Microondas I

Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php

Sala 5017 Efernando.fernandes@uerj.br

Aula 10

Microondas I

Reflexão e transmissão de onda plana

- Exercício 1.9: Uma região entre z = 0 cm e z = 20 cm é preenchida por um meio com perdas, com um plano terra (condutor perfeito) em z = 20 cm.

A onda plana incidente, com frequência 3 GHz, no ponto z = 0 possui o campo elétrico

Os parâmetros do material são

Ei=x 100 e−γ z (V /m)

ϵr=3.0, tan δ=0.1 e μ=μ0

a) Calcule a densidade de potência da onda incidente (Si) e a densidade de potência da onda refletida (Sr), em z = 0.

b) Calcule a densidade de potência na entrada (Sin), em z = 0, a partir do campo total. Sin = Si – Sr ?

Microondas I

Reflexão e transmissão de onda plana

- Exercício 1.14: Um material dielétrico anisotrópico artificial possui o tensor de permitividade dado por:

Num certo ponto dentro do material o campo elétrico é conhecido e dado por:

E=3 x−2 y+5 z

Qual é o campode deslocamento elétrico D neste ponto ?

Microondas I

Reflexão e transmissão de onda plana

- Incidência oblíqua em interface dielétrica

→ Polarização paralela ao plano de incidência:

Coeficientes de reflexão e transmissão para polarização paralela ( || )

Angulo de Brewster = ângulo de extinção da componente paralela ao plano de incidência

(Qdoθ i=θb ⇒ Γ=0)⇒ senθb=√

1

1+ϵ1ϵ2

θi>θb⇒ Er fica polarizado em y

( E nas componentes x e z)

Revisão

Microondas I

Reflexão e transmissão de onda plana

Coeficientes de reflexão e transmissão para polarização perpendicular ( L )

→ Não existe ângulo de Brewster na polarização perpendicular.

- Incidência oblíqua em interface dielétrica

→ Polarização perpendicular ao plano de incidência: ( E na componente y )

→ Troca dos ângulos em relação a polarização paralela.

Γ≠0

Revisão

Microondas I

Reflexão e transmissão de onda plana

- Incidência oblíqua em interface dielétrica

→ Ondas de superfície => Qdo θi>θc → Para Ei na polarização||

Transmitida

cos θt=−iα/k2 ≡ Imsenθt=β/k 2 ≡ Re

* Substituindo nos campos

→ Reflexão e Transmissão

“ guia de onda”

“Como anteriormente, os coeficientes são obtidos das condições de contorno na interface para as componentes tangenciais dos campos.”

Revisão

Microondas I

Reflexão e transmissão de onda plana

- Incidência oblíqua em interface dielétrica

→ Ondas de superfície => Qdo θi>θc → Para Ei na polarização||

Transmitida

cos θt=−iα/k2 ≡ Imsenθt=β/k 2 ≡ Re

→ Vetor de Poynting (fluxo de potência)

“ guia de onda”

- Não há potência real transmitida para a região 2 (na direção z).

- A potência real é transmitida ao longo do plano da interface (na direção x).

Revisão

Microondas I

Teoremas uteis

- Teorema da reciprocidade de Lorentz

→ Paraoscampos ( E1 ; H 1)e( E2 ; H 2)e fontes de corrente( J 1 ; M1)e( J2 ; M 2)

* Forma geral do teorema da reciprocidade.

→ Na prática é aplicado a casos especiais levando a simplificações.

→ É equivalente ao teorema da reciprocidade da teoria de circuitos => reciprocidade entre circuitos cuja única diferença é a troca entre as posições de medida da corrente e tensão.

Microondas I

Teoremas uteis

- Teorema da reciprocidade de Lorentz

→ Paraoscampos ( E1 ; H 1)e( E2 ; H 2)e fontes de corrente( J 1 ; M1)e( J2 ; M 2)

Origem → As eq. de Maxwell devem ser satisfeitas independentemente:

→ Tomamos a quantidade:

Id. vetorial

∇ .( E1×H 2 − E2×H 1)

∇ .( A×B) = (∇× A). B − (∇×B). A

Usando o teorema da divergência →

(Forma geral)

Microondas I

Teoremas uteis

- Teorema da reciprocidade de Lorentz

Situações especiais → Qdo a superfície ‘S’ não envolve fontes ( J1= J2=M 1=M 2=0)

⇒ ∮S

E1×H 2 .d s = ∮S

E2×H 1 .d s

“ Os campos possuem fontes externas ao volume fechado S ”

Microondas I

Teoremas uteis

- Teorema da reciprocidade de Lorentz

Situações especiais → A superfície ‘S’ é perfeitamente condutora

⇒ ∮S

( E1× H 2 − E2×H 1) .d s = 0

No condutor perfeito, a componente do campo elétrico tangencial à superfície é nula.

⇒ σ→∞

3) Campo elétrico tangencial (Aula 3)

n× E = 0

* Equivale ao teorema da reciprocidade em teoria de circuitos!

Id. Vet. → E1× H 2 . n=(n×E1). H 2

Microondas I

Teoremas uteis

- Teorema da reciprocidade de Lorentz

Situações especiais → A superfície ‘S’ é uma esfera com raio no infinito (R→∞)

→ Os campos na superfície (muito) distante das fontes se aproximam localmente dos campos de uma onda plana.

H=n×Eη

( E1×H 2− E2×H 1). n = (n× E1) H 2−(n×E2) H 1* Usando id. Vetorial =>

⇒ H 1 . H 2−H 2 . H 1 = 0

(J1=J2=M 1=M 2=0)

* Equivale ao teorema da reciprocidade em teoria de circuitos!

Microondas I

Teoremas uteis

- Teorema da reciprocidade de Lorentz

“ Esse teorema possui várias aplicações. É utilizado na obenção de propriedades de matrizes de impedância em redes de micro-ondas (cap.4), e no acoplamento entre guias de onda e entre guias e fontes de corrente.”

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

“ O plano infinito de corrente ( ) gera ondas planas que refletem no plano terra ( ). As ondas refletidas se somam com as ondas geradas formando na região 0 < z < d um campo de ondas estacionárias. ”1. 2.

J s

Γ≈−1

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

“ O plano infinito de corrente ( ) gera ondas planas que refletem no plano terra ( ). As ondas refletidas se somam com as ondas geradas formando na região 0 < z < d um campo de ondas estacionárias. ”1. 2.

J s

Γ≈−1

=>

* Teoria da imagem – Removendo o plano terra e inserindo uma fonte imagem em z = - d, temos o mesmo resultado.

−J s

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

1. 2.

Campos Gerais

Região 1. (0 < z < d) → Onda estacionária (S)

Região 2. (z > d)

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

1. 2.

→ Aplicando condições de contorno na interface z = d:

( E2−E1)×n=M s

n×(H 2−H 1)= J s

Campos Gerais

Região 1. (0 < z < d) → Onda estacionária (S)

Região 2. (z > d)

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

1. 2.

→ Aplicando condições de contorno na interface z = d:

( E2−E1)×n=M s=0⇒ Exs=Ex

+

n×(H 2−H 1)= J s⇒ z×(H y+−H y

s) y=J s

Campos Gerais

Região 1. (0 < z < d) → Onda estacionária (S)

Região 2. (z > d)

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

1. 2.

⇒ A=−J s0 η0

2e−i k0d

⇒B=−i J s0 η0 sen k0d

→ Aplicando condições de contorno na interface z = d:

( E2−E1)×n=M s=0⇒ Exs=Ex

+

n×(H 2−H 1)= J s⇒ z×(H y+−H y

s) y=J s

Campos Gerais

Região 1. (0 < z < d) → Onda estacionária (S)

Região 2. (z > d)

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

1. 2.

Região 1. (0 < z < d) → Onda estacionária (S)

Região 2. (z > d)

Campos Totais

→ Aplicando condições de contorno na interface z = d:

A=−J s0 η0

2e−i k0d B=−i J s0 η0 sen k0d

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

1. 2.

=>

* Teoria da imagem – Removendo o plano terra e inserindo uma fonte imagem em z = - d ...

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

* Teoria da imagem – Removendo o plano terra e inserindo uma fonte imagem em z = - d ...

Campos da fonte Js em z = d: Campos da fonte -J

s em z = - d:

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

* Teoria da imagem – Removendo o plano terra e inserindo uma fonte imagem em z = - d ...

1° → Somando os campos elétricos progressivos, em z > d, obtemos:

E x=Ex (d )+Ex (−d )=J s0 η0

2[e−i k0(z+d)

−e−ik 0(z−d)]

⇒E x=−i J s 0 η0 sen k0 d e−i k0 z

E x=J s0 η0

2e−i k0 z (−2 i sen k0 d )

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

* Teoria da imagem – Removendo o plano terra e inserindo uma fonte imagem em z = - d, temos o mesmo resultado.

1° → Somando os campos elétricos progressivos, em z > d, obtemos:

E x=Ex (d )+Ex (−d )=J s0 η0

2[e−i k0(z+d)

−e−ik 0(z−d)]

⇒E x=−i J s 0 η0 sen k0 d e−i k0 z

Região 2. (z > d)

E x=J s0 η0

2e−i k0 z (−2 i sen k0 d )

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

* Teoria da imagem – Removendo o plano terra e inserindo uma fonte imagem em z = - d, temos o mesmo resultado.

1° → Somando os campos elétricos progressivos, em z > d, obtemos:

⇒E x=−i J s 0 η0 senk0 d e−i k0 z Região 2. (z > d)

* O mesmo resultado é obtido para o campo magnético e para as regiões 1. e 2.!

** Campos totais corretos só para z > 0.

1. 2.

Microondas I

Teoremas uteis

- Teoria da Imagem

Geometria original

Imagem equivalente

Corrente elétrica

Geometria original

Imagem equivalente

Corrente magnética

J s−J s

J s J sJ s

J sM s

−M s

M sM s

M s M s

Microondas I

Teoremas uteis

Exercício 1.17 – Considere uma densidade superficial de corrente elétrica

localizada num plano em z = d. Se um plano terra condutor (perfeito) esta localizado em z = 0, use a teoria da imagem para encontrar os campos totais para z > 0.

J s= y J 0e−β x A /m