Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi

IF - UFRJ

1º. semestre de 2010

Aulas 3 e 4

Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.3

Equações de Poisson e Laplace

• Vimos na aula passada o método de separação de variáveis aplicado ao caso da equação da onda na corda, que é um problema essencialmente bidimensional.

• Veremos, agora, como surgem EDP em problemas tridimensionais.

• Vamos iniciar essa discussão estudando o caso do potencial eletrostático.

• Vamos recordar uma das equações de Maxwell (Lei de Faraday, unidades SI)

Portanto, no caso estático, o termo do campo magnético H se anula, implicando em:

onde E nesta equação corresponde ao campo eletrostático, ou seja, o campo elétrico independente do tempo.

Todo campo de rotacional nulo pode ser escritocomo o gradiente de uma função escalar.

No caso do campo eletrostático essa função escalar é chamada de potencial eletrostático φ e relação entre eles é definida como

(o sinal é convencional)Vamos, agora, lembrar de outra equação de Maxwell (Lei de Gauss), para o vácuo:

• Substituindo a expressão do potencial φem termos do campo eletrostático E na Lei de Gauss, encontramos

• Em coordenadas Cartesianas, temos:

onde é o operador Laplaciano.

Portanto, o Laplaciano em coordenadas Cartesianas é

Para uma revisão dos operadores grad, div, rot

e , veja a seção 1.8 (cap. 1) do Butkov. A equação obtida para o potencial eletrostático

é conhecida como equação de Poisson.

Em geral, a equação de Poisson é do tipo

onde r = (x, y, z) é o vetor posição.O caso particular em que , ou seja,

é a chamada equação de Laplace.Essa é a equação para o potencial eletrostáti-co na ausência de cargas, ou seja, ρ = 0 .

• As equações de Poisson e Laplace são muito importantes na eletrostática, pois permitem calcular o potencial φ, a partir do qual pode-se calcular o campo elétrico E.

• Exemplo: Equação de Laplace num problema com simetria cilíndrica.

Considere um cilindro metálico muito longo e oco, de raio a, cortado ao meio ao longo de seu eixo, formando duas calhas.

2a

As duas calhas são isoladas uma da outra, mantendo a forma cilíndrica do conjunto. As calhas são submetidas aos potenciais +V e –V. Determine o potencial e o campo elétricos dentro do cilindro.

• Solução

O problema envolve a equação de Laplace,

já que não há cargas dentro do cilindro.

Devido à simetria cilíndrica do problema, não é conveniente usar as coordenadas Cartesianas, mas sim as coordenadas cilíndricas (r, θ, z)

Seria fácil resolver a equação de Laplace em coordenadas Cartesianas, porém seria difícil ajustar essa solução às condições de contorno do problema, que acompanham sua simetria.

Inicialmente vamos notar que, como o cilindro é muito longo, a solução deve ser independente da

coordenada z, ou seja

Isto é, estamos desprezando os efeitos de borda.

Além disso, note que o potencial deve satisfazeràs seguintes condições de contorno

Aplicando o divergente sobre o gradiente, ambos em coordenadas cilíndricas, obtém-se o operador Laplaciano nessas coordenadas

Para uma revisão desses operadores veja, p. ex., o cap. 1 do Griffiths (eletro).

Para uma abordagem de sistemas de coorde-nadas curvilíneas gerais, veja a seção 1.9 do Butkov.

Assim, a equação de Laplace a ser resolvida é

Como o potencial φ não depende de z , o último termo da equação acima é identicamente nulo, ou seja:

Para resolver esta equação, vamos usar o método de separação de variáveis, aplicado anteriormente ao problema da corda vibrante.

• Neste caso, vamos supor que

Desta forma, a EDP para r e θ reduz-se a duas equações diferenciais ordinárias:

e

onde λ é a constante de separação de variáveis

a ser determinada.

• Temos, agora, que resolver cada uma dessas EDOs.

Vamos começar pela equação para , que é a mais simples. De fato, essa equação é idêntica a que resolve-mos para a corda vibrante, tanto para x, como para t. Lá, as soluções poderiam ser exponenciais reais, senos e cossenos, ou uma função linear, dependendo se λ > , < ou = 0.

O que determina a forma da solução (e o sinal de λ ) são as condições de contorno.

Quais são as condições de contorno para ?

A condição sobre é que ela deve ser periódica, isto é

já que, após uma volta completa em θ , o poten-cial φ e a função devem coincidir com seus valores iniciais.

Θ(θ+2π) = Θ(θ)

Logo, as soluções para são

• Assim, a única solução admissível para é uma combinação linear de senos e cossenos, e portanto λ deve ser negativo, ou seja, podemos escrever , onde m é um número real a ser determinado.

Porém, a condição de periodicidade, Θ(θ+2π)

= Θ(θ) , restringe os valores possíveis de mpara m = 0, 1, 2, 3, ... (zero inclusive).

OBS.: Note que a solução acima com m = 0

corresponde à

que é uma constante e, naturalmente, obedece à condição de periodicidade.

A função periódica mais simples é uma função constante!

Vamos, agora, estudar a solução da equação radial, usando os valores de , encontrados na solução da equação angular:

Essa equação é conhecida como a equação diferencial de Euler.

Ela pode ser resolvida por vários métodos, como, por exemplo, o método de Frobenius.

Usando este método, para m ≠ 0, encontram-se as soluções

e

cuja validade podemos verificar facilmente por substituição direta na equação diferencial.

Para m = 0, as duas soluções acima reduzem-se a uma constante. Para encontrar a segunda solução, neste caso, pode-se usar o método de Frobenius generalizado. Assim, encontram-se as soluções

C = constante e

Antes de considerar a solução completa para

vamos verificar se as soluções obtidas para R(r)

são fisicamente aceitáveis ou não. A região no centro do cilindro dada por r = 0

não contém cargas, portanto o potencial φdeve ser bem comportado lá. Porém, as soluções e são singulares em r = 0 e portanto não são fisicamente aceitáveis.

Dessa forma, as soluções aceitáveis para R(r)

são

e C = constante

regulares em r = 0. Combinando as soluções em r e θ , e usando o princípio da superposição

encontramos,

Resta, agora, impor as condições de contorno sobre essa solução.

A condição de contorno que a solução encontrada deve satisfazer é

Fazendo r = a na solução encontrada, então, impomos que

Logo, este é um problema típico de séries de Fourier, onde queremos encontrar os coefici-entes = e = dessa série.

Vamos lembrar que, para uma série de Fourier da forma

os coeficientes e são dados por

Voltando ao nosso problema, note que a função f(θ), correspondente à condição de contorno,

é uma função ímpar em θ . Logo, os coeficientes A serão identicamente nulos:

Por outro lado, os coeficientes são dados por

Calculando esta integral, encontramos

_ ______ |

Portanto, os termos com m = par são nulos, enquanto os m = ímpares dão

(m = 1, 2, 3, ...)___

[ ]

Assim, a solução para o potencial eletrostático fica

(m = 1, 3, 5, ...)

O campo elétrico E pode ser calculado a partir deste resultado usando a relação