DIAGRAMAS DE BODE, NYQUIST E NICHOLS

Os diagramas de resposta em freqüência são muito úteis para analisar a estabilidade de um sistema realimentado.

Existem 3 formas de analisar a resposta em freqüência de um sistema em malha fechada: 1) através dos diagramas de Bode; 2) através do diagrama de Nyquist; 3) através do diagrama de Nichols. Os três diagramas contém as mesmas informações. O que muda é como estas informações estão disponíveis ao projetista. Eles são obtidos através da função de transferência em malha aberta. Como já foi falado, para desenhar estes gráficos, deve-se entrar com as informações do sistema em malha aberta. Esta é a grande vantagem destes métodos. Obtemos a informação sobre a estabilidade do sistema em malha fechada, com informações do sistema em malha aberta.

INFORMAÇÕES DO SISTEMA EM MALHA FECHADA Já foi falado que toda a análise de estabilidade é feita em cima das informações

do sistema em malha aberta. Mas algumas características do sistema em malha fechada podem ser muito úteis para se analisar o sistema. Entre elas citamos:

1) Pico de ressonância Mpω - é definido como o valor máximo de M(ω) dado pela equação M(ω) = módulo | G(jω) / (1 + G(jω))|

Mpω dá uma indicação da estabilidade relativa do sistema de controle realimentado. Normalmente um Mpω grande corresponde a um pico elevado de sobressinal na resposta degrau. O valor ótimo de Mp deve estar entre 1,1 e 1,5.

2) Freqüência de ressonância ωp - é definida como a freqüência na qual o pico de ressonância Mpω ocorre.

3) Largura de faixa - é definida como a freqüência na qual o módulo de M(jω) cai a 70,7 por cento da seu nível na freqüência zero, ou 3dB abaixo do ganho da freqüência zero.

A largura de faixa fornece uma indicação da velocidade do sistema. Um sistema com uma grande largura de faixa corresponde a um tempo de subida pequeno.

Obs: lembre-se que os diagramas de bode são obtidos a partir do sistema em

malha aberta, portanto não fornecem essas informações.

LARGURA DE FAIXA DO SISTEMA A largura de faixa (ou largura de banda) de um sistema de controle a malha

fechada é uma boa medida do intervalo de fidelidade da resposta do sistema. Em sistemas em que a magnitude em dB em baixas freqüências (ou em ω = 0) é 0dB no diagrama de Bode, a largura de banda ωB é medida na freqüência em que a magnitude torna-se –3dB. A velocidade de resposta a uma entrada do tipo degau será proporcional a ωB.

Como exemplo, considere os dois sistemas em malha fechada a seguir, com funções de transferência de malha fechada T1 e T2:

( )11

1T s

s=

+ e ( )2

15 1

T ss

=+

A resposta em freqüência, a resposta ao degrau e a resposta à rampa dos dois sistemas estão mostradas a seguir:

Considere agora os dois sistemas de segunda ordem a seguir, com funções de

transferência de malha fechada:

( )3 2

10010 100

T ss s

=+ +

e ( )4 2

90030 900

T ss s

=+ +

A taxa de amortecimento para ambos os sistemas é a mesma, dada por ζ=0,5.

A freqüência natural não amortecida é 10 e 30 para os sistemas T3 e T4, respectivamente.

Ambos os sistemas possuem sobrepasso de 15%, mas T4 possui um tempo de pico de 0,12 segundos, comparado a 0,36 segundos para T3.

Observe também que o tempo de assentamento (ou de estabilização ou de acomodação) para T4 é de 0.37 segundos, equanto que é de 0,9 segundos para T3.

RELAÇÃO Mp, ωp e LARGURA DE FAIXA para um sistema de 2a ordem

LUGARES DE M CONSTANTES NO PLANO G(jω) Dado um sistema em malha fechada com realimentação unitária:

Para o regime senoidal G(s) = G(jω) e G(jω)= Re G(jω) + jIm G(jω)= x+jy. Então

Reescrevendo esta equação, obtemos:

Que é a equação de um círculo. Para diferentes valores de M, são descritos um conjunto de círculos

denominados lugares de M constante (círculos M constantes)

ωp = ωn √ (1 - 2 ζ2) Mp = 1 2ζ √ (1 - ζ2)

Largura de faixa = ωn [(1 - 2 ζ2) + √ (4ζ4 - 4 ζ2 + 2)]1/2

M(s) = C(s) = G(s) R(s) 1 + G(s)

| M(s) | = G(s) = √ (x2 + y2) 1 + G(s) √ [(1+x)2 + y2]

[x - M2/(1-M2) ]2 + y2 = [M/(1-M2)]2

As intersecções entre o gráfico G(jω) e os lugares de M constante dão os valores do módulo em malha fechada na freqüência indicada sobre a curva de G(jω).

Se for desejado manter o valor de Mpω menor do que um certo valor, a curva G(jω) não deve interceptar o círculo correspondente de M neste ponto, e ao mesmo tempo não envolver o ponto (-1, j0).

O círculo de M constante de menor raio e que é tangente à curva G(jω) dá o valor de Mpω, e a freqüência de ressonância ωp é lida sobre o ponto de tangência na curva G(jω).

Figura - Diagramas polares de G(s) e lugares de M constante, mostrando o procedimento de determinação

de Mp e das curvas de módulo.

LUGARES DE FASE CONSTANTE NO PLANO G(jω) Para determinação dos lugares de fase constante do sistema em malha fechada,

partindo-se das equações:

Faz-se ∠M(jω) = ∠G(jω) - ∠(1+G(jω))

Fazendo N=tanφm, esta equação pode ser escrita como:

(x + 1/2)2 + (y - 1/2N)2 = 1/4 + 1/(4N2) Esta equação representa uma família de círculos:

φm(ω) = ∠M(jω) = tan-1 (y/x) - tan-1(y/(1+x))

M(jω) = G(jω) e G(jω) = x +jy 1 + G(jω)

LUGARES DE M e N CONSTANTES NO PLANO MÓDULO VERSUS FASE -

CARTA DE NICHOLS A desvantagem em se trabalhar com coordenadas polares para o gráfico de

G(jω) é que a curva se altera quando é feita alguma alteração, como por exemplo uma mudança de ganho.

No gráfico de módulo em função da fase, toda a curva G(jω) é deslocada quando o ganho é alterado.

Os lugares de M e N constantes em coordenadas polares podem ser transferidos para coordenadas de módulo em função da fase.

Dado um ponto sobre o círculo M constante no plano G(jω), o ponto correspondente no plano módulo versus fase pode ser determinado desenhando-se um vetor diretamente da origem do plano G(jω) ao ponto particular sobre o círculo de M constante.

O comprimento do vetor em decibéis e ângulo de fase em graus dão o correspondente ponto no plano de módulo em função da fase.

CARTA DE NICHOLS

USO DO MATLAB

n1=[1/120 1] n2=[-1/2 1] d1=[1 0] d2=[1/.1 1] n=conv(n1,n2) d=conv(d1,d2) sys=tf(n,d) %graficos de nichols w=logspace(-2,1,400) nichols(sys,w) ngrid grid

RELAÇÃO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO E MARGEM DE FASE