Mestrado em Engenharia Civil - Departamento de Engenharia

Estruturas de Betão I

0/168 2011/2012

Mestrado em Engenharia Civil 2011 / 2012

Eduardo S. Júlio

Estruturas de Betão I Materiais, Escoras e Tirantes, Flexão Simples


1/168 2011/2012

O Eurocódigo 2 M1 – 3. Materiais Escoras e Tirantes M2 – 2. Flexão Simples

Sumário


2/168 2011/2012


Sumário


3/168 2011/2012

O Eurocódigo 2


4/168 2011/2012

O Eurocódigo 2


5/168 2011/2012

O Eurocódigo 2


6/168 2011/2012


Sumário


7/168 2011/2012

M1 – 3. Materiais


8/168 2011/2012

M1 – 3. Materiais: BETÃO


9/168 2011/2012



10/168 2011/2012



11/168 2011/2012



12/168 2011/2012



13/168 2011/2012



14/168 2011/2012



15/168 2011/2012



16/168 2011/2012



17/168 2011/2012



18/168 2011/2012



19/168 2011/2012



20/168 2011/2012



21/168 2011/2012



22/168 2011/2012



23/168 2011/2012



24/168 2011/2012



25/168 2011/2012



26/168 2011/2012



27/168 2011/2012



28/168 2011/2012



29/168 2011/2012



30/168 2011/2012



31/168 2011/2012



32/168 2011/2012



33/168 2011/2012


Axial C ircu m fe re n tial

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

-150

00

-100

00

-500

0 0

5000

1000

0

Strain (µε )

Nor

mal

ized

Axi

al S

tres

s (f

c/f´c

)

AC4 (1 ply)AC5 (2 plies )AC6 (3 plies )REF


34/168 2011/2012

M1 – 3. Materiais: AÇO


35/168 2011/2012



36/168 2011/2012



37/168 2011/2012



38/168 2011/2012



39/168 2011/2012



40/168 2011/2012



41/168 2011/2012



42/168 2011/2012


Sumário


43/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


44/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


45/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


46/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


47/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


48/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


49/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


50/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


51/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


52/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


53/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


54/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


55/168 2011/2012

32 2 10cε

−= ×

Para as classes C12/15 ~ C50/60:

Escoras e Tirantes


56/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


57/168 2011/2012

3348 ; 1,74 10yd ydf MPa ε −= = ×

Para S400:

32 2 10cε

−= ×

Escoras e Tirantes


58/168 2011/2012

32 2 10cε

−= ×

3435 ; 2,17 10yd ydf MPa ε −= = ×

Para S500:

Escoras e Tirantes


59/168 2011/2012

32 2 10cε

−= ×

c cdfσ =

cF,s iF

( )3400

2 10 500s yd s

s s s s

F f A S

F E A Sε −

= ⋅ ⇐⎧⎪⎨

= ⋅ = × ⋅ ⇐⎪⎩,s iF

c cd cF f A= ⋅

Rd c sN F F= +

EdN

Escoras e Tirantes


60/168 2011/2012

De notar que, na prática, nenhum elemento está sujeito apenas a esforço axial (há sempre que considerar excentricidades). No caso do esforço axial ser de compressão, há ainda a considerar a possibilidade do elemento encurvar.

Escoras e Tirantes


61/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


62/168 2011/2012

2

2crEIPL

π=

Pcr

Escoras e Tirantes


63/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


64/168 2011/2012

2

2

2

π=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

crEIPL

Pcr

Escoras e Tirantes


65/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


66/168 2011/2012

( )

2

20,7crEIPL

π=

Pcr

Escoras e Tirantes


67/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


68/168 2011/2012

( )

2

20,5crEIPL

π=

Pcr

Escoras e Tirantes


69/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


70/168 2011/2012

2

2crEIPL

π=

Pcr

Escoras e Tirantes


71/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


72/168 2011/2012

( )

2

22crEIPL

π=

Pcr

Escoras e Tirantes


73/168 2011/2012

Exercício Calcule as armaduras necessárias a um pilar de secção transversal quadrada com 30cm de lado, sujeito a um esforço de compressão simples, NEd=1749kN. Nota: Considere que o pilar está contraventado nos dois planos (não há risco de encurvadura). Nota: Adopte aço S400 e betão C20/25.

Escoras e Tirantes


74/168 2011/2012

32 2 10cε

−= ×

c cdfσ =

cF,s iF

3348 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅

,s iF

3 213,33 10 0,30 1200c cd cF f A kN= ⋅ = × × =

NRd = Fc + Fs ≥ NEd

1749EdN kN=

NRd =1200+348×103 ⋅ As ≥1749kN

As ≥15,78×10−4m2

Escoras e Tirantes


75/168 2011/2012

10mm – Anexo Nacional

Escoras e Tirantes


76/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


77/168 2011/2012

4 2,min 3

0,10 1749 5,03 10348 10sA m−×

= = ××

2 4 20,002 0,002 0,3 1,8 10cA m−⋅ = × = ×

Escoras e Tirantes


78/168 2011/2012

4 2,min 3

0,10 1749 5,03 10348 10sA m−×

= = ××

2 4 20,002 0,002 0,3 1,8 10cA m−⋅ = × = ×

As ≥15,78×10−4m2

Escoras e Tirantes


79/168 2011/2012

4 2,min 3

0,10 1749 5,03 10348 10sA m−×

= = ××

2 4 20,002 0,002 0,3 1,8 10cA m−⋅ = × = ×

n.º de varões e áreas (cm2)

φ [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,11 3,39

8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 5,53 6,03

10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 8,64 9,42

12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 12,44 13,57

16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 22,12 24,13

20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 34,56 37,70

25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 54,00 58,90

32 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 88,47 96,51

40 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 138,23 150,80

Escoras e Tirantes

As ≥15,78×10−4m2


80/168 2011/2012

4 2,min 3

0,10 1749 5,03 10348 10sA m−×

= = ××

28 16 ( 16,08 )sA cmφ → =

2 4 20,002 0,002 0,3 1,8 10cA m−⋅ = × = ×


φ [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,11 3,39

8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 5,53 6,03

10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 8,64 9,42

12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 12,44 13,57

16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 22,12 24,13

20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 34,56 37,70

25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 54,00 58,90

32 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 88,47 96,51

40 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 138,23 150,80

Escoras e Tirantes

As ≥15,78×10−4m2


81/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


82/168 2011/2012

15x – Anexo Nacional

Escoras e Tirantes


83/168 2011/2012

15x – Anexo Nacional 300mm – Anexo Nacional

Escoras e Tirantes


84/168 2011/2012

15x – Anexo Nacional 300mm – Anexo Nacional

( ), max 15 16;300;300 240cl ts mín mm= × =

Cintas φ 6 @ 0,20m

Escoras e Tirantes


85/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


86/168 2011/2012

Escoras e Tirantes


87/168 2011/2012

Armadura longitudinal: 8φ16

Cintas: φ 6 @ 0,20m

Escoras e Tirantes


88/168 2011/2012

Armadura longitudinal: 8φ16

Cintas: φ 6 @ 0,20m

Escoras e Tirantes


89/168 2011/2012

,s iF

s yd sF f A= ⋅

,s iF

0cF =

Rd s EdN F N= =

EdN

Escoras e Tirantes


90/168 2011/2012

Exercício Calcule as armaduras necessárias a um pilar de secção transversal quadrada com 30cm de lado, sujeito a um esforço de tracção simples, NEd=1112kN. Nota: Adopte aço S400 e betão C20/25.

Escoras e Tirantes


91/168 2011/2012

,s iF

s yd sF f A= ⋅

,s iF

0cF =

NRd = Fs ≥ NEd

1112EdN kN=

NRd = 348×103 ⋅ As ≥1112kN

As ≥ 31,95×10−4m2

Escoras e Tirantes


92/168 2011/2012

As ≥ 31,95×10−4m2

Escoras e Tirantes


93/168 2011/2012

2 4 2,max 0,04 0,3 36 10sA m−= × = ×

Escoras e Tirantes

As ≥ 31,95×10−4m2


94/168 2011/2012

2 4 2,max 0,04 0,3 36 10sA m−= × = ×


φ [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,11 3,39

8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 5,53 6,03

10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 8,64 9,42

12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 12,44 13,57

16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 22,12 24,13

20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 34,56 37,70

25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 54,00 58,90

32 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 88,47 96,51

40 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 138,23 150,80

Escoras e Tirantes

As ≥ 31,95×10−4m2


95/168 2011/2012

2 4 2,max 0,04 0,3 36 10sA m−= × = ×

24 20 4 25 ( 32,21 )sA cmφ φ+ → =


φ [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,11 3,39

8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 5,53 6,03

10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 8,64 9,42

12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 12,44 13,57

16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 22,12 24,13

20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 34,56 37,70

25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 54,00 58,90

32 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 88,47 96,51

40 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 138,23 150,80

Escoras e Tirantes

As ≥ 31,95×10−4m2


96/168 2011/2012

2 4 2,max 0,04 0,3 36 10sA m−= × = ×

24 20 4 25 ( 32,21 )sA cmφ φ+ → =

( ), max 15 20;300;300 300cl ts mín mm= × =

Cintas φ 6 @ 0,30m


φ [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,11 3,39

8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 5,53 6,03

10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 8,64 9,42

12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 12,44 13,57

16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 22,12 24,13

20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 34,56 37,70

25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 54,00 58,90

32 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 88,47 96,51

40 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 138,23 150,80

Escoras e Tirantes

As ≥ 31,95×10−4m2


97/168 2011/2012


Sumário


98/168 2011/2012

M2 – 2. Flexão Simples


99/168 2011/2012



100/168 2011/2012

betão



101/168 2011/2012

aço



102/168 2011/2012

M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO


103/168 2011/2012



104/168 2011/2012



105/168 2011/2012

εcu3=3.5‰

Fc

Fs εs

x 0.8x

d

fcd

As

h

b



106/168 2011/2012

Fc

0.8x

fcd

Fs



107/168 2011/2012

Fc

0.8x

fcd

Fs

0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅

Cálculo das resultantes



108/168 2011/2012

Fc

0.8x

fcd

Fs

0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅

s yd sF f A= ⋅




109/168 2011/2012

Fc

0.8x

fcd

Fs

0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅

s yd sF f A= ⋅


incógnita



110/168 2011/2012

Fc

0.8x

fcd

Fs

0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅

s yd sF f A= ⋅


incógnita incógnita



111/168 2011/2012

Fc

0.8x

fcd

Fs

0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅

s yd sF f A= ⋅


Equações de equilíbrio estático

0Rd i c s Edi

N F F F N= = − = =∑



112/168 2011/2012

Fc

0.8x

fcd

Fs

0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅

s yd sF f A= ⋅



0Rd i c s Edi

N F F F N= = − = =∑

Rd i Edi

M M M= ≥∑



113/168 2011/2012

Fc

0.8x

fcd

Fs

0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅

s yd sF f A= ⋅



0Rd i c s Edi

N F F F N= = − = =∑

Rd i Edi

xM M M= ≥ ⇒∑



114/168 2011/2012

Fc

0.8x

fcd

Fs

0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅

s yd sF f A= ⋅



0Rd i c s di

sEN F F F AN= = − = ⇒=∑

Rd i Edi

xM M M= ≥ ⇒∑



115/168 2011/2012

Fc

0.8x

fcd

Fs

0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅

s yd sF f A= ⋅



0Rd i c s di

sEN F F F AN= = − = ⇒=∑

Rd i Edi

xM M M= ≥ ⇒∑

Seguidamente deve-se calcular a extensão na armadura, para garantir a ductilidade…



116/168 2011/2012

Fc

0.8x

fcd

Fs

0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅

s yd sF f A= ⋅



0Rd i c s di

sEN F F F AN= = − = ⇒=∑

Rd i Edi

xM M M= ≥ ⇒∑

… sendo necessário em alguns casos prever uma armadura de compressão.



117/168 2011/2012

Rotura dúctil:



118/168 2011/2012

Rotura frágil:



119/168 2011/2012

Limite a assegurar:



120/168 2011/2012

Exercício: Calcular a armadura necessária para uma secção rectangular de 0.25x0.50m sujeita a um momento flector de cálculo de 250kNm. O betão é da classe C30 e o aço S500.



121/168 2011/2012

0.8 4000c cdF x f b x= ⋅ ⋅ =




122/168 2011/2012

0.8 4000c cdF x f b x= ⋅ ⋅ =

435000s yd s sF f A A= ⋅ = ⋅




123/168 2011/2012

0.8 4000c cdF x f b x= ⋅ ⋅ =

435000s yd s sF f A A= ⋅ = ⋅



( )4000 0.45 0.4 250 0.16Rd i Edi

M M M x x x m= ≥ ⇒ × − = ⇒ =∑



124/168 2011/2012

0.8 4000c cdF x f b x= ⋅ ⋅ =

435000s yd s sF f A A= ⋅ = ⋅



20 14,7Rd i c s Ed si

N F F F N A cm= = − = = ⇒ =∑

( )4000 0.45 0.4 250 0.16Rd i Edi

M M M x x x m= ≥ ⇒ × − = ⇒ =∑



125/168 2011/2012

M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS


126/168 2011/2012

Assumindo o diagrama parábola rectângulo…



127/168 2011/2012

… tem-se:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

n

c

ccdc f

211

εε

σ 20 c cε ε⇐ ≤ ≤

cdc f=σ 2 2c c cuε ε ε⇐ ≤ ≤

Classes 12/15 a 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105 fck(MPa) 12~50 55 60 70 80 90 fcd(MPa) 8,0~33,3 36,7 40,0 46,7 53,3 60,0 εc2(‰) 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 εcu2(‰) 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 n 2 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4



128/168 2011/2012

A partir da expressão do diagrama parábola-rectângulo do EC 2 podem deduzir-se as correspondentes expressões da resultante das tensões, Fc, soma das resultantes dos troços rectangular (Fc1) e parabólico (Fc2), e respectiva posição da sua linha de acção.



129/168 2011/2012

Para secções rectangulares, de largura b, sujeitas a flexão plana, assumindo a posição do eixo neutro a uma distância x da fibra mais comprimida, tem-se:

xbfFcu

ccucdc ⋅⋅

−⋅=

2

221 ε

εε

xbnnfF

cu

ccdc ⋅⋅⋅

+⋅=

2

22 1 ε

ε

xbn

fFFFcu

ccdccc ⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+−⋅=+=

2

221 1

11εε



130/168 2011/2012

As extensões ao nível das linhas de acção das resultantes Fc1 e Fc2 são, respectivamente:

222

1cuc

Gεε

ε+

=

22 423

cG nn

εε++

=



131/168 2011/2012

Sendo c a distância da linha de acção da resultante à fibra mais comprimida, vem:

21

222

211

cc

cuGc

cuGc

FF

xFxFcx

+

⋅⋅+⋅⋅

=−ε

εε

ε



132/168 2011/2012

Consegue facilmente obter-se:

( )( )x

n

nnc

cu

c

cu

c

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−

−=

2

2

2

2

2

111

211

21

1

εε

εε



133/168 2011/2012

Vindo:

xbkfF cdc ⋅⋅⋅= 1

xkc ⋅= 2

Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105

k1 0,810 0,742 0,695 0,637 0,599 0,583

k2 0,416 0,392 0,377 0,362 0,355 0,353



134/168 2011/2012

É habitual utilizar valores adimensionais da área da armadura longitudinal de flexão, As, e do momento resistente, MRd, de uma secção transversal de betão armado…



135/168 2011/2012

… os quais se designam por, respectivamente, percentagem mecânica de armadura, ω, e momento resistente reduzido, µ, podendo ser determinados através das seguintes expressões:

cd

yds

bdffA

=ωcd

Rd

fbdM2=µ



136/168 2011/2012

Em flexão simples plana, para secções simplesmente armadas, a resultante de tracção na armadura iguala a resultante de compressão no betão pelo que se tem:

1cd

cd

f k b xbdf

ω⋅ ⋅ ⋅

=



137/168 2011/2012

Sendo ainda α a relação entre a posição do eixo neutro, x, e a altura útil da secção, d, tem-se:

1kω α= ⋅



138/168 2011/2012

O momento resistente pode ser definido, neste caso, como o binário constituído pelas resultantes de tracção na armadura e de compressão no betão…



139/168 2011/2012

… Substituindo o numerador de (13) pelo produto da resultante de compressão no betão, dada por (10), pelo braço do binário, dado pela diferença entre a altura útil da secção, d, e a distância da linha de acção da resultante de compressão no betão à fibra mais comprimida, c, dada por (11), tem-se:

( )ααµ ⋅−⋅⋅= 21 1 kk



140/168 2011/2012

Uma das situações limite, consideradas em [1], é a fronteira entre rotura frágil e rotura dúctil, ou seja, consiste em admitir um diagrama de extensões na secção em que a fibra mais comprimida de betão apresenta a extensão última e a armadura de tracção assume a extensão de cedência, sendo:

ydcu

culim εε

εα

+=

2

2



141/168 2011/2012

Introduzindo (16) em (14) e (15) obtêm-se as correspondentes expressões de cálculo dos valores limite da percentagem mecânica de armadura e de momento resistente reduzido, respectivamente:

ydcu

culim k

εεε

ω+

⋅=2

21

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⋅−⋅

+⋅=

ydcu

cu

ydcu

culim kk

εεε

εεε

µ2

22

2

21 1



142/168 2011/2012

Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105

S400

αlim 0,668 0,641 0,625 0,608 0,599 0,599

ωlim 0,541 0,475 0,434 0,388 0,359 0,350

µlim 0,391 0,356 0,332 0,302 0,283 0,276

S500

αlim 0,617 0,588 0,572 0,554 0,545 0,545

ωlim 0,499 0,436 0,397 0,353 0,326 0,318

µlim 0,371 0,336 0,312 0,282 0,263 0,257

S600

αlim 0,573 0,543 0,526 0,509 0,499 0,499

ωlim 0,464 0,403 0,366 0,324 0,299 0,291

µlim 0,353 0,317 0,293 0,264 0,246 0,240



143/168 2011/2012

Outra situação limite, igualmente considerada em [1], representa a fronteira a partir da qual é mais racional armar duplamente a secção. Para uma secção simplesmente armada, tem-se:

( )cdfAM ydsRd −⋅⋅=



144/168 2011/2012

Derivando esta expressão em ordem a As, pode determinar-se o incremento de momento resistente com o aumento de armadura de tracção:

( )Rds yd

s s

dM d A f d cdA dA

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ −⎣ ⎦



145/168 2011/2012

Podendo obter-se:

[ ]xkdfbkf

fAkdf

dAdM

ydcd

ydsyd

s

Rd ⋅⋅−⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅

⋅⋅⋅−⋅= 2

12 22



146/168 2011/2012

Se o aumento de armadura for distribuído igualmente pelas faces traccionada e comprimida da secção, tem-se que:

( )adfAM yds

Rd −⋅⋅=2Δ

Δ



147/168 2011/2012

sendo a a distância da fibra mais comprimida da secção ao centro de gravidade da armadura de compressão. A partir de (25) pode definir-se:

( )adfdAdM

yds

Rd −⋅⋅=21



148/168 2011/2012

Para que seja mais racional armar duplamente a secção, terá de se verificar a seguinte inequação, obtida de (24) e (26):

[ ] ( )adfxkdf ydyd −⋅⋅<⋅⋅−⋅212 2



149/168 2011/2012

De onde vem que:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⋅=

da

klim 141

2α

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⋅=

da

kk

lim 14 2

1ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⋅=

da

da

kk

lim 14111

4 2

1µ



150/168 2011/2012

a/d Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105

0,05 αlim 0,631 0,670 0,696 0,725 0,740 0,744 ωlim 0,511 0,497 0,484 0,462 0,443 0,434 µlim 0,377 0,366 0,357 0,341 0,327 0,320

0,10 αlim 0,661 0,702 0,729 0,760 0,775 0,779 ωlim 0,535 0,521 0,507 0,484 0,465 0,455 µlim 0,388 0,377 0,367 0,351 0,337 0,330

0,15 αlim 0,691 0,734 0,762 0,794 0,810 0,815 ωlim 0,560 0,544 0,530 0,506 0,486 0,475 µlim 0,399 0,388 0,377 0,361 0,346 0,339



151/168 2011/2012

Comparando os valores do Quadro 3 com os do Quadro 4, verifica-se que: (a)  para betões de classe superior a C50/60, a condicionante é

sempre o limite entre rotura frágil e dúctil (Quadro 3); (b)  para betões de classe inferior ou igual a C50/60 e aços S500

ou S600, a condicionante é a mesma (Quadro 3); (c)  para betões de classe inferior a C50/60 e aço S400, a

condicionante ainda é a mesma (Quadro 3), para a/d=0,15, passando a ser a eficácia do posicionamento das armaduras (Quadro 4), para a/d=0,10 e a/d=0,05.



152/168 2011/2012

É útil, em várias situações práticas, poder determinar-se de forma expedita, ainda que aproximada, a área de armadura de tracção e de compressão, sem ter que recorrer a cálculo automático ou a tabelas/ábacos. Por este motivo, são apresentadas em [1] “fórmulas simplificadas”.



153/168 2011/2012

Sendo , a secção será simplesmente armada. Tem-se: limµµ ≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= ωωµ

1

21kk

Podendo obter-se a expressão de cálculo da percentagem mecânica de armadura:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−−⋅=

21

1

2

2

1 4112

µωkk

kk



154/168 2011/2012

Se , a secção será duplamente armada. Admitindo que o acréscimo de momento reduzido, , é conseguido através da colocação de uma armadura de compressão e de um acréscimo de igual valor de armadura de tracção, mantendo-se a posição do eixo neutro inalterada relativamente à situação limite considerada, vem:

limµµ >limµµ −

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅ʹ′=−⋅⋅

⋅⋅

ʹ′=−

daadf

fdbA

ydcd

s 12lim ωµµ



155/168 2011/2012

e:

da

−

−=ʹ′1

limµµω

ωωω ʹ′+= lim



156/168 2011/2012

o projectista pode entender considerar, em lugar do valor dado por (16), o limite:

ydcu

culim m εε

εα

⋅+=

2

2

vindo:

ydcu

culim m

kεε

εω

⋅+⋅=

2

21

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅−⋅

⋅+⋅=

ydcu

cu

ydcu

culim m

km

kεε

εεε

εµ

2

22

2

21 1



157/168 2011/2012




158/168 2011/2012

1 2

1 2

2 1

1 1 4 0.2902k kk k

ω µ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ − − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

1 0.810k = 2 0.416k =

2 0.247Rd

cd

Mbd f

µ = =

215cds

yd

bdfA cmf

ω= =



159/168 2011/2012

M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS


160/168 2011/2012



161/168 2011/2012



162/168 2011/2012



163/168 2011/2012



164/168 2011/2012



165/168 2011/2012



166/168 2011/2012



167/168 2011/2012




168/168 2011/2012

2 0.247Rd

cd

Mbd f

µ = = 0.290ω→ = 215cds

yd

bdfA cmf

ω→ = =



0/84 2011/2012

Mestrado em Engenharia Civil 2011 / 2012

Eduardo S. Júlio

Estruturas de Betão I Cálculo de Secções em Flexão Simples


1/84 2011/2012

Sumário

1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 2. Dimensionamento com fórmulas 3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício


2/84 2011/2012

Sumário



3/84 2011/2012

1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 1.1 Adoptando o diagrama rectangular 1.2 Adoptando o diagrama parábola-‐rectângulo

2. Dimensionamento com fórmulas 3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício

Sumário


4/84 2011/2012

Exercício: Calcular a armadura necessária para uma secção rectangular de 0.30x0.60m sujeita a um momento flector de cálculo de 800kNm. O betão é da classe C30/37 e o aço da classe S500.

Dimensionamento por equilíbrio da secção


5/84 2011/2012

εcu3=3.5 ‰

Fc

Fs εs

x 0.8x

d=0.53m

fcd

As

h=0.60m

b=0.30m



6/84 2011/2012

Limite a assegurar:



7/84 2011/2012

εcu3=3.5 ‰

Fc

Fs εy=2.17 ‰

d=0.53m

fcd

As

h=0.60m

b=0.30m

x=0.33m 0.8x=0.26m

3.5 2.17 0.330.53

x mx x= ⇒ =

−



8/84 2011/2012

30.8 0.8 0.33 20 10 0.3 1584c cdF x f b kN= ⋅ ⋅ = × × × × =




9/84 2011/2012

30.8 0.8 0.33 20 10 0.3 1584c cdF x f b kN= ⋅ ⋅ = × × × × =3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅




10/84 2011/2012




0 1584Rd i c s Ed s ci

N F F F N F F kN= = − = = ⇒ = =∑



11/84 2011/2012




( )1584 0.53 0.4 0.33 630 800Rd EdM kNm kNm M= × − × = < =


N F F F N F F kN= = − = = ⇒ = =∑



12/84 2011/2012




( )1584 0.53 0.4 0.33 630 800Rd EdM kNm kNm M= × − × = < =

A secção tem de ser duplamente armada !


N F F F N F F kN= = − = = ⇒ = =∑



13/84 2011/2012

εcu3=3.5 ‰

Fc

Fs εy=2.17 ‰

d=0.53m

fcd

As

h=0.60m

b=0.30m

x=0.33m 0.8x=0.26m

F’s A’s

εs’=2.76 ‰

33.5 2.76 100.33 0.33 0.07

ss

εε −ʹ′ʹ′= ⇒ = ×

−



14/84 2011/2012

Fc

Fs

fcd F’s 1584cF kN=




15/84 2011/2012

Fc

Fs

fcd F’s 1584cF kN=3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅




16/84 2011/2012

Fc

Fs

fcd F’s 1584cF kN=3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅


3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅



17/84 2011/2012

Fc

Fs

fcd

0.53-0.07=0.46m

F’s 1584cF kN=3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅


3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅

31584 0.40 435 10 0.46Rd sM Aʹ′= × + × ⋅ ×

630.4 200100Rd sM Aʹ′⇒ = +

0.53-0.4×0.33=0.40m



18/84 2011/2012

Fc

Fs

fcd F’s Equações de equilíbrio estático

630.4 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =



19/84 2011/2012

Fc

Fs


630.4 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

28.5sA cmʹ′⇒ ≥



20/84 2011/2012

Fc

Fs


630.4 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

28.5sA cmʹ′⇒ ≥

c s sF F Fʹ′+ =



21/84 2011/2012

Fc

Fs


630.4 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

28.5sA cmʹ′⇒ ≥

c s sF F Fʹ′+ =3 4 31584 435 10 8.5 10 435 10 sA

−⇒ + × × × = × ⋅



22/84 2011/2012

Fc

Fs


630.4 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

28.5sA cmʹ′⇒ ≥

c s sF F Fʹ′+ =

244.9sA cm⇒ =

3 4 31584 435 10 8.5 10 435 10 sA−⇒ + × × × = × ⋅



23/84 2011/2012

Fc

Fs


630.4 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

28.5sA cmʹ′⇒ ≥

c s sF F Fʹ′+ =

244.9 8.5 53.4s sA A cmʹ′+ = + =

244.9sA cm⇒ =

3 4 31584 435 10 8.5 10 435 10 sA−⇒ + × × × = × ⋅



24/84 2011/2012

1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 1.1 Adoptando o diagrama rectangular 1.2 Adoptando o diagrama parábola-‐rectângulo

2. Dimensionamento com fórmulas 3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício

Sumário


25/84 2011/2012

εcu3=3.5 ‰

Fc

Fs εy=2.17 ‰

d=0.53m

fcd

As

h=0.60m

b=0.30m

x=0.33m

F’s A’s

εs’=2.76 ‰



26/84 2011/2012

31 20 10 0.81 0.30 0.33 1604c cdF f k b x kN= ⋅ ⋅ ⋅ = × × × × =

2 0.416 0.33 0.14c k x m= ⋅ = × =

Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105

k1 0,810 0,742 0,695 0,637 0,599 0,583

k2 0,416 0,392 0,377 0,362 0,355 0,353



27/84 2011/2012

Fs

fcd

0.53-0.07=0.46m

F’s 1604cF kN=


0.53-0.14=0.39m Fc



28/84 2011/2012

Fs

fcd

0.53-0.07=0.46m



0.53-0.14=0.39m Fc



29/84 2011/2012

Fs

fcd

0.53-0.07=0.46m



3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅

0.53-0.14=0.39m Fc



30/84 2011/2012

Fs

fcd

0.53-0.07=0.46m



3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅

31604 0.39 435 10 0.46Rd sM Aʹ′= × + × ⋅ ×

0.53-0.14=0.39m Fc



31/84 2011/2012

Fs

fcd

0.53-0.07=0.46m



3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅

31604 0.39 435 10 0.46Rd sM Aʹ′= × + × ⋅ ×

626 200100Rd sM Aʹ′⇒ = +0.53-0.14=0.39m Fc



32/84 2011/2012

Fs


626 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

Fc



33/84 2011/2012

Fs


626 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

28.7sA cmʹ′⇒ ≥Fc



34/84 2011/2012

Fs


626 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

28.7sA cmʹ′⇒ ≥

c s sF F Fʹ′+ =

Fc



35/84 2011/2012

Fs


626 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

28.7sA cmʹ′⇒ ≥

c s sF F Fʹ′+ =3 4 31604 435 10 8.7 10 435 10 sA

−⇒ + × × × = × ⋅

Fc



36/84 2011/2012

Fs


626 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

28.7sA cmʹ′⇒ ≥

c s sF F Fʹ′+ =

245.6sA cm⇒ =

Fc

3 4 31604 435 10 8.7 10 435 10 sA−⇒ + × × × = × ⋅



37/84 2011/2012

Fs


626 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

28.7sA cmʹ′⇒ ≥

c s sF F Fʹ′+ =

Fc

245.6 8.7 54.3s sA A cmʹ′+ = + =

245.6sA cm⇒ =

3 4 31604 435 10 8.7 10 435 10 sA−⇒ + × × × = × ⋅



38/84 2011/2012


Sumário


39/84 2011/2012

1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 2. Dimensionamento com fórmulas 2.1 Adoptando εs=εy 2.2 Adoptando εs=2εy

3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício

Sumário


40/84 2011/2012

2 2 3

800 0.4750.30 0.53 20 10

Rd

cd

Mbd f

µ = = =× × ×

Dimensionamento com fórmulas


41/84 2011/2012

Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105

S400

αlim 0,668 0,641 0,625 0,608 0,599 0,599

ωlim 0,541 0,475 0,434 0,388 0,359 0,350

µlim 0,391 0,356 0,332 0,302 0,283 0,276

S500

αlim 0,617 0,588 0,572 0,554 0,545 0,545

ωlim 0,499 0,436 0,397 0,353 0,326 0,318

µlim 0,371 0,336 0,312 0,282 0,263 0,257

S600

αlim 0,573 0,543 0,526 0,509 0,499 0,499

ωlim 0,464 0,403 0,366 0,324 0,299 0,291

µlim 0,353 0,317 0,293 0,264 0,246 0,240

Limite para garantir rotura dúctil



42/84 2011/2012

a/d Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105

0,05 αlim 0,631 0,670 0,696 0,725 0,740 0,744 ωlim 0,511 0,497 0,484 0,462 0,443 0,434 µlim 0,377 0,366 0,357 0,341 0,327 0,320

0,10 αlim 0,661 0,702 0,729 0,760 0,775 0,779 ωlim 0,535 0,521 0,507 0,484 0,465 0,455 µlim 0,388 0,377 0,367 0,351 0,337 0,330

0,15 αlim 0,691 0,734 0,762 0,794 0,810 0,815 ωlim 0,560 0,544 0,530 0,506 0,486 0,475 µlim 0,399 0,388 0,377 0,361 0,346 0,339

Limite para garantir economia

lim0.13 0.395ad

µ= → =



43/84 2011/2012

0.475 0.371µ = >

Logo, a secção deve ser armada duplamente!



44/84 2011/2012

lim 0.475 0.371 0.1201 0.131 a

d

µ µω

− −ʹ′ = = =

−−



45/84 2011/2012

lim 0.475 0.371 0.1201 0.131 a

d

µ µω

− −ʹ′ = = =

−−

20.120 0.30 0.53 20 8.8435

cds

yd

bdfA cmf

ωʹ′ × × ×ʹ′ = = =



46/84 2011/2012

limω ω ωʹ′= +



47/84 2011/2012

Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105

S400

αlim 0,668 0,641 0,625 0,608 0,599 0,599

ωlim 0,541 0,475 0,434 0,388 0,359 0,350

µlim 0,391 0,356 0,332 0,302 0,283 0,276

S500

αlim 0,617 0,588 0,572 0,554 0,545 0,545

ωlim 0,499 0,436 0,397 0,353 0,326 0,318

µlim 0,371 0,336 0,312 0,282 0,263 0,257

S600

αlim 0,573 0,543 0,526 0,509 0,499 0,499

ωlim 0,464 0,403 0,366 0,324 0,299 0,291

µlim 0,353 0,317 0,293 0,264 0,246 0,240



48/84 2011/2012

lim 0.499 0.120 0.619ω ω ωʹ′= + = + =



49/84 2011/2012

lim 0.499 0.120 0.619ω ω ωʹ′= + = + =

20.619 0.30 0.53 20 45.3435

cds

yd

bdfA cmf

ω × × ×= = =



50/84 2011/2012

lim 0.499 0.120 0.619ω ω ωʹ′= + = + =

20.619 0.30 0.53 20 45.3435

cds

yd

bdfA cmf

ω × × ×= = =

245.3 8.8 54.1s sA A cmʹ′+ = + =



51/84 2011/2012

1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 2. Dimensionamento com fórmulas 2.1 Adoptando εs=εy 2.2 Adoptando εs=2εy

3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício

Sumário


52/84 2011/2012

2lim 1

2

3.50.81 0.3623.5 2 2.17

cu

cu yd

km

εω

ε ε= ⋅ = × =

+ ⋅ + ×



53/84 2011/2012

2lim 1

2

3.50.81 0.3623.5 2 2.17

cu

cu yd

km

εω

ε ε= ⋅ = × =

+ ⋅ + ×

2 2lim 1 2

2 2

1cu cu

cu yd cu yd

k km m

ε εµ

ε ε ε ε

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⋅ + ⋅⎝ ⎠



54/84 2011/2012

2lim 1

2

3.50.81 0.3623.5 2 2.17

cu

cu yd

km

εω

ε ε= ⋅ = × =

+ ⋅ + ×

lim3.50.362 1 0.416 0.295

3.5 2 2.17µ ⎛ ⎞⇒ = × − × =⎜ ⎟+ ×⎝ ⎠

2 2lim 1 2

2 2

1cu cu

cu yd cu yd

k km m

ε εµ

ε ε ε ε

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⋅ + ⋅⎝ ⎠



55/84 2011/2012

lim 0.475 0.295 0.2071 0.131 a

d

µ µω

− −ʹ′ = = =

−−



56/84 2011/2012

lim 0.475 0.295 0.2071 0.131 a

d

µ µω

− −ʹ′ = = =

−−

20.207 0.30 0.53 20 15.1435

cds

yd

bdfA cmf

ωʹ′ × × ×ʹ′ = = =



57/84 2011/2012

lim 0.362 0.207 0.569ω ω ωʹ′= + = + =



58/84 2011/2012

lim 0.362 0.207 0.569ω ω ωʹ′= + = + =

20.569 0.30 0.53 20 41.6435

cds

yd

bdfA cmf

ω × × ×= = =



59/84 2011/2012

lim 0.362 0.207 0.569ω ω ωʹ′= + = + =

20.569 0.30 0.53 20 41.6435

cds

yd

bdfA cmf

ω × × ×= = =

241.6 15.1 56.7s sA A cmʹ′+ = + =



60/84 2011/2012


Sumário


61/84 2011/2012

0.475µ =

Dimensionamento com tabelas


62/84 2011/2012

0,475

Para A´/A=0,0 não há solução!



63/84 2011/2012

0,475

A secção tem de ser duplamente armada !



64/84 2011/2012

0,475

Para A´/A=0,2 => ω=0.609 (x1.2=0.731)



65/84 2011/2012

0,475

Para A´/A=0,3 => ω=0.575 (x1.3=0.748>0.731!)



66/84 2011/2012

Adopta-se A´/A=0,2



67/84 2011/2012

20.609 0.30 0.53 20 44.5435

cds

yd

bdfA cmf

ω × × ×= = =

Adopta-se A´/A=0,2



68/84 2011/2012

20.609 0.30 0.53 20 44.5435

cds

yd

bdfA cmf

ω × × ×= = =

20.2 44.5 8.9sA cmʹ′ = × =

Adopta-se A´/A=0,2



69/84 2011/2012

20.609 0.30 0.53 20 44.5435

cds

yd

bdfA cmf

ω × × ×= = =

20.2 44.5 8.9sA cmʹ′ = × =

Adopta-se A´/A=0,2

244.5 8.9 53.4s sA A cmʹ′+ = + =



70/84 2011/2012


Sumário


71/84 2011/2012

Exercício: Resolva o exercício anterior para betão da classe C40/50 e MEd=1000kNm.

Exercício


72/84 2011/2012

εcu3=3.5 ‰

Fc

Fs εy=2.17 ‰

d=0.53m

fcd

As

h=0.60m

b=0.30m

x=0.33m

F’s A’s

εs’=2.76 ‰

Exercício


73/84 2011/2012

31 26.7 10 0.81 0.30 0.33 2141c cdF f k b x kN= ⋅ ⋅ ⋅ = × × × × =

2 0.416 0.33 0.14c k x m= ⋅ = × =

Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105

k1 0,810 0,742 0,695 0,637 0,599 0,583

k2 0,416 0,392 0,377 0,362 0,355 0,353

Exercício


74/84 2011/2012

Fs

fcd

0.53-0.07=0.46m

F’s 2141cF kN=


0.53-0.14=0.39m Fc

Exercício


75/84 2011/2012

Fs

fcd

0.53-0.07=0.46m

F’s 3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅


0.53-0.14=0.39m Fc

2141cF kN=

Exercício


76/84 2011/2012

Fs

fcd

0.53-0.07=0.46m

F’s 3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅


3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅

0.53-0.14=0.39m Fc

2141cF kN=

Exercício


77/84 2011/2012

Fs

fcd

0.53-0.07=0.46m

F’s 3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅


3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅

32141 0.39 435 10 0.46Rd sM Aʹ′= × + × ⋅ ×

0.53-0.14=0.39m Fc

2141cF kN=

Exercício


78/84 2011/2012

Fs

fcd

0.53-0.07=0.46m

F’s 3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅


3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅

32141 0.39 435 10 0.46Rd sM Aʹ′= × + × ⋅ ×

835 200100Rd sM Aʹ′⇒ = +0.53-0.14=0.39m Fc

2141cF kN=

Exercício


79/84 2011/2012

Fs


835 200100 1000Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

Fc

Exercício


80/84 2011/2012

Fs


28.2sA cmʹ′⇒ ≥Fc

835 200100 1000Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

Exercício


81/84 2011/2012

Fs


c s sF F Fʹ′+ =

Fc 28.2sA cmʹ′⇒ ≥

835 200100 1000Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

Exercício


82/84 2011/2012

Fs


c s sF F Fʹ′+ =3 4 32141 435 10 8.2 10 435 10 sA

−⇒ + × × × = × ⋅

Fc 28.2sA cmʹ′⇒ ≥

835 200100 1000Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

Exercício


83/84 2011/2012

Fs


c s sF F Fʹ′+ =

257.4sA cm⇒ =

Fc

3 4 32141 435 10 8.2 10 435 10 sA−⇒ + × × × = × ⋅

28.2sA cmʹ′⇒ ≥

835 200100 1000Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

Exercício


84/84 2011/2012

Fs


c s sF F Fʹ′+ =

257.4sA cm⇒ =

Fc

3 4 32141 435 10 8.2 10 435 10 sA−⇒ + × × × = × ⋅

28.2sA cmʹ′⇒ ≥

835 200100 1000Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =

257.4 8.2 65.6s sA A cmʹ′+ = + =

Exercício

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Mestrado em Engenharia Civil - Departamento de Engenharia