Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e ... Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP) 1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte As EDP-2 (Eq. Diferenciais

1J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo

Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos

Capítulo V : Equações DiferenciaisParciais (EDP)

DISCIPLINA

José Luiz de Medeiros e Ofélia Q.F. AraújoEngenharia Química – UFRJ

[email protected], [email protected]. 21-2562-7535


Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte

As EDP-2 (Eq. Diferenciais Parciais de Ordem 2) surgem na aplicação de Princípios de Conservação (p.e., Massa, Energia, Quantidade de Movimento) no estudo de Fenômenos de Transporte naturais, como Transferência de Massa, Transferência de Calor, Transferência de Momentum, etc.

A abordagem básica para construção de EDP-2, consiste em:(i) Descrever matematicamente o Princípio de Conservação em

questão, em conexão com a geometria do Domínio Físico (no ℜℜℜℜ 2, ℜℜℜℜ 3, etc) onde o fenômeno ocorre;

(ii) Introduzir expressão fenomenológica para o(s) Fluxo(s) de Transporte pertinentes em termos das variáveis dependentes;

(iii) Operar algebricamente o Princípio de Conservação com a fenomenologia dos Fluxos, resultando EDPs nas variáveis dependentes em termos das variáveis independentes.



)m.s/gmol("A"deDifusivoFluxo),m/kW(TérmicoFluxo

)m/gmol("A"deãoConcentraç),K(aTemperatur

)m/gmol("A"deãoConcentraç),m/kJ(EnergiadeDensidade

"A"degmolsdeNúmero),kJ(InternaEnergia:Exemplo

deTransportedeFluxo:

deexterioroparaorientadoaUnitárioNormalVetor:n

deFechadaExternaSuperfície:

transportedefenômenoparano)Controlede.Vol(EspacialDomínio:

)V/(deDensidade:

)r,t(defunção,oConservaçãdeincípioPrcomEscalaropriedadePr:)(

)r(posiçãoe)t(tempodofunçãoDependenteVariável:)r,t(

sCartesianaEspaciaissCoordenadatesIndependenVariáveis:

z

y

x

r

TempoteIndependenVariável:t

22

3

33

3

≡

≡

≡

≡

ℜ

=

Ω

Ω

Ω

Ω

Φ

Ψ

ρ

Ω

ΩΦ

ΣΣ

ΓΣ

Γ

ΩΩρ

ΨΨΩ

Ψ

Definições Básicas para EDPs de O(2) – Variáveis e Domínios



(.):(.)(.)(.)

(.)(.)

(.):(.)(.)(.)

(.)

:

(.)

(.)

(.)

(.)

2

2

2

2

2

22 EscalarCamposobreLaplaceanoOperador

zyx

VetorialCamposobreaDivergênciOperadorzyx

sCartesianasCoordenadaemGradienteOperador

z

y

x

zyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇•∇≡∇

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂≡•∇

∂

∂∂

∂∂

∂

≡∇

Definições Básicas para EDPs de O(2) – Operadores Vetoriais



Definições Básicas para EDPs de O(2) – Domínio Físico

Γ

Σ

nΦ



Princípio de Conservação – Propriedade Escalar sem Geração

( )∫∫∫∫∫ •−=

Σ

Ω

Γ

Ω ΣΦΓρ 23 d.nd.dt

d

Admitindo Γ Constante

( )∫∫∫∫∫ •−=

∂

∂

Σ

Ω

Γ

Ω ΣΦΓρ 23 d.nd.

t

Teorema da Divergência (Gauss) para Γ Simplesmente Conexa

( )∫∫∫∫∫ •=•∇

Σ

Ω

Γ

Ω ΣΦΓΦ 23 d.nd

1a

1c

1b



Princípio de Conservação sem Geração – Após Teor. de Gauss

∫∫∫∫∫∫ •∇−=

∂

∂

Γ

Ω

Γ

Ω ΓΦΓρ 33 dd.

t

Equivalentemente, temos :

0dt

3 =

•∇+

∂

∂∫∫∫Γ

ΩΩ ΓΦ

ρ

Como este resultado vale independentemente do tamanho e forma de Γ, o integrando deve ser nulo por toda parte :

0t

=•∇+∂

∂Ω

Ω Φρ

2a

2c

2b



Princípio de Conservação sem Geração – Após Teor. de Gauss

∫∫∫∫∫∫ •∇−=

∂

∂

Γ

Ω

Γ

Ω ΓΦΓρ 33 dd.

t

Equivalentemente, temos :

0dt

3 =

•∇+

∂

∂∫∫∫Γ

ΩΩ ΓΦ

ρ

Como este resultado vale independentemente do tamanho e forma de Γ, o integrando deve ser nulo por toda parte :

0t

=•∇+∂

∂Ω

Ω Φρ

2a

2c

2b

Leva à EDP após entrada de ΦΦΦΦΩΩΩΩ e Operação da respectiva Divergência



Princípio de Conservação sem Geração

Exemplo 5.1 : Condução de Calor em Sólidos

0t

=•∇+∂

∂Ω

Ω Φρ

.const)m/gmol(molarDensidade

.const)K.gmol/kJ(Cmolarcalorífica.Cap

t

T..C

t

.const)m.K/kW(TérmicaadeCondutividK

FourierdeLeivia)m/kW(CondutivoFluxo:TK

)K(aTemperatur

)kJ(InternaEnergia

3

P

P

2

ρ

ρρ

Φ

Ψ

Ω

Ω

Ω

∂

∂≡

∂

∂

≡

∇−≡

≡

≡



Exemplo 5.1 : Condução de Calor em Sólidos

⇒=•∇+∂

∂0

t ΩΩ Φ

ρ( ) ⇒=∇−•∇+

∂

∂0.. TK

t

TCP ρ TK

t

TCP

2.. ∇=∂

∂ρ

Tt

T 2∇=∂

∂α )/(

2 smTérmicadeDifusividaC

K

P

≡=ρ

α

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

T

t

Tα

Equação da Condução Transiente de Calor

3



Princípio de Conservação sem Geração

Exemplo 5.2 : Contra-Difusão Binária A+B de Massa

0t

=•∇+∂

∂Ω

Ω Φρ

t

C

t

.const)s/m("B"em"A"dedeDifusividaD

DifusãodaFickdeLeivia)m.s/gmol("A"deDifusivoFluxo:CD

)m/gmol("A"deãoConcentraç:C

)m/gmol("A"deãoConcentraç:C

)gmol("A"deMolsdeNúmero

A

2AB

2AAB

3A

3A

∂

∂≡

∂

∂

≡

∇−≡

≡

≡

≡

Ω

Ω

Ω

ρ

Φ

ρ

Ψ

Ω



⇒=•∇+∂

∂0

t ΩΩ Φ

ρ( ) ⇒=∇−•∇+

∂

∂0AAB

A CDt

CAAB

A CDt

C 2∇=∂

∂

AABA CD

t

C 2∇=∂

∂ )/("""" 2 smBemAdedeDifusividaDAB ≡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

2

2

2

2

z

C

y

C

x

CD

t

C AAAAB

A

Equação da Difusão (Contra-Difusão) de Massa

Exemplo 5.2 : Contra-Difusão Binária A+B de Massa

4


Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2

)z,y,x,t.e.p(tesIndependenVariáveisdeVetor:

x

x

x

x

2EDPdaDependenteVariável:)x(

n

2

1

=

−

M

Ψ

Esquematizamos a Classificação de EDP-2 Linear Geral em termos de 1 Variável Dependente ΨΨΨΨ e Vetor de n Variáveis Independentes x .



∑∑∑== =

=+∂

∂+

∂∂

∂ n

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij )x(D)x(Cx

)x(Bxx

)x(A ΨΨΨ

EDP-2 Linear Geral em 1 Variável Dependente ΨΨΨΨ e n Variáveis Independentes x .



∑∑∑== =

=+∂

∂+

∂∂

∂ n

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij )x(D)x(Cx

)x(Bxx

)x(A ΨΨΨ

EDP-2 Linear Geral Não-Homogênea em 1 Variável Dependente ΨΨΨΨ e n Variáveis Independentes x .

Coeficientes não dependem da Variável Dependente ψψψψ

Simetria Aij (x) = Aji (x) nos Coeficientes de O(2).Mesmo que não exista poderá ser imposta.



∑∑∑== =

=+∂

∂+

∂∂

∂ n

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij )x(D)x(Cx

)x(Bxx

)x(A ΨΨΨ

Maior Ordem de Derivação da Var. Dependente = 2




∑∑∑== =

=+∂

∂+

∂∂

∂ n

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij )x(D)x(Cx

)x(Bxx

)x(A ΨΨΨ

Termo de Não-Homogeneidade




∑∑∑== =

=+∂

∂+

∂∂

∂ n

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij )x(D)x(Cx

)x(Bxx

)x(A ΨΨΨ

Todo problema de EDP-2 pode ser visto como um problema de inversão de um Operador Funcional L levando ΨΨΨΨ em D(x)


)x(DL =Ψ

∑∑∑== =

+∂

∂+

∂∂

∂≡

n

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij )(.)x(Cx

(.))x(B

xx

(.))x(AL



∑∑∑== =

=+∂

∂+

∂∂

∂ n

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij )x(D)x(Cx

)x(Bxx

)x(A ΨΨΨ


SimétricaAA

AAA

AAA

AAA

)x(A T

nn2n1n

n22221

n11211

=

=

L

MOMM

L

L

=

n

2

1

B

B

B

)x(BM



∑∑∑== =

=+∂

∂+

∂∂

∂ n

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij )x(D)x(Cx

)x(Bxx

)x(A ΨΨΨ


2EDPdatipooaminerdet)x(AdeCaracter

Linear2EDPDependenteVariáveldadependemNãoC,B,A

HomogêneaEDP0)x(D

−

−→

→=



∑∑∑== =

=+∂

∂+

∂∂

∂ n

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij )x(D)x(Cx

)x(Bxx

)x(A ΨΨΨ


aHiperbólic2EDP)em0,0,0sautovalore(indefinida)x(A

Parabólica2EDP)x,0sautovalore(dasemidefininegativa)x(A

Parabólica2EDP)x,0sautovalore(dasemidefinipositiva)x(A

Elíptica2EDP)x,0sautovalore(definidanegativa)x(A

Elíptica2EDP)x,0sautovalore(definidapositiva)x(A

2EDPdatipooaminerdetxpara)x(AdeCaracter

−→=<>•

−→∈∀≤−•

−→∈∀≥−•

−→∈∀<−•

−→∈∀>−•

−∀

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ



Exemplo 5.3 : Classificar a EDP-2 da Condução de Calor em Estado Estacionário (E.E.)

0z

T

y

T

x

T2

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Resolução

=∂

∂0

t

Tcom)3(.EqàeCorrespond

Conhecida como a Equação de Laplace



0z

T

y

T

x

T2

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

y

x

:tesIndependenVariáveis,T:DependenteVariável

.testanConsesCoeficientcomHomogêneaLinearé2EDP

.0D:adeHomogeneidNão,0C:)0(OTermo

0B:)1(OTermo,

100

010

001

A:)2(OTermo

−

=−=

=

=



0z

T

y

T

x

T2

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Elíptica2EDPDefinidaPositivaéA1sAutovalore

0)1(0

100

010

001

.Carac.Eq

:TipoondoClassifica

321

3

−⇒−⇒===

=−⇒=

−

−

−

λλλ

λ

λ

λ

λ

z

y

x




Exemplo 5.4 : Classificar a EDP-2 da Condução de Calor em Estado Transiente

Resolução

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

T

t

Tα



z

y

x

t


0z

T

y

T

x

T

t

T2

2

2

2

2

2

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂− α



0

0

0

1

B:)1(OTermo,

000

000

000

0000

A:)2(OTermo

−

=−=

−

=

=

α

α

α



Parabólica2EDP

daSemidefiniPositivaéA,0sAutovalore

0)(0

000

000

000

000

.Carac.Eq

:TipoondoClassifica

4321

3

−

−⇒====

=−⇒=

−

−

−

−

αλλλλ

αλλ

λα

λα

λα

λ

z

y

x

t


0z

T

y

T

x

T

t

T2

2

2

2

2

2

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂− α



Exemplo 5.5 : Classificar a EDP-2 da Onda em 3 Coordenadas Espaciais

Resolução

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

2

2

2

22

2

2

zyxa

t

ΨΨΨΨ

Conhecida como a Equação da Onda 3D



z

y

x

t

:tesIndependenVariáveis,:DependenteVariável Ψ



0B:)1(OTermo,

a000

0a00

00a0

0001

A:)2(OTermo

2

2

2

−

=−=

=

−

=

0zyx

at 2

2

2

2

2

22

2

2

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

ΨΨΨΨ



aHiperbólic2EDP

IndefinidaéAa,1sAutovalore

0)a)(1(0

a000

0a00

00a0

0001

.Carac.Eq

:TipoondoClassifica

24321

32

2

2

2

−

⇒===−=

=−+⇒=

−

−

−

−−

λλλλ

λλ

λ

λ

λ

λ

0zyx

at 2

2

2

2

2

22

2

2

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

ΨΨΨΨ

z

y

x

t

:tesIndependenVariáveis,:DependenteVariável Ψ


Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis

O Método de Separação de Variáveis – MSV, encontra aplicação em EDP-2 Lineares e de Coef. Constantes, referentes a domínios finitos, ou semi-infinitos, sob certos tipos de condições de contorno como as condições de contorno lineares e homogêneas na variável dependente e sua derivada.

Assim, podemos dizer que é necessário que os seguintes requisitos estejam atendidos para utilização do MSV:

[1] EDP-2 Linear ou com Coeficientes Constantes[2] Condições de Contorno Lineares envolvendo a Variável

Dependente e/ou suas Derivadas de Ordem 1 nas variáveisindependentes.



Desta forma, o MSV pode ser usado com EDP-2 Elíptica, Parabólica ou Hiperbólica, sejam elas Homogêneas ou não.

Em essência, no caso mais simples de EDP-2 de Coeficientes Constantes, o que restringe a aplicação do MSV é apenas a natureza das condições de contorno e a topologia do domínio físico do problema.

Condições de Contorno Lineares (na variável dependente) e Homogêneas tendem a favorecer a utilização do MSV.

O MSV utiliza os conceitos de Famílias de Funções Ortogonais, Séries de Fourier e Problemas Sturm-Liouville (PSL).



O princípio básico do MSV consiste em escrever-se a solução da variável dependente como um produto de funções, cada uma delas expressa em apenas uma das variáveis independentes. Por exemplo na EDP-2 geral abaixo :

∑∑∑== =

=+∂

∂+

∂∂

∂ n

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij )x(D)x(Cx

)x(Bxx

)x(A ΨΨΨ

Aplicar a Separação de Variáveis, consiste em escrever-se a fatoração seguinte para a Solução da Variável Dependente :

)x(X*...)*x(X)*x(X)x(X)x( nn2211

n

1iii∏

=

==Ψ

O problema passa a ser obter solução para cada uma das novas variáveis dependentes separadas Xk( xk ).



A Separação é substituída na EDP-2. Se é possível aplicar o MSV, o quadro resultante deverá levar a Problemas de Contorno PVC parcialmente ou totalmente desacoplados em cada uma das variáveis da Separação.

Um PVC totalmente desacoplado tem suas EDO-2 e Condições de Contorno devidamente isoladas da EDP-2 original.

Em PVC parcialmente desacoplado, as condições de contorno não são, por exemplo, isoladas na variável independente respectiva.

Para ser viável a aplicação MSV, só poderá haver um PVCparcialmente desacoplado. Todos os demais deverão ser totalmente desacoplados.



Sendo possível aplicar o MSV, os PVCs totalmente desacoplados ou terão solução direta ou serão PSLs. A resolução MSV inicia-se por estes PVCs totalmente desacoplados ou PSLs; isto é, PVCs com EDO-2 Linear e Homogênea + Condições de Contorno Lineares e Homogêneas.

)x(X*...)*x(X)*x(X)x(X)x( nn2211

n

1iii∏

=

==Ψ

Ao resolver-se o PSL para a i-ésima variável independente ( xi ),obtém-se uma Família Ortogonal de Funções em xi . Isto define o o termo geral da contribuição de xi na composição da variável dependente através da Separação proposta :



Por último, ataca-se o PVC gerado na Separação que não é PSL ou que se encontra apenas parcialmente desacoplado; isto é, este PVC dispõe de condições de contorno não homogêneas sem possibilidade de separar da EDP-2 original.

Neste estágio, a imposição das Condições de Contorno Não Homogêneas citadas acima, deverá dar origem a uma Série de Fourier – em uma ou várias variáveis independentes – construída com as Funções-Base que surgiram na resolução dos PSLsanteriores totalmente separados.

Obtém-se a solução da EDP-2 – sob a forma de série infinita – ao calcular-se os coeficientes da Série de Fourier via ortogonalidade das funções envolvidas nos respectivos intervalos e pesos.



Observações sobre Mudanças de Variável Dependente :

[1] Visando a introduzir-se termos homogêneos nas condições de contorno – i.e. de modo a permitir o posterior surgimento de PSLs – torna-se às vezes necessário introduzir transformações elementares na Variável Dependente associadas às características geométricas do contorno. Neste ponto, é também comum a introdução de adimensionalizações tanto na Variável Dependente quanto nas Variáveis Independentes. Por exemplo, se a Variável Dependente deve atingir valor mínimo ΨΨΨΨ MIN no ponto Λ do contorno e atingir valor máximo ΨΨΨΨ MAX em outra locação, écomum escrever-se :

MINMAX

MIN

ΨΨ

ΨΨΘ

−

−=

Assim a nova Variável Dependente ΘΘΘΘ, terá C.C. Homogênea na locação Λ



Observações sobre Mudanças de Variável Dependente :

[2] Nos casos em que a EDP-2 só envolve diferenciação de Ordem 2 (p.e., Equação de Laplace), e há uma Condição de Contorno não-Homogênea com Função Linear (i.e. reta, plano, etc), p.e. :

etc...2.C.C,xbax:1.C.C0 T1

2 +=⇒∈=∇ ΨΣΨ

Isto colocará o Problema como :

É comum o artifício de redefinir a variável Dependente com :

)xba()x()x()xba()x()x( TT ++=⇔+−= ΞΨΨΞ

etc...2.C.C,0x1.C.C0 12 =⇒∈=∇ ΞΣΞ

i.e. além da redução de tamanho, tem-se Homogeneidade em ΣΣΣΣ 1



Observações sobre o Princípio da Superposição de Soluções (PSS)

Devido à Linearidade obrigatória, tanto na EDP-2 quanto nas Condições de Contorno, é viável a utilização do Princípio de Superposição de Soluções (PSS). O PSS tem uso para:[1] Compor combinação linear de soluções que cumprem

"pedaços" do termo de Não-Homogeneidade da EDP-2, no caso em que as Condições de Contorno são Homogêneas.

[2] Compor combinação linear de soluções que cumprem "pedaços" da Condição de Contorno Não-Homogênea daEDP-2, a qual, por si, não dispõe de Não-Homogeneidade.

[3] Compor combinação linear de soluções que cumprem "pedaços" das Condições de Contorno Não-Homogêneas e"pedaços" da Não-Homogeneidade da EDP-2.



[1] Combinação linear de soluções cumprindo “pedaços” daNão-Homogeneidade da EDP-2 sob C.C. Homogênea.

0x.C.C,)x(D)x(Cx

)x(Bxx

)x(An

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij =⇒∈=+∂

∂+

∂∂

∂∑∑∑== =

ΨΣΨΨΨ

Quebra-se D( x ) em N contribuições + simples

∑=

=N

1kk )x()x( ΞΨ

Dando N EDP-2 não-homogêneas, + simples, e C.C. homogênea

0x.C.C,)x(DL kkk =⇒∈= ΞΣΞ

∑=

=N

kk xDxD

1

)()(

Após resolvidos cada um destes PVCs, reconstitui-se a solução original pelo PSS

0x.C.C,)x(DL =⇒∈= ΨΣΨ



[2] Combinação linear de soluções cumprindo “pedaços” dasCondições de Contorno sob Homogeneidade da EDP-2.

)x(Fx.C.C,0)x(Cx

)x(Bxx

)x(An

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij =⇒∈=+∂

∂+

∂∂

∂∑∑∑== =

ΨΣΨΨΨ

Quebra-se F( x ) em N contribuições + simples

∑=

=N

1kk )x()x( ΞΨ

Dando N EDP-2 homogêneas com C.C. + simples

∑=

=N

kk xFxF

1

)()(


)x(Fx.C.C,0L =⇒∈= ΨΣΨ

)x(Fx.C.C,0L kkk =⇒∈= ΞΣΞ



[3] Combinação linear de soluções cumprindo “pedaços” dasCondições de Contorno e da Não-Homogeneidade da EDP-2.

)x(Fx.C.C,)x(D)x(Cx

)x(Bxx

)x(An

1i ii

n

1i

n

1j ji

2

ij =⇒∈=+∂

∂+

∂∂

∂∑∑∑== =

ΨΣΨΨΨ

Quebrar F( x ) e D( x ) em N termos + simples:

∑=

=N

1kk )x()x( ΞΨ

Dando N PVCs + simples:

=

=

∑

∑

=

=N

1kk

N

1kk

)x(D)x(D

)x(F)x(F


)x(Fx.C.C,)x(DL =⇒∈= ΨΣΨ

)x(Fx.C.C,)x(DL kkkk =⇒∈= ΞΣΞ


Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2

Exemplo 5.6 : Obter a Distribuição Estacionária de Temperatura no Domínio 2D Abaixo com Equação de Laplace

AB

A

A

A

TTTxLyCC

TTxyCC

TTyLxCC

TTyxCC

y

T

x

T

>=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

,,:4..

,,0:3..

,,:2..

,,0:1..

02

2

2

2

y

xL

LT = TA

T = TB

T = TA




AB

A

A

A

TTTxLyCC

TTxyCC

TTyLxCC

TTyxCC

y

T

x

T

>=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

,,:4..

,,0:3..

,,:2..

,,0:1..

02

2

2

2

y

xL

LT = TA

T = TB

T = TA

EDP-2 Linear (Coeficientes Const.) Homogênea e Elíptica

PVC Linear em 2 vars independentes



#1 Mudança de variável dependente p/ homogeneizar CC1 e CC2

B

A

A

A

TTxLyCC

TTxyCC

TTyLxCC

TTyxCC

y

T

x

T

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

,,:4..

,,0:3..

,,:2..

,,0:1..

02

2

2

2

)y,x().TT(TTTT

TT)y,x( ABA

AB

A ΘΘ −+=⇒−

−=

1,x,Ly:4.C.C

0,x,0y:3.C.C

0,y,Lx:2.C.C

0,y,0x:1.C.C

0yx 2

2

2

2

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

Θ

Θ

Θ

Θ

ΘΘ

⇔

PVC Torna-se :

5a

5b



#2 Implementando Separação de Variáveis

)y(Y).x(X)y,x( =Θ

Derivadas da EDP : )2(2

2)2(

2

2

Y.Xy

,Y.Xx

=∂

∂=

∂

∂ ΘΘ

Substituição na EDP : 0Y.XY.X0yx

)2()2(2

2

2

2

=+⇒=∂

∂+

∂

∂ ΘΘ

Y

Y

X

X )2()2(

−=Resulta :

5c

5d



Eq. (5d) tem em seu lado esquerdo dependência em x. Ao mesmo tempo o seu lado direito depende apenas de y ; i.e. tem-se uma função de x igual a uma de y. Ora, x e y são independentes, de modo que isto só pode ocorrer sendo ambas funções iguais a uma constante (a determinar) λλλλ .

λ=−=Y

Y

X

X )2()2(



1)L(Y).x(X1,x,Ly:4.C.C

0)0(Y).x(X0,x,0y:3.C.C

0)y(Y).L(X0,y,Lx:2.C.C

0)y(Y).0(X0,y,0x:1.C.CY

Y

X

X )2()2(

=⇔=∀=

=⇔=∀=

=⇔=∀=

=⇔=∀=

=−=

Θ

Θ

Θ

Θ

λ 6a

6b

Neste estágio, o PVC-2 apresenta-se como :



Devido à Homogeneidade de CC1, CC2 e CC3, e graças à forma separada em (6a), é possível desacoplar PVC(x) e PVC(y), sendo o primeiro totalmente definido e o segundo parcialmente, pois CC4 não permite explicitar Y(L) :

1)L(Y).x(X,x,Ly:4.C.C

0)0(Y).x(X,x,0y:3.C.C

0)y(Y).L(X,y,Lx:2.C.C

0)y(Y).0(X,y,0x:1.C.CY

Y

X

X )2()2(

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=−= λ

#3 Desacoplando PVCs Ordinários : PVC(x) + PVC(y)

0)L(X,Lx:2.C.C

0)0(X,0x:1.C.CX

X )2(

==

==

= λ

0)0(Y,0y:3.C.CY

Y )2(

==

−= λ



#4 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)

0)L(X,Lx:2.C.C

0)0(X,0x:1.C.CX

X )2(

==

==

= λ

0)L(X,Lx:2.C.C

0)0(X,0x:1.C.C

0X.X )2(

==

==

=− λ

0ba,1ba

Lb,0a

0)x(q,1)x(p,1)x(r

PSLÉ

2211 ====

==

===

⇓

1)x(psob]L,0[em)x(XFamíliaDá n =⊥



Solução : Eq. Característica :Raízes :


0)L(X,Lx:2.C.C

0)0(X,0x:1.C.C

0X.X )2(

==

==

=− λ

λθ

λθ

θ

±=

=−

=

0

)x.exp()x(X2

Lb,0a,1)x(p:PSL ===



Caso 1 : λλλλ > 0 →→→→ Raízes Reais Distintas


=−+

=+

0)Lexp(C)Lexp(C

0CC

21

21

λλ

Raízes :Solução EDO Hom. :

Aplicando CCs :

)xexp(C)xexp(C)x(X 21H λλ

λθ

+−=

±=

Só Sol. Trivial : 0)x(X0CC H21 =⇒==



Caso 2 : λλλλ = 0 →→→→ Raíz Real Dupla


=+

=+

0L.CC

00.CC

21

21


Aplicando CCs :

x.CC)x(X

0

21H +=

=±= λθ




Caso 3 : λλλλ < 0 →→→→ Raizes Complexas Conjugadas



Aplicando CCs :

)x(senC)xcos(C)x(X

i)(

21H λλ

λλλθ

−+−=

−±=−−±=±=

=−+−

=+

0)L(senC)Lcos(C

00.CC

21

21

λλ

0)L(sen =− λSol. Não Trivial com






Aplicando CCs :

)x(senC)xcos(C)x(X

i)(

21H λλ

λλλθ

−+−=

−±=−−±=±=

Sol. Não Trivial com

,...)2,1n(L

n

,...)2,1n(nL0)L(sen

2

22

n

n

=−=⇒

=±=−⇒=−

πλ

πλλ

)L

xn(sen)x(X)x(senC)x(X n2H

πλ =⇒−=

=−+−

=+

0)L(senC)Lcos(C

00.CC

21

21

λλ

0C,0C 21 ≠=




0)L(X,Lx:2.C.C

0)0(X,0x:1.C.C

0X.X )2(

==

==

=− λ Lb,0a,1)x(p:PSL ===

1)x(psob]L,0[em)x(X

,...)2,1n()L

xn(sen)x(X

,...)2,1n(L

n

n

n

2

22

n

=⊥

==

=−=

π

πλ

⇓

PVC(x) Finalizado.λλλλn , Xn Obtidos.



#5 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(y)

PVC(x) finalizou com

0)0(Y,0y:3.C.CY

Y )2(

==

−= λ

,...)2,1n()L

xn(sen)x(X,

L

nn2

22

n ==−=ππ

λ

Convém escrever PVC(y) também indexado em n (n = 1,2,...)

0)0(Y,0y:3.C.C

Y

Y

n

nn

)2(n

==

−= λ

0)0(Y,0y:3.C.C

,...)2,1n(0YY

n

nn)2(

n

==

==+ λ⇒



Solução : Eq. Característica :

Raízes Reais ≠≠≠≠ :


L

n

0

)y.exp()y(Y

nnn

n2n

nn

πθλθ

λθ

θ

±=⇒−±=

=+

=

0)0(Y,0y:3.C.C

,...)2,1n(0YY

n

nn)2(

n

==

==+ λ ,...)2,1n(L

n2

22

n =−=π

λ Não é PSL

Solução EDO Hom. : )exp()exp()( 21 L

ynC

L

ynCyY nnn

ππ+−=

Aplicando CC3 : n1n2n2n1 CC0CC −=⇒=+

Resulta :

−−= )exp()exp()( 1 L

yn

L

ynCyY nn

ππ



#6 Resumo Resolução PVCs Ordinários :

,...)2,1n()L

ynexp()

L

ynexp(C)x(Y n1n =

−−=ππ

1)x(psob]L,0[em)x(X,,...)2,1n()L

xn(sen)x(X

,...)2,1n(L

n

nn

2

22

n

=⊥==

=−=

π

πλ



#7 Recuperação da Separação da Solução da EDP via Eq. (5c) :

,...)2,1n()L

ynexp()

L

ynexp(C)x(Y n1n =

−−=ππ

1)x(psob]L,0[em)x(X

,...)2,1n()L

xn(sen)x(X

n

n

=⊥

==π

)y(Y).x(X)y,x( =Θ 5c

⇓

∑∞

=

=1n

nn )y(Y).x(X)y,x(Θ




∑∞

=

−−=1n

n1 L

xnsen.)

L

ynexp()

L

ynexp(C)y,x(

πππΘ

1)x(psob]L,0[em)L

xn(sen =⊥

π




∑∞

=

−−=1n

n1 L

xnsen.)

L

ynexp()

L

ynexp(C)y,x(

πππΘ

1)x(psob]L,0[em)L

xn(sen =⊥

π

1,x,Ly:4.C.C

0,x,0y:3.C.C

0,y,Lx:2.C.C

0,y,0x:1.C.C

0yx 2

2

2

2

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

Θ

Θ

Θ

Θ

ΘΘChecando Aplicação de CCs do PVCOriginal ...

Resta Aplicar CC4



#8 Aplicando C.C. Remanescente na Solução da EDP :

∑∞

=

−−=1n

n1 L

xnsen.)

L

ynexp()

L

ynexp(C)y,x(

πππΘ

Esta é uma Série de Fourier para a Função 1. Os Coeficientes C1n são obtidos com a Ortogonalidade das Funções sen(nππππx/L) em [0,L] sob p(x)=1

⇓

∑∞

=

−−=

1nn1 L

xnsen.)nexp()nexp(C1

πππ




∑∞

=

−−=

1nn1 L

xnsen.)nexp()nexp(C1

πππ

⇓

∫

∫

−−

=L

0

2

L

0n1

dx).L

xn(sen)nexp()nexp(

dx).L

xn(sen

Cπ

ππ

π




2

L)nexp()nexp(

))1(1(n

L

C

n

n1ππ

π

−−

−−=

)1)1((n

L)1)n(cos(

n

L

0

L

)L

xncos(

n

Ldx).

L

xn(sen n

L

0

−−−=−−=−=∫ ππ

π

π

π

π

2

L

0

L

)L

xn2(sen

n4

L

2

Ldx

2

)L

xn2cos(1

dx).L

xn(sen

L

0

L

0

2 =−=−

= ∫∫π

π

ππ

πππ n)nexp()nexp(

))1(1(2C

n

n1−−

−−=



#9 Consolidando a Solução da EDP para T(x,y) : Exemplo 5.6


))1(1(2C

n

n1−−

−−=

∑∞

=

−−=1n

n1 L

xnsen.)

L

ynexp()

L

ynexp(C)y,x(

πππΘ

)y,x().TT(TT ABA Θ−+=

7b

7a

7c



#10 Aproximantes N=10,20,50, TA=0C, TB=100C, L=10m Ex. 5.6










y

xL

LT = TB

T = TD

T = TA T = TC

ABCD

D

C

B

A

2

2

2

2

TTTT

TT,x,Ly:4.C.C

TT,x,0y:3.C.C

TT,y,Lx:2.C.C

TT,y,0x:1.C.C

0y

T

x

T

>>>

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

PVC Linear 2 vars independ.




#1 Princípio da Superposição (PSS): CC = CCA +CCB +CCC +CCD

L

L

TB

TD

TA

TC

≡

L

L

0

0

TA

0

A

L

L

TB

0

0

0

B

+

L

L

0

0

0

TC

C

L

L

0

TD

0

0

D




L

L

TB

TD

TA

TC

≡

L

L

0

0

TA

0

A

L

L

TB

0

0

0

B

+

L

L

0

0

0

TC

C

L

L

0

TD

0

0

D

Cada um dos 4 novos PVCs com a mesmaEDP-2 + CCshomogêneas suficientes p/ PSL




)y,x(T)y,x(T)y,x(T)y,x(T)y,x(T )D()C()B()A( +++=

L

L

TB

TD

TA

TC

L

L

0

0

TA

0

A

L

L

TB

0

0

0

B

L

L

0

0

0

TC

C

L

L

0

TD

0

0

D



#2 Resolução PVCA : CC = CCA

L

L

0

0

TA

0

A

0T,x,Ly:4.C.C

0T,x,0y:3.C.C

0T,y,Lx:2.C.C

TT,y,0x:1.C.C

0y

T

x

T

A

2

2

2

2

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂




0T,x,Ly:4.C.C

0T,x,0y:3.C.C

0T,y,Lx:2.C.C

TT,y,0x:1.C.C

0y

T

x

T

A

2

2

2

2

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

1,x,Ly:4.C.C

0,x,0y:3.C.C

0,y,Lx:2.C.C

0,y,0x:1.C.C

0yx 2

2

2

2

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

Θ

Θ

Θ

Θ

ΘΘ

Viável usar a solução trabalhada no Ex. 5.6 do PVC após a mudança de variável dependente. Aqui deve-se trocar alguns papéis na Eq. (7b) : [1] : Substituir x ↔↔↔↔ y[2] : Substituir x ↔↔↔↔ L-x[3] : Substituir 1 ↔↔↔↔ TA

L

L

0

0

TA

0

A




))1(1(T.2C

nA)A(

n−−

−−=

∑∞

=

−

−−

−=1n

)A(n

)A(

L

ynsen.)

L

)xL(nexp()

L

)xL(nexp(C)y,x(T

πππ

8b

8a




#3 Resolução PVCB : CC = CCB

0T,x,Ly:4.C.C

0T,x,0y:3.C.C

TT,y,Lx:2.C.C

0T,y,0x:1.C.C

0y

T

x

T

B

2

2

2

2

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

L

L

TB

0

0

0

B




1,x,Ly:4.C.C

0,x,0y:3.C.C

0,y,Lx:2.C.C

0,y,0x:1.C.C

0yx 2

2

2

2

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

Θ

Θ

Θ

Θ

ΘΘ

Viável usar a solução trabalhada no Ex. 5.6 do PVC após a mudança de variável dependente. Aqui deve-se trocar alguns papéis na Eq. (7b) : [1] : Substituir x ↔↔↔↔ y[2] : Nada aqui [3] : Substituir 1 ↔↔↔↔ TB

0T,x,Ly:4.C.C

0T,x,0y:3.C.C

TT,y,Lx:2.C.C

0T,y,0x:1.C.C

0y

T

x

T

B

2

2

2

2

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

L

L

TB

0

0

0

B



9b

9a


∑∞

=

−−=1n

)B(n

)B(

L

ynsen.)

L

xnexp()

L

xnexp(C)y,x(T

πππ


))1(1(T2C

nB)B(

n−−

−−=



#4 Resolução PVCC : CC = CCC

0T,x,Ly:4.C.C

TT,x,0y:3.C.C

0T,y,Lx:2.C.C

0T,y,0x:1.C.C

0y

T

x

T

C

2

2

2

2

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

L

L

0

0

0

TC

C




0T,x,Ly:4.C.C

TT,x,0y:3.C.C

0T,y,Lx:2.C.C

0T,y,0x:1.C.C

0y

T

x

T

C

2

2

2

2

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

L

L

0

0

0

TC

C

1,x,Ly:4.C.C

0,x,0y:3.C.C

0,y,Lx:2.C.C

0,y,0x:1.C.C

0yx 2

2

2

2

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

Θ

Θ

Θ

Θ

ΘΘ

Viável usar a solução trabalhada no Ex. 5.6 do PVC após a mudança de variável dependente. Aqui deve-se trocar alguns papéis na Eq. (7b) : [1] : Nada aqui.[2] : Substituir y ↔↔↔↔ L-y[3] : Substituir 1 ↔↔↔↔ TC



10b

10a



))1(1(T2C

nC)C(

n−−

−−=

∑∞

=

−

−−

−=1n

)C(n

)C(

L

xnsen.)

L

)yL(nexp()

L

)yL(nexp(C)y,x(T

πππ



#5 Resolução PVCD : CC = CCD

D

2

2

2

2

TT,x,Ly:4.C.C

0T,x,0y:3.C.C

0T,y,Lx:2.C.C

0T,y,0x:1.C.C

0y

T

x

T

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

L

L

0

TD

0

0

D




D

2

2

2

2

TT,x,Ly:4.C.C

0T,x,0y:3.C.C

0T,y,Lx:2.C.C

0T,y,0x:1.C.C

0y

T

x

T

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

L

L

0

TD

0

0

D

1,x,Ly:4.C.C

0,x,0y:3.C.C

0,y,Lx:2.C.C

0,y,0x:1.C.C

0yx 2

2

2

2

=∀=

=∀=

=∀=

=∀=

=∂

∂+

∂

∂

Θ

Θ

Θ

Θ

ΘΘ

Viável usar a solução trabalhada no Ex. 5.6 do PVC após a mudança de variável dependente. Aqui deve-se trocar alguns papéis na Eq. (7b) : [1] : Nada aqui. [2] : Nada aqui.[3] : Substituir 1 ↔↔↔↔ TD



11b

11a



))1(1(T2C

nD)D(

n−−

−−=

∑∞

=

−−=1n

)D(n

)D(

L

xnsen.)

L

ynexp()

L

ynexp(C)y,x(T

πππ



#6 Aprox. N=10,20,50,TA=0C,TB=30C,TC=60C,TD=100C,L=10mEx5.7









Exemplo 5.8 : Obter a Distribuição Estacionária de Pressão Hidrostática em Meio Poroso Infinito em z no Dique abaixo.

L

H

Dique de rocha porosa, infinito em zÁgua

Rocha impermeável



Identificando o Domínio Físico ΓΓΓΓ e sua Superfície de Controle ΣΣΣΣ

H

Água

Rocha impermeável

ΣΣΣΣ

ΣΣΣΣ

ΣΣΣΣ

ΣΣΣΣ

ΓΓΓΓ

L



L H

y

xReferencial

)yH(gPP

)0x(MolhadaParedenacaHidrostátiessãoPrdeCampo

)m/kg1000(líquidonoáguadadensidade:

)s/m81.9(gravidade:g,)Pa10(aatmosféricpressão:P

0

3

250

−+=

=

≅

ρ

ρ

0PP =

rocha impermeável

#1 Modelagem Física : EDP de Transporte de Massa

0PP =



y

x

)m/kg(MPnoáguadedensidade:

)s.m/kg(MPnoáguadefluxo:

:)P.M.E(PorosoMeioemEscoamento

3MP

2MP

ρ

Φ

rocha impermeável

0t

MPemDifusãoda.Eq

MPMP =•∇+

∂

∂Φ

ρ

PK

.P.M.EemDarcydeLei

MP ∇−=Φ




0t

MPemDifusãoda.Eq

MPMP =•∇+

∂

∂Φ

ρ

PKMP ∇−=Φ

Regime Estacionário0MP =•∇ Φ

Lei de Darcy)Laplacede.Eq(

0P2 =∇

2 Dimensõesindependentes : x, y

0y

P

x

P2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂




#2 Formulação Matemática do Problema

L H

y

xReferencial

)yH(gPP 0 −+= ρ

0PP =

rocha impermeável

0PP =




L H

y

xReferencial

)yH(gPP 0 −+= ρ

0PP =

rocha impermeável

0PP =

Condições de Contorno

0=Φ• MPn



0

MP

0

0

2

2

2

2

PP,x,Hy:4.C.C

0y

P0Pn0n,x,0y:3.C.C

PP,y,Lx:2.C.C

)yH(gPP,y,0x:1.C.C

0y

P

x

P

=∀=

=∂

∂⇔=∇•⇔=•∀=

=∀=

−+=∀=

=∂

∂+

∂

∂

Φ

ρ

PVC Linear 2 vars independentes (x,y)





0,x,Hy:4.C.C

0y

,x,0y:3.C.C

0,y,Lx:2.C.C

yH,y,0x:1.C.C

0yx 2

2

2

2

=∀=

=∂

∂∀=

=∀=

−=∀=

=∂

∂+

∂

∂

Θ

Θ

Θ

Θ

ΘΘ

#3 Versão Final do PVC após mudança de Variável Dependente

g/)P)y,x(P()y,x( 0 ρΘ −=

PVC torna-se

)y,x(gP)y,x(P 0 Θρ+=




)y(Y).x(X)y,x( =Θ

Derivadas da EDP : )2(2

2)2(

2

2

Y.Xy

,Y.Xx

=∂

∂=

∂

∂ ΘΘ

Substituição na EDP : 0Y.XY.X0yx

)2()2(2

2

2

2

=+⇒=∂

∂+

∂

∂ ΘΘ

Y

Y

X

X )2()2(

−=Resulta :

12a

12b



Sendo x e y independentes, fórmula (12b) só pode ocorrer sendo ambas funções iguais a uma constante (a determinar) λλλλ .

λ=−=Y

Y

X

X )2()2(

Neste estágio, o PVC-2 apresenta-se como :

0)().(0,,:4..

0)0().(0,,0:3..

0)().(0,,:2..

)().0(,,0:1..

)1(

)2()2(

=⇔=Θ∀=

=⇔=∂

Θ∂∀=

=⇔=Θ∀=

−=⇔−=Θ∀=

=−=

HYxXxHyCC

YxXy

xyCC

yYLXyLxCC

yHyYXyHyxCCY

Y

X

Xλ

12c

)y(Y).x(X)y,x( =Θ



Devido à Homogeneidade de CC2, CC3 e CC4, e graças à forma separada em (12c), é possível desacoplar PVC(x) e PVC(y), sendo o segundo totalmente definido e o primeiro parcialmente, pois CC1 não permite explicitar X(0) :

#5 Desacoplando PVCs Ordinários : PVC(x) + PVC(y)

0)(,:4..

0)0(,0:3.. )1(

)2(

==

==

−=

HYHyCC

YyCC

Y

Yλ

0)(,:2..

)2(

==

=

LXLxCCX

Xλ

0)().(,,:4..

0)0().(,,0:3..

0)().(,,:2..

)().0(,,0:1..

)1(

)2()2(

=∀=

=∀=

=∀=

−=∀=

=−=

HYxXxHyCC

YxXxyCC

yYLXyLxCC

yHyYXyxCCY

Y

X

Xλ




0,1,1,0

,0

0)(,1)(,1)(

2121 ====

==

===

bbaa

Hba

yqypyr

PSLÉ

⇓

1)(],0[)( =⊥ ypsobHemxYFamíliaDá n

0)(,:4..

0)0(,0:3.. )1(

)2(

==

==

−=

HYHyCC

YyCC

Y

Yλ

0)(,:4..

0)0(,0:3..

0

)1(

)2(

==

==

=+

HYHyCC

YyCC

YY λ



Solução : Eq. Característica :Raízes : λθ

λθ

θ

−±=

=+

=

0

).exp()(

2

yyY


0)(,:4..

0)0(,0:3..

0

)1(

)2(

==

==

=+

HYHyCC

YyCC

YY λ

Caso 1 : λλλλ < 0 →→→→ Raízes Reais Distintas

Raízes :Solução EDO Hom. : )exp()exp()( 21 λλ

λθ

−−+−=

−±=

yCyCyYH

Aplicando CCs :

=−−+−

=−

0)exp()exp(

0

21

21

λλ HCHC

CC

Só Sol. Trivial : 0)(021 =⇒== yYCC H




=+

=+

0.

00.

21

21

HCC

CC


Aplicando CCs :

yCCyYH .)(

0

21 +=

=−±= λθ

Só Sol. Trivial : 0)(021 =⇒== yYCC H




Caso 3 : λλλλ > 0 →→→→ Raizes Complexas Conjugadas


Aplicando CCs :

)cos()()(

)()cos()(

21

)1(

21

λλλλ

λλ

λλθ

yCysenCyY

ysenCyCyY

i

H

H

+−=

+=

±=−±=

=+

=+

0)()cos(

00.

21

21

λλ

λ

HsenCHC

CC



,...)2,1n(H4

)1n2(

,...)2,1n()2

1n2(H0)Hcos(

2

22

n

n

=−

=⇒

=−

±=⇒=

πλ

πλλ

)2

)12(cos()

2

)12(cos()()cos()( 1 H

yn

H

ynyYyCyY nH

ππλ

−=

−±=⇒=

0,0 21 =≠ CC




1)(],0[)(

,...)2,1(2

)12(cos)(

,...)2,1(4

)12(2

22

=⊥

=

−=

=−

=

ypsobHemyY

nH

ynyY

nH

n

n

n

n

π

πλ PVC(y) Finalizado.

λλλλn , Yn(y) Obtidos.




PVC(y) finalizou com

0)(,:2..

)2(

==

=

LXLxCCX

Xλ

Convém escrever PVC(x) também indexado em n (n = 1,2,...)

0)(,:2..

)2(

==

=

LXLxCC

X

X

n

nn

n λ

0)(,:2..

,...)2,1(0)2(

==

==−

LXLxCC

nXX

n

nnn λ⇒

,...)2,1(2

)12(cos)(,

4

)12(2

22

=

−=

−= n

H

ynyY

H

nnn

ππλ



Solução : Eq. Característica :

Raízes Reais ≠≠≠≠ : H

n

xxX

nnn

nn

nn

2

)12(

0

).exp()(

2

πθλθ

λθ

θ

−±=⇒±=

=−

=

Não é PSL

Solução EDO Hom. : )2

)12(exp()

2

)12(exp()( 21 H

xnC

H

xnCxX nnn

ππ −+

−−=

CC2 :

Resulta :

−−

−−−

−= )2

)12(exp().

)12(exp()

2

)12(exp()( 1 H

xn

H

Ln

H

xnCxX nn

πππ


0)(,:2..

,...)2,1(0)2(

==

==−

LXLxCC

nXX

n

nnn λ,...)2,1(

4

)12(2

22

=−

= nH

nn

πλ

nnnn CH

LnC

H

LnC

H

LnC 1221 )

)12(exp()

2

)12(exp()

2

)12(exp(0

πππ −−−=⇒

−+

−−=



#8 Resumo Resolução PVCs Ordinários :

1)(],0[)(,,...)2,1(2

)12(cos)(

,...)2,1(4

)12(2

22

=⊥=

−=

=−

=

ypsobHemyYnH

ynyY

nH

n

nn

n

π

πλ

,...)2,1()2

)12(exp().

)12(exp()

2

)12(exp()( 1 =

−−

−−−

−= nH

xn

H

Ln

H

xnCxX nn

πππ




)y(Y).x(X)y,x( =Θ ⇒ ∑∞

=

=1n

nn )y(Y).x(X)y,x(Θ

1)(],0[)(,,...)2,1(2

)12(cos)( =⊥=

−= ypsobHemyYn

H

ynyY nn

π

,...)2,1()2

)12(exp().

)12(exp()

2

)12(exp()( 1 =

−−

−−−

−= nH

xn

H

Ln

H

xnCxX nn

πππ




1)(],0[2

)12(cos =⊥

−ypsobHem

H

yn π

∑∞

=

−

−−

−−−

−=1n

n1 H2

y)1n2(cos.)

H2

x)1n2(exp().

H

L)1n2(exp()

H2

x)1n2(exp(C)y,x(

ππππΘ

Checando CCs do PVC Original ...

0,x,Hy:4.C.C

0y

,x,0y:3.C.C

0,y,Lx:2.C.C

yH,y,0x:1.C.C

0yx 2

2

2

2

=∀=

=∂

∂∀=

=∀=

−=∀=

=∂

∂+

∂

∂

Θ

Θ

Θ

Θ

ΘΘ

Resta Aplicar CC1




Esta é uma Série de Fourier para a Função H-y. Os Coeficientes C1n são obtidos com a Ortogonalidade das Funções cos((2n-1)ππππy/2H) em [0,H] sob p(y)=1

⇓

∑∞

=

−

−−

−−−

−=Θ1

12

)12(cos.)

2

)12(exp().

)12(exp()

2

)12(exp(),(

nn H

yn

H

xn

H

Ln

H

xnCyx

ππππ

∑∞

=

−

−

−−=−1n

n1 H2

y)1n2(cos.)

H

L)1n2(exp(1CyH

ππ

yH,0x −== Θ




∑∞

=

−

−

−−=−1n

n1 H2

y)1n2(cos.)

H

L)1n2(exp(1CyH

ππ

∫

∫

−

−−−

−−

=H

0

2

H

0n1

dy).H2

y)1n2((cos

H

L)1n2(exp1

dy).H2

y)1n2(cos()yH(

Cππ

π

⇓



2

Hdy.)

H

y)1n2(cos(1

2

1dy).

H2

y)1n2((cos

H

0

H

0

2 =

−+=

−∫∫

ππ

π

π

π

π

)1n2(

)1(H2

0

H

H2

y)1n2(sen

)1n2(

H2dy.

H2

y)1n2(cos.H

1n22H

0−

−=

−

−=

− −

∫

∫

∫

−

−−

−

−=

−

H

0

H

0

dy.H2

y)1n2(sen

)1n2(

H2

0

H

H2

y)1n2(sen.y.

)1n2(

H2dy.

H2

y)1n2(cos.y

π

π

π

π

π



2

Hdy.)

H

y)1n2(cos(1

2

1dy).

H2

y)1n2((cos

H

0

H

0

2 =

−+=

−∫∫

ππ

π

π

π

π

)1n2(

)1(H2

0

H

H2

y)1n2(sen

)1n2(

H2dy.

H2

y)1n2(cos.H

1n22H

0−

−=

−

−=

− −

∫

−−−

−=

=

−

−+

−

−=

−

−

−

∫

ππ

π

ππ

π

)1n2(

2)1(

)1n2(

H2

0

H

H2

y)1n2(cos

)1n2(

H2

)1n2(

)1(H2dy.

H2

y)1n2(cos.y

1n2

21n2H

0



,...)2,1n()1n2(

H8

H

L)1n2(exp1

1C

22n1 =

−

−−−

=ππ



−

−−−

=22n1

)1n2(

H8

H

L)1n2(exp1

1C

ππ

∑∞

=

−

−−

−−−

−=Θ1

12

)12(cos.)

2

)12(exp().

)12(exp()

2

)12(exp(),(

nn H

yn

H

xn

H

Ln

H

xnCyx

ππππ

#11 Consolidando a Solução da EDP para P(x,y) : Exemplo 5.8

)y,x(gP)y,x(P 0 Θρ+=



#12 Aproximantes N=3,5,10,20, L=10m, H=20m Ex. 5.8












Exemplo 5.9 : Obter a Distribuição Espaço-Temporal de Concentração de "A" em Meio de Cultura Infinito em (z , y)

Meio de cultura infinito em (z , y) de espessura L na direção x revestido por película impermeável em x = 0 e em x = L. Em t = 0, o meio encontra-se com 2 camadas de igual espessura e concentrações respectivas CA0 e 0.

Película impermeável


L/2 Em t=0, CA = 0

Em t=0, CA = CA0L/2x




L/2 Em t=0, CA = 0

L/2x

0t

C

Difusãoda.Eq

AA =•∇+

∂

∂Φ AABA

AB

CD

.)constD(DifusãodaFickdeLei

∇−=Φ

A2

ABA CD

t

C

Difusãoda.Eq

∇=∂

∂Em 1-D

2A

2

ABA

x

CD

t

C

D1Difusãoda.Eq

∂

∂=

∂

∂

−

Em t=0, CA = CA0




L/2 Em t=0, CA = 0

L/2x

Condições de Contorno

0n A =•Φ


Em t=0, CA = CA0



0x

C0n,t,Lx:2.C.C

0x

C0n,t,0x:1.C.C

2/Lx0,C

2/Lx,0)x(gC,0t:.I.C

x

CD

t

C

AA

AA

0AA

2A

2

ABA

=∂

∂⇒=•∀=

=∂

∂⇒=•∀=

≤≤

>===

∂

∂=

∂

∂

Φ

Φ

Problema de Valor Inicial (PVI) Linear em 2 vars independentes (t,x)

EDP-2 Linear (Coeficientes Const.) Homogênea e Parabólica

#1 Formulação Matemática do Problema : Eq. da Difusão 1-D




)x(X).t(T)x,t(CA =

Derivadas da EDP : )1(A)2(2A

2

T).x(Xt

C,)t(T.X

x

C=

∂

∂=

∂

∂

Substituição na EDP : T.X.DT).x(Xx

C

t

C )2(AB

)1(2A

2A =⇒

∂

∂=

∂

∂

T

T

D

1

X

X )1(

AB

)2(

=Resulta :

13a

13b



Sendo t e x independentes, fórmula (13b) só pode ocorrer sendo ambas funções iguais a uma constante (a determinar) λλλλ .

λ==T

T

D

1

X

X )1(

AB

)2(

Neste estágio, o PVIapresenta-se como :

≤≤

>===

=⇔=∂

∂∀=

=⇔=∂

∂∀=

==

2/Lx0,C

2/Lx,0)x(gC,0t:.I.C

0)t(T).L(X0x

C,t,Lx:2.C.C

0)t(T).0(X0x

C,t,0x:1.C.C

T

T

D

1

X

X

0AA

)1(A

)1(A

)1(

AB

)2(

λ

13c



Devido à Homogeneidade de CC1, CC2 e graças à forma separada em (13c), é possível desacoplar PVC(x) e PVI(t), sendo o primeiro totalmente definido e o segundo parcialmente, pois CI não permite explicitar T(0) :

#3 Desacoplando PVCs/PVIs Ordinários : PVC(x) + PVI(t)

0)L(X,Lx:2.C.C

0)0(X,0x:1.C.C

X

X

)1(

)1(

)2(

==

==

= λ

λ=T.D

T

AB

)1(

≤≤

>===

=⇔=∂

∂∀=

=⇔=∂

∂∀=

==

2/Lx0,C

2/Lx,0)x(gC,0t:.I.C

0)t(T).L(X0x

C,t,Lx:2.C.C

0)t(T).0(X0x

C,t,0x:1.C.C

T

T

D

1

X

X

0AA

)1(A

)1(A

)1(

AB

)2(

λ




1b,0b,1a,0a

Lb,0a

0)x(q,1)x(p,1)x(r

PSLÉ

2121 ====

==

===

⇓

1)x(psob]L,0[em)x(XFamíliaDá n =⊥

0)L(X,Lx:2.C.C

0)0(X,0x:1.C.C

X

X

)1(

)1(

)2(

==

==

= λ

0)L(X,Lx:2.C.C

0)0(X,0x:1.C.C

0XX

)1(

)1(

)2(

==

==

=− λ



Solução : Eq. Característica :Raízes :

λθ

λθ

θ

±=

=−

=

0

)x.exp()x(X2


Caso 1 : λλλλ > 0 →→→→ Raízes Reais Distintas

Raízes :Solução EDO Hom. : )xexp(C)xexp(C)y(X 21H λλ

λθ

−+=

±=

Aplicando CCs :

=−+

=−

0)Lexp(C)Lexp(C

0CC

21

21

λλλλ


0)L(X,Lx:2.C.C

0)0(X,0x:1.C.C

0XX

)1(

)1(

)2(

==

==

=− λ




=+

=+

0C0.C

0C0.C

21

21


Aplicando CCs :

x.CC)x(X

0

21H +=

=±= λθ

Há Sol. não Trivial : 1H21 C)x(X0C,0C =⇒=≠


Registrando Sol. não Trivial : 1)x(X0 00 =⇒=λ





Aplicando CCs :

)xcos(C)x(senC)x(X

)x(senC)xcos(C)x(X

i

21)1(

H

21H

λλλλ

λλ

λλθ

−−+−−−=

−+−=

−±=±=

=−−+−−−

=+

0)Lcos(C)L(senC

0C0.C

21

21

λλλλ



,...)2,1n(L

n

,...)2,1n(nL0)L(sen

2

22

n

n

=−=⇒

=±=−⇒=−

πλ

πλλ

)L

xncos()

L

xncos()x(X)xcos(C)y(X n1H

ππλ =

±=⇒−=

0C,0C 21 =≠




,...)2,1n(L

xncos)x(X,

L

nn2

22

n =

=−=

ππλ

PVC(x) Finalizado.λλλλn , Xn(x) Obtidos.

Consolidando soluções não-triviais do PVC(x) : λλλλ = 0 e λλλλ < 0

1)x(X,0 00 ==λ

1)x(psob]L,0[em)x(X

,...)2,1,0n(L

xncos)x(X

,...)2,1,0n(L

n

n

n

2

22

n

=⊥

=

=

=−=

π

πλ



#6 Resolvendo PVIs Ordinários : PVI(t)

PVC(x) finalizou com

λ=T.D

T

AB

)1(

Convém escrever PVI(t) também indexado em n (n = 0,1,2,...)

1)x(psob]L,0[em)x(X

,...)2,1,0n(L

xncos)x(X

,...)2,1,0n(L

n

n

n

2

22

n

=⊥

=

=

=−=

π

πλ

)t..Dexp(C)t(T0T..DTT.D

TnABnnnnAB

)1(nn

nAB

)1(n λλλ =⇒=−⇒=

)L

t.Dnexp(C)t(T

2AB

22

nnπ

−=



#7 Resumo Resolução PVCs/PVIs Ordinários :

1)x(psob]L,0[em)x(X,,...)2,1,0n(L

xncos)x(X

,...)2,1,0n(L

n

nn

2

22

n

=⊥=

=

=−=

π

πλ

,...)2,1,0n()L

t.Dnexp(C)t(T

2AB

22

nn =−=π

Constante de Integração a Determinar com a C.I. não-desacoplada



#8 Recuperação da Separação da Solução da EDP :

)x(X).t(T)x,t(CA = ⇒ ∑∞

=

=0n

nnA )t(T).x(X)x,t(C

1)x(psob]L,0[em)x(X,,...)2,1,0n(L

xncos)x(X

,...)2,1,0n(L

n

nn

2

22

n

=⊥=

=

=−=

π

πλ

,...)2,1,0n()L

t.Dnexp(C)t(T

2AB

22

nn =−=π



#8 Recuperação da Separação da Solução da EDP :

Checando CCs do PVI ...

Resta Aplicar CI

−= ∑

∞

= L

xncos.

L

t.DnexpC)x,t(C

0n2

AB22

nAππ

0x

C,t,Lx:2.C.C

0x

C,t,0x:1.C.C

2/Lx0,C

2/Lx,0)x(gC,0t:.I.C

x

CD

t

C

A

A

0AA

2A

2

ABA

=∂

∂∀=

=∂

∂∀=

≤≤

>===

∂

∂=

∂

∂



#9 Aplicando C.I. Remanescente na Solução da EDP :

Esta é uma Série de Fourier para a Função g(x). Os Coeficientes Cn são obtidos com a Ortogonalidade das Funções cos(nππππx/L) em [0,L] sob p(x)=1

⇓ )x(gC,0t A ==

−= ∑

∞

= L

xncos.

L

t.DnexpC)x,t(C

0n2

AB22

nAππ

= ∑

∞

= L

xncos.C)x(g

0nn

π




+=

= ∑∑

∞

=

∞

= L

xncos.CC

L

xncos.C)x(g

1nn0

0nn

ππ

)1n(

dx).L

xn(cos

dx).L

xncos().x(g

CL

0

2

L

0n ≥=

∫

∫

π

π

)0n(L

dx.1).x(g

dx.1

dx.1).x(g

C

L

0L

0

2

L

00 ===

∫

∫

∫

2

C

L

dx.C

C 0A

2/L

00A

0 ==

∫)1n(

2

L

dx).L

xncos(.C

C

2/L

00A

n ≥=

∫π




+=

= ∑∑

∞

=

∞

= L

xncos.CC

L

xncos.C)x(g

1nn0

0nn

ππ

2

CC 0A

0 =

>−

>

=

=

−

)ímpar,0n(,n

)1(C2

)par,0n(0

2

nsen.

n

C2C

2

1n

0A

0An

π

π

π



#10 Consolidando a Solução da EDP para CA (t,x) : Exemplo 5.9

−= ∑

∞

= L

xncos.

L

t.DnexpC)x,t(C

0n2

AB22

nAππ

2

CC 0A

0 =

>−

>

=−

)ímpar,0n(,n

)1(C2

)par,0n(0

C

2

1n

0A

n

π




−+= ∑

∞

= L

xncos.

L

t.DnexpC

2

C)x,t(C

1n2

AB22

n0A

Aππ

>−

>

=−

)ímpar,0n(,n

)1(C2

)par,0n(0

C

2

1n

0A

n

π




−

−−+= ∑

∞

=− L

x)1n2(cos.

L

t.D)1n2(expC

2

C)x,t(C

1n2

AB22

1n20A

Aππ

,...)3,2,1n()1n2(

)1(C2C

1n0A

1n2 =−

−=

−

−π



#11 Aproximantes N=3,5,10,20, L=100m, Horiz=100s Ex. 5.9










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Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e ... Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP) 1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte As EDP-2 (Eq. Diferenciais