Aula Teorica 5: Resposta dinâmica dos Sistemas Lineares

Conteudo• Noções de estabilidade• Dinâmica dos Sistemas de 1a ordem• Dinâmica dos Sistemas de 2a ordem• Sistemas de Ordem Superior

A resposta no tempo de um sistema de controle se divide em duas partes

)()()( 1 tYtYtY ss

A resposta transitória

A resposta em estado estável

Como a massa , a inércia e a indutânciasão inevitáveis nos sistemas físicos estes sempre necessitam um transientepara responder

É muito importante quanto se desviam os sistemas da resposta desejada antesde estabilizar-se

A resposta em estado estável indica onde termina a saída quando o tempo se faz grande

É um indicador da exatidão do sistema, se a saída para final não coincide com a referência há um erro em estado estável

O estudo da resposta transitória envolve a ambos e os requisitos de desenho também

Entradanos sistemas de controle práticos podem variar de forma aleatória e muitas vezes não se conhecem

Exemplo

Em um sistema de rastreamento por radar de mísseis anti-aéreos a posição e a velocidade do branco pode variar de forma imprevisível

Estabeleceram-se um conjunto de sinais de prova, mediante as quais se pode predizer o que aconteceria outros sinais

Sinais de entradas tipicas para obter respostas no tempo em sistemas de controle

Solução ao problema

Problema

Sinais típicos de prova

Entrada degrau

Ao ter um salto instantâneo inicial revela que tão rápido osistema responde a entradas bruscas

Como resultado da discontinuidad do salto, a função contém um espectro com uma banda larga de freqüências, o que é equivalente a um sem número de sinais senoidales com um intervalo de freqüências grandes

1-

observações

Entrada rampa2-

Serve para provar como se comportam os sistemas a sinais que variam linealmente com o tempoobservação

Entrada parabólica3-

Representa um sinal que tem uma ordem mais rápida que a rampa

observação

Até aqui

Tivemos sinais de prova típicas

Tivemos funções de transferências típicas

DegrauRampa Parábola

1

1)(

S

sG

22

2

2)(

nn

n

wSwS

wsG

constante de tempo

razão de amortização

freqüência natural deoscilação

nwTeremos respostas transitivas típicas

Resposta transitoria de sistemas de primeira ordem

Na aula só demonstraremos a obtenção da resposta ao degrau, fica para trabalho independente a obtenção por parte do aluno da resposta às outras duas entradas

Nota:

STSLtY

STSsY

SsX

TSsX

sY

1*

1

1)(

1*

1

1)(

unitáriodegrau 1

)(

1

1

)(

)(

1 Consulta em uma tabela de transformada

T

t

etY

1)(

T

t

etY

1)(Expressão analítica

Representação gráfica

Valor inicial

Valor final

0t

tObserve

Quando o tempo transcorridoé o equivalente a umaconstante de tempo

Quando o tempo transcorrido é o equivalente a 4 constantes de tempo

VftY *632.0)(

VftY *982.0)(

Notas importantes

Conhece-se como constante de tempo de um sistema, o tempo que a resposta deste sistema a uma entrada degrau alcança o 63,2% do valor final

Conhece-se como tempo de estabelecimento , ao tempo que demora a resposta deste sistema entrada degrau em alcançar o 98 % do valor final

Tts 4

Existem outros critérios relacionados com o tempode estabelecimento, associados aos 95% e ao 99%que são menos usados

TPCOs alunos devem obter a resposta analítica e gráfica do sistema de primeira ordem às outras entradas mencionadas em aula

Os alunos devem estudar e aprender a entrada de prova nomeada impulso e obter a resposta analítica e gráfica do sistema de primeira ordem para esta entrada

Resposta transitoria de sistemas de segunda ordem

Nota: Na aula só demonstraremos a obtenção da resposta ao degrau, fica para trabalho independente a obtenção por parte do aluno da resposta às outras duas entradas

SwSwS

wLtY

SwSwS

wsY

SsX

wSwS

w

sX

sY

nn

n

nn

n

nn

n

1*

2)(

1*

2)(

1)(

2)(

)(

22

21

22

2

22

2

Observe

SpSpS

wLtY n 1

*))((

)(21

21

Quais são p1 e p2?

1

2

442

2

222

2,1

nn

nnn

ww

wwwp

Agora bem

nwppSi 21 1 raízes reais e iguais

1 1 22,1 nn wwpSi raízes reais e desiguais

22,1 1 1 nn jwwpSi raízes complexas conjugadas

Transformada-a inversa será também distinta

Então

Se as raízes forem de distinto tipo

Y (t)

1

1

1raízes complexas conjugadas

raízes reais e desiguais

raízes reais e iguais

(tabela de transformada)

sub amortecida

sobre amortecida

criticamente amortecida

Os sistemas de controle se desenham para que a resposta seja ligeiramente sub amortecida

8.04.0 Por isso nos deteremos com maior interesse neste tipo de resposta

Tempo de retardo td É o tempo requerido para que a resposta alcance a primeira vez a metade do valor final

Tempo de levantamento tr

É o tempo requerido para que a resposta passe do 10 aos 90%, do 5 aos 95% ou do 0 aos 100% de seu valor final

Tempo de Pico tp

É o tempo requerido para que a resposta alcance o primeiro pico de ultrapasso

Tempo de assentamento ts

É o tempo requerido para que a resposta alcance uma fila ao redor do valor final ( de 2 a 5%)

Ultrapasso máximo Mp

indica por quanto excede a resposta ao valor final ao que ela tende

1

Se conhecermos todas estas especificações a resposta transitiva fica definitivamente determinadas

nw

Todas as especificações podem obter-se da expressão matemática da respostade um sistema de segunda ordem típica sub amortecido

em função dos valores da razão de amortização e da freqüência natural de oscilação

Fazendo esta representação para as raízes complexas conjugadas

12 nn ww

dParte real

Parte imaginária

Tivemos

percentual

Importante : essa constante de tempo T é a que lhe corresponde à curva envolvente da resposta sub amortecida

Exemplo

Conhecendo o diagrama de blocos de um sistema de controle como o que se mostra, determine as especificações da resposta transitiva a entrada degrau unitário

Primeiro passo Encontrar a função de transferência que relaciona a entrada e a saída

256

25

)6(25

1

)6(25

)(

)(2

SS

SS

SSsR

sC

Segundo passo Identificar os valores para a razão de amortização e a freqüência natural

5 25 n2 n

6.05*2

6 62 n

Terceiro passo Calcular as especificações segundo as expressões conhecidas

segtnn

n

n

d

d

dr 55.0

1

1tan

1

1tantan

2

21

2

21

1

segtnd

p 78.01 2

%)4.9( 094.021

eM p

segtn

s 33.14

Observações Importantes

+

te 5

te 10produz

decai mais rápido

Se um sistema é estável, então os pólos que estão longe do eixo jω tem partes reais negativas de valor grande, e os termos exponenciais correspondentes a estes pólos decaem rapidamente a zero.

Algumas ideia

Se as relações entre as partes reais dos pólos excedem cinco e não existem zeros na vizinhança, então os pólos de malha fechada mais próximos do eixo jω dominarão a resposta transitória.

o mais distante do eixo jω échamado DOMINADO.

Sim Não21

2 p

p6

1

2 p

p

Este pólo chamado DOMINANTE

EXEMPLO:

Resposta ao degrau unitário:

Este sistema é dominante de segunda ordem, pois o pólo s= - 10 está muito distante do eixo jω.

(Sistema de terceira ordem)

Podemos fazer uma aproximação para um sistema de segunda ordem.

Assim

Para desprezar o efeito de um pólo em uma função de transferência,devemos fazer s=0 na parte correspondente a este pólo.

Sistema de terceira ordem Sistema de segunda ordem.

No exemplo, temos:

a resposta ao degrau unitário é:

A figura abaixo mostra as curvas exata e aproximada:

Sistema de terceira ordem

Sistema desegunda ordem.

Sempre é assim?

Dizia

Esta frase condiciona o que segue

Que é estabilidade?

“Um sistema qualquer é estável se e somente se para toda e qualquer entrada limitada, a saída correspondente também for limitada”.

Definição

Retomamos o exemplo

Era este Se fosse este

Qual é a diferença entre as funções de transferência?

Qual é a diferença entre as resposta à entrada degrau?

A que conclusão se pode chegar?

“Um sistema linear a malha fechada, invariante no tempo, a parâmetros concentrados é estável se e somente se todos os pólos de sua função de transferência de malha fechada estão no semiplano esquerdo aberto do plano complexo s”.

¡¡¡conceito muito importante!!!

Quais sao os pólos de malha fechada?

Recordemos que a função de transferência de laço fechado de um sistema é

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

A equação característica:

As raízes da equação característica são os pólos de C(s)/R(s)

Concluindo

Ao início da aula se traçou que a resposta no tempo tem duas partes, da segunda não falamos, fica para aulas posteriores

A resposta no tempo que um sistema oferece muitas vezes não é apropriada segundo as necessidades do processo a controlar portanto terá que modificá-la, isso também é objetivo de aulas posteriores

A obtenção das especificações hoje vista se podem obter analiticamente e também simulada no ambiente do MATLAB, ambas as coisas as faremos em aulas posteriores também

Informacao Importante

Os estudantes devem obter o Matlab para as proximas aulas