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Universidade de Brasília - UnB
Faculdade UnB Gama - FGA
Engenharia de Energia
Análise da Estabilidade Dinâmica em sistemas
elétricos por meio de interface gráfica.
Autor: Vinicius Siqueira
Orientador: Prof. Dr. Luis Filomeno de J. Fernandes
Brasília - DF
2016
Vinicius Siqueira
Análise da Estabilidade Dinâmica em sistemas elétricos por meio de interface
gráfica.
Monografia submetida ao curso de
graduação em Engenharia de Energia da
Universidade de Brasília, como requisito
parcial para obtenção do Título de
Bacharel em Engenharia de Energia.
Universidade de Brasília – UnB
Faculdade UnB Gama – FGA
Orientador: Prof. Dr. Luis Filomeno de J. Fernandes.
Brasília – DF
2016
Siqueira, Vinicius.
Análise da Estabilidade Dinâmica em sistemas elétricos por meio de
interface gráfica. /Vinicius Siqueira – Brasília-DF. 2016 –
53 p. : il. ; 30 cm.
Orientação: Prof. Dr. Luis Filomeno de Jesus Fernandes
Monografia (Graduação) – Universidade de Brasília -UnB
Faculdade UnB Gama - FGA, Brasília, 2016.
1.Estabilidade . 2.SEP . 3. Dinâmica. 4. Interface. 5.MATLAB.6.
Modelagem. I. Filomeno de Jesus Fernandes. Luis. III. Faculdade UnB
Gama. IV. Análise da Estabilidade Dinâmica no sistema elétrico por
meio de interface gráfica.
REGULAMENTO E NORMA PARA REDAÇÃO DE RELATÓRIOS DE PROJETOS
DE GRADUAÇÃO FACULDADE DO GAMA – FGA
Vinicius Siqueira
Monografia submetida como requisito parcial para obtenção do Título de Bacharel
em Engenharia de Energia da Faculdade UnB Gama - FGA, da Universidade de
Brasília, em __ de____________ de ____ apresentada e aprovada pela banca
examinadora abaixo assinada:
Prof. Dr. Luis Filomeno de J. Fernandes UnB/ FGA
Orientador
Prof. Dr. Flavio Henrique Justiniano Ribeiro da Silva
UnB/ FGA
Membro Convidado
Prof. Dr. José Felício da Silva UnB/ FGA
Membro Convidado
Brasília, DF 2016
Agradecimentos
A Deus por estar sempre ao meu lado, concedendo coragem para que eu pudesse
transpor minhas barreiras.
Aos meus pais Nilma e Benedito, por todo o suporte ao longo de minha vida, à
calma e compreensão com minha pessoa, e à minha irmã Carolina que também
sempre me apoiou.
À minha namorada Amanda e toda sua família também por me apoiarem em vários
momentos e sempre me dando suporte para que eu consiga concluir meus planos.
Ao professor Luis Filomeno de Jesus Fernandes, por aceitar me orientar nessa nova
etapa da vida acadêmica, além de sua amizade, paciência e inúmeros
ensinamentos.
A todos meus amigos da Universidade de Brasília, Edson Thiago, Eduardo Xavier,
Bruno Doberstein, Daniel Auler, Daniel Juswiak, Igor de Oliveira, Fellype Levi,
Eduardo Sampaio, Danilo Tosta, Mateus Ofredi. Campus Gama, que me
acompanharam nessa trajetória. Em especial um agradecimento póstumo ao amigo
Allan Saliba.
Aos meus amigos de Anápolis, minha cidade natal, que sempre me apoiaram no
meu crescimento.
Também agradeço aos novos amigos do Ministério Público Federal pelos
ensinamentos passados no período do estágio, tanto na Divisão de Sustentabilidade
quanto na Secretária de Engenharia e Arquitetura.
“ Vá confiante na direção dos seus sonhos. Viva a vida que você imaginou. ”
Henry David Thoreau.
(1817-1862)
Resumo
A estabilidade nos sistemas de potência representa um dos aspectos mais
importante para que as cargas (centro consumidoras) recebam energia elétrica com
qualidade e de modo ininterrupta. O estudo e monitoramento dos modos de
oscilação eletromecânicos providenciam a informação necessária para a análise da
estabilidade em um sistema elétrico de potência.
Este trabalho de conclusão de curso propõe-se um simulador gráfico para o estudo
de estabilidade dinâmica por meio de uma interface gráfica do MATLAB. Usa-se a
modelagem dos dispositivos dos sistemas de potência-gerador, reguladores de
tensão e de velocidade, e dos estabilizadores para, de modo didático, preparar os
estudantes sobre essa área do conhecimento.
Palavras-chave: Estabilidade, SEP, Dinâmica, Interface, MATLAB, Modelagem.
Abstract The stability of power systems is one of the most important aspects for the loads
(consumer center) receive electricity with quality and uninterrupted manner. The
study and monitoring of electromechanical oscillation modes provide the necessary
information for analysis of the stability of an electric power system.
This course conclusion work proposes a graphic simulator for the study of dynamic
stability through a graphical MATLAB interface. the modeling of devices of power-
generating systems, voltage regulators and speed is used, and stabilizers for,
didactic way, prepare students for this area of knowledge.
Keywords: Stability, SEP, Dynamic, Interface, MATLAB, modeling
Lista de Figuras Figura 1: Classificação dos problemas de estabilidade do SEP. .............................. 19
Figura 2: Diagrama fasorial que tem como referência os eixos síncronos D e Q ou os
eixos d e q da i-enésima máquina. ........................................................................... 35
Figura 3: Diagrama fasorial tendo como referência os eixos síncronos D e Q. ........ 35
Figura 4: Diagrama fasorial tendo como referência os eixos d e q da i-enésima
máquina. ................................................................................................................... 36
Figura 5: Diagrama fasorial da i-enésima máquina. ................................................ 36
Figura 6: Diagrama de blocos do sistema. ............................................................... 44
Figura 7: Diagrama de blocos do estabilizador com sinal de entrada de velocidade.
................................................................................................................................. 50
Lista de Tabelas Tabela 1: Tipos de barras para Fluxo de Carga. ...................................................... 26
Tabela 2: Conteúdo programático esperado para o segundo semestre do ano de
2016. ........................................................................................................................ 53
Lista de Siglas [∆𝐼𝑑]𝑛𝑔 𝑋1- Vetor coluna dos incrementos das componentes das correntes nos eixos
diretos das máquinas
[∆𝐼𝑞]𝑛𝑔 𝑋 1 - Vetor coluna dos incrementos das componentes das correntes nos eixos
quadratura das máquinas.
[𝐼]- Vetor coluna da corrente referente ao Eixo do sistema de referência.
[𝐿𝑞0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔e [𝑀𝑑0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔 - Matrizes de termos adimensionais.
[𝑃𝑞0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔- Matriz de termos correspondentes a correntes.
[𝑄𝑞0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔- Matriz de termos correspondentes as admitância.
[𝑠]- Vetor coluna da corrente referente ao Eixo do sistema de referência.
[𝛥𝐸𝑞′ ]
𝑛𝑔 𝑋 1- componentes de fluxo no eixo direto.
[∆𝛿]𝑛𝑔 𝑋 1 - Vetor coluna dos incrementos dos ângulos de torque das máquinas.
𝑞𝑖′ - Vetor coluna das tensões.
[𝐼𝑞] - Vetor das componentes das correntes nos eixos em quadratura.
[𝑇𝑑0′ ] - Matriz das constantes de tempo transitórias do eixo direto para o circuito de
campo em aberto.
∞- Escalar que representa o fasor da tensão da barra infinita.
𝑖𝑗- A admitância entre a i-enésima e j-enésima barra.
[𝑥𝑞]- Matriz de reatância do eixo em quadratura.
∆𝐸𝐹𝐷- Componente do fluxo de campo.
∆𝐼𝑖𝑑 - Incremento da corrente no eixo direto da i-enésima máquina.
∆𝐼𝑖𝑞- Incremento da componente da corrente no eixo em quadratura da i-enésima
máquina.
∆𝑇𝑒- Incremento do torque elétrico.
Ω𝑘 – Conjunto das barras vizinhas.
ө𝑘 - Ângulo da tensão nodal.
ө𝑘𝑚 – Defasagem angular do ramo km.
𝐵𝑘𝑚 – Suceptância do ramo km.
𝐺𝑘𝑚 – Admitância do ramo km.
𝐼𝑆- Corrente referente ao Eixo do sistema de referência.
𝐼𝑘 – Magnitude da corrente na barra k.
𝐾1𝑖𝑗, 𝐾2𝑖𝑗, 𝐾3𝑖𝑗, 𝐾4𝑖𝑗, 𝐾5𝑖𝑗 e 𝐾6𝑖𝑗 – Constantes de ganho do sistema.
𝐾𝑠- Ganho do estabilizador,
𝑀𝑖e 𝐷𝑖- Atritos viscosos.
𝑃𝑘 - Geração líquida de potencia ativa.
𝑃𝑘 – Potência ativa da barra k.
𝑄𝑘 - Injeção líquida de potência reativa.
𝑄𝑘 – Potência reativa da barra k.
𝑆𝑘∗ - Potência aparente da barra k.
𝑇1, 𝑇2, 𝑇3e𝑇4- Constantes de tempo dos compensadores de avanço de fase,
𝑇𝑒 – Torque elétrico Trifásico.
𝑉𝑆- Tensão terminal referente ao Eixo do sistema de referência.
𝑉𝑑- Tensão no terminal da máquina no Eixo direto.
𝑉𝑘 - Magnitude da tensão nodal da barra k.
𝑉𝑛 – Magnitude da tensão nodal da barra n.
𝑉𝑞- Tensão no terminal da máquina do eixo de quadratura.
𝑉𝑡 - Tensão nos terminais da máquina.
𝑌𝑘𝑘 – Admitância própria da barra k.
𝑌𝑘𝑛 – Admitância do ramo kn.
𝑑𝑖 – eixo direto da i-enésima máquina.
𝑓1, 𝑓2, 𝑓𝑛- Funções do sistema.
𝑞𝑖 – eixo de quadratura da i-enésima máquina.
𝑥10, 𝑥2
0, 𝑥30, …… . , 𝑥𝑛
0 – Estimativas iniciais.
𝛿𝑖- Ângulo que vai do eixo de quadratura do ESR ao 𝑞𝑖.
[𝑥𝑑′ ]- Matriz de reatância do eixo direto.
[∆] - Vetor das derivadas no tempo das variáveis de estado.
[∆𝑋] - Vetor de variáveis de estado do sistema.
[A] – Matriz de estado.
∆𝑋5e ∆𝑋6- Variáveis de estado (incluídas pelo estabilizador)
∆𝑢𝑒(𝑠)- Incremento do sinal de controle suplementar.
ESR- Eixo do sistema de referência.
FACTS - Flexible AC Transmission Systems.
GPS - Global Positioning System.
H - Momento de inércia da máquina.
I – Corrente.
NB – Número de barras do sistema.
PMU - Phasor Measurement Systems.
PQ – Barras de Carga.
PSS - Power System Stabilizers.
pu – Sistema por unidade.
PV – Barras de Geração.
rms – roots means square (valor eficaz).
SEP - Sistema Elétrico de Potência.
V – Tensão da barra.
V0 – Barras de Referência ou Slack.
Y – Admitância.
δ- Ângulo de Carga.
ΔQ – Diferença dos valores calculados e os especificados.
𝐷- Matriz do conjunto de equações.
𝐽 – Matriz Jacobiana.
𝑅- Vetor de Variações.
𝑇- Constante de tempo do derivador,
𝛥𝑥1, 𝛥𝑥2, 𝛥𝑥3,... 𝛥𝑥𝑛 – Correções das estimativas iniciais.
휀 – Valor determinado como parâmetro de fim de teste.
𝜔 – Velocidade angular da máquina.
Sumário 1- Introdução ............................................................................................................ 17
1.1-Histórico ............................................................................................................. 17
1.2- Tipos de Fenômenos de Estabilidade ............................................................... 18
1.2.1- Estabilidade Angular ....................................................................................... 19
1.2.2- Estabilidade de Tensão .................................................................................. 20
1.3- Classificações dos estudos de estabilidade.................................................... 21
1.3.1 Estabilidade Transitória ................................................................................... 21
1.3.2 Estabilidade Dinâmica ..................................................................................... 22
1.3.3 Uso da Estabilidade Dinâmica nos Sistemas de Potências Modernos ............ 22
1.4-Conclusão .......................................................................................................... 23
2- Fluxo de Carga ..................................................................................................... 25
2.1 Introdução ........................................................................................................... 25
2.2 Tipos de algoritmos de análise de fluxo de carga ............................................... 26
2.2.1- Método de Gauss ........................................................................................... 26
2.2.2 Método de Gauss-Seidel ................................................................................. 27
2.2.3 – Método de Newton........................................................................................ 28
2.2.4 – Método de Newton Raphson ........................................................................ 28
2.3– Modelo Matemático/ Físico do Newton-Raphson ............................................. 29
2.4 – Algoritmo de Newton-Raphson ........................................................................ 33
2.5 - Conclusão ........................................................................................................ 33
3 – Modelagem do Sistema ...................................................................................... 34
3.1 – Eliminação da barra infinita. ............................................................................ 34
3.2- Sistemas de referência e notações. .................................................................. 34
3.3 – Correntes nas máquinas .................................................................................. 36
3.4 - Linearização das equações de corrente ........................................................... 40
3.5 - Determinação de 𝑲𝟏𝒊𝒋 e 𝑲𝟐𝒊𝒋 .......................................................................... 43
3.6 - Determinação de 𝑲𝟑𝒊𝒋 e 𝑲𝟒𝒊𝒋 .......................................................................... 45
3.7 - Determinação de 𝑲𝟓𝒊𝒋 e 𝑲𝟔𝒊𝒋 .......................................................................... 46
3.8 – Formação da matriz estado A .......................................................................... 47
3.9- Modelo de Heffron-Phillips com estabilizadores. ............................................... 49
3.9.1 – Modelo Mulltimáquinas. ................................................................................ 49
3.9.2 – A matriz do sistema com inclusão do sinal adicional. ................................... 51
3.9.3- Conclusões. .................................................................................................... 52
4 – Etapas Futuras. .................................................................................................. 53
4.1 – Desenvolvimento. ............................................................................................ 53
4.2 – Programação. .................................................................................................. 53
5 – Referências. ....................................................................................................... 55
17
1- Introdução Em um sistema de potência interligado existem várias máquinas elétricas, linhas de
transmissão, cargas das mais diversas naturezas tais como industriais, comerciais e
residenciais.
Para a operação correta e continua dos sistemas elétricos de potência (SEP) alguns
estudos são efetuados off-line, como a análise de curto-circuito, regulação de
tensão, e principalmente de estabilidade.
Na atualidade, com o incremento das linhas de transmissão das áreas produtoras de
energia que distam dos grandes centros consumidores, e aliados a isso existem
restrições ambientais que impedem a construção e expansão de novas instalações
elétricas, têm surgido dificuldades de operação e monitoramento dos SEP’s. Assim,
metodologias para o controle e supervisão dos sistemas elétricos vêm sendo
desenvolvidos [1, 2].
O principal componente dos SEP’s são as máquinas (geradores) esses em
funcionamento originam ou são submetidos à oscilações eletromecânicas locais ou
remotas (inter-áreas) provocadas pelas interações entre as maquinas instaladas na
mesma planta (usina) ou geradores de outras usinas [3]. As naturezas das
oscilações são: as pouco amortecidas e as bem amortecidas. As oscilações de
pouco amortecimento, ou ainda instáveis, colocam em perigo a operação do
sistema, levam a restrição do fluxo de potência nas interconexões de transmissão e
podem levar o sistema ao colapso [4]. Contudo, as oscilações bem amortecidas são
as mais presentes nos SEP’s na maioria do tempo de operação destes [4].
Para a análise de estabilidade nos SEP’s efetuam-se estudos transitórios (grandes
perturbações) e dinâmicos (pequenas perturbações). No estudo da estabilidade a
pequenas perturbações enfatizam-se as oscilações eletromecânicas que se baseia
na técnica de análise de sistemas lineares [2, 5].
Nas ultimas duas décadas com o surgimento de processadores potentes, do sistema
de posicionamento global (Global Positioning System- GPS) e da transmissão de
dados através da Internet, surgiram as PMU’s ( Phasor Measurement Systems) que
tem dado uma contribuição expressiva nos estudos de oscilações eletromecânicas
bem como novos métodos para estudar esse assunto [6,7].
1.1-Histórico Desde os primórdios da humanidade sempre existiu uma necessidade muito grande
por uma fonte de energia, ao qual pudesse se obter conforto e melhor qualidade de
vida.
18
A energia elétrica representa um importante papel no que tange o desenvolvimento
humano como fonte de bem estar, contribuindo, assim, para uma melhoria
considerável no desenvolvimento social [15].
O aumento do dos setores industriais e econômicos foram acompanhados também
pela demanda de energia elétrica. Sendo assim, para suprir essa procura os
sistemas de potência tiveram que ser expandidos; sistemas que eram isolados foram
se interconectando, aumentando a confiabilidade no serviço de atendimento à
demanda desse insumo [15].
Porém com a incorporação de sistemas isolados, e por consequência as criações
desses novos sistemas trouxeram a tona, com o intercambio de energia, problemas
que antes não eram observados. Dentre esses problemas está o de estabilidade
[15].
Desde a década de 20 que problemas relacionados com a estabilidade de sistemas
de potência, são tidos como importantes variáveis no que diz respeito à segurança
de operação de sistemas [1].
Para que se possa ter uma ideia da importância desse parâmetro, muitos dos
grandes apagões foram causados devido à instabilidade dos sistemas de potência
[1, 15].
Segundo [1], definir e classificar problemas relacionados com a estabilidade de
sistemas de potencia já é considerado antigo, porém ainda não são refletidos de
forma completa nas atuais necessidades, experiências e entendimentos da indústria,
as definições não apresentam tanta precisão e as classificações não estão em
conformidades com todos os cenários possíveis de estabilidade.
A estabilidade pode ser dita como o equilíbrio de forças opostas. Pode ser definida
também como sendo a capacidade de um sistema, para certa condição de operação
inicial, de se recuperar a um estado de equilíbrio operacional após ter sido
submetido a alguma perturbação física, sendo que todas as grandezas estão dentro
dos limites de operação.
A definição acima pode ser aplicada a um sistema interligado na sua totalidade, no
entanto também inclui a instabilidade e tempo útil de desconexão de um elemento
(gerador), que sem ele o sistema se torna instável [5].
1.2- Tipos de Fenômenos de Estabilidade Os SEP’s modernos devido a sua complexidade são sistemas que possuem ordem
elevada, composto de inúmeras variáveis derivadas dos componentes
eletromecânicos e eletrônicos, que com suas atuações influenciam o desempenho
dos sistemas. Em condições normais de operação esses sistemas são modificados
devido ao chaveamento de cargas, podendo causar mudanças na topologia destes e
19
ocasionar desequilíbrio que podem consequentemente originar algum tipo de
instabilidade.
Assim, existem três tipos principais de categorias de estabilidade de sistemas de
potência, a estabilidade angular, estabilidade de tensão e a estabilidade de
frequência. Nas próximas sub-seções se fará um detalhamento destas categorias de
estabilidade [1].
Uma das formas de classificar os problemas envolvendo estabilidade é apresentado
na Figura 1. Nela estão classificadas cada tipo de estabilidade.
Figura 1: Classificação dos problemas de estabilidade do SEP.
1.2.1- Estabilidade Angular Este tipo de estabilidade esta relacionado aos sinais transitórios chamados
“ringdown”, devido a grandes perturbações, como curtos-circuitos, a perda de algum
equipamento (gerador, transformador, etc).
O estudo do problema de estabilidade angular envolve o estudo das oscilações
eletromecânicas inerentes aos geradores de potência, onde o principal fator é o
ângulo das máquinas síncronas quando variam com as oscilações dos rotores [4].
A essência da estabilidade angular está relacionada à capacidade da máquina em
manter o equilíbrio entre o torque eletromagnético e o torque mecânico, ocorrendo à
instabilidade quando esse equilíbrio for perdido, fazendo com que aumentem as
oscilações angulares e isso levará a perda do sincronismo e consequentemente a
instabilidade do sistema.
A estabilidade do sistema de potência é uma função entre a potência e a variação da
posição angular do rotor, sendo essa uma relação não linear [1].
20
1.2.2- Estabilidade de Tensão Na ocorrência de alguma perturbação num sistema elétrico ocorre sempre o
aumento ou decréscimo da tensão aos terminais dos geradores e/ou das barras do
sistema. Desta maneira, esse fenômeno é de uma importância relevante na fase de
estudos e de operação.
A estabilidade de tensão pode ser dita como a capacidade de um sistema de
potência em manter suas tensões constantes em todas as barras do sistema após
ser submetido a algum tipo de perturbação a partir de uma dada condição de
funcionamento inicial [1, 5, 19, 20].
A capacidade de manter ou restaurar o equilíbrio entre demanda e fornecimento de
carga do sistema é um dos principais fatores de dependência desse tipo de
estabilidade [1, 5, 19, 20].
A queda progressiva das barras de tensões de um sistema pode ser associada com
a estabilidade angular. Para suprir esse desequilíbrio, alguns equipamentos como
reatores shunt, capacitores e dispositivos FACTS são alocados nas barras e/ou nas
linhas de transmissão. Ou seja, o aumento da instabilidade angular leva a
instabilidade da tensão e por consequência do sistema.
A estabilidade de tensão justifica-se, pois os sistemas atuais trabalham em seus
limites, e é de importância vital ao planejamento de longo prazo se considerar os
efeitos de sobrecarga e possíveis instabilidades de ângulo [8]. A crescente demanda
de consumo faz com que os sistemas tendam a operar em seus limites, e para
mitigar os problemas que possam causar o colapso ou instabilidade, alguns
equipamentos têm sido instalados, como por exemplo, FACTS [9], visando melhorar
os níveis de tensão nas redes.
1.2.3- Estabilidade de Frequência
A observação do comportamento da frequência permite inferir sobre o modo de
funcionamento das máquinas de um sistema elétrico. Nos estudos e na operação
dos sistemas essa variável elétrica varia numa estreita faixa o qual não deve sair,
pois acarretará a perda de sincronismo de algumas máquinas.
Em condição normal a frequência dos geradores deve permanecer no seu valor
nominal. Na ocorrência de alguma falta essa variável varia, mas deverá se
estabilizar no seu valor nominal.
Esse tipo de estabilidade pode ser dito como a habilidade do sistema de potência
em se manter estável dentro dos parâmetros da frequência em uma faixa nominal,
em função de uma brusca oscilação no sistema [1, 5, 20].
A situação de estabilidade é dependente intimamente da capacidade do sistema em
restaurar o balanço entre geração e carga com um mínimo de perda de carga.
21
Geralmente esses problemas estão ligados às inadequadas respostas de
equipamentos, fraca coordenação de controles e equipamentos de proteção ou
reserva de geração insuficiente [1, 20].
Perturbações nos sistemas geralmente resultam em grandes excursões de
frequência, fluxo de potência, voltagem e outras variáveis do sistema, requerendo a
atuação de controladores e do sistema de proteção [1].
Em sistemas multi-máquinas é frequente nos proverem com uma cadeia de proteção
que garantam o máximo de fornecimento de energia, com o mínimo de perdas de
unidades geradoras. Quando possível separam-se alguns subsistemas formando
“ilhas” que podem fornecer energia a partes do subsistema mantendo a estabilidade
de ambos. A estratégia deste tipo de análise foca-se na análise de sub frequência ou
sobre frequência.
1.3- Classificações dos estudos de estabilidade Na análise de estabilidade angular, dois tipos de caso são considerados: pequenas
perturbações, o que está relacionado com a estabilidade dinâmica e grandes
perturbações ou “ringdown” que refere-se a estabilidade transitória.
A diferença significativa entre elas está na representação matemática do sistema.
Na primeira considera-se um sistema linearizado enquanto que na segunda o
modelo usa equações diferenciais dependentes do tempo.
1.3.1 Estabilidade Transitória Na estabilidade transitória a natureza do distúrbio tem um impacto significativo nos
parâmetros que dele dependem. Este tipo de estabilidade angular se caracteriza por
um evento rápido de curta duração tais como a queda de uma árvore sobre uma
linha de transmissão, um curto-circuito ou a perda de um equipamento como um
gerador.
Nesse tipo de estabilidade a análise se baseia no comportamento angular no tempo,
de modo a avaliar se as oscilações inerentes à falta são de natureza crescente ou
decrescente.
A análise desse tipo de estabilidade exige uma modelagem detalhada do sistema, o
que inclui as características transitórias detalhadas dos geradores [20]. Os modelos
matemáticos usados na representação de estabilidade transitória são complexos e
usam parâmetros que variam com o tempo. No referente ao intervalo de tempo de
interesse em estudos de estabilidade transitória, o mesmo é geralmente de 3 a 5
segundo seguintes a perturbação, podendo se estender a ate 20 segundos para
sistemas muito grandes [1].
22
Em [9], foi proposto um simulador gráfico utilizando a interface gráfica (GUI- Guide
User Interface) do Matlab para ensino de análise transitória. Dando prosseguimento
a anterior, neste trabalho propõe-se uma interface gráfica para estudos de
estabilidade a pequenos sinais, para fins didáticos.
1.3.2 Estabilidade Dinâmica Segundo Kundur [4]. et al, esse tipo de estabilidade é considerado de modo
diferente, segundo os autores e localização geográfica de seus países.
Para este trabalho se adota o conceito da literatura, onde a estabilidade dinâmica
significa como o estudo de pequenas perturbações.
Ao contrario da estabilidade transitória, a estabilidade dinâmica é ocasionada por
pequenas perturbações no sistema, como pequenas variações de carga que vão
ocorrendo ao longo do dia e que acarretam em ajustes na geração [4].
Do ponto de vista matemático, uma pequena perturbação pode ser definida como
um pequeno desvio em torno do ponto de operação do sistema, sendo assim todas
as equações que descrevem o sistema pode ser linearizado em torno de um ponto
de equilíbrio [4].
Em análise off-line ou em sistemas em operação (real time) o objetivo é estudar os
modos de oscilação eletromecânicos, ou seja, a obtenção dos autovalores, que são
as raízes de um sistema linear. Esses nos SEP’s aparecem na forma de pares
complexos conjugados, devendo possuir parte real negativa para que ocorra a
estabilidade. Muitas técnicas para análise de pequenas perturbações têm sido
apresentadas [2, 5, 7, 10, 11, 12].
1.3.3 Uso da Estabilidade Dinâmica nos Sistemas de
Potências Modernos A análise da estabilidade, historicamente, tem sido o problema de maior
predominância na maioria dos sistemas, atraindo assim maior parte da atenção da
indústria [1].
O maior destaque se dá a estabilidade angular no geral e em particular a
estabilidade dinâmica. Conceitualmente, essa análise baseia-se no equilíbrio entre
torque eletromagnético de saída e o torque mecânico de entrada em um gerador, de
maneira que a velocidade de rotação do rotor e do motor primário permaneça
constante. Tão logo ocorra uma perturbação o rotor pode acelerar ou frear
dependendo das leis de aceleração. Se aumentar a diferença angular reduz a
transferência de potência e pode originar a perda da estabilidade. Assim o estudo de
estabilidade do ângulo divide-se em estabilidade transitória e estabilidade dinâmica,
de acordo com a Figura 1.
23
No segundo tipo de estabilidade, que é o objetivo desse trabalho, considera-se que
o sistema deverá permanecer em sincronismo quando submetido a pequenas
variações de carga em torno do seu ponto de operação, de tal maneira que a
relação potência ângulo que é não linear possa ser considerada linear. Dessa
maneira a análise de estabilidade dinâmica de um SEP se faz usando um modelo
linearizado.
Esse tipo de estabilidade esta relacionado ao fraco amortecimento das oscilações
eletromecânicas. Essa característica dos modos podem ser amortecidos com o uso
de PSS (ESP) ou estabilizadores de sistemas de potência. Esses dois dispositivos
adicionam sinais que excitam os geradores. Atualmente dispositivos FACTS são
incorporados aos sistemas elétricos contribuindo para o amortecimento das
oscilações e melhorando o perfil de tensão dos sistemas [4].
Em estudos de projeto de expansão, esta análise influencia nas tomadas de decisão
das possíveis configurações de geração e carga da futura expansão do sistema. Ou
até mesmo nas próprias indústrias geradoras da Eletricidade, estudando formas de
obter os ajustes mais eficientes relacionados com parâmetros de reguladores de
velocidade e controladores que estão ligados nos sistemas de excitação [1].
Com a evolução desses sistemas e por consequência o aumento contínuo de
interligações, o uso de novas tecnologias para o mantimento do controle e o
aumento de processos em condições adversas, trouxeram novos estudos trazendo a
tona novos tipos de estabilidade [1].
O estudo da estabilidade dinâmica pode ser atribuído a sistemas de potência
modernos, como por exemplo, a estabilidade dinâmica de máquinas síncronas, que
é um problema envolvendo o comportamento do ângulo de carga (δ) e da velocidade
do rotor quando deparados com pequenas perturbações [18].
Para análise de estabilidade dinâmica, um pré-requisito é o estudo estático da rede
elétrica. Para esse fim, existem alguns métodos de resolução que se pode utilizar,
tais como, os métodos de Gauss, Gauss-Seidel, Newton e Newton-Raphson. Que
serão mais bem exemplificados em outras seções.
A estabilidade dinâmica envolve modos locais e globais já descritos anteriormente.
Realça-se que as frequências dos modelos locais estão na faixa de 1 a 2 Hz,
enquanto que as frequências dos modos globais ou inter-áreas encontram-se na
faixa de 0,1 a 1Hz [13]. São os estudos destes modelos obtidos e mostrados
graficamente que são o objeto desse trabalho.
1.4-Conclusão Neste capítulo são apresentados os tipos de estabilidade nos sistemas elétricos. Foi
destacada a estabilidade do rotor associada a pequenas perturbações. Apresentou-
24
se de modo resumido a bibliografia estudos dos modelos de oscilações
eletromecânicos em SEP’s usando dados de simulação.
No próximo capitulo será apresentado o fluxo de carga, que fornece os dados
estáticos sobre um dado momento do SEP e que a partir do qual se fará o estudo da
estabilidade dinâmica.
25
2- Fluxo de Carga Neste capítulo será apresentada uma breve introdução sobre o fluxo de carga, os
métodos Gauss, Gauss-Seidel, Newton e Newton-Raphson para análise de fluxo de
carga, o modelo matemático que será utilizado na continuação do trabalho e
apresentação do algoritmo de cálculo.
2.1 Introdução Desde níveis de operação até níveis de planejamento e expansão das redes
elétricas, o desenvolvimento de metodologias para o cálculo do fluxo de carga é de
extrema importância na análise de sistemas elétricos de potência.
Segundo [22], uma ferramenta que é utilizada com bastante frequência no estudo de
sistemas de potência é o cálculo das condições de operação do sistema em regime
permanente, que também pode ser chamado como “cálculo do fluxo de carga”, para
uma dada condição de carga e geração.
Em uma rede de energia elétrica o cálculo de fluxo de carga, ou também chamado
fluxo de potência, pode ser definido essencialmente como a determinação do estado
da rede, distribuição dos fluxos e de algumas outras grandezas [23].
Problemas que envolvem fluxo de potência requerem a modelagem do sistema
como sendo estática, isso significa que a rede é representada por um conjunto de
equações e inequações algébricas [23].
A carga ou a potência em um SEP apresenta uma variação aleatória e, por essa
razão, o que se tem conhecimento são valores médios estimados para uma hora
determinada do dia. Devido a isto a carga pode ser interpretada como uma
perturbação para o sistema [23].
Sendo assim o cálculo de fluxo de carga consiste basicamente na obtenção das
condições de operação (magnitude e fase das tensões nas barras do sistema, fluxos
de potência nas linhas de transmissão e transformadores) de uma rede elétrica dada
em função da sua topologia e de níveis de geração de potência e demanda [24].
Segundo [23], a formulação mais simples do problema, ou seja, a formulação básica
a cada barra da rede é associada a quatro variáveis. Sendo elas:
𝑉𝑘 - Magnitude da tensão nodal da barra k.
ө𝑘 - Ângulo da tensão nodal.
𝑃𝑘 - Geração líquida de potencia ativa.
𝑄𝑘 – Injeção líquida de potência reativa.
Dependendo das variáveis que entram como dados e as considerações tomadas
como incógnitas, podem-se definir três tipos de barras. As barras de carga, as
barras de geração e as barras de referência [22].
26
A barra de carga representam as subestações de energia elétrica nas quais estão
conectadas as cargas do sistema elétrico. Por sua vez a barra de geração
representa as instalações que possuem geradores que podem realizar o controle da
sua tensão por intermédio da injeção de potência reativa. E a barra de referência,
muitas vezes denominada como slack, dentre as três é a única com importância
para a formulação do problema em função de suas características que podem
fornecer um ângulo de referência e fechar o balanço de potência do sistema [22].
A Tabela 1 adaptada de [22] demonstra os três tipos de barras com suas respectivas
notações, dados de entradas e incógnitas a serem avaliadas.
Tabela 1: Tipos de barras para Fluxo de Carga.
Tipo de Barras Notação Dados Incógnitas
Barras de Carga PQ 𝑃𝑘 𝑒 𝑄𝑘 𝑉𝑘 𝑒 ө𝑘 Barras de Geração PV 𝑃𝑘 𝑒 𝑉𝑘 𝑄𝑘 𝑒 ө𝑘 Barras de referência V0 𝑉𝑘 𝑒 ө𝑘 𝑃𝑘 𝑒 𝑄𝑘
2.2 Tipos de algoritmos de análise de fluxo de carga Com o decorrer dos anos os SEP’s foram se tornando mais complexos, havendo
assim uma necessidade de métodos de resolução mais robustos e eficientes. Dentre
os vários métodos podem-se citar quatro, sendo eles: método de Gauss, método de
Gauss-Seidel, método de Newton e método de Newton-Raphson.
As equações básicas do fluxo de carga são obtidas impondo-se a conservação das
potências ativa e reativa em cada nó da rede, isto é, a potência líquida injetada tem
de ser igual à soma das potências que fluem pelos componentes internos que tem
este nó com um de seus terminais [23].
Como foi mencionado anteriormente, os problemas de fluxo de carga podem ser
formulados por um sistema de equações e inequações algébricas não lineares que
servem como analogia às leis de Kirchhoff e a um conjunto de restrições
operacionais da rede elétrica e de seus componentes [23]. As respostas obtidas
pelos métodos podem ser de dois tipos, diretas ou interativas.
A seguir são descritos as metodologias utilizadas na análise de fluxo de potência
nos SEP’s.
2.2.1- Método de Gauss É semelhante ao processo de eliminação de Gauss, onde na matriz de estado que é
montada com as admitâncias e tensões da barra, esperando como resultado as
correntes. Como dito acima pode ser relacionada com as leis de Kirchhoff e obedece
a forma:
27
𝐼 = 𝑌𝑉 (2.1).
Onde I é a corrente injectada nas barras, Y as admitância de linhas e V a tensão das
barras.
É feito a eliminação das barras onde existe fonte de corrente, porém esse método
também é válido para problemas que não apresentam fonte de corrente na barra
que será eliminada.
Esse método pode ser dividido em dois passos. O primeiro consiste na normalização
da primeira equação, transformando a matriz do sistema em uma matriz triangular
superior. Já o segundo passo é a eliminação da variável pivotada nas outras
equações encontrando o valor de uma variável que pelo método da retrosubstituição
pode-se determinar as outras variáveis de interesse.
2.2.2 Método de Gauss-Seidel De maneira semelhante ao método de Gauss, a modelagem de Gauss-Seidel
trabalha com as equações de estado de um SEP, porém de maneira diferente do
método de Gauss que é obtido de maneira direta, o método de Gauss Seidel é
obtido de maneira interativa [23].
A equação de interação do método Gauss-Seidel pode ser obtido por meio de (1).
Sabe-se que
IV kk
**
kS (2.2).
Substituindo (1) em (2), e considerando a primeira lei de Kirchhoff, a soma de todas
as correntes encontra-se a equação:
NB
nkkkknknk
k
VYVVYV )(***
kS (2.3).
Onde Ω𝑘, é o conjunto das barras vizinhas e NB é o número de barras do sistema.
Então a tensão 𝑉𝑘 é obtida pela equação:
nnkn
k
k
kk
k VYV
SY
V *
*
1 (2.4).
E a partir dessa equação é feito algumas interações até que o valor comece a
convergir a um valor especificado (휀) através da relação apresentado na equação a
seguir
𝛥𝑉𝑘 = |𝑉𝑘𝑖 − 𝑉𝑘
(𝑖−1)| < 휀 (2.5).
28
2.2.3 – Método de Newton O método de Newton se baseia também nas leis de Kirchhoff e no teorema de
Tellegen, o que garante a conservação da potência complexa na rede. Admitindo
assim a conservação de potências ativa e reativa nos nós da rede [25]. Portanto as
potencias ativas e reativas podem ser escritas como:
senBGVVP kmkmkmkmMeK
mkk cos (2.6).
cos kmkmkmkmMeK
mkk BsenGVVQ (2.7).
Onde 𝑃𝑘 𝑒 𝑄𝑘 são as potências ativas e reativas da barra k, respectivamente, 𝑉𝑘 𝑒 𝑉𝑚
são as magnitudes das tensões nas barras k e m, G e B são as admitância e
suceptância do ramo km e ө𝑘𝑚é a defasagem angular entre as barras.
Esse modelo assim como o de Gauss-Seidel é de múltiplas interações até que o
valor venha a convergir a um valor menor a outro previamente especificado,
obedecendo a (2.5).
2.2.4 – Método de Newton Raphson É um método interativo, requer que o usuário inicie o processo fixando uma
estimativa inicial da solução. É uma estratégia complicada, se uma noção da
solução não estiver ao alcance, por esse motivo os métodos de Gauss e de Gauss-
Seidel são utilizados como condições iniciais para uma partida segura desse
método. Porém problemas envolvendo fluxo de carga, as magnitudes das tensões
na barra são aproximadamente iguais a 1pu. Sendo assim pode-se adotar esse valor
para se iniciar esse procedimento.
O método de Newton-Raphson possibilita o cálculo das raízes do conjunto de
equações, a partir de um ponto fixo.
Dentre os quatro métodos apresentados, o que é mais utilizado é o de Newton-
Raphson, por apresentar maior robustez e precisão nas respostas. Todos os outros
métodos apresentam problemas relativos ao tamanho da matriz, o que se faz
necessário uma grande quantidade de memória, aumentando o custo da montagem
da matriz, ou problemas com a lentidão do processo [24].
O método de Newton-Raphson é mais eficiente para grandes sistemas de potência.
A principal vantagem deste método é que o número de interações necessário para
obter a solução é independente do tamanho do problema e computacionalmente é
mais rápido.
29
2.3– Modelo Matemático/ Físico do Newton-Raphson O método de Newton-Raphson pode ser definido como um conjunto de equações:
𝑦1 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛)
𝑦2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛)
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (2.8).
𝑦𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛)
Tendo como estimativa inicial da solução o seguinte vetor de variáveis do sistema:
𝑥10, 𝑥2
0, 𝑥30, …… . , 𝑥𝑛
0 (2.9).
Se considerarmos que 𝛥𝑥1, 𝛥𝑥2, 𝛥𝑥3,... 𝛥𝑥𝑛 são as correções das respectivas
estimativas iniciais, tem-se que:
𝑦1 = 𝑓1(𝑥1(0)
+ Δx1, 𝑥2(0)
+ Δx2, 𝑥3(0)
+ Δx3, ………𝑥𝑛(0)
+ Δx𝑛)
𝑦2 = 𝑓2(𝑥1(0)
+ Δx1, 𝑥2(0)
+ Δx2, 𝑥3(0)
+ Δx3, ………𝑥𝑛(0)
+ Δx𝑛)
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (2.10).
𝑦𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥1(0)
+ Δx1, 𝑥2(0)
+ Δx2, 𝑥3(0)
+ Δx3, ………𝑥𝑛(0)
+ Δx𝑛)
Cada equação abaixo pode ser expandida por série de Taylor, e se
desconsiderarmos os termos de ordem mais elevada teremos:
𝑦1 = 𝑓1[(𝑥1(0)
, 𝑥2(0)
, 𝑥3(0)
, …… . 𝑥𝑛(0)
) + (Δx1
𝜕𝑓1𝜕𝑥1
0 + ⋯+ Δx𝑛
𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛
0]
𝑦2 = 𝑓2[(𝑥1(0)
, 𝑥2(0)
, 𝑥3(0)
, …… . 𝑥𝑛(0)
) + (Δx1
𝜕𝑓1𝜕𝑥1
0 + ⋯+ Δx𝑛
𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛
0]
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (2.11).
𝑦𝑛 = 𝑓𝑛[(𝑥1(0)
, 𝑥2(0)
, 𝑥3(0)
, …… . 𝑥𝑛(0)
) + (Δx1
𝜕𝑓1𝜕𝑥1
0 + ⋯+ Δx𝑛
𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛
0]
Na notação matricial podemos reescrever esse conjunto de funções como:
[ 𝑦1 − 𝑓1(𝑥1
(0), 𝑥2
(0), 𝑥3
(0), ……𝑥𝑛
(0))
𝑦2 − 𝑓2(𝑥1(0)
, 𝑥2(0)
, 𝑥3(0)
, ……𝑥𝑛(0)
)
⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑦𝑛 − 𝑓𝑛(𝑥1(0)
, 𝑥2(0)
, 𝑥3(0)
, ……𝑥𝑛(0)
)]
=
[
𝜕𝑓1
𝜕𝑥10
𝜕𝑓1
𝜕𝑥20 …
𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑛0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝜕𝑓2
𝜕𝑥10
𝜕𝑓2
𝜕𝑥20 …
𝜕𝑓2
𝜕𝑥𝑛0
⋮ ⋮ ⋱
𝜕𝑓1
𝜕𝑥10
𝜕𝑓1
𝜕𝑥10 …
𝜕𝑓1
𝜕𝑥10 ]
[ Δx1
Δx2
⋮⋮⋮⋮
Δx𝑛]
(2.12).
30
Onde se pode definir :
𝐷 =
[ 𝑦1 − 𝑓1(𝑥1
(0), 𝑥2
(0), 𝑥3
(0), ……𝑥𝑛
(0))
𝑦2 − 𝑓2(𝑥1(0)
, 𝑥2(0)
, 𝑥3(0)
, ……𝑥𝑛(0)
)
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑦𝑛 − 𝑓𝑛(𝑥1(0)
, 𝑥2(0)
, 𝑥3(0)
, ……𝑥𝑛(0)
)]
(2.13).
Obtendo a matriz das funções 𝑓𝑖 conhecida como matriz Jacobiana.
𝐽 =
[
𝜕𝑓1
𝜕𝑥10
𝜕𝑓1
𝜕𝑥20 …
𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑛0
⋮ ⋮ ⋮
𝜕𝑓2
𝜕𝑥10
𝜕𝑓2
𝜕𝑥20 …
𝜕𝑓2
𝜕𝑥𝑛0
⋮ ⋮ ⋱
𝜕𝑓1
𝜕𝑥10
𝜕𝑓1
𝜕𝑥10 …
𝜕𝑓1
𝜕𝑥10 ]
(2.14).
De uma maneira interativa pode-se escrever as equações.
𝐷(𝑝) = 𝐽(𝑝)𝑅(𝑝) (2.15).
Onde R é dito como Vetor de variações.
𝑅 =
[ Δx1
⋮⋮
Δx2
⋮Δx𝑛]
(2.16).
Isolando (16) em (15).
𝑅(𝑝) = [𝐽(𝑝)]⁻¹𝐷(𝑝) (2.17).
O novo valor para cada variável 𝑥𝑖𝑠 pode ser calculado como:
𝑥𝑖(𝑝+1)
= 𝑥𝑖(𝑝)
+ Δx𝑖(𝑝)
(2.18).
O processo é repetido até que dois valores sucessivos para cada 𝑥𝑖 tenha uma
diferença estabelecida por uma tolerância especificada (휀).
Reescrevendo as equações do fluxo de potência:
n
kk
ikiiiii YYVP i11
2
)cos( (2.19).
)(1
ikikki
n
kiki
senVVYQ
(2.20).
31
)()(
11
2
ikikki
n
kk
ikiiiiisenseni VVYYVQ
(2.21).
n
kikikkiiki VVYP
1
)cos( (2.22).
As equações do fluxo de potência constituem um conjunto de equações algébricas
não-lineares em termos das variáveis independentes, módulo da tensão e ângulo de
fase que pode e deve ser expresso em radianos.
Expandindo as equações em série de Taylor, tem-se então:
[ ΔP𝑛
(𝑝)
⋮⋮
ΔP𝑛(𝑝)
⋮⋮⋮
ΔQ2(𝑝)
⋮⋮⋮
ΔQ𝑛(𝑝)
]
=
[
𝜕𝑃2(𝑝)
𝜕𝛿2 …
𝜕𝑃2(𝑝)
𝜕𝛿𝑛 (
𝜕𝑃2(𝑝)
𝜕|𝑉2|)(𝑝) … (
𝜕𝑃2(𝑝)
𝜕|𝑉𝑛|)(𝑝)
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 𝜕𝑃𝑛
(𝑝)
𝜕𝛿2 …
𝜕𝑃𝑛(𝑝)
𝜕𝛿𝑛 (
𝜕𝑃𝑛(𝑝)
𝜕|𝑉2|)(𝑝) … (
𝜕𝑃𝑛(𝑝)
𝜕|𝑉𝑛|)(𝑝)
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮
(𝜕𝑄2
(𝑝)
𝜕𝛿2)(𝑝) … (
𝜕𝑄2(𝑝)
𝜕𝛿𝑛)(𝑝) (
𝜕𝑄2(𝑝)
𝜕|𝑉2|)(𝑝) … (
𝜕𝑄2(𝑝)
𝜕|𝑉𝑛|)(𝑝)
⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
(𝜕𝑄𝑛
(𝑝)
𝜕𝛿2)(𝑝) … (
𝜕𝑄𝑛(𝑝)
𝜕𝛿𝑛)(𝑝) (
𝜕𝑄𝑛(𝑝)
𝜕|𝑉2|)(𝑝) … (
𝜕𝑄𝑛(𝑝)
𝜕|𝑉𝑛|)(𝑝)
]
[ Δδ2
(𝑝)
⋮
Δδ𝑛(𝑝)
⋮⋮⋮⋮
Δ|V2|(𝑝)
⋮⋮⋮
Δ|V𝑛|(𝑝)]
(2.23).
A equação (23) pode ser escrita numa forma matricial mais compacta.
[ΔPΔQ
] = [𝐽1 𝐽2𝐽3 𝐽4
] [Δ𝛿Δ|V|
] (2.24).
Os elementos da diagonal principal e de fora da diagonal da partição J1 são:
)cos( jiijijji
i
i
YVVP
(2.25).
)( jiijijji
i
i senYVVP
(2.26).
Para (2.26), i≠j.
Por sua vez os elementos da diagonal principal e de fora da diagonal da partição J2
são:
1
))cos(()cos(2j
jiijijjiiiii
i
i
YVYVVP
(2.27).
32
)cos( jiijiji
j
i
YVV
P
(2.28).
Para (2.28), i≠j.
Para a partição J3 os elementos da diagonal principal e de fora da diagonal são:
)cos(1
jiijijj
ji
i
i
YVVQ
(2.29).
)cos( jiijijji
j
i
YVVQ
(2.30).
Para (2.30), j≠i.
Os elementos da diagonal principal e de fora da diagonal da partição J4 são:
1
))cos(()cos(2j
jiijijjiiiii
i
i
YVYVV
Q (2.31).
)cos( jiijiji
j
i
YVV
Q
(2.32).
Para (2.32), j≠i.
Os termos ΔP e ΔQ, são as diferenças entre os valores calculados e os
especificados
ΔP𝑖(𝑘)
= 𝑃𝑖𝑠𝑐ℎ − 𝑃𝑖
(𝑘) (2.33).
ΔQ𝑖(𝑘)
= 𝑄𝑖𝑠𝑐ℎ − 𝑄𝑖
(𝑘) (2.34).
As novas estimativas para as tensões nas barras são:
𝛿𝑖(𝑘+1)
= 𝛿𝑖(𝑘)
+ Δ𝛿𝑖(𝑘)
(2.35).
|𝑉𝑖(𝑘+1)
| = |𝑉𝑖(𝑘)
| + |ΔV𝑖(𝑘)
| (2.36).
O processo deve continuar até que os valores residuais alcancem parâmetros dessa
forma
|ΔP𝑖(𝑘)
| < 휀 (2.37).
|ΔQ𝑖(𝑘)
| < 휀 (2.38).
33
2.4 – Algoritmo de Newton-Raphson Para melhor entendimento, e para conhecimento da maneira como deve se agir
quando se for resolver um problema envolvendo o método Newton-Raphson, nesta
seção será descrito um algoritmo de resolução segundo o método de Newton-
Raphson.
Início
1. Montagem da Matriz 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎,
2. Arbitrar condições iniciais das variáveis de estado (ө(0), 𝑉(0)) e fazer i=0;
3. Calcular ∆𝑃𝑘 𝑒 ∆𝑄𝑘 e verificar a convergência. Se max|∆𝑃𝑘| < 휀𝑝 e
max|∆𝑄𝑘| < 휀𝑞 parar.
∆𝑃𝑘 = 𝑃𝑘(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜)
− 𝑃𝑘(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜)
, 𝑘 ∈ 𝑃𝑄, 𝑃𝑉
∆𝑄𝑘 = 𝑄𝑘(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜)
− 𝑄𝑘(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜)
, 𝑘 ∈ 𝑃𝑄
4. Fazer 𝑖 = 1 + 𝑖 e montar a matriz jacobiana 𝐽𝑖
5. Solucionar o sistema linearizado:
[∆𝑃
∆𝑄]𝑖
= −𝐽𝑖 [∆ө
∆𝑉]𝑖
6. Atualizar a solução do problema
[ө
𝑉]𝑖+1
= [ө
𝑉]𝑖
+ [∆ө
∆𝑉]𝑖
7. Voltar para o passo 3.
Fim
2.5 - Conclusão Neste capítulo apresentou-se as diferentes metodologias para o estudo de fluxo de
carga. Foram apresentados os modelos de Gauss, Gauss-Seidel, Newton e Newton-
Raphson. Justificou-se o uso da metodologia de Newton-Raphson que será adotado
nesse trabalho.
34
3 – Modelagem do Sistema Independente do estudo SEP dinâmico, a escolha de um modelo matemático
adequado deve ser escolhido [26].
São vários os tipos de problemas relacionados a um sistema de potência dinâmico
(alta ou baixa oscilação de frequência, pequena ou grande perturbação no sistema e
um grande ou pequeno SEP). Porém eles apresentam um número limitado de
componentes importantes do sistema para o estudo dinâmico (turbinas hidráulicas e
a vapor, o gerador síncrono e o sistema de excitação), onde para cada componente
se tem um modelo básico e dentre eles o mais importante e complicado é o do
gerador síncrono [26].
Este modelo apresenta como base o princípio de que as potencias ativas e reativas
se balanceiam e que são continuamente satisfeitos, independentemente da barra do
sistema e em qualquer processo dinâmico. Sendo assim se obtém um modelo
resultante linear, que pode ser usado na análise da estabilidade de pequenos
distúrbios.
3.1 – Eliminação da barra infinita. Nos estudos de modelagem dinâmica sempre se considera uma barra contendo um
gerador com elevado (grande) momento de inércia que o torna insensível a qualquer
perturbação. Como consequência na formação da matriz de estado, independente
da modelagem da máquina, existirão autovalores próximos de zero, que estão
ligados a essa máquina.
3.2- Sistemas de referência e notações. O modelo desenvolvido nesse capítulo é uma interação mútua da i-enésima com a j-
enésima máquina, sendo assim, se tem a necessidade de se adotar um sistema de
referência comum, que é apresentado na Figura 2 adaptada de [27].
35
Figura 2: Diagrama fasorial que tem como referência os eixos síncronos D e Q ou os eixos d e
q da i-enésima máquina.
Assim, serão usados o eixo do sistema de referência (ESR), como representado no
diagrama fasorial, onde os eixos cartesianos podem ser chamados de D (direto) e
Q (quadratura), que giram na frequência síncrona, no sentido anti-horário que por
convenção será considerado positivo para a medida dos ângulos [27].
O eixo de quadratura irá coincidir com o fasor da tensão do barramento infinito. E os
símbolos 𝑑𝑖 e 𝑞𝑖se referem aos respectivos eixos da i-enésima máquina, já o 𝛿𝑖é o
ângulo que vai do eixo Q do ESR ao 𝑞𝑖 da i-enésima máquina [27].
Serão feitas com frequência transformações de coordenadas de um sistema para
outro, ora em relação ao ESR, ora para os próprios eixos das máquinas. A mudança
dos eixos de referência é dita como uma transformação linear do tipo rotação. Onde
−𝛿𝑖 no sentido anti-horário quando é passado do ESR para os eixos das máquinas e
𝛿𝑖 das máquinas para o ESR. O que é demonstrado nas Figuras 3 e 4 [27].
Figura 3: Diagrama fasorial tendo como referência os eixos síncronos D e Q.
36
Figura 4: Diagrama fasorial tendo como referência os eixos d e q da i-enésima máquina.
Para as grandezas fasoriais 𝐼 e que serão apresentadas a seguir, que são
definidas em pu, o subscrito s indica que os fasores são relativos ao ESR. E o índice
i, corresponde a i-enésima máquina [27].
𝐼 = 𝐼𝑄 + 𝑗𝐼𝐷 = 𝐼𝑆𝑒𝐽∅ (3.2.1).
𝑆 = 𝑉𝑄 + 𝑗𝑉𝐷 = 𝑉𝑆𝑒𝐽∅ (3.2.2).
𝐼 = 𝐼𝑄 + 𝑗𝐼𝐷 = 𝐼𝑒𝐽∅ (3.2.3).
Comparando as figuras 3 e 4, pode-se perceber que 𝐼𝑠 = 𝐼. Na Figura 5 é mostrado
um diagrama fasorial da i-enésima máquina [27].
Figura 5: Diagrama fasorial da i-enésima máquina.
3.3 – Correntes nas máquinas É de fundamental importância a determinação das correntes para que se possa
realizar a modelagem do sistema de matrizes. Reduzir o sistema a ng (número de
37
geradores) barras geradoras e admitindo a matriz do barramento infinito antes 𝑌𝐵
para a representação 𝑌𝐵𝑅∞, e assumindo a exigência de que a soma de todas as
correntes que entram nos nós devem ser igual a zero (2ª lei de Kirchoff), a equação
da corrente na forma matricial pode ser descrita como:
VYI SBRSXngngXngXng 1)1()1()1(1)1(
(3.3.1).
Onde os vetores [𝐼] e [𝑠], tem como coordenadas os fasores das correntes
injetadas nas barras e suas tensões [27].
As linhas do produto matricial da (3.3.1) podem ser reescritas:
𝐼∞ = +∞∞𝑆∞ − ∞1𝑆1 …− ∞𝑛𝑔𝑆𝑛𝑔
𝐼1 = −1∞𝑆∞ + 11𝑆1 …− 1𝑛𝑔𝑆𝑛𝑔 (3.3.2).
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝐼∞ = −𝑛𝑔𝑆∞ − 𝑛𝑔𝑆1 …+ 𝑛𝑔𝑛𝑔𝑆𝑛𝑔
As admitância seguem definições normais para o caso das matrizes que são do tipo
𝑌𝐵, onde a admitância entre a i-enésima e j-enésima barra pode ser representado
como:
𝑖𝑗 = 𝑌𝑖𝑗𝑒𝑗𝛽𝑖𝑗 (3.3.3).
Para i≠j com i =1,..., ng,∞ e j = 1,...,ng,∞ [27].
E a admitância própria da barra i é dada como:
𝑖𝑗 = 𝑌𝑖𝑗𝑒𝑗𝛽𝑖𝑗 = 𝑖0 + 𝑖∞ + 𝑖1 + ⋯+ 𝑖𝑗 (3.3.4).
Com i =1,...,ng,∞ e j = 1,...,ng,∞ [27].
Em (3.3.4), a variável 𝑖0 demonstra que esta admitância está conectada à terra. O
índice s, das tensões e correntes, mostram que elas estão no ESR.
Fazendo a transformação de (3.3.2) para a forma matricial novamente, tem-se:
VYVYI gSGSngXngXngXngngX
111
(3.3.5).
Em (3.3.5) [𝐼] e [𝑠], são vetores colunas das correntes e tensões do sistema
reduzido, desconsiderando o barramento infinito, e ∞ é um escalar que representa o
fasor da tensão da barra infinita. A matriz [𝐺∞]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔, pode ser obtida da matriz
𝑌𝐵𝑅∞, quando são eliminadas suas primeiras linha e coluna. E a matriz [𝑔∞]𝑛𝑔 𝑥 1
é o
38
negativo do vetor composto das ultimas componentes da primeira coluna da matriz
𝑌𝐵𝑅∞ [27].
De (3.3.5), isolando a matriz de tensão se obtém:
[𝑆] = [𝐺∞]−1𝐼 + [𝑔∞]∞ (3.3.6).
E a partir de (3.3.6), se tem:
[𝐺∞]−1[𝐼] = [𝑆] − [𝐺∞]−1[𝑔∞]∞ (3.3.7).
E a partir da Figura 4 pode-se escrever para a i-enésima máquina:
𝑞𝑖′ = 𝑖 + 𝑗𝑥𝑑𝑖
′ 𝐼 + 𝑗(𝑥𝑞𝑖 − 𝑥𝑑𝑖′ )𝐼𝑖 (3.3.8).
Passando a referência da i-enésima máquina para o ESR pode-se escrever:
𝑞𝑆𝑖′ = 𝑆𝑖 + 𝑗𝑥𝑑𝑖
′ 𝐼𝑖 + 𝑗(𝑥𝑞𝑖 − 𝑥𝑑𝑖′ )𝐼𝑆𝑖 (3.3.9).
Onde 𝑞𝑆𝑖′ = 𝑞𝑖
′ 𝑒𝑗𝛿𝑖 e 𝐼𝑆𝑖 = 𝐼𝑞𝑖𝑒𝑗𝛿𝑖, então (3.3.9) fica:
𝑞𝑖′ 𝑒𝑗𝛿𝑖 = 𝑆𝑖 + 𝑗𝑥𝑑𝑖
′ 𝐼𝑖 + 𝑗(𝑥𝑞𝑖 − 𝑥𝑑𝑖′ )𝑒𝑗𝛿𝑖𝐼𝑞𝑖 (3.3.10).
Evidenciando o termo 𝑆𝑖 da (3.3.10).
𝑆𝑖 = 𝑞𝑖′ 𝑒𝑗𝛿𝑖 − 𝑗𝑥𝑑𝑖
′ 𝐼𝑖 + 𝑗(𝑥𝑞𝑖 − 𝑥𝑑𝑖′ )𝑒𝑗(𝛿𝑖−
𝜋2⁄ )𝐼𝑞𝑖 (3.3.11).
E a partir de (3.3.11) pode-se criar uma equação para a generalização de um
sistema com ng máquinas, colocando na forma matricial.
IexxIxEeV qijdqSd
jq
jS
ngXngXngngXngngXngXngngXngXngngX 1111
)2
(''' (3.3.12).
Onde, 𝑞𝑖′ é o vetor coluna das tensões (rms), que são proporcionais às
componentes de fluxo no eixo direto. [𝐼𝑞] é o vetor das componentes das correntes
nos eixos em quadratura. [𝑒𝑗(𝛿𝑖−𝜋
2⁄ )] = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑒𝑗(𝛿𝑖−
𝜋2⁄ ),… , 𝑒𝑗(𝛿𝑛𝑔−𝜋
2⁄ )). [𝑒𝑗𝛿] =
𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑒𝑗𝛿 , … , 𝑒𝑗𝛿𝑛𝑔). [𝑥𝑑′ ] = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑥𝑑1
′ , … ,𝑥𝑑𝑛𝑔′ ). [𝑥𝑞 − 𝑥𝑑
′ ] = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑥𝑞1 − 𝑥𝑑1′ ,… , 𝑥𝑞𝑛𝑔 − 𝑥𝑑𝑛𝑔
′ )
[27].
Substituindo (3.3.12) em (3.3.7)
VYYIexxEeIxY gGqe ij
dqdj
Sdj
GngXngXngngX
ngXng
ngXngngXngXngngXngXngngXng
1111
1)2
('''1
(3.3.13).
Onde se pode definir:
39
xjYYdG
ngXngngXng
'1 1
(3.3.14).
VVVYYV GIj
GRgGGngXngXngXngXngngX 1111
(3.3.15).
Sendo que os índices R e I significam parte real e parte imaginária [27]. Explicitando
𝐼da (3.3.13).
[𝐼𝑆] = [][𝑒𝑗𝛿][𝐸𝑞′ ] + [𝑥𝑞 − 𝑥𝑑
′ ][𝑒𝑗(𝛿𝑖−𝜋
2⁄ )][𝐼𝑞] − [𝐺] (3.3.16).
Sendo assim a corrente da i-enésima máquina do sistema ng referida em ESR fica:
ng
jGjqj
j
djqjqj
j
ijSi VIexxEeYI i
1
)2
('' (3.3.17).
O que inclui o termo j=1. Porém
𝐼 = 𝐼𝑖𝑒−𝑗𝛿𝑖 (3.3.18).
Substituindo (3.3.18) em (3.3.17).
eVIexxEeYIiijij
j
Gjqj
j
djqjqj
jng
jiji
)
2(''
1
(3.3.19).
Considerando:
𝛿𝑖𝑗 = 𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 (3.3.20).
Substituindo (3.3.3) e (3.3.4) em (3.3.19).
𝐼 = ∑𝑖𝑗𝑒𝑗(𝛽𝑖𝑗−𝛿𝑖𝑗)𝐸𝑞𝑗
′ + (𝑥𝑞𝑗 − 𝑥𝑑𝑗′ )𝑒𝑗(𝛽𝑖𝑗−𝛿𝑖𝑗−
𝜋2⁄ )𝐼𝑞𝑗 − 𝐺𝑗𝑒
𝑗(𝛽𝑖𝑗−𝛿𝑖)
𝑛𝑔
𝑗=1
(3.3.21).
Onde se pode decompor a corrente 𝐼da (3.3.21) em parte real (𝐼𝑞𝑖) e em parte
imaginária (𝐼𝑑𝑖)
𝐼𝑞𝑖 = 𝑅𝑒𝑎𝑙(𝐼) = ∑𝑖𝑗𝐶𝑖𝑗𝐸𝑞𝑗′ + (𝑥𝑞𝑗 − 𝑥𝑑𝑗
′ )𝐼𝑞𝑗𝑆𝑖𝑗 − 𝐹𝑖𝑗𝑉𝐺𝑅 + 𝐸𝑖𝑗𝑉𝐺𝐼
𝑛𝑔
𝑗=1
(3.3.22).
𝐼𝑑𝑖 = 𝐼𝑚𝑎𝑔(𝐼) = ∑𝑖𝑗𝑆𝑖𝑗𝐸𝑞𝑗′ − (𝑥𝑞𝑗 − 𝑥𝑑𝑗
′ )𝐼𝑞𝑗𝐶𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗𝑉𝐺𝑅 − 𝐹𝑖𝑗𝑉𝐺𝐼
𝑛𝑔
𝑗=1
(3.3.23).
40
Onde:
𝐶𝑖𝑗 = cos (𝛽𝑖𝑗 − 𝛿𝑖𝑗) (3.3.24).
𝑆𝑖𝑗 = sen(𝛽𝑖𝑗 − 𝛿𝑖𝑗) (3.3.25).
𝐹𝑖𝑗 = cos (𝛽𝑖𝑗 − 𝛿𝑖) (3.3.26).
𝐸𝑖𝑗 = sen(𝛽𝑖𝑗 − 𝛿𝑖) (3.3.27).
3.4 - Linearização das equações de corrente O incremento de 𝐼é definido por:
∆𝑖 = ∆(𝐼𝑖𝑞 + 𝑗𝐼𝑑𝑖) = ∆𝐼𝑖𝑞 + ∆𝑗𝐼𝑑𝑖 (3.4.1).
Sendo ∆𝐼𝑖𝑑o incremento da corrente no eixo direto da i-enésima máquina e ∆𝐼𝑖𝑞o
incremento da componente da corrente no eixo em quadratura da i-enésima
máquina. Em que essas duas componentes das correntes estão em função de
𝑓(𝛿1, … , 𝛿𝑛𝑔, 𝐸𝑞1′ , … , 𝐸𝑞𝑛𝑔
′ , 𝐼𝑞1, … , 𝐼𝑞𝑛𝑔)[27]. Para j=1,...,ng; e expandindo 𝐼𝑖𝑞em (3.3.22),
por meio da série de Taylor tem-se:
𝐼𝑞𝑖 = 𝐼𝑞𝑖0 + ∑𝜕𝐼𝑞𝑖
𝜕𝛿𝑗|0∆𝛿𝑗 +
𝑛𝑔
𝑗=1
∑𝜕𝐼𝑞𝑖
𝜕𝐸𝑞𝑗′
𝑛𝑔
𝑗=1
|0∆𝐸𝑞𝑗′ + ∑
𝜕𝐼𝑞𝑖
𝜕𝐼𝑞𝑗|0∆𝐼𝑞𝑗
𝑛𝑔
𝑗=1
(3.4.2).
Onde o subscrito 0, indica que as derivadas parciais são calculadas nos valores de
regime dos 𝛿𝑗, 𝐸𝑞𝑗′ e 𝐼𝑞𝑗 [27].
Utilizando (3.4.2) para se calcular as derivadas parciais a partir de (3.3.22), se obtém
a expressão:
∆𝐼𝑞𝑖 = ∑𝑌𝑖𝑗[𝑆𝑖𝑗0𝐸𝑞𝑗0′ − (𝑥𝑞𝑗 − 𝑥𝑑𝑗
′ )𝐼𝑞𝑗0𝐶𝑖𝑗0 − 𝐸𝑖𝑗0𝑉𝐺𝑅0 − 𝐹𝑖𝑗0𝑉𝐺𝐼0]∆𝛿𝑖 + 𝐶𝑖𝑗0∆𝐸𝑞𝑗′ + (𝑥𝑞𝑗
𝑛𝑔
𝑗=1
− 𝑥𝑑𝑗′ )𝑆𝑖𝑗0∆𝐼𝑞𝑗 + ∑𝑌𝑖𝑗[−𝑆𝑖𝑗0𝐸𝑞𝑗0
′ + (𝑥𝑞𝑗 − 𝑥𝑑𝑗′ )𝐼𝑞𝑗0𝐶𝑖𝑗0]∆𝛿𝑗
𝑛𝑔
𝑗=1
(3.4.3).
De maneira análoga a expressão de 𝐼𝑑𝑖 (3.3.23) pode ser obtida da mesma maneira,
por meio da série de Taylor em volta do ponto 𝐼𝑑𝑖0.
41
∆𝐼𝑑𝑖 = ∑𝑌𝑖𝑗[−𝐶𝑖𝑗0𝐸𝑞𝑗0′ − (𝑥𝑞𝑗 − 𝑥𝑑𝑗
′ )𝑆𝑖𝑗0𝐼𝑞𝑗0 − 𝐹𝑖𝑗0𝑉𝐺𝑅0 − 𝐸𝑖𝑗0𝑉𝐺𝐼0]∆𝛿𝑖 + 𝑆𝑖𝑗0∆𝐸𝑞𝑗′
𝑛𝑔
𝑗=1
− (𝑥𝑞𝑗 − 𝑥𝑑𝑗′ )𝐶𝑖𝑗0∆𝐼𝑞𝑗 + ∑𝑌𝑖𝑗[𝐶𝑖𝑗0𝐸𝑞𝑗0
′ + (𝑥𝑞𝑗 − 𝑥𝑑𝑗′ )𝐼𝑞𝑗0𝑆𝑖𝑗0]∆𝛿𝑗
𝑛𝑔
𝑗=1
(3.4.4).
Pode-se reescrever as equações (3.4.3) e (3.4.4) colocando-as em forma matricial.
EQPIL qqqqqngXngXngngXngXngngXngXng
'000
111
(3.4.5).
EQPI qqddngXngXngngXngXngngX
'00
111
(3.4.6).
As matrizes [𝑃𝑞0] , [𝑄𝑞0] , [𝐿𝑞0], [𝑀𝑑0], [𝑄𝑑0] e [𝑃𝑑0], são todos calculados nos
valores de regime de 𝛿𝑗, 𝛿𝑖, 𝐸𝑞𝑗′ e 𝐼𝑞𝑗 [27].
[𝐿𝑞0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔, pode ser dita como a matriz de termos adimensionais e sendo
representada de forma expandida:
𝐿𝑞𝑖𝑗0 =𝜕𝐼𝑞𝑖
𝜕𝐼𝑞𝑗|0 = −𝑌𝑖𝑗(𝑥𝑞𝑗 − 𝑥𝑑𝑗
′ )𝑆𝑖𝑗0 (3.4.7).
𝐿𝑞𝑖𝑖0 = 1 −𝜕𝐼𝑞𝑖
𝜕𝐼𝑞𝑗|0 = 1 − 𝑌𝑖𝑖(𝑥𝑞𝑖 − 𝑥𝑑𝑖
′ )𝑆𝑖𝑖0 (3.4.8).
Para (3.4.7) j≠1; i= 1,...,ng e j=1,...,ng. E para (3.4.8) i=1,...,ng.
O vetor coluna dos incrementos das componentes das correntes nos eixos
quadratura das máquinas é representado por [∆𝐼𝑞]𝑛𝑔 𝑋 1, e a matriz de termos
correspondentes a correntes é representada por [𝑃𝑞0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔.
Sendo que 𝑃𝑞𝑖𝑗0 da (3.4.5), pode ser escrito como:
𝑃𝑞𝑖𝑗0 =𝜕𝐼𝑞𝑖
𝜕𝛿𝑗|0 = 𝑌𝑖𝑗[−𝑆𝑖𝑗0𝐸𝑞𝑗0
′ + (𝑥𝑞𝑗 − 𝑥𝑑𝑗′ )𝐶𝑖𝑗0∆𝐼𝑞𝑗0] (3.4.9).
Para i≠j; i=1,...,ng; e j = 1,...,ng.
E 𝑃𝑞𝑖𝑖0 da (3.4.6), pode também escrito como:
𝑃𝑞𝑖𝑖0 =𝜕𝐼𝑞𝑖
𝜕𝛿𝑖|0 = −∑𝑌𝑖𝑗(𝐸𝑖𝑗0𝑉𝐺𝑅0 + 𝐹𝑖𝑗0𝑉𝐺𝐼0)
𝑛𝑔
𝑗=1
(3.4.10).
42
Para i=1,...,ng.
O termo [∆𝛿]𝑛𝑔 𝑋 1 (3.4.5) é o vetor coluna dos incrementos dos ângulos de torque
das máquinas.
A matriz [𝑄𝑞0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔é chamada de matriz de termos correspondentes as
admitâncias, e pode ser escrita como:
𝑄𝑞𝑖𝑗0 =𝜕𝐼𝑞𝑖
𝜕𝐸𝑞𝑗′ |0 = 𝑌𝑖𝑗𝐶𝑖𝑗0 (3.4.11).
O vetor coluna dos incrementos das tensões em rms, proporcionais às componentes
de fluxo no eixo direto e o vetor coluna dos incrementos das componentes das
correntes nos eixos diretos das máquinas são representados respectivamente por:
[𝛥𝐸𝑞′ ]
𝑛𝑔 𝑋 1e [∆𝐼𝑑]𝑛𝑔 𝑋1.
A matriz de termos correspondentes a correntes é [𝑃𝑑0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔, e pode ser escrita
como:
𝑃𝑑𝑖𝑗0 =𝜕𝐼𝑑𝑖
𝜕𝛿𝑗|0 = 𝑌𝑖𝑗[𝐶𝑖𝑗0𝐸𝑞𝑗0
′ + (𝑥𝑞𝑗 − 𝑥𝑑𝑗′ )𝑆𝑖𝑗0𝐼𝑞𝑗0]
(3.4.12).
𝑃𝑑𝑖𝑖0 =𝜕𝐼𝑑𝑖
𝜕𝛿𝑖|0 = −∑𝑃𝑑𝑖𝑗0
𝑛𝑔
𝑗=1
+ ∑𝑌𝑖𝑗(𝐹𝑖𝑗0𝑉𝐺𝑅0 − 𝐸𝑖𝑗0𝑉𝐺𝐼0)
𝑛𝑔
𝑗=1
(3.4.13).
Para (3.4.12) i≠j; i=1,...,ng; e j = 1,...,ng; e para (3.4.13) i=1,...,ng.
A matriz de termos correspondentes as admitâncias :
𝑄𝑑𝑖𝑗0 =𝜕𝐼𝑑𝑖
𝜕𝐸𝑞𝑗′ |0 = 𝑌𝑖𝑗𝑆𝑖𝑗0 (3.4.14).
Para i=1,...,ng e j=1,...,ng.
E a matriz de termos adimensionais [𝑀𝑑0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔pode ser escrita como:
𝑀𝑑𝑖𝑗0 =𝜕𝐼𝑑𝑖
𝜕𝐼𝑞𝑗|0 = −𝑌𝑖𝑗(𝑥𝑞𝑗 − 𝑥𝑑𝑗
′ )𝐶𝑖𝑗0 (3.4.15).
Se explicitarmos [∆𝐼𝑞], na equação (3.4.7), temos:
[∆𝐼𝑞] = [𝐿𝑞0]−1
[𝑃𝑞0][∆𝛿] + [𝐿𝑞0]−1
[𝑄𝑞0][∆𝐸𝑞′ ] (3.4.16).
Substituindo (3.4.16) em (3.4.8), teremos:
43
[∆𝐼𝑞] = [𝑃𝑑0] + [𝑀𝑑0][𝐿𝑞0]−1
[𝑃𝑞0] [∆𝛿] + [𝑄𝑞0] + [𝑀𝑑0][𝐿𝑞0]−1
[𝑄𝑞0] [∆𝐸𝑞′ ]
(3.4.17).
Pode-se reescrever as equações (3.4.16) e (3.4.17) obtendo as duas equações a
seguir:
EYFI qqqqngXngXngngXngXngngX
'00
111
(3.4.18).
EYFI qdddngXngXngngXngXngngX
'00
111
(3.4.19).
As matrizes [𝐹𝑞0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔, [𝐹𝑑0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔, [𝑌𝑞0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔
, [𝑌𝑑0]𝑛𝑔 𝑋 𝑛𝑔, podem ser calculadas a
partir de:
PLF q
ngXng
qq 0
1
00
(3.4.20).
QLYq
ngXng
qq 0
1
00
(3.4.21).
FMPF qdd
ngXngd 0000
(3.4.22).
YMQY qddngXng
d 0000
(3.4.23).
3.5 - Determinação de 𝑲𝟏𝒊𝒋 e 𝑲𝟐𝒊𝒋 Analisando o diagrama de blocos da Figura 6 adaptada de [26], é possível perceber
que as constantes, apresentadas no capítulo anterior, se relacionam com os
incrementos dos ângulos ∆𝛿 e das tensões ∆𝐸𝑞′ com o torque elétrico da máquina.
Para facilitar o processo, o torque elétrico será expresso em função dessas variáveis
podendo ser descrita como ∆𝑇𝑒 = 𝑓(∆𝛿, ∆𝐸𝑞′ ) [27].
44
Figura 6: Diagrama de blocos do sistema.
De acordo com [27], a velocidade da máquina é escrita como 𝜔 = 𝜔0 + 𝑑𝛿 𝑑𝑡⁄ , a
segunda parcela da velocidade é dita em condições normais de operação na ordem
de centésimos de Hz, sendo assim em pu, a velocidade angular é praticamente a
mesma a unidade. Tendo como consequência, que o torque elétrico em pu é
numericamente igual à potencia elétrica.
Sendo assim o torque trifásico em pu pode ser escrito como na forma de equação:
𝑇𝑒 ≅ 𝑃𝑒 =1
3(𝑣𝑑𝑖𝑑 + 𝑣𝑞𝑖𝑞) = 𝑉𝑑𝐼𝑑 + 𝑉𝑞𝐼𝑞 (3.5.1).
Sendo 𝑉𝑑e 𝑉𝑞, as componentes de tensão nos terminais da máquina no eixo direto e
em quadratura, respectivamente. Podendo ser descritos por meio das equações a
seguir.
𝑉𝑑 =𝑣𝑑
√3= −𝑥𝑞𝐼𝑞 (3.5.2).
𝑉𝑞 =𝑣𝑞
√3= 𝑥𝑑
′ 𝐼𝑞 + 𝐸𝑞′ (3.5.3).
Substituindo as equações (3.5.2) e (3.5.3) em (3.5.1), posteriormente linearizando
esta equação em torno do ponto de operação, é dado a equação do incremento do
torque.
∆𝑇𝑒 = 𝐼𝑞0∆𝐸𝑞′ − 𝐼𝑑0(𝑥𝑞 − 𝑥𝑑
′ )∆𝐼𝑑 + 𝐸𝑞′ − 𝐼𝑑0(𝑥𝑞 − 𝑥𝑑
′ )∆𝐼𝑞 (3.5.4).
Onde os termos 𝐼𝑑0, 𝐼𝑞0 e 𝐸𝑞′ são os valores de regime das correntes nos eixos
direto, em quadratura e da tensão proporcional à componente do fluxo do eixo
direto.
É passada a equação (3.5.4) na forma matricial para as ng máquinas do sistema.
45
IIEIxxIEIT ddqddqqqqengXngXngngXngngXngXngngXngngXngXngngX
11110
''0
'0
(3.5.5).
Em que
[∆𝑇𝑒] é o vetor dos incrementos do torque elétrico,
[∆𝐸𝑞0′ ], [𝐼𝑑0] e [𝐼𝑞0], são as diagonais, onde o índice i varia de 1 a ng.
Nas equações (3.4.18) e (3.4.19) temos que [∆𝐼𝑞] = [∆𝐼𝑑] = 𝑓(∆𝛿, ∆𝐸𝑞′ ). Substituindo
as mesmas em (3.5.5), e reagrupando os coeficientes [∆𝛿] e [∆𝐸𝑞′ ]. Tem-se:
EKKT qengXngXngngXngXngngX
'21
111
(3.5.6).
Sendo:
𝐾1𝑖𝑗 = 𝐷𝑖0𝐹𝑑𝑖𝑗0 + 𝑄𝑖0𝐹𝑞𝑖𝑗0 (3.5.7).
𝐾2𝑖𝑗 = 𝐷𝑖0𝑌𝑑𝑖𝑗0 + 𝑄𝑖𝑌𝑞𝑖𝑗0 (3.5.8).
𝐾2𝑖𝑖 = 𝐷𝑖0𝑌𝑑𝑖𝑖0 + 𝑄𝑖0𝑌𝑞𝑖𝑖0 + 𝐼𝑞𝑖0 (3.5.9).
𝐷𝑖0 = −(𝑥𝑞𝑖 − 𝑥𝑑𝑖′ )𝐼𝑞𝑖0 (3.5.10).
𝑄𝑖0 = −(𝑥𝑞𝑖 − 𝑥𝑑𝑖′ )𝐼𝑞𝑖0 + ∆𝐸𝑞𝑖0
′ (3.5.11).
Com i e j variando de 1 ate ng.
3.6 - Determinação de 𝑲𝟑𝒊𝒋 e 𝑲𝟒𝒊𝒋 Para que se possa determinar os coeficientes é suposto que o sistema da Figura 5,
contenha apenas uma máquina em um barramento infinito, assim a transformada da
tensão ∆𝐸𝑞′ (𝑠), poderá ser expressa a partir da equação (3.5.1), que relaciona ∆𝐸𝐹𝐷e
∆𝛿(𝑠) [27].
(1 𝐾3 + 𝑠𝑇𝑑0′ )⁄ ∆𝐸𝑞
′ (𝑠) = ∆𝐸𝐹𝐷 + 𝐾4∆𝛿(𝑠) (3.6.1).
A tensão de campo do gerador (∆𝐸𝐹𝐷) está relacionada com a tensão proporcional
ao fluxo do eixo direto e com a corrente de eixo direto pela equação [27].
𝐸𝐹𝐷 = (1 + 𝑠𝑇𝑑0′ )𝐸𝑞
′ − (𝑥𝑑 − 𝑥𝑑′ )𝐼𝑑 (3.6.2).
São considerados pequenos sinais nas vizinhanças do ponto de equilíbrio da
equação (3.6.2), chegando a uma nova equação que é passada para a forma
matricial chegando a (3.6.3) [27].
46
IxxETIE dddqds
FDngXngXngngXngXngngXngngX
111
'''0
(3.6.3).
Considerando [∆𝐸𝐹𝐷], como o vetor dos incrementos das tensões de campo; [𝐼]a
matriz identidade e [𝑥𝑑 − 𝑥𝑑′ ]a diagonal, que varia de 1 até ng ; e [𝑇𝑑0
′ ]como a matriz
das constantes de tempo transitórias do eixo direto para o circuito de campo em
aberto [27].
Substituindo o valor de [∆𝐼𝑑] obtido em (3.4.19), rearranjando os termos e depois
passando para a i-enésima máquina pode-se escrever.
[1 + (𝑥𝑑𝑖 − 𝑥𝑑𝑖′ )𝑌𝑑0𝑖𝑖𝑠𝑇𝑑0𝑖
′ ]∆𝐸𝑞𝑖′ = ∆𝐸𝐹𝐷𝑖 ∑(𝑥𝑑𝑖 − 𝑥𝑑𝑖
′ )𝑌𝑑0𝑖𝑗∆𝐸𝑞𝑗′ − ∑(𝑥𝑑𝑖 − 𝑥𝑑𝑖
′ )𝐹𝑑0𝑖𝑗∆𝛿𝑗
𝑛𝑔
𝑗=1
𝑛𝑔
𝑗=1𝑗≠1
(3.6.4).
Ao comparar a expressão (3.6.4) com a (3.6.1), pode-se definir [27]:
𝐾3𝑖𝑖 = 1 1 + (𝑥𝑑𝑖 − 𝑥𝑑𝑖′ )𝑌𝑑𝑖𝑖0⁄ (3.6.5).
𝐾3𝑖𝑗 = 1 1 + (𝑥𝑑𝑖 − 𝑥𝑑𝑖′ )𝑌𝑑𝑖𝑗0⁄ (3.6.6).
𝐾4𝑖𝑗 = (𝑥𝑑𝑖 − 𝑥𝑑𝑖′ )𝐹𝑑𝑖𝑗0 (3.6.7).
Com i e j variando de 1 até ng.
3.7 - Determinação de 𝑲𝟓𝒊𝒋 e 𝑲𝟔𝒊𝒋 Segundo [27], ainda no diagrama de blocos da Figura 5, pode-se perceber que estas
constantes relacionam os incrementos dos ângulos ∆𝛿 e das tensões ∆𝐸𝑞′ com a
tensão terminal da máquina.
𝑉𝑡2 = 𝑉𝑑
2 + 𝑉𝑞2 (3.7.1).
Onde 𝑉𝑡é a tensão nos terminais da máquina.
Linearizando (3.7.1)
∆𝑉𝑡 = (𝑉𝑑0 𝑉𝑡0)⁄ ∆𝑉𝑑 + (𝑉𝑞0 𝑉𝑡0)⁄ ∆𝑉𝑞 (3.7.2).
Onde 𝑉𝑑0, 𝑉𝑡0 e 𝑉𝑞0,são os valores das tensões nos eixos direto, da tensão terminal e
em quadratura, respectivamente.
Utilizando as equações (3.6.2) e (3.6.3) e as linearizando.
∆𝑉𝑑 = −𝑥𝑞∆𝐼𝑞 (3.7.3).
47
∆𝑉𝑞 = 𝑥𝑑′ ∆𝐼𝑑 + ∆𝐸𝑞𝑖
′ (3.7.4).
Utilizando as equações (3.5.3), (3.5.4) em (3.5.2) para um sistema com uma única
máquina, generalizando para um sistema multi-máquinas e passando para a forma
matricial para as ng máquinas do sistema.
EVVIxVVIxVVV qitqddtqqqtdtngXngXngngXngXngngXngngXngXngngXngngX
'00
'0000
1111
(3.7.5).
Sendo :
∆𝑉𝑡 o vetor dos incrementos das tensões terminais,
[𝑉𝑑0 𝑉𝑡0]⁄ e [𝑉𝑞0 𝑉𝑡0]⁄ as diagonais que variam de 1 a ng,
E as matrizes de reatância [𝑥𝑞] e [𝑥𝑑′ ] as diagonais das matrizes de reatância do eixo
em quadratura e do eixo direto, respectivamente.
Substituindo em (3.5.5) as correntes linearizadas fornecidas por (3.4.18) e (3.4.19) e
reescrevendo na forma matricial tem-se.
EKKV qitngXngXngngXngXngngX
'65
111
(3.7.6).
Onde
FxVVFxVVK ddtqqqtd
ngXng
0
'
000005 (3.7.7).
YxVVYxVVK ddtqqqtd
ngXng
0
'
000006 (3.7.8).
3.8 – Formação da matriz estado A Cada bloco referido do diagrama representado pela Figura 5 representa uma
equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem, onde a variável de saída
será tomada como sendo uma variável de estado, podendo se obter a matriz de
estado A [27].
XAXngngXngngX
ngX
4444
14
(3.8.1).
Admitindo [∆] como vetor das derivadas no tempo das variáveis de estado [∆𝑋]
como vetor de variáveis de estado do sistema.
48
Na Figura 5 pode-se observar que na malha superior do diagrama, também
nomeada de malha mecânica [27], o sistema fornece:
∆𝛿1(𝑠) = (𝜔𝐵 𝑠⁄ )∆𝜔𝑖(𝑠) (3.8.2).
∆𝑖 = 𝜔𝐵∆𝜔𝑖 (3.8.3).
Porém como a variável de estado ∆𝛿1(𝑠), depende apenas de∆𝜔𝑖(𝑠), então todas as
linhas de estado terão apenas um elemento igual a 𝜔𝐵e todo o resto serão nulos.
Nesta malha também é fornecido:
∆𝜔𝑖(𝑠) =1
𝐷𝑖 + 𝑠𝑀𝑖∑(−𝐾1𝑖𝑗∆𝛿1(𝑠) − 𝐾2𝑖𝑗∆𝐸𝑞𝑗
′ (𝑠))
𝑛𝑔
𝑗=1
(3.8.4).
Onde o coeficiente de inercia da i-enésima máquina e os atritos viscosos são
representados por 𝑀𝑖e 𝐷𝑖. Manipulando a equação (3.8.4) se obtém.
∆𝑖(𝑠) = ∑(𝐾1𝑖𝑗
𝑀𝑖∆𝛿𝑗 −
𝐾2𝑖𝑗
𝑀𝑖∆𝐸𝑞𝑗
′ ) −𝐷𝑖
𝑀𝑖∆𝜔𝑖
𝑛𝑔
𝑗=1
(3.8.5).
Na malha inferior, também nomeada de malha elétrica [27], no bloco no caminho
direto que representa o circuito de campo e a reação da armadura e que tem como
variável de saída ∆𝐸𝑞𝑖′ (𝑠), e manipulando as equações se tem:
∆𝑞𝑖′ = ∑(
−𝐾4𝑖𝑗
𝑇𝑑0𝑖′
∆𝛿𝑗 −1
𝑇𝑑0𝑖′ 𝐾3𝑖𝑗
∆𝐸𝑞𝑗′ ) +
1
𝑇𝑑0𝑖′
∆𝐸𝐹𝐷𝑖
𝑛𝑔
𝑗=1
(3.8.6).
Ainda na malha inferior, é também representado o regulador de tensão e excitador e
ainda no caminho direto obtemos.
∆𝐸𝐹𝐷𝑖(𝑠) =−𝐾𝐴𝑖
1 + 𝑠𝑇𝐴𝑖′
∑(𝐾5𝑖𝑗∆𝛿𝑗(𝑠) + 𝐾6𝑖𝑗∆𝐸𝑞𝑗′ (𝑠))
𝑛𝑔
𝑗=1
(3.8.7).
Passando para o domínio do tempo a equação (3.8.7).
∆𝐹𝐷𝑖 = ∑(−𝐾𝐴𝑖
𝑇𝐴𝑖′ 𝐾5𝑖𝑗∆𝛿𝑗(𝑠) −
𝐾𝐴𝑖
𝑇𝐴𝑖′ 𝐾6𝑖𝑗∆𝐸𝑞𝑗
′ ) −
𝑛𝑔
𝑗=1
1
𝑇𝐴𝑖′ ∆𝐸𝐹𝐷
49
(3.8.8).
E por fim por meio das equações (3.8.3),(3.8.5), (3.8.6) e a (3.8.8), é possível fazer a
montagem da matriz de estado A.
TT
KK
T
KK
T
KK
T
KKTTKT
K
TKT
KH
K
HD
H
K
H
K
H
K
T
KK
T
KK
TT
KK
T
KKTKT
K
TTKT
KH
K
H
K
H
K
HD
H
K
AiAi
iiAi
Ai
iiAi
Ai
iAi
Ai
iAi
ididiiid
ii
idiid
i
i
ii
ii
ii
i
i
i
i
B
A
iA
A
iA
AA
A
A
A
did
i
ddd
ii
B
A
1000
1000
000
0000000
001
0
001
0
000
0000000
),(6),(6)1,(6)1,(5
00),(30
),(4
0)1,(30
)1,(4
),(21),(1)1,(2)1,(1
1
),1(61
1
),1(51
11
)1,1(61
1
)1,1(51
01),1(301
),1(4
0101)1,1(301
)1,1(4
1
),1(2
1
),1(1
1
)1,1(2
1
1
1
)1,1(1
1122222
1122222
(3.8.9).
3.9- Modelo de Heffron-Phillips com estabilizadores. Com o intuito de melhorar a qualidade do transitório das máquinas, aumentando o
amortecimento das oscilações inter-máquinas dos rotores, sinais adicionais são
introduzidos por meio do sistema de excitação do gerador. Em sua essência, cada
máquina procura produzir uma componente de torque elétrico, que seja proporcional
à variação da velocidade do rotor, ou seja, em fase com ela [27].
Para se conseguir isso, a partir da velocidade é gerado um sinal, que passa por
redes, introduzindo avanço na fase da frequência de oscilação da máquina, e
injetando na tensão de referência, compensando, assim o atraso na fase provocado
pelo sistema de excitação e regulador de tensão [27].
3.9.1 – Modelo Mulltimáquinas. A Figura 7 representa o diagrama de blocos do estabilizador com sinal de entrada de
velocidade [27].
50
Figura 7: Diagrama de blocos do estabilizador com sinal de entrada de velocidade.
Sendo que:
𝐾𝑠- Ganho do estabilizador,
𝑇- Constante de tempo do derivador,
𝑇1, 𝑇2, 𝑇3e𝑇4- Constantes de tempo dos compensadores de avanço de fase,
∆𝑋5e ∆𝑋6- Variáveis de estado (incluídas pelo estabilizador)
∆𝑢𝑒(𝑠)- Incremento do sinal de controle suplementar.
A essência do primeiro bloco apresentado na Figura 7 é essencialmente derivador, a
constante T, é inerente à construção física do sistema e se procura faze-la da menos
maneira possível. E os outros blocos representam a rede de avanço de fase [27].
Para o primeiro bloco da Figura 7 pode-se escrever no domínio do tempo
∆5 = 𝐾𝑆∆ −1
𝑇∆𝑋5 (3.9.1).
Onde ∆5é o incremento da derivada no tempo de ∆𝑋5(𝑠).
Por meio da substituição de (3.8.5) na equação anterior
∆5 = ∑(−𝐾1𝑖𝑗𝐾𝑆
𝑀𝑖∆𝛿𝑗 −
𝐾2𝑖𝑗𝐾𝑆
𝑀𝑖∆𝐸𝑞𝑗
′ ) −𝐷𝑖𝐾𝑠
𝑀𝑖
𝑛𝑔
𝑗=1
∆𝜔𝑖 −1
𝑇∆𝑋5
(3.9.2).
E para o segundo bloco da mesma Figura 7, pode-se definir que:
∆6 =𝑇1
𝑇2∆5 +
1
𝑇2∆𝑋5 −
1
𝑇2∆𝑋6 (3.9.3).
Onde ∆6é o incremento da derivada no tempo de ∆𝑋6(𝑠).
Substituindo a (3.9.2) em (3.9.3), se obtém.
∆6 = ∑(−𝐾1𝑖𝑗𝐾𝑆𝑇1
𝑀𝑖𝑇2∆𝛿𝑗 −
𝐾2𝑖𝑗𝐾𝑆𝑇1
𝑀𝑖𝑇2∆𝐸𝑞𝑗
′ ) −𝐷𝑖𝐾𝑆𝑇1
𝑀𝑖𝑇2
𝑛𝑔
𝑗=1
∆𝜔𝑖 +1
𝑇2(1 −
𝑇1
𝑇)∆𝑋5 −
1
𝑇2∆𝑋6
(3.9.4).
E finalmente do último bloco da Figura 7 tem-se para o domínio do tempo.
51
∆𝑒 =𝑇3
𝑇4∆6 +
1
𝑇4∆𝑋6 −
1
𝑇4∆𝑢𝑒 (3.9.5).
Onde ∆𝑒é a derivada no tempo do incremento do sinal de controle suplementar.
Substituindo (3.9.4) em (3.9.5) se tem.
∆𝑒 = ∑(−𝐾1𝑖𝑗𝐾𝑆𝑇1𝑇3
𝑀𝑖𝑇2𝑇4∆𝛿𝑗 −
𝐾2𝑖𝑗𝐾𝑆𝑇1𝑇3
𝑀𝑖𝑇2𝑇4∆𝐸𝑞𝑗
′ )
𝑛𝑔
𝑗=1
−𝐷𝑖𝐾𝑆𝑇1𝑇3
𝑀𝑖𝑇2𝑇4∆𝜔𝑖 +
𝑇3
𝑇2𝑇4(1 −
𝑇1
𝑇)∆𝑋5
+1
𝑇4(1 −
𝑇3
𝑇2) ∆𝑋6 −
1
𝑇4∆𝑢𝑒
(3.9.6).
Sendo que os sinais adicionais atuam nos campos das máquinas onde estão
instalados por meio da variável ∆𝐸𝐹𝐷𝑆, sendo assim necessário adicionar o
incremento do sinal de controle suplementar no membro da direita da equação
(3.8.8) e manipulando a equação chega-se a [27].
∆𝐹𝐷 = ∑(−𝐾𝐴𝑖𝐾5𝑖𝑗
𝑇𝐴𝑖∆𝛿𝑗 −
𝐾𝐴𝑖𝐾6𝑖𝑗
𝑇𝐴𝑖∆𝐸𝑞𝑗
′ )
𝑛𝑔
𝑗=1
−1
𝑇𝐴𝑖∆𝐸𝐹𝐷 +
𝐾𝐴𝑖
𝑇𝐴𝑖∆𝑢𝑒
(3.9.7).
3.9.2 – A matriz do sistema com inclusão do sinal
adicional. Nas seções que foram passadas, pode-se observar a determinação das equações
de estado, quando o sistema possui máquinas com sinais adicionais, sendo
adicionadas, ainda, três variáveis, deixando o vetor de estado como:[𝑋] =
[… , ∆𝛿𝑖, ∆𝜔𝑖, ∆𝐸𝑞𝑖′ , ∆𝐸𝐹𝐷𝑖 , ∆𝑋5𝑖, ∆𝑋6𝑖, ∆𝑢𝑒𝑖,…]
𝑇 [27].
Por fim pode-se por meio do que foi apresentado nesse capitulo, realizar a
montagem da matriz de estado com estabilizadores segundo o modelo de Heffron-
Phillips, demonstrado em (3.9.2.1).
52
u
X
X
E
E
E
E
TTTT
TTH
TTKK
TTHTTDK
TTH
TTKK
TTH
TTKK
TTH
TTKK
TT
T
TH
TKK
THTDK
TH
TKK
TH
TKK
TH
TKK
H
KK
HDK
H
KK
H
KK
H
KKTK
TTKK
TKK
TKK
TKK
TTKT
K
TKT
KH
KH
KH
KH
K
TKK
TKK
TTKK
TKK
TKT
K
TTKT
KH
KH
KH
KHD
HK
ei
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i
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iAi
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ii
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A
iA
AA
A
A
A
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ii
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B
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Tsssss
T
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XAX
6
5
'
'
1
1
1
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2
3
42
31)1,(2
42
31
42
31),(1
42
31)1,(2
42
31)1,(1
22
1
2
1),(2
2
1
2
1),(1
2
1)1,(2
2
1)1,(1
),(2),(1)1,(2)1,(1
),(6),(5)1,(6)1,(5
'
0
'
0),(3
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0
),(4
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0)1,(3
'
0
)1,(4
),(2)1,(1)1,(2)1,(1
1
),1(61
1
),1(51
11
)1,1(61
1
)1,1(51
'
01),1(3
'
01
),1(4
'
01
'
01)1,1(3
'
01
)1,1(4
1
),1(2
1
),1(1)1,1(2
1
1
1
)1,1(1
1
11
000
01
1
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001
000
001
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0
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0000000000
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0
00001
011
0
000000
0000000000
22222
22222
22222
2222
22222
(3.9.2.1).
3.9.3- Conclusões. Nesse ultimo capitulo foram deduzidas as expressões dos termos da matriz [A] do
sistema, quando a máquina tem ou não estabilizadores. Foram apresentados as
características fundamentais que a representação do barramento infnito,
minimamente possui.
Foi utilizado o modelo de Heffron-Phillips, tratando o barramento infinito como sendo
uma barra geradora, reduzindo por consequência a matriz de estado A, eliminando
problemas de mal condicionamento, que eram causados pelos três elementos que
foram retirados.
O processo de linearização se mostrou eficaz, permitindo a obtenção das
expressões simbólicas dos termos da matriz de estado, colocando em função dos
parâmetros das máquinas, que são elementos de transmissão do regime.
53
4 – Etapas Futuras. Neste capítulo serão descritas as etapas propostas e objetivos a serem alcançados
no Trabalho de Conclusão de Curso 2.
4.1 – Desenvolvimento. Como dito a princípio será desenvolvido uma interface gráfica utilizando o software
MATLAB e uma toolbox nomeada GUI(Graphical User Interfaces), onde vai se ter a
interação entre usuário e o sistema de máquina correspondente. Tal interface será
provida de teclas, onde se fará a escolha como: o tipo de sistema, tipo de gerador,
uso ou não de controladores, tipos de controladores, plotar gráficos com os
autovalores, etc.
Outro objetivo do segundo trabalho será a análise do sistema em estudo. Serão
fornecidos pelo o usuário os dados do sistema, e com isso o programa fará a análise
mostrando em uma caixa de diálogo os resultados obtidos.
Caso o sistema se apresente instável, os autovalores e a localização dos pólos do
sistema geométrico (LGR), também chamado de localização dos pólos do sistema,
deverão ser apresentados ao usuário.
Após os resultados de instabilidade serem apresentados, o usuário, por meio da
interface gráfica, irá selecionar os controladores (quantidade e tipos) para que o
programa possa ser rodado novamente afim de analisar os resultados obtidos do
sistema completo, isto é, das máquinas e respectivos controladores.
4.2 – Programação. A Tabela 2 irá demonstrar o conteúdo programático esperado para o segundo
semestre do ano de 2016 para realização do trabalho.
Tabela 2: Conteúdo programático esperado para o segundo semestre do ano de 2016.
1ª Fase 2ª Fase 3ª Fase 4ª Fase
Estudo dos tipos de controladores, geradores e casos propostos na literatura IEEE.
Início do desenvolvimento do Trabalho escrito.
Desenvolvimento escrito do trabalho escrito.
Finalização do trabalho escrito e verificação do código implementado, testes e preparação para a defesa do Trabalho.
Início do desenvolvimento do código a ser implementado no MATLAB.
Desenvolvimento do código a ser implementado no MATLAB.
Fase de testes do código.
54
Foram estipulados prazos a partir das fases apresentadas na Tabela 2. Para a 1ª
fase, foi dado um período de 1 mês e meio, para a 2ª fase um período de também
um mês e meio, para a 3ª fase período de 1 mês e a 4ª fase deve ser finalizada até
o dia 30 de novembro.
55
5 – Referências. [1] Kundur, P.; Pasherba, J.; Ajjarapu V.; Andersson G.; Bose A. , Canizares, C.,
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