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Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi
IF - UFRJ
1º. semestre de 2010
Aula 8
Ref. Butkov, cap. 9, seção 9.5
Vimos, na aula passada, que a solução para o potencial na equação de Laplace , em coordenadas esféricas, pode ser escrita como
Por outro lado, sabemos que o potencial para a partícula deslocada da origem no eixo z, é
02
Então, impomos que essas duas expressões sejam idênticas, ou seja,
onde fizemos .
A partir desta relação, conhecida como a fórmula de Poisson, vamos deduzir quem são os polinô-mios de Legendre
Para isto, vamos fazer a identificação x = cosθ eexpandir seu lado esquerdo usando Taylor
2/1)1(1
1
aa
n
na
n
n
aa
!2
)12(531
...!2
3
4
1
2
11 2
que é bem comportada para a < 1.
Identificando a = r ( 2x – r ), temos
válida para e r < 1.1cos x
Agrupando os termos de mesma potência em r, temos
6
!2.25.3.1
2
15
2
!2.25.3.1
834
3
!35.3.1
233
212
232
2/1
2
1
)]2(1[
r
xr
xr
xxr
xrxr
rxr
Assim, podemos identificar essa expansão com
)(0
xPr l
l
l
e portanto, os polinômios de Legendre são
Fica como exercício obter a expressão de por este método, para qualquer l:
Podemos ainda (exercício) escrever um P.L. de ordem l qualquer como
onde o símbolo [l/2] significa a parte inteira da razão l/2.
→ Esse método de obtenção dos polinômios de Legendre pode ser sistematizado (e estendido a outras funções especiais) da seguinte forma:
Vamos definir a função geradora dos P.L. como
inspirada em nosso exemplo anterior.
A partir desta função, podemos obter os P.L.
e várias de suas propriedades, como veremos a seguir.
)(),(0
xPttxG l
l
l
Derivando G(x,t) em relação à t, temos
Esta equação pode ser reescrita como
Por outro lado, fazendo essa mesma operação na expansão de G(x,t) em termos dos P.L., temos
• Substituindo este resultado e a própria série na equação anterior, temos
)(.),(0
1 xPtltxGt
l
l
l
0)()()(.)21(00
12
xPtxtxPtltxt l
l
l
l
l
l
Fazendo os produtos e separando as séries, por potências de t, temos
• Definindo l’ = l - 1
• n’ = n + 1
• p’ = p + 1, temos
Cancelando um dos somatórios em n’ com o de p’, temos
0)(.
)()().1(
)(2)().1(
0
1
1
1
1
0
1
0
xPtx
xPtxPtn
xPmxtxPtl
q
q
q
p
p
p
n
n
n
m
m
m
l
l
l
• Agrupando os somatórios com x, vem
0)(.)(.
)(2)().1(
0
1
1
0
1
0
xPtxxPtn
xPmxtxPtl
q
q
q
n
n
n
m
m
m
l
l
l
0)(.
)()12()().1(
1
1
0
1
0
xPtn
xPxtmxPtl
n
n
n
m
m
m
l
l
l
Separando os termos l’ = 0 e m = 0, temos
Reunindo os três somatórios restantes, encontramos
0)(.)()12(
)().1()()(
1
11
1
1
01
xPtnxPxtm
xPtlxxPxP
n
n
n
m
m
m
l
l
l
.0)(.)()12(
)()1()()(
1
1
1
01
xPlxxPl
xPltxxPxP
ll
l
l
l
Portanto, para obedecer esta equação cada termo que multiplica uma potência de t deve ser igualado a zero. Assim,
para l = 1, 2, 3, ... Esta relação entre os P.L. com índices l, l+1 e l-1 é chamada de relação de re-corrência pura para esses polinômios.
Note que, a partir de todos os demais P.L.estão determinados por estas relações.
)()( 01 xxPxP
)(.)()1()()12( 11 xPlxPlxxPl lll
)(0 xP
(1)
Isto significa que estas relações determinam os P.L. a menos de uma normalização.
• Obs.: A equação anterior também vale para o índice l = 0, desde que ignoremos o termo l-1.
• Isto acontecerá também para outras relações de recorrência que veremos a seguir.
Para obter outras relações de recorrência, pode-mos, p. ex., derivar G(x,t)
)()21(),(0
2/12 xPttxttxGl
l
l
em relação à x, obtendo
)()21(0
2/32 xPdx
dttxtt
l
l
l
)()21(),(0
2 xPdx
dttxttxtG
l
l
l
o que implica em
Usando novamente a expansão de G(x,t) em termos dos P.L., temos
• Fica como exercício verificar que agrupando as potências iguais de t, como na obtenção da re-lação de recorrência anterior, têm-se que
)()21()(0
2
0
xPdx
dttxtxPtt
l
l
l
l
l
l
)()(2)()( 11 xPxPxxPxP llll
para . 1l
(2)
Muitas outras r.r. podem ser encontradas. Por ex., derivando a r.r. pura
em relação à x, temos
)(.)()1()()12( 11 xPlxPlxxPl lll
Usando a relação (2) para eliminar nesta relação encontra-se
)(1 xPl
)(.)()1(
)()12()()12(
11 xPlxPl
xPxlxPl
ll
ll
(3)0)()()(. 1 xPxxPxPl lll
ou, se eliminarmos , encontramos
• Substituindo l por l-1 nesta relação
)(1 xPl
(4)0)()()()1( 1 xPxxPxPl lll
0)()()(. 11 xPxxPxPl lll
e usando este resultado para eliminar em (3), temos
)(1 xPl
)(.)(.)()1( 1
2 xPlxxPlxPx lll (5)
conhecida como a fórmula de derivação dos P.L., válida para .
• Este resultado pode ser reescrito como
1l
)(1
)()(2
1 xPl
xxxPxP lll
)(1
1)()(
2
1 xPl
xxxPxP lll
Analogamente, pode-se mostrar que (exercício)
(7)
(6)
Estes dois resultados são muito importan-tes pois permitem escrever e em termos de e sua derivada.
• Ou seja, conhecendo um P.L. de ordem l, po-de-se determinar os P.L. de ordem inferior l-1, ou superior l+1.
• Na álgebra de momentum angular na Mecâ-nica quântica, essas relações são associadas aos operadores abaixadores e levantadores que atuam sobre .
)(1 xPl )(1 xPl
)(xPl
)(xPl
Naturalmente, os P.L. devem satisfazer a equação diferencial de Legendre
• Fica como exercício mostrar que a partir das eqs. (6) e (7) chega-se à
0)(2)1( 22 lll PllPxPx
que é, de fato, a ED de Legendre para os P.L..
(8)
Fórmula de Rodrigues
• Outra equação importante sobre os P.L. é a fórmula de Rodrigues
a partir dela podemos obter várias de suas propriedades.
Para deduzir essa equação, expande-se usando o Teorema do binomial
Derivando essa expressão l vezes, encontra-se (exercício)
que coincide com a expressão obtida por meio da função geradora.
Vejamos alguns exemplos
l=0 1)(0 xP
l=1 xxdx
dxP )1(
2
1)( 2
1
l=2
)13(2
1
)(2
1
2).1(28
1
)1(!22
1)(
2
3
2
22
2
2
22
x
xxdx
d
xxdx
d
xdx
dxP
Ortogonalidade dos Polinômios de Legendre
• Para mostrar que os P.L. são ortogonais, isto é
vamos usar a fórmula de Rodrigues:
Assim
Vamos supor que Integrando por partes uma vez, temos
• A função tem zeros de ordem l em x = 1 e x = - 1. Logo, mesmo dife-renciado l – 1 vezes, o termo integrado é zero.
Fazendo l – 1 integrações por partes chegamos a
já que os termos integrados são nulos devido aos zeros de .
Note que o resultado acima contém o fator
que é um polinômio de ordem 2m,
derivado l + m vezes. Se l > m, vemos que o integrando é nulo, ou seja
)1( 2 x
que prova a ortogonalidade dos P.L.
• Porém, se l = m, temos que
e portanto a integral, neste caso, não é nula e leva a Normalização dos Polinômios de Legendre.
Vejamos
e para l = m,
A integral restante é (exercício)
de modo que (exercício)
que é a integral de normalização dos P.L.
Em resumo, os primeiros P.L. são
Grafica-
mente
