MTODO DE CHOLESKYDada uma matriz simtrica, ou seja, na qual os elementos acima e abaixo da diagonal principal so coincidentes, fazendo com que a sua transposta seja igual matriz original, possvel aplicar o Mtodo de Cholesky, desde que esta matriz tambm seja positiva e definida.Considere o sistema:

10X1+7X2+8X3+7X4 = 327X1+5X2+6X3+5X4 = 238X1+6X2+10X3+9X4 = 337X1+5X2+9X3+10X4 = 31Sabe-se ento que:

10787

32

7565 X

= 23

86109

33

75910

31

Assume-se a primeira matriz (A) como da forma:

a11a12a13a14

a21a22a23a24

a31a32a33a34

a41a42a43a44

Como a matriz inicial simtrica, positiva e definida, pode-se simplificar os clculos do Mtodo de Decomposio por LU, calculando-se GGt, sendo G uma matriz triangular inferior com diagonal positiva. Logo:g11000

G = g21g2200

g31g32g330

g41g42g43g44

Os termos de G so dados como:g11 = = g21 = a21/g11 = g22 = = = g31 = a31/g11 = 8/ = 4g32 = (g21xg31)] = (x)] = = g33 = = = = g41 = = 7/ = 7g42 = [a42 (g41xg21)] = [5 (x)] = )] = g43 = [a43 (g31xg41)- (g32xg42)] = [9 (x) - (x)] = [9 ] = 3g44 = = = = = Ento, fica:

000 32

00 23

0 33

3

31 Assim:Y1 = = Y2 = 23 - x = 23 - = = Y3 = 33 x x = 33 - - = = Y4 = 31 - x - x - 3 x = 31 - - - = = E a Gt ser:

X4 = = 1; X3 = - 3 x 1 + = = 1

X2 = - x 1 - x 1 + = = 1; X1 = - x 1 - x 1 - x1 + = = 1Ento:

10X1+7X2+8X3+7X4 = 32

7X1+5X2+6X3+5X4 = 23

8X1+6X2+10X3+9X4 = 33

7X1+5X2+9X3+10X4 = 31O Mtodo de Gauss com Pivoteamento Parcial

1) O elemento akk(k) o pivot do K passo.

2) Se em algum passo K encontrarmos akk(k) = 0, isso significa que det (Ak) = 0.

Nesse caso, o sistema ainda pode ter soluo determinada (basta que det (A) 0).

O mtodo pode ser continuado simplesmente permutando a K equao com qualquer outra abaixo cujo coeficiente da K incgnita seja 0.

3) Anlise de propagao de erros de arredondamento para o algortmo de Gauss indicam a convenincia de serem todos multiplicadores (as constantes aik(k)/akk(k) do K passo) menores que 1 em mdulo; ou seja o pivot deve ser o elemento de maior valor absoluto da coluna, da diagonal (inclusive) para baixo.

Podemos ento em cada passo, escolher na coluna correspondente o elemento de maior valor absoluto, da diagonal (inclusive) para baixo, e fazer uma permutao nas equaes do sistema, de modo que esse elemento venha a ocupar a posio diagonal.]

]

]

[

[

[

b

]

[

]

]

[

g11g21g31g41 0g22g32g33

00g42g43

000g44

[

Gt =

[

]

]

[

=

G=

]

]

[

[

QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE 0 QUOTE QUOTE QUOTE

00 QUOTE 3 QUOTE

000 QUOTE

Gt =

=

10 x 1 + 7 x 1 + 8 x 1 + 7 x 1 = 32

7 x 1+5 x 1 + 6 x 1 + 5 x 1 = 23

8 x 1 + 6 x 1 + 10 x 1 + 9 x 1 = 33

7 x 1+5 x 1 + 9 x 1 +10 x 1 = 31