Sistemas Lineares-

- -Métodos Iterativos

Sistemas Lineares-

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Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos

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Métodos Iterativos

Método de Jacobi para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial:

 

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𝑨=𝑫−𝑳−𝑼𝑫=𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑫𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍𝑳=𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑻𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝑰𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝑼=𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑻𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓

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𝑫=𝒂𝟏𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝒂𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝒂𝟑𝟑

𝑫=𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑫𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍

Métodos Iterativos

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𝑳=𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑻𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝑰𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓

𝑳=𝟎 𝟎 𝟎𝒂𝟐𝟏 𝟎 𝟎𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝟎

Métodos Iterativos

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𝑼=𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑻𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓

𝑼=𝟎 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑

𝟎 𝟎 𝒂𝟐𝟑

𝟎 𝟎 𝟎

Exemplos

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2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.

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3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.

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4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.

6x + y + 2z = 10

x – 3y + 0,5z = 2,80,75x + 3y – 10z = -6,9

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10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = 6

6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.

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Exercícios

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1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-Jacobi, tendo como para X1=0, X2=0 e X3=0 e ε=0,05.

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4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.

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5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06.

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Métodos Iterativos

Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma algébrica:

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Métodos Iterativos

Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial:

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𝒙𝒌+𝟏=(𝑵 ¿¿−𝟏)𝒃+(𝑵 ¿¿−𝟏𝑷 )𝒙𝒌 ¿¿

𝑨=𝑵 −𝑷

N

(com diagonal zero)

Métodos Iterativos

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N

𝑵=𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑

𝟎 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑

𝟎 𝟎 𝒂𝟑𝟑

Métodos Iterativos

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(com diagonal zero)

𝑷=𝟎 𝟎 𝟎𝒂𝟐𝟏 𝟎 𝟎𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝟎

Métodos Iterativos

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. =

Métodos Iterativos

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2º) Calcula os Cofatores;3º) Trabalha a regra dos sinais dos cofatores;4º) Multiplica pelo inverso do det;5º) Acha .

Métodos Iterativos

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Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel

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• Segundo esse critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:

ii

n

ijj

ij aa 1

, para i=1, 2, 3, ..., n.

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Exemplo: O sistema abaixo satisfaz o critério das linhas e essa verificação pode ser feita de maneira quase imediata, observando-se que:

Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel

0.1048.02.14.0

0.12.02.01.0

8.73.06.036.0

4.02.02.02

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

4.28.02.14.04

5.02.02.01.01

5.13.06.06.03

4.12.02.012

43424144

34323133

24232122

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

ii

n

ijj

ij aa 1

para i=1, 2, 3, 4.

29

Distância entre duas iterações

d(k) = max xi(k) - xi

(k-1)

Critério de parada

dr(k) = d(k)/ (max xi

(k) ) <

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Métodos Iterativos - Critério de Parada

30

EXEMPLO

Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = -6

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Métodos Iterativos - Critério de Parada

31

Com x0 = 0,7

-1,6

0,6

e = 0,05

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Métodos Iterativos - Critério de Parada

32

obtemos x(1) =

-0,56

-1,86

-0,26

= 0,05

|x1(1) – x1

(0)| = 1,26

|x2(1) – x2

(0)| = 0,26

|x3(1) – x3

(0)| = 0,86

dr(1) = 1,26/ (max xi(1) )

= 0,677 >

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Métodos Iterativos - Critério de Parada

33

x(2) =-0,25

-1,44

0,07

= 0,05

dr(2) = 0,42/ 1,44 = 0,29 >

x(3) =-0,43

-1,56

-0,11

dr(3) = 0,18/ 1,56 = 0,12 >

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Métodos Iterativos - Critério de Parada

34

x(4) =-0,35

-1,49

-0,04

= 0,05

dr(4) = 0,08/ 1,49 = 0,054 >

x(5) =-0,39

-1,52

-0,08

dr(5) = 0,04/ 1,52 = 0,03 <

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Métodos Iterativos - Critério de Parada

35

SOLUÇÃO10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = -6

x* =

-0,39

-1,52

-0,08

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Métodos Iterativos - Critério de Parada

Exemplos

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2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.

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3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.

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4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.

6x + y + 2z = 10

x – 3y + 0,5z = 2,80,75x + 3y – 10z = -6,9

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10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = 6

6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.

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Exercícios

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1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.

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4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.

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5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06.

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