Métodos Matemáticos utilizados em Fenômenos

Eletromagnéticos

4 de Fevereiro de 2010

Professor Adriano Reinaldo Viçoto Benvenho.

Centro de Ciências Naturais e Humanas (CCNH), Universidade Federal do ABC

O desenvolvimento do curso de fenômenos eletromagnéticos necessita da utiliza-

ção de diversos métodos matemáticos, aqui serão desenvolvidos conceitos que serão

utilizados em nosso curso.

1 Vetores no Plano

Aqui será feito um desenvolvimento sobre alguns álgebra vetorial.

1.1 Vetores e Adição de Vetores

Vetor é um segmento orientado. Cada vetor tem uma origem e uma extremidade,

sendo orientado da origem para a sua extremidade.

Propriedades:

A+ B = B + A (1)

A+ (B + C) = (A+ B) + C (2)

A+ 0 = A (3)

A+ (−A) = 0 (4)

A− B = A+ (−B) (5)

1

Figura 1: Propriedade de soma e subtração de dois vetores

1.2 Multiplicação de Vetores por Escalares

Propriedades:

Figura 2: Figura mostrando

a multiplicação de um vetor

por um escalar

(st)A = s(tA) (6)

s(A+ B) = sA+ sB (7)

(s+ t)A = sA+ tA (8)

1A = A (9)

s(−A) = (−s)A = −(sA) (10)

−A = (−1)A (11)

0A = 0 (12)

s0 = 0 (13)

sA = 0 s = 0 ou A = 0 (14)

s(A− B) = sA− sB (15)

(s− t)A = sA− tA (16)

1.3 Vetores em uma Base Canônica

Em uma base ortogonal é possivel escrever os vetores em função de seus vetores

unitários ou versores.

Fazendo:

A = x1ı+ y1ȷ e B = x2ı+ y2ȷ (17)

A− B = (x1ı+ y1ȷ)− (x2ı+ y2ȷ) = (x1 − x2)ı+ (y1 − y2)ȷ (18)

2

Figura 3: Projeção em um sistema ortogonal bidimensional

Quando tratamos da teoria eletromagnética, principalmente na determinação de

fenômenos devido a interação da carga elétrica com o campo elétrico o produto escalar

ou interno apresenta grande importância para o desenvolvimento das equações que

descrevem fenomenologicamente o sistema.

1.4 Produto escalar

A · B = ab cos θ (19)

Figura 4: Produto escalar ou interno entre dois vetores

1.4.1 Propriedades do Produto Escalar

A · B = B · A (20)

(A+ B) · D = A · D + B · D (21)

(sA) · B = s(A · B) (22)

A · B =| A | · | B | cos θ (23)

cos θ =A · B

| A | · | B |(24)

3

Figura 5: Projeção do produto escalar

1.4.2 Lei dos Cossenos

A lei dos cossenos é bastante importante quando queremos projetar vetores em

qualquer sistema em que a soma de dois vetores forma um sistema triangular.

Figura 6: lei dos cossenos para dois vetores onde a soma forma um triângulo retângulo

| A+ B |2= (A+ B) · (A+ B) = A · (A+ B) + B · (A+ B)

= A · A+ A · B + B · A+ B · B

= | A |2+ 2| A | · | B |+ | B |

2; A · B = 0; cos 90o = 0

| A+ B |2= | A |

2+ | B |

2(25)

Figura 7: lei dos cossenos para dois vetores onde a soma forma um triângulo qualquer

4

| A− B |2= (A− B) · (A− B) = A · (A− B)− B · (A− B)

= A · A− A · B − B · A+ B · B

= | A |2− 2 | A | · | B | +| B |

2

| A+ B |2= | A |

2+ | B |

2− 2 | A || B | cos θ (26)

2 Vetores no Espaço Trimidimensional

Figura 8: Projeção de vetores no espaço tridimensional

A equação para a distância r entre o ponto P = (x, y, z) e a origem O do espaço

xyz. Seja r1 a distância, no plano xy, entre o ponto Q = (x, y, 0) e a origem O.

Pela equação da distância entre dois pontos no plano xy, r21 = x2 + y2. Aplicando o

teorema de Pitágoras no triângulo OQP

r2 = r21 + z2

r2 = x2 + y2 + z2

r =√x2 + y2 + z2 (27)

2.1 Relações em um triângulo retângulo

r2 = x2 + y2 (28)

x = r cos θ

y = r sin θ

5

2.2 Propriedades básicas do produto escalar no espaço

A · A =| A |2≥ 0

Se A · A = 0 pode-se concluir que A = 0

A · B = 0 se e somente se A e B = 0 forem perpendiculares

Quando é considerada à projeção dos vetores no espaço tridimensional, pode-se

escrever o vetor em termos de seus versores (vetores unitários), para o produto escalar

ou interno, eles satisfazem algumas propriedades.ı · ı = ȷ · ȷ = k · k = 1

ı · ȷ = ı · k = ȷ · k = 0

Produto Escalar entre dois vetores

A = aı+ bȷ+ ck B = xı+ yȷ+ zk

A · B = ax+ by + cz

2.3 Cossenos diretores de um vetor

Figura 9: Cosseno diretores em um sistema cartesiano

Considerando um vetor A, não nulo no espaço xyz, o qual é projetado com nos

eixos coordenados do sistema tridimensional ortogonal, da seguinte forma:

cosα =A · ı| A |

cos β =A · ȷ| A |

cos γ =A · k| A |

(29)

6

Supondo A = aı+ bȷ+ ck:

A · ı = a A · ȷ = b A · k = c (30)

Substituindo o produto nas equações para os cossenos diretores.

cosα =a√

a2 + b2 + c2cos β =

b√a2 + b2 + c2

cos γ =c√

a2 + b2 + c2(31)

Fazendo a soma dos cossenos dos ângulos diretores:

cosα · ı+ cos β · ȷ+ cos γ · k =1√

a2 + b2 + c2(aı+ bȷ+ ck) =

A

| A |(32)

Considerando o quadrado dos ângulos diretores:

cos2 α =a2

a2 + b2 + c2cos2 β =

b2

a2 + b2 + c2cos2 γ =

c2

a2 + b2 + c2(33)

Somando o quadrado dos ângulos diretores:

cos2 α+cos2 β+cos2 γ =a2

a2 + b2 + c2+

b2

a2 + b2 + c2+

c2

a2 + b2 + c2=a2 + b2 + c2

a2 + b2 + c2= 1

(34)

2.4 Produto vetorial e produto misto de vetores no espaço

Figura 10: (a) Regra da mão direita e (b) projeção do produto vetorial.

7

Sejam A e B dois vetores não paralelos no espaço tridimensional. Então, o

produto vetorial A e B é representado por A × B, é o vetor cujo comprimento é

numericamente igual a área gerada do paralelogramo A e B e cuja direção é perpen-

dicular simultaneamente a A e B. Se A e B são paralelos A× B = 0

ı× ı = 0 ȷ× ȷ = 0 k × k = 0

ı× ȷ = k ȷ× k = ı k × ı = ȷ

ȷ× ı = −k k × ȷ = −ı ı× k = −ȷ

Propriedades do produto vetorial:

(A× B) = −(B × A) (35)

| (sA)× B |= s | A× B | (36)

A× (tB) = t(A× B) (37)

(−A)× B = −(A× B) = A× (−B) (38)

Outra característica interessante é obter o volume de sólidos como no caso de um

paralelogramo

Figura 11: Cálculo do volume de um sólido por meio do produto misto

V =| A× B | h =| A× B || C | cos θ = (A× B) · C (39)

2.4.1 Produto Vetorial

Aqui será calculado o produto vetorial de dois vetores

A = a1ı+ a2ȷ+ a3k B = b1ı+ b2ȷ+ b3k

8

A× B = (a1ı+ a2ȷ+ a3k)× (b1ı+ b2ȷ+ b3k) (40)

A× B = (a2b3 − a3b2)ı+ (a1b3 − a3b1)ȷ+ (a1b2 − a2b1)k

A× B =

∣∣∣∣∣∣∣ı ȷ k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣ (41)

2.4.2 Duplo produto vetorial

A× (B × C) = (A · C)B − (A · B)C (42)

(A× B)× C = (A · C)B − (B · C)A (43)

3 Regras Básicas de diferenciação

Nesta seção serão mostradas as principais regras para derivação de funções.

3.1 Regra da Constante

A derivada de uma função constante é uma função nula

dc

dx= 0 (44)

3.2 Regra da Identidade

A derivada de uma função identidade é a função constante

dx

dx= 1 (45)

3.3 Regra da Potência

A derivada de uma potência inteira positiva de x é o expoente de x vezes n elevado

a potência anterior.

d

dxxn = nxn−1 (46)

9

3.4 Regra da Homogeneidade

A derivada de uma constante (a) vezes uma função (u) dependente de x é a cons-

tante vezes a derivada da função

d

dx(au) = u

da

dx+ a

du

dx= a

du

dx(47)

3.5 Regra da Soma

A derivada de uma soma é a soma das derivadas, sendo as funções u e v dependentes

de xd

dx(u+ v) =

du

dx+dv

dx(48)

3.6 Regra da multiplicação, regra do produto, ou regra de

Leibniz

A derivada do produto de duas funções u e v dependentes de x, é a primeira

função vezes a derivada da segunda função mais a derivada da primeira função vezes

a segunda

d

dx(uv) = u

dv

dx+ v

du

dx(49)

3.7 Regra da inversa aritmética

A derivada da inversa aritmética de uma função é a razão negativa da derivada da

função para o quadrado da função, sendo v diferenciável em x

d

dx

(1

v

)= −

dv

dxv2

(50)

3.8 Regra do quociente

A derivada do quociente de duas funções é o denominador vezes a derivada do nu-

merador menos o numerador vez as derivada do denominador dividido pelo quadrado

do denominador.

d

dx

(uv

)=vdu

dx− u

dv

dxv2

(51)

10

4 Integrais

Aqui serão desenvolvidas das metodologias básicas para a anti-diferenciação, ou,

integração de funções:

Derivadas Diferenciaisdc

dx= 0 dc = 0

d(cu)

dx= c

d(u)

dxd(cu) = cdu

d(u+ v)

dx=du

dx+dv

dxd(u+ v) = du+ dv

d(uv)

dx= u

dv

dx+ v

du

dxd(uv) = udv + vdu

d(uv

)dx

=vdu

dx− u

dv

dxv2

d(uv

)=vdu− udv

v2d(un)

dx= nun−1du

dxd(un) = nun−1du

d(cun)

dx= ncun−1du

dxd(cun) = ncun−1du

d(cxn)

dx= ncxn−1 d(cxn) = ncxn−1dx

4.1 Regras básicas para antidiferenciação

d

dx

∫f(x)dx = f(x) (52)

∫d[f(x)]

dxdx = f(x) + C (53)

∫dx = x+ C (54)

∫xndx =

xn+1

n+ 1+ C (55)

∫af(x)dx = a

∫f(x)dx a = const. (56)

∫[f(x) + g(x)]dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx (57)

∫[a1f(x)+a2g(x)]dx = a1

∫f(x)dx+a2

∫g(x)dx; a1 = const.; a2 = const. (58)

11

∫[a1f1(x)+a2f2(x)+...+amfm(x)]dx = a1

∫f1(x)dx+a2

∫f2(x)dx+...+am

∫fm(x)dx

(59)

4.1.1 Mudança de Variável

Processo para calcular ∫f(x)dx

pela mudança de variável.

Etapa 1⇒ Determine a porção do integrando f(x) que é essencialmente 'proe-

minente' no sentido de que, se ela fosse trocada por uma nova variável, digamos u,

então o integrando seria consideravelmente simplicado. Faça u igual a essa porção.

A equação resultante deverá ter a forma u = g(x).

Etapa 2⇒ Usando a equação u = g(x) obtida na Etapa 1 determine a diferen-

cial du. A equação resultante deverá ser da forma du = g′(x)dx =dg(x)

dxdx.

Etapa 3⇒ Usando as duas equações u = g(x) e du = g′(x)dx obtidas nas Eta-

pas 1 e 2, reescreva todo o integrando, incluindo dx em termos de u e du somente.

Etapa 4⇒Calcule a integral indenida resultante em termos de u

Etapa 5⇒ Usando a equação u = g(x) da Etapa 1, reescreva a resposta da Etapa

4 em termos da variável original x

Exemplo:∫ √(7x+ 2)dx u = 7x+ 2

du

dx= 7 du = 7dx dx =

1

7du

É possível então reescrever a equação:∫ √(7x+ 2)dx =

∫ √u

7du =

1

7

∫u1/2du;Utilizando :

∫undx =

un+1

n+ 1+C;n = 1/2

∫ √(7x+ 2)dx =

1

7

u3/2

3/2+ C =

2

21u3/2 + C =

2

21(7x+ 2)3/2 + C

12

4.1.2 Propriedades dos intervalos do limite de integração

∫ c

a

f(x)dx =

∫ c

b

f(x)dx+

∫ b

a

f(x)dx (60)

4.1.3 Teorema fundamental do cálculo

Seja f uma função contínua num intervalo I, suponha que a e b são números em I,

então:

Primeira Parte:d

dx

∫ x

0

f(t)dt = f(x)

Segunda Parte: Se g é a antiderivada de f , de tal forma que g′(x) = f(x) é válido

para todo I, então: ∫ b

a

f(x)dx = g(b)− g(a)

5 Funções Trigonométricas

As relações trigonométicas são de suma importância, pois são baseadas em um

sistema que relaciona as propriedades de uma circunferência e que podem servir de

auxílio para a resolução de vários problemas:

Denição⇒ Se t é um número real e P (x, y) é o ponto do círculo unitário U

correspondente a t, então:

Figura 12: Circuferência utilizada para obter as relações trigonométricas

sin t = y (61)

cos t = x (62)

13

tan t =y

x(se x = 0) (63)

csc t =1

y(se y = 0) (64)

sec t =1

x(se x = 0) (65)

cot t =x

y(se y = 0) (66)

Onde sin ⇒ seno; cos ⇒ cosseno; tan ⇒ tangente; csc ⇒ cossecante ; sec ⇒ secante;

cot ⇒ cotangente

Outra forma de escrever as relações trigonométricas é:

csc t =1

sin t(67)

sec t =1

cos t(68)

cot t =1

tan t(69)

tan t =sin t

cos t(70)

cot t =cos t

sin t(71)

Como as funções trigonométicas estão inseridas em uma circunferência no espaço

U de raio unitário

x2 + y2 = 1 (72)

Utilizando as relações (61) e (62):

cos2 t+ sin2 t = 1 (73)

Utilizando a relação(63) e substituindo y por y = x tan t

x2 + x2 tan2 t = 1 (74)

fazendo algumas manipulações algébricas

1 + tan2 t =1

x2

14

utilizando que sec t = 1x, é possível obter a relação trigonométrica

1 + tan2 t = sec2 t (75)

Utilizando que x = y cot t, e a equação1

y= csc t e fazendo algumas manipulações

algébricas temos que:

cot2 t+ 1 = csc2 t (76)

Outra forma de escrever as relações trigonométricas é por meio das coordenadas

polares. Seja θ um ângulo em posição padrão num sistema de coordenadas retan-

gulares P (x, y) num ponto distinto de O no lado terminal de θ. Se d(0, P ) = r

Figura 13: Relações trigonométricas obtidas por meio de coordenadas polares

sin θ =y

r(77)

cos θ =x

r(78)

tan θ =y

x(se x = 0) (79)

csc θ =r

y(se y = 0) (80)

sec θ =r

x(se x = 0) (81)

cot θ =x

y(se y = 0) (82)

15

Podemos utilizar as relações diretamente pelos comprimentos dos lados de um

triângulo retângulo:

Figura 14: Cosseno diretores em um sistema cartesiano

sin θ =op

hip(83)

cos θ =adj

hip(84)

tan θ =op

adj(85)

csc θ =hip

op(86)

sec θ =hip

adj(87)

cot θ =adj

op(88)

5.1 Relações de ângulos negativos

sin(−u) = − sin(u); cos(−u) = cos(u); tan(−u) = − tan(u)

csc(−u) = − csc(u); sec(−u) = sec(u); cot(−u) = − cot(u) (89)

5.2 Relações de adição

sin(u± v) = sinu cos v ± cosu sin v (90)

cos(u± v) = cosu cos v ∓ sinu sin v (91)

16

tan(u± v) =tanu± tan v

1∓ tanu tan v(92)

5.3 Relações de ângulo duplo

sin 2u = 2 sinu cosu (93)

cos 2u = cos2 u− sin2 u = 1− 2 sin2 u = 2 cos2−1 (94)

tan 2u =2 tanu

1− tan2 u(95)

5.4 Relações de meio ângulo

sin2 u

2=

1− cosu

2(96)

cos2u

2=

1 + cosu

2(97)

tanu

2=

1− cosu

sin u=

sinu

1 + cosu(98)

5.5 Relações de produto

sinu cos v =1

2[sin(u+ v) + sin(u− v)] (99)

cosu sin v =1

2[sin(u+ v)− sin(u− v)] (100)

cosu cos v =1

2[cos(u+ v) + cos(u− v)] (101)

sin u sin v =1

2[cos(u− v)− cos(u+ v)] (102)

5.6 Relações de Fatoração

sinu± sin v = 2 cosu∓ v

2sin

u± v

2(103)

cosu+ cos v = 2 cosu+ v

2sin

u− v

2(104)

cosu− cos v = 2 sinv + u

2sin

v − u

2(105)

17

5.7 Propriedades matemáticas das funções trigononométricas

Aqui será visto como derivar, integrar as funções trigonométricas e suas inversas.

5.7.1 Derivadas de funções trigonométricas

d

dxsin u = cosu

du

dx(106)

d

dxcosu = − sin u

du

dx(107)

d

dxtanu = sec2 u

du

dx(108)

d

dxcotu = − cscu

du

dx(109)

d

dxsecu = sec u tanu

du

dx(110)

d

dxcsc u = − cscu cotu

du

dx(111)

Onde u é uma função diferenciável em x

5.7.2 Integração de funções trigonométricas

∫sin u du = − cosu+ C (112)

∫cosu du = sin u+ C (113)

∫sec2 u du = tanu+ C (114)

∫csc2 u du = − cotu+ C (115)

∫sec u tanu du = sec u+ C (116)

∫cscu cotu du = − cscu+ C (117)

18

5.7.3 Derivadas de funções trigonométricas inversas

Funções trigonométricas inversas são designadas pelo arco que gera o ângulo.

d

dxsin−1 u =

du

dx√1− u2

(118)

d

dxcos−1 u =

−dudx√

1− u2(119)

d

dxtan−1 u =

du

dx1 + u2

(120)

d

dxcot−1 u =

−dudx

1 + u2(121)

d

dxsec−1 u =

du

dx| u |

√u2 − 1

(122)

d

dxcsc−1 u =

−dudx

| u |√u2 − 1

(123)

5.7.4 Integrais de funções trigonométricas inversas

∫du√1− u2

= sin−1 u+ C | u |< 1 (124)

∫du

1 + u2= tan−1 u+ C (125)

∫du

u√u2 − 1

= sec−1 | u | +C | u |> 1 (126)

∫dx√a2 − x2

= sin−1 x

a+ C a > 0 e | x |< a (127)

∫dx

a2 + x2=

1

atan−1 x

a+ C (128)

∫dx

x√x2 − a2

=1

| a |sec−1

∣∣∣xa

∣∣∣+ C a = 0 | x |>| a | (129)

19

6 Função logaritmica natural

Aqui será mostrada a denição da função logaritmica natural e suas principais

propriedades.

6.1 Denição matemática

ln x =

∫ x

1

1

tdt x > 0 (130)

ln 1 =

∫ 1

1

1

tdt = 0 (131)

d

dxlnu =

1

u

du

dx(132)

6.2 Propriedades da função logaritmica

ln ab = ln a+ ln b (133)

lna

b= ln a− ln b (134)

ln1

b= − ln b (135)

6.3 Função exponencial

exp(lnx) = x (136)

ln(expx) = x (137)

exp(x+ y) = (expx)(exp y) (138)

exp(kx) = (expx)k (139)

exp(x− y) =expx

exp y(140)

d

dxexpu = expu

du

dx(141)

20

6.4 Funções Exponenciais e logaritmicas com bases diferentes

de e

bxby = bx+y (142)

bx

by= bx−y (143)

(bx)y = bxy (144)

(ab)x = axbx (145)(ab

)x=ax

bx(146)

b−x =1

bx(147)

ln bx = x ln b (148)

d

dxbx = bx ln b (149)

d

dxbu = bu ln b

du

dx(150)

7 Funções Hiperbólicas

As funções hiperbólicas são denidas com relação à parábolas, e também apresen-

tam grande utilidade no desenvolvimento de fenômenos eletromagnéticos.

sinhx =ex − e−x

2(151)

coshx =ex + e−x

2(152)

tanhx =sinhx

coshx=ex − e−x

ex + e−x(153)

cothx =coshx

sinhx=ex + e−x

ex − e−x(154)

sech x =1

coshx=

2

ex + e−x(155)

csch x =1

sinh x=

2

ex − e−x(156)

21

7.1 Identidades de funções hiperbólicas

cosh2 x− sinh2 x = 1 (157)

1− tan2 x = sech2x (158)

coth2 x− 1 = csch2x (159)

sinh(s± t) = sinh s cos t± cosh s sinh t (160)

cosh(s± t) = cosh s cosh t± sinh s sinh t (161)

sinh 2x = 2 sinhx coshx (162)

cosh 2x = cosh2 x+ sinh2 x = 2 cosh2 x− 1 = 2 sinh2 x+ 1 (163)

7.2 Derivação de Funções Hiperbólicas

d

dxsinhu = cosh u

du

dx(164)

d

dxcoshu = sinhu

du

dx(165)

d

dxtanhu = sech2 u

du

dx(166)

d

dxcothu = −csch2 udu

dx(167)

d

dxsech u = −sech u tanhudu

dx(168)

d

dxcsch u = −csch u cothudu

dx(169)

7.3 Integrais de Funções Hiperbólicas

∫sinhu du = coshu+ C (170)

∫coshu du = sinhu+ C (171)

∫sech2 u du = tanhu+ C (172)

∫csch2 u du = cothu+ C (173)

22

∫sech u tanhu du = sech u+ C (174)

∫csch u cothu du = −csch u+ C (175)

7.4 Funções hiperbólicas inversas

sinh−1 x = ln(x+√x2 + 1) (176)

cosh−1 x = ln(x+√x2 − 1) (177)

tanh−1 x =1

2ln

1 + x

1− x(178)

coth−1 x =1

2lnx+ 1

x− 1(179)

sech−1x = ln

(1 +

√1− x2

x

)(180)

csch−1x = ln

(1

x+

1 +√1 + x2

| x |

)(181)

7.5 Derivadas de funções parabólicas inversas

d

dxsinh−1 u =

1√u2 + 1

du

dx(182)

d

dxcosh−1 u =

1√u2 − 1

du

dx(183)

d

dxtanh−1 u =

1

1− u2du

dx(184)

d

dxcoth−1 u =

1

1− u2du

dx(185)

d

dxsech−1u =

−1

u√1− u2

du

dx(186)

d

dxcsch−1u =

−1

| u |√1 + u2

du

dx(187)

23

7.6 Integrais envolvendo funções parabólicas inversas

∫dx√a2 + x2

= sinh−1 x

a+ C (188)

∫dx√x2 − a2

= cosh−1 x

a+ C (189)

∫dx

a2 − x2=

1

atanh−1 x

a+ C se | x |< a

1

acoth−1 x

a+ C se | x |> a > 0

(190)

∫dx

x√a2 − x2

= −1

asech−1 | x |

a+ C (191)

∫dx

x√a2 + x2

= −1

acsch−1 | x |

a+ C (192)

8 Técnicas de Integração

Há na realidade somente três procedimentos gerais para calcular integrais:

1⇒ Substituição ou troca de variáveis

2⇒ Manipulção do Integrando usando tanto identidades algébricas quanto outras,

am de transformar a integral em algo de mais fácil tratamento

3⇒ Integração por partes.

Há alguns truques para resolução de integrais como, por exemplo, substituição

trignométrica e método das frações parciais.

8.1 Integrais que envolvem produtos de potências de senos e

cossenos

8.1.1 Integrais da forma∫sinm x cosn x dx

Am de calcularmos∫sinm x cosn x dx onde m e n são expoentes constantes, consi-

deramos separadamente o caso em que no mínimo um dos expoentes é inteiro ímpar

positivo e o caso no qual ambos os expoentes são inteiros pares não negativos.

24

Caso 1 - No mínimo um dos expoentes m, n é um inteiro ímpar posi-

tivo

Neste caso usa-se a identidade sin2 x+ cos2 x = 1

Exemplos

1-)

∫sin3 x dx

Resolução:∫sin3 x dx =

∫sin2 x sin x dx, Fazendo, sin2 x = 1− cos2 x

∫sinx(1− cos2 x)dx =

∫sin x dx︸ ︷︷ ︸

I

−∫

sin x cos2 x dx︸ ︷︷ ︸II

Resolvendo I ∫sinxdx = − cosx+ C

Resolvendo II∫sinx cos2 x dx, Fazendo a mudança de variável u = cos x du = − sinu du

II = −∫u2 du = −u

3

3+ C = −cos3 x

3+ C

A solução para a integral é:

∫sin3 x dx = I− II = − cosx+

cos3 x

3+ C

2-)

∫sin3 x√cos x

dx

Resolução:

∫sin3 x√cosx

dx =

∫sin2 x√cos x

sinx dx =

∫(1− cos2 x)√

cosxsin x dx

Fazendo a mudança de variáveis: u = cos x então, du = − sinx dx ,Obtém-se

25

∫sin3 x√cosx

dx = −∫

1− u2

u1/2du =

∫u2 − 1

u1/2du =

∫(u2u−1/2 − u−1/2) du

∫sin3 x√cosx

dx =

∫(u3/2 − u−1/2)du =

∫u3/2 du−

∫u−1/2 du Utilizando:

Utilizando:∫xndx =

xn+1

n+ 1+ C

∫sin3 x√cos x

dx =2

5u5/2 − 2u1/2 + C =

2

5(cosx)5/2 − 2

√cos x+ C

Caso 2 - Ambos os expoentes m, n são inteiros, pares e positivos

Neste caso usam-se a identidades trigonométricas:

sin2 x =1

2(1− cos 2x) e cos2 x =

1

2(1 + cos 2x)

Exemplo

1-)

∫cos2 kx dx

∫cos2 kx dx =

∫1

2(1 + cos 2kx)dx =

1

2

∫dx︸ ︷︷ ︸I

+1

2

∫cos 2kx dx︸ ︷︷ ︸

II

Resolvendo I ∫dx = x+ C

Resolvendo II∫cos 2kxdx Fazendo a substituição de variáveis u = 2kx du = 2k dx

∫cos 2kxdx =

1

2k

∫cosu du =

1

2ksin u+ C =

1

2ksin 2kx+ C

Então: ∫cos2 kx =

x

2+

sin 2kx

4k+ C

Caso 3 - Integrais envolvendo produtos sinmx cosnx, sinmx sinnx, ou cosmx cosnx

26

Neste caso usam-se a identidades trigonométricas:

1-) sin s cos t =1

2sin(s+ t) +

1

2sin(s− t)

2-) sin s sin t =1

2cos(s− t)− 1

2cos(s+ t)

3-) cos s cos t =1

2cos(s− t) +

1

2cos(s+ t)

Exemplo ∫sin 3x cos 4x dx; sin 3x cos 4x =

1

2sin 7x+

1

2sin (−x)

Utilizando a propriedade do seno ser uma função ímpar, ou seja, sin (−x) = − sin x

∫ [12sin 7x+

1

2sin (−x)

]dx =

1

2

∫ [sin 7x− sinx

]dx

Por meio do método de mudança de variáveis visto anteriormente, obtém-se que:∫sin 3x cos 4x dx = −cos 7x

14+

cosx

2+ C

27

8.2 Integrais por substituição trigonométrica

A substituição por relações trigonométricas também é bastante útil na resolução de

integrais:

1-)

u = a sin θ

a2 = x2 + u2

x =√a2 − u2

√a2 − u2 = a cos θ

2-)

u = a tan θ

x2 = a2 + u2

x =√a2 + u2

√a2 + u2 = a sec θ

3-)

u = a sec θ

u2 = a2 + x2

x =√u2 − a2

√u2 − a2 = a tan θ

As substituições sugeridas geometricamente, podem ser obtidas analiticamente:

1-)Se o integrando envolve:√a2 − u2

√a2 − u2 =

√a2 − a2 sin2 θ =

√a2(1− sin2 θ) = a

√cos2 θ = a cos θ

2-)Se o integrando envolve:√a2 + u2

√a2 + u2 =

√a2 + a2 tan2 θ =

√a2(1− tan2 θ) = a

√sec2 θ = a sec θ

28

3-)Se o integrando envolve:√u2 − a2

√u2 − a2 =

√a2 sec2 θ − a2 =

√a2(sec2 θ − 1) = a

√tan2 θ = a tan θ

Exemplos:

1-) ∫x2dx

(4− x2)3/2

Essa integral pode ser resolvida por relações trigonométricas do triângulo mos-

trado na gura:

22 = x2 + u2

u2 = 4− x2

u =√4− x2

sin θ =x

2x = 2 sin θ

dx = 2 cos θ dθ

Manipulando algebricamente a expressão em u

u =√

4− (2 sin θ)2 =√4− 4 sin2 θ = 2

√1− sin2 θ = 2

√cos2 θ = 2 cos θ

(4− x2) = 4 cos2 θ

Substituindo as relações na integral, obtém-se a seguinte integral:∫x2dx

(4− x2)3/2=

∫4 sin2 θ × 2 cos θ dθ

43/2(cos2 θ)3/2=

∫8 sin2 θ cos θ dθ√

64 cos3 θ

29

∫8 sin2 θ cos θ dθ√

64 cos3 θ=

∫sin2 θ

cos2 θdθ =

∫tan2 θ dθ

Utilizando a relação trigonométrica tan2 θ = sec2 θ − 1∫tan2 θ dθ =

∫sec2 θ dθ −

∫dθ = tan θ − θ + C

tan θ =x√

4− x2sin θ =

x

2θ = sin−1 x

2∫x2dx

(4− x2)3/2=

x√4− x2

− sin−1 x

2+ C

2-) ∫dx

x2√x2 + 9

Essa integral pode ser resolvida por relações trigonométricas do triângulo mos-

trado na gura:

tan θ =x

3x = 3 tan θ

dx = 3 sec2 θdθ

x2 + 9 = (3 tan θ)2 + 9 = 9(1 + tan2 θ) = 9 sec2 θ

∫dx

x2√x2 + 9

=

∫3 sec2 θdθ

9 tan2 θ√9 sec2 θ

=

∫3 sec2 θdθ

9 tan2 θ × 3 sec θ=

1

9

∫sec θ

tan2 θdθ

Utilizando as seguintes relações trigonométricas:

sec θ =1

cos θtan θ =

sin θ

cos θ

1

tan2 θ=

cos2 θ

sin2 θ

30

1

9

∫sec θ

tan2 θdθ =

1

9

∫1

cos θ× cos2 θ

sin2 θdθ =

1

9

∫cos θ

sin2 θdθ

Fazendo a mudança de variáveis v = sin θ e dv = cos θ dθ

1

9

∫cos θ

sin2 θdθ =

1

9

∫dv

v2= − 1

9v+ C = − 1

9 sin θ+ C = −1

9csc θ + C

csc θ =1

sin θsin θ =

x√x2 + 9

csc θ =

√x2 + 9

x∫dx

x2√x2 + 9

= −√x2 + 9

9x+ C

3-) ∫dt

t3√t2 − 25

t2 = 52 + u2

u =√t2 − 25

t = 5 sec θ dt = 5 sec θ tan θ dθ

t2 − 25 = 25 sec2 θ − 25 = 25(sec2 θ − 1) = 25 tan2 θ∫dt

t3√t2 − 25

=

∫5 sec θ tan θ dθ

125 sec3 θ · 5 tan θ=

1

125

∫dθ

sec2 θ=

1

125

∫cos2 θ dθ

Utilizando a identidade cos2 θ =1

2(1 + cos 2θ)

1

125

∫cos2 θdθ =

1

125

∫1

2(1+cos 2θ)dθ =

1

250

∫(1+cos 2θ)dθ =

1

250

(∫dθ︸ ︷︷ ︸

I

+

∫cos 2θ dθ︸ ︷︷ ︸

II

)

31

I =∫dθ = θ + C

II =∫

cos 2θdθ Fazendo a mudança de variáveis v = 2θ, dv = 2 dθ, dθ =dv

2∫cos 2θdθ =

1

2sin v =

1

2sin 2θ + C (193)

Utilizando a identidade sin(2θ) = sin(θ+θ) = sin θ cos θ+sin θ cos θ = 2 sin θ cos θ

I+II =1

250

(θ +

1

2sin 2θ

)+ C =

1

250

(θ + sin θ cos θ

)+ C

θ = sec−1 t

5sin θ =

√t2 − 25

tcos θ =

5

t∫dt

t3√t2 − 25

=1

250

(sec−1 t

5+

5√t2 − 25

t2

)+ C

8.3 Integração por partes

De acordo com a regra do produto:

d

dx(f · g) = f

dg

dx+ g

df

dx

dg

dx= g′

df

dx= f ′

d

dx(f · g) = f ′g + fg′ fg é uma antiderivada da função f ′g + fg′

∫[f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)]dx = f(x)g(x) + C

ou ∫f ′(x)g(x)dx+

∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) + C

A última expressão pode ser escrita como:∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−

∫g(x)f ′(x)dx

Fazendo

u = f(x) v = g(x)

du = f ′(x)dx dv = g′(x)dx

32

∫u dv = uv −

∫v du (equação para a integração por partes) (194)

Exemplo:∫x︸︷︷︸u

sin x dx︸ ︷︷ ︸dv

, u = x, dv = sin x dx, du = dx v = − cosx+ C

∫x sin x dx = −x cos x+ C −

∫(− cos x) dx = −x cos x+ sin x+ C

8.4 Integração de funções racionais por frações parciais - caso

linear ∫3x− 5

x2 − x− 2dx (x2 − x− 2) = (x− 2)(x+ 1)

3x− 5

(x− 2)(x+ 1)=

A

x− 2+

B

x+ 1

Fazendo x = 2

3x− 5

(x+ 1)= A+ (x− 2)

B

x+ 1, x = 2 B = 0

3 · 2− 5

(2 + 1)= A A =

1

3

Fazendo x = −1

3x− 5

(x− 2)=

A

(x− 2)(x+ 1) +B x = −1 A = 0

3 · (−1)− 5

(−1− 2)= B B =

8

3∫3x− 5

x2 − x− 2dx =

∫ 13

x− 2dx︸ ︷︷ ︸

I

+

∫ 83

x+ 1dx︸ ︷︷ ︸

II

I =1

3

∫dx

x− 2u = x− 2 du = dx

1

3

∫dx

x− 2=

1

3

∫du

u=

1

3lnu+ C =

1

3ln | x− 2 | + C

II =8

3

∫dx

x+ 1v = x+ 1 dv = dx

33

8

3

∫dx

x+ 1=

8

3

∫dv

v=

1

3ln v + C =

8

3ln | x+ 1 | + C

∫3x− 5

x2 − x− 2dx =

1

3ln | x− 2 | +8

3ln | x+ 1 | + C

9 Sistemas de Coordenadas

A mudança de coordenadas é importante para muitos propósitos em fenômenos

eletromagnéticos, principalmente para algumas simetrias encontradas em sistemas

físicos.

9.1 Coordenadas Polares

Ao fazer uma conversão, é importante perceber que geometricamente os pontos do

plano não se alteram.

pelas relações do triângulo retângulo:

Figura 15: Transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas polares

x = r cos θ

y = r sin θ (195)

r2 = x2 + y2 ⇒ equação da circunferência (196)

9.2 Coordenadas Cilíndricas

No plano xy temos as coordenadas polares, para gerar o cilindro θ é girado 360o = 2π

radianos e a uma altura z

34

Figura 16: Transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z (197)

9.3 Coordenadas Esféricas

Figura 17: Transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas e

como a esfera é formada por meio dessas coordenadas

sinϕ =r

ρ=

| OQ || OP |

r = ρ sinϕ cosϕ =| OR || OP |

=z

ρ(198)

35

x = r cos θ = ρ sinϕ cos θ

y = r sin θ = ρ sinϕ sin θ

z = ρ cosϕ (199)

ρ2 = x2 + y2 + z2 (200)

y

x=ρ sinϕ sin θ

ρ sinϕ cos θ= tan θ (201)

z

ρ= cosϕ

ρ =√x2 + y2 + z2

ϕ = cos−1 z

ρ

ϕ = cos−1 z√x2 + y2 + z2

(202)

10 Funções de Várias Variáveis

As funções de várias variáveis têm muita importância para o cálculo da variação

dos campos elétrico e magnético no espaço tridimensional.

Supondo f = f(x)

df =df

dxdx (unidimensional) (203)

Supondo f = f(x, y, z)

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy+

∂f

∂zdz = f1(x, y, z)dx+f2(x, y, z)dy+f3(x, y, z)dz (tridimensional)

(204)

Onde, ∂ simboliza a derivada em uma das direções ou a derivada parcial.

10.1 As regras da cadeia

i-) Supondo que z seja uma função a duas variáveis x e y, de modo que z = f(x, y),

enquanto x e y sejam funções a uma outra variável t, ou seja, x = g(t) e y = h(t).

Desde que:

dz =∂z

∂xdx+

∂z

∂ydy (205)

36

dz

dt=∂z

∂x

dx

dt+∂z

∂y

dy

dt(206)

Exemplo:

z =√x2 + y2 x = 2t+ 1 y = t3

dz

dt=∂z

∂x

dx

dt+∂z

∂y

dy

dt

∂z

∂x=

x√x2 + y2

∂z

∂y=

y√x2 + y2

dx

dt= 2

dy

dt= 3t2

dz

dt=

x√x2 + y2

(2) +y√

x2 + y2(3t2) =

2x√x2 + y2

+3yt2√x2 + y2

dz

dt=

2(2t+ 1) + 3t2(t3)√(2t+ 1)2 + (t3)2

=3t5 + 4t+ 2√t6 + 4t2 + 4t+ 1

ii-) Supondo um sistema em que w é uma função a m variáveis y1, y2, ... ym e se

cada uma dessas variáveis é por sua vez uma função a n variáveis x1, x2, ... xm

∂w

∂xj=∂w

∂y1

∂y1∂xj

+∂w

∂y2

∂y2∂xj

+ ...+∂w

∂ym

∂ym∂xj

j = 1, 2, ...n (207)

A expressão pode ser escrita de forma compacta:

∂w

∂xj=∑k=1

∂w

∂yk

∂yk∂xj

j = 1, 2, ...n (208)

A idéia mostrada aqui pode ser utilizada da seguinte maneira, se w = f(x, y, z),

x = g(s, t, u), y = h(s, t, u), z = p(s, t, u) e f é diferenciável, então:

∂w

∂s=∂w

∂x

∂x

∂s+∂w

∂y

∂y

∂s+∂w

∂z

∂z

∂s(209)

∂w

∂t=∂w

∂x

∂x

∂t+∂w

∂y

∂y

∂t+∂w

∂z

∂z

∂t(210)

∂w

∂u=∂w

∂x

∂x

∂u+∂w

∂y

∂y

∂u+∂w

∂z

∂z

∂u(211)

37

Exemplo:

Sejam w = xy2 + yz2 + zx2 x = r cos θ sinϕ y = r sin θ sinϕ = r cosϕ

∂w

∂r=∂w

∂x

∂x

∂r+∂w

∂y

∂y

∂r+∂w

∂z

∂z

∂r

∂w

∂r= (y2 + 2xz) cos θ sinϕ+ (2xy + z2) sin θ sinϕ+ (2yz + x2) cosϕ

∂w

∂θ=∂w

∂x

∂x

∂θ+∂w

∂y

∂y

∂θ+∂w

∂z

∂z

∂θ

∂w

∂θ= (y2 + 2xz)(−r cos θ sinϕ) + (2xy + z2)(r cos θ sinϕ) + (2yz + x2)(0)

∂w

∂ϕ=∂w

∂x

∂x

∂ϕ+∂w

∂y

∂y

∂ϕ+∂w

∂z

∂z

∂ϕ

∂w

∂ϕ= (y2 + 2xz)r cos θ cosϕ+ (2xy + z2)r sin θ cosϕ+ (2yz + x2)(−r sinϕ)

10.2 Derivadas de ordem superior

Considere uma função f de duas variáveis tendo derivadas parciais f1 e f2

f1(x, y) = fx(x, y) =∂

∂xf(x, y) e f2(x, y) = fy(x, y) =

∂

∂yf(x, y) (212)

As funções f1 e f2 são funções de duas variáveis e podem então ter derivadas

parciais. Por exemplo, se f(x, y) = 3x2y3 + 6xy2

f1(x, y) = fx(x, y) =∂

∂x(3x2y3 + 6xy2) = 6xy3 + 6y2

f2(x, y) = fy(x, y) =∂

∂y(3x2y3 + 6xy2) = 9x2y2 + 12xy

Portanto,

∂

∂xf1(x, y) =

∂

∂x

[ ∂∂xf(x, y)

]=

∂

∂x(6xy3 + 6y2) = 6y3

38

∂

∂yf1(x, y) =

∂

∂y

[ ∂∂xf(x, y)

]=

∂

∂y(6xy3 + 6y2) = 18xy2 + 12xy

∂

∂xf2(x, y) =

∂

∂x

[ ∂∂yf(x, y)

]=

∂

∂x(9x2y2 + 12xy) = 18xy2 + 12y

∂

∂yf2(x, y) =

∂

∂y

[ ∂∂yf(x, y)

]=

∂

∂x(9x2y2 + 12xy) = 18x2y + 12x

f11 = fxx =∂2f

∂2x=

∂

∂x

(∂f∂x

)(213)

f12 = fxy =∂2f

∂y∂x=

∂

∂y

(∂f∂x

)(214)

f21 = fyx =∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(∂f∂y

)(215)

f22 = fyy =∂2f

∂2y=

∂

∂y

(∂f∂y

)(216)

10.3 Derivadas direcionais (gradiente)

Agora será denido por meio das derivadas parciais a taxa de variação de uma

função em relação a qualquer direção e sentido, levando em conta o conceito de de-

rivada direcional.

Denição:

Seja f uma função de duas variáveis x e y. Se U for um vetor unitário cos θı+sin θȷ,

então a derivada direcional de f na direção de U denominada Duf

Teorema:

Se f for uma função diferenciável de x e y e U = cos θı+ sin θȷ

Duf(x, y) = fx(x, y) cos θ + fy(x, y) sin θ (217)

Ilustração:

f(x, y) = 3x2 − y2 + 4x U = cosπ

6ı+ sin

π

6ȷ

Duf(x, y) =∂f(x, y)

∂xcos

π

6+∂f(x, y)

∂ysin

π

6= (6x+ 4) cos

π

6+ (2y) sin

π

6

Denição:

39

Se f for uma função de três variáveis x, y, z edf

dx,df

dy,df

dzexistirem, então o

gradiente é denotado por:−→∇f (218)

Onde ∇ é o operador diferencial nabla denido como:

∇ = ı∂

∂x+ ȷ

∂

∂y+ k

∂

∂z(219)

então o gradiente de uma função f = f(x, y, z) é dada por:

∇f = ı∂f

∂x+ ȷ

∂f

∂y+ k

∂f

∂z(220)

10.4 Divergente

Supondo que temos uma função vetorial

V = Vxı+ Vy ȷ+ Vzk (221)

Aplicando o operador ∇ sobre a função V temos que:

∇ · V =(ı∂

∂x+ ȷ

∂

∂y+ k

∂

∂z

)· (Vxı+ Vy ȷ+ Vzk) (222)

∇ · V =∂Vx∂x

+∂Vy∂y

+∂Vz∂z

(223)

Esse produto é muito útil para descrever em eletromagnetismo as equações de

Maxwell.

10.5 Rotacional

O rotacional realaciona a projeção de um vetor em direções perpendiculares análogo

ao produto vetorial, terá grande utilidade quando estudarmso o campo magnético.

utilizando a mesma função V .

V = Vxı+ Vy ȷ+ Vzk

40

Temos que o rotacional é denido como:

∇× V =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ı ȷ k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zVx Vy Vz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ı(∂Vz∂y

− ∂Vy∂z

)+ ȷ(∂Vx∂z

− ∂Vz∂x

)+ k(∂Vy∂x

− ∂Vx∂y

)(224)

Propriedade

∇ × (fV ) = f∇ × V + (∇f)× V (225)

10.6 Vetores de Integração

Depois de diferenciar os vetores será visto como integrar os vetores.

10.6.1 Integrais de linha

Tendo como elemento de integração:

dr = dx ı+ dy ȷ+ dz k (226)

Deve-se encontrar as integrais de linha∫C

φdr︸ ︷︷ ︸I

∫C

V · dr︸ ︷︷ ︸II

∫C

V × dr︸ ︷︷ ︸III

(227)

I-) Como φ é um escalar a integral reduz-se a:∫C

φdr = ı

∫C

φ(x, y, z) dx+ ȷ

∫C

φ(x, y, z) dy + k

∫C

φ(x, y, z) dz (228)

II-) Neste caso temos um produto escalar entre dois vetores, como em fenômenos

mecânicos no caso do produto entre a força e o deslocamento resultando em trabalho.

V = Vxı+ Vy ȷ+ Vzk∫C

V · dr =∫C

Vx(x, y, z)dx+

∫C

Vy(x, y, z)dy +

∫C

Vz(x, y, z)dz (229)

III-) Neste caso teremos a projeção do vetor em direções perpendiculares ao seu

vetor de origem.

∫C

V×dr =∫C

∣∣∣∣∣∣∣ı ȷ k

Vx Vy Vz

dx dy dz

∣∣∣∣∣∣∣ = ı

∫C

(Vydz−Vzdy)+ȷ∫C

(Vzdx−Vxdz)+k∫C

(Vxdy−Vydx)

(230)

41

10.6.2 Integrais de superfície

Integrais de superfície aparecem na mesma forma que as integrais de linha, sendo o

elemento de área o vetor dσ∫C

φdσ

∫C

V · dσ∫C

V × dσ (231)

10.6.3 Integrais de volume

∫V

B dV = ı

∫V

Bx dV + ȷ

∫V

By dV + k

∫V

Bz dV (232)

Figura 18: Integração do vetor B pelo volume

10.6.4 Teorema de Stokes

A integral de linha de um vetor sgundo uma curva fechada é igual à integral da

componente normal de seu rotacional sobre qualquer área limitada pela curva, isto

é: ∮C

F · dl =∫

∇ × F · n da (233)

10.6.5 Teorema do divergente

A integral de um vetor sobre um volume V é igual à integral de superfície da

componente normal ao vetor sobre a superfície que limita V , isto é:∫V

∇ · F dV =

∮S

F · n da (234)

42

10.6.6 Identidades vetoriais

∇ · ∇φ = ∇2φ (235)

∇ · ∇ × F = 0 (236)

∇ × ∇φ = 0 (237)

∇ × (∇ × F ) = ∇(∇ · F )−∇2F (238)

∇(φψ) = (∇φ)ψ + φ∇ψ (239)

∇(F · G) = (F · ∇)G+ F × (∇ × G) + (G · ∇)F + G× (∇ × F ) (240)

∇ · (φF ) = (∇φ) · F + φ∇ · F (241)

∇ · (F × G) = (∇ × F ) · G− (∇ × G) · F (242)

∇ × (φF ) = (∇φ)× F + φ∇ × F (243)

10.7 Transformações jacobianas para sistemas de coordena-

das polares, cilíndricas e esféricas

Como foi descrito anteriormente temos agora uma ideia de como funcionam as

derivadas parciais. Agora será mostrado como modica-se o integrando de uma

integral, quando é feita uma mudança de coordenadas.

A forma geral pode ser escrita como:

Duas dimensões

dxdy =

∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂q1

∂x

∂q2∂y

∂q1

∂y

∂q2

∣∣∣∣∣∣∣ dq1dq2 =( ∂x∂q1

∂y

∂q2− ∂x

∂q2

∂y

∂q1

)dq1dq2 (244)

Onde q1 e q2 são as novas coordenadas.

Três dimensões

dxdydz =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂q1

∂x

∂q2

∂x

∂q3∂y

∂q1

∂y

∂q2

∂y

∂q3∂z

∂q1

∂z

∂q2

∂z

∂q3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dq1dq2dq3 (245)

43

10.7.1 Coordenadas polares

x = r cos θ

y = r sin θ

Mudança de coordenadas xy → rθ

∂x

∂r= cos θ

∂y

∂r= sin θ

∂x

∂θ= −r sin θ ∂y

∂θ= r cos θ

dxdy =

∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂r

∂x

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣ drdθ =∣∣∣∣∣ cos θ −r sin θsin θ r cos θ

∣∣∣∣∣ drdθdxdy = (r cos2 θ + r sin2 θ)drdθ = r(cos2 θ + sin2 θ︸ ︷︷ ︸

1

)drdθ

dxdy = rdrdθ (246)

10.7.2 Coordenadas cilíndricas

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

Mudança de coordenadas xyz → rθz

∂x

∂r= cos θ

∂y

∂r= sin θ

∂z

∂r= 0

∂x

∂θ= −r sin θ ∂y

∂θ= r cos θ

∂z

∂θ= 0

∂x

∂z= 0

∂y

∂z= 0

∂z

∂z= 1

dxdydz =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂r

∂x

∂θ

∂x

∂z∂y

∂r

∂y

∂θ

∂y

∂z∂z

∂r

∂z

∂θ

∂z

∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣drdθdz =

∣∣∣∣∣∣∣cos θ −r sin θ 0

sin θ r cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ drdθdz

44

dxdydz = (r cos2 θ + r sin2 θ)drdθ = r(cos2 θ + sin2 θ︸ ︷︷ ︸1

)drdθdz

dxdydz = rdrdθdz (247)

10.7.3 Coordenadas esféricas

x = ρ sinϕ cos θ

y = ρ sinϕ sin θ

z = ρ cosϕ

Mudança de coordenadas xyz → ρϕθ

∂x

∂ρ= sinϕ cos θ

∂x

∂ϕ= ρ cosϕ cos θ

∂x

∂θ= −ρ sinϕ sin θ

∂y

∂ρ= sinϕ sin θ

∂y

∂ϕ= ρ cosϕ sin θ

∂y

∂θ= ρ sinϕ cos θ

∂z

∂ρ= cosϕ

∂z

∂ϕ= −ρ sinϕ ∂z

∂θ= 0

dxdydz =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂ρ

∂x

∂ϕ

∂x

∂θ∂y

∂ρ

∂y

∂ϕ

∂y

∂θ∂z

∂ρ

∂z

∂ϕ

∂z

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dρdϕdθ =

∣∣∣∣∣∣∣sinϕ cos θ ρ cosϕ cos θ −ρ sinϕ sin θsinϕ sin θ ρ cosϕ sin θ ρ sinϕ cos θ

cosϕ −ρ sinϕ 0

∣∣∣∣∣∣∣ dρdϕdθ

dxdydz = [ρ2 sin3 ϕ cos2 θ+ρ2 sinϕ cos2 ϕ sin2 θ+ρ2 sinϕ cos2 ϕ cos2 θ+ρ2 sin3 ϕ sin2 θ]dρdϕdθ

dxdydz = [ρ2 sin3 ϕ(cos2 θ + sin2 θ︸ ︷︷ ︸1

) + ρ2 sinϕ cos2 ϕ(sin2 θ + cos2 θ︸ ︷︷ ︸1

)]dρdϕdθ

dxdydz = [ρ2 sin3 ϕ+ ρ2 sinϕ cos2 ϕ]dρdϕdθ

dxdydz = ρ2 sinϕ(sin2 ϕ+ cos2ϕ︸ ︷︷ ︸1

)dρdϕdθ

dxdydz = ρ2 sinϕ dρdϕdθ (248)

45

10.7.4 Operador diferencial nabla (∇) e laplaciano (∇2) em coordenadas

cilídricas

∇ = r∂

∂r+ θ

1

r

∂

∂θ+ z

∂

∂z(249)

∇2 =1

r

∂

∂r

(r∂

∂r

)+

1

r2∂2

∂θ2+

∂2

∂z2(250)

10.7.5 Operador diferencial nabla (∇) e laplaciano (∇2) em coordenadas

esféricas

∇ = ρ∂

∂ρ+ ϕ

1

ρ

∂

∂ϕ+ θ

1

ρ sinϕ

∂

∂θ(251)

∇2 =1

ρ2 sinϕ

[sinϕ

∂

∂ρ

(ρ2∂

∂ρ

)+

∂

∂ϕ

(sinϕ

∂

∂ϕ

)+

1

sinϕ

∂2

∂θ2

](252)

11 Ângulo Sólido

Considere uma superfície esférica de raio r contendo um elemento de área ∆A. O

ângulo sólido ∆Ω, subentende-se do centro da esfera por este elemento é dado por:

Figura 19: Ilustração da obtenção do ângulo sólido

∆Ω =∆A

r2(253)

∆Ω é admensional ∆A e r2 tem dimensão de comprimento ao quadrado. A unidade

admensional do ângulo sólido é o esferoradiano. Porque a área da superfície da

esfera é 4πr2, então:

∆Ω =4πr2

r2= 4π esferoradianos (254)

46

12 Equações Diferenciais

Em fenômenos eletromagnéticos serão, também, necessários conceitos básicos de

resolução de equações diferenciais, principalmente as separáveis e as de segunda

ordem.

12.1 Equações de variáveis separáveis

dy

dx= f(x, y) (255)

Pode-se analisar equações que não sejam lineares.

M(x, y) +N(x, y)dy

dx= 0 (256)

É possível adotar esta escritura fazendo M(x, y) = −f(x, y) e N(x, y) = 1, mas

podem existir outras maneiras. QuandoM for uma função exclusiva de x e N é uma

função exclusiva de y, então:

M(x) +N(y)dy

dx= 0 (257)

A equação é então uma equação separável, pois se for escrita em forma integral

M(x)dx = −N(y)dy (258)

Exemplo:

dy

dx=

x2

1− y2

−x2 + (1− y2)dy

dx= 0 M(x) = −x2 N(y) = 1− y2

∫(1− y2)dy =

∫x2 dx

y − y3

3+ C =

x3

3+ C

3y − y3 − x3 = C

47

12.2 Equações diferenciais de segunda ordem

Supondo a equação diferencial

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x) Sendo: y′′ =d2y

dx2y′ =

dy

dx(259)

Em lugar da equação acima pode-se reescrever a equação como:

P (x)y′′+Q(x)y′+R(x)y = G(x) ÷P (x) p(x) =Q(x)

P (x); q(x) =

R(x)

P (x); g(x) =

Q(x)

P (x)

(260)

Se a equação não tiver as duas formas é chamada não-linear. As equações gerais

acima são não-homogêneas, só são homogêneas se, nas equações acima os termos

g(x) e G(x) são nulos para todo x.

P (x)y′′ +Q(x)y′ +R(x)y = 0

ay′′ + by′ + cy = 0 (261)

Análise de um exemplo simples

y′′ − y = 0 a = 1; b = 0; c = −1

Solução: propriedade da derivada segunda de uma função ser a própria função. A

função que atende essas condições é a função exponencial.

y1(x) = ex e y2(x) = e−x

A combinação linear das solução, também é uma solução da equação diferencial.

y1 = C1y1(x) + C2y2(x) = C1ex + C2e

−x

y′1 = C1ex − C2e

−x

y′′1 = C1ex + C2e

−x

Supondo que: y(0) = 2 e y′(0) = −1

C1 + C2 = 2

C1 − C2 = −1

C1 =1

2e C2 =

3

2

48

A solução geral é:

y =1

2ex +

3

2e−x

Voltando à equação mais geral

ay′′ + by′ + cy = 0

Supondo y = erx, y′ = rerx, y′′ = r2erx

(ar2 + br + c)erx = 0

ar2 + br + c = 0 Equação característica da equação diferencial

Com a hipótese de que as raízes da equação sejam reais e diferentes:

y1(x) = er1x e y2(x) = er2x (262)

y = C1y1(x) + C2y2(x) = C1er1x + C2e

r2x (263)

y′ = C1r1er1x + C2r2e

r2x (264)

y′′ = C1r21e

r1x + C2r22e

r2x (265)

ar2 + br + c = C1(ar21 + br1 + c)er1x + C2(ar

22 + br2 + c)er2x (266)

Cada expressão no segundo termo é nula, pois r1 e r2 são raízes da equação.

Supondo as condições de contorno

y(x0) = y0 e y′(x0) = y′0 (267)

C1er1x0 + C2e

r2x0 = y0

C1r1er1x0 + C2r2e

r2x0 = y′0 (268)

Resolvendo o sistema de equações obtém-se

C1 =y′0 − y0r2r1 − r2

e−r1x0 , C2 =y0r1 − y′0r1 − r2

e−r2x0 (269)

A solução geral da equação diferencial é, então:

y =(y′0 − y0r2r1 − r2

)e−r1x0 er1x +

(y0r1 − y′0r1 − r2

)e−r2x0 er2x (270)

49

12.3 Equações não homogêneas

L[y] = y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x) (271)

Onde p(x), q(x) e g(x) são funções dadas (contínuas) no intervalo aberto I. A

equação.

L[y] = y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (272)

Na qual g(x) = 0, p(x) e q(x), são as mesmas funções anteriores, a equação (272)

é a equação homogênea correspondente a equação não homogênea (271).

Os dois resultados seguintes descrevem a estrutura das soluções das equações não

homogêneas, e propiciam a base para a solução geral.

Teorema 1

Se Y1 e Y2 forem duas soluções da equação não homogênea (271), então a diferença

Y1 − Y2 é uma solução da equação diferencial homogênea (272). Se além disso y1 e

y2 constituem um conjunto fundamental de seoluções de (272), então:

Y1 − Y2 = C1y1(x) + C2y2(x) (273)

Teorema 2

A solução geral da equação não homogênea (271) pode ser escrita na forma:

y = ϕ(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + Y (x) (274)

Onde y1 e y2 constituem um conjunto fundamental de soluções da equação homo-

gênea, correspondente a (272), C1 e C2 são constantes arbitrárias e Y é uma solução

particular da equação não homogênea.

Para resolver a equação não homogênea deve-se proceder ao longo de 3 etapas:

1-)Achar a solução geral C1y1(x) + C2y2(x) da equação homogênea correspondente.

Esta é a solução denominada frequentemente de solução complementar, pode ser

simbolizada por yc2-)Achar a solução da equação não homogênea. Muitas vezes a solução é denominada

uma solução particular yp3-)Somar as funções encontradas.

Exemplo:

y′′ − 2y′ − 3y = 3e2x

50

Solução da equação diferencial ordinária homogênea

yc = C1e3x + C2e

−x

Solução da equação diferencial ordinária não homogênea

yp = Ae2x = Y (x)

Y ′(x) = 2Ae2x

Y ′′(x) = 4Ae2x

4Ae2x − 4Ae2x − 3Ae2x = 3Ae2x

A = −1

A solução geral é dada por:

y = yc + yp = C1e3x + C2e

−x − e2x + C

Só é útil o conhecimento que nos faz melhores - Sócrates -Filósofo Grego

Referências

[1] George B. Arfken - Mathematical Methods for Physicists (Sixth Edition - Else-

vier Academic Press, 2005).

[2] Earl W. Swokowski - Cálculo com Geometria Analítica - volume 1 (2aEdição -

McGraw-Hill, 1983).

[3] Earl W. Swokowski - Cálculo com Geometria Analítica - volume 2 (2aEdição -

McGraw-Hill, 1983).

[4] Mustafá A. Munem, David J. Foulis - Cálculo - volume 1 (1aEdição - Editora

Guanabara Koogan, 1982).

[5] Mustafá A. Munem, David J. Foulis - Cálculo - volume 2 (1aEdição - Editora

Guanabara Koogan, 1982).

[6] Louis Leithold - O Cálculo com Geometria Analítica - volume 1 (3aEdição -

Editora Harbra, 1994).

[7] Louis Leithold - O Cálculo com Geometria Analítica - volume 2 (3aEdição -

Editora Harbra, 1994).

[8] William E. Boyce, Richard C. Di Prima - Equações Diferenciais e Problemas de

Valores de Contorno(5aEdição - Editora Guanabara Koogan, 1994).

51