MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS · A equação do movimento que relaciona força com a deformação (ou deslocamento) é substituida por equações de diferenças finitas

MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS

� Este método apróximado é adequado para vigas com características não uniformesacentuadas, ou sistemas com um número grande de massas concentradas.

� Substitui-se o sistema contínuo por um sistema discreto

� O sistema é representado por um conjunto de n massas discretas e rígidasconcentradas em n pontos chamados de estações

� Os segmentos de veio entre as massas discretas assumem-se sem massa e com rigidez uniforme e chama-se de campos

� A equação do movimento que relaciona força com a deformação (oudeslocamento) é substituida por equações de diferenças finitas correspondentes

� A solução obtém-se passo a passo


A relação entre o deslocamento angular e o momento torçor é dada por:

( ) ( )( )xJG

txMx

tx T ,, =∂

θ∂

( ) ( ) ( )2

2 ,,t

txxI

xtxMT

∂θ∂

∂=∂

(6.1)

(6.2)

Por outro lado, deduziu-se anteriormente a equação diferencial que governa as vibrações torcionais livres de vigas:

Como as vibrações livres do movimento síncrono são harmónicas então tem-se que o deslocamento angular e o momento torçor são representados por:

( ) ( ) ( )φωθ −Θ= txtx cos,

( ) ( ) ( )φω −= txMtxM cos,

( ) ( )( )xJGxM

xdxd =Θ

(6.3)

(6.4)

(6.5)

Eliminando a dependência do tempo, pode-se substituir (6.1) e (6.2) por:

( ) ( ) ( )xxIxdxdM Θ−= 2ω (6.6)

As equações anteriores são a base do método de diferenças finitas a deduzir


Represente-se a viga não uniforme da figura por n+1 discos rígidos ligados por veioscirculares, sem massa e com rigidez uniforme.

Os discos têm momentos polares de inércia dados por:

( )( ) ( ) nixxIxxxII iiiiii ,...,2,1 21

1 =∆≅∆+∆= −

( ) ( ) nnn xxIIxxII ∆=∆= ++ 11111 21

21

(6.7)

(6.8)

Onde os incrementos ∆xi são suficientemente pequenos para que as aproximações em (6.7) e (6.8) sejam válidas.


nixxGJGJ iii ,...,2,1 21 =�

�

��

� ∆+=

Adicionalmente usa-se a notação:

(6.9)

Diagrama de corpo livre da estação i e do campo io Os índices R e L referem-se respectivamente aos lados direitos e esquerdo da estaçãoo O lado esquerdo do campo i usa a notação correspondente ao lado direito da estação io O lado direito do campo i usa a notação correspondente ao lado esquerdo da estação i+1

estação campo


iLi

Ri Θ=Θ=Θ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) iiiiiii xxxIxxxxIxM ∆Θ−≅∆+∆Θ−=∆ −2

12

21 ωω

Lii

Li

Ri IMM Θ−= 2ω

Ri

Li MM =+1

Vão ser utilizadas as equações (6.5) e (6.6) para relacionar os deslocamentos angulares e osmomentos torçores nos dois lados da estação i e do campo i.

Como os discos são rígidos os deslocamentos nos dois lados da estação são iguais:

(6.10)

Por outro lado a equação (6.6) na forma incremental é:

Utilizando (6.7), (6.8) e (6.10), a expressão anterior vem:

Como o segmento de veio associado ao campo i não tem massa, tem-se que:

A equação (6.5) na forma incremental e quando aplicada ao campo i é:

( )i

iRi

Li

ii

iiiii GJ

xMM

xxGJ

xxxMxx

∆+≅��

��

� ∆+

∆��

��

� ∆+=��

��

� ∆+∆Θ +121

212

121

(6.13)

(6.12)

(6.11)

(6.14)


Rii

Ri

Li Ma+Θ=Θ +1

i

ii GJ

xa

∆=

��

��

��

�

−=

��

��

Li

Li

iRi

Ri

MIM

θω

θ101

2

Utilizando a equação (6.13) a expressão (6.14) reduz-se a:

onde:

representa o coeficiente de influência da flexibilidade torcional. Pode ser intrepertado como o deslocamento angular do disco i + 1 devido a um momento unitário na estação i + 1, mantendo o disco i sem rotação.

(6.16)

(6.15)

As equações (6.10) e (6.12) podem ser representadas na forma matricial:

e representam o deslocamento e torque no lado direito da estação i em termos de quantidadessemelhantes no lado esquerdo.

(6.17)


L

iLi

Li

R

iRi

Ri

MMMM ��

��Θ

=��

��

�

��Θ

��

��Θ

=��

��

�

��Θ

[ ] �

��

�

−=

101

2i

iE IT

ω

[ ]L

iiE

R

iM

TM �

�

��

≡��

�� θθ

[ ]R

iiC

L

i MT

M ��

��=

��

��

+

θθ

1

(6.18)

Definem-se as seguintes quantidades como vectores de estado, que são os deslocamentosangulares e torques nos lados direito e esquerdo da estação i :

Define-se ainda a matriz de transferência da estação que relaciona os dois vectores de estado (6.16):

(6.19)

Deste modo a equação (6.17) pode ser escrita numa forma mais compacta:

(6.20)

De forma semelhante as equações (6.13) e (6.15) podem ser representadas por:

onde:

(6.21)


[ ] �

��

�=10

1 iiC

aT

[ ]L

ii

L

i MT

M ��

��=

��

��

+

θθ

1

[ ] [ ] [ ]iEiCi TTT =

[ ] [ ] [ ] [ ] niM

TTTTM

L

ii

L

i

,...,2,1 ...1

1211

=��

��Θ

=��

��Θ

−+

Onde se define a matriz de transferência do campo:

(6.23)

(6.25)

(6.24)

(6.22)

Introduzindo (6.20) em (6.21) obtém-se:

Onde:

Representa a matriz de tranferência que relaciona o vector de estado no lado esquerdo daestação i + 1 com o vector de estado no lado esquerdo da estação i.

Pode-se provar que começando com o primeiro disco i = 1, se tem a seguinte relação:

Adicionalmente, observando a última figura apresentada, conclui-se que:

[ ]LR

n MT

M 11 ��

��Θ

=��

��Θ

+

(6.26)


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1211 ... TTTTTT nnnE −+=

LLRn

LLRn MTTMMTT 12212111121111 +Θ=+Θ=Θ ++

0 0 11 == +Rn

L MM

(6.27)

Onde a matriz de transferência global é:

e relaciona o vector de estado no lado esquerdo da estação 1 com o vector de estado no ladodireito da estação n + 1.

A equação (6.26) escrita na forma explícita é:

Onde os elementos Tij (i,j= 1,2) da matriz de transferência global [T] representam polinómiosem ω2. A equação do sistema em ordem à frequência obtém-se fazendo um dos elementosdesta matriz, ou uma combinação de elementos, igual a zero através das c.f. nos extremos daviga.

A - Veio livre nas duas extremidades

Como não existem momentos torçores nas extremidades, as condições fronteira são:

(6.28)

(6.29)

Introduzindo as c.f. na segunda equação de (6.26) conclui-se que:

021 =T


0 0 11 ==Θ +Rn

L M

0 0 11 =Θ=Θ +Rn

L

B - Veio encastrado numa extremidade e livre na outra

Na extremidade esquerda o deslocamento é zero e no lado direito o torque é zero:

(6.30)

Neste caso tem-se que substituindo em (6.26) resulta:

022 =T

C - Veio encastrado nas duas extremidades

Neste caso as condições fronteira são:

O que resulta em:

012 =T

(6.31)

MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES À FLEXÃO (vibrações transversais de vigas)

Representa uma extensão do método de Holzer, neste caso para as vibraçõestransversais de vigas

� Vibrações torcionais de vigas:

Equação diferencial de 2ª ordem

Os vectores das estações são 2D, as componentes são o deslocamentoangular e o momento torçor

� Vibrações transversais de vigas:

Equação diferencial de 4ª ordem

Os vectores das estações são 4D, as componentes são o deslocamento, declive, momento flector e esforço de corte

MÉTODO DE MYKLESTAD PARA VIBRAÇÕES FLEXURAIS

� Assume-se uma viga esbelta, elástica, linear e não uniforme

� Representa-se a viga por um conjunto de massas concentradasligadas por vigas sem massa e rigidez à flexão uniforme

� As massas são as estações

� As vigas uniformes são os campos


Resumo do Método

(a) Representar a viga esbelta e não uniforme por um conjunto de massas concentradasligadas por segmentos de veio sem massa e com rigidez à flexão uniforme

(b) Fazer o d.c.l. da estação i e do campo i para obter uma equação do momento e outraequação da força

(c) Campo: representar o deslocamento e a rotação em i+1 em função do deslocamento, rotação, força e momento em i .

Oscilações livres – movimento harmónico

d) Deduzir a matriz de transferência da estação i : passar do ladoesquerdo para o lado direito da estação i

e) Deduzir a matriz de transferência do campo i : passar do lado

esquerdo para o lado direito do campo i

f) Deduzir uma matriz geral que relaciona no lado direito da vigacom as mesmas quantidades no lado esquerdo

g) Especificar as condições fronteira para obter a equação da frequência a partir daequação que relaciona os e

QMw ,,, Ψ

QMw ,,, Ψ

QMw ,,, Ψ

Rnv L

0v


Diagrama de corpo livre da estação i e do campo i sujeitos a flexão

(a) estação i (b) campo i

(b) Fazer o d.c.l. da estação i e do campo i para obter uma equação do momento e outra equação da força


Da figura (a) e por haver continuidade tem-se:

Onde Ψi representa o declive (tangente à curva de defleção)

Para vigas esbeltas despreza-se a inércia à rotação, logo o equilibrio de momentos para a estação i é:

O equilibrio de forças para a estação i é:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ttttwtwtw iL

iR

iiLi

Ri Ψ=Ψ=Ψ== (6.32)

( ) ( )tMtM Li

Ri =

( ) ( ) ( )twmtQtQ iiLi

Ri ��=−

(6.33)

(6.34)

Interessa definir of coeficientes de influência de flexibilidade da estação i (assumidacomo restringida nos movimentos):

é a translação em i+1 devido a uma força unitária em i+1,

é a translação em i+1 devido a um momento unitário em i+1,

é a rotação em i+1 devido a uma força unitária em i+1,

é a rotação em i+1 devido a um momento unitário em i+1,

wQiawMia

QiaΨ

MiaΨ

11 =+LiQ

11 =+LiM

11 =+LiQ

11 =+LiM

(c) Campo: representar o deslocamento e a rotação em i+1 em função do deslocamento, rotação, força e momento em i .


Então da figura (b) obtém-se:

Adicionalmente como as os segmentos de veio não têm massa, da fig (b) tem-se:

Introduzindo as equações (6.36) em (6.35) obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tQatMatxtwtw Li

wQi

Li

wMi

Rii

Ri

Li 111 +++ ++Ψ∆+=

( ) ( ) ( ) ( )tQatMatt Li

wQi

Li

wMi

Ri

Li 111 +++ ++Ψ=Ψ

(6.35a)

(6.35b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tQaxatMatxtwtw Ri

wMii

wQi

Ri

wMi

Rii

Ri

Li ∆−++Ψ∆+=+1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tQaxatMatt Ri

Mii

Qi

Ri

Mi

Ri

Li

ΨΨΨ+ ∆−++Ψ=Ψ 1

(6.36a)

(6.36b)

(6.37a)

(6.37b)

( ) ( ) ( )tQxtMtM Rii

Ri

Li ∆−=+1

( ) ( )tQtQ Ri

Li =+1

(d) Deduzir a matriz de transferência da estação i : passardo lado esquerdo para o lado direito da estação i

QMw ,,, Ψ

Vai-se analisar as oscilações livres sem amortecimento, logo as vibrações sãoharmónicas e deste modo pode-se eliminar a dependência do tempo das eqs anteriores

Define-se os vectores da estação i como:

onde as várias componentes representam constantes pois a dependência do tempo foieliminada

Deste modo as equações (6.32) a (6.34) podem ser escritas na seguinte forma:

Onde Tsi é a matriz de transferência que permite representar o deslocamento no ladodireito da estação i em função do deslocamento no lado esquerdo:

[ ] [ ]TLi

Li

Li

Li

Li

TRi

Ri

Ri

Ri

Ri QMwQMw ve v ψψ ==

LiSi

Ri T vv =

(6.38)

(6.39)


Onde Tsi é a matriz de transferência que permite representar o deslocamento no ladodireito da estação i em função do deslocamento no lado esquerdo.

(6.39)

�

�

��

�

�

−

=

100010000100001

2i

Si

m

T

ω

Utilizando as eqs (6.36) e (6.37) deduz-se a operação de transferência do campo i:

Onde os coeficientes de influência são:


RiFi

Li T vv 1 =+

( )

�

�

��

�

�

∆−∆−∆−∆∆

=

1000100

2/106/2/1 2

i

iii

iiiii

Fix

xaa

xaxax

T

(e) Deduzir a matriz de transferência do campo i : passardo lado esquerdo para o lado direito do campo i

QMw ,,, Ψ

( ) ( ) ( )

( ) ,

22

, 22

, 33

2

223

ii

Mi

ii

i

iQi

ii

i

iwMi

ii

i

iwQi

aEI

xa

xaEIx

a

xaEIx

axa

EIx

a

=∆=∆=∆=

∆=∆=∆=∆=

ΨΨ

(6.40)

(6.41)

(6.42)

Ou seja, deduzir uma matriz de transferência que relaciona com :

Combinando (6.39) e (6.40) representa-se v no lado esquerdo do campo i+1 em funçãode v no lado esquerdo de i:

Prova-se que a transferência do lado esquerdo da 1ª estação para o lado esquerdo daestação n é:


(f) Deduzir uma matriz geral que relaciona no lado direito daviga com as mesmas quantidades no lado esquerdo

QMw ,,, Ψ

RnV L

0V

LRn T 0vv =

RiFi

Li T vv 1 =+

LiSi

Ri T vv = (6.39) (6.40)

Lii

LiSiFi

Li TTT vvv 1 ==+

(6.43)

(6.44)

Lnn

Ln TTTT 11221 v...v −−= (6.45a)

Onde:

Para transferir v para o lado direito da estação n usa-se TSn:

SiFii TTT = (6.45b)

Para transferir v para o lado direito da estação n usa-se TSn:

E a matriz de transferência que passa o vector v do lado esquerdo da estação 1 parao lado direito da estação n é:


LnnSn

Rn TTTTT 11221 v...v −−=

1221 ... TTTTTT nnSn −−= (6.47)

(6.46)


�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

=

�

�

��

�

�

Ψ

0

0

44434241

34333231

24232221

14131211

00

00

Q

M

TTTT

TTTT

TTTT

TTTTwRn

Rn

( ) ( )( ) ( ) 0det

244

243

234

233 =

�

��

�

ωωωω

TT

TT

0 , 0M 0, , 0 00 ==== Rn

Rn Qw ψ

(g) Especificar as condições fronteira para obter a equação da frequência a partir da equação que relaciona os eR

nv L0v

Exemplo: viga encastrada numa extremidade e livre na outra

As cond fronteira são:

Substituindo as c.f. na equação (6.43) resulta:

Para satisfazer as duas últimas equações deve-se verificar a seguinte condição:

Equação das frequênciasA solução dá os valores próprios, 22

221 ,...,, nωωω

(6.48)

(6.49)

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