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MELHORA DA ESTABILIDADE DINÂMICA DE SISTEMAS ELÉTRICOS DEPOTÊNCIA MULTIMÁQUINAS USANDO O DISPOSITIVO FACTS

“THYRISTOR-CONTROLLED SERIES CAPACITOR - TCSC"

Marcos Amorielle Furini ∗[email protected]

Percival Bueno de Araujo∗[email protected]

∗Departamento de Engenharia ElétricaFaculdade de Engenharia de Ilha Solteira - FEIS/UNESP

Av. Brasil Norte, 364, 15385-000 Ilha Solteira, SP, Brasil

RESUMO

O principal objetivo deste trabalho é analisar o desempenhodinâmico de um sistema elétrico de potência multimáquinascom a consideração do dispositivo FACTS TCSC (do inglês,“Thyristor Controlled Series Capacitor”). Para tanto seráuti-lizado o Modelo de Sensibilidade de Potência para o sistemaelétrico e será definido um modelo dinâmico para o TCSC.Através de simulações de um sistema teste serão obtidas in-formações a respeito da estabilidade do sistema elétrico depotência frente a pequenas perturbações.

PALAVRAS-CHAVE : Estabilidade de Sistemas de Potência,Estabilidade a Pequenas Perturbações, FACTS, TCSC.

ABSTRACT

The main objective of this work is to analyze the dynamicperformance of a multimachine power system with consider-ation of FACTS device TCSC (“Thyristor-Controlled SeriesCapacitor”). The Power Sensitivity Model for electric sys-tems will be used and will be defined a dynamic model forthe TCSC. Simulation tests were effectuated to obtain infor-mation about the stability of the electric power system whensubjected to small disturbances.

Artigo submetido em 28/05/20071a. Revisão em 07/08/20072a. Revisão em 22/12/20073a. Revisão em 27/02/2008Aceito sob recomendação do Editor Associado

Prof. Carlos A. Castro

KEYWORDS: Power System Stability, Small-signal Stabil-ity, FACTS, TCSC.

1 INTRODUÇÃO

Os avanços tecnológicos da humanidade solicitam continu-amente aumentos na demanda de energia elétrica. Portanto,caracteriza-se como principal função dos sistemas elétricosde potência o suprimento dessa demanda crescente de ener-gia elétrica de forma segura, confiável e economicamenteviável. Para aumentar a confiabilidade a interligação de siste-mas elétricos de potência é cada vez maior, originando assiminterações de diversos tipos de equipamentos com comporta-mentos dinâmicos diferentes.

O estudo do comportamento de um sistema elétrico, quandoeste é submetido a perturbações, é reconhecido como o es-tudo da estabilidade do sistema elétrico. Perturbações de pe-quena escala em forma de desvios de carga ocorrem continu-amente, ocasionando ajustes na geração de energia e carac-terizam o estudo da estabilidade dinâmica (ou estabilidadeapequenas perturbações). Uma perturbação é considerada pe-quena se as equações que descrevem o comportamento dosistema podem ser linearizadas em torno de um ponto deequilíbrio estável e assim, as técnicas de análise linear po-dem ser adotadas (Kundur, 1994).

As oscilações eletromecânicas de baixa freqüência são co-mumente relacionadas às interações das oscilações do ângulodo rotor das máquinas geradoras e caracterizam o principal

214 Revista Controle & Automação/Vol.19 no.2/Abril, Maio e Junho 2008

motivo de instabilidade provocada por pequenas perturba-ções. Tais oscilações são preponderantes em grandes siste-mas interligados, onde o transporte de energia é realizado porlongas linhas de transmissão com altas reatâncias indutivas.Para o estudo de seus efeitos no comportamento dinâmico dosistema elétrico necessita-se de uma detalhada modelagem.Neste trabalho será utilizado o modelo linear proposto em(Deckmann e da Costa, 1994), intitulado Modelo de Sensibi-lidade de Potência.

A realização de compensação de reativos tem sido larga-mente utilizada para aumentar a capacidade de transmissão e,mais recentemente, tem sido utilizada para o amortecimentode oscilações eletromecânicas. No passado, esta compensa-ção era realizada pela inserção manual de um banco de ca-pacitores em série com a linha de transmissão. O resultadodesta operação era a diminuição da reatância efetiva da linhade transmissão, tornando o sistema de potência eletricamentemais robusto. Porém, com o avanço tecnológico na área deeletrônica de potência, dispositivos automáticos de compen-sação foram desenvolvidos, os quais receberam o nome deControladores FACTS (“Flexible Alternating Current Trans-mission Systems”) (Song e Johns, 1999).

Dentre os diversos dispositivos FACTS existentes está o Ca-pacitor Série Controlado a Tiristor (TCSC), o qual será utili-zado neste trabalho.

Para a análise do comportamento dinâmico do sistema elé-trico, voltada para as oscilações eletromecânicas, propõe-se ainclusão do controlador FACTS TCSC, descrito por um mo-delo dinâmico, cujo sinal de entrada para seu controle é ofluxo de potência ativa na linha compensada. São realizadosestudos sobre o amortecimento inserido no sistema devido àsdiferentes localizações do TCSC no sistema elétrico.

2 MODELO DE SENSIBILIDADE DE PO-TÊNCIA

O modelo de sensibilidade de potência descrito em Deck-mann e da Costa (1994) é uma ferramenta de análise lineardo comportamento dinâmico de sistemas elétricos de potên-cia. Esta modelagem possui uma importante e positiva ca-racterística quando comparado com o modelo de Heffron &Phillips (DeMello e Concordia, 1969), amplamente utilizadona literatura para o estudo da estabilidade a pequenas pertur-bações. Esta característica é a preservação de todas as barrasdo sistema elétrico no modelo, não ocorrendo a redução àsbarras internas dos geradores. Como conseqüência, há a ma-nutenção da integridade do sistema elétrico de potência.

A dedução do modelo de sensibilidade de potência é baseadano conceito fundamental da aplicação do balanço de potên-cia elétrica, ativa e reativa, em cada barra do sistema durante

m

kkV θ∠

kqkE δ∠'

PGk, QGk

k Pkl Qkl

l

x’dk

Zkm

Zkl

llV θ∠

mmV θ∠

Pkm Qkm

Figura 1: Sistema Elétrico de Potência

todo e qualquer processo dinâmico. Esta dedução pode serrealizada utilizando-se um diagrama genérico do sistema elé-trico, como mostrado na Figura 1.

Este diagrama mostra uma barra genéricak com tensãoVk,que possui um gerador síncrono representado por sua tensãointernaE

′

k e reatância transitória de eixo diretox′

dk. Este ge-rador está conectado a um conjuntoΩk de barras do sistemaelétrico, através de linhas de transmissão representadas porimpedânciasZkm = Rkm + jX km.

2.1 Equações Gerais do Modelo

A aplicação do balanço de potência ativa e reativa na barragenéricak pode ser descrita por (1) e (2), respectivamente.

PGk −∑

m∈Ωk

Pkm = 0 (1)

QGk −∑

m∈Ωk

Qkm = 0 (2)

As potências ativa e reativa fornecidas pelos geradores po-dem ser obtidas através do cálculo da potência entregue àbarrak e são descritas em (3) e (4), mostradas na seqüência.

PGk =E′

qkVksen(δk − θk)

x′dk

+

1

2

[

1

xqk

− 1

x′dk

]

V 2

k sen2 (δk − θk) (3)

QGk =E′

qkVk cos(δk − θk)

x′dk

−

V 2

k

x′dk

− V 2

k

2

[

1

xqk

− 1

x′dk

]

· [1 − cos 2(δk − θk)] (4)

Revista Controle & Automação/Vol.19 no.2/Abril, Maio e Jun ho 2008 215

Os fluxos de potência ativa e reativa nas linhas de transmissãopodem ser obtidos de maneira semelhante e são descritos por(5) e (6), respectivamente.

Pkm =Rkm

|Zkm|2[V 2

k − VkVm cos(θk − θm)]+

Xkm

|Zkm|2VkVmsen(θk − θm) (5)

Qkm = − Rkm

|Zkm|2[VkVm sin(θk − θm)]+

Xkm

|Zkm|2[V 2

k − VkVm cos(θk − θm) (6)

2.2 Equações Dinâmicas do Modelo

O comportamento dinâmico das grandezas mecânicas da má-quina síncrona (a saber, velocidade angular -ω, e ângulo in-terno -δ), pode ser descrito a partir da equação de oscilação(“swing”) do gerador, a qual se decompõe em duas equaçõesdiferenciais de primeira ordem (Kundur, 1994; Anderson eFouad, 2003).

Estas equações são mostradas em (7) e (8), ondeMk é aconstante de inércia do gerador síncrono,Dko coeficientede amortecimento introduzido no sistema elétrico devido àpresença das diversas cargas eωo é a velocidade síncrona.

•

ωk =1

Mk

(Pmk − PGk −Dkωk) (7)

•

δk = ω0ωk (8)

O comportamento dinâmico da tensão interna da máquinasíncrona (E′

qk) é descrito por (9) (Kundur, 1994; Anderson eFouad, 2003).

T ′

d0k

•

E′

qk = Efdk −[

E′

qk + (xdk − x′dk) Idk

]

(9)

Para a consideração dos efeitos da variação da tensão de ex-citação (Efd) da máquina síncrona se faz necessário intro-duzir o Regular Automático de Tensão. Este dispositivo pos-sui a função de regular a tensão de excitação de acordo comas variações da tensão terminal em relação a uma tensão dereferência especificada. Dentre os diversos modelos do sis-tema de excitação encontrados na literatura, neste trabalho

rksT1rkK

+

refkV

kV

fdkE

+ –

Figura 2: Regulador Automático de Tensão

será considerado um modelo de primeira ordem, de acordocom o diagrama mostrado na Figura 2.

Baseando-se no diagrama da Figura 2 tem-se o comporta-mento dinâmico da tensão de campo do gerador, descrito ma-tematicamente em (10).

•

Efdk

= − 1

Trk

Efdk +Krk

Trk

Vrefk − Krk

Trk

Vk (10)

2.3 Linearização

Neste trabalho a análise do comportamento dinâmico do sis-tema elétrico de potência será focada na estabilidade dinâ-mica, ou seja, a estabilidade a pequenas perturbações. Sendoassim, as equações 1-10 (de maneira geral, não lineares), se-rão linearizadas em torno de um ponto de equilíbrio estávelpara a obtenção do modelo de sensibilidade de potência. Asequações resultantes são mostradas nas expressões 11 a 20(As expressões para os coeficientes encontram-se no Apên-dice A).

- Potências fornecidas:

∆PGk = A1Gk∆(δk−θk)+A2Gk∆E′

qk+A3Gk∆Vk (11)

∆QGk = R1Gk∆(δk−θk)+R2Gk∆E′

qk+R3Gk∆Vk (12)

- Fluxos de potência nas linhas de transmissão:

∆Pkm = A1km∆θkm +A2km∆Vk +A3km∆Vm (13)

∆Qkm = R1km∆θkm +R2km∆Vk +R3km∆Vm (14)

- Equações de oscilação da máquina síncrona:

∆•

ωk =1

Mk

(∆Pmk − ∆PGk −Dk∆ωk) (15)


∆•

δk = ω0 (∆ωk) (16)

- Equação da tensão interna da máquina síncrona

T ′

d0k∆•

E′

qk = ∆Efdk − xdk

x′dk

∆E′

qk+

KV k∆Vk −KAk∆(δk − θk) (17)

Os parâmetrosKV eKA são chamados de “coeficientes dareação de armadura” e são dados por (18) e (19), respecti-vamente. A reação de armadura representa a relutância damáquina síncrona a perturbações externas.

KV k =(xdk − x′dk) cos(δk − θk)

x′dk

(18)

KAk =(xdk − x′dk) · Vksen(δk − θk)

x′dk

(19)

- Equação de campo (Regulador Automático de Tensão)

∆•

Efdk

= − 1

Trk

∆Efdk +Krk

Trk

∆Vrefk − Krk

Trk

∆Vk (20)

2.4 Representações do Sistema Elétrico

A utilização do sistema de equações dadas por (11) a (20)permite representar o modelo de sensibilidade de potênciado sistema elétrico de potência multimáquinas nos domíniosdo tempo e da freqüência. Nestas representações ocorremvariáveis de estado e variáveis algébricas.

Para a definição destas representações considere um sistemamultimáquinas denggeradores enbbarras e os vetores dadospor (21), (22) e (23).

∆x =[

[∆ω1 · · ·∆ωng] [∆δ1 · · ·∆δng][

∆E′

q1 · · ·∆E′

qng

]

[

∆Efd1 · · ·∆Efdng

]

]t

(21)

∆u =[ [

∆Pm1 · · ·∆Pmng

] [

∆Vref1 · · ·∆Vrefng

] ]t

(22)

∆z =[

[∆θ1 · · ·∆θnb] [∆V1 · · ·∆Vnb]]t

(23)

Desta forma, o comportamento dinâmico do sistema elétricopode ser representado no domínio do tempo conforme (24),onde são considerados os vetores de variáveis de estado (∆x),de entradas (∆u), e variáveis algébricas (∆z).

[

∆•

x0

]

=

[

J11 J12

J21 J22

] [

∆x∆z

]

+

[

B1

B2

]

∆u (24)

A representação do sistema elétrico de potência no domínioda freqüência é obtida através da aplicação da transformadade Laplace no sistema de equações (11-20), cujo diagramade blocos é mostrado na Figura 3, onde para facilidade denotação, é representado apenas um gerador genéricok.

3 CONTROLADOR FACTS TCSC

Com o aumento crescente da demanda de energia elétrica,os sistemas de potência tornaram-se mais complexos em di-mensão e utilização de aparelhos, fato que aliado às pressõesde mercado exigiu que tais sistemas operassem próximos deseus limites térmicos e de estabilidade (Paserba, 2003). A

dkxdk

x

kd

dk

dk

Ts

x

x

′′+

′

01

rk

rk

sT

K

+1

kmkmR θ∆

1

GkR2 GkR1 GkA1

sMk

1

kD

s0ω

GkA1

[ ] 1−R Modelo

Reativo da Rede

[ ] 1−A Modelo Ativo da

Rede

VkK

GkA2

GkA3

)3

2(

mkm

kkm

VA

VA

∆+

+

∆

AkK

+

+ + +

+

+

+

+

+

+

+ +

- -

-

-

-

-

- -

mkP∆

refkV∆

fdkE∆

qkE′∆

kδ∆

kθ∆

GkP∆

kV∆ kQ∆ kP∆ kθ∆

kδ∆

Ativo Reativo

Lento

Rápido

Figura 3: Diagrama de Blocos do Sistema Multimáquinas


construção de novos sistemas de transmissão pode não ser asolução que represente menor tempo e custos de implemen-tação, por razões ambientais e econômicas. Para tentar sanaras dificuldades (ou mesmo impossibilidade) de transmissãode energia elétrica surgem aplicações de dispositivos que au-mentam a eficácia do sistema de transmissão, os chamadoscontroladores FACTS.

A ação destes controladores se baseia no fato de que ofluxo de potência elétrica ativa em uma linha de transmis-são, desconsiderando-se as perdas, é obtido da relação entreos módulos das tensões da barra inicial e final, o seno da di-ferença angular entre essas barras e a reatância da linha, deacordo com (25) (Song e Johns, 1999).

Pif =ViVf sin(θi − θf )

Xif

(25)

A ação dos controladores FACTS é atuar sobre os parâmetrosde (25) de maneira a maximizar o fluxo de potência na linhade transmissão. Basicamente, os controladores podem ser di-vididos em série ou shunt, sendo os primeiros responsáveispela compensação da reatância da linha de transmissão, en-quanto os segundos realizam a regulação da tensão terminalda barra em que se encontra instalado.

Neste trabalho são estudados os benefícios proporcionadospela inclusão do controlador série TCSC no estudo da esta-bilidade a pequenas perturbações.

3.1 Modelo Dinâmico do TCSC

O TCSC, como o próprio nome diz, é um dispositivo dotadode uma capacitância fixa e um reator controlado a tiristores.A reatância efetiva do TCSC é modificada através do con-trole do disparo dos tiristores e assim inserida na linha detransmissão, de maneira a manipular a reatância total da li-nha e, conseqüentemente, controlar seu fluxo de potência.Um esquema básico para o TCSC é mostrado na Figura 4(Song e Johns, 1999).

Para estudos de estabilidade a pequenas perturbações o

Figura 4: Esquema Básico do TCSC

TCSC pode ser modelado matematicamente como uma re-atância variável (XTCSC), que provoca a diminuição da rea-tância original da linha (Xkm), resultando em uma reatânciaefetivaXkmef , como mostra (26).

Xkmef = Xkm −XTCSC (26)

Um modelo dinâmico linearizado para o TCSC é apresentadona Figura 5, onde o sinal de controle utilizado é a potênciaativa na linha de transmissão, conforme sugerido por Domin-gues et al. (2002).

O uso do fluxo de potência ativa da linha de transmissão ondeo TCSC encontra-se instalado enquadra-se na filosofia de uti-lização de sinais locais, o que dispensa o uso de sistemas detelecomunicação, os quais oneram economicamente e dimi-nuem a confiabilidade da operação. Outro fator positivo éque a modulação da reatância do TCSC tem sua eficiênciaaumentada com o aumento do fluxo interárea o que, con-seqüentemente, introduzirá maior amortecimento para condi-ções de alto carregamento (Pellanda, et al., 2006). Este sinalé processado por um controlador que fornece amortecimentoao sistema, comumente denominado POD (“Power Oscilla-tion Damping”). De acordo com a Figura 5, esse controla-dor é composto por um ganho estático KPOD, que é ajus-tado de forma a obter o amortecimento desejado; um bloco“washout” definido pela constante de tempo Tw; as constan-tes de tempo T1 e T3 responsáveis pelo avanço de fase e asconstantes de tempo T2 e T4 utilizadas para o fornecimentode atraso de fase ao sinal de entrada. Por fim considerou-se aconstante de tempoTTCSC , que representa o atraso inerenteao sistema de controle (Kundur, 1994).

A partir do diagrama mostrado na Figura 5 é obtida a equa-ção linearizada que descreve o comportamento dinâmico doTCSC no sistema de energia elétrica, mostrada em (27).

TCSCsT+1

1

kmP∆

refX∆

TCSC

X +

– TCSCsT1

1

+

4sT1

3sT1

+

+

2sT1

1sT1

+

+

wsT1

wT

+ PODK

PODX∆

POD

Figura 5: Modelo Dinâmico do TCSC


∆•

XTCSC

=1

TTCSC

(∆Xref − ∆XTCSC − POD(s) ∆Pkm)

(27)

3.2 Projeto do Controlador POD do TCSC

O projeto do controlador POD é baseado na obtenção dosresíduos da função de transferência em malha aberta entrea entrada (∆Pkm) e a saída (∆XPOD) do controlador PODconforme proposto por Yang et al. (1998) e mostrado em(28). O resíduo (Rijk) obtido, fornece informações sobre acontrolabilidade e observabilidade do conjunto entrada-saída(Cj−−Bk) para o controlador em um determinado autovalor(λi) de acordo com os autovetores direito (φi) e esquerdo(ψi) obtidos da matriz de estados do sistema. Portanto, omaior resíduo fornecerá maior amortecimento ao modo deoscilação selecionado. É importante notar que este métodotambém pode ser utilizado para determinação da mais efetivalocação do TCSC no sistema.

Rijk = CjϕiψiBk (28)

Conforme descrito em Yang et al. (1998) pode-se deslocaro autovalor (λi) para o semiplano esquerdo com a inclusãodo controlador, de maneira que sua componente real se tornemais negativa. A equação (29) mostra a relação entre o des-locamento do autovalor e o seu correspondente resíduo.

∆λi = RijkPOD(λi) = Rijk (KPODH(λi)) (29)

O projeto do controlador se resume a calcular as constantesde tempoT 1 = T 3, T 2 = T 4 e o ganhoKPOD de formaa introduzir a compensação de fase necessária ao desloca-mento do autovalor de interesse. Esse processo é descritopor Aboul-Ela et al. (1996) para dispositivos PSS (“PowerSystem Stabilizers”), sendo que este mesmo procedimentoé aplicável para controladores de dispositivos FACTS. Paraisso considere que o ângulo a ser compensado pelo contro-lador sejaβ, ωi seja a freqüência em rad/s do modo eletro-mecânico de interesse e queλides a posição desejada para oautovalor, de forma que o conjunto de equações (30) forneceo procedimento para obtenção dos parâmetros do controla-dor.

β = 180 − arg(Rijk)

α =1 − sen(β/2)

1 + sen(β/2)

T 2 =1

ωi

√α

; T 1 = α T 2 (30)

KPOD =

∣

∣

∣

∣

λides − λi

RijkH(λi)

∣

∣

∣

∣

Com o sistema elétrico e o controlador FACTS TCSC de-vidamente modelados será estudado o comportamento dinâ-mico de um sistema exemplo, para se avaliar a influência docompensador na estabilidade a pequenas perturbações.

4 SISTEMA MULTIMÁQUINAS UTILIZADO

O estudo da estabilidade a pequenas perturbações de sistemaselétricos multimáquinas fornece informações sobre o com-portamento dinâmico de cada máquina geradora e tambémsobre as interações das oscilações eletromecânicas entre es-sas máquinas, após a ocorrência de uma pequena perturbaçãoem qualquer parte do sistema.

Neste trabalho será utilizado o sistema multimáquinas hipo-tético de duas áreas e simétrico, proposto por Klein et al.(1991). As áreas possuem dois geradores idênticos e umacarga passiva, e são interligadas por três linhas de transmis-são longas em paralelo, conforme mostrado na Figura 6. Osprincipais dados deste sistema são listados no Apêndice B.

4.1 Modos Eletromecânicos de Oscilação

Em grandes sistemas de energia elétrica ocorrem diversos ti-pos de oscilações como, por exemplo, modos de oscilaçãodevidos aos sistemas de controle da excitação e de velocidadeda máquina síncrona. Os principais modos para o estudo daestabilidade a pequenas perturbações são aqueles associados

1

2 3

4 5

6 7 8 9

10 G1

G2 G3

G4

L7 L8

Área 1 Área 2

Figura 6: Diagrama Unifilar do Sistema Multimáquinas deDuas Áreas


às oscilações dos rotores das máquinas síncronas, que são de-nominados de “modos eletromecânicos de oscilação”. Taismodos podem ser classificados de acordo com sua freqüên-cia de oscilação, sendo os de maior interesse os modos locaise os modos interárea. Modos locais de oscilação se encon-tram na faixa de 0,7 a 2,0 Hz e estão associados às oscilaçõesdos rotores de um grupo de geradores próximos, fisicamenteou eletricamente. Modos interárea de oscilação localizam-sena faixa de 0,1 a 0,8 Hz e são relacionados com as oscilaçõesde grupos de geradores de uma área contra outro grupo degeradores de outra área (Kundur, 1994; Anderson e Fouad,2003; Klein et al., 1991).

No sistema multimáquinas considerado nota-se claramentea existência de duas áreas simétricas, sendo estas conecta-das por três linhas de transmissão paralelas longas, ou seja,com alta reatância indutiva. Tal fato contribui para a faltadeamortecimento do sistema, ocasionando instabilidade. Istopode ser evidenciado, segundo o primeiro método de Lyapu-nov, através da análise das raízes da equação característicado sistema, ou seja, pela análise dos autovalores da matriz deestados do sistema, conforme mostrado na Tabela 1.

Tabela 1: Autovalores Dominantes, Freqüência e Coeficientede Amortecimento (ζ).

Autovalores Freqüência (Hz) ζ

-0,2356± j 6,2956(Local 1)

1,0026 0,0374

-0,1585± j 5,8779(Local 2)

0,9358 0,0270

0,0460± j 4,1382(interárea)

0,6587 -0,0111

De acordo com os dados da Tabela 1, nota-se que o autovalorrelacionado ao modo de oscilação interárea é o responsávelpela instabilidade do sistema. Desta maneira, medidas de-vem ser tomadas para se tentar estabilizar o sistema de po-tência. Neste trabalho, a medida considerada é a inclusão docontrolador FACTS TCSC.

5 SIMULAÇÕES E RESULTADOS

Nesta seção são apresentados os resultados e simulações ob-tidos com a inclusão do modelo dinâmico do TCSC no sis-tema elétrico da Figura 6, onde o TCSC é inserido nas linhasde transmissão de maneira a verificar o melhor local para suainstalação, seu efeito sobre os autovalores do sistema devidoa diferentes localizações e o comportamento dinâmico do sis-tema quando submetido a pequenas perturbações.

5.1 Efeitos Sobre os Autovalores do Sis-tema Elétrico

Conforme descrito anteriormente, a localização mais efetivapara o TCSC pode ser obtida do cálculo dos resíduos da fun-ção de transferência entre a entrada e saída do controladorPOD.

A Tabela 2 mostra o módulo dos resíduos correspondentesaos autovalores, associados aos modos eletromecânicos lo-cais e interárea para as possíveis localizações do TCSC nosistema. Pode-se notar que a magnitude dos resíduos de-pende da localização do TCSC no sistema.

Tabela 2: Módulo dos Resíduos Associados aos Modos Ele-tromecânicos para diversas Localizações do TCSC.

LT Local 1 Local 2 Interárea

1 - 5 140,230 1,4993 20,201

2 - 6 274,220 0,2869 21,908

5 - 6 142,580 1,4028 20,018

6 - 7 1,3265 2,7771 166,520

7 - 8 0,7349 0,3717 27,869

9 - 8 5,0980 1,2624 137,990

3 - 9 6,1628 264,060 14,047

10 - 9 0,0917 154,860 18,388

4 - 10 0,0889 152,980 18,687

De acordo com a Tabela 2, a instalação do TCSC na área 1terá maior influência no modo local 1, sendo que no caso deinstalação na área 2 sobre o modo local 2. Nota-se tambémque as maiores influências sobre o modo interárea ocorremnas linhas 6-7 e 9-8. Isso pode ser explicado pelo fato deessas linhas serem uma extensão da linha de interligação, ouseja, constituem um caminho obrigatório para o fluxo inte-rárea. Porém, observa-se que essas linhas possuem os me-nores valores de reatância do sistema, limitando desta formaa faixa de compensação e deve-se, portanto, escolher outralinha de transmissão para a inclusão do TCSC (Sadikovic,2002). Com isto, a linha de interligação entre as barras 7 e 8torna-se a melhor localização para implementação do TCSC.

O TCSC pode fornecer melhorias consideráveis para a es-tabilidade dinâmica do sistema, conforme atesta a Tabela 3,que mostra os coeficientes de amortecimento dos modos lo-cais e interárea para as diversas localizações do TCSC. OTCSC realiza uma compensação de 10% da reatância da li-nha e seu modelo dinâmico é projetado conforme mostradona Seção 3.2.

Da Tabela 3 é evidente a relação entre a localização do TCSC


Tabela 3: Coeficientes de Amortecimento dos Modos Eletro-mecânicos para diversas Localizações do TCSC.

LT Local 1 Local 2 Interárea

1 - 5 0,5244 0,0276 0,0343

2 - 6 0,5327 0,0274 0,0241

5 - 6 0,5149 0,0276 0,0340

6 - 7 0,0383 0,0289 0,2430

7 - 8 0,0403 0,0288 0,2049

9 - 8 0,0413 0,0271 0,2272

3 - 9 0,0373 0,0063 -0,0281

10 - 9 0,0375 0,5428 0,0127

4 - 10 0,0374 0,5468 0,0129

e a inserção de amortecimento para os diferentes modos ele-tromecânicos de oscilação do sistema.

Analisando os dados da Tabela 3 nota-se que para a localiza-ção do TCSC entre as barras 6-7, 9-8 e 7-8, é inserida umamelhora semelhante nos três casos para o amortecimento domodo interárea. Porém, a instalação do TCSC nas linhas 6-7e 9-8 exige menor esforço do sistema de controle, pois o ga-nho do controlador se encontra na faixa de 0,05 pu enquantoque para a linha 7-8 este ganho é de 0,4 pu. Este fato podeser desejado, porém, como já mencionado, as linhas 6-7 e 9-8 possuem o menor valor de reatância do sistema (0,01 pu),enquanto que a linha entre as barras 7-8 possui reatância de0,073 pu.

Conclusões semelhantes podem ser obtidas com a análise dosfatores de participação do sistema. O fator de participação(pki) mostra a participação relativa da variável de estadokem um determinado modo de oscilaçãoi, sendo obtido pelamultiplicação entre os autovetores direito e esquerdo, con-forme mostra (31) (Kundur, 1994).

pki = ϕki ψik (31)

As Figuras 7 e 8 mostram os fatores de participação das va-riáveis de estado do sistema no modo local 1 e modo interá-rea, respectivamente. Tais figuras são obtidas com a inclusãodo TCSC na linha de interligação entre as barras 7 e 8.

Analisando as Figuras 7 e 8 nota-se que a reatância do TCSCparticipa ativamente no modo interárea representado pelaFigura 8, proporcionando maior amortecimento para essemodo de oscilação. De acordo com a Tabela 3 e a Figura7, devido o TCSC estar localizado na linha de interligação, omodo local 1 e local 2 são pouco afetados.

Figura 7: Fatores de Participação para o Modo Local 1

Figura 8: Fatores de Participação para o Modo Interárea

Simulações adicionais mostraram que o aumento indiscrimi-nado deKPOD pode levar o sistema de volta a um ponto deoperação instável. Para ganho na ordem de 7 pu, o par de au-tovalores complexos conjugados associados ao controladorse desloca para o eixo imaginário, tornando-se um par com-plexo conjugado com parte real positiva. Existe, portanto,uma faixa de ganhos onde se obtém o melhor desempenhodo sistema elétrico de potência no que se refere à estabili-dade a pequenas perturbações.

5.2 Efeitos Sobre o Comportamento Di-nâmico do Sistema Elétrico de Potên-cia

O sistema de energia elétrica é continuamente submetido apequenas variações de cargas, com os conseqüentes ajustesna geração, através da variação da abertura do dispositivo decaptação de água (no caso de usinas hidrelétricas), ocasio-


Figura 9: Comportamento Dinâmico do Ângulo Interno doGerador 3 Devido às Variações do Ganho KPOD

nando um aumento ou diminuição da potência mecânica deentrada dos geradores (Kundur, 1994). Em vista disso, paraa análise do desempenho dinâmico do sistema elétrico frentea uma pequena perturbação, considerou-se que para um pe-queno aumento na carga do sistema, corresponderá um pe-queno ajuste na geração. Este ajuste será aqui representadopor um degrau de 0,05 pu na potência mecânica de entradada unidade geradora 1.

Na Figura 9 é mostrado o comportamento do ângulo internoda máquina geradora 3 - pertencente à área 2, em relação aoângulo interno da unidade geradora 1 - pertencente à área 1,(ou de outra forma, a máquina 1 foi considerada referênciapara o sistema elétrico), após a ocorrência da perturbação.As diferentes curvas se referem ao caso base, à inclusão domodelo dinâmico do TCSC, cujos parâmetros foram mode-lados de acordo com a metodologia apresentada na seção 3.2e apresentados na Tabela 4 e por fim um aumento do ganhoestático (KPOD) do controlador.

Observando a Figura 9 vê-se que o ângulo interno da má-quina geradora 3 possui oscilações de amplitude crescentequando o sistema encontra-se sem o controlador TCSC. Po-rém, quando o controlador é inserido, as oscilações se tornamamortecidas e tendem para um valor final. Ainda de acordocom a Figura 9, o aumento do ganho do TCSC produz excur-sões maiores nas primeiras oscilações do ângulo interno damáquina geradora 3. Este fato é ocasionado pela diminuiçãono amortecimento do modo relacionado ao controlador, indi-cando que, conforme mostrado anteriormente, há uma limi-tação para o aumento do ganho, fato usual quando se aplicaatraso de fase através do controlador POD (Martins et al.,1996). As simulações mostraram as mesmas conclusões paraa máquina 4.

De maneira semelhante ao realizado para a máquina geradora

Tabela 4: Parâmetros do Controlador POD para o TCSC Ins-talado na Linha de Transmissão entre as Barras 7 e 8.

KPOD (pu) TW (s) T1=T3 (s) T2=T4 (s)

0.3300 1 0,0806 0,6914

Figura 10: Comportamento Dinâmico do Ângulo Interno doGerador 2 Devido às Variações do Ganho KPOD

3, foi obtida a Figura 10, referente à máquina geradora 2(pertencente à área 1).

Analisando-se as curvas da Figura 10, nota-se que a inclusãoda função de controle do TCSC leva o sistema a um pontode estabilidade, porém, aumentos do ganho do controladornão alteram substancialmente o comportamento dinâmico doângulo interno da máquina geradora 2. Tal fato pode ser ex-plicado pela localização do TCSC, que atua mais fortementeno modo de oscilação interárea, como pode ser visto a partirdos dados da Tabela 2 (resíduos).

No caso apresentado na Figura 10, a máquina 2 se encontrana mesma área que a máquina 1, máquina esta que sofre aperturbação. A máquina 2 sente, portanto, os modos locaisde oscilação, diferentemente da máquina 3, de área distinta,que sofre influência maior do modo de oscilação interárea.

Conclusões semelhantes podem ser obtidas através da aná-lise do comportamento dinâmico da velocidade angular, con-forme mostrado na Figura 11.

Na Figura 11 nota-se claramente a influência do aumento doganho do controlador nas oscilações da velocidade angularda máquina 3, em relação à velocidade angular da máquina1.

Na Figura 12 têm-se as variações do fluxo de potência ativanas linhas de transmissão (LT) 7-8, 6-7 e 5-6, devido inclusão


Figura 11: Comportamento Dinâmico da Velocidade Angu-lar da Máquina 3 Devido Variações do Ganho KPOD

Figura 12: Variações do Fluxo de Potência Ativa nas Linhasde Transmissão entre as Barras 7-8, 6-7 e 5-6.

do TCSC na LT 7-8. Observa-se que o TCSC fornece maioramortecimento para os fluxos de potência ativa nas linhas 7-8e 6-7. Isto ocorre pelo fato da linha 6-7 ser uma extensão dalinha de interligação 7-8, e portanto, ser percorrida obrigato-riamente pelo fluxo de potência interárea conforme descritoanteriormente.

6 CONCLUSÕES

Neste trabalho foram apresentados estudos sobre a melho-ria da estabilidade de sistemas de energia elétrica a peque-nas perturbações, quando da inclusão de um Capacitor Sé-rie Controlado a Tiristor. Sabe-se que em grandes sistemasinterligados, os modos eletromecânicos de oscilação são ge-ralmente responsáveis pela instabilidade do sistema elétrico.Portanto, quando grandes áreas geradoras são interligadaspor linhas longas de alta reatância, pode ser necessária arealização de compensação para se conseguir um ponto de

operação estável. Neste trabalho utilizou-se o controladorFACTS TCSC para realizar esta operação.

Da análise realizada através dos autovalores do sistema,concluiu-se que a compensação manual realizada não foi su-ficiente para levar o sistema à estabilidade. As simulaçõesmostraram que a estabilidade poderia ser obtida se a com-pensação manual fosse da ordem de 80% da reatância da li-nha, o que não corresponde à realidade. Compensações desteporte introduzem outros modos oscilatórios indesejáveis nosistema. Porém, quando um modelo dinâmico para o TCSCfoi introduzido notou-se a considerável melhora no amorte-cimento das oscilações, indicando que foi introduzido amor-tecimento positivo ao sistema elétrico.

Concluiu-se também que o aumento indiscriminado do ga-nho do TCSC não garante sempre pontos de operação está-veis, podendo inclusive, tornar o sistema instável.

Outro fato observado foi que a localização do TCSC influ-encia mais fortemente determinados modos de oscilação. Nocaso do sistema exemplo, com a instalação na linha de interli-gação o TCSC introduziu melhorias consideráveis no amor-tecimento do modo interárea e não dos modos locais. Asmesmas conclusões são obtidas pela análise do comporta-mento dinâmico das variáveis do sistema elétrico.

Do exposto, pode-se concluir que a escolha do valor do ga-nho e o local da inclusão do controlador TCSC, são de ex-trema importância para uma compensação que leve o sistemaa um ponto estável de operação, pela introdução de amorte-cimento positivo às oscilações eletromecânicas.

AGRADECIMENTOS

O presente trabalho foi realizado com ao apoio do Conse-lho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnológico –CNPq – Brasil.

REFERÊNCIAS

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APÊNDICE A

Coeficientes do Modelo de Sensibilidade de Potência Multi-máquinas.

A1Gk =E′

qkVk cos(δk − θk)

x′dk

+

V 2

k

[

1

xqk

− 1

x′dk

]

cos 2 (δk − θk) (A1)

A2Gk =Vksen(δk − θk)

x′dk

(A2)

A3Gk =E′

qksen(δk − θk)

x′dk

+

Vk

[

1

xqk

− 1

x′dk

]

sen2 (δk − θk) (A3)

R1Gk = −E′

qkVksen(δk − θk)

x′dk

−

V 2

k

[

1

xqk

− 1

x′dk

]

sen2 (δk − θk) (A4)

R2Gk =Vk cos(δk − θk)

x′dk

(A5)

R3Gk =E′

qk cos(δk − θk)

x′dk

− 2Vk

x′dk

−

Vk

[

1

xqk

− 1

x′dk

]

· [1 − cos 2(δk − θk)] (A6)

A1km =Rkm

Z2

km

VkVmsen(θk − θm)+

Xkm

Z2

km

VkVm cos(θk − θm) (A7)

A2km =Rkm

Z2

km

[2Vk − Vm cos(θk − θm)] +

Xkm

Z2

km

Vmsen(θk − θm) (A8)


A3km = −Rkm

Z2

km

Vk cos(θk − θm) +Xkm

Z2

km

Vksen(θk − θm)

(A9)

R1km = −Rkm

Z2

km

VkVm cos(θk − θm)+

Xkm

Z2

km

VkVmsen(θk − θm) (A10)

R2km = −Rkm

Z2

km

Vmsen(θk − θm)+

Xkm

Z2

km

[2Vk − Vm cos(θk − θm)] (A11)

R3km = −Rkm

Z2

km

Vksen(θk − θm) − Xkm

Z2

km

Vk cos(θk − θm)

(A12)

APÊNDICE B

Dados do sistema múltimáquinas utilizado (Sauer e Pai,1998).

Tabela A1 – Dados das Máquinas Geradoras

G1 G2 G3 G4

x’d(pu) 0,033 0,033 0,033 0,033

xq(pu) 0,19 0,19 0,19 0,19

xd(pu) 0,2 0,2 0,2 0,2

H (s) 54 54 63 63

D (pu) 0,1 0,1 0,1 0,1

T’do(s) 8 8 8 8

Tabela A2 – Dados do Regulador de Tensão

Variável G1 G2 G3 G4

Kr(pu) 200 200 200 200

Tr(pu) 0,001 0,001 0,001 0,001

Tabela A3 – Dados das Linhas de TransmissãoBarraInicial

BarraFinal

R(pu)

X (pu) B (pu)

1 5 0,001 0,012 -

2 6 0,001 0,012 -

7 8 0,022 0,22 0,33

7 8 0,022 0,22 0,33

7 8 0,022 0,22 0,33

6 7 0,002 0,02 0,03

6 7 0,002 0,02 0,03

4 10 0,001 0,012 -

3 9 0,001 0,012 -

9 8 0,002 0,02 0,03

9 8 0,002 0,02 0,03

5 6 0,005 0,05 0,075

5 6 0,005 0,05 0,075

10 9 0,005 0,05 0,075

10 9 0,005 0,05 0,075

Tabela A4 – Dados do Ponto de Operação – Caso Base.

BarraV

(pu)Ang.

(graus)PG

(MW)QG

(MVAr)PL

(MW)QL

(MVAr)

1 1,0 8,683 700 195,97 - -

2 1,0 -2,088 700 505,25 - -

3 1,0 -11,92 700 601,55 - -

4 1,0 0 744 236,08 - -

5 0,97 3,846 - - - -

6 0,93 -6,928 - - - -

7 0,88 -16,16 - - 1159 212

8 0,86 -26,57 - - 1575 288

9 0,92 -16,76 - - - -

10 0,97 -5,149 - - - -

Constante de tempo do Controlador TTCSC = 0,05 (s).


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