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0

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃOCENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA E PRODUÇÃO

JULIANO CÉSAR DA SILVA FALCÃO

ANÁLISE DE ESCOAMENTO DE UM FLUIDO REAL: água.

São Luís2006

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1


ANÁLISE DE ESCOAMENTO DE UM FLUIDO REAL: água

Monografia apresentada ao Departamento de EngenhariaMecânica e Produção da Universidade Estadual doMaranhão, para obtenção do grau de bacharel emEngenharia Mecânica.

São Luís2006

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2

Falcão, Juliano Cesar da Silva.

Análise do escoamento de um fluido real: água./Juliano Cesar daSilva Falcão. – São Luís, 2006.

42 f.Il.

Monografia (Graduação em Engenharia Mecânica) – Universidade

Estadual do Maranhão, 2006.

1.Escoamento 2. Fluido 3. Modo. I. Título.

CDU: 628.1

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3


ANÁLISE DE ESCOAMENTO DE UM FLUIDO REAL: água

Monografia apresentada ao Departamento deEngenharia Mecânica e Produção da UniversidadeEstadual do Maranhão, para obtenção do grau de

bacharel em Engenharia Mecânica.

Aprovada em / /

BANCA EXAMINADORA

________________________________________________ Profª Ms. Carlos Meneses (Orientador)

Universidade Estadual do Maranhão

________________________________________________

Profº João Leal Gonçalves NetoUniversidade Estadual do Maranhão

________________________________________________ Profº MSc Valdirson Pereira Mendes

Universidade Estadual do Maranhão

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4

A minha família e a minha esposa

Silvane Pereira Magalhães Falcão, por

tornarem possível este momento especial

da minha vida.

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5

AGRADECIMENTOS

Uma homenagem especial e o meu agradecimento às Pessoas que contribuíram

em mais um estágio de minha vida;

Ao Profº M.Sc. Carlos Menezes, por sua orientação, durante este trabalho;

Ao Profº M.Sc. Wellinton de Assunção, pela importante avaliação e críticas feitas

ao projeto desta dissertação;

Aos meus amigos de faculdade, que contribuíram durante esta jornada;

E a todos que participaram direta ou indiretamente para o sucesso deste trabalho.

Um abraço ao futuro

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6

Tentar é arriscar ao fracasso. Mas os

riscos têm que ser corridos, pois o maior

perigo na vida é não arriscar nada. A

pessoa que não arrisca nada, não faz

nada, não tem nada e não é nada... não

pode aprender, sentir, crescer, viver ou

amar.

Leo Buscaglia

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7

RESUMO

O trabalho aborda o assunto fluido como tema principal. O interesse em estudar e desenvolvê-

lo foi baseado em assuntos relacionados a todos os campos da Engenharia, seja na área

automobilística, aérea ou naval, sabe-se que esse estudo contribui para o desenvolvimento da

tecnologia aplicada em máquinas e também contribui para o conforto de todos que operam e

utilizam equipamentos.Com base no estudo de autores foi possível desenvolver um trabalho que pudesse esclarecer

um pouco de todos os recursos necessários e aplicados ao cotidiano. Entretanto, o foco será

voltado para um estudo teórico onde se esclarece o fluido real, aprofundando o assunto será

demonstrado o regime de um fluido bem como suas principais características ao escoamento e

também algumas formas de determinar e medir perda de carga ao longo de um percurso

tubular.

O conhecimento das forças exercidas pelos fluidos em movimento é de significante

importância. Dessa forma é possível o dimensionamento de tubulações adequadas a cada tipo

de situação e conforme o estudo é aprofundado é possível melhorar a performance de

equipamentos.

Palavra chave: Escoamento. Fluido. Modo

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8

ABSTRACT

The work approaches the flowing subject as main theme. The interest in to study and to

develop it was based on subjects related to all the fields of the Engineering, be in the

automobile, aerial or naval area, it is known that that study contributes for the development of

the technology applied in machines and it also contributes to the comfort of everybody that

operate and they use equipments.

With base in the authors' study was possible to develop a work that could illuminate a little of

all the necessary resources and applied to the daily. However, the focus will be gone back to

a theoretical study where the real fluid is illuminated, deepening the subject the regime of a

fluid will be demonstrated as well as its main characteristics to the escoamento and also some

forms of to determine and to measure load loss along a tubular course.

The knowledge of the forces exercised by the fluids in movement is of significant importance.

In that way it is possible the dimension of appropriate pipeline to each situation type and

conform the study it is deepened it is possible to improve the performance of equipments.

Keywords: Flowing. Fluid. Bechas

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LISTA DE FIGURAS

Figura 01: Vista transversal da tubulação……….....................................................................19

Figura 02: Perfil de velocidade semilogarítimico.....................................................................19

Figura 03: Perfil de velocidade lei exponencial........................................................................20

Figura 04: Seção transversal uniforme...…...............................................................................22

Figura 05: Seção transversal com mudança de área 1...............................................................22

Figura 06: Seção transversal com mudança de área 2...............................................................22

Figura 07: Tubo de Pittot………..............................................................................................25

Figura 8: Venturi………………...............................................................................................25

Figura 09: Diagrama do Moody…………………………........................................................28

Figura 10: Rugosidade seletiva de tubos……………...............................................................29

Figura 11: Coeficiente de perda de carga com entrada arredondada……................................31

Figura 12: Coeficiente de perda para uma expansão……………………................................32

Figura 13: Características do escoamento em curva…….........................................................32

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO....................................................................................................................12

2 FLUIDO................................................................................................................................13

2.1Escoamento..........................................................................................................................13

2.1.2 Formas de escoamento.....................................................................................................13

2.1.2.1 Escoamento laminar......................................................................................................13

2.1.2.2 Escoamento turbulento..................................................................................................13

2.2 Características do escoamento interno................................................................................14

2.2.1 Camada limite..................................................................................................................14

2.2.2 Separação.........................................................................................................................14

2.2.3 Escoamento secundário....................................................................................................15

3 ESCOAMENTO DENTRO DE UM TUBO......................................................................15

3.1 Perfis de velocidade desenvolvido em tubos......................................................................17

3.2 Energia no escoamento em tubos – Equação de Bernoulli.................................................21

3.3 Perda de carga…………………………………….............................................................25

3.3.1 Perda de carga distribuída................................................................................................25

3.3.2 Perdas localizadas………................................................................................................30

3.3.3 Perdas localizadas em entradas e saídas...........................................................................30

3.3.4 Perdas localizadas em expansão e contração...................................................................31

3.3.5 Perdas localizadas em curvas e tubos..............................................................................32

3.3.6 Perdas localizadas em válvulas e acessórios....................................................................33

3.3.7 Perdas localizadas em dutos não-circulares.....................................................................34

4 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM ESCOAMENTO EM TUBOS................................35

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11

4.1 Para sistemas de uma trajetória...........................................................................................35

4.2 Em sistemas de trajetórias múltiplas...................................................................................35

4.2.1 Medições do escoamento.................................................................................................36

4.2.1.1 Métodos diretos.............................................................................................................36

4.2.1.2 Tipos de medidores.......................................................................................................37

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS..............................................................................................39

REFERÊNCIAS........................................................................................................................40

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12

1 INTRODUÇÃO

Em um breve histórico a respeito dos fluidos, pode-se obter explicações para o

escoamento.

Os fluidos diferem dos sólidos pela característica das forças de coesão entre suas

moléculas. A principal diferença prática que se pode observar entre sólidos e fluidos é que,

nos primeiros, ao aplicar-se uma força sobre sua superfície a deformação é proporcional à

intensidade dessa força, enquanto que, nos fluidos, a deformação tende ao infinito ao longo do

tempo mesmo que uma força infinitesimal seja aplicada.

Ao longo dos anos os estudos sobre o comportamento dos fluidos se expandiu

consideravelmente. Essa rápida evolução se deu através da realização de experiências capazes

de identificar os diversos tipos de escoamento e compreender as forças que provocam cada

um destes.

Embora existam poucos problemas de escoamento, o método de solução através

de análise é importante.

Conforme o estudo, observa-se que houve um avanço significativo nas últimas

décadas. E nesse contexto, pode-se pensar em fazer um trabalho baseado no conhecimento

científico de que se dispõe.

Para melhor entendimento a monografia ficou assim ordenada: no primeiro

capítulo descreve-se o tipo de fluido; no segundo capítulo descreve-se as condições de

escoamento; no terceiro capítulo apresenta-se uma análise do escoamento dentro de uma

tubulação; no quarto capítulo são demonstradas algumas soluções de escoamento em tubos.

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13

2 FLUIDO REAL

Para que se tenha um fluido real ele deve ser compressível, viscoso e seu

escoamento deve ser rotacional e turbulento.

Um fluido é dito compressível quando ao sofrer a ação da pressão seu volume

reduz à medida que a pressão aumenta.

E está em regime turbulento quando de acordo com o ponto de vista Euleriano a

velocidade em um determinado ponto do espaço muda no decorrer do tempo, tanto em direção

quanto em módulo.

Quando as partículas no interior do fluido giram em torno de um centro de rotação

diz-se que o escoamento é rotacional.

No escoamento há transformação de energia potencial e cinética em energia

térmica em conseqüência teremos uma queda de energia total do escoamento.

Essa queda se deve a uma resistência de arraste, pela aderência do fluido ao tubo

fazendo com que no tubo a velocidade decresça de valor do centro até as bordas.

O estudo de um fluido real é complicado porque existem os fenômenos, causados

pela viscosidade, que é, responsável em produzir resistência ao movimento causado pela força

de cisalhamento ou de atrito entre as partículas, e também com os contornos sólidos.

O escoamento só acontece quando, houver um trabalho contra as forças de

resistência.

Um fator levado em conta da viscosidade é que, através dela pode-se distinguir

regimes de escoamento, bem como são produzidas situações diferentes às do fluido ideal.

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14

2.1 Escoamento

2.1.2 Formas de escoamento

2.1.2.1 Escoamento laminar

Através de pesquisas realizadas, verificou-se que as partículas fluidas se

movimentam em camadas paralelas, ou lâminas, escorregando através das lâminas adjacentes.

Para que ocorra é necessário que as partículas desloquem-se com uma certa velocidade,

denominada de velocidade crítica inferior.

2.1.2.2 Escoamento turbulento

Neste escoamento verifica-se que as partículas não permanecem em camadas, se

movem de forma heterogênea através do escoamento, escorregando sobre algumas e colidindo

com outra de modo inteiramente caótico e em distâncias curtas em todas as direções. E para

que ocorra é necessário que no escoamento laminar haja um acréscimo de velocidade,

denominada de velocidade crítica superior.

O regime de escoamento em tubo é medido através do número adimensional

Reynolds e de acordo com estudos, o limite estabelecido entre os dois escoamentos está na

ordem de R < 2000 para laminar e R > 4000 para turbulento, porém o número de Reynolds

crítico é função da geometria e da rugosidade das paredes do tubo.

No intervalo de 2100 e 4000 o escoamento é dito de transição e em condições

ideais pode-se chegar a números de Reynolds acima de 20000 com escoamento laminar.

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15

Para escoamento entre paredes Rc =1000, num canal aberto Rc=500, em torno de

uma esfera R=1, para esses dois últimos casos deve ser levado em conta alguns critérios como

velocidade de aproximação, a profundidade do canal e o diâmetro da esfera.

2.2 Características do escoamento interno

2.2.1 Camada limite

Nesta região o escoamento pode ser laminar ou turbulento. À medida que o fluido

passa, ela origina-se na aderência das moléculas da água à superfície, que provoca o

retardamento dos elementos do fluido que se dirigem à jusante do escoamento. A viscosidade

transmite parcialmente aderência às moléculas mais distantes. O mecanismo de crescimento

da camada limite na entrada do tubo pode ser descrito da seguinte maneira: à medida que o

fluido avança, desenvolve-se elevado gradiente de velocidade os quais estão associados com

tensões de atrito elevadas na camada limite que impede a passagem do fluido, freando os

elementos de fluidos posteriores.

2.2.2 Separação

É um fenômeno predominante do fluido quando escoa por tubulações com

expansão repentina (neste caso não pode ser evitado) ou curva. As superfícies de

descontinuidade separam camadas das linhas de corrente principal dos redemoinhos, nelas as

velocidades são maiores e haverá grande tensão de cisalhamento.

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16

A separação tem grande influência no desempenho de certos sistemas, produzindo

séria degradação da eficiência, das máquinas e algumas vezes até danificações em partes do

sistema.

2.2.3 Escoamento secundário

É o movimento em espiral duplo produzido pelo encurvamento gradual em uma

passagem fechada de uma massa líquida. Durante o escoamento a força centrífuga gera um

gradiente de pressão nas partículas mais próximas das superfícies, e a estabilidade é rompida

pela redução da velocidade no sentido das paredes, que produz a redução da força centrífuga

que atua sobre as partículas, resultando numa pressão menor.

A estabilidade ocorrerá no escoamento ideal quando o gradiente de pressão for

contra balanceado pelas forças centrífugas e centrípetas que atuam sobre as partículas.

A energia no escoamento secundário é obtida pela energia disponível do fluido,

que ficará indisponível sobre o corpo sólido.

3 ESCOAMENTO DENTRO DE UM TUBO

De acordo com estudos realizados, as tensões de cisalhamento resultante de

escoamento laminar e turbulento, criam distribuições de velocidades ao longo do escoamento

e desta forma apresenta redução à medida que se aproxima da camada da superfície sólida.

No escoamento ideal esses desvios de distribuição são alterados para que se possa determinar

métodos de cálculos quando se trata de carga de velocidade e do fluxo da quantidade de

movimento.

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17

Tomando como referencia um tubo de corrente infinitesimal dentro do fluido que

escoa, as quantidades relativas à energia cinética do fluido, o fluxo da quantidade de

movimento, a energia cinética total e o fluxo da quantidade de movimento linear podem ser

expressos em termos de velocidade média V e vazão total Q, por meio das equações

Energia cinética total:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

g

V Q

g

V Q

22

22

α γ γ α

Fluxo da quantidade de movimento:

V Qtotal ρ β =

Nas equações citadas as constantes α e β não possuem dimensão e apenas são

incrementadas como fator de correção para a carga cinética V2/2g e o fluxo da quantidade de

movimento QρV.

Quando a velocidade é distribuída de forma uniforme essas incógnitas não

aparecem, assumindo assim o valor 1, ou seja, α=β=1. E quando o escoamento apresenta um

fluxo de velocidade não uniforme as incógnitas são α>β>1.

Numa comparação entre o perfil de velocidade laminar e turbulento, pode-se

chegar a conclusão de que para um perfil longe de ser uniforme α e β apresentam valores

elevados e que para um perfil quase uniforme α e β devem ser pequenos.

No caso de escoamentos reais, a análise através da equação de Bernoulli mostra

que as parcelas de peso e elevação permanecem constantes ao longo do escoamento. E que a

viscosidade não exerce influência na distribuição de pressão hidrostática, mas sim pela

inclinação das linhas de corrente, desta forma com base nos estudos de Venard, pode-se

concluir que o somatório das cargas na equação não podem ser constantes em uma seção reta

do escoamento.

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18

Ainda na análise do autor Venard, ficou claro que cada linha de corrente possui

uma energia total diferente, e que estas, poderiam ser fornecidas por um feixe de linhas de

energia, sendo uma relativa à cada linha de corrente. Quando o estudo foi voltado para

paredes não convergentes, as características das linhas de corrente possuem interesse do ponto

de vista individual e seu conjunto é singularizado por uma única linha de energia efetiva

posicionada a uma distância αV2/2g, sobre a linha de gradiente hidráulico, assim, a

distribuição de velocidade exercem influência na equação de Bernoulli no coeficiente α.

Quando o escoamento ocorre através de constrição, o coeficiente α varia de seção

para seção, isso pôde ser compreendido observando que as partículas ao deslocarem entre

seções sofrem a mesma variação em (P/γ + Z), de mesma forma há uma queda na linha de

gradiente hidráulico. Na mudança de seção, a influência do efeito de atrito em constrição

pequena (maior velocidade) gera um perfil de velocidade largo, em conseqüência α na seção

estreita será menor. Logo, a perda de carga entre as seções será dada pela queda da linha de

energia.

Nos cálculos de Engenharia ignora-se os termos α da equação de Bernoulli.

Assim, concluiu-se que a perda de carga convencional não é igual à perda de carga exata.

3.1 Perfis de velocidade desenvolvido em tubos

Segundo FOX pode-se chegar ao perfil de velocidade por equações

semilogarítimicas e equações exponenciais, e de acordo com a bibliografia, o que se pode

observar em um escoamento é a variação de velocidade do centro do escoamento até a

superfície sólida do tubo onde o fluido escoa.

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19

Os gráficos a seguir mostram o perfil de velocidade ao longo de uma trajetória

retilínea medido entre uma subestação e um reservatório de água para abastecimento da

população.

O número de Reynolds encontrado definiu o escoamento como turbulento,

partindo desse ponto obteve-se valores por meio de outras equações para complementar o

estudo, e assim demonstrar de forma gráfica o perfil de velocidade.

- Perfil de velocidade semilogarítimico:

Existem várias correlações para o perfil de velocidade em escoamento turbulento em dutos.

Segundo argumentos da análise adimensional a velocidade varia como um lagaritimo de y na

região de superposição. Desta forma a seguinte expressão foi proposta por Munson *

__

/ uu =

2,5 ln (yU*/v+5) para determinar o perfil de velocidade.

As constantes da equação foram determinadas experimentalmente.

No gráfico o uso da equação apresenta uma correlação como os dados obtidos na região meio

distante da parede lisa, e também não muito próxima à região central. Nota-se que a escala

horizontal do gráfico é logarítmico, o que cria uma tendência a exagerar o tamanho da

subcamada viscosa ao restante do escoamento. E neste caso como o tamanho da subcamada

viscosa é superior a 0,05, ou seja, não muito fina, as imperfeições na parede do tubo não

afetam as características do escoamento tais como a tensão de cisalhamento e o gradiente de

pressão.

Analisando o elemento circular pode-se definir o gráfico a seguir.

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20

R – raio da tubulação

r – raio do elemento circular

y – distância da parede sólida ao centro do elemento

5ln5,2 *

*

__

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

v

yu

u

u

Tabela 01: Tabela de valores para o gráfico semilogarítmica.

R r y yU*/v *

__

/ uu Dados

0,05 0,01 3,2 8,05 U* 0,27x10-3 m/s

0,04 0,02 6,75 9,77 v 0,8x10-6 m2 /s

0,03 0,03 10,13 10,79

0,02 0,04 13,5 11,51

0,06

0,01 0,05 16,88 12,07

R

y

r

Figura 01: Vista transversal da tubulação.

Gráfico semilogarítimico

3,2

6,7510,13

13,5

16,88

0

5

10

15

20

8,05 9,77 10,79 11,51 12,07

yU*/v

U / U

*

Figura 02: Perfil de velocidade semilogarítimico.

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21

Observa-se no gráfico que à medida que a relação v yU /* aumenta, há um

aumento proporcional em *

__

/ uu , isso porque existe uma aproximação do centro do

escoamento.

- Perfil de velocidade segundo lei exponencial:

Neste caso o valor de n depende do número de Reynolds, em situação real adota-

se um valor de n=7.

Pode-se deduzir que a equação

( )n R yuu −= 1

__

mostra que o perfil de velocidade por lei exponencial pode não ser válida próxima da parede, em conseqüência nessa região o

gradiente de velocidade é infinito. De outra forma ela também não é válida perto da linha de

centro, porque não fornece du/dr=0 em r=R. Porém, a equação fornece uma aproximação

razoável para o perfil de velocidade medidos na maior parte do tubo.

Os dados da tabela a seguir contribuíram para determinar o perfil de velocidade.

R R y y/R (1-y/R)^1/n Dados

0,05 0,01 0,17 0,10 Re 25,06x106

0,04 0,02 0,33 0,95 V 167,11 m/s

0,03 0,03 0,50 0,92 Q 1,89 m3 /s

0,02 0,04 0,67 0,87 D 120mm

0,06

0,01 0,05 0,83 0,80 n 8

Gráfico por lei exponencial

0,170,33

0,500,67

0,83

0,00

0,50

1,00

0,104 0,083 0,063 0,042 0,021

U/U

y / R

Figura 03: Perfil de velocidade lei exponencial.

Tabela 02: Tabela de valores para gráfico por lei exponencial.

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22

3.2 Energia no escoamento em tubos - Equação de Bernoulli

Considere uma caixa de água conectada a pedaços de tubos com diâmetros

diversos, ao longo do caminho em que a água escoa. Suponha também que exista uma bomba

de água no circuito.

Fazendo a bomba de água funcionar por uns instantes irá acelerar a água e

começar o escoamento. A bomba cria um gradiente de pressão. Em um dado volume de água

em uma seção reta do tubo, a pressão no lado 1 desse volume será diferente da pressão no

lado 2. Isto leva a uma força resultante no volume de água naquela seção, e ela irá se acelerar.

Se a pressão fosse a mesma em ambos os lados, a força resultante seria nula, e o volume de

água continuaria seu movimento com velocidade constante. Depois que a água estiver fluindo

a uma certa velocidade, a bomba tem que realizar um trabalho muito menor. Ela somente terá

que trabalhar contra as forças de atrito.

A água em diferentes seções do circuito terá diferentes energias potenciais por

unidade de volume. Ela também deve ter energias cinéticas diferentes por unidade de

volume. Nas seções mais estreitas ela deve fluir mais rápido do que nas seções mais largas, já

que a mesma quantidade de água deve fluir através de cada seção transversal do tubo na

mesma quantidade de tempo.

A figura abaixo mostra o fluxo de massa (ou vazão) que passa por uma seção

transversal de um tubo. Ele é dado por ∆m/ ∆t , onde ∆m é a quantidade de massa que passa

pela seção transversal A, por unidade de tempo ∆t .

Fluxo de massa = ∆m/∆t

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23

A quantidade de volume de fluido que passa pela área A é, ∆V = A ∆l. Mas, como

∆l = v∆t , temos que ∆m = ρ∆V = ∆Av ∆t. Logo,

Fluxo de massa = ∆m/∆t = ρ AV

Quando a área A muda de uma seção para a outra, a figura abaixo mostra os novos

parâmetros.

No ponto 1 , ∆m1= ρ1 A 1 v1 ∆t , e no ponto 2, ∆m1= ρ2 A 2 v2 ∆t. Logo, a massa

∆m1 que flui para uma região deve ser igual à massa ∆m2 que sai da região. Isto é, ∆m1= ∆m2

. Ou seja, ρ1 A 1 v1 ∆t = ρ2 A 2 v2 ∆t , ou

ρ1 A 1 v1 = ρ2 A 2 v2

ρ A v =constante.

A v A

∆1

Figura 04: Seção transversal uniforme.

A1

A2

∆12 = v2∆t

V1

Figura 05: Seção transversal com mudança de área 1.

A1

A2

V1 V2

Figura 06: Seção transversal com mudança de área 2.

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24

No caso em que a densidade do fluido é constante, a equação de continuidade serádada por

A v = constante.

Verificou-se que a energia potencial da água muda enquanto ela se move.

Enquanto que a água se move, a mudança na energia potencial é a mesma que aquela de um

volume V que se movimentou da posição 1 para a posição 2. A energia potencial da água no

resto do tubo é a mesma que a energia potencial da água antes do movimento. Logo, temos

que: A mudança na energia potencial = massa da água em V x g x mudança na altitude =

densidade x V x g x (h2 – h1) = ρ V g (h2 – h1).

A energia cinética também muda. Novamente, só precisamos achar a mudança na

energia cinética em um pequeno volume V , como se a água na posição 1 fosse substituída pela

água na posição 2. A energia cinética da água no resto do tubo é a mesma que a energia

cinética antes do movimento. Logo, temos que:

Mudança na energia potencial = ½ m v22 – ½ m v1

2 = ½ ρV v22 – ½ ρV v1

2.

Se a força sobre a água na posição 1 é diferente do que a força da água na posição

2, existe um trabalho sobre a água à medida que ela se move. A quantidade de trabalho é

W = F 1 l 1 – F 2 l 2. Mas, força = pressão vezes área, de modo que,

W = p1 A1 l 1 – p2 A2 l 2 = p1 V - p2 V .

O trabalho deve ser igual à mudança na energia. Logo,

p1 V - p2 V = ρ V g (h2 – h1 ) + ½ ρ V v22

– ½ ρ V v12

Ou

p1 V + ρ V g h1+ ½ ρ V v12

= p2 V + ρ V g h2 + ½ ρ V v22.

Dividindo por V , temos que.

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25

p1 + ρ g h1+ ½ ρ v12 = p2 + ρ g h2 + ½ ρ v2

2

Ou

p + ρ g h+ ½ ρ v2

= constante.

A equação acima é conhecida como a equação de Bernoulli. Que implica que, se

um fluido estiver escoando em um estado de fluxo contínuo, então a pressão depende da

velocidade do fluido. Quanto mais rápido o fluido estiver se movimentando, tanto menor será

a pressão à mesma altura no fluido.

Aplicações da equação de Bernoulli

Aviões: De acordo com a equação de Bernoulli, a pressão do ar em cima da asa de

um avião será menor do que na parte de baixo, criando uma força de empuxo que sustenta o

avião no ar.

Vaporizadores: Uma bomba de ar faz com que o ar seja empurrado paralelamenteao extremo de um tubo que está imerso em um líquido. A pressão nesse ponto diminui, e a

diferença de pressão com o outro extremo do tubo empurra o fluido para cima. O ar rápido

também divide o fluido em pequenas gotas, que são empurradas para frente.

Chaminé: O movimento de ar do lado de fora de uma casa ajuda a criar uma

diferença de pressão que expulsa o ar quente da lareira para cima, através da chaminé.

Medidores de velocidade de um fluido: Na figura 7(a) abaixo, se existir ar em movimento no

interior do tubo, a pressão P é menor do que P 0, e aparecerá uma diferença na coluna de

fluido do medidor. Conhecendo a densidade do fluido do medidor, a diferença de pressão, pb

é determinada. Da equação de Bernoulli, a velocidade do fluido dentro do tubo, v, pode ser

determinada.

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26

O medidor da figura 7(b) acima pode determinar a diferença de velocidade entre

dois pontos de um fluido pelo mesmo princípio.

Os medidores abaixo também são baseados no mesmo princípio. Todos esses

tipos de medidores são conhecidos como medidores de Venturi.

3.3 Perda de carga

3.3.1 Perda de carga distribuída

Este tipo de perda é em função do atrito no escoamento.

Para escoamento laminar:

Figura 7(a): Tubo de Pittot. Figura 7(b): Tubo de Pittot.

Figura 08: Venturi

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27

Considerando que lmh , e⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

22

2

2

__

2

2

1

__

1

V V α α

.

A equação da energia ficará como mostrada abaixo

( ) l h z z g p p

+−=−

1221

ρ , e o tubo horizontal, logo:

l h p p p

=∆

=−

ρ ρ 21

Para escoamento laminar a queda de pressão pode ser calculada da equação

L

R

L

R

L

p RQ

µ

ρ π

µ

ρ π

µ

π

12888

444 ∆=

∆=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∆−−=

substituindo na equação

l h p p p

=∆

=−

ρ ρ 21

temos a perda de carga (distribuída) para escoamento laminar

2Re

6464

232

__ 2

__

__ __ 2

V

D

L

Dv

V

D

L

D

V

D

Lhl ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ==

ρ

µ

ρ

µ

Onde:

L=comprimento da tubulação

D=diâmetro da tubulação

__

V = velocidade média

Re=Reynolds

Para escoamento turbulento:

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28

Para este escoamento a perda de carga depende do diâmetro, do comprimento, da

rugosidade e velocidade média do escoamento, da massa específica e da viscosidade do

fluido, logo:

∆ p=∆ p ( D,L,e,p,µ ) e aplicando análise adimensional obtém-se o resultado

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ =

∆

D

e

D

L

DV

f

V

p,, __ 2 __

ρ

µ

ρ

como:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

∆

D

e

D

L

V

p,Re,2 __

φ

ρ

substituindo na equação de perda de carga para escoamento laminar

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

D

e

D

L

V

hl ,Re,2 __ φ

Logo a equação da perda de carga (distribuída) para escoamento turbulento é dada por

2

__ 2

D

V Le f hl =

Onde:

L= comprimento da tubulação

D=diâmetro da tubulação

__

V = velocidade média

f =fator de atrito (depende de Re e/D)

l h =perda de carga

Segundo Colebrook a fórmula mais empregada para o fator de atrito é:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−= 5,05,0 Re

51,27,3log0,21

f D

e

f

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29

Para Miller seria ideal a utilização da fórmula a seguir, o que resultaria em um por

cento.

2

9,00 Re74,57,3log25,0

−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

f D

e f

Os gráficos a seguir mostram os valores para fator de atrito e rugosidade de acordo com o

número de Reynolds, o diâmetro da tubulação e o material empregado.

No gráfico todos os valores de e/D dados são tomados para tubos novos, em

condições relativamente boas. Após longo período de serviços a corrosão desenvolve-se e,

particularmente em áreas de água muito duras, formam-se nas paredes depósitos de calcário e

crostas de ferrugem. Nessas condições a corrosão pode fragilizar os tubos, levando-os àruptura.

Figura 09: Diagrama do Moody

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30

Observa-se também que a formação de depósitos aumenta a rugosidade

apreciavelmente, além de diminuir o diâmetro efetivo.

10: Rugosidade relativa de tubos

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31

3.3.2 Perdas localizadas

Acessórios como conexões e registros provocam perdas de carga localizadas. No

cálculo, a perda localizada é representada pelo comprimento equivalente (o comprimento

equivalente é encontrado em tabelas), isto é, o comprimento de tubulação da mesma bitola

que produz a mesma perda de carga.

2

2 __

V K h

ml =

ou2

__ 2

D

V Le f hl =

Onde:

ml h

=perda de carga localizada

f=fator de atrito (varia com o diâmetro da tubulação)

K=coeficiente de perda

Le=comprimento equivalente

__

V =velocidade média no tubo

3.3.3 Perdas localizadas em entradas e saídas

O quadro a seguir mostra o valore para o coeficiente de perdas localizadas na

entrada em tubo.

Do quadro pode-se observar que o coeficiente de perda é reduzido

significativamente quando a entrada é arredonda, se tiver cantos vivos, a separação do

escoamento ocorrerá nas quinas, provocando a formação de uma vena contracta.

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32

3.3.4 Perdas localizadas em expansão e contração

A expansão brusca é um dos poucos componentes o qual é possível obter o

coeficiente de perda a partir de uma análise simples. Considerando o escoamento uniforme e

pressão constante ao longo escoamento o coeficiente de descarga será, K L= hL/(V12/2g), ou

seja, K L = (1-A1/A2)2

Definido como a razão entre o aumento da pressão estática e pressão dinâmica de

entrada (o escoamento pode separar-se das paredes).

Para cada razão de área, RA, há um valor de N/R 1, ou seja, neste trecho deve

haver a recuperação da pressão.

Dados para bocais são apresentados no quadro.

Figura 11: Coeficiente de perda de carga com entrada arredondada.

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33

Figura 12: Coeficiente de perda para uma expansão.

3.3.5 Perda de carga em curvas e tubos

Para curvas, a perda de carga é maior do que para escoamento em um trecho

retilíneo de igual comprimento, essa perda é resultado do escoamento secundário, e é

representada por um comprimento equivalente de tubo reto, o qual depende do raio relativo de

curvatura.

Figura 13: Características do escoamento em curva.

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34

3.3.6 Perdas localizadas em válvulas e acessórios

Neste caso também se pode chegar às perdas por um comprimento equivalente,

porém, as válvulas apresentam maior perda quando estão parcialmente fechadas.

A expressão que representa a perda de carga em válvulas é expressa a seguir.

2

__ 2

D

V Le f hl =

As perdas com acessórios e válvulas variam consideravelmente, dependendo dos

cuidados na fabricação. Para acessório são necessários cuidados nas conexões, pois, podem

ser rosqueados, flangeados ou soldados. Para pequenos diâmetros o ideal é que as juntas

sejam rosqueadas e para grandes diâmetros, as conexões devem ser flangeadas ou soldadas.

Em ambos os casos o cuidado é indispensável no dimensionamento de tubulações,

porque a presença de rebarbas aumenta a perda. É estimado que com os cuidados as perdas

são reduzidas em ± 10 por cento.

A seguir a tabela fornece comprimentos equivalentes para válvulas e acessórios.

Tipos de acessórios Comprimento Equivalente Le/DVálvula (inteiramente aberta)

Válvula de gaveta 8Válvula de globo 340

Válvula de ângulo 150Válvula de esfera 3Válvula de retenção: tipo globo 600

: Tipo em ângulo 55Válvula de pé com crivo: de disco móvel 420

de disco articulado 75Cotovelo padronizado: 900 30

450 16Curva em U, configuração apertada 50Tê padronizado: escoamento direto 20

: escoamento pelo ramal 60Tabela 3: Tabela comprimento equivalente ou válvulas e acessórios.

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35

3.3.7 Perdas localizadas em dutos não-circulares

Como a fabricação é fácil e barata, eles podem ser de chapa metálica fina, e são

geralmente empregados em sistemas de ar condicionados, ventilação e aquecimento.

Os estudos para escoamento em tubos podem ser estendidos para dutos não-

circulares, considerando que a relação entre altura e largura seja inferior a 3 ou 4.

Neste caso é introduzido o conceito de diâmetro hidráulico, que varia entre ¼

<ar<4, onde, ar, corresponde à razão de aspecto definia como ar = h/b, daí o diâmetro

hidráulico para uma seção retangular será:

P

A Dh

4=

, chamado de diâmetro hidráulico, substituído A=bh e P=(b+h) na equação tem-se

que o diâmetro hidráulico passa a ser definido como: ( )hb

bh Dh

+=

24

,

considerando uma “razão de aspecto” ar=h/b podemos representar também da seguinte forma:

ar

bh Dh

+=

12

Levando em conta um duto retangular de largura b e altura h, a área

correspondente será A=bh, logo o perímetro P=2(b+h) e considerando ar=1, para um

quadrado o diâmetro hidráulico é: D Dh = .

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36

4 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ESCOAMENTO EM TUBOS

4.1 Para sistemas de uma trajetória

Existem os casos gerais que envolvem o conhecimento do comprimento, L, da

vazão, Q, da variação de pressão, ∆P, e do diâmetro da tubulação D.

Os casos são os citados a seguir:

1º caso: é especificada a vazão desejada, ou a velocidade média, e dever ser

determinada a diferença de pressão necessária para promover o escoamento ou a perda de

carga neste tipo de problema.

2º caso: é especificada a pressão que promove o escoamento (ou alternativamente,

a perda de carga) e determina-se a vazão.

3º caso: é especificada a queda de pressão, a vazão necessária e deve-se

determinar o diâmetro do duto necessário.

4.2 Em sistemas de trajetórias múltiplas

São tipos de tubulações presentes em sistemas de abastecimento residencial,

usinas ou em repartições privadas, neste último caso com o intuito de combate a incêndio. Nas

redes de tubulações, a queda de pressão para cada ramal é a mesma, porém a vazão total é

dividida entre os ramais, de acordo com esses dados pode-se chegar a uma solução iterativa

para a vazão em cada ramal. Logo, a queda de pressão é aproximadamente proporcional ao

quadrado da vazão em volume. Logo as equações que descrevem os escoamentos com

múltiplos condutos são as mesmas que descrevem os sistemas com um único conduto.

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37

Entretanto, devido ao número de incógnitas envolvidas, a complexidade da resolução aumenta

(FOX).

Em um arranjo de condutos em série, a vazão (mas não a velocidade) é a mesma

em cada conduto e a perda de carga entre dois pontos é igual à soma das perdas de carga em

cada um dos trechos.

Em um arranjo em condutos em paralelo, a vazão é igual à soma das vazões em

cada conduto. E a perda de carga do escoamento de qualquer partícula fluida que escoa entre

dois pontos independe da trajetória da partícula.

4.2.1 Medição do escoamento:

4.2.1.1 Métodos diretos

A solução encontrada por pesquisadores e engenheiros para determinar a vazão é

a utilização de medidores, estes serão adaptados ao encanamento depois de uma análise de

acordo com a precisão que se deseja obter, faixa de atuação, custos, a complexidade na

montagem, a manutenção e facilidade de leitura.

Para métodos diretos o ideal é que se utilizem tanques para medição da vazão ou

medidores de deslocamento positivo que operam de forma contrária a bombas de mesmo

nome: enquanto nessas um movimento rotativo ou oscilante produz um fluxo, neles o fluxo

produz um movimento.

4.2.1.2 Tipos de medidores

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38

Placa de orifício:

É uma placa fina que pode ser interposta entre flanges de tubos.

Bocal medidor:

São empregados em “câmaras” pressurizadas, ou em “dutos”, a instalação em

câmaras requer a verificação do valor do coeficiente de vazão que para câmaras pressurizadas

adota-se um valor na faixa de 0,95 < K < 0,99.

A vazão em massa para câmaras pode ser determinada usando-se a equação

( )212.

p p KAm t real −= ρ com K=0,97.

Venturi:É outro tipo de medidor de vazão, geralmente são de peças fundidas, pesadas,

caras e autolimpantes (possuem superfície lisa).O coeficiente de descarga varia de 0,980 a 0,995 a números de Reynolds elevados.

Elemento medidor de escoamento laminar (LFE)

Sua aplicação está na produção de um diferencial de pressão proporcional à vazão.

Sua seção é subdividida em varias passagens o que mantém o fluido laminar.

Seu custo equivale a um medidor Venturi, possuem vantagem em ser leve e

menor.

Medidor de bóia:

Mede a vazão direta para líquidos e gases. São chamados de rotômetros.

Medidor de turbina ou impelidor:

Empregado para medir a vazão de fluidos corrosivos ou tóxicos.

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39

Medidor eletromagnético:

São usados em líquidos que tenham condutividade acima de 100 microsiemens

por metro (1 siemens = 1 ampère por volt). A velocidade detectada de escoamento está em

torno de 0,3 m/s.

Medidores ultra-sônicos:

Lê velocidades numa seção transversal do fluido, pode ser aplicado para fluidos

limpos, onde determina o tempo de propagação, e para fluidos com partículas tem seu

funcionamento baseado na mudança de freqüência, a qual é proporcional à velocidade do

fluido.

Anemômetro térmico:

Composto por pequenos sensores de 0,002mm e 0,1mm de diâmetro, que são

aquecidos eletricamente com a função sentirem a taxa de aquecimento, a qual está ligada com

a velocidade do escoamento.

São importantes para medições em escoamento turbulento.

Devido ao tamanho de sua massa térmica a sua freqüência de resposta é de 50

KHz.

Anemômetro a laser e Doppler (LDAs)

Funcionam a laser, que incidem nas partículas do escoamento. São caros e frágeis

e requerem alinhamento cuidadoso.

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40

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A água é um elemento imprescindível para sustentação na terra. As formas de

consumo podem ser classificadas como uso doméstico ou comercial, público, industrial e

rural. O seu consumo se altera mediante uma série de fatores, dos quais pode-se citar o clima,

o padrão de vida, o sistema de fornecimento, a pressão na rede distribuída, entre outros.

Ao longo do tempo aprimoraram-se formas de extraí-la da natureza, e atualmente

a solução do ponto de vista viável é por meio de sistemas de tubulação, pois apresentam

eficiência em relação ao meio de extração individual, e por serem dimensionados de forma

padrão, para atenderem certas exigências.

Finalmente, o que pudemos observar mediante nosso trabalho, é que todo os

sistemas são passíveis de adaptação de certos equipamentos para alcançar uma melhor

eficiência. Isto é possível graças à adaptação e troca de alguns componentes, como segue:

Uso de tubulação nova

Redução do número de curvas em pequenas dimensões

Adaptação de redutores, entre outras.

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REFERENCIAS

FOX, Robert W., e MACDONAL, Alan T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 4ª Ed. Rio

de Janeiro. Guanabara Koogan.

MUNSON, Bruce R., e OKIISHI, Theodoro H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos.

São Paulo. Edgard Blusher, 1997.

VENNARD, John., e STREET, Robert L. Elementos de Mecânica dos Fluidos. 5ª Ed. Rio

de Janeiro: Guanabara Dois, 1978.

Fluidos. Disponível em http://myspace.eng.Br/eng/fluidos/fluidos1.asp. Acesso em 02 de jul.

2005.

Fluidos reais. Disponível em www.ufsm.br/gef/FluRea.htm. Acesso em 27 de jun. 2005.

Viscosidade. Disponível em www.ufsm.br/gef/visliq.htm acesso em 27 de jun. 2005

Viscosidade.Disponível em www.if.ufrj.br/teaching/fis2/hidrodinamica/viscosidade.htm

acesso em 27 de jun. 2005

Documents

m_em_2006-01