Métodos Matemáticos Lineares - MML

Prof. Emilson Rocha de OliveiraPrimeiro Semestre de 2014

www.emc.ufg.br/~emilson/public

•DADOS GERAISDisciplina: Métodos Matemáticos Lineares Período: 3o

Curso: Engenharia ElétricaCarga horária: 4 horas semanaisNome do Professor: Emilson Rocha de

Oliveira - Bloco G (Sala de Professores – acesso PG3)Dias/Horário: Segunda (sala 110) e Quarta

(sala 210) das 10:50 as 12:30Semestre/Ano: primeiro/2014

OBJETIVOS

1.Familiarizar o aluno com a teoria de sistemas a tempo discreto, sua representação através de equações a diferença e técnicas para sua solução. 2.Propiciar ao aluno bagagem matemática adequada, através de transformações matemáticas que levam funções ou sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência.

OBJETIVOS

3. permitir que, em disciplinas subsequentes, técnicas para análize de sistemas lineares invariantes no tempo, discretos ou contínuos, possam ser apresentadas e compreendidas pelos alunos do curso.

•EMENTA- Equações de Diferenças. - Transformada Z. - Transformada de Laplace. - Séries de Fourier. - Transformada de Fourier.

•PROGRAMA- Solução de Equações a Diferença:

•Sistemas a Tempo Discreto•Solução Homogênea.•Solução Particular

- Transformada Z:• Definição.• Propriedades da Transformada Z.•Transformada Z de Funções Elementares.•Transformada Z Inversa.•Solução de Equação a Diferença utilizando a Transformada Z.

- Transformada de Laplace:• Definição.• Propriedades da Transformada de Laplace.• Transformada de Laplace de Funções Elementares.• Transformada Laplace Inversa.• Solução de Equação Diferencial utilizando a Transformada de Laplace.

- Transformada de Fourier:• Representação em Série de Fourier de Sinais Periódicos.• Definição da Transformada de Fourier.• Propriedades da Transformada de Fourier.

•METODOLOGIA DE ENSINOO programa da disciplina é apresentado em aulas expositivas do conteúdo teórico, sempre seguido da resolução de exemplos relativos aquele conteúdo em sala de aula. Em determinadas situações, após a resolução dos exemplos os alunos são solicitados a, na própria sala de aula, resolver exemplos semelhantes aos apresentados. Listas de exercícios acompanhadas das respostas são fornecidas para que o aluno os resolva fora da sala de aula. As listas de exercício e outros materias de apoio didático serão disponibilizados no endereço www.emc.ufg/~emilson/public . Contato com o professor pode ser mantido também pelo e-mail: eroc235@gmail.com

•AVALIAÇÃO

)30,0(*4)25,0(*3)25,0(*2)20,0(*1 PPPPMF

Primeira Prova (peso de 20%): 02 de abrilSegunda Prova (peso de 25%): 12 de maioTerceira Prova (peso de 25%): 02 de junhoQuarta Prova (peso de 30%): 14 de julhoSubstitutiva: 16 de julho

•BIBLIOGRAFIA:1.Bibliografia Básica:

1. R. A. Gabel e R. A. Roberts. Signals and Linear systems, 3ª edição. John Wiley, 1987.2. H. P. Hsu. Sinais e Sistemas. Coleção Schaum. Bookman, Porto Alegre, 2004.3. B. P. Lathi Sinais e Sistemas Lineres, Bookman, Porto Alegre, 2004.

2.Bibliografia Complementar:1. M. J. Roberts. Fundamentos em Sinais e Sistemas, McGrawHill, 2009.2. A. Oppenheim e A. S. Willsky. Sinais e Sistemas. Pearson Education do Brasil, 2010.3. S. S. Soliman. Continous and Discrete Signals and Systems. Prentice-Hall, 1990.4. B. Girod, R. Rabenstein e A. Stenger. Sinais e Sistemas. LTC, 2003.5. H. P. Hsu. Fourier Analysis. Simonand Scuster, 1970.6. E. I. Butkov. Física Matemática. LTC, 1988.

Caracterização de Sistemas Lineares

• Não Linearidade versus Linearidade dos sistemas físicos. – Linearidade permite cálculos matemáticos mais simples. – Utilização de sinais com facilidade de geração e

tratamento matemático;• Degrau, rampa, exponencial, senos e cossenos

• Análise e Projeto (Síntese)– Como engenheiros estamos interessados em projetar. Mas

como interferir em um sistema sem saber seu comportamento?

– A análise precede o projeto.

Análise de sistemas

• A forma mais eficiente de análise é verificar o sinal de saída de um sistema quando este é submetido a um sinal padrão de entrada

Sinal deEntrada

Sinal de Saída

SISTEMA

O que é um SINAL ?• É uma função que representa uma

quantidade ou variável física e contém informações sobre o comportamento ou a natureza do fenômeno.– A comunicação entre os seres humanos ocorre

comumente através dos sinais de fala, seja na conversação frente a frente ou através do telefone;

– Outra forma de comunicação humana é através da comunicação visual com os sinais assumindo forma de pessoas ou imagens de objetos;

– A comunicação também pode ser feita através da escrita onde temos sinais gráficos que podem por exemplos serem transmitidos via internet através de correio eletrônico;

Outros Exemplos de Sinais

• Na medicina:– Batimento cardíaco, temperatura do corpo,

pressão sanguínea, respiração etc.• Na meteorologia:

– Temperatura, umidade, velocidade e direção dos ventos etc.

• Na economia:– Variações nos preços de ações, taxa de juros,

cotação de moedas etc.

Classificação dos Sinais

• Sinal a Tempo Contínuo e Sinal a Tempo Discreto:– O primeiro possui valor (mesmo que zero) para qualquer

instante de tempo, o segundo só tem valores definidos (mesmo que zero) para instantes de tempo inteiros.

– Com esta classificação nossa definição de sinal fica melhor representada por:

• É uma função ou sequência de valores que representa uma quantidade ou variável física e contém informações sobre o comportamento ou a natureza do fenômeno.

Classificação dos Sinais

• Sinal de Amplitude Contínua e Amplitude Discreta:– No exemplo anterior x(t) representa a variável

dependente enquanto “t” representa a variável independente, desta forma um sinal de amplitude contínua é aquele em que a variável dependente assume valores contínuos (qualquer valor) e um sinal de amplitude discreta é aquele em que a variável dependente assume somente valores inteiros.

Classificação dos Sinais

• Sinal Analógico:– É aquele em que as variáveis dependentes e

independentes tem amplitude contínua.

• Sinal Digital:– É aquele em que as variáveis dependentes e

independentes tem amplitude discreta.

• Sinal Real:– Quando a variável dependente é real.

• Sinal Complexo:– Quando a variável dependente é complexa.

Classificação dos Sinais

• Sinal Determinístico:– Quando a variável dependente assume valores

conhecidos.

• Sinal Estocástico:– Quando a variável dependente assume valores

aleatórios.

Classificação dos Sinais

• Sinal Par:

txtx

-2 -1 1 2 t

x(t)

Classificação dos Sinais

• Sinal Impar:

txtx

t1-1

Classificação dos Sinais

• Sinal Periódico e Não Periódico:

períodooéTTtxtx ,

V

-V

T/4-T/4

x(t)

3T/4-3T/4 t

O que é um Sistema?• É um modelo matemático (abstração) de um

processo físico que estabelece uma relação entre um sinal de entrada (força externa ou excitação) com um sinal de saída

• Onde T(.) é um operador que transforma x(.) em y(.)

Sinal deEntrada

Sinal de SaídaSISTEMA

T(.)X(.) y(.)

tFm

txm

k

dt

tdx

m

f

dt

txd 12

2

"Amortecido Mola-Massa" Sistema

Classificação dos Sistemas

• Sistema quanto ao número de entradas e saídas:– Sistemas “SISO”: sistemas com uma entrada e

uma saída;– Sistemas “MIMO”: sistemas como mais de uma

entrada e mais de uma saída.

Classificação dos Sistemas

• Sistemas a Tempo Contínuo:– São aqueles em que o sinal de entrada e o sinal de

saída são contínuos e o operador T(.) atua de forma contínua no sinal de entrada.

T(t), onde “t” é um número real

• Sistemas a tempo Discreto:– São aqueles em que o sinal de entrada e o sinal de

saída são discretos e o operador T(.) atua de forma discreta no sinal de entrada.

T(k), onde “k” é um número inteiro

Classificação dos Sistemas

• Sistema Causal:– São aqueles em que a saída presente só depende

das entradas presentes e passadas. – Isto implica que um sistema causal, com

condições iniciais nulas, não gera saída diferente de zero antes que a ele seja aplicada uma entrada diferente de zero.

Classificação dos Sistemas

• Sistemas Não Causais:– São aqueles em que sua saída depende de

entradas futuras.– Não existem fisicamente mas matematicamente

pode ser útil idealizá-los:

1 txty

Classificação dos Sistemas

• Sistemas Lineares: – São sistemas extremamente importantes para as

Engenharias;– As técnicas de análise são bastante completas e

consolidadas para esta classe de sistemas;– Para determinadas condições de operação os

sistemas não lineares podem ser analisados pelas técnicas dos sistemas lineares.

Classificação dos Sistemas

– Em Engenharia Elétrica a teoria de sistemas lineares é utilizada nas seguintes áreas:

• Análise e Projeto de Circuitos Elétricos;• Processamento Digital de Sinais;• Telecomunicações;• Controle e Automação;• Instrumentação;• Etc.

Classificação dos Sistemas– Definição de Sistemas Lineares:

– São aqueles que atendem a propriedade da SUPERPOSIÇÃO

– A propriedade da superposição implica em outra propriedade a HOMOGENEIDADE

tytytytxtxtx

tytx

tytx

213213

22

11

HOMOGENEIDADE

tytytxtx

tytx

1212

11

LINEARIDADE

• Se a resposta de um sistema a uma combinação linear de sinais de entrada implica em uma combinação linear das saídas individualmente geradas por cada uma das entradas, então a superposição se aplica e o sistema é Linear