝜎2. Desnecessário dizer

que, se uma constante for adicionada a todos os valores de x, a distribuição deixa de

ser log-normal.

O comportamento das medidas 𝑃𝑊 e 𝑃𝑀 ilustrado na Figura 2 é relevante na

medida em que a distribuição da renda é e permanece aproximadamente log-normal.

3 Evolução da polarização da distribuição da RDPC no Brasil de 1995 a 2013

Os dados da PNAD são usados para analisar a distribuição da RDPC no

Brasil de 1995 a 2013. Como até 2003 a PNAD não cobria a área rural da antiga

região Norte, sempre que a análise envolve comparações com resultados anteriores

a 2004, os registros referentes a essa área foram excluídos dos arquivos de dados de

2004 a 2013. Todos os cálculos foram feitos usando a última versão dos fatores de

ponderação fornecidos pelo IBGE.

Os resultados estão nas Tabelas 1 e 2 e a evolução das medidas de

polarização de 1995 a 2013 pode ser mais facilmente visualizada nas Figuras 3 e 4.

Uma vez que os dados incluem domicílios cuja renda declarada é nula, não é possível

calcular o índice L de Theil para toda a distribuição e, consequentemente, não é

possível calcular a medida de polarização dada pela expressão (10).

Rodolfo Hoffmann


Tabela 1

Evolução, de 1995 a 2013, do índice de Gini (G), da discrepância máxima (𝐷𝑀)

e de medidas de bipolarização da distribuição da RDPC no Brasil

Ano G 𝑃𝑊 𝑃𝑀 𝐷𝑀 100𝐷𝑀

𝐺 𝑃𝑇𝑀 𝑃𝑇90

1995 0,599 0,312 0,296 0,447 74,7 0,149 0,193

1996 0,600 0,318 0,296 0,448 74,6 0,146 0,181

1997 0,600 0,316 0,295 0,448 74,6 0,140 0,181

1998 0,598 0,305 0,294 0,446 74,6 0,142 0,190

1999 0,592 0,298 0,291 0,442 74,6 0,145 0,191

2001 0,594 0,302 0,290 0,442 74,4 0,129 0,182

2002 0,587 0,295 0,287 0,437 74,4 0,129 0,182

2003 0,581 0,289 0,281 0,431 74,2 0,125 0,173

2004 0,569 0,279 0,273 0,421 74,0 0,111 0,156

2005 0,566 0,273 0,270 0,418 73,8 0,106 0,162

2006 0,560 0,265 0,266 0,413 73,7 0,103 0,156

2007 0,552 0,261 0,257 0,405 73,3 0,094 0,140

2008 0,543 0,251 0,252 0,397 73,2 0,085 0,132

2009 0,539 0,246 0,248 0,393 73,0 0,078 0,125

2011 0,527 0,232 0,238 0,382 72,6 0,069 0,117

2012 0,524 0,228 0,236 0,380 72,5 0,043 0,098

2013 0,523 0,226 0,234 0,379 72,4 0,064 0,115

Tabela 2

Evolução, de 1995 a 2013, da desigualdade entre 3 estratos e respectivas

medidas de polarização da distribuição da RDPC no Brasil

Ano 𝐺𝑒3 100𝐺𝑒3

𝐺

𝑃𝐺3 𝑇𝑒3 100𝑇𝑒3

𝑇 𝑃𝑇3 𝐿𝑒3

1995 0,530 88,6 0,462 0,589 81,0 0,450 0,556

1996 0,531 88,5 0,462 0,587 80,9 0,448 0,565

1997 0,531 88,5 0,463 0,589 80,6 0,447 0,563

1998 0,530 88,6 0,462 0,589 80,9 0,449 0,556

1999 0,524 88,5 0,456 0,574 81,3 0,441 0,541

2001 0,525 88,4 0,456 0,579 80,5 0,438 0,544

2002 0,520 88,5 0,452 0,567 80,5 0,429 0,528

2003 0,513 88,4 0,446 0,549 80,7 0,418 0,515

2004 0,502 88,3 0,435 0,525 80,0 0,394 0,488

2005 0,500 88,3 0,434 0,522 80,2 0,394 0,481

2006 0,493 88,2 0,427 0,509 80,2 0,383 0,467

2007 0,486 88,0 0,420 0,488 79,5 0,362 0,454

2008 0,477 87,9 0,412 0,470 79,3 0,347 0,436

2009 0,473 87,9 0,408 0,463 78,8 0,339 0,428

2011 0,462 87,7 0,397 0,442 78,9 0,323 0,407

2012 0,459 87,6 0,394 0,441 76,4 0,305 0,400

2013 0,458 87,6 0,393 0,434 78,6 0,316 0,400



Como a discrepância máxima 𝐷𝑀 é igual ao índice de Gini entre os dois

estratos correspondentes, verifica-se, na Tabela 1, que a desigualdade entre apenas

dois estratos representa quase ¾ do índice de Gini total. Na Tabela 2, considerando

a divisão em 3 estratos, observa-se que a participação da desigualdade entre estratos

no índice de Gini cai de 88,6% em 1995 para 87,6% em 2013. Para o T de Theil essa

participação também diminui, mantendo-se quase sempre acima de 78%.

Davies e Shorrocks (1989) consideram surpreendente que a divisão da

distribuição da renda no Canadá em 1983 em apenas 5 estratos já produzisse um

índice de Gini entre estratos que representa 95% do índice de Gini total. Utilizando

dados de RDPC da PNAD de 2013 para todo o Brasil, verifica-se que as divisões em

2, 3 ou 5 estratos produzem índices de Gini entre estratos que captam,

respectivamente, 72,4%, 87,6% e 95,4% do total (𝐺 = 0,525). Considerando a

divisão que maximiza o T de Theil entre estratos, as porcentagens correspondentes

são 60,8%, 78,6% e 90,8% (com 𝑇 = 0,556). Verifica-se, portanto, que a

desigualdade entre um pequeno número de estratos representa grande parte da

desigualdade da distribuição da RDPC no Brasil. Cabe ressaltar que a maior

subdeclaração da renda dos mais ricos na PNAD deve contribuir para superestimar

a participação da desigualdade entre estratos na desigualdade total.

Figura 3

Evolução de medidas de polarização baseadas na divisão da população em 2 estratos.

Brasil, 1995-2013

Rodolfo Hoffmann


O exame das Tabelas 1 e 2 e das Figuras 3 e 4 mostra que ocorre clara

redução da polarização no período analisado, acompanhando a redução da

desigualdade3. Todas as medidas de polarização mostram tendência de decréscimo

fortemente significativa. A correlação entre 𝑃𝑊 e G, por exemplo, é igual a 0,995,

com probabilidade caudal inferior a 0,01%.

As três medidas de desigualdade entre três estratos apresentadas na Tabela

2 (𝐺𝑒3, 𝑇𝑒3 e 𝐿𝑒3) mostram tendências decrescentes similares. As três mostram

correlação negativa e fortemente significativa com a variável “ano” (correlações

negativas com valor absoluto superior a 0,97, com probabilidade caudal do teste de

nulidade inferior a 0,01%). Essas 3 medidas mostram correlações fortíssimas

(maiores do que 0,99) entre si e com o índice de Gini e o T de Theil referentes à

desigualdade total.

Figura 4

Evolução das medidas de polarização baseadas na divisão da população em 3 estratos.

Brasil, 1995-2013

(3) Os dados da PNAD de 2014 mostram nova redução na desigualdade e das medidas de polarização 𝑃𝑊

e 𝑃𝑀. Em uma nova linha da Tabela 1, para 2014, os valores são: 𝐺 = 0,513, 𝑃𝑊 = 0,220, 𝑃𝑀 = 0,231, 𝐷𝑀 =

0,372, correspondendo a 72,5% do índice de Gini, 𝑃𝑇𝑀 = 0,065 e 𝑃𝑇90 = 0,113.



A Tabela 3 mostra os limites entre estratos que maximizam o índice de Gini

entre 3 estratos de RDPC e as porcentagens da população e da renda em cada um dos

3 estratos.

Verifica-se que há tendências estatisticamente significativas (probabilidade

caudal inferior a 0,01%) de

a) decréscimo da porcentagem da população no 1o estrato e crescimento das

porcentagens no 2o e no 3o estratos,

b) crescimento da porcentagem da renda no 1o e no 2o estratos e decréscimo

dessa porcentagem no 3o estrato.

Tabela 3

Valor corrente dos limites entre os 3 estratos de RDPC, de maneira a maximizar o índice de Gini

entre estratos, porcentagens da população e da renda em cada um dos 3 estratos e coeficiente para

inflacionar os valores monetários para Reais de setembro-outubro de 2013

Ano 1o

limite

2o

limite

% da população no

estrato

% da renda no estrato Coeficiente

para

inflacionar(1) 1o 2o 3o 1o 2o 3o

1995 354,7 1209,2 53,6 33,9 12,4 14,3 33,2 52,5 3,195132

1996 361,8 1237,5 53,8 33,6 12,5 14,2 33,4 52,4 2,842479

1997 362,3 1236,0 53,9 33,8 12,4 14,2 33,6 52,2 2,724354

1998 364,3 1247,4 54,0 33,6 12,4 14,5 33,0 52,5 2,643176

1999 346,0 1163,7 53,6 33,9 12,6 14,7 33,1 52,3 2,483367

2001 350,5 1162,4 52,4 35,0 12,7 14,0 33,6 52,4 2,162740

2002 352,5 1154,8 52,2 35,0 12,8 14,2 33,5 52,2 1,967530

2003 335,2 1070,3 51,3 35,6 13,0 14,1 34,1 51,9 1,684117

2004 353,4 1099,4 51,5 35,4 13,1 14,9 34,2 51,0 1,591221

2005 380,2 1174,5 52,1 35,3 12,6 15,4 34,6 50,0 1,512446

2006 418,2 1267,6 51,5 35,6 12,8 15,5 34,6 49,9 1,471428

2007 433,7 1276,9 50,5 36,3 13,2 15,3 35,3 49,5 1,403391

2008 462,5 1324,6 50,3 36,7 13,1 15,7 35,8 48,5 1,309748

2009 475,8 1347,9 49,8 36,9 13,3 15,6 35,8 48,6 1,255619

2011 515,8 1405,8 48,9 37,8 13,4 15,7 36,7 47,6 1,117431

2012 557,2 1509,4 48,9 37,8 13,3 16,0 36,6 47,4 1,056364

2013 577,7 1552,9 48,4 38,2 13,4 15,7 36,9 47,4 1,000000

(1) Com base no INPC, transforma valores dos demais anos em Reais de setembro-outubro de 2013,

conforme procedimento proposto por Corseuil e Foguel (2002).

A Figura 5 mostra a evolução das participações de cada um dos 3 estratos na

população e na renda total. Observa-se crescimento tanto da fração da população

como da porcentagem da renda total que pertence ao estrato intermediário. Se esse

estrato intermediário em uma divisão em 3 estratos que maximiza o índice de Gini

entre estratos for identificado como a “classe média”, os dados da PNAD revelam

claro crescimento dessa classe média no período analisado.

Rodolfo Hoffmann


Figura 5

Evolução, de 1995 a 2013, das porcentagens da população (linha contínua) e da renda

(linha tracejada) em três estratos da distribuição da RDPC no Brasil, delimitados de maneira a

maximizar o índice de Gini entre estratos

3 Resultados convergentes e afirmativas divergentes na literatura sobre

polarização da distribuição da renda no Brasil

Scorzafave e Castro (2007) fizeram um trabalho pioneiro e competente sobre

o cálculo de medidas de polarização da distribuição da renda no Brasil4. Já usam a

divisão da distribuição em 2 ou 3 grupos. Obtêm “níveis de polarização que se

mostraram alinhados com a sensível redução do índice de Gini verificada entre 1981

e 2003” e concluem, corretamente, que “o tão comentado fenômeno de

desaparecimento da classe média não vem ocorrendo no Brasil”.

No mesmo ano Figueirêdo, Netto Jr. e Porto Jr. Publicam um artigo no qual

analisam dados de 1987 a 2003 e concluem que ocorreu “forte aumento” da

polarização e “esvaziamento das classes intermediárias”. Essas conclusões estão

erradas, pois se fundamentaram em uma interpretação incorreta do índice de

Polarização de Duclos, Esteban e Ray (2004), que capta todos os “polos” nos quais

se agrupam rendas iguais, e não apenas “pobres” e “ricos”. Hoffmann (2008) mostra

que medidas de bipolarização da distribuição da renda no Brasil apresentam clara

tendência geral decrescente de 1987 a 2005 e que a medida calculada por Figueirêdo

(4) Ver, também, Castro e Scorzafave (2005) e Castro (2006).



et al. (2007) capta a multipolarização em picos de maior frequência de valores

declarados associados ao salário mínimo e à tendência de as pessoas declararem

números redondos5.

Audibert (2011) analisa a evolução da polarização da distribuição da renda

no Brasil e no Rio Grande do Sul, de 2005 a 2009. Nos dois casos obtém “uma

tendência semelhante, ou seja, houve redução do índice de Gini e do índice de Foster-

Wolfson6, já o índice de DER (Duclos, Esteban, Ray) permaneceu estável, o que

demanda novos estudos”. A autora parece não perceber que o índice DER mede uma

“multipolarização” muito distinta da bipolarização captada pelo índice de Foster-

Wolfson. Ela menciona o artigo de Hoffmann (2008), mas considera que ele trata de

“certos efeitos, tais como arredondamentos numéricos quando da declaração pessoal

da renda domiciliar, que não serão considerados nesse estudo”.

Em outro trabalho de conclusão de curso de graduação orientado pelo Prof.

Porto Jr., Schroeder (2014) analisa a polarização da distribuição da renda no Brasil

de 2003 a 2012. Comparando a evolução do índice de Gini, da medida de polarização

de Foster e Wolfson e do índice DER (Duclos; Esteban; Ray, 2004), ele observa que

“apesar de ter tendência declinante, este indicador é muito mais estável que os dois

primeiros, indicando que o aumento da classe média teria sido menor se comparado

ao outro índice de polarização”. Novamente, não percebe que o índice DER mede

algo diferente da bipolarização. O artigo de Hoffmann (2008) não é mencionado.

A Figura 6 mostra que a grande frequência de valores iguais ao salário

mínimo tem efeito importante sobre a forma da distribuição, como mostrou Soares

(2004). Além disso, a tendência de as pessoas informarem sua renda usando números

arredondados também afeta a forma da distribuição de maneira relevante. Não se

trata de um detalhe desprezível. As linhas verticais na Figura 7 assinalam as abcissas

correspondentes a 1/4 do salário mínimo (SM), 1/3 do SM, 1/2 do SM, 1 SM, mil

reais (M) e 2 mil reais (2M). Em todos esses pontos há picos na estimativa da função

de densidade obtida usando uma janela relativamente estreita. Como foi mostrado

em Hoffmann (2008), a medida de polarização DER reflete a “polarização” nesses

picos. Isso não tem nada a ver com a polarização em ricos e pobres e redução de uma

classe média. Cabe assinalar que esses picos (especialmente aquele associado ao

SM) são ainda mais intensos quando se analisam rendimentos individuais (como

renda do trabalho por pessoa ocupada).

(5) No cabeçalho da Tabela 1 do artigo de Hoffmann (2008), onde está 10𝑃𝐸𝑅 , deve ser 5𝑃𝐸𝑅 .

Evidentemente essa mudança de escala não afeta nenhuma das conclusões do trabalho.

(6) Medida que aqui denominamos índice de Wolfson.

Rodolfo Hoffmann


Figura 6

Três estimativas da função de densidade da distribuição da RDPC em todo o Brasil em 2013:

com janela estreita (linha vermelha), com janela 5 vezes mais larga (linha preta) e distribuição

log-normal (linha azul claro)

Clementi e Schettino (2013) analisam a distribuição da renda no Brasil de

2001 a 2011 e observam um nítido aumento da polarização de 2004 a 2011. São

apresentados vários outros resultados incompatíveis com o que se sabe, com base

nos dados da PNAD. Afirmam, por exemplo, que teria ocorrido um forte crescimento

da pobreza. Nenhum dos artigos anteriores sobre polarização da distribuição da

renda no Brasil é sequer mencionado. O fato de usarem uma renda por equivalente,

dividindo a renda domiciliar pela raiz quadrada do número de pessoas do domicílio,

e não a usual renda domiciliar per capita, não é a razão dos resultados discrepantes.

Eles calculam o medium relative polarization index (MRP) de Handcock e Morris e

fazem o deslocamento da distribuição básica (de 2001) adicionando a diferença entre

medianas. Ao comparar a distribuição de 2011 (C) com a de 2001 (A), por exemplo,

é criada uma distribuição intermediária (B) adicionando às rendas por equivalente de

2001 cerca de R$ 285 (com todos os valores em reais de setembro-outubro de 2011),

o que é mais do que meio salário mínimo na época. A distribuição B tem

desigualdade substancialmente menor do que a da distribuição A. Ao comparar a

distribuição de 2011 (C) com a distribuição B constata-se um aumento da

desigualdade (e um pretenso aumento da polarização), devido à maneira

inapropriada de definir a distribuição intermediária. O artigo deve ser descartado.

Deutsch, Silber e Yalonetzky (2014) analisam a bipolarização de uma

medida de nível de vida para 17 países da América Latina. Constatam aumento da

bipolarização (de 2000 para 2009) para a maioria dos países, incluindo o Brasil.



Versões preliminares do trabalho disponíveis na rede permitem verificar que os

autores obtiveram, para o Brasil, resultados incompatíveis com a conhecida redução

da desigualdade e da pobreza no período. Pelo menos no que se refere aos resultados

para o Brasil, esse artigo também não é confiável.

O que foi exposto até esse ponto evidencia que no período de 1995 a 2013,

no Brasil, houve redução da polarização da distribuição da renda, acompanhando a

redução da desigualdade, e que resultados contrários obtidos por alguns autores se

devem a erros metodológicos. Na próxima seção procura-se verificar se a evolução

da polarização da distribuição da renda é similar ou não nas diversas regiões do País.

5 Análise regional

Nesta seção examina-se a evolução da polarização em cinco regiões:

Nordeste, Sudeste, Sul, Centro-Oeste exclusive o Distrito Federal (DF) e o DF. A

região Norte é omitida, pois sua comparação com as demais exigiria limitar a análise

às áreas urbanas. O DF é destacado tendo em vista as características especiais da

remuneração dos funcionários públicos (Daré; Hoffmann, 2013 e Medeiros; Souza,

2012) e o grande peso dessa categoria nessa Unidade da Federação.

A Figura 7 mostra como variou o índice de Gini da RDPC no Brasil e nas 5

regiões. Excetuando-se o caso do DF, é clara a tendência geral de queda da

desigualdade.

Figura 7

Evolução, de 1995 a 2013, do índice de Gini da distribuição da renda domiciliar per capita no Brasil

(BR) e em cinco regiões: Nordeste (NE), Sudeste (SE), Sul, Centro-Oeste exclusive DF (CO) e DF

Rodolfo Hoffmann


A Figura 8 mostra, para o Brasil (BR) e para as cinco regiões, a evolução de

duas medidas de polarização: 𝑃𝑊 e 𝑃𝑀 . Novamente, excetuando-se o caso do DF,

observa-se nítida tendência decrescente.

Figura 8

Evolução, de 1995 a 2013, de duas medidas de polarização (PW, com linha contínua, e PM, com linha

tracejada) no Brasil e em cinco regiões: Nordeste, Sudeste, Sul, Centro-Oeste exclusive DF e DF

Embora a evolução da polarização da distribuição da RDPC no Distrito

Federal seja muito diferente da observada nas demais regiões analisadas, as

correlações entre o índice de Gini e as medidas 𝑃𝑊 e 𝑃𝑀 para essa Unidade da

Federação são fortemente positivas e claramente significativas. De maneira

semelhante ao que ocorre nas demais regiões analisadas, no DF a evolução da

polarização também tende a acompanhar as mudanças na desigualdade da

distribuição da renda.

Conclusão

Idealmente, a palavra polarização deveria ser reservada para um conceito

distinto do de desigualdade, evitando-se usá-la apenas como recurso retórico para

ressaltar situações de desigualdade elevada.

Os dados da PNAD permitem constatar que no Brasil, no período 1995-

2013, ocorreu clara redução no grau de bipolarização da distribuição da RDPC,

acompanhando a tendência de redução da desigualdade.



Resultados divergentes apresentados em alguns artigos se devem a uma

interpretação errônea de uma medida de multipolarização ou, simplesmente, a erros

na análise dos dados.

A tendência de redução da bipolarização também é observada analisando

separadamente as regiões Nordeste, Sudeste, Sul e o conjunto dos estados de Mato

Grosso do Sul, Mato Grosso e Goiás. Apenas no caso do DF é que se constatou

comportamento totalmente distinto, embora também similar à variação da

desigualdade da distribuição da RDPC nessa unidade da Federação.

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Medidas de polarização da distribuição da renda e sua ... · não estão bem estabelecidos. Há medidas de bipolarização e medidas mais amplas de multipolarização que, eventualmente,