Resposta Dinâmica de Sistemas Lineares Controle Essencial Capítulo 6

Resposta dinamica dos sistemas lineares

Os capftulos anteriores foram dedicados especial mente ao estabelecimento do modelo usual para o estudo da dinamica dos sistemas LIT de mane ira geral e, em particular, dos sistemas de controle automatico. Tal modelo, denominado 'Fun

66 CONTROLE ESSENCIAL

A solus;ao geral dessa equas;ao homogenea (so-lus;ao geral e aquela que contem as constantes de in-tegras;ao ainda a serem determinadas de acordo com as condis;oes iniciais de cada caso), y,(t), fornece a resposta transit6ria do sistema. Essa resposta caracte-riza o sistema e nao depende do sinal de entrada, que nem comparece na equas;ao homogenea.Ja a resposta particular da equas;ao comp[eta, JF' e a que satisfaz a equas;ao com o segundo membro contendo o parti-cular sinal de entrada, u(t). Assim, esse componente fors;ado (ou de regime permanente) da resposta e es-sencialmente caracterizado pelo sinal de entrada u(t).

No dominio da frequencia, o componente tran-sit6rio e aquele que provem das fras;oes parciais que contem os polos do sistema, mas nao os do sinal de entrada. A resposta fors;ada, por outro !ado, contem apenas os polos do sinal de entrada.

Uma das propriedades mais importantes dos sis-temas lineares e a que se refere a estabilidade dinami-ca. Trata-se de uma propriedade essencialmente ligada ao componente transit6rio da resposta do sistema. De fato, conforme o proprio nome indica, supoe-se que o componente transit6rio da resposta ( ou, mais simples-mente, resposta transit6ria) seja realmente transit6rio, isto e, espera-se que desapares:a mais ou menos rapi-damente com o decorrer do tempo (como na Figura 6.1). Se isso de fato acontecer, diremos que o sistema e estavel. Se nao for assim, temos ainda duas possibi-lidades: em vez de decrescer, ela cresce, tendendo ao infinito; ou torna-se constante, nao aumentando nem diminuindo com o decorrer do tempo. No primeiro caso, diz-se que o sistema e instavel. No segundo, que e marginalmente estavel (ou mesmo instavel, depen-dendo da definis;ao de instabilidade que se adote).

Neste capitulo, salvo aviso em contnirio, supore-mos sempre est3veis os sistemas de que tratarmos.

A seguir mostramos sinais tipicos que podem ser utilizados como excitas;ao na entrada dos sistemas, a fim de verificarmos a sua resposta.

Funs;ao degrau (Figura 6.2)

Ah(t) = { =0 para t < 0 =A para t~ 0

Af-----

0 t

i@iliblftM Degrau de altura A.

sendo h(t) --> degrau uniti\rio (altura 1) A --> altura do degrau Funs;ao rampa ou sinal de velocidade

6.3)

{= 0

r{;th(t) = r{;w(t)= = V.t para t< 0 para t~O

sendo w(t) = t h(t) --> rampa unitaria V. --> coeficiente da rampa

(Figura

Funs;ao parabola ou sinal de aceleras;ao (Figura 6.4)

sendo

=0 para t

Funs:ao senoidal (Figura 6.5) A funs:ao senoidal e preferencialmente represen-

tada por cosseno, em vez de seno.

y(t) =A cos( rot + 80)h(t)

sendo que: A e a amplitude da senoide; ro e a pulsas:ao ou frequencia angular; e(t) = rot+ e, e 0 argumento ou angulo de fase; e, e 0 angulo fase inicial.

Funs:ao impulso unitario (Figura 6.6) Definis:ao matematica;

o(t) = - o. { =0 para t0

L o(tl dt =I,_ o(t)dt = 1 Para conceituas:ao e interpretas:ao do que seja o

impulso, veja abaixo. 0 impulso pode ser considerado o limite de urn

pulso de area constante cuja altura tende ao infinito e, necessariamente, a largura da base tende a zero (ver Figura 6.7). Uma observas:ao importante e a que se

~--'--- T ' I ~~RR--------~

t

senoidal.

o(tJ

0 t

Wllldlt'M Impulse unitclrio 3(t).

Capitulo 6 Resposta din8.mica dos sistemas lineares 67

u u

2a

a

.... ....

0 t

Pulso de altura a, basereareaA=1

u 2a

A=l

01: T ..... -

'v4 t

Pulso de altura 4a, base : eareaA=l.

Wi!'bi.&M Impulse.

Ol T: t ----2:

Pulso de altura 2a, base~ eiireaA=l

u

o(tl ....

0 t

O(t): impulso unitc1rio Altura --7oo; base --70

refere a unidade com que e medido o impulso: ele e medido pela area e nao pela altura. Por exemplo, urn impulso de tensao nao sera medido em volts, mas em volts x segundo, porque o que se mede realmente e a area subtendida pela funs:ao o(t). No caso da Corrente eletrica, por exemplo, o impulso sera medido em Am-peres x segundo, ou seja, em Coulombs.

Ja dissemos que os sistemas de entrada e saida Unicas, lineares, invariantes no tempo, podem ter seu


modelo matematico reduzido a apenas uma equas:ao diferenciallinear de parametros constantes. A ordem (n) dessa equas:ao diferencial e igual a ordem mais elevada da derivada da variavel de saida (isto e, varia-vel a ser determinada). Essa e tambem a ordem do sistema. Supondo condis:oes iniciais nulas (C. I. = 0), a transformada de Laplace dessa equas:ao leva-nos a funs:ao de transferencia do sistema que ela descreve.

6.4.1 Fum;ao de transferencia e resposta impulsiva

Do que foi dito anteriormente, o modelo mate-matico de urn sistema de primeira ordem pode ser expresso por uma equas:ao diferencial de primeira or-dem, isto e, uma equas:ao diferencial do tipo

j + ay= Ku(t)

sendo u = u(t) a variavel de entrada do sistema, y = y(t) a variavel de said a e j = dyldt a derivada dessa variavel. Alem disso, estamos supondo, a > 0 e K > 0.

A funs:ao de transferencia que resulta e habitual-mente apresentada sob duas difurentes formas normais:

G(s) = Y(s) = _..!_ U(s) s+ a

(que e a V forma normal, ou 1' forma padrao)

K e G(s)= --'-

. 'ts+ 1

(2 forma normal, ou 2 forma padrao), onde K K. d h d g = - e a constante e gan o estatlCo o s1stema

a

e 't = 1/ a e a constante de tempo. Esse sistema tern apenas urn polo real na posis:ao

(-a), do plano s. A resposta impulsiva que pode ser obtida pela

transform;lda inversa de Laplace da propria funs:ao de transferencia e:

g(t) = -'[R'l(s +a)]= Ke" para t > 0

Denomina-se constante de tempo do sistema a constante 't = 1/ a . Entao, para t = 't, na expressao de g(t), resulta g('t) = Ke-1 = 0,3681{, ou seja, decorrido um tempo t = 't desde o inicio da resposta, esta fica

reduzida a 36,9% de seu valor inicial. Outra proprie-dade que pode ser demonstrada e que 0 segmento de reta que liga o ponto inicial da curva de resposta ao instante t = 't no eixo dos tempos e tangente a curva no ponto inicial (ver Figura 6.8). Essas propriedades da constante de tempo auxiliam a elaboras:ao de urn esbos:o em escala da resposta de um sistema de pri-meira ordem a um impulso de valor K.

Note que todas as funs:oes do tempo que resultam da inversao da transformada de Laplace sao supos-tas nulas para t < 0, salvo informas:ao em contrario. Por isso, na determinas:ao da resposta de urn sistema, a determinada excitas:ao, daremos a expressao dessa resposta em funs:ao do tempo apenas para t 2: 0.

K --- ----,- :--------,---------r-- ----,-

,, '"

lj!Uibli:M Resposta impu!siva de um sistema de 1"' ordem.

v

r

Um carro M sujeito a atrito viscose de coefi-B.

6.4.2 Resposta ao degrau unitario Se o sinal de entrada for u(t) = h(t) = degrau uni-

t:irio, teremos V(s) = 1/s e a resposta

Y(s) = G(s) V(s), sera

K K Y(s) = --U(s)= --(s+a) s(s+a)

ou, desenvolvendo em fra~6es parciais

Capitulo 6 Resposta din8.mica dos sistemas lineares 69

Y(s) = Kla _ Kla s s +a

A transformada inversa de Laplace permite de-terminar a resposta no tempo:

y(t) = K (1- ,-"') para !2: 0 a

0 valor inicial da resposta e y ( 0) = 0, e valor final e

lim y(t) = lim(K (1- , . , ~= K t 2:0 ,_,0 t-"""' ~a ~ a

KK, d h l ' - = e a constante e gan o, e- ;:;; 't e a constan-a g a

te de tempo do sistema. A curva de resposta ao degrau tern como assinto-

ta a reta paralela ao eixo dos tempos, que corresponde ao valor final da resposta.

Note que a expressao da resposta evidencia os dois componentes que a comp6em: o componente transi-t6rio, que e uma exponencial arnortecida (-R/a )e~' que desaparece mais ou menos rapidarnente com o decorrer do tempo e o componente for~ado (R/a) perrnanece in-definidarnente. A primeira parcela e resposta transit6ria, e a segunda, a resposta de regime perrnanente.

Considere o segmento de reta que sai da origem e en-contra a reta do valor final no ponto em que t = 't (Figura

6.10). A curva de resposta ao degrau e tangente a esse segmento na origem. Alem disso, no instante t = 't, o valor da resposta e igual1 - e1 = 0,632 do valor final da resposta ( 63,2% do valor final). Essas duas propriedades facilitam a constru~ao de urn grafico da curva de resposta.

Costuma -se, ainda, definir para essa resposta ao degrau dos sistemas de primeira ordem as seguintes grandezas:

K'------ .. ,__-------,--~ ar , :~ 0.632~1-:::/zt .... ____ t...... . ...... [

: \ : 2< ,, ., ., t

Resposta ao degrau unitario de um sistema de ordem com qanho unitario (K!a) = 1.


(1) Tempo de subida da resposta (t): intervalo de tempo que decorre para que o sinal evolua de 10% a 90% do valor final. Facilmente, verifica-se que esse valor t = 2,21: = 2,21 a.

' (2) Tempo de acomoda~iio ou de assentamento tac= e 0 instante em que a resposta entra na faixa de 2% em torno do valor final e ai permanece. Tem-se muito aproximadamente t = 41: = 4/ a.

"

6.4.3 Resposta a rampa unitaria Se o sinal de entrada for u(t) = t h(t) = rampa uni-

tiria, teremos U(s) = 1/i', e a resposta Y(s) = G(s) U(s), seni:

K y ( s) = -o,:-:---:-s (s +a)

ou, expandindo em fra~6es parciais

Y(s) = Kla _ Kla2 + Kla2 s

2 s s +a

A transformada inversa de Laplace determinar a resposta no tempo:

y(t) = K (t- 2.(1- e-"')} parat~O a a

R

permite

,,.-------'VW.--.... --=-~ --l.--------------r v, c T _________ }_

Qi!iliblfijl Circuito.

Capitulo 6 Resposta din8mica dos sistemas lineares 71

R,

R,

v, + v,

Circuito com do is amplificadores operacionais.


Rotor.

Estudaremos a seguir a dinamica dos sistemas de 2' ordem.

Contrariamente ao que ocorre com os siste-mas de 1' ordem, cujo comportamento e hastante uniforme, o comportamento dos sistemas de 2' ordem varia radicalmente com o valor dos para-metros que apresentam. Dai a necessidade de uma classificas:ao previa, para o hom entendimento dos fenomenos que ocorrem em cada caso. E o que faremos a seguir.

Como ja sahemos, o modelo matematico basico de um sistema de 2 ordem pode ser expresso por uma equas:ao diferencial do tipo

j+pj+qy=Ku

onde u = u(t) e a variavel de entrada do sistema e y(t) e a variavelde saida,sendo,ainda,j = dyldteY = J2yld2t. Os coeficientes p, q e K sao constantes.

A funs:ao de transferencia na primeira forma nor-mal sed., en tao:

G(s) = Y(s) = K U(s) i+ps+q

que, entretanto, costuma ser escrita com a nota

tem-se a2 > ro2 e r = (a/ro) > 1. " ~ "

Assim, podemos fazer

a}- ro2n = ~2

e, em consequncia:

s, =-a+)a'- ro; =-a+~ s2 =-a+ )a'- ro; =- a- ~

Como OS radicandos sao positives, ji que a2 > ro;,, teremos dois polos reais e desiguais. Como, ainda, a > ~, ambos os polos seriio negatives (ver Figura 6.14). Podemos, entiio, escrever:

J 2 2 s =-a- a - ro =-a 1 " s2 =-a+)a'- ro; =-b

com a e b positives e b > a. 0 polin6mio caracteristico, sob forma fatorada,

senl.:

Q(s) = (s- s1)(s- s,) = (s + a)(s + b)

E a fun

7 4 CoNTROLE ESSENCIAL

6.6.2 Resposta ao degrau unitario De forma aruiloga, pode-se calcular facilmente a

resposta ao degrau unit:irio.

1 K Y(s) = G(s)- = ----

s s(s+a)(s+b)

Expandindo em fras;oes parciais, obtem-se:

K K{l b Y(s)= s(s+a)(s+ b)= ab -;- (b -a)(s +a)+

(b-a;(s+b)}

ou, no dominio do tempo

() K[1(b . ., a.,,)] y t = - - --e - --e ab b-a b-a

6.6.3 Resposta a rampa unitaria A transformada de Laplace de uma rampa unita-

ria e {h(t)} = .1.. e, entao, a resposta de urn sistema s'

de 2' ordem a essa rampa e:

1 K Y ( s) = G( s)- = ....,...,.---=.::..,...-___,. s

2 s2 (s + a)(s +b)

0 desenvolvimento em fras;oes parciais di-nos:

Y(s)=- ----+ -K{1 a+b b ab s2 abs a(b - a)(s +a)

b(b- ~(s+b)} A transformada inversa dessa expressao e a resposta,

em funs;ao do tempo, desse sistema a rarnpa unitiria:

( ) K { a + b b . , a .,, } yt = ab t---;;b+ a(b-a)e - b(b-a)e

Pode-se verificar que o valor inicial da resposta e nulo (y(O) = 0) e amedida quet7 oo,aresposta tende a acorn pan ar a rampa - t--- . h K~ a+bJ

ab ab

6.6.4 Resposta ao degrau unitario de urn sistema dotado de dois polos reais e urn zero

Seja o sistema

G(s) = K(s +c) (s + a)(s+ b)

A resposta ao degrau unitirio no dominio da fre-quencia senl.:

Y(s) K(s +c) = K{A + ....!!__+ ~} s(s+a)(s+b) s S+a s+b

Teremos

A- S+C 1 - (s + a)(s+ b) .o

c

ab

B = -s (-:-:-'-~-) L c-a -a(b- a)

e

c - - __:_..::.__ s+c ] c-b - s(s+a) -b- b(b-a)

Resulta:

Y(s) = K{-c _ (c- a) + (c- b) } abs a(b- a)(s +a) b(b- a)(s +b)

Passando para o dominio do tempo, vern

( ) K{ c (c- a) -' (c- b) _,} y t = -- e + e ab a(b- a) b(b- a)

ou, ainda,

() Kc{1 b(c-a) -' a(c-b) -"} yt=-- e+ e ab c(b-a) c(b-a)

apftulo esposta din8.mica dos sistemas !ineares 75

v1

1.ooon R

Circuito.

76 CONTROLE ESSENClAL

Neste caso, os polos sao reais e iguais. Para que a expressiio geral da fun10iio de transferencia

K

tenha dois polos reais e iguais, o denominador dever:i ser da forma

Isto e, devemos ter (ver Figura 6.17):

,,,;

jro

-a 0 a

W!ii'Fiiil Do is polos iguais em ~oo.

A funs:ao de transferencia para esse caso sed., entao:

_ Y(s) = ____!!__ 2 G(s)- U(s) (s +a)

6.7.1 Resposta impulsiva A resposta ao impulso unitario, sendo simples-

mente a transformada inversa da funs:ao de trans-ferenda, pode ser obtida diretamente da tabela de transformadas de Laplace.

Logo, para t ~ 0, a resposta impulsiva e:

g(t) = Kteat

6. 7.2 Resposta ao degrau unitario A resposta de urn sistema critico ao degrau uni-

tirio e:

Y(s)= K -----::-K { 1 1 s(s+a)2 a 2s a(s+a)2 '_1 }

ou

K {1 a Y(s) = -;;z -;- (s + a)2 (s: a)}

Pela transformada inversa de Laplace, obtemos:

y(t) = ~ {1- ate-"'-e"' }= ~ {1 - (at+ 1)e-"'} a2 az

Capitulo 6 Resposta dinSmica dos sistemas lineares 77

v1 1.ooon

R

Ui!ll'blil:l Circuito do exemplo 6.13.

Os sistemas subamortecidos tern urn par de po-los complexos conjugados com parte real negativa.


A resposta impulsiva desses sistemas e uma senoide amortecida que empresta a resposta transit6ria desses sistemas urn caniter oscilat6rio. A fun-;ao de trans-ferenda de urn sistema subamortecido de 2' ordem, isento de zeros, pode ser apresentada sob a forma:

G(s)= K K s2 + 2cxs +OJ~ (s + o;f + OJ~

com

Na analise a seguir, vamos supor, ainda, que todos os coeficientes da fun-;ao de transferencia sao positivos.

Nos sistemas subamortecidos s < 1 e, portanto, a< ron.

Os palos sao as raizes do polinomio caracteristico

Q(s) = s2 + 2cxs + OJ;= (s + o;)2 +Old

ou seja (ver Figura 6.19): 51,2 =- o; jOld

s1 jro jrod ... e,

(1)~',,

-a ,/ 0 ___ ,/,'

,,:......... -irod s,

cr

W!!lbliijl Palos de um sistema de 2a ordem subamortecido.

6.8.1 Resposta impulsiva Sabemos que a resposta ao impulso unitario e a obti-

da pela transformada inversa da fun

Amplitude

l.4t----- ;------ -:------ -:------ -~------ ~------ ~------

i y(t) = K2 [1 - 00"e -ot sen(rodt + ~~ \ ro 00d J - ~---- n $=arctan(:d] ,_

st ~~~~: :--- ~: T ~ ~ ~ ~: ~~::- ~ ~ ~l:: ~ ~ ~: [--:::: j::::::; ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

6H--- -------:-------:-------f------ ------ ------; ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

4H--- -------!-------~------~------ ------ ------, ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

2H---- ------+------j-------f------ ------ ------, ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

0 I 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 tempo (s)

W!I!!EI%11 Resposta ao degrau.

6.8.3 Indices de desempenho A esse tipo de resposta estiio associadas defini-~6es de varias grandezas que sao muito utilizadas como especifica~6es do criteria de desempenho dos sistemas de controle. Elas permitem tambem obter facilmente a fun~iio de transferencia do sistema a partir do grafico da resposta ao degrau. Alem disso, essas defini~6es podem ser, em muitos casas, extrapo-ladas com boa aproxima~iio, para sistemas de ordem superior a segunda, com base no conceito de palos dominantes (que seriio vistas adiante). As defini~6es sao as seguintes:

Tempo de subida (t,). E: o intervale de tempo em que o sinal evolui de 10% a 90% do valor final da res-pasta. Alguns autores adotam de 5% a 95% do va-lor final e, em alguns casos, de 0 a 100% do valor final da resposta. Geralmente, adota-se esta ultima

defini~ao para o caso dos sistemas subamortecidos. Nesse caso, o tempo de subida pode ser calculado pela formula

f=Jt- ' - com = arctantd)

(f)d


Tempo de atraso (t,). E o tempo necessaria para que a resposta alcance 50% do valor final pela primeira vez.

lnstante de pica (t,). Eo tempo que decorre ate o primei-ro valor de pica (valor maximo) da resposta.

Jt t = -

p (j)d

Maximo sobressinal (M,). 0 maximo sobressinal e o ma-ximo valor alcan~ado pela resposta do sistema (valor de pi co) menos o valor final da resposta. E geralmente apre-sentado em valor relative; pode ser calculado em fun~ao do grau de amortecimento.

M y(tp)- y(=) p y(=)

Se o valor final da resposta diferir da unidade, e ha-bitual que se de o maximo sobressinal, em porcentagem:

Mp%= y(tp)- y(=) y(=) 100%

0 maximo sobressinal pode ser calculado em fun-~iio dos parametres a e wd ou em fun~ao do grau de amortecimento ~ do sistema subamortecido:

_,,

Mp=eR

ou

- MP = eroa

0 grau de amortecimento I; pode tambem ser calculado em fun~ao de M,,

~ = 1 2

1 + 1t (ln~)2

Tempo de acomoda~ao (t.,). E: o tempo necessaria para que a resposta do sistema se estabilize dentro de certo


percentual de seu valor final. Duas ou tres porcentagens de tolerancia sao comumente utilizadas: 1%, 2% au mesmo 5%. Para que um sistema de 2.a ordem supera-mortecido se estabi\ize dentro da faixa de 2%, pode-se considerar um tempo de acomoda


W11161iD Diagrama de b\ocos.

82 CONTROLE ESSENClAL

Wi!'blfJI Circuito.

Capftu\o 6 Resposta dinAmica dos sistemas lineares 83

Amplitude 8

7

6

5 _J.~-~

4

3

2

0 2 3 4 5 teinpo (s)

W!II'F'#fj Resposta de um sistema a um degrau unit


Wi!'blfD Motor.

Ui!i!!Fiitfl Diagrama de blocos do motor.

Diagrama de blocos do motor parcialmente reduzido.

B(s)

de blocos nUmero do

Trata-se de um sistema com um par de polos complexos conjugados e um zero real. A fun~ao de transferencia de tal sistema e:

G( s) = --,--K_(o...s _+--'a )c.....,.. s2 + 2as + m2

n

com

K(s+ a)

Posi~ao angular do rotor {radl 1A ---------:--------r--

1,2 -------:--------r--t

0,8

0,6 -

-- -L--

---

ou, em funs;ao do tempo:

Ka{ pro _ } y(t) = -2

1-~e "'sen(rodt + ) ron a(J)d

com

rod = )ro;- a2

e, = arctan (:J e "'=e-e+90

'I' 1

P. =)

86 CoNTROLE ESSENCIAL

Amplitude 1,5 ----:---- -;---- -:----- ~- ----:--- 5(5 + s)

l l l '

l ' ' ' ' ' '

1 -- _:_---- ~----+- -"-'"-,~ _ _; __ .;__....:_ _ _;_ -- ~-' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' l

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' - ~---- -:----- ~---- ~----- ~---- ~----- ~---- ~---- -:---- ~-

' ' ' ' ' ' ' l I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 tempo (s)

Amplitude 1,5 ----r----~-----r----,-----~----T----~-----r----,----,-

' ' ' ----f----~-----:-- f----::r---,--~----=:b:::;--5(5- s) ---~----1-----~--

, ' 0,5 ----~-----;-

' '

0 ---+ ' --i-----~----1-----~----+----~-----~----~----i-, I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

-0,5 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2tempo(s)

das 1 em sistemas dotados de 2 e um zero

Os sistemas de terceira ordem podem ter tres pa-los reais ou apenas urn polo real mais urn par de palos complexos conjugados. Isso permite, de certa forma, estender aos sistemas de 3 ordem a classifica~iio apre-sentada para os sistemas de 2 ordem, vista anterior-mente. Como nos de 2' ordem, os primeiros nao apre-sentam transit6rio oscilante, enquanto nos segundos OS transitorios SaO geralmente OSCi!at6rios. Fica de fora apenas a questiio dos sistemas criticos. Talvez pudessemos falar em sistemas de 3' ordem criticos (tres palos coincidentes) ou semicriticos (dois palos coincidentes e outro distinto ), mas essa nomenclatura niio e habitual. Alem de esses casos particulares terem pouca importancia pratica, niio seriio abordados aqui.

6.10.1 Sistemas com tres polos reais A fun~iio de transferencia de urn sistema com tres

palos reais (-a, -b, -c), isento de zeros, pode ser escrita da seguinte forma:

K G(s) = (s + a)(s + b)(s +c)

ou

K G(s) = 2 s3 +(a+ b+ c)s +(ab+bc+ca)s+ abc

6.10.2 Resposta ao degrau unitario Neste caso,

1 K Y(s) = G(s)-:;- = s(s + a)(s + b)(s +c)

Fazendo a expansiio de Y(s) em fra~6es parciais, calculando os residuos e determinando as transfor-madas inversas de Laplace, obtemos:

{ 1 e'"' e'' y(t) = K -- - _ __::_ __

abc a(b- a)(c- a) b(a- b)(c- b)

. e,.- , '" }

ou

Capitulo 6 Resposta din.mica dos sistemas !ineares 87

K y(t) = abc

{ 1+ bc(b- c)e'"' + ca(c- a)e'' + ab(a- b)e"}

(a- b)(b- c)(c -a)

ambas para t ~ 0. A resposta e a soma de uma constante mais

tres exponenciais decrescentes, uma para cada polo, como era de se prever. Note que a condi~iio de C.I. = 0 e facilmente verificivel.

88 CoNTROLE ESSENCIAL

6.1 0.3 Sistemas com um polo real e dois polos complexos conjugados

A funs:ao de transferencia desse sistema e

K c;(s)- 2 2 (s + a)(s + 2as+ Ol,)

K (s+ a)((s+ a)2 + ro;)

sendo

Como sempre, estamos considerando todas as constantes como positivas (Figura 6.33).

s1 jro

-u "

90' s,

Wi!!FF1 Polos.

6.10.4 Resposta ao degrau unitario No dominio da frequencia, a resposta ao degrau

unitirio e

1 K Y(s) = (;(s)- = 2 ,

s s(s+a)((s+a) +Old)

A transformada inversa y(t) dessa funs:ao pode, como sempre, conforme Figura 6.34, ser obtida a par-

s,

Pa

-a -a

90'

tir da expansiio em funs:oes parciais de Y(s). 0 resul-tado que se obtem e 0 seguinte:

com

e.= arctan[ Old J ~-a) e" = arctan ~J + 90'

6.10.5 Polos dominantes Vamos examinar, agora, urn aspecto importante

para os sistemas dotados por tres ou mais polos. Co-mecemos por relembrar as respostas ao degrau dos sistemas com tres polos, tanto no caso em que os tres polos sao reais como no caso em que ha um polo real e dois complexes conjugados.

Consideremos, inicialmente, o sistema com tres polos reais. A formula do dlculo da resposta ao de-grau unitirio e, como ji vimos:

y(t) = .!5_ abc

{ 1+ bc(b- ck"' + ca(c- ak'' + ab(a- b)e-"}

(a -b)(b -c)(c -a)

Vamos supor que um dos polos, por exemplo o polo em -c, se distancia dos demais (ca cb e par-tanto c2a x b). Essa expressao pode, entao, ser res-crita com muito boa aproximas:ao:

() K {1 bc(-ck"' + ca(ck'' + ab(a -b)e-"} y t = - + __:_.__:__-,--'--':----,--'----'-abc (a -b)(-c)(c)


K { be-"' ae-" y(t)~- 1+-----abc (a-b) (a-b)

+abe"}~

K { be-"' ae-" } abc 1 + (a- b) - (a- b)

Pelo fato de ser ? ab, vemos que a presens:a do terceiro polo tern uma contribuis:ao muito me-nor que a dos outros dois polos na resposta do sis-tema. Assim, a resposta desse sistema de 3 ordem aproxima-se da de um sistema de 2 ordem. Esse mesmo fato tambem ocorre para a resposta aos va-rios tipos de excitas:ao (veja, por exemplo, o caso da resposta impulsiva). Por isso, os outros dois polos mais pr6ximos da origem sao denominados pa-los dominantes do sistema.

A conceituas:ao de polos dominantes estende-se facilmente aos sistemas de 3' ordem com um par de polos complexes e um polo real. De fa to, nesse caso, a resposta ao degrau e dada por:

( ) K { 1 C02

"' aw, "' ( )} yt =-- --"e- +--e- senco t-


1 0q\~~Ge;?. 4~~ieht;iie.ia\i~o.}a~1#918 ;(eali (0,0,1~) e rn~ito ':l)en9rque ? corr

80 G1

( s) = _ ___::_::_ (s + 5)(s + 7)

g,(t) = 40(e-5'- e-7>)

40 40 s+5 s+7

G (s) = 20(s + 4) _ -10 + _12_ 2 (s+ 5)(s+ 7) S+ 5 s+ 7

g2(t) = 10 ( -e-5' + 3e-7')

G(s)= 20(-s+4) -~- 110 3 (s + 5)(s + 7) s + 5 s + 7

g3(t) = 10 (9e-5'- lle-7')

Vemos que, pelo desenvolvimento da fun~ao de transferencia em fra~6es parciais, cada parcela traz uma particular contribui~ao para a forma~ao da resposta caracteristica do sistema, cuja nature-za matematica depende da localiza~ao dos palos do sistema. Nos exemplos acima, cada parcela, em cada urn dos casas, gera urn a exponencial atenuada. Os zeros da fun~ao de transferencia, por sua vez, nao alteram a natureza de cada uma das parcelas dessa resposta; eles influenciam apenas na deter-

mina~ao do valor e do sinal algebrico de cada urn desses componentes, pois contribuem apenas para o calculo dos residuos (o valor dos numeradores), na expansao em fra~6es parciais. Assim, embora a natureza das curvas nao seja alterada pela locali-za~ao dos zeros da fun~ao de transferencia, a apa-rencia e o posicionamento da curva de resposta sao altamente influenciados por eles.

Ja vimos que os sistemas basicos para estudo da resposta dinamica dos sistemas lineares sao os de 1' e de 2' ordens. De fato, suponhamos inicialmente urn sistema qualquer, mas que tenha apenas palos reais simples (nao repetidos). Os zeros podem ser quaisquer, desde que sejam em numero menor que os palos. A expansao da fun~ao de transferencia desse sistema em fra~6es parciais, todas de 1' ordem, mos-tra que esse sistema pode ser considerado como uma soma ou superposi~ao de sistemas de 1' ordem. En-

Capitulo 6 Resposta dinmica dos sistemas lineares 91

tretanto, no caso em que a expansao inclui palos reais e complexos ou ate mesmo imagimirios puros, nao podemos supor o sistema como composto somente por sistemas de 1' ordem, simplesmente porque tais sistemas nao podem contribuir para o aparecimento de palos complexos ou imaginarios. Estes, que apa-recem aos pares como palos conjugados, s6 podem provir de sistemas de 2 ordem, subamortecidos ou criticos. Entao, a resposta de urn sistema complexo pode ser convenientemente analisada a partir apenas dos sistemas considerados basicos, isto e, a partir das propriedades dos sistemas de 1' e 2' ordens que com-poem o sistema dado.

92 CoNTROl ESSENCIAL

lnicialmente, neste capitulo, foi explicado que a resposta de urn sistema LIT a uma excita~ao qual-quer consta de duas partes: componente natural e componente for~ado ou de regime permanente. Os sistemas nos quais a resposta natural desaparece com 0 tempo sao denominados sistemas estaveis. Qyando isso nao acontece, o sistema e inst:ivel. Depois dessa analise, foram apresentados os sinais de entrada mais comumente utilizados: o degrau, a ramp a, a parabola e o impulso, que e urn modelo te6rico, mas muito importante, de excita~ao do sistema. A partir dai foi iniciado o estudo da dinamica dos sistemas propria-mente dita. lniciou-se pelos sistemas de 1' ordem, ilustrado por varios exemplos e seguiu-se com uma

cole~ao de problemas propostos. Depois, foi apre-sentada a dinamica dos sistemas de 2 ordem. Vimos que, contrariamente ao que ocorre com os sistemas de 1' ordem, cujo comportamento e bastante uni-

1. A velocidade de rota

Urn bloco de massa M = 1 kg pode deslizar sobre uma plataforma horizontal, mas fica sujeito na base a urn atrito viscose de coeficiente 0,1 Ns/m. No instante t = 0, e aplicada uma fors:a de im-pacto muito intensa (10.000 N), mas de curta dura10io (0,01 s). Essa for10a pode ser considerada como sendo urn impulse. Qy.al o valor desse im-pulso? Qyal a velocidade v(t) do bloco a partir de t = 0?

Qgal a resposta a uma rampa unitaria do sistema cuja fun10ao de transferencia e G(s) = 5/(s + 2)? Informac;lio: U m sistema de 1!! ordem com funr;ao

, . Y(s) K de transferenc1a -- = -- tern como resposta U(s) s+ a

irampaunitaria(U(s) = 5~): y(t) = K [t- ~(1- e ")}

a a

8. Qyal a resposta do sistema representado pelo diagra-ma de blocos da Figura 6.37, a uma rampa unit:iria?

9. No circuito da Figura 6.38 se tem um amplificador operacional associado a dois resistores e urn capa-citor: (a) Determine a fun10io de transferencia

G(s)= V,(s). V,(s)

(b) In clique o valor do ganho ~ (constante de gan-ho de frequencia zero).

(c) Indique o valor da constante de tempo do circuito. (d) Calcule a resposta do sistema (v,(t)) para o caso

em que a entrada e urn degrau unitirio de ten-sao (vMl = h(t).

13. Calcule a resposta a urn degrau unitirio do sistema cuja funr;ao de trans ferenda e dada a baixo.

20(s + 1) G(s) = (s + 4)(s+ 5)

14. A resposta de determinado sistema a urn degrau unitirio aplicado no instante t = 0 e:

V8pllUI0 0 n~u::H!;:>l

94 CONTROLE ESSENCtAL

v(t) = 10e-' cos(2t)

Determine a funs;ao de transferencia desse siste-ma e desenhe cuidadosamente o griifico de v(t) em funs:ao do tempo-

16. Sendo a funs:ao de transferencia de urn sistema

Y(s) 100 --=

U(s) i + 6s+ 25

(a) Calcule a resposta desse sistema a urn degrau unitario.

(b) Verifique se o grifico da Figura 6.40 descreve corretarnente a resposta do problema.

FOrmulas Uteis:

$=arctan tO:) Amplitude

4,5 ----:-: ----:--:----~---:

,_: :::t :-:_r:r:::_'_!,:::"':-r,_:_----'~~-----i--3 ---+--- ' '

::: ::: c:r :::::::::: : --- -:r _: ---,-----,--

0,8 1 1,2 1A 1,6 1,8 tempo{s)

Qijlllbiilel Resposta ao degrau unitario.

17. Urn bloco de massa Mligado porum amortecedor e urna rnola a urna parede fixa est:i sob a as:ao da fors:af(t), como indica a Figura 6.41. Dados: M = 1 kg; B = 20 N/(rnls); K = 64 N/m. Sendo a fors:af(t) = 160 h(t) = degrau de 160 N,de-termine a funs:ao de transferencia G(s) = X(s)IF(s), o deslocarnento e a velocidade ern funs:ao do tem-po, para o caso da fors:a descrita. Qlal a velocidade m:ixima alcans:ada pelo move!?

X I

Qi!JIIb@ll Diagrama de blocos.

18. Dado o sistema cuja funs:ao de transferencia e

G(s) = Y(s) = -;;-12_s_+_4_0_ U(s) s2 +lOs+ 24

determine as constantes de tempo e as respostas ao impulse e ao degrau unit:irios.

19. Determine a funs:iio de transferencia G(s) = (V,(s)/ V1(s)) do circuito indicado na Figura 6.42. Determi-ne os polos e zeros e represente-os no plano s. Qyal a resposta do sistema a urn degrau unit:irio de tensao? Dados nurnericos:

R,

R = 104 0 C = 10 ""' 1 ' 1 ~ R=2 104 0;R,= 105 0 R,C,=ls

Ganho K0 =-1

Amplificador ideal

R

WififHtJ Circuito. 20. Sendo a funs:ao de transferencia de urn circuito

V2(s) = 1.600 V, (s) s2 + lOs+ 160

(a) Calcule a resposta desse circuito a urn degrau unit:irio de tensao.

(b) Fas:a urn esbos:o cuidadoso da curva de resposta encontrada no item anterior.

FOrmulas Uteis:

$=arctan tO:) 21. Determine a resposta ao degrau unit:ido do sistema

indicado no diagrama de blocos da Figura 6.43.

U(s) Y(s)

Wi!ibl51 Diagrama de blocos.

22. 0 sistema da Figura 6.44 representa urn servo-motor de c. c. de ima permanente, controlado pela tensao de armadura atraves de urn amplificador de potencia cujo ganho de tensiio e K" = 1. A carga do motor e representada pelo momenta de inercia ] da parte girante. Os atritos sao desprezfveis. A Figura 6.45 representa o diagrama de blocos desse sistema, tendo como entrada a tensao aplicada no filtro RC e como safda a velocidade angular do ro-tor. Determine a resposta ro(t) do rotor a urn degrau de tensiio u(t) = 10 h(t) volts. Dados numericos: R = 10 kn; C = 10 J.LF; K = 0 04 V/(rad/s) R = 10 Q ]= w-s m2kg.

m ' ' a '

de potencia armadura

Qi!!IIFI@I Servomotor de cc.

iibi!!Fii,.j Oiagrama de blocos. 23. No sistema representado pelo diagrama de blocos

da Figura 6.46, tem-se:

U(s)

G(s) = 40/(s' + 9s + 8).

de blocos.

Determine: (a) A funs:ao de transferencia F(s) = Y(s)IU(s). (b) Os polos e zeros do sistema. F as: a urn a repre-

senta


28. Determine a resposta ao impulso unitclrio do siste-ma cuja funs:ao de transferencia e

G,(s)= 2(s+25)

s +8s+25

obedecendo a seguinte sequencia: (a) Mostre que essa funs:ao de transferencia pode

ser escrita como segue:

G(s)- 21 + s+4 1

- (s + 4)' + 9 (s + 4)2 + 9

(b) Mostre que a resposta ao impulse unit:irio re-sulta:

g(t) = e-"(7sen(3t) + cos(3t))

(c) Recorde urn pouco da trigonometria e mostre que essa resposta pode ser escrita sob a forma:

g(t) = 7,07e-" sen(3t + 8,13")

29. Determine a resposta ao degrau unit:irio do siste-ma cuja funs:ao de transferencia e:

G(s)= (s+25) s2 +8s+25

Fas:a inicialmente o dlculo pelo desenvolvimen-to em fras:6es parciais e transformada inversa de Laplace. Depois, utilize a formula dada a seguir, deduzida para o caso de sistemas com urn par de polos complexos e urn zero real. Observal'iio: Sistema de 2!! ordem, subamortecido, com urn zero real em -a (ver Rgura 6.49):

G(s) = K(s+ a) s2 + 2as + w;

K(s+ a)

A resposta ao degrau unitclrio nesse caso e dada pela expressao vista anteriormente.

jro s,

-a

Wi!ibiiijl Polos.

com

3 G(s) = , 4 5s' + 5S+ 1,5 s + '

Fas:a inicialmente o d.lculo por meio do desenvol-vimento em frac;6es parciais e transformada inversa de Laplace. Depois, utilize a formula dada a seguir, deduzida para o caso de sistemas de Ja ordem com polos reais, e compare os resultados. Observafiio: A formula geral para c:ilculo da resposta ao degrau unit:irio de urn sistema de Jl! ordem com polos reais (em -a, -be -c) e isento de zeros e:

K g(t) = abc

{ 1+ bc(c -b)e."' + ca(a- c)e"" + ab(b- a)e"}

(b- a)(c- b)(a- c)

33. Mostre que a resposta ao impulse unit:irio de urn sistema de Ja ordem com poles reais desiguais e isento de zeros

K G(s) (s + a)(s+ b)(S+ c)

e

g(t) = K

L- :;:c- a)+ (a- ;;;c- b)+ -:-(a---:c-:;~-b -_ --,-cJ Verifique tambem que a condis:ao inicial e nula (C.I. = 0).

34. Determine a resposta ao degrau unit:irio do siste-ma cuja func;ao de transferencia e:

G(s) = Y(s) = 400 U(s) (s + 10)(s2 + 1,256s + 40)

Verifique tambem que o valor inicial da resposta e nulo. ObservafiiO: Trata-se de urn sistema isento de zeros, com dois polos complexes conjugados e mais urn polo real.

K G(s)= ' ' (s + a)(s + 2a.s + ro.)


A formula geral da resposta de tal sistema a urn degrau unitario e:

K ro' y(t) = -(1- -" e"'-

aro' p2 " "

aro.,( e --"-e- sen ro t- -P ro J "

" d

e, + 90"))

com

P, =)

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Resposta Dinâmica de Sistemas Lineares Controle Essencial Capítulo 6