UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM
ENGENHARIA CIVIL MTODOS MATEMTICOS Problemas e exerccios propostos
parte 1 Alunos: Filipe Rocha Guedes Professor: Paulo Marcelo V.
Ribeiro RECIFE ABRIL, 2014 1. Problema proposto 1 Viga com vnculo
semi-rgido Aula 05 25/03/2014 Problema: Resolver uma viga
hiperesttica com apoio elstico de rotao (apoio semi-rgido) usando a
equao da linha elstica. Figura 1.1. Viga com carregamento genrico e
apoio semi-rgido (apoio A). Objetivos:
a)Determinarasreaesdeapoioeesforosinternosemtermodeumkarbitrrio,
sendo k a constante elstica ( rotao) do apoio. b) Verificar os
casos particulares onde k tende a 0 e k tende a infinito. Conceitos
e assuntos envolvidos: Apoios semi-rgidos; Equilbrio de foras;
Estruturas estaticamente indeterminadas; Linha elstica e deformadas
em vigas; Sistema de equaes lineares; Equaes diferenciais do tipo
separveis e condies de contorno; Uso dos softwares: Maple 17 e
Ftool. Soluo: 1 etapa) Tentativa de resolver o problema
estaticamente:
+
qL = 0(1.1)
L
qL/2= 0(1.2)
Obs:foiassumidoeixoverticalcomosendopositivodebaixoparacima.
e
como sendo as reaes verticais dos apoios A e B,
respectivamente.
como sendo o momento reativo no apoio semi-rgido A, que assume
valor:
= k onde o valor da rotao no apoio semi-rgido (ponto A da figura
1.1). Observando as equaes (1.1)e(1.2)vemosque h3incgnitas:Ra, Rbe
Ma(),
masapenasduasequaes,ouseja,conclui-sequeoproblemaestaticamente
indeterminado.
2etapa)Utilizaodaequaodalinhaelsticapararesolverahiperestaticidadedo
problema:
Tem-seque,paraumaseoSqualquerdavigaovalordomomentofletor(x)dado por
(ver orientao do eixo X na figura 1):
()
(1.4) , para o momento esquerda da seo S e
()
( ) ()
(1.5) , para o momento fletor direita da seo S.
Comoaexpressodomomentodireita(1.5)temmenornmerodetermos,estasera
escolhida para o desenvolvimento da equao da linha elstica, que
funo da expresso do momento fletor ao longo do comprimento x da
viga. Assim sendo:
() () Aequao(1.6)representaaequaodalinhaelsticadaviga,onde
a deflexo com sentido positivo para baixo. Desta forma,
substituindo (1.5) em (1.6):
()Estaseraterceiraequaonecessriapararesolveroproblema.Ascondiesde
contorno so: (L) = 0 (deslocamento nulo no ponto B) e (0) = (rotao
no ponto A a incgnita , conforme equao 1.3). Ou seja, aplicando o
problema no software Maple v.17, temos: Equao da linha elstica da
viga (1.8) (1.9) (1.10)
Encontrou-seaequaodalinhaelsticadaviga,v(x),e,apsseremaplicadasas
condiesdecontorno,encontrou-seC2=0(em1.10,jquev(L)),eCv() Assim a
equao da linha elstica sendo aplicada no ponto L : (1.11) Lembrando
que v(L) = 0, temos a terceira equao necessria para resolver o
problema. Sendo assim, temos um sistema de equaes lineares, formado
pelas equaes (1.1), (1.2) e (1.11), onde as incgnitas do problema
so Ra, Rb e {
()
()
. Utilizando o Maple17 para resolver o sistema de equaes,
chegamos :
(1.12) Ouseja,temososvaloresdasincgnitas(reaes
nosapoiosAeBerotaonoapoioA) para um valor k (rigidez do apoio A)
arbitrrio, dados por (conforme soluo do Maple equao 1.12):
( ) ()
( ) ()
() 3 Etapa) Verificando a consistncia dos resultados.
Paraverificaraconsistnciadosresultadosobtidosnaetapaanterior,serresolvidoum
problema com valores de q, L, k e EI determinados para encontrar os
valores das reaes e rotao no apoio semi-rgido. A ferramenta aqui
utilizada ser o Maple17 e o Ftool.
Utilizandoq=2kN/m;k=5000kNm/rad;I=0.000853m
;E=25000MPaeL=5m, chegamos aos valores de Ra, Rb e(conforme as
equaes finais) de :
ComparandoosvaloresencontradosdeRa=5.351kN,Rb=4.649kNe=0.0003512
rad, temos, no modelo do Ftool, com os mesmos dados: Os resultados
obtidos no Ftool foram idnticos, mostrando a consistncia dos
resultados. 4 Etapa) Limite quando k tende a 0 e k tende a
infinito. Quando fazemos as expresses de Ra(k), Rb(k) e (k)
(expresses 1.13 a 1.15) tenderem zero, temos: lim
()lim
( )
lim
()lim
( )
lim
()lim
Esses valores so exatamente os valores encontrados para o caso
de vigas biapoiadas com
carregamentouniformementedistribudo.Paraocasoondektendeinfinito,notamos
queosvalorestendemparaosvaloresdeterminadoscasooapoiofosseumengaste
(rigidez rotao infinita), o que bastante coerente: (Ra) (Rb) ()
Portanto quando k tende infinito, temos:
( ) Fazendo qL = 1, temos Ra = 0.625 kN, Rb = 0.375 kN, e,
assim, como era de se esperar: Tem-se os resultados como sendo
consistentes. 2. Problema proposto 2 Cabo em catenria Aula 04
20/03/2014
Problema:Oproblematrata-sedeumcaboemcatenria,ouseja,umcabosubmetido
somente ao peso prprio como carga distribuda. importante observar
que a variao da carga se d ao longo do comprimento do cabo (e no ao
longo do vo). Objetivos: 1. Construir o modelo matemtico em termos
do equilbrio do cabo2. Avaliar a linha elstica. 3. Avaliar a
distribuio de tenses no cabo.
4.Verificaraconvergnciadasduasancoragens(cargaemxecargaems)paraum
problema onde H
