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Departamento de Engenharia Civil

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO II

COMPLEMENTOS RELATIVOS APLICAO DO MTODO DAS BANDAS EM LAJES VIGADAS

Prof. Vlter J. G. Lcio

Maro de 2010 NOTA: Este texto foi escrito em 1994, pelo que a sua formatao e a deficiente qualidade de algumas figuras resulta das limitaes do software ento usado.

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PAINIS DE LAJE COM CONTINUIDADE

Na anlise dos esforos em lajes vigadas com continuidade (figura a) so determinados os esforos nos painis isolados (figura b), sendo depois necessrio efectuar o equilbrio dos momentos negativos nos apoios comuns dos diversos painis (figura c), e reajustar os momentos positivos.

L1 L2 L3

L4 L5 L6

a) Lajes vigadas com continuidade

L1 L2 L3

b) Anlise dos esforos nos painis isolados

Mx+ +

-

momentosdesequilibrados

1

+-

32

c) Equilbrio dos momentos

+

-

m1

m2m1-m2

k1 k2

kt

+

-

+

+ +

- -

=

Mx

l ll

y

x

m'

O equilbrio dos momentos negativos sobre os apoios pode ser efectuado por uma tcnica simplificada baseada no mtodo de Cross. Esta tcnica consiste em repartir a diferena entre os momentos (m1-m2) pelos dois vos adjacentes ao apoio da seguinte forma: m'1 = m1 - k1 (m1-m2) e m'2 = m2 + k2 (m1-m2) (1) sendo k os coeficientes de repartio, dados por: k K

K K11

1 2

=

+ e k K

K K22

1 2

=

+ (2)

onde K a rigidez rotao da extremidade da barra junto ao n. No exemplo da figura: K EI

l1 13

= e K EIl2 2

4= (3)

3

Substituindo K1 e K2 nas expresses (2) obtm-se:

k ll l1

2

1 2

=

+ e k l

l l21

1 2

=

+ (4)

onde l' = l no caso de painis extremos e l' = 3/4 l no caso de painis interiores. O coeficiente de transmisso (kt) (ver figura c) pode ser considerado nulo em lajes armadas em duas direces, o que simplifica bastante o processo. Segundo Szilard (Theory and Analysis of Plates, Classical and Numerical Methods. Prentice-Hall, Inc. 1974) o coeficiente de transmisso entre um bordo de uma laje e o bordo oposto, embora dependa das condies de

fronteira da laje e das relaes entre os dois vos, em geral pequeno. Os coeficientes de transmisso entre um bordo e os bordos adjacentes so geralmente maiores que o coeficiente referido. Veja-se o exemplo da laje quadrada encastrada nos quatro lados representada na figura.

Desta forma torna-se simples o clculo do momento equilibrado sobre o apoio, uma vez que m' = m'1 = m'2 (5) ento de (1) e (4) m' = m1 -

+

ll l

2

1 2

(m1-m2) (6)

ou m' = m l m l

l l1 1 2 2

1 2

+

+ (7)

EXEMPLO: Seja o caso da figura da pgina anterior com l1=5.0m, l2=3.0m, m1=9.4kNm/m e m2=5.6kNm/m. Segundo o referido l'1= 5.0m e l'2= 3/43.0 = 2.25m.

Assim: m' = 9 4 5 0 5 6 2 255 0 2 25

. . . .

. .

+

+ =8.2kNm/m

kt2

kt1

kt2

kt1=0.05

kt2=0.23

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ALTERNNCIA DE SOBRECARGA Em estruturas hiperstticas, como o caso das lajes com continuidade, possvel redistribuir os momentos negativos dos diversos casos de carga e dispensar a anlise com alternncia de sobrecarga. Considere-se o modelo da figura seguinte, correspondente a uma estrutura com trs vos iguais, sujeita aos casos de carga indicados. Neste modelo, o mximo momento positivo no vo central (figura b)) obtido com o caso de carga (1), o mximo momento nos vos extremos obtido com o caso (2), e o mximo momento negativo no 2 apoio dado pelo caso (3).

gq

g

(1)

(2)

M

gq

(3)

q q

gq

(4)

(4)

(3)

(2) (1)

M(2)

(2), (3) e (4)(1),(3) e (4)

(1)

(2) e (4)

(4)(4)

(1) e (3)

b) DIAGRAMAS ELSTICOS

c) DIAGRAMAS REDISTRIBUDOS para Mom. neg.(4)

a) CASOS DE CARGA

Se os momentos negativos dos casos (1), (2) e (3) forem alterados para os valores do caso (4), caso com a carga total em toda o modelo, o diagrama que se obtm o indicado na figura c). Este diagrama mostra que a alternncia de

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sobrecarga no altera os valores mximos e mnimos do caso (4) mas altera os pontos de dispensa de armaduras superiores (Prof. Jos Cmara, Elementos do Curso "Regulamentao internacional no domnio do beto armado e pr-esforado", F.F.C.E.C., I.S.T., 1994). Para o caso ilustrado (trs vos iguais), se se limitar a taxa de redistribuio de momentos negativos em lajes a 25%, o que atrs foi dito vlido para valores de qq gg . Nas restantes situaes (qq > gg), para respeitar a taxa referida, ser necessrio redistribuir para momentos ligeiramente inferiores aos momentos negativos do caso (4). Em lajes em consola com continuidade impossvel redistribuir o momento negativo do apoio, logo, nestes casos, imperioso considerar a alternncia da sobrecarga.

gq

gq

(1) (2)

-

+

(2)

(1)

M

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FORMULAO DE GRASHOF-RANKINE A formulao de Grashof-Rankine para a anlise dos esforos em lajes vigadas consta da considerao do teorema esttico da teoria da plasticidade. Nesta formulao as cargas exteriores so equilibradas apenas pelos esforos de flexo em duas direces ortogonais (x,y):

Teoria da elasticidade -

2

2

2 2

22m

x

m

x ym

ypx xy y+ + = (1)

Teorema esttico -

2

2

2

2m

x

m

ypx y+ = (2)

A carga aplicada pode assim ser repartida em duas parcelas, sendo cada uma delas equilibrada por flexo uma direco:

p = px + py com p pm

xx

x= =

2

2 e p pm

yyy

= = ( )12

2 (3)

lx

ly p(1)p

(1)p

+

mx= px lx /82

ppx=

py=

+ my= py ly /82

O valor do coeficiente de repartio deve ser determinado de forma a obter diagramas de momentos prximos dos elsticos. Diagramas de momentos muito diferentes dos diagramas elsticos obrigam a redistribuies de esforos s possveis com grandes fendilhaes e deformaes, as quais podem colocar em causa os estados limites de servio. Grashof e Rankine propem que o valor de seja tal que a flecha elstica nas duas bandas resistentes x e y seja igual, isto : ax(lx,px) = ay(ly,py) (4)

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ax=ay

Sendo a k p lEIx

x x x=

384

4

e ak p l

EIyy y y

=

384

4

, (5)

com kx e ky constantes que dependem das condies de apoio:

k=5.0 k=2.1 k=1.0

l' = l l '= 0.80 l l' = 0.67 l

Igualando as flechas obtm-se: kx px lx4 = ky py ly4 (6)

e da expresso (3) obtm-se: =+

k lk l k l

y y

x x y y

4

4 4 (7)

Esta expresso pode-se simplificar para: =

+

ll l

y

x y

4

4 4 (8)

onde =l k l54 e indicado na figura acima. Na figura seguinte apresenta-se um baco com a expresso (8).

l'x/l'y0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

8

EXEMPLO: Seja lx=6.0m, ly=3.0m, e p=10kN/m2. Da figura da pgina anterior l'x=0.67x6.0=4.02m, e l'y=1.0x3.0=3.00m.

Ento l'x/l'y=1.34

Do baco tira-se = 0.235

Ento px=0.235x10=2.35kN/m2, py=(1-0.235)x10=7.65kN/m2

e os momentos: mx+=2.35x6.02/24=3.53kNm/m

mx-

=2.35x6.02/12=7.05kNm/m

my+=7.65x3.02/8 =8.61kNm/m

lx

ly p(1)p

mx+

mx-

my++

+

--

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EXEMPLOS DE APLICAO DO MTODO DAS BANDAS 1. LAJE QUADRADA SIMPLESMENTE APOIADA No caso da laje quadrada simplesmente apoiada o momento mximo resultante

do clculo elstico m+mx= 0.338 pl2/8.

Aplicando a formulao de Grashof-Rankine (figura a), obtm-se m+= 0.5 pl2/8. Considerando as distribuies de cargas indicadas nas figuras b) e c) obtm-se, respectivamente, m += 0.333 pl2/8 e m += 0.375 pl2/8. Destas trs ltimas formulaes a que mais econmica a (b), embora a (c) seja de pormenorizao mais fcil. Como curiosidade refira-se que no caso (b) o valor mximo do momento m+mx= pl2/8, e no caso (c) m+mx= 0.625 pl2/8 e m+min= 0.125 pl2/8.

Observe-se ainda que a soluo elstica em geral mais econmica que as solues baseadas no mtodo das bandas.

2. LAJE RECTANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA Na figura seguinte apresentam-se trs hipteses de distribuio da carga, sendo a primeira (a) a aplicao directa da formulao de Grashof-Rankine e a ltima (c) a proposta por Hillerborg (Arne Hillerborg, Strip method of design, Viewpoint Publications, 1975). O caso (a) bastante prtico, no entanto o mtodo proposto por Hillerborg bastante mais econmico e simples de aplicar, pois no necessrio determinar o coeficiente de repartio e o momento mximo segundo o maior vo sempre 1/4 do momento mximo segundo o menor vo.

p

p

p

p

m

p

p

p

p

0.5p0.5p

0.5p

0.5p+

+

m

l/4 l/4l/2

a)

b)

c)

10

p

p

p

p

ly/4 ly/4lx-ly/2

a)

b)

pp(1)

p

p(1)

p

p(1)

p(1)

ly/4

ly/4

ly/2

p/2

p/2

p

p

p/2

p/2

p/2p/2

p pp

p/2p/2

+

+

+

+

mx

mx

mx

my

p

p

p

p

ly/4 ly/4lx-ly/2

c)p

ly/4

ly/4

ly/2

p/2

p/2

p

p/2

p/2

p/2p/2

pp

p/2p/2+

mx

+my

+mx/2

+

mx/2

mx = p ly /32

my = p ly /82

2

11

3. LAJE COM BORDO LIVRE

p

p(1) p

+

p(1)

+

my

p

p(1+)

p

+

mx

my

p(1+)

-

-

-

-

-

4. LAJES COM ABERTURAS

p

p

p(1)

p

p

p

p(1)

p

p(1) p(1)

pp(1+)

1 p1

p

p(1+2)3

3p

p2p2

p(1)(1+3) p

p(1+1)(1+3) p

p(1)

Abertura central

12

a)

b)

p

p(1) p

p(1)

p

p

p

p

p

p(1)p

p(1)

p1p

2p(1+2)

p(1+1)

p p(1+1)

p

p2

p(1)

p(1+2)

p(1)

p1

(a) Pequena abertura a uma canto e (b) grande abertura a um canto.

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4. LAJES COM CANTOS REENTRANTES

p

p(1)p

p

p

p(1)

p

p(1)

p

p(1)

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PORMENORIZAO DE LAJES VIGADAS ANLISE ELSTICA-LINEAR E MTODO DAS BANDAS

Nas figuras seguintes ilustra-se duas pormenorizaes de um painel de canto de uma laje vigada. A primeira pormenorizao corresponde a uma anlise elstica-linear dos esforos, sendo necessrio colocar armaduras especficas para resistir aos momentos torsores resultantes desta anlise no canto da laje onde convergem dois bordos simplesmente apoiados. Embora no modelo de clculo no tenha sido considerado, podero surgir momentos negativos entre a laje e as vigas de bordo, devido rigidez de toro destas, e fendilhao na laje paralela s vigas. Para controlar a abertura das fendas deve ser colocada uma armadura mnima normal aos bordos apoiados.

Asx+/2

Asx+/2

Asy+/2

Asy+/2

0.8 lx

0.8 ly

ARMADURA INFERIOR

Asx-

0.3 ly

0.3 ly

ARMADURA SUPERIORAsy-

Asd

Asd

Asd=0.2Asy-

Asmin

Asmin

0.25 ly

0.25 ly

Asd=0.2Asx-A A

(fora de escala)Asmin

Asd=0.2Asmin

AsdAsx-

Asx+ Asy+

A - A

PORMENORIZAO DE UM PAINEL DE CANTO ANALISADOPELO MODELO ELSTICO LINEAR

0.3 ly

0.3 ly

(Asy+)-(Asx+)

#Asy+

Na pormenorizao resultante do mtodo das bandas os momentos torsores no so considerados para o equilbrio das cargas aplicadas, no entanto sabe-se que no canto da laje onde convergem dois bordos simplesmente apoiados iro surgir momentos torsores que podero provocar fendilhao. Com o nico

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intuito de controlar a abertura destas fendas colocada armadura mnima nessa zona.

A quantidade de armadura de flexo neste caso superior do exemplo anterior, uma vez que, como se refere no Anexo IV, o mtodo das bandas conduz a resultados menos econmicos que a anlise elstica.

Asx+/2

Asx+/2

Asy+/2

Asy+/2

0.8 lx

0.8 ly

ARMADURA INFERIOR

Asx-

0.3 ly

0.3 ly

ARMADURA SUPERIORAsy-

Asd

Asd

Asd=0.2Asy-

Asmin

Asmin

0.25 ly

0.25 ly

Asd=0.2Asx-A A

(fora de escala)Asmin

Asd=0.2Asmin

AsdAsx-

Asx+ Asy+

A - A

PORMENORIZAO DE UM PAINEL DE CANTO ANALISADOPELO MTODO DAS FAIXAS