Breve explicação sobre o método numérico de Cholesky.
MTODO DE CHOLESKYDada uma matriz simtrica, ou seja, na qual os
elementos acima e abaixo da diagonal principal so coincidentes,
fazendo com que a sua transposta seja igual matriz original,
possvel aplicar o Mtodo de Cholesky, desde que esta matriz tambm
seja positiva e definida.Considere o sistema:
10X1+7X2+8X3+7X4 = 327X1+5X2+6X3+5X4 = 238X1+6X2+10X3+9X4 =
337X1+5X2+9X3+10X4 = 31Sabe-se ento que:
10787
32
7565 X
= 23
86109
33
75910
31
Assume-se a primeira matriz (A) como da forma:
a11a12a13a14
a21a22a23a24
a31a32a33a34
a41a42a43a44
Como a matriz inicial simtrica, positiva e definida, pode-se
simplificar os clculos do Mtodo de Decomposio por LU, calculando-se
GGt, sendo G uma matriz triangular inferior com diagonal positiva.
Logo:g11000
G = g21g2200
g31g32g330
g41g42g43g44
Os termos de G so dados como:g11 = = g21 = a21/g11 = g22 = = =
g31 = a31/g11 = 8/ = 4g32 = (g21xg31)] = (x)] = = g33 = = = = g41 =
= 7/ = 7g42 = [a42 (g41xg21)] = [5 (x)] = )] = g43 = [a43
(g31xg41)- (g32xg42)] = [9 (x) - (x)] = [9 ] = 3g44 = = = = = Ento,
fica:
000 32
00 23
0 33
3
31 Assim:Y1 = = Y2 = 23 - x = 23 - = = Y3 = 33 x x = 33 - - = =
Y4 = 31 - x - x - 3 x = 31 - - - = = E a Gt ser:
X4 = = 1; X3 = - 3 x 1 + = = 1
X2 = - x 1 - x 1 + = = 1; X1 = - x 1 - x 1 - x1 + = = 1Ento:
10X1+7X2+8X3+7X4 = 32
7X1+5X2+6X3+5X4 = 23
8X1+6X2+10X3+9X4 = 33
7X1+5X2+9X3+10X4 = 31O Mtodo de Gauss com Pivoteamento
Parcial
1) O elemento akk(k) o pivot do K passo.
2) Se em algum passo K encontrarmos akk(k) = 0, isso significa
que det (Ak) = 0.
Nesse caso, o sistema ainda pode ter soluo determinada (basta
que det (A) 0).
O mtodo pode ser continuado simplesmente permutando a K equao
com qualquer outra abaixo cujo coeficiente da K incgnita seja
0.
3) Anlise de propagao de erros de arredondamento para o algortmo
de Gauss indicam a convenincia de serem todos multiplicadores (as
constantes aik(k)/akk(k) do K passo) menores que 1 em mdulo; ou
seja o pivot deve ser o elemento de maior valor absoluto da coluna,
da diagonal (inclusive) para baixo.
Podemos ento em cada passo, escolher na coluna correspondente o
elemento de maior valor absoluto, da diagonal (inclusive) para
baixo, e fazer uma permutao nas equaes do sistema, de modo que esse
elemento venha a ocupar a posio diagonal.]
]
]
[
[
[
b
]
[
]
]
[
g11g21g31g41 0g22g32g33
00g42g43
000g44
[
Gt =
[
]
]
[
=
G=
]
]
[
[
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE 0 QUOTE QUOTE QUOTE
00 QUOTE 3 QUOTE
000 QUOTE
Gt =
=
10 x 1 + 7 x 1 + 8 x 1 + 7 x 1 = 32
7 x 1+5 x 1 + 6 x 1 + 5 x 1 = 23
8 x 1 + 6 x 1 + 10 x 1 + 9 x 1 = 33
7 x 1+5 x 1 + 9 x 1 +10 x 1 = 31
