MINISTEacuteRIO DA EDUCACcedilAtildeO

UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI

Faculdade Interdisciplinar de Humanidades

Licenciatura em Educaccedilatildeo do Campo

FIH LEC

Unidades de Medida Cinemaacutetica e as Leis de Newton

Prof Luciano Soares Pedroso

Sumaacuterio CAPIacuteTULO I 3

1 ndash Mediccedilatildeo Grandezas e Medidas Fiacutesicas 3

11 Introduccedilatildeo 3

12 Grandezas Fiacutesicas Escalares e Vetoriais 3

13 Grandezas Fiacutesicas Fundamentais e Derivadas 3

14 Medidas Fiacutesicas 4

15 Mediccedilatildeo Medida Unidade e Padratildeo 4

151 Um Exemplo 4

16 Definiccedilatildeo das Unidades de Medida Fundamentais 5

17 Mediccedilatildeo Direta ou Indireta de uma Grandeza Fiacutesica 5

CAPIacuteTULO 2 6

2 ndash Unidades de Medidas e Principais Grandezas 6

21 Padrotildees usados para avaliar Grandezas Fiacutesicas 6

22 Sistemas Consuetudinaacuterios 6

23 Primeiros Sistemas 6

23 Primeiros Padrotildees 7

24 Sistemas Inglecircs e Norte-Americano 7

25 Principais Grandezas 7

251 Comprimento 8

252 Aacuterea 9

253 Volume 9

254 Acircngulo Plano 9

255 Acircngulo Soacutelido 9

256 Massa 10

257 Tempo 10

258 Velocidade 10

259 Velocidade Angular 10

2510 Aceleraccedilatildeo 11

2511 Frequecircncia 11

2512 Forccedila 11

2513 Energia 11

2514 Potecircncia 11

2515 Intensidade Energeacutetica 11

2516 Pressatildeo 11

2517 Corrente Eleacutetrica 12

2518 Carga Eleacutetrica 12

2519 Diferenccedila de Potencial 12

2520 Resistecircncia Eleacutetrica 12

2521 Capacitacircncia Eleacutetrica 12

2522 Indutacircncia Eleacutetrica 12

2523 Temperatura 12

2524 Quantidade De Mateacuteria 13

2525 Intensidade Luminosa 13

2526 Fluxo Luminoso 13

2527 Iluminamento 13

2528 Informaacutetica 13

3 - Exerciacutecios 13

31 Agora Pratique 13

CAPIacuteTULO 3 15

3- RELACcedilOtildeES ENTRE DUAS GRANDEZAS FIacuteSICAS 15

31 RELACcedilOtildeES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 15

32 RELACcedilOtildeES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 16

33 GRANDEZAS FIacuteSICAS INDEPENDENTES 17

CAPIacuteTULO 4 18

4 AVENTURA MEacuteTRICA 18

41 O PAPEL DE CADA DIA 18

42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE VEGETAL 20

43 ALGUNS PREFIXOS DAS UNIDADES DO SISTEMA INTERNACIONAL 21

Referecircncias 22

3

CAPIacuteTULO I

1 ndash Mediccedilatildeo Grandezas e Medidas Fiacutesicas

11 Introduccedilatildeo

A palavra Fiacutesica tem origem grega (physike) e significa ciecircncia da natureza A Fiacutesica eacute

uma das ciecircncias que estuda a natureza e suas propriedades Todo o fato ou transformaccedilatildeo que

ocorre com os corpos na natureza eacute chamado de fenocircmeno Normalmente os fenocircmenos que ocorrem com a mateacuteria inanimada que natildeo alteram a natureza dos corpos satildeo chamados de

fenocircmenos fiacutesicos e satildeo estudados principalmente pela Fiacutesica O estudo dos fenocircmenos fiacutesicos

pode ser qualitativo ou quantitativo O estudo quantitativo aleacutem de descrever os fenocircmenos

fiacutesicos como no qualitativo realiza mensuraccedilotildees nos fenocircmenos estudados isto eacute associa nuacutemeros agraves propriedades dos fenocircmenos

12 Grandezas Fiacutesicas Escalares e Vetoriais

A palavra grandeza do latim grandis refere-se a tudo aquilo que eacute suscetiacutevel de avaliaccedilatildeo No caso em que esta avaliaccedilatildeo pode ser realizada com instrumentos e expressa em

padrotildees previamente definidos e aceitos pela comunidade cientiacutefica denominamos de grandezas

fiacutesicas As grandezas fiacutesicas quanto agrave sua natureza podem ser classificadas em duas espeacutecies

as escalares e as vetoriais

a) As grandezas fiacutesicas escalares satildeo grandezas que ficam completamente determinadas

quando delas se conhecem a intensidade ou seja o valor numeacuterico e a correspondente

unidade de medida Satildeo exemplos de grandezas fiacutesicas escalares

- a massa de uma pessoa 90 kg - a idade de uma pessoa 54 anos

- a altura de uma pessoa 185 m

- a temperatura de uma pessoa 36degC

b) As grandezas fiacutesicas vetoriais satildeo grandezas que soacute ficam completamente determinadas

quando delas se conhecem aleacutem do valor numeacuterico e correspondente unidade de medida

(intensidade) a sua direccedilatildeo e sentido de atuaccedilatildeo (orientaccedilatildeo) A direccedilatildeo de uma grandeza fiacutesica corresponde a um segmento de reta e o seu sentido eacute representado por uma seta Satildeo

representadas matematicamente por vetores Satildeo exemplos de grandezas fiacutesicas vetoriais

- o deslocamento de um carro 30 km NorteSul para o Norte - velocidade de um balatildeo 30 ms vertical e para cima

- peso de uma pessoa na Terra 600 N vertical e para baixo

13 Grandezas Fiacutesicas Fundamentais e Derivadas

Quando se forma um sistema de unidades fiacutesicas escolhe-se certo nuacutemero de

grandezas e unidades como fundamentais e as demais grandezas e unidades satildeo deduzidas a

partir destas e denominadas grandezas e unidades derivadas Atualmente satildeo sete as grandezas fundamentais que permitem exprimir qualquer das

grandezas fiacutesicas dos vaacuterios ramos da Fiacutesica a saber comprimento (m) massa (kg) tempo(s)

intensidade da corrente eleacutetrica (A) temperatura termodinacircmica (K) intensidade

luminosa (cd) e quantidade de mateacuteria (mol)

4

As grandezas fiacutesicas derivadas satildeo expressas atraveacutes da relaccedilatildeo estabelecida entre uma

ou mais grandezas fiacutesicas fundamentais Algumas a saber volume (m3) velocidade (ms)

aceleraccedilatildeo (ms2) forccedila (N) energia (J) e pressatildeo (Pa)

14 Medidas Fiacutesicas

A mediccedilatildeo operaccedilatildeo pela qual associamos nuacutemeros agraves propriedades fiacutesicas dos corpos e da natureza eacute de importacircncia fundamental para diversas ciecircncias ditas exatas como a Fiacutesica a

Matemaacutetica e a Quiacutemica Enquanto nos limitamos apenas a observar os fenocircmenos fiacutesicos sem

associar nuacutemeros agraves nossas observaccedilotildees estamos estudando os fenocircmenos apenas qualitativamente no momento em que

caracterizamos nossas observaccedilotildees por resultados numeacutericos

estaremos fazendo o estudo quantitativo (PAULI 1979 p46)

Haacute ateacute uma famosa frase atribuiacuteda ao Lorde Kelvin cientista inglecircs do seacuteculo XIX sobre o assunto

ldquoSe vocecirc pode medir aquilo do que fala e exprimi-lo por um nuacutemero eacute

porque conhece alguma coisa do assunto Em caso contraacuterio o seu

conhecimento eacute precaacuterio Lorde Kelvinrdquo (PAULI 1978 p 4)

15 Mediccedilatildeo Medida Unidade e Padratildeo

Medir uma grandeza fiacutesica eacute determinar por comparaccedilatildeo quantas vezes ela conteacutem

outro intervalo daquela mesma espeacutecie de grandeza arbitrariamente escolhido como sendo unitaacuterio

Este intervalo unitaacuterio eacute chamado de unidade

A mediccedilatildeo eacute o ato de medir A medida eacute o resultado obtido de uma mediccedilatildeo A medida deve

ser expressa atraveacutes de um valor numeacuterico que representa quantas vezes a grandeza fiacutesica conteacutem a unidade usada na mediccedilatildeo e um siacutembolo que representa a unidade da grandeza

utilizada A cada medida estaacute associado um erro ldquomediu errourdquo (PEDROSO

2014 p 154)

A representaccedilatildeo material ou natildeo de um corpo ou ente fiacutesico da unidade arbitrada eacute chamada

de padratildeo

151 Um Exemplo

Vamos supor que se queira determinar o comprimento da mesa da sala de aula

utilizando uma caneta esferograacutefica cujo comprimento seraacute tomado como referecircncia de

comparaccedilatildeo Se encontrarmos para o comprimento da mesa _____ comprimentos da caneta (____ ct) teremos a situaccedilatildeo ilustrada na Figura 1

5

Figura 1 Mediccedilatildeo do comprimento da mesa da sala de aula

Neste caso o padratildeo de medida eacute a caneta ou seja corpo ou ente fiacutesico que conteacutem ou porta a unidade arbitrada a unidade de medida eacute o comprimento da caneta representada por

ct e amedida do comprimento da mesa eacute _____ ct

Note que a grandeza medida o comprimento da mesa e a unidade de medida utilizada devem

ser grandezas fiacutesicas de mesma espeacutecie neste exemplo comprimento

16 Definiccedilatildeo das Unidades de Medida Fundamentais

Os cientistas e teacutecnicos procuram definir unidades e padrotildees de medida que possam ser

obtidos e utilizados de maneira segura sem variaccedilotildees ou deformaccedilotildees em todo o universo ditas universais atraveacutes do Sistema Internacional de Unidades (SI) regulamentados em

Conferecircncias Gerais de Pesos e Medidas (INMETRO 2007) Veja as definiccedilotildees de algumas

destas unidades na Tabela 1 logo mais abaixo

17 Mediccedilatildeo Direta ou Indireta de uma Grandeza Fiacutesica

Para medir diretamente uma grandeza fiacutesica deveremos comparaacute-la diretamente com

outra grandeza de mesma espeacutecie utilizada como unidade de medida O resultado desta comparaccedilatildeo eacute um nuacutemero que indicaraacute o nuacutemero de vezes que a unidade adotada estaacute contida

(muacuteltiplo) ou conteacutem (submuacuteltiplo) na grandeza fiacutesica medida Satildeo exemplos de mediccedilotildees

diretas - a determinaccedilatildeo da massa de uma pessoa numa balanccedila com capacidade 150 kg

- a determinaccedilatildeo da altura de um livro com uma reacutegua de 50 cm

- a determinaccedilatildeo do tempo de oscilaccedilatildeo de um pecircndulo com um cronocircmetro

- a determinaccedilatildeo do volume de um tonel utilizando um frasco com volume de 1 litro

Quando se torna difiacutecil ou impraticaacutevel a determinaccedilatildeo direta por comparaccedilatildeo da

medida de uma grandeza fiacutesica lanccedilamos matildeo de um processo indireto a mediccedilatildeo indireta Isto normalmente acontece ou quando natildeo possuiacutemos uma unidade adequada para a comparaccedilatildeo

da grandeza ou por deficiecircncia de precisatildeo do instrumento de medida utilizado Logo a

mediccedilatildeo indireta de uma grandeza fiacutesica costuma ser composta por um conjunto de uma ou mais mediccedilotildees diretas de grandezas de mesma espeacutecie ou grandezas relacionadas acrescidas de

operaccedilotildees matemaacuteticas suportadas por teorias que relacionam as diversas grandezas com aquela

a ser medida que conduzem agrave medida procurada Satildeo exemplos de medidas indiretas

- a determinaccedilatildeo da espessura meacutedia de uma folha de caderno atraveacutes da mediccedilatildeo da espessura

de um grande nuacutemero de folhas deste

- determinaccedilatildeo da altura de um poste atraveacutes da mediccedilatildeo do comprimento de sua sombra e do acircngulo de inclinaccedilatildeo da luz solar

6

- a determinaccedilatildeo do volume de uma gota de aacutegua atraveacutes da determinaccedilatildeo do volume de um

grande nuacutemero de gotas de aacutegua - a determinaccedilatildeo da velocidade de propagaccedilatildeo do som no ar atraveacutes da determinaccedilatildeo da

distacircncia percorrida pelo som no ar e do intervalo de tempo envolvido em percorrecirc-la e

posterior divisatildeo destas grandezas

CAPIacuteTULO 2

2 ndash Unidades de Medidas e Principais Grandezas

21 Padrotildees usados para avaliar Grandezas Fiacutesicas

Os padrotildees adotados nos dias de hoje satildeo definidos arbitrariamente e tecircm como

referecircncia um padratildeo material As grandezas podem ser mecacircnicas oacutepticas geomeacutetricas acuacutesticas ou luminosas Medir significa comparar uma grandeza com uma unidade de referecircncia

da mesma espeacutecie e estabelecer o (inteiro ou fracionaacuterio) de vezes que a grandeza conteacutem a

unidade

A Ciecircncia que se ocupa Metrologia eacute a ciecircncia que estuda normatiza e codifica os conhecimentos relativos a medidas padrotildees e unidades de medir meacutetodos teacutecnicas e

instrumentos de mediccedilatildeo Estimar e avaliar grandezas diversas satildeo capacidades e habilidades

desenvolvidas pela humanidade desde o iniacutecio de sua evoluccedilatildeo cultural

Na preacute-histoacuteria o homem apenas compara volumes e peso sem medi-los Com o

crescimento demograacutefico o surgimento das cidades e dos sistemas de trocas satildeo fixadas

unidades que permitam uma comparaccedilatildeo mais precisa entre objetos

22 Sistemas Consuetudinaacuterios

Ateacute o final do seacuteculo XVIII todos os sistemas de medidas existentes satildeo

consuetudinaacuterios ou seja baseados nos costumes e nas tradiccedilotildees Os primeiros padrotildees

utilizados para medir satildeo partes do corpo humano ndash palma da matildeo polegada braccedilo ou uma

passada ndash e utensiacutelios de uso cotidiano como cuias e vasilhas

Com o tempo cada civilizaccedilatildeo define padrotildees e fixa suas proacuteprias unidades de medidas

Daiacute a multiplicidade de sistemas de mediccedilatildeo existente desde a Antiguidade

23 Primeiros Sistemas

As diferentes civilizaccedilotildees comeccedilam a padronizar as unidades de medidas jaacute na

Antiguidade Antes disso as mediccedilotildees natildeo eram muito precisas O cocircvado egiacutepcio por exemplo eacute uma medida de comprimento cujo padratildeo eacute a distacircncia entre o cotovelo e a ponta do

dedo meacutedio estando o braccedilo e o antebraccedilo dobrados em acircngulo reto e a matildeo esticada A milha eacute

a distacircncia percorrida em uma passada

Com esses tipos de unidades as mediccedilotildees podem dar resultados tatildeo variados quantas satildeo as diferenccedilas individuais do corpo humano A padronizaccedilatildeo eacute feita pela definiccedilatildeo de

unidades meacutedias fixadas atraveacutes de padrotildees materiais construiacutedos em pedra argila ou ligas

metaacutelicas

7

23 Primeiros Padrotildees

O surgimento de padrotildees materiais de referecircncia para as unidades de medidas marca o iniacutecio da construccedilatildeo dos primeiros sistemas de pesos e medidas Eles estatildeo presentes nas

civilizaccedilotildees da Assiacuteria Babilocircnia Caldeacuteia e Egito

Os padrotildees de peso mais antigos ateacute hoje conhecidos datam do quarto milecircnio antes de

Cristo Satildeo pequenos cilindros de base cocircncava com cerca de 13 gramas encontrados nos

tuacutemulos de Amrah no Egito

O sistema egiacutepcio tem grande influecircncia sobre os povos da Antiguidade Do vale do Rio Nilo espalha-se pela Judeacuteia Aacutesia Menor e Greacutecia chega agraves colocircnias gregas da Peniacutensula Itaacutelica

e mais tarde eacute levado pelos romanos para as diferentes regiotildees da Europa Mistura-se entatildeo

aos sistemas locais assumindo novas caracteriacutesticas

24 Sistemas Inglecircs e Norte-Americano

A Inglaterra normatiza seu sistema consuetudinaacuterio de pesos e medidas logo apoacutes a promulgaccedilatildeo da Carta Magna em 1215 O sistema usado por mais de 600 anos tambeacutem eacute

adotado pelas ex-colocircnias inglesas Os Estados Unidos usam o mesmo sistema inglecircs com

pequenas modificaccedilotildees

Atualmente embora o Parlamento britacircnico tenha decidido pela adesatildeo do paiacutes ao Sistema Internacional de Unidades a populaccedilatildeo inglesa continua utilizando o antigo sistema em

seu dia-a-dia Nos Estados Unidos o sistema meacutetrico eacute oficialmente permitido desde 1866 e em

1959 as unidades de medidas tradicionais passam a ser definidas em funccedilatildeo do Sistema

Internacional de Unidades Nos anos 60 o paiacutes inicia um movimento de conversatildeo para o Sistema Internacional A populaccedilatildeo no entanto tambeacutem tem resistido em abandonar as antigas

medidas

25 Principais Grandezas

O Sistema Internacional de Unidades (SI) eacute o mais aceito em todo o mundo No entanto

ainda satildeo usadas unidades tradicionais de origem consuetudinaacuteria ou de sistemas anteriores agrave

elaboraccedilatildeo do SI

Tabela 1 Unidades de medida no SI

GRANDEZA UNIDADE SIacuteMBOLO DEFINICcedilAtildeO

Comprimento Metro m

ldquo o comprimento do percurso coberto pela luz no vaacutecuo em

1299 792 458 de um segundordquo

(1983)

Massa Quilograma kg

ldquo este protoacutetipo (um certo cilindro

de liga de platina-iriacutedio) seraacute

considerado daqui por diante a

unidade de massardquo (1889)

Obs O protoacutetipo foi baseado na

massa de aacutegua a 4 degC contida em

um cubo de 10 centiacutemetros de

aresta

Tempo Segundo s

ldquo a duraccedilatildeo de 9 192 631 770

vibraccedilotildees da transiccedilatildeo entre dois

niacuteveis hiperfinos do estado fundamental do aacutetomo de ceacutesio

133rdquo (1967)

8

Corrente

eleacutetrica ampegravere A

ldquo a corrente constante que

mantida em dois condutores

retiliacuteneos paralelos de

comprimento infinito de seccedilatildeo

circular despreziacutevel e separados

pela distacircncia de 1 metro no vaacutecuo provoca entre estes condutores uma

forccedila igual a 210-7 Newton por

metro de comprimentordquo (1946)

Temperatura Kelvin K

ldquo a fraccedilatildeo 127316 da

temperatura termodinacircmica do

ponto triplo da aacuteguardquo (1967)

Obs A temperatura relativa na

escala Celsius eacute definida por t = T

- To onde To = 27315 K por

definiccedilatildeo

Quantidade de

mateacuteria mol mol

ldquo a quantidade de substacircncia de

um sistema que conteacutem tantas

entidades elementares quanto satildeo os aacutetomos em 0012 quilogramas de

carbono 12rdquo (1971)

Intensidade

luminosa candela cd

ldquoa intensidade luminosa na

direccedilatildeo perpendicular de uma

superfiacutecie de 1600 000 metros

quadrados de um corpo negro na

temperatura de solidificaccedilatildeo da

platina sob a pressatildeo de 101325

Newton por metro quadradordquo

(1967)

Obs a temperatura de solidificaccedilatildeo

da platina sob a referida pressatildeo eacute 2043 K

httpwwwwebcalccombr (paacutegina com simuladores de conversotildees de medidas)

251 Comprimento

Metro (m) unidade SI distacircncia percorrida pela luz no vaacutecuo em um intervalo de tempo igual a

1299792458 s

Unidades de comprimento tradicionais

Quilocircmetro (km) 1000 m

palmo 22 cm

braccedila 22m leacutegua 6 km

leacutegua brasileira 66 km

Unidades de comprimento inglesas

Polegada (in) 254 cm ou 00254 m

peacute (ft) 3048 cm ou 03048 m

jarda (yd) 9144 cm ou 09144 m milha (mi) 1609 m

milha naacuteutica 1852 m

259 Velocidade Angular 10

2510 Aceleraccedilatildeo 11

2511 Frequecircncia 11

2512 Forccedila 11

2513 Energia 11

2514 Potecircncia 11

2515 Intensidade Energeacutetica 11

2516 Pressatildeo 11

2517 Corrente Eleacutetrica 12

2518 Carga Eleacutetrica 12

2519 Diferenccedila de Potencial 12

2520 Resistecircncia Eleacutetrica 12

2521 Capacitacircncia Eleacutetrica 12

2522 Indutacircncia Eleacutetrica 12

2523 Temperatura 12

2524 Quantidade De Mateacuteria 13

2525 Intensidade Luminosa 13

2526 Fluxo Luminoso 13

2527 Iluminamento 13

2528 Informaacutetica 13

3 - Exerciacutecios 13

31 Agora Pratique 13

CAPIacuteTULO 3 15

3- RELACcedilOtildeES ENTRE DUAS GRANDEZAS FIacuteSICAS 15

31 RELACcedilOtildeES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 15

32 RELACcedilOtildeES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 16

33 GRANDEZAS FIacuteSICAS INDEPENDENTES 17

CAPIacuteTULO 4 18

4 AVENTURA MEacuteTRICA 18

41 O PAPEL DE CADA DIA 18

42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE VEGETAL 20

43 ALGUNS PREFIXOS DAS UNIDADES DO SISTEMA INTERNACIONAL 21

Referecircncias 22

3

CAPIacuteTULO I

1 ndash Mediccedilatildeo Grandezas e Medidas Fiacutesicas

11 Introduccedilatildeo

A palavra Fiacutesica tem origem grega (physike) e significa ciecircncia da natureza A Fiacutesica eacute

uma das ciecircncias que estuda a natureza e suas propriedades Todo o fato ou transformaccedilatildeo que

ocorre com os corpos na natureza eacute chamado de fenocircmeno Normalmente os fenocircmenos que ocorrem com a mateacuteria inanimada que natildeo alteram a natureza dos corpos satildeo chamados de

fenocircmenos fiacutesicos e satildeo estudados principalmente pela Fiacutesica O estudo dos fenocircmenos fiacutesicos

pode ser qualitativo ou quantitativo O estudo quantitativo aleacutem de descrever os fenocircmenos

fiacutesicos como no qualitativo realiza mensuraccedilotildees nos fenocircmenos estudados isto eacute associa nuacutemeros agraves propriedades dos fenocircmenos

12 Grandezas Fiacutesicas Escalares e Vetoriais

A palavra grandeza do latim grandis refere-se a tudo aquilo que eacute suscetiacutevel de avaliaccedilatildeo No caso em que esta avaliaccedilatildeo pode ser realizada com instrumentos e expressa em

padrotildees previamente definidos e aceitos pela comunidade cientiacutefica denominamos de grandezas

fiacutesicas As grandezas fiacutesicas quanto agrave sua natureza podem ser classificadas em duas espeacutecies

as escalares e as vetoriais

a) As grandezas fiacutesicas escalares satildeo grandezas que ficam completamente determinadas

quando delas se conhecem a intensidade ou seja o valor numeacuterico e a correspondente

unidade de medida Satildeo exemplos de grandezas fiacutesicas escalares

- a massa de uma pessoa 90 kg - a idade de uma pessoa 54 anos

- a altura de uma pessoa 185 m

- a temperatura de uma pessoa 36degC

b) As grandezas fiacutesicas vetoriais satildeo grandezas que soacute ficam completamente determinadas

quando delas se conhecem aleacutem do valor numeacuterico e correspondente unidade de medida

(intensidade) a sua direccedilatildeo e sentido de atuaccedilatildeo (orientaccedilatildeo) A direccedilatildeo de uma grandeza fiacutesica corresponde a um segmento de reta e o seu sentido eacute representado por uma seta Satildeo

representadas matematicamente por vetores Satildeo exemplos de grandezas fiacutesicas vetoriais

- o deslocamento de um carro 30 km NorteSul para o Norte - velocidade de um balatildeo 30 ms vertical e para cima

- peso de uma pessoa na Terra 600 N vertical e para baixo

13 Grandezas Fiacutesicas Fundamentais e Derivadas

Quando se forma um sistema de unidades fiacutesicas escolhe-se certo nuacutemero de

grandezas e unidades como fundamentais e as demais grandezas e unidades satildeo deduzidas a

partir destas e denominadas grandezas e unidades derivadas Atualmente satildeo sete as grandezas fundamentais que permitem exprimir qualquer das

grandezas fiacutesicas dos vaacuterios ramos da Fiacutesica a saber comprimento (m) massa (kg) tempo(s)

intensidade da corrente eleacutetrica (A) temperatura termodinacircmica (K) intensidade

luminosa (cd) e quantidade de mateacuteria (mol)

4

As grandezas fiacutesicas derivadas satildeo expressas atraveacutes da relaccedilatildeo estabelecida entre uma

ou mais grandezas fiacutesicas fundamentais Algumas a saber volume (m3) velocidade (ms)

aceleraccedilatildeo (ms2) forccedila (N) energia (J) e pressatildeo (Pa)

14 Medidas Fiacutesicas

A mediccedilatildeo operaccedilatildeo pela qual associamos nuacutemeros agraves propriedades fiacutesicas dos corpos e da natureza eacute de importacircncia fundamental para diversas ciecircncias ditas exatas como a Fiacutesica a

Matemaacutetica e a Quiacutemica Enquanto nos limitamos apenas a observar os fenocircmenos fiacutesicos sem

associar nuacutemeros agraves nossas observaccedilotildees estamos estudando os fenocircmenos apenas qualitativamente no momento em que

caracterizamos nossas observaccedilotildees por resultados numeacutericos

estaremos fazendo o estudo quantitativo (PAULI 1979 p46)

Haacute ateacute uma famosa frase atribuiacuteda ao Lorde Kelvin cientista inglecircs do seacuteculo XIX sobre o assunto

ldquoSe vocecirc pode medir aquilo do que fala e exprimi-lo por um nuacutemero eacute

porque conhece alguma coisa do assunto Em caso contraacuterio o seu

conhecimento eacute precaacuterio Lorde Kelvinrdquo (PAULI 1978 p 4)

15 Mediccedilatildeo Medida Unidade e Padratildeo

Medir uma grandeza fiacutesica eacute determinar por comparaccedilatildeo quantas vezes ela conteacutem

outro intervalo daquela mesma espeacutecie de grandeza arbitrariamente escolhido como sendo unitaacuterio

Este intervalo unitaacuterio eacute chamado de unidade

A mediccedilatildeo eacute o ato de medir A medida eacute o resultado obtido de uma mediccedilatildeo A medida deve

ser expressa atraveacutes de um valor numeacuterico que representa quantas vezes a grandeza fiacutesica conteacutem a unidade usada na mediccedilatildeo e um siacutembolo que representa a unidade da grandeza

utilizada A cada medida estaacute associado um erro ldquomediu errourdquo (PEDROSO

2014 p 154)

A representaccedilatildeo material ou natildeo de um corpo ou ente fiacutesico da unidade arbitrada eacute chamada

de padratildeo

151 Um Exemplo

Vamos supor que se queira determinar o comprimento da mesa da sala de aula

utilizando uma caneta esferograacutefica cujo comprimento seraacute tomado como referecircncia de

comparaccedilatildeo Se encontrarmos para o comprimento da mesa _____ comprimentos da caneta (____ ct) teremos a situaccedilatildeo ilustrada na Figura 1

5

Figura 1 Mediccedilatildeo do comprimento da mesa da sala de aula

Neste caso o padratildeo de medida eacute a caneta ou seja corpo ou ente fiacutesico que conteacutem ou porta a unidade arbitrada a unidade de medida eacute o comprimento da caneta representada por

ct e amedida do comprimento da mesa eacute _____ ct

Note que a grandeza medida o comprimento da mesa e a unidade de medida utilizada devem

ser grandezas fiacutesicas de mesma espeacutecie neste exemplo comprimento

16 Definiccedilatildeo das Unidades de Medida Fundamentais

Os cientistas e teacutecnicos procuram definir unidades e padrotildees de medida que possam ser

obtidos e utilizados de maneira segura sem variaccedilotildees ou deformaccedilotildees em todo o universo ditas universais atraveacutes do Sistema Internacional de Unidades (SI) regulamentados em

Conferecircncias Gerais de Pesos e Medidas (INMETRO 2007) Veja as definiccedilotildees de algumas

destas unidades na Tabela 1 logo mais abaixo

17 Mediccedilatildeo Direta ou Indireta de uma Grandeza Fiacutesica

Para medir diretamente uma grandeza fiacutesica deveremos comparaacute-la diretamente com

outra grandeza de mesma espeacutecie utilizada como unidade de medida O resultado desta comparaccedilatildeo eacute um nuacutemero que indicaraacute o nuacutemero de vezes que a unidade adotada estaacute contida

(muacuteltiplo) ou conteacutem (submuacuteltiplo) na grandeza fiacutesica medida Satildeo exemplos de mediccedilotildees

diretas - a determinaccedilatildeo da massa de uma pessoa numa balanccedila com capacidade 150 kg

- a determinaccedilatildeo da altura de um livro com uma reacutegua de 50 cm

- a determinaccedilatildeo do tempo de oscilaccedilatildeo de um pecircndulo com um cronocircmetro

- a determinaccedilatildeo do volume de um tonel utilizando um frasco com volume de 1 litro

Quando se torna difiacutecil ou impraticaacutevel a determinaccedilatildeo direta por comparaccedilatildeo da

medida de uma grandeza fiacutesica lanccedilamos matildeo de um processo indireto a mediccedilatildeo indireta Isto normalmente acontece ou quando natildeo possuiacutemos uma unidade adequada para a comparaccedilatildeo

da grandeza ou por deficiecircncia de precisatildeo do instrumento de medida utilizado Logo a

mediccedilatildeo indireta de uma grandeza fiacutesica costuma ser composta por um conjunto de uma ou mais mediccedilotildees diretas de grandezas de mesma espeacutecie ou grandezas relacionadas acrescidas de

operaccedilotildees matemaacuteticas suportadas por teorias que relacionam as diversas grandezas com aquela

a ser medida que conduzem agrave medida procurada Satildeo exemplos de medidas indiretas

- a determinaccedilatildeo da espessura meacutedia de uma folha de caderno atraveacutes da mediccedilatildeo da espessura

de um grande nuacutemero de folhas deste

- determinaccedilatildeo da altura de um poste atraveacutes da mediccedilatildeo do comprimento de sua sombra e do acircngulo de inclinaccedilatildeo da luz solar

6

- a determinaccedilatildeo do volume de uma gota de aacutegua atraveacutes da determinaccedilatildeo do volume de um

grande nuacutemero de gotas de aacutegua - a determinaccedilatildeo da velocidade de propagaccedilatildeo do som no ar atraveacutes da determinaccedilatildeo da

distacircncia percorrida pelo som no ar e do intervalo de tempo envolvido em percorrecirc-la e

posterior divisatildeo destas grandezas

CAPIacuteTULO 2

2 ndash Unidades de Medidas e Principais Grandezas

21 Padrotildees usados para avaliar Grandezas Fiacutesicas

Os padrotildees adotados nos dias de hoje satildeo definidos arbitrariamente e tecircm como

referecircncia um padratildeo material As grandezas podem ser mecacircnicas oacutepticas geomeacutetricas acuacutesticas ou luminosas Medir significa comparar uma grandeza com uma unidade de referecircncia

da mesma espeacutecie e estabelecer o (inteiro ou fracionaacuterio) de vezes que a grandeza conteacutem a

unidade

A Ciecircncia que se ocupa Metrologia eacute a ciecircncia que estuda normatiza e codifica os conhecimentos relativos a medidas padrotildees e unidades de medir meacutetodos teacutecnicas e

instrumentos de mediccedilatildeo Estimar e avaliar grandezas diversas satildeo capacidades e habilidades

desenvolvidas pela humanidade desde o iniacutecio de sua evoluccedilatildeo cultural

Na preacute-histoacuteria o homem apenas compara volumes e peso sem medi-los Com o

crescimento demograacutefico o surgimento das cidades e dos sistemas de trocas satildeo fixadas

unidades que permitam uma comparaccedilatildeo mais precisa entre objetos

22 Sistemas Consuetudinaacuterios

Ateacute o final do seacuteculo XVIII todos os sistemas de medidas existentes satildeo

consuetudinaacuterios ou seja baseados nos costumes e nas tradiccedilotildees Os primeiros padrotildees

utilizados para medir satildeo partes do corpo humano ndash palma da matildeo polegada braccedilo ou uma

passada ndash e utensiacutelios de uso cotidiano como cuias e vasilhas

Com o tempo cada civilizaccedilatildeo define padrotildees e fixa suas proacuteprias unidades de medidas

Daiacute a multiplicidade de sistemas de mediccedilatildeo existente desde a Antiguidade

23 Primeiros Sistemas

As diferentes civilizaccedilotildees comeccedilam a padronizar as unidades de medidas jaacute na

Antiguidade Antes disso as mediccedilotildees natildeo eram muito precisas O cocircvado egiacutepcio por exemplo eacute uma medida de comprimento cujo padratildeo eacute a distacircncia entre o cotovelo e a ponta do

dedo meacutedio estando o braccedilo e o antebraccedilo dobrados em acircngulo reto e a matildeo esticada A milha eacute

a distacircncia percorrida em uma passada

Com esses tipos de unidades as mediccedilotildees podem dar resultados tatildeo variados quantas satildeo as diferenccedilas individuais do corpo humano A padronizaccedilatildeo eacute feita pela definiccedilatildeo de

unidades meacutedias fixadas atraveacutes de padrotildees materiais construiacutedos em pedra argila ou ligas

metaacutelicas

7

23 Primeiros Padrotildees

O surgimento de padrotildees materiais de referecircncia para as unidades de medidas marca o iniacutecio da construccedilatildeo dos primeiros sistemas de pesos e medidas Eles estatildeo presentes nas

civilizaccedilotildees da Assiacuteria Babilocircnia Caldeacuteia e Egito

Os padrotildees de peso mais antigos ateacute hoje conhecidos datam do quarto milecircnio antes de

Cristo Satildeo pequenos cilindros de base cocircncava com cerca de 13 gramas encontrados nos

tuacutemulos de Amrah no Egito

O sistema egiacutepcio tem grande influecircncia sobre os povos da Antiguidade Do vale do Rio Nilo espalha-se pela Judeacuteia Aacutesia Menor e Greacutecia chega agraves colocircnias gregas da Peniacutensula Itaacutelica

e mais tarde eacute levado pelos romanos para as diferentes regiotildees da Europa Mistura-se entatildeo

aos sistemas locais assumindo novas caracteriacutesticas

24 Sistemas Inglecircs e Norte-Americano

A Inglaterra normatiza seu sistema consuetudinaacuterio de pesos e medidas logo apoacutes a promulgaccedilatildeo da Carta Magna em 1215 O sistema usado por mais de 600 anos tambeacutem eacute

adotado pelas ex-colocircnias inglesas Os Estados Unidos usam o mesmo sistema inglecircs com

pequenas modificaccedilotildees

Atualmente embora o Parlamento britacircnico tenha decidido pela adesatildeo do paiacutes ao Sistema Internacional de Unidades a populaccedilatildeo inglesa continua utilizando o antigo sistema em

seu dia-a-dia Nos Estados Unidos o sistema meacutetrico eacute oficialmente permitido desde 1866 e em

1959 as unidades de medidas tradicionais passam a ser definidas em funccedilatildeo do Sistema

Internacional de Unidades Nos anos 60 o paiacutes inicia um movimento de conversatildeo para o Sistema Internacional A populaccedilatildeo no entanto tambeacutem tem resistido em abandonar as antigas

medidas

25 Principais Grandezas

O Sistema Internacional de Unidades (SI) eacute o mais aceito em todo o mundo No entanto

ainda satildeo usadas unidades tradicionais de origem consuetudinaacuteria ou de sistemas anteriores agrave

elaboraccedilatildeo do SI

Tabela 1 Unidades de medida no SI

GRANDEZA UNIDADE SIacuteMBOLO DEFINICcedilAtildeO

Comprimento Metro m

ldquo o comprimento do percurso coberto pela luz no vaacutecuo em

1299 792 458 de um segundordquo

(1983)

Massa Quilograma kg

ldquo este protoacutetipo (um certo cilindro

de liga de platina-iriacutedio) seraacute

considerado daqui por diante a

unidade de massardquo (1889)

Obs O protoacutetipo foi baseado na

massa de aacutegua a 4 degC contida em

um cubo de 10 centiacutemetros de

aresta

Tempo Segundo s

ldquo a duraccedilatildeo de 9 192 631 770

vibraccedilotildees da transiccedilatildeo entre dois

niacuteveis hiperfinos do estado fundamental do aacutetomo de ceacutesio

133rdquo (1967)

8

Corrente

eleacutetrica ampegravere A

ldquo a corrente constante que

mantida em dois condutores

retiliacuteneos paralelos de

comprimento infinito de seccedilatildeo

circular despreziacutevel e separados

pela distacircncia de 1 metro no vaacutecuo provoca entre estes condutores uma

forccedila igual a 210-7 Newton por

metro de comprimentordquo (1946)

Temperatura Kelvin K

ldquo a fraccedilatildeo 127316 da

temperatura termodinacircmica do

ponto triplo da aacuteguardquo (1967)

Obs A temperatura relativa na

escala Celsius eacute definida por t = T

- To onde To = 27315 K por

definiccedilatildeo

Quantidade de

mateacuteria mol mol

ldquo a quantidade de substacircncia de

um sistema que conteacutem tantas

entidades elementares quanto satildeo os aacutetomos em 0012 quilogramas de

carbono 12rdquo (1971)

Intensidade

luminosa candela cd

ldquoa intensidade luminosa na

direccedilatildeo perpendicular de uma

superfiacutecie de 1600 000 metros

quadrados de um corpo negro na

temperatura de solidificaccedilatildeo da

platina sob a pressatildeo de 101325

Newton por metro quadradordquo

(1967)

Obs a temperatura de solidificaccedilatildeo

da platina sob a referida pressatildeo eacute 2043 K

httpwwwwebcalccombr (paacutegina com simuladores de conversotildees de medidas)

251 Comprimento

Metro (m) unidade SI distacircncia percorrida pela luz no vaacutecuo em um intervalo de tempo igual a

1299792458 s

Unidades de comprimento tradicionais

Quilocircmetro (km) 1000 m

palmo 22 cm

braccedila 22m leacutegua 6 km

leacutegua brasileira 66 km

Unidades de comprimento inglesas

Polegada (in) 254 cm ou 00254 m

peacute (ft) 3048 cm ou 03048 m

jarda (yd) 9144 cm ou 09144 m milha (mi) 1609 m

milha naacuteutica 1852 m

3

CAPIacuteTULO I

1 ndash Mediccedilatildeo Grandezas e Medidas Fiacutesicas

11 Introduccedilatildeo

A palavra Fiacutesica tem origem grega (physike) e significa ciecircncia da natureza A Fiacutesica eacute

uma das ciecircncias que estuda a natureza e suas propriedades Todo o fato ou transformaccedilatildeo que

ocorre com os corpos na natureza eacute chamado de fenocircmeno Normalmente os fenocircmenos que ocorrem com a mateacuteria inanimada que natildeo alteram a natureza dos corpos satildeo chamados de

fenocircmenos fiacutesicos e satildeo estudados principalmente pela Fiacutesica O estudo dos fenocircmenos fiacutesicos

pode ser qualitativo ou quantitativo O estudo quantitativo aleacutem de descrever os fenocircmenos

fiacutesicos como no qualitativo realiza mensuraccedilotildees nos fenocircmenos estudados isto eacute associa nuacutemeros agraves propriedades dos fenocircmenos

12 Grandezas Fiacutesicas Escalares e Vetoriais

A palavra grandeza do latim grandis refere-se a tudo aquilo que eacute suscetiacutevel de avaliaccedilatildeo No caso em que esta avaliaccedilatildeo pode ser realizada com instrumentos e expressa em

padrotildees previamente definidos e aceitos pela comunidade cientiacutefica denominamos de grandezas

fiacutesicas As grandezas fiacutesicas quanto agrave sua natureza podem ser classificadas em duas espeacutecies

as escalares e as vetoriais

a) As grandezas fiacutesicas escalares satildeo grandezas que ficam completamente determinadas

quando delas se conhecem a intensidade ou seja o valor numeacuterico e a correspondente

unidade de medida Satildeo exemplos de grandezas fiacutesicas escalares

- a massa de uma pessoa 90 kg - a idade de uma pessoa 54 anos

- a altura de uma pessoa 185 m

- a temperatura de uma pessoa 36degC

b) As grandezas fiacutesicas vetoriais satildeo grandezas que soacute ficam completamente determinadas

quando delas se conhecem aleacutem do valor numeacuterico e correspondente unidade de medida

(intensidade) a sua direccedilatildeo e sentido de atuaccedilatildeo (orientaccedilatildeo) A direccedilatildeo de uma grandeza fiacutesica corresponde a um segmento de reta e o seu sentido eacute representado por uma seta Satildeo

representadas matematicamente por vetores Satildeo exemplos de grandezas fiacutesicas vetoriais

- o deslocamento de um carro 30 km NorteSul para o Norte - velocidade de um balatildeo 30 ms vertical e para cima

- peso de uma pessoa na Terra 600 N vertical e para baixo

13 Grandezas Fiacutesicas Fundamentais e Derivadas

Quando se forma um sistema de unidades fiacutesicas escolhe-se certo nuacutemero de

grandezas e unidades como fundamentais e as demais grandezas e unidades satildeo deduzidas a

partir destas e denominadas grandezas e unidades derivadas Atualmente satildeo sete as grandezas fundamentais que permitem exprimir qualquer das

grandezas fiacutesicas dos vaacuterios ramos da Fiacutesica a saber comprimento (m) massa (kg) tempo(s)

intensidade da corrente eleacutetrica (A) temperatura termodinacircmica (K) intensidade

luminosa (cd) e quantidade de mateacuteria (mol)

4

As grandezas fiacutesicas derivadas satildeo expressas atraveacutes da relaccedilatildeo estabelecida entre uma

ou mais grandezas fiacutesicas fundamentais Algumas a saber volume (m3) velocidade (ms)

aceleraccedilatildeo (ms2) forccedila (N) energia (J) e pressatildeo (Pa)

14 Medidas Fiacutesicas

A mediccedilatildeo operaccedilatildeo pela qual associamos nuacutemeros agraves propriedades fiacutesicas dos corpos e da natureza eacute de importacircncia fundamental para diversas ciecircncias ditas exatas como a Fiacutesica a

Matemaacutetica e a Quiacutemica Enquanto nos limitamos apenas a observar os fenocircmenos fiacutesicos sem

associar nuacutemeros agraves nossas observaccedilotildees estamos estudando os fenocircmenos apenas qualitativamente no momento em que

caracterizamos nossas observaccedilotildees por resultados numeacutericos

estaremos fazendo o estudo quantitativo (PAULI 1979 p46)

Haacute ateacute uma famosa frase atribuiacuteda ao Lorde Kelvin cientista inglecircs do seacuteculo XIX sobre o assunto

ldquoSe vocecirc pode medir aquilo do que fala e exprimi-lo por um nuacutemero eacute

porque conhece alguma coisa do assunto Em caso contraacuterio o seu

conhecimento eacute precaacuterio Lorde Kelvinrdquo (PAULI 1978 p 4)

15 Mediccedilatildeo Medida Unidade e Padratildeo

Medir uma grandeza fiacutesica eacute determinar por comparaccedilatildeo quantas vezes ela conteacutem

outro intervalo daquela mesma espeacutecie de grandeza arbitrariamente escolhido como sendo unitaacuterio

Este intervalo unitaacuterio eacute chamado de unidade

A mediccedilatildeo eacute o ato de medir A medida eacute o resultado obtido de uma mediccedilatildeo A medida deve

ser expressa atraveacutes de um valor numeacuterico que representa quantas vezes a grandeza fiacutesica conteacutem a unidade usada na mediccedilatildeo e um siacutembolo que representa a unidade da grandeza

utilizada A cada medida estaacute associado um erro ldquomediu errourdquo (PEDROSO

2014 p 154)

A representaccedilatildeo material ou natildeo de um corpo ou ente fiacutesico da unidade arbitrada eacute chamada

de padratildeo

151 Um Exemplo

Vamos supor que se queira determinar o comprimento da mesa da sala de aula

utilizando uma caneta esferograacutefica cujo comprimento seraacute tomado como referecircncia de

comparaccedilatildeo Se encontrarmos para o comprimento da mesa _____ comprimentos da caneta (____ ct) teremos a situaccedilatildeo ilustrada na Figura 1

5

Figura 1 Mediccedilatildeo do comprimento da mesa da sala de aula

Neste caso o padratildeo de medida eacute a caneta ou seja corpo ou ente fiacutesico que conteacutem ou porta a unidade arbitrada a unidade de medida eacute o comprimento da caneta representada por

ct e amedida do comprimento da mesa eacute _____ ct

Note que a grandeza medida o comprimento da mesa e a unidade de medida utilizada devem

ser grandezas fiacutesicas de mesma espeacutecie neste exemplo comprimento

16 Definiccedilatildeo das Unidades de Medida Fundamentais

Os cientistas e teacutecnicos procuram definir unidades e padrotildees de medida que possam ser

obtidos e utilizados de maneira segura sem variaccedilotildees ou deformaccedilotildees em todo o universo ditas universais atraveacutes do Sistema Internacional de Unidades (SI) regulamentados em

Conferecircncias Gerais de Pesos e Medidas (INMETRO 2007) Veja as definiccedilotildees de algumas

destas unidades na Tabela 1 logo mais abaixo

17 Mediccedilatildeo Direta ou Indireta de uma Grandeza Fiacutesica

Para medir diretamente uma grandeza fiacutesica deveremos comparaacute-la diretamente com

outra grandeza de mesma espeacutecie utilizada como unidade de medida O resultado desta comparaccedilatildeo eacute um nuacutemero que indicaraacute o nuacutemero de vezes que a unidade adotada estaacute contida

(muacuteltiplo) ou conteacutem (submuacuteltiplo) na grandeza fiacutesica medida Satildeo exemplos de mediccedilotildees

diretas - a determinaccedilatildeo da massa de uma pessoa numa balanccedila com capacidade 150 kg

- a determinaccedilatildeo da altura de um livro com uma reacutegua de 50 cm

- a determinaccedilatildeo do tempo de oscilaccedilatildeo de um pecircndulo com um cronocircmetro

- a determinaccedilatildeo do volume de um tonel utilizando um frasco com volume de 1 litro

Quando se torna difiacutecil ou impraticaacutevel a determinaccedilatildeo direta por comparaccedilatildeo da

medida de uma grandeza fiacutesica lanccedilamos matildeo de um processo indireto a mediccedilatildeo indireta Isto normalmente acontece ou quando natildeo possuiacutemos uma unidade adequada para a comparaccedilatildeo

da grandeza ou por deficiecircncia de precisatildeo do instrumento de medida utilizado Logo a

mediccedilatildeo indireta de uma grandeza fiacutesica costuma ser composta por um conjunto de uma ou mais mediccedilotildees diretas de grandezas de mesma espeacutecie ou grandezas relacionadas acrescidas de

operaccedilotildees matemaacuteticas suportadas por teorias que relacionam as diversas grandezas com aquela

a ser medida que conduzem agrave medida procurada Satildeo exemplos de medidas indiretas

- a determinaccedilatildeo da espessura meacutedia de uma folha de caderno atraveacutes da mediccedilatildeo da espessura

de um grande nuacutemero de folhas deste

- determinaccedilatildeo da altura de um poste atraveacutes da mediccedilatildeo do comprimento de sua sombra e do acircngulo de inclinaccedilatildeo da luz solar

6

- a determinaccedilatildeo do volume de uma gota de aacutegua atraveacutes da determinaccedilatildeo do volume de um

grande nuacutemero de gotas de aacutegua - a determinaccedilatildeo da velocidade de propagaccedilatildeo do som no ar atraveacutes da determinaccedilatildeo da

distacircncia percorrida pelo som no ar e do intervalo de tempo envolvido em percorrecirc-la e

posterior divisatildeo destas grandezas

CAPIacuteTULO 2

2 ndash Unidades de Medidas e Principais Grandezas

21 Padrotildees usados para avaliar Grandezas Fiacutesicas

Os padrotildees adotados nos dias de hoje satildeo definidos arbitrariamente e tecircm como

referecircncia um padratildeo material As grandezas podem ser mecacircnicas oacutepticas geomeacutetricas acuacutesticas ou luminosas Medir significa comparar uma grandeza com uma unidade de referecircncia

da mesma espeacutecie e estabelecer o (inteiro ou fracionaacuterio) de vezes que a grandeza conteacutem a

unidade

A Ciecircncia que se ocupa Metrologia eacute a ciecircncia que estuda normatiza e codifica os conhecimentos relativos a medidas padrotildees e unidades de medir meacutetodos teacutecnicas e

instrumentos de mediccedilatildeo Estimar e avaliar grandezas diversas satildeo capacidades e habilidades

desenvolvidas pela humanidade desde o iniacutecio de sua evoluccedilatildeo cultural

Na preacute-histoacuteria o homem apenas compara volumes e peso sem medi-los Com o

crescimento demograacutefico o surgimento das cidades e dos sistemas de trocas satildeo fixadas

unidades que permitam uma comparaccedilatildeo mais precisa entre objetos

22 Sistemas Consuetudinaacuterios

Ateacute o final do seacuteculo XVIII todos os sistemas de medidas existentes satildeo

consuetudinaacuterios ou seja baseados nos costumes e nas tradiccedilotildees Os primeiros padrotildees

utilizados para medir satildeo partes do corpo humano ndash palma da matildeo polegada braccedilo ou uma

passada ndash e utensiacutelios de uso cotidiano como cuias e vasilhas

Com o tempo cada civilizaccedilatildeo define padrotildees e fixa suas proacuteprias unidades de medidas

Daiacute a multiplicidade de sistemas de mediccedilatildeo existente desde a Antiguidade

23 Primeiros Sistemas

As diferentes civilizaccedilotildees comeccedilam a padronizar as unidades de medidas jaacute na

Antiguidade Antes disso as mediccedilotildees natildeo eram muito precisas O cocircvado egiacutepcio por exemplo eacute uma medida de comprimento cujo padratildeo eacute a distacircncia entre o cotovelo e a ponta do

dedo meacutedio estando o braccedilo e o antebraccedilo dobrados em acircngulo reto e a matildeo esticada A milha eacute

a distacircncia percorrida em uma passada

Com esses tipos de unidades as mediccedilotildees podem dar resultados tatildeo variados quantas satildeo as diferenccedilas individuais do corpo humano A padronizaccedilatildeo eacute feita pela definiccedilatildeo de

unidades meacutedias fixadas atraveacutes de padrotildees materiais construiacutedos em pedra argila ou ligas

metaacutelicas

7

23 Primeiros Padrotildees

O surgimento de padrotildees materiais de referecircncia para as unidades de medidas marca o iniacutecio da construccedilatildeo dos primeiros sistemas de pesos e medidas Eles estatildeo presentes nas

civilizaccedilotildees da Assiacuteria Babilocircnia Caldeacuteia e Egito

Os padrotildees de peso mais antigos ateacute hoje conhecidos datam do quarto milecircnio antes de

Cristo Satildeo pequenos cilindros de base cocircncava com cerca de 13 gramas encontrados nos

tuacutemulos de Amrah no Egito

O sistema egiacutepcio tem grande influecircncia sobre os povos da Antiguidade Do vale do Rio Nilo espalha-se pela Judeacuteia Aacutesia Menor e Greacutecia chega agraves colocircnias gregas da Peniacutensula Itaacutelica

e mais tarde eacute levado pelos romanos para as diferentes regiotildees da Europa Mistura-se entatildeo

aos sistemas locais assumindo novas caracteriacutesticas

24 Sistemas Inglecircs e Norte-Americano

A Inglaterra normatiza seu sistema consuetudinaacuterio de pesos e medidas logo apoacutes a promulgaccedilatildeo da Carta Magna em 1215 O sistema usado por mais de 600 anos tambeacutem eacute

adotado pelas ex-colocircnias inglesas Os Estados Unidos usam o mesmo sistema inglecircs com

pequenas modificaccedilotildees

Atualmente embora o Parlamento britacircnico tenha decidido pela adesatildeo do paiacutes ao Sistema Internacional de Unidades a populaccedilatildeo inglesa continua utilizando o antigo sistema em

seu dia-a-dia Nos Estados Unidos o sistema meacutetrico eacute oficialmente permitido desde 1866 e em

1959 as unidades de medidas tradicionais passam a ser definidas em funccedilatildeo do Sistema

Internacional de Unidades Nos anos 60 o paiacutes inicia um movimento de conversatildeo para o Sistema Internacional A populaccedilatildeo no entanto tambeacutem tem resistido em abandonar as antigas

medidas

25 Principais Grandezas

O Sistema Internacional de Unidades (SI) eacute o mais aceito em todo o mundo No entanto

ainda satildeo usadas unidades tradicionais de origem consuetudinaacuteria ou de sistemas anteriores agrave

elaboraccedilatildeo do SI

Tabela 1 Unidades de medida no SI

GRANDEZA UNIDADE SIacuteMBOLO DEFINICcedilAtildeO

Comprimento Metro m

ldquo o comprimento do percurso coberto pela luz no vaacutecuo em

1299 792 458 de um segundordquo

(1983)

Massa Quilograma kg

ldquo este protoacutetipo (um certo cilindro

de liga de platina-iriacutedio) seraacute

considerado daqui por diante a

unidade de massardquo (1889)

Obs O protoacutetipo foi baseado na

massa de aacutegua a 4 degC contida em

um cubo de 10 centiacutemetros de

aresta

Tempo Segundo s

ldquo a duraccedilatildeo de 9 192 631 770

vibraccedilotildees da transiccedilatildeo entre dois

niacuteveis hiperfinos do estado fundamental do aacutetomo de ceacutesio

133rdquo (1967)

8

Corrente

eleacutetrica ampegravere A

ldquo a corrente constante que

mantida em dois condutores

retiliacuteneos paralelos de

comprimento infinito de seccedilatildeo

circular despreziacutevel e separados

pela distacircncia de 1 metro no vaacutecuo provoca entre estes condutores uma

forccedila igual a 210-7 Newton por

metro de comprimentordquo (1946)

Temperatura Kelvin K

ldquo a fraccedilatildeo 127316 da

temperatura termodinacircmica do

ponto triplo da aacuteguardquo (1967)

Obs A temperatura relativa na

escala Celsius eacute definida por t = T

- To onde To = 27315 K por

definiccedilatildeo

Quantidade de

mateacuteria mol mol

ldquo a quantidade de substacircncia de

um sistema que conteacutem tantas

entidades elementares quanto satildeo os aacutetomos em 0012 quilogramas de

carbono 12rdquo (1971)

Intensidade

luminosa candela cd

ldquoa intensidade luminosa na

direccedilatildeo perpendicular de uma

superfiacutecie de 1600 000 metros

quadrados de um corpo negro na

temperatura de solidificaccedilatildeo da

platina sob a pressatildeo de 101325

Newton por metro quadradordquo

(1967)

Obs a temperatura de solidificaccedilatildeo

da platina sob a referida pressatildeo eacute 2043 K

httpwwwwebcalccombr (paacutegina com simuladores de conversotildees de medidas)

251 Comprimento

Metro (m) unidade SI distacircncia percorrida pela luz no vaacutecuo em um intervalo de tempo igual a

1299792458 s

Unidades de comprimento tradicionais

Quilocircmetro (km) 1000 m

palmo 22 cm

braccedila 22m leacutegua 6 km

leacutegua brasileira 66 km

Unidades de comprimento inglesas

Polegada (in) 254 cm ou 00254 m

peacute (ft) 3048 cm ou 03048 m

jarda (yd) 9144 cm ou 09144 m milha (mi) 1609 m

milha naacuteutica 1852 m

4

As grandezas fiacutesicas derivadas satildeo expressas atraveacutes da relaccedilatildeo estabelecida entre uma

ou mais grandezas fiacutesicas fundamentais Algumas a saber volume (m3) velocidade (ms)

aceleraccedilatildeo (ms2) forccedila (N) energia (J) e pressatildeo (Pa)

14 Medidas Fiacutesicas

A mediccedilatildeo operaccedilatildeo pela qual associamos nuacutemeros agraves propriedades fiacutesicas dos corpos e da natureza eacute de importacircncia fundamental para diversas ciecircncias ditas exatas como a Fiacutesica a

Matemaacutetica e a Quiacutemica Enquanto nos limitamos apenas a observar os fenocircmenos fiacutesicos sem

associar nuacutemeros agraves nossas observaccedilotildees estamos estudando os fenocircmenos apenas qualitativamente no momento em que

caracterizamos nossas observaccedilotildees por resultados numeacutericos

estaremos fazendo o estudo quantitativo (PAULI 1979 p46)

Haacute ateacute uma famosa frase atribuiacuteda ao Lorde Kelvin cientista inglecircs do seacuteculo XIX sobre o assunto

ldquoSe vocecirc pode medir aquilo do que fala e exprimi-lo por um nuacutemero eacute

porque conhece alguma coisa do assunto Em caso contraacuterio o seu

conhecimento eacute precaacuterio Lorde Kelvinrdquo (PAULI 1978 p 4)

15 Mediccedilatildeo Medida Unidade e Padratildeo

Medir uma grandeza fiacutesica eacute determinar por comparaccedilatildeo quantas vezes ela conteacutem

outro intervalo daquela mesma espeacutecie de grandeza arbitrariamente escolhido como sendo unitaacuterio

Este intervalo unitaacuterio eacute chamado de unidade

A mediccedilatildeo eacute o ato de medir A medida eacute o resultado obtido de uma mediccedilatildeo A medida deve

ser expressa atraveacutes de um valor numeacuterico que representa quantas vezes a grandeza fiacutesica conteacutem a unidade usada na mediccedilatildeo e um siacutembolo que representa a unidade da grandeza

utilizada A cada medida estaacute associado um erro ldquomediu errourdquo (PEDROSO

2014 p 154)

A representaccedilatildeo material ou natildeo de um corpo ou ente fiacutesico da unidade arbitrada eacute chamada

de padratildeo

151 Um Exemplo

Vamos supor que se queira determinar o comprimento da mesa da sala de aula

utilizando uma caneta esferograacutefica cujo comprimento seraacute tomado como referecircncia de

comparaccedilatildeo Se encontrarmos para o comprimento da mesa _____ comprimentos da caneta (____ ct) teremos a situaccedilatildeo ilustrada na Figura 1

5

Figura 1 Mediccedilatildeo do comprimento da mesa da sala de aula

Neste caso o padratildeo de medida eacute a caneta ou seja corpo ou ente fiacutesico que conteacutem ou porta a unidade arbitrada a unidade de medida eacute o comprimento da caneta representada por

ct e amedida do comprimento da mesa eacute _____ ct

Note que a grandeza medida o comprimento da mesa e a unidade de medida utilizada devem

ser grandezas fiacutesicas de mesma espeacutecie neste exemplo comprimento

16 Definiccedilatildeo das Unidades de Medida Fundamentais

Os cientistas e teacutecnicos procuram definir unidades e padrotildees de medida que possam ser

obtidos e utilizados de maneira segura sem variaccedilotildees ou deformaccedilotildees em todo o universo ditas universais atraveacutes do Sistema Internacional de Unidades (SI) regulamentados em

Conferecircncias Gerais de Pesos e Medidas (INMETRO 2007) Veja as definiccedilotildees de algumas

destas unidades na Tabela 1 logo mais abaixo

17 Mediccedilatildeo Direta ou Indireta de uma Grandeza Fiacutesica

Para medir diretamente uma grandeza fiacutesica deveremos comparaacute-la diretamente com

outra grandeza de mesma espeacutecie utilizada como unidade de medida O resultado desta comparaccedilatildeo eacute um nuacutemero que indicaraacute o nuacutemero de vezes que a unidade adotada estaacute contida

(muacuteltiplo) ou conteacutem (submuacuteltiplo) na grandeza fiacutesica medida Satildeo exemplos de mediccedilotildees

diretas - a determinaccedilatildeo da massa de uma pessoa numa balanccedila com capacidade 150 kg

- a determinaccedilatildeo da altura de um livro com uma reacutegua de 50 cm

- a determinaccedilatildeo do tempo de oscilaccedilatildeo de um pecircndulo com um cronocircmetro

- a determinaccedilatildeo do volume de um tonel utilizando um frasco com volume de 1 litro

Quando se torna difiacutecil ou impraticaacutevel a determinaccedilatildeo direta por comparaccedilatildeo da

medida de uma grandeza fiacutesica lanccedilamos matildeo de um processo indireto a mediccedilatildeo indireta Isto normalmente acontece ou quando natildeo possuiacutemos uma unidade adequada para a comparaccedilatildeo

da grandeza ou por deficiecircncia de precisatildeo do instrumento de medida utilizado Logo a

mediccedilatildeo indireta de uma grandeza fiacutesica costuma ser composta por um conjunto de uma ou mais mediccedilotildees diretas de grandezas de mesma espeacutecie ou grandezas relacionadas acrescidas de

operaccedilotildees matemaacuteticas suportadas por teorias que relacionam as diversas grandezas com aquela

a ser medida que conduzem agrave medida procurada Satildeo exemplos de medidas indiretas

- a determinaccedilatildeo da espessura meacutedia de uma folha de caderno atraveacutes da mediccedilatildeo da espessura

de um grande nuacutemero de folhas deste

- determinaccedilatildeo da altura de um poste atraveacutes da mediccedilatildeo do comprimento de sua sombra e do acircngulo de inclinaccedilatildeo da luz solar

6

- a determinaccedilatildeo do volume de uma gota de aacutegua atraveacutes da determinaccedilatildeo do volume de um

grande nuacutemero de gotas de aacutegua - a determinaccedilatildeo da velocidade de propagaccedilatildeo do som no ar atraveacutes da determinaccedilatildeo da

distacircncia percorrida pelo som no ar e do intervalo de tempo envolvido em percorrecirc-la e

posterior divisatildeo destas grandezas

CAPIacuteTULO 2

2 ndash Unidades de Medidas e Principais Grandezas

21 Padrotildees usados para avaliar Grandezas Fiacutesicas

Os padrotildees adotados nos dias de hoje satildeo definidos arbitrariamente e tecircm como

referecircncia um padratildeo material As grandezas podem ser mecacircnicas oacutepticas geomeacutetricas acuacutesticas ou luminosas Medir significa comparar uma grandeza com uma unidade de referecircncia

da mesma espeacutecie e estabelecer o (inteiro ou fracionaacuterio) de vezes que a grandeza conteacutem a

unidade

A Ciecircncia que se ocupa Metrologia eacute a ciecircncia que estuda normatiza e codifica os conhecimentos relativos a medidas padrotildees e unidades de medir meacutetodos teacutecnicas e

instrumentos de mediccedilatildeo Estimar e avaliar grandezas diversas satildeo capacidades e habilidades

desenvolvidas pela humanidade desde o iniacutecio de sua evoluccedilatildeo cultural

Na preacute-histoacuteria o homem apenas compara volumes e peso sem medi-los Com o

crescimento demograacutefico o surgimento das cidades e dos sistemas de trocas satildeo fixadas

unidades que permitam uma comparaccedilatildeo mais precisa entre objetos

22 Sistemas Consuetudinaacuterios

Ateacute o final do seacuteculo XVIII todos os sistemas de medidas existentes satildeo

consuetudinaacuterios ou seja baseados nos costumes e nas tradiccedilotildees Os primeiros padrotildees

utilizados para medir satildeo partes do corpo humano ndash palma da matildeo polegada braccedilo ou uma

passada ndash e utensiacutelios de uso cotidiano como cuias e vasilhas

Com o tempo cada civilizaccedilatildeo define padrotildees e fixa suas proacuteprias unidades de medidas

Daiacute a multiplicidade de sistemas de mediccedilatildeo existente desde a Antiguidade

23 Primeiros Sistemas

As diferentes civilizaccedilotildees comeccedilam a padronizar as unidades de medidas jaacute na

Antiguidade Antes disso as mediccedilotildees natildeo eram muito precisas O cocircvado egiacutepcio por exemplo eacute uma medida de comprimento cujo padratildeo eacute a distacircncia entre o cotovelo e a ponta do

dedo meacutedio estando o braccedilo e o antebraccedilo dobrados em acircngulo reto e a matildeo esticada A milha eacute

a distacircncia percorrida em uma passada

Com esses tipos de unidades as mediccedilotildees podem dar resultados tatildeo variados quantas satildeo as diferenccedilas individuais do corpo humano A padronizaccedilatildeo eacute feita pela definiccedilatildeo de

unidades meacutedias fixadas atraveacutes de padrotildees materiais construiacutedos em pedra argila ou ligas

metaacutelicas

7

23 Primeiros Padrotildees

O surgimento de padrotildees materiais de referecircncia para as unidades de medidas marca o iniacutecio da construccedilatildeo dos primeiros sistemas de pesos e medidas Eles estatildeo presentes nas

civilizaccedilotildees da Assiacuteria Babilocircnia Caldeacuteia e Egito

Os padrotildees de peso mais antigos ateacute hoje conhecidos datam do quarto milecircnio antes de

Cristo Satildeo pequenos cilindros de base cocircncava com cerca de 13 gramas encontrados nos

tuacutemulos de Amrah no Egito

O sistema egiacutepcio tem grande influecircncia sobre os povos da Antiguidade Do vale do Rio Nilo espalha-se pela Judeacuteia Aacutesia Menor e Greacutecia chega agraves colocircnias gregas da Peniacutensula Itaacutelica

e mais tarde eacute levado pelos romanos para as diferentes regiotildees da Europa Mistura-se entatildeo

aos sistemas locais assumindo novas caracteriacutesticas

24 Sistemas Inglecircs e Norte-Americano

A Inglaterra normatiza seu sistema consuetudinaacuterio de pesos e medidas logo apoacutes a promulgaccedilatildeo da Carta Magna em 1215 O sistema usado por mais de 600 anos tambeacutem eacute

adotado pelas ex-colocircnias inglesas Os Estados Unidos usam o mesmo sistema inglecircs com

pequenas modificaccedilotildees

Atualmente embora o Parlamento britacircnico tenha decidido pela adesatildeo do paiacutes ao Sistema Internacional de Unidades a populaccedilatildeo inglesa continua utilizando o antigo sistema em

seu dia-a-dia Nos Estados Unidos o sistema meacutetrico eacute oficialmente permitido desde 1866 e em

1959 as unidades de medidas tradicionais passam a ser definidas em funccedilatildeo do Sistema

Internacional de Unidades Nos anos 60 o paiacutes inicia um movimento de conversatildeo para o Sistema Internacional A populaccedilatildeo no entanto tambeacutem tem resistido em abandonar as antigas

medidas

25 Principais Grandezas

O Sistema Internacional de Unidades (SI) eacute o mais aceito em todo o mundo No entanto

ainda satildeo usadas unidades tradicionais de origem consuetudinaacuteria ou de sistemas anteriores agrave

elaboraccedilatildeo do SI

Tabela 1 Unidades de medida no SI

GRANDEZA UNIDADE SIacuteMBOLO DEFINICcedilAtildeO

Comprimento Metro m

ldquo o comprimento do percurso coberto pela luz no vaacutecuo em

1299 792 458 de um segundordquo

(1983)

Massa Quilograma kg

ldquo este protoacutetipo (um certo cilindro

de liga de platina-iriacutedio) seraacute

considerado daqui por diante a

unidade de massardquo (1889)

Obs O protoacutetipo foi baseado na

massa de aacutegua a 4 degC contida em

um cubo de 10 centiacutemetros de

aresta

Tempo Segundo s

ldquo a duraccedilatildeo de 9 192 631 770

vibraccedilotildees da transiccedilatildeo entre dois

niacuteveis hiperfinos do estado fundamental do aacutetomo de ceacutesio

133rdquo (1967)

8

Corrente

eleacutetrica ampegravere A

ldquo a corrente constante que

mantida em dois condutores

retiliacuteneos paralelos de

comprimento infinito de seccedilatildeo

circular despreziacutevel e separados

pela distacircncia de 1 metro no vaacutecuo provoca entre estes condutores uma

forccedila igual a 210-7 Newton por

metro de comprimentordquo (1946)

Temperatura Kelvin K

ldquo a fraccedilatildeo 127316 da

temperatura termodinacircmica do

ponto triplo da aacuteguardquo (1967)

Obs A temperatura relativa na

escala Celsius eacute definida por t = T

- To onde To = 27315 K por

definiccedilatildeo

Quantidade de

mateacuteria mol mol

ldquo a quantidade de substacircncia de

um sistema que conteacutem tantas

entidades elementares quanto satildeo os aacutetomos em 0012 quilogramas de

carbono 12rdquo (1971)

Intensidade

luminosa candela cd

ldquoa intensidade luminosa na

direccedilatildeo perpendicular de uma

superfiacutecie de 1600 000 metros

quadrados de um corpo negro na

temperatura de solidificaccedilatildeo da

platina sob a pressatildeo de 101325

Newton por metro quadradordquo

(1967)

Obs a temperatura de solidificaccedilatildeo

da platina sob a referida pressatildeo eacute 2043 K

httpwwwwebcalccombr (paacutegina com simuladores de conversotildees de medidas)

251 Comprimento

Metro (m) unidade SI distacircncia percorrida pela luz no vaacutecuo em um intervalo de tempo igual a

1299792458 s

Unidades de comprimento tradicionais

Quilocircmetro (km) 1000 m

palmo 22 cm

braccedila 22m leacutegua 6 km

leacutegua brasileira 66 km

Unidades de comprimento inglesas

Polegada (in) 254 cm ou 00254 m

peacute (ft) 3048 cm ou 03048 m

jarda (yd) 9144 cm ou 09144 m milha (mi) 1609 m

milha naacuteutica 1852 m

5

Figura 1 Mediccedilatildeo do comprimento da mesa da sala de aula

Neste caso o padratildeo de medida eacute a caneta ou seja corpo ou ente fiacutesico que conteacutem ou porta a unidade arbitrada a unidade de medida eacute o comprimento da caneta representada por

ct e amedida do comprimento da mesa eacute _____ ct

Note que a grandeza medida o comprimento da mesa e a unidade de medida utilizada devem

ser grandezas fiacutesicas de mesma espeacutecie neste exemplo comprimento

16 Definiccedilatildeo das Unidades de Medida Fundamentais

Os cientistas e teacutecnicos procuram definir unidades e padrotildees de medida que possam ser

obtidos e utilizados de maneira segura sem variaccedilotildees ou deformaccedilotildees em todo o universo ditas universais atraveacutes do Sistema Internacional de Unidades (SI) regulamentados em

Conferecircncias Gerais de Pesos e Medidas (INMETRO 2007) Veja as definiccedilotildees de algumas

destas unidades na Tabela 1 logo mais abaixo

17 Mediccedilatildeo Direta ou Indireta de uma Grandeza Fiacutesica

Para medir diretamente uma grandeza fiacutesica deveremos comparaacute-la diretamente com

outra grandeza de mesma espeacutecie utilizada como unidade de medida O resultado desta comparaccedilatildeo eacute um nuacutemero que indicaraacute o nuacutemero de vezes que a unidade adotada estaacute contida

(muacuteltiplo) ou conteacutem (submuacuteltiplo) na grandeza fiacutesica medida Satildeo exemplos de mediccedilotildees

diretas - a determinaccedilatildeo da massa de uma pessoa numa balanccedila com capacidade 150 kg

- a determinaccedilatildeo da altura de um livro com uma reacutegua de 50 cm

- a determinaccedilatildeo do tempo de oscilaccedilatildeo de um pecircndulo com um cronocircmetro

- a determinaccedilatildeo do volume de um tonel utilizando um frasco com volume de 1 litro

Quando se torna difiacutecil ou impraticaacutevel a determinaccedilatildeo direta por comparaccedilatildeo da

medida de uma grandeza fiacutesica lanccedilamos matildeo de um processo indireto a mediccedilatildeo indireta Isto normalmente acontece ou quando natildeo possuiacutemos uma unidade adequada para a comparaccedilatildeo

da grandeza ou por deficiecircncia de precisatildeo do instrumento de medida utilizado Logo a

mediccedilatildeo indireta de uma grandeza fiacutesica costuma ser composta por um conjunto de uma ou mais mediccedilotildees diretas de grandezas de mesma espeacutecie ou grandezas relacionadas acrescidas de

operaccedilotildees matemaacuteticas suportadas por teorias que relacionam as diversas grandezas com aquela

a ser medida que conduzem agrave medida procurada Satildeo exemplos de medidas indiretas

- a determinaccedilatildeo da espessura meacutedia de uma folha de caderno atraveacutes da mediccedilatildeo da espessura

de um grande nuacutemero de folhas deste

- determinaccedilatildeo da altura de um poste atraveacutes da mediccedilatildeo do comprimento de sua sombra e do acircngulo de inclinaccedilatildeo da luz solar

6

- a determinaccedilatildeo do volume de uma gota de aacutegua atraveacutes da determinaccedilatildeo do volume de um

grande nuacutemero de gotas de aacutegua - a determinaccedilatildeo da velocidade de propagaccedilatildeo do som no ar atraveacutes da determinaccedilatildeo da

distacircncia percorrida pelo som no ar e do intervalo de tempo envolvido em percorrecirc-la e

posterior divisatildeo destas grandezas

CAPIacuteTULO 2

2 ndash Unidades de Medidas e Principais Grandezas

21 Padrotildees usados para avaliar Grandezas Fiacutesicas

Os padrotildees adotados nos dias de hoje satildeo definidos arbitrariamente e tecircm como

referecircncia um padratildeo material As grandezas podem ser mecacircnicas oacutepticas geomeacutetricas acuacutesticas ou luminosas Medir significa comparar uma grandeza com uma unidade de referecircncia

da mesma espeacutecie e estabelecer o (inteiro ou fracionaacuterio) de vezes que a grandeza conteacutem a

unidade

A Ciecircncia que se ocupa Metrologia eacute a ciecircncia que estuda normatiza e codifica os conhecimentos relativos a medidas padrotildees e unidades de medir meacutetodos teacutecnicas e

instrumentos de mediccedilatildeo Estimar e avaliar grandezas diversas satildeo capacidades e habilidades

desenvolvidas pela humanidade desde o iniacutecio de sua evoluccedilatildeo cultural

Na preacute-histoacuteria o homem apenas compara volumes e peso sem medi-los Com o

crescimento demograacutefico o surgimento das cidades e dos sistemas de trocas satildeo fixadas

unidades que permitam uma comparaccedilatildeo mais precisa entre objetos

22 Sistemas Consuetudinaacuterios

Ateacute o final do seacuteculo XVIII todos os sistemas de medidas existentes satildeo

consuetudinaacuterios ou seja baseados nos costumes e nas tradiccedilotildees Os primeiros padrotildees

utilizados para medir satildeo partes do corpo humano ndash palma da matildeo polegada braccedilo ou uma

passada ndash e utensiacutelios de uso cotidiano como cuias e vasilhas

Com o tempo cada civilizaccedilatildeo define padrotildees e fixa suas proacuteprias unidades de medidas

Daiacute a multiplicidade de sistemas de mediccedilatildeo existente desde a Antiguidade

23 Primeiros Sistemas

As diferentes civilizaccedilotildees comeccedilam a padronizar as unidades de medidas jaacute na

Antiguidade Antes disso as mediccedilotildees natildeo eram muito precisas O cocircvado egiacutepcio por exemplo eacute uma medida de comprimento cujo padratildeo eacute a distacircncia entre o cotovelo e a ponta do

dedo meacutedio estando o braccedilo e o antebraccedilo dobrados em acircngulo reto e a matildeo esticada A milha eacute

a distacircncia percorrida em uma passada

Com esses tipos de unidades as mediccedilotildees podem dar resultados tatildeo variados quantas satildeo as diferenccedilas individuais do corpo humano A padronizaccedilatildeo eacute feita pela definiccedilatildeo de

unidades meacutedias fixadas atraveacutes de padrotildees materiais construiacutedos em pedra argila ou ligas

metaacutelicas

7

23 Primeiros Padrotildees

O surgimento de padrotildees materiais de referecircncia para as unidades de medidas marca o iniacutecio da construccedilatildeo dos primeiros sistemas de pesos e medidas Eles estatildeo presentes nas

civilizaccedilotildees da Assiacuteria Babilocircnia Caldeacuteia e Egito

Os padrotildees de peso mais antigos ateacute hoje conhecidos datam do quarto milecircnio antes de

Cristo Satildeo pequenos cilindros de base cocircncava com cerca de 13 gramas encontrados nos

tuacutemulos de Amrah no Egito

O sistema egiacutepcio tem grande influecircncia sobre os povos da Antiguidade Do vale do Rio Nilo espalha-se pela Judeacuteia Aacutesia Menor e Greacutecia chega agraves colocircnias gregas da Peniacutensula Itaacutelica

e mais tarde eacute levado pelos romanos para as diferentes regiotildees da Europa Mistura-se entatildeo

aos sistemas locais assumindo novas caracteriacutesticas

24 Sistemas Inglecircs e Norte-Americano

A Inglaterra normatiza seu sistema consuetudinaacuterio de pesos e medidas logo apoacutes a promulgaccedilatildeo da Carta Magna em 1215 O sistema usado por mais de 600 anos tambeacutem eacute

adotado pelas ex-colocircnias inglesas Os Estados Unidos usam o mesmo sistema inglecircs com

pequenas modificaccedilotildees

Atualmente embora o Parlamento britacircnico tenha decidido pela adesatildeo do paiacutes ao Sistema Internacional de Unidades a populaccedilatildeo inglesa continua utilizando o antigo sistema em

seu dia-a-dia Nos Estados Unidos o sistema meacutetrico eacute oficialmente permitido desde 1866 e em

1959 as unidades de medidas tradicionais passam a ser definidas em funccedilatildeo do Sistema

Internacional de Unidades Nos anos 60 o paiacutes inicia um movimento de conversatildeo para o Sistema Internacional A populaccedilatildeo no entanto tambeacutem tem resistido em abandonar as antigas

medidas

25 Principais Grandezas

O Sistema Internacional de Unidades (SI) eacute o mais aceito em todo o mundo No entanto

ainda satildeo usadas unidades tradicionais de origem consuetudinaacuteria ou de sistemas anteriores agrave

elaboraccedilatildeo do SI

Tabela 1 Unidades de medida no SI

GRANDEZA UNIDADE SIacuteMBOLO DEFINICcedilAtildeO

Comprimento Metro m

ldquo o comprimento do percurso coberto pela luz no vaacutecuo em

1299 792 458 de um segundordquo

(1983)

Massa Quilograma kg

ldquo este protoacutetipo (um certo cilindro

de liga de platina-iriacutedio) seraacute

considerado daqui por diante a

unidade de massardquo (1889)

Obs O protoacutetipo foi baseado na

massa de aacutegua a 4 degC contida em

um cubo de 10 centiacutemetros de

aresta

Tempo Segundo s

ldquo a duraccedilatildeo de 9 192 631 770

vibraccedilotildees da transiccedilatildeo entre dois

niacuteveis hiperfinos do estado fundamental do aacutetomo de ceacutesio

133rdquo (1967)

8

Corrente

eleacutetrica ampegravere A

ldquo a corrente constante que

mantida em dois condutores

retiliacuteneos paralelos de

comprimento infinito de seccedilatildeo

circular despreziacutevel e separados

pela distacircncia de 1 metro no vaacutecuo provoca entre estes condutores uma

forccedila igual a 210-7 Newton por

metro de comprimentordquo (1946)

Temperatura Kelvin K

ldquo a fraccedilatildeo 127316 da

temperatura termodinacircmica do

ponto triplo da aacuteguardquo (1967)

Obs A temperatura relativa na

escala Celsius eacute definida por t = T

- To onde To = 27315 K por

definiccedilatildeo

Quantidade de

mateacuteria mol mol

ldquo a quantidade de substacircncia de

um sistema que conteacutem tantas

entidades elementares quanto satildeo os aacutetomos em 0012 quilogramas de

carbono 12rdquo (1971)

Intensidade

luminosa candela cd

ldquoa intensidade luminosa na

direccedilatildeo perpendicular de uma

superfiacutecie de 1600 000 metros

quadrados de um corpo negro na

temperatura de solidificaccedilatildeo da

platina sob a pressatildeo de 101325

Newton por metro quadradordquo

(1967)

Obs a temperatura de solidificaccedilatildeo

da platina sob a referida pressatildeo eacute 2043 K

httpwwwwebcalccombr (paacutegina com simuladores de conversotildees de medidas)

251 Comprimento

Metro (m) unidade SI distacircncia percorrida pela luz no vaacutecuo em um intervalo de tempo igual a

1299792458 s

Unidades de comprimento tradicionais

Quilocircmetro (km) 1000 m

palmo 22 cm

braccedila 22m leacutegua 6 km

leacutegua brasileira 66 km

Unidades de comprimento inglesas

Polegada (in) 254 cm ou 00254 m

peacute (ft) 3048 cm ou 03048 m

jarda (yd) 9144 cm ou 09144 m milha (mi) 1609 m

milha naacuteutica 1852 m

6

- a determinaccedilatildeo do volume de uma gota de aacutegua atraveacutes da determinaccedilatildeo do volume de um

grande nuacutemero de gotas de aacutegua - a determinaccedilatildeo da velocidade de propagaccedilatildeo do som no ar atraveacutes da determinaccedilatildeo da

distacircncia percorrida pelo som no ar e do intervalo de tempo envolvido em percorrecirc-la e

posterior divisatildeo destas grandezas

CAPIacuteTULO 2

2 ndash Unidades de Medidas e Principais Grandezas

21 Padrotildees usados para avaliar Grandezas Fiacutesicas

Os padrotildees adotados nos dias de hoje satildeo definidos arbitrariamente e tecircm como

referecircncia um padratildeo material As grandezas podem ser mecacircnicas oacutepticas geomeacutetricas acuacutesticas ou luminosas Medir significa comparar uma grandeza com uma unidade de referecircncia

da mesma espeacutecie e estabelecer o (inteiro ou fracionaacuterio) de vezes que a grandeza conteacutem a

unidade

A Ciecircncia que se ocupa Metrologia eacute a ciecircncia que estuda normatiza e codifica os conhecimentos relativos a medidas padrotildees e unidades de medir meacutetodos teacutecnicas e

instrumentos de mediccedilatildeo Estimar e avaliar grandezas diversas satildeo capacidades e habilidades

desenvolvidas pela humanidade desde o iniacutecio de sua evoluccedilatildeo cultural

Na preacute-histoacuteria o homem apenas compara volumes e peso sem medi-los Com o

crescimento demograacutefico o surgimento das cidades e dos sistemas de trocas satildeo fixadas

unidades que permitam uma comparaccedilatildeo mais precisa entre objetos

22 Sistemas Consuetudinaacuterios

Ateacute o final do seacuteculo XVIII todos os sistemas de medidas existentes satildeo

consuetudinaacuterios ou seja baseados nos costumes e nas tradiccedilotildees Os primeiros padrotildees

utilizados para medir satildeo partes do corpo humano ndash palma da matildeo polegada braccedilo ou uma

passada ndash e utensiacutelios de uso cotidiano como cuias e vasilhas

Com o tempo cada civilizaccedilatildeo define padrotildees e fixa suas proacuteprias unidades de medidas

Daiacute a multiplicidade de sistemas de mediccedilatildeo existente desde a Antiguidade

23 Primeiros Sistemas

As diferentes civilizaccedilotildees comeccedilam a padronizar as unidades de medidas jaacute na

Antiguidade Antes disso as mediccedilotildees natildeo eram muito precisas O cocircvado egiacutepcio por exemplo eacute uma medida de comprimento cujo padratildeo eacute a distacircncia entre o cotovelo e a ponta do

dedo meacutedio estando o braccedilo e o antebraccedilo dobrados em acircngulo reto e a matildeo esticada A milha eacute

a distacircncia percorrida em uma passada

Com esses tipos de unidades as mediccedilotildees podem dar resultados tatildeo variados quantas satildeo as diferenccedilas individuais do corpo humano A padronizaccedilatildeo eacute feita pela definiccedilatildeo de

unidades meacutedias fixadas atraveacutes de padrotildees materiais construiacutedos em pedra argila ou ligas

metaacutelicas

7

23 Primeiros Padrotildees

O surgimento de padrotildees materiais de referecircncia para as unidades de medidas marca o iniacutecio da construccedilatildeo dos primeiros sistemas de pesos e medidas Eles estatildeo presentes nas

civilizaccedilotildees da Assiacuteria Babilocircnia Caldeacuteia e Egito

Os padrotildees de peso mais antigos ateacute hoje conhecidos datam do quarto milecircnio antes de

Cristo Satildeo pequenos cilindros de base cocircncava com cerca de 13 gramas encontrados nos

tuacutemulos de Amrah no Egito

O sistema egiacutepcio tem grande influecircncia sobre os povos da Antiguidade Do vale do Rio Nilo espalha-se pela Judeacuteia Aacutesia Menor e Greacutecia chega agraves colocircnias gregas da Peniacutensula Itaacutelica

e mais tarde eacute levado pelos romanos para as diferentes regiotildees da Europa Mistura-se entatildeo

aos sistemas locais assumindo novas caracteriacutesticas

24 Sistemas Inglecircs e Norte-Americano

A Inglaterra normatiza seu sistema consuetudinaacuterio de pesos e medidas logo apoacutes a promulgaccedilatildeo da Carta Magna em 1215 O sistema usado por mais de 600 anos tambeacutem eacute

adotado pelas ex-colocircnias inglesas Os Estados Unidos usam o mesmo sistema inglecircs com

pequenas modificaccedilotildees

Atualmente embora o Parlamento britacircnico tenha decidido pela adesatildeo do paiacutes ao Sistema Internacional de Unidades a populaccedilatildeo inglesa continua utilizando o antigo sistema em

seu dia-a-dia Nos Estados Unidos o sistema meacutetrico eacute oficialmente permitido desde 1866 e em

1959 as unidades de medidas tradicionais passam a ser definidas em funccedilatildeo do Sistema

Internacional de Unidades Nos anos 60 o paiacutes inicia um movimento de conversatildeo para o Sistema Internacional A populaccedilatildeo no entanto tambeacutem tem resistido em abandonar as antigas

medidas

25 Principais Grandezas

O Sistema Internacional de Unidades (SI) eacute o mais aceito em todo o mundo No entanto

ainda satildeo usadas unidades tradicionais de origem consuetudinaacuteria ou de sistemas anteriores agrave

elaboraccedilatildeo do SI

Tabela 1 Unidades de medida no SI

GRANDEZA UNIDADE SIacuteMBOLO DEFINICcedilAtildeO

Comprimento Metro m

ldquo o comprimento do percurso coberto pela luz no vaacutecuo em

1299 792 458 de um segundordquo

(1983)

Massa Quilograma kg

ldquo este protoacutetipo (um certo cilindro

de liga de platina-iriacutedio) seraacute

considerado daqui por diante a

unidade de massardquo (1889)

Obs O protoacutetipo foi baseado na

massa de aacutegua a 4 degC contida em

um cubo de 10 centiacutemetros de

aresta

Tempo Segundo s

ldquo a duraccedilatildeo de 9 192 631 770

vibraccedilotildees da transiccedilatildeo entre dois

niacuteveis hiperfinos do estado fundamental do aacutetomo de ceacutesio

133rdquo (1967)

8

Corrente

eleacutetrica ampegravere A

ldquo a corrente constante que

mantida em dois condutores

retiliacuteneos paralelos de

comprimento infinito de seccedilatildeo

circular despreziacutevel e separados

pela distacircncia de 1 metro no vaacutecuo provoca entre estes condutores uma

forccedila igual a 210-7 Newton por

metro de comprimentordquo (1946)

Temperatura Kelvin K

ldquo a fraccedilatildeo 127316 da

temperatura termodinacircmica do

ponto triplo da aacuteguardquo (1967)

Obs A temperatura relativa na

escala Celsius eacute definida por t = T

- To onde To = 27315 K por

definiccedilatildeo

Quantidade de

mateacuteria mol mol

ldquo a quantidade de substacircncia de

um sistema que conteacutem tantas

entidades elementares quanto satildeo os aacutetomos em 0012 quilogramas de

carbono 12rdquo (1971)

Intensidade

luminosa candela cd

ldquoa intensidade luminosa na

direccedilatildeo perpendicular de uma

superfiacutecie de 1600 000 metros

quadrados de um corpo negro na

temperatura de solidificaccedilatildeo da

platina sob a pressatildeo de 101325

Newton por metro quadradordquo

(1967)

Obs a temperatura de solidificaccedilatildeo

da platina sob a referida pressatildeo eacute 2043 K

httpwwwwebcalccombr (paacutegina com simuladores de conversotildees de medidas)

251 Comprimento

Metro (m) unidade SI distacircncia percorrida pela luz no vaacutecuo em um intervalo de tempo igual a

1299792458 s

Unidades de comprimento tradicionais

Quilocircmetro (km) 1000 m

palmo 22 cm

braccedila 22m leacutegua 6 km

leacutegua brasileira 66 km

Unidades de comprimento inglesas

Polegada (in) 254 cm ou 00254 m

peacute (ft) 3048 cm ou 03048 m

jarda (yd) 9144 cm ou 09144 m milha (mi) 1609 m

milha naacuteutica 1852 m

7

23 Primeiros Padrotildees

O surgimento de padrotildees materiais de referecircncia para as unidades de medidas marca o iniacutecio da construccedilatildeo dos primeiros sistemas de pesos e medidas Eles estatildeo presentes nas

civilizaccedilotildees da Assiacuteria Babilocircnia Caldeacuteia e Egito

Os padrotildees de peso mais antigos ateacute hoje conhecidos datam do quarto milecircnio antes de

Cristo Satildeo pequenos cilindros de base cocircncava com cerca de 13 gramas encontrados nos

tuacutemulos de Amrah no Egito

O sistema egiacutepcio tem grande influecircncia sobre os povos da Antiguidade Do vale do Rio Nilo espalha-se pela Judeacuteia Aacutesia Menor e Greacutecia chega agraves colocircnias gregas da Peniacutensula Itaacutelica

e mais tarde eacute levado pelos romanos para as diferentes regiotildees da Europa Mistura-se entatildeo

aos sistemas locais assumindo novas caracteriacutesticas

24 Sistemas Inglecircs e Norte-Americano

A Inglaterra normatiza seu sistema consuetudinaacuterio de pesos e medidas logo apoacutes a promulgaccedilatildeo da Carta Magna em 1215 O sistema usado por mais de 600 anos tambeacutem eacute

adotado pelas ex-colocircnias inglesas Os Estados Unidos usam o mesmo sistema inglecircs com

pequenas modificaccedilotildees

Atualmente embora o Parlamento britacircnico tenha decidido pela adesatildeo do paiacutes ao Sistema Internacional de Unidades a populaccedilatildeo inglesa continua utilizando o antigo sistema em

seu dia-a-dia Nos Estados Unidos o sistema meacutetrico eacute oficialmente permitido desde 1866 e em

1959 as unidades de medidas tradicionais passam a ser definidas em funccedilatildeo do Sistema

Internacional de Unidades Nos anos 60 o paiacutes inicia um movimento de conversatildeo para o Sistema Internacional A populaccedilatildeo no entanto tambeacutem tem resistido em abandonar as antigas

medidas

25 Principais Grandezas

O Sistema Internacional de Unidades (SI) eacute o mais aceito em todo o mundo No entanto

ainda satildeo usadas unidades tradicionais de origem consuetudinaacuteria ou de sistemas anteriores agrave

elaboraccedilatildeo do SI

Tabela 1 Unidades de medida no SI

GRANDEZA UNIDADE SIacuteMBOLO DEFINICcedilAtildeO

Comprimento Metro m

ldquo o comprimento do percurso coberto pela luz no vaacutecuo em

1299 792 458 de um segundordquo

(1983)

Massa Quilograma kg

ldquo este protoacutetipo (um certo cilindro

de liga de platina-iriacutedio) seraacute

considerado daqui por diante a

unidade de massardquo (1889)

Obs O protoacutetipo foi baseado na

massa de aacutegua a 4 degC contida em

um cubo de 10 centiacutemetros de

aresta

Tempo Segundo s

ldquo a duraccedilatildeo de 9 192 631 770

vibraccedilotildees da transiccedilatildeo entre dois

niacuteveis hiperfinos do estado fundamental do aacutetomo de ceacutesio

133rdquo (1967)

8

Corrente

eleacutetrica ampegravere A

ldquo a corrente constante que

mantida em dois condutores

retiliacuteneos paralelos de

comprimento infinito de seccedilatildeo

circular despreziacutevel e separados

pela distacircncia de 1 metro no vaacutecuo provoca entre estes condutores uma

forccedila igual a 210-7 Newton por

metro de comprimentordquo (1946)

Temperatura Kelvin K

ldquo a fraccedilatildeo 127316 da

temperatura termodinacircmica do

ponto triplo da aacuteguardquo (1967)

Obs A temperatura relativa na

escala Celsius eacute definida por t = T

- To onde To = 27315 K por

definiccedilatildeo

Quantidade de

mateacuteria mol mol

ldquo a quantidade de substacircncia de

um sistema que conteacutem tantas

entidades elementares quanto satildeo os aacutetomos em 0012 quilogramas de

carbono 12rdquo (1971)

Intensidade

luminosa candela cd

ldquoa intensidade luminosa na

direccedilatildeo perpendicular de uma

superfiacutecie de 1600 000 metros

quadrados de um corpo negro na

temperatura de solidificaccedilatildeo da

platina sob a pressatildeo de 101325

Newton por metro quadradordquo

(1967)

Obs a temperatura de solidificaccedilatildeo

da platina sob a referida pressatildeo eacute 2043 K

httpwwwwebcalccombr (paacutegina com simuladores de conversotildees de medidas)

251 Comprimento

Metro (m) unidade SI distacircncia percorrida pela luz no vaacutecuo em um intervalo de tempo igual a

1299792458 s

Unidades de comprimento tradicionais

Quilocircmetro (km) 1000 m

palmo 22 cm

braccedila 22m leacutegua 6 km

leacutegua brasileira 66 km

Unidades de comprimento inglesas

Polegada (in) 254 cm ou 00254 m

peacute (ft) 3048 cm ou 03048 m

jarda (yd) 9144 cm ou 09144 m milha (mi) 1609 m

milha naacuteutica 1852 m

8

Corrente

eleacutetrica ampegravere A

ldquo a corrente constante que

mantida em dois condutores

retiliacuteneos paralelos de

comprimento infinito de seccedilatildeo

circular despreziacutevel e separados

pela distacircncia de 1 metro no vaacutecuo provoca entre estes condutores uma

forccedila igual a 210-7 Newton por

metro de comprimentordquo (1946)

Temperatura Kelvin K

ldquo a fraccedilatildeo 127316 da

temperatura termodinacircmica do

ponto triplo da aacuteguardquo (1967)

Obs A temperatura relativa na

escala Celsius eacute definida por t = T

- To onde To = 27315 K por

definiccedilatildeo

Quantidade de

mateacuteria mol mol

ldquo a quantidade de substacircncia de

um sistema que conteacutem tantas

entidades elementares quanto satildeo os aacutetomos em 0012 quilogramas de

carbono 12rdquo (1971)

Intensidade

luminosa candela cd

ldquoa intensidade luminosa na

direccedilatildeo perpendicular de uma

superfiacutecie de 1600 000 metros

quadrados de um corpo negro na

temperatura de solidificaccedilatildeo da

platina sob a pressatildeo de 101325

Newton por metro quadradordquo

(1967)

Obs a temperatura de solidificaccedilatildeo

da platina sob a referida pressatildeo eacute 2043 K

httpwwwwebcalccombr (paacutegina com simuladores de conversotildees de medidas)

251 Comprimento

Metro (m) unidade SI distacircncia percorrida pela luz no vaacutecuo em um intervalo de tempo igual a

1299792458 s

Unidades de comprimento tradicionais

Quilocircmetro (km) 1000 m

palmo 22 cm

braccedila 22m leacutegua 6 km

leacutegua brasileira 66 km

Unidades de comprimento inglesas

Polegada (in) 254 cm ou 00254 m

peacute (ft) 3048 cm ou 03048 m

jarda (yd) 9144 cm ou 09144 m milha (mi) 1609 m

milha naacuteutica 1852 m

9

Distacircncias astronocircmicas

Ano-luz distacircncia percorrida pela luz no vaacutecuo em 1 ano igual a 946 trilhotildees de

quilocircmetros ou 946 times 1010 km parsec 3258 anos-luz ou 3082 trilhotildees de quilocircmetros ou 3082 times 1013 km

unidade astronocircmica (uA) distacircncia meacutedia entre a Terra e o Sol igual a 150 milhotildees de

quilocircmetros ou 150 times 106 km

252 Aacuterea

Metro quadrado (msup2) unidade SI aacuterea de um quadrado com lado igual a um metro

Unidades de aacuterea tradicionais

quilocircmetro quadrado (kmsup2) 1000000 msup2 hectare (ha) 10000 msup2

alqueire mineiro 48400 msup2

alqueire paulista 24200 msup2

Unidades de aacuterea inglesas

polegada quadrada 64516 cmsup2 ou 000064516 msup2

peacute quadrado 92903 cmsup2 ou 0092903 msup2

253 Volume

Metro cuacutebico (msup3) unidade SI cubo com arestas iguais a um metro

Unidade de volume tradicional

Litro (l) 0001 msup3

Unidades de volume inglesas

Galatildeo inglecircs 4546 l ou 0004546 msup3 Galatildeo norte-americano 3785 l ou 0003785 msup3

Onccedila fluida ndash USA (fl oz) 295 centilitros = 295 ml

254 Acircngulo Plano

Radiano (rad ou rd) unidade SI acircngulo plano entre dois raios de um ciacuterculo que forma um arco

de circunferecircncia com o comprimento igual ao do raio

Unidades de acircngulo plano tradicionais ndash

grau (ordm) 180 rad minuto (lsquo) 10 800

segundo (ldquo) 648 000 rad

nuacutemero 31416

255 Acircngulo Soacutelido

Esterradiano (sr) unidade SI acircngulo soacutelido que tendo o veacutertice no centro de uma esfera leva a

um corte em sua superfiacutecie com aacuterea igual a de um quadrado com lados iguais ao raio da esfera

10

256 Massa

Quilograma (kg) unidade SI massa do protoacutetipo internacional do quilograma um padratildeo

construiacutedo com uma liga de platina e iriacutedio

Unidades de massa tradicionais

quilate 02 g ou 0002 kg

tonelada meacutetrica (t) 1000 kg

Unidades de massa inglesas

libra ou pound (lb) 45359 g ou 0453 kg

tonelada inglesa 1016 kg

tonelada norte-americana 907 kg onccedila (oz) 2835 g ou 0028 kg

onccedila troy 3110 g ou 0031 kg

257 Tempo

Segundo (s) unidade SI tempo correspondente a 9192 631770 ciclos de radiaccedilotildees emitidas

entre dois niacuteveis de energia do aacutetomo de ceacutesio 133

Unidades de tempo tradicionais

minuto (min) 60s hora (h) 60min ou 3600s

dia (d) 24h ou 1440min ou 86 400s

ano sideral 365d 6h 9min 95s

ano troacutepico 365d 5h 48min 458s

258 Velocidade

Metro por segundo (ms) unidade SI distacircncia percorrida em um segundo

Unidades de velocidade tradicionais

quilocircmetro por hora (kmh) 136 ms ou 027777 ms

Unidades de velocidade inglesas

milha por hora (mih) 1609 kmh ou 04469 ms

noacute (milha naacuteutica por hora) 1852 kmh ou 05144 ms

Velocidade da luz no vaacutecuo 299 792 458 ms ou aproximadamente 30 times 108 ms

259 Velocidade Angular

Radiano por segundo (rads) unidade SI velocidade de rotaccedilatildeo de um corpo

Unidade de velocidade angular tradicional

Rotaccedilatildeo por minuto (rpm) aproximadamente 01047 rads

11

2510 Aceleraccedilatildeo

Metro por segundo ao quadrado (mssup2) unidade SI constante de variaccedilatildeo de velocidade

Radiano por segundo ao quadrado (radssup2) unidade SI constante de variaccedilatildeo de

velocidade angular

2511 Frequecircncia

Hertz (Hz) unidade SI nuacutemero de ciclos completos por segundo (Hz s-sup1)

2512 Forccedila

Newton (N) unidade SI forccedila que imprime uma aceleraccedilatildeo de 1 mssup2 a uma massa de 1 kg

(kgmssup2) na direccedilatildeo da forccedila aplicada

Unidade de forccedila tradicional

Quilograma-forccedila (kgf) 98N

2513 Energia

Joule (J) unidade SI energia necessaacuteria para uma forccedila de 1N produzir um deslocamento de 1m

(J Nm)

Unidades de energia tradicionais

Watt-hora (Wh) 3 600 J

quilowatt-hora (kWh) 3600000 J ou 3600 kJ eletrovolt (eV) 16021 times 10 J

caloria (cal) 41 J

quilocaloria (kcal) 4 184 J

2514 Potecircncia

Watt (W) unidade SI potecircncia necessaacuteria para exercer uma energia de 1 J durante um segundo

(W Js) O fluxo de energia (eleacutetrica sonora teacutermica ou luminosa) tambeacutem eacute medido em watt

Unidade de potecircncia tradicional

Horse-power (HP) ou cavalo-vapor (cv) 7355 W

2515 Intensidade Energeacutetica

Watt por esterradiano (Wsr) unidade SI intensidade do fluxo de energia no interior de um

acircngulo soacutelido igual a 1sr

2516 Pressatildeo

Pascal (Pa) unidade SI forccedila constante de 1N sobre uma superfiacutecie plana de 1msup2 (Pa Nmsup2)

Unidades de pressatildeo tradicionais

Miliacutemetro de mercuacuterio (mmHg) 13332 Pa

12

atmosfera (atm) 101 325 Pa ou cong105 Pa asymp 14696 psi equiv 14696 lbfinsup2 = 76 cmHg

2517 Corrente Eleacutetrica

Ampegravere (A) unidade SI corrente eleacutetrica constante capaz de produzir uma forccedila igual a 2 times 10 N entre dois condutores de comprimento infinito e seccedilatildeo transversal despreziacutevel situados no

vaacutecuo e com 1 m de distacircncia entre si

2518 Carga Eleacutetrica

Coulomb (C) unidade SI quantidade de eletricidade com intensidade constante de 1A que

atravessa a seccedilatildeo de um condutor durante 1s (C sA)

Unidade de carga eleacutetrica tradicional

Ampegravere-hora (Ah) 3600 C

2519 Diferenccedila de Potencial

Volt (V) unidade SI tensatildeo eleacutetrica existente entre duas seccedilotildees transversais de um condutor percorrido por uma corrente constante de 1A quando a frequecircncia dissipada entre as duas

seccedilotildees eacute igual a 1W (V WA)

2520 Resistecircncia Eleacutetrica

Ohm (Ω) unidade SI resistecircncia de um elemento de um circuito que submetido a uma

diferenccedila de potencial de 1V entre seus terminais faz circular uma corrente constante de 1A (

VA)

2521 Capacitacircncia Eleacutetrica

Farad (F) unidade SI capacitacircncia de um elemento de um circuito que ao ser carregado com

uma quantidade de eletricidade constante igual a 1C apresenta uma tensatildeo constante igual a 1V

(F CV)

2522 Indutacircncia Eleacutetrica

Henry (H) unidade SI indutacircncia de um elemento passivo de um circuito em cujos terminais se induz uma tensatildeo constante de 1V quando percorrido por uma corrente que varia na razatildeo de 1A

por segundo (H VsA ou Ws)

2523 Temperatura

Kelvin (K) unidade SI fraccedilatildeo de 127316 da temperatura termodinacircmica do ponto triacuteplice da aacutegua que corresponde agraves condiccedilotildees de temperatura e pressatildeo em que a aacutegua em estado liacutequido

o vapor de aacutegua e o gelo estatildeo em perfeito equiliacutebrio O ponto zero da escala (0degK) eacute igual ao

zero absoluto (-27315degC)

Unidades de temperatura tradicionais ndash

Escala Celsius (degC) 0degC 273degK e 1degC 274degK

Escala Fahrenheit (F) 0degF 25533degK ou -1777degC 1degF 25578degK ou -1722degC

13

2524 Quantidade De Mateacuteria

Mol (siacutembolo mol) unidade SI quantidade de mateacuteria de um sistema que reuacutene tantas entidades elementares (partiacuteculas que devem ser especificadas) quanto o nuacutemero de aacutetomos contidos em

0012 kg de carbono

2525 Intensidade Luminosa

Candela (cd) unidade SI intensidade luminosa emitida em uma determinada direccedilatildeo por uma

fonte de radiaccedilatildeo monocromaacutetica com frequecircncia igual a 540 times 10sup1sup2 Hz e com uma intensidade

energeacutetica de 1683 watt por esterradiano

2526 Fluxo Luminoso

Luacutemen (lm) unidade SI fluxo luminoso com intensidade de 1cd emitido no interior de um

acircngulo soacutelido igual a 1sr (lm cdsr)

2527 Iluminamento

Lux (lx) unidade SI iluminamento de uma superfiacutecie plana de 1 msup2 que recebe um fluxo

luminoso perpendicular de 1lm (lx lmmsup2)

2528 Informaacutetica

Bit menor unidade de armazenamento de informaccedilotildees em computadores e sistemas

informatizados

Byte eacute a unidade baacutesica de memoacuteria de computadores igual a 8 bits contiacuteguos

Kilobit (kbit) 1024 bits de informaccedilatildeo Kilobyte (kbyte) 1024 bytes Megabytes

1048576 bytes

3 - Exerciacutecios

31 Agora Pratique

1) Transforme

a) 2 km em m b) 15 m em mm

c) 58 km em cm

d) 04 m em mm

e) 27 mm em cm f) 126 mm em m

g) 12 m em km

2) Agora converta as unidades de aacuterea

a) 837 dm2 em mm2

b) 314 m2 em cm2 c) 214 m2 em mm2

e) 1258 msup2 em kmsup2

f) 129 kmsup2 em msup2

g) 153 msup2 em mmsup2 h) 120 ha em m2

3) Depois converta as de volume

a) 8132 km3 em litros b) 1 m3 em mm3

c) 5 cmsup3 em msup3

d) 250 litros em msup3

e) 12 msup3 em oz fl

4) Converta em litros

a) 35 dmsup3=

b) 5 msup3=

c) 26 dmsup3=

d) 34 msup3=

e) 28 cmsup3=

f) 43 msup3= g) 13 dmsup3= h) 230 mL = i) 1 oz fl =

14

5) Qual o resultado em metros cuacutebicos do valor da expressatildeo

3540 dm3 + 340000 cm3 + 1 m3 + 100 L =

6) Um aquaacuterio tem o formato de um paralelepiacutepedo retangular de largura 50 dm comprimento

320 cm e altura 2500 mm Para encher 34 dele com aacutegua quantos litros de aacutegua seratildeo usados

7) Preciso colocar arame farpado em volta de um terreno retangular que mede 02 km de largura

e 350 m de comprimento Quantos metros de arame farpado devo usar se desejo dar 4 voltas

(cercado de quatro fios)

8) Uma unidade de aacuterea frequentemente utilizada para expressar aacutereas de terra eacute o hectare

definido como 104 m2 Uma mina de carvatildeo a ceacuteu aberto consome 75 hectares de terra a uma

profundidade de 26 m por ano Calcule o volume de terra retirada neste tempo em km3

9) A proacutexima geraccedilatildeo de chips da Intel os P7 que saiu da faacutebrica em meados de 2015

reunindo nada menos do que dez milhotildees de transistores num quadrinho com quatro ou cinco

miliacutemetros de ladordquo (Revista ISTO Eacute ndeg1945 paacutegina 61)

Tendo como base as informaccedilotildees anteriores podemos afirmar que cada um desses transistores ocupa uma aacuterea da ordem de

Decirc sua resposta em m2

10) Um caminhatildeo consegue transportar 39 toneladas de carga Sabendo que uma laranja pesa

130 gramas quantas laranjas o caminhatildeo pode carregar

11) Em uma aacuterea disponiacutevel em formato retangular de 3 metros por 4 metros eu pretendo cavar

uma cisterna para guardar 15000 litros de aacutegua A qual profundidade em centiacutemetros eu devo

cavar

12) Muitos remeacutedios satildeo tomados em doses menores que o mg Um comprimido de certo

remeacutedio tem 0025 mg de uma certa substacircncia Com 1 kg desta substacircncia quantos

comprimidos podem ser feitos

13) Uma parede de 5 metros por 2 metros deve ser coberta com azulejos quadrados de lado 25

cm Uma caixa de azulejos tem 100 azulejos Quantas caixas eu devo comprar no miacutenimo para

garantir que natildeo fiquem faltando azulejos

14) Um muro em formato de um paralelepiacutepedo retangular mede 20 metros de comprimento e

2 metros de altura tendo 50 centiacutemetros de espessura Sabendo que ele foi construiacutedo com

tijolos em formato de paralelepiacutepedo com dimensotildees 10 cm x 10 cm x 20 cm determine o

nuacutemero de tijolos usados para construir o muro

15) Um programa de televisatildeo comeccedilou agraves 13 horas 15 minutos e 20 segundos e terminou agraves

15 horas 5 minutos e 40 segundos Quanto tempo este programa durou em segundos

16) Um aviatildeo decolou agraves 15 horas e 30 minutos e a viagem durou 17358 segundos Determine

o horaacuterio em que o aviatildeo chegou

17) Nosso planeta possui uma velocidade orbital meacutedia de 107200 kmh Qual a velocidade do

nosso planeta em ms Em um dia completo quantos quilocircmetros ela se desloca no espaccedilo

15

18) Um tubo de plaacutestico (esgoto) possui 100 mm de diacircmetro e 6 metros de comprimento Ao

preenchecirc-lo completamente com aacutegua quantos litros caberatildeo

19) Desejo construir em minha comunidade uma caixa dacuteaacutegua de

cimento (figura) com cinco aneacuteis Sabendo que o diacircmetro interno do anel eacute de 150 m e sua altura mede 100 m qual a capacidade dessa

caixa

20) Quais satildeo as dimensotildees do carro em metros

CAPIacuteTULO 3

3- RELACcedilOtildeES ENTRE DUAS GRANDEZAS FIacuteSICAS

Em muitos eventos eacute possiacutevel selecionar apenas duas grandezas para anaacutelise

observando o comportamento de uma delas em funccedilatildeo da outra Para facilitar e organizar a anaacutelise e a observaccedilatildeo do comportamento destas grandezas normalmente as mediccedilotildees

realizadas resultam em dados dispostos em uma tabela Outra maneira interessante de apresentar

o comportamento destas grandezas fiacutesicas eacute sob a forma graacutefica utilizando o plano cartesiano onde muitas vezes a relaccedilatildeo entre as grandezas eacute percebida mais rapidamente pois estes

graacuteficos permitem uma visatildeo mais geral do comportamento das duas grandezas fiacutesicas O

graacutefico (diagrama de dispersatildeo) permite que se visualize a forma do relacionamento entre duas variaacuteveis possibilitando tambeacutem que se proponha alguma(s) funccedilatildeo (otildees) que reproduza(m) de

forma mais ou menos aproximada o comportamento observado no graacutefico

Neste texto nos limitamos agrave introduccedilatildeo ao estudo das relaccedilotildees entre grandezas fiacutesicas

procurando caracterizar as relaccedilotildees diretamente e inversamente proporcionais que poderatildeo ser estendidas para outras relaccedilotildees mais complexas entre as grandezas fiacutesicas envolvidas

31 RELACcedilOtildeES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo diretamente proporcional vamos considerar uma mola helicoidal plaacutestica (pode ser uma espiral de encadernaccedilatildeo) que se deforma ao equilibrar um

corpo suspenso a ela Quando o corpo atingir o equiliacutebrio permanecendo em repouso a forccedila

responsaacutevel pela deformaccedilatildeo da mola tem o mesmo valor do peso do corpo suspenso Variando-se o peso do corpo suspenso pode-se sujeitar a mola a forccedilas deformadoras diferentes Por

exemplo no iniacutecio a mola suportava apenas um recipiente leve Depois foram acrescentadas

diversas bolinhas a este recipiente e medidas as elongaccedilotildees (deformaccedilotildees) produzidas pelas bolinhas sobre a mola utilizando uma reacutegua como mostra a Figura 2

16

Figura2 Mola suspensa

Na Tabela 2 vocecirc deve registrar os dados do experimento com a mola relacionando o moacutedulo

do peso das bolinhas (F) suspensas na mola e as elongaccedilotildees na mola (x) produzidas pelas

bolinhas suspensas

Tabela 2 Dados do experimento da Lei de Hooke

Moacutedulo do peso das bolinhas (F) (gf) Elongaccedilatildeo da mola (x) (cm)

Conclusotildees

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

311 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico F (forccedila) (gf) versus x (deformaccedilatildeo) (cm) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

32 RELACcedilOtildeES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo inversamente proporcional vamos considerar um objeto

luminoso (um colega ou outra coisa qualquer brincadeira) colocado em frente ao orifiacutecio de

uma cacircmara escura (de profundidade 15 cm) e a consequente formaccedilatildeo de sua imagem projetada e invertida dentro desta cacircmara A Figura 3 apresenta um esquema desta formaccedilatildeo de

imagem

Figura 3 Cacircmara escura

17

Observa-se que alterando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura tambeacutem

eacute alterada a altura da imagem (h) do objeto formada nesta cacircmara

A Tabela 3 apresenta os registros de um experimento semelhante realizado com uma cacircmara escura relacionando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura e a altura da imagem

(h) do objeto formada dentro desta mesma cacircmara escura

Tabela 3 Dados do experimento Cacircmara Escura

Distacircncia do objeto (d) (cm) Altura da imagem (h) (cm)

Conclusatildeo

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

321 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico d (distacircncia) (cm) versus h (altura) (cm) deste experimento (USE PAPEL

MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

33 GRANDEZAS FIacuteSICAS INDEPENDENTES

Para caracterizar a inexistecircncia de relaccedilatildeo entre duas grandezas fiacutesicas vamos considerar que um pecircndulo tenha a sua massa alterada diversas vezes alterando-se o nuacutemero de

bolinhas contidas num pequeno copo suspenso por um fio sem alterar o seu comprimento e a

sua amplitude de oscilaccedilatildeo Em cada uma destas vezes foram medidos o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e

a massa do pecircndulo utilizando-se um cronocircmetro digital e uma balanccedila de prato para isto

Figura 4 Pecircndulo virtual utilizado Fonte PHET

18

Tabela 4 Dados do experimento do Pecircndulo Simples

Periacuteodo (T) (s) Massa (m) (g)

Conclusatildeo

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

331 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico T (periacuteodo) (s) versus m (massa) (g) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

CAPIacuteTULO 4

4 AVENTURA MEacuteTRICA

Vocecirc sabe o motivo do nuacutemero do seu calccedilado ser ____ Natildeo Entatildeo vamos conhecer

A numeraccedilatildeo dos sapatos foi criada em 1324 na Inglaterra no reinado de Eduardo II tendo como unidade de medida um gratildeo de cevada que correspondia a 13 de polegada (lembrando

que 1 polegada equivale a 254 centiacutemetros) Hoje os meacutetodos ou sistemas de numeraccedilatildeo de

calccedilado baseiam-se em outras unidades de medida mas natildeo haacute uma uniformidade de padrotildees em termos internacionais Jaacute imaginou o que isso pode ocasionar

No Brasil o nuacutemero de sapato estaacute relacionado com o tamanho do peacute em centiacutemetros e eacute dado

pela seguinte equaccedilatildeo de 1ordm grau

119873 =5 119901 + 28

4

Onde N eacute o nuacutemero do sapato e p eacute o tamanho do peacute em centiacutemetros

Meccedila seu peacute com a trena e verifique se a ldquofoacutermulardquo acima eacute verdadeira

41 O PAPEL DE CADA DIA

Os tamanhos de papel indicados como An ou seja (A0 A1 A2 A3 A4 A5 A10)

tecircm padratildeo de medidas universal

A altura dividida pela base resulta sempre em radic2 (raiz quadrada de dois) que daacute aproximadamente 141

O tamanho A0 tem exatamente 1 metro quadrado As aacutereas (A0 A1 A2 A3 A4 A10) formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 12 Vocecirc

sabe o que isso significa

19

O tamanho de uma folha de papel

No quadro seguinte vocecirc vecirc alguns formatos de papel

Nome Largura

(mm cm e m)

Comprimento

(mm cm e m)

Diagonal

(mm cm e m)

Periacutemetro

(mm cm e m)

Aacuterea

(mm2 cm2 e m2)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

a) Complete o quadro

b) Quantas folhas A1 podem obter com uma folha A0 c) Quantas folhas A2 podem obter com uma folha A1 E A0

d) Quantas folhas A5 podem obter com uma folha A4

e) Quantas folhas A4 vocecirc precisa para obter com uma folha A3 E A2

20

42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE

VEGETAL

Georg Alexander Pick (1859 ndash 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite

calcular a aacuterea de um poliacutegono simples sobreposto a uma malha quadriculada relacionando

somente os noacutes localizados no periacutemetro deste poliacutegono e o nuacutemero de noacutes internos a ele Definiccedilatildeo 1 Um noacute eacute definido pela intersecccedilatildeo de duas retas da malha

[Figura 1 - Noacute]

Definiccedilatildeo 2 Um poliacutegono simples eacute aquele que natildeo possui buracos no seu interior nem

intersecccedilotildees com suas arestas

[Figura 2 ndash Poliacutegono simples e poliacutegonos natildeo-simples]

Teorema 1 Seja P um poliacutegono simples Sejam B o nuacutemero de noacutes coincidentes ao periacutemetro e i o nuacutemero de noacutes internos ao poliacutegono A aacuterea do poliacutegono P seraacute dada pela foacutermula de Pick

119860 =1

2119861 + 119894 minus 1 (1)

Para determinarmos a aacuterea de um triacircngulo vamos considerar a figura abaixo onde os pontos vermelhos satildeo os coincidentes ao periacutemetro e os pontos verdes satildeo internos AP poliacutegono

[Figura 3 - Triacircngulo]

Entatildeo termos que B = 12 e i = 4 Aplicando na foacutermula de Pick obtemos

119860 =1

2 12 + 4 minus 1 = 9 119906 119886 (2)

Pela foacutermula conhecida para calcula de aacutereas de triacircngulos temos que

119860 =1

2 6 3 = 9 119906 119886 (3)

10

256 Massa

Quilograma (kg) unidade SI massa do protoacutetipo internacional do quilograma um padratildeo

construiacutedo com uma liga de platina e iriacutedio

Unidades de massa tradicionais

quilate 02 g ou 0002 kg

tonelada meacutetrica (t) 1000 kg

Unidades de massa inglesas

libra ou pound (lb) 45359 g ou 0453 kg

tonelada inglesa 1016 kg

tonelada norte-americana 907 kg onccedila (oz) 2835 g ou 0028 kg

onccedila troy 3110 g ou 0031 kg

257 Tempo

Segundo (s) unidade SI tempo correspondente a 9192 631770 ciclos de radiaccedilotildees emitidas

entre dois niacuteveis de energia do aacutetomo de ceacutesio 133

Unidades de tempo tradicionais

minuto (min) 60s hora (h) 60min ou 3600s

dia (d) 24h ou 1440min ou 86 400s

ano sideral 365d 6h 9min 95s

ano troacutepico 365d 5h 48min 458s

258 Velocidade

Metro por segundo (ms) unidade SI distacircncia percorrida em um segundo

Unidades de velocidade tradicionais

quilocircmetro por hora (kmh) 136 ms ou 027777 ms

Unidades de velocidade inglesas

milha por hora (mih) 1609 kmh ou 04469 ms

noacute (milha naacuteutica por hora) 1852 kmh ou 05144 ms

Velocidade da luz no vaacutecuo 299 792 458 ms ou aproximadamente 30 times 108 ms

259 Velocidade Angular

Radiano por segundo (rads) unidade SI velocidade de rotaccedilatildeo de um corpo

Unidade de velocidade angular tradicional

Rotaccedilatildeo por minuto (rpm) aproximadamente 01047 rads

11

2510 Aceleraccedilatildeo

Metro por segundo ao quadrado (mssup2) unidade SI constante de variaccedilatildeo de velocidade

Radiano por segundo ao quadrado (radssup2) unidade SI constante de variaccedilatildeo de

velocidade angular

2511 Frequecircncia

Hertz (Hz) unidade SI nuacutemero de ciclos completos por segundo (Hz s-sup1)

2512 Forccedila

Newton (N) unidade SI forccedila que imprime uma aceleraccedilatildeo de 1 mssup2 a uma massa de 1 kg

(kgmssup2) na direccedilatildeo da forccedila aplicada

Unidade de forccedila tradicional

Quilograma-forccedila (kgf) 98N

2513 Energia

Joule (J) unidade SI energia necessaacuteria para uma forccedila de 1N produzir um deslocamento de 1m

(J Nm)

Unidades de energia tradicionais

Watt-hora (Wh) 3 600 J

quilowatt-hora (kWh) 3600000 J ou 3600 kJ eletrovolt (eV) 16021 times 10 J

caloria (cal) 41 J

quilocaloria (kcal) 4 184 J

2514 Potecircncia

Watt (W) unidade SI potecircncia necessaacuteria para exercer uma energia de 1 J durante um segundo

(W Js) O fluxo de energia (eleacutetrica sonora teacutermica ou luminosa) tambeacutem eacute medido em watt

Unidade de potecircncia tradicional

Horse-power (HP) ou cavalo-vapor (cv) 7355 W

2515 Intensidade Energeacutetica

Watt por esterradiano (Wsr) unidade SI intensidade do fluxo de energia no interior de um

acircngulo soacutelido igual a 1sr

2516 Pressatildeo

Pascal (Pa) unidade SI forccedila constante de 1N sobre uma superfiacutecie plana de 1msup2 (Pa Nmsup2)

Unidades de pressatildeo tradicionais

Miliacutemetro de mercuacuterio (mmHg) 13332 Pa

12

atmosfera (atm) 101 325 Pa ou cong105 Pa asymp 14696 psi equiv 14696 lbfinsup2 = 76 cmHg

2517 Corrente Eleacutetrica

Ampegravere (A) unidade SI corrente eleacutetrica constante capaz de produzir uma forccedila igual a 2 times 10 N entre dois condutores de comprimento infinito e seccedilatildeo transversal despreziacutevel situados no

vaacutecuo e com 1 m de distacircncia entre si

2518 Carga Eleacutetrica

Coulomb (C) unidade SI quantidade de eletricidade com intensidade constante de 1A que

atravessa a seccedilatildeo de um condutor durante 1s (C sA)

Unidade de carga eleacutetrica tradicional

Ampegravere-hora (Ah) 3600 C

2519 Diferenccedila de Potencial

Volt (V) unidade SI tensatildeo eleacutetrica existente entre duas seccedilotildees transversais de um condutor percorrido por uma corrente constante de 1A quando a frequecircncia dissipada entre as duas

seccedilotildees eacute igual a 1W (V WA)

2520 Resistecircncia Eleacutetrica

Ohm (Ω) unidade SI resistecircncia de um elemento de um circuito que submetido a uma

diferenccedila de potencial de 1V entre seus terminais faz circular uma corrente constante de 1A (

VA)

2521 Capacitacircncia Eleacutetrica

Farad (F) unidade SI capacitacircncia de um elemento de um circuito que ao ser carregado com

uma quantidade de eletricidade constante igual a 1C apresenta uma tensatildeo constante igual a 1V

(F CV)

2522 Indutacircncia Eleacutetrica

Henry (H) unidade SI indutacircncia de um elemento passivo de um circuito em cujos terminais se induz uma tensatildeo constante de 1V quando percorrido por uma corrente que varia na razatildeo de 1A

por segundo (H VsA ou Ws)

2523 Temperatura

Kelvin (K) unidade SI fraccedilatildeo de 127316 da temperatura termodinacircmica do ponto triacuteplice da aacutegua que corresponde agraves condiccedilotildees de temperatura e pressatildeo em que a aacutegua em estado liacutequido

o vapor de aacutegua e o gelo estatildeo em perfeito equiliacutebrio O ponto zero da escala (0degK) eacute igual ao

zero absoluto (-27315degC)

Unidades de temperatura tradicionais ndash

Escala Celsius (degC) 0degC 273degK e 1degC 274degK

Escala Fahrenheit (F) 0degF 25533degK ou -1777degC 1degF 25578degK ou -1722degC

13

2524 Quantidade De Mateacuteria

Mol (siacutembolo mol) unidade SI quantidade de mateacuteria de um sistema que reuacutene tantas entidades elementares (partiacuteculas que devem ser especificadas) quanto o nuacutemero de aacutetomos contidos em

0012 kg de carbono

2525 Intensidade Luminosa

Candela (cd) unidade SI intensidade luminosa emitida em uma determinada direccedilatildeo por uma

fonte de radiaccedilatildeo monocromaacutetica com frequecircncia igual a 540 times 10sup1sup2 Hz e com uma intensidade

energeacutetica de 1683 watt por esterradiano

2526 Fluxo Luminoso

Luacutemen (lm) unidade SI fluxo luminoso com intensidade de 1cd emitido no interior de um

acircngulo soacutelido igual a 1sr (lm cdsr)

2527 Iluminamento

Lux (lx) unidade SI iluminamento de uma superfiacutecie plana de 1 msup2 que recebe um fluxo

luminoso perpendicular de 1lm (lx lmmsup2)

2528 Informaacutetica

Bit menor unidade de armazenamento de informaccedilotildees em computadores e sistemas

informatizados

Byte eacute a unidade baacutesica de memoacuteria de computadores igual a 8 bits contiacuteguos

Kilobit (kbit) 1024 bits de informaccedilatildeo Kilobyte (kbyte) 1024 bytes Megabytes

1048576 bytes

3 - Exerciacutecios

31 Agora Pratique

1) Transforme

a) 2 km em m b) 15 m em mm

c) 58 km em cm

d) 04 m em mm

e) 27 mm em cm f) 126 mm em m

g) 12 m em km

2) Agora converta as unidades de aacuterea

a) 837 dm2 em mm2

b) 314 m2 em cm2 c) 214 m2 em mm2

e) 1258 msup2 em kmsup2

f) 129 kmsup2 em msup2

g) 153 msup2 em mmsup2 h) 120 ha em m2

3) Depois converta as de volume

a) 8132 km3 em litros b) 1 m3 em mm3

c) 5 cmsup3 em msup3

d) 250 litros em msup3

e) 12 msup3 em oz fl

4) Converta em litros

a) 35 dmsup3=

b) 5 msup3=

c) 26 dmsup3=

d) 34 msup3=

e) 28 cmsup3=

f) 43 msup3= g) 13 dmsup3= h) 230 mL = i) 1 oz fl =

14

5) Qual o resultado em metros cuacutebicos do valor da expressatildeo

3540 dm3 + 340000 cm3 + 1 m3 + 100 L =

6) Um aquaacuterio tem o formato de um paralelepiacutepedo retangular de largura 50 dm comprimento

320 cm e altura 2500 mm Para encher 34 dele com aacutegua quantos litros de aacutegua seratildeo usados

7) Preciso colocar arame farpado em volta de um terreno retangular que mede 02 km de largura

e 350 m de comprimento Quantos metros de arame farpado devo usar se desejo dar 4 voltas

(cercado de quatro fios)

8) Uma unidade de aacuterea frequentemente utilizada para expressar aacutereas de terra eacute o hectare

definido como 104 m2 Uma mina de carvatildeo a ceacuteu aberto consome 75 hectares de terra a uma

profundidade de 26 m por ano Calcule o volume de terra retirada neste tempo em km3

9) A proacutexima geraccedilatildeo de chips da Intel os P7 que saiu da faacutebrica em meados de 2015

reunindo nada menos do que dez milhotildees de transistores num quadrinho com quatro ou cinco

miliacutemetros de ladordquo (Revista ISTO Eacute ndeg1945 paacutegina 61)

Tendo como base as informaccedilotildees anteriores podemos afirmar que cada um desses transistores ocupa uma aacuterea da ordem de

Decirc sua resposta em m2

10) Um caminhatildeo consegue transportar 39 toneladas de carga Sabendo que uma laranja pesa

130 gramas quantas laranjas o caminhatildeo pode carregar

11) Em uma aacuterea disponiacutevel em formato retangular de 3 metros por 4 metros eu pretendo cavar

uma cisterna para guardar 15000 litros de aacutegua A qual profundidade em centiacutemetros eu devo

cavar

12) Muitos remeacutedios satildeo tomados em doses menores que o mg Um comprimido de certo

remeacutedio tem 0025 mg de uma certa substacircncia Com 1 kg desta substacircncia quantos

comprimidos podem ser feitos

13) Uma parede de 5 metros por 2 metros deve ser coberta com azulejos quadrados de lado 25

cm Uma caixa de azulejos tem 100 azulejos Quantas caixas eu devo comprar no miacutenimo para

garantir que natildeo fiquem faltando azulejos

14) Um muro em formato de um paralelepiacutepedo retangular mede 20 metros de comprimento e

2 metros de altura tendo 50 centiacutemetros de espessura Sabendo que ele foi construiacutedo com

tijolos em formato de paralelepiacutepedo com dimensotildees 10 cm x 10 cm x 20 cm determine o

nuacutemero de tijolos usados para construir o muro

15) Um programa de televisatildeo comeccedilou agraves 13 horas 15 minutos e 20 segundos e terminou agraves

15 horas 5 minutos e 40 segundos Quanto tempo este programa durou em segundos

16) Um aviatildeo decolou agraves 15 horas e 30 minutos e a viagem durou 17358 segundos Determine

o horaacuterio em que o aviatildeo chegou

17) Nosso planeta possui uma velocidade orbital meacutedia de 107200 kmh Qual a velocidade do

nosso planeta em ms Em um dia completo quantos quilocircmetros ela se desloca no espaccedilo

15

18) Um tubo de plaacutestico (esgoto) possui 100 mm de diacircmetro e 6 metros de comprimento Ao

preenchecirc-lo completamente com aacutegua quantos litros caberatildeo

19) Desejo construir em minha comunidade uma caixa dacuteaacutegua de

cimento (figura) com cinco aneacuteis Sabendo que o diacircmetro interno do anel eacute de 150 m e sua altura mede 100 m qual a capacidade dessa

caixa

20) Quais satildeo as dimensotildees do carro em metros

CAPIacuteTULO 3

3- RELACcedilOtildeES ENTRE DUAS GRANDEZAS FIacuteSICAS

Em muitos eventos eacute possiacutevel selecionar apenas duas grandezas para anaacutelise

observando o comportamento de uma delas em funccedilatildeo da outra Para facilitar e organizar a anaacutelise e a observaccedilatildeo do comportamento destas grandezas normalmente as mediccedilotildees

realizadas resultam em dados dispostos em uma tabela Outra maneira interessante de apresentar

o comportamento destas grandezas fiacutesicas eacute sob a forma graacutefica utilizando o plano cartesiano onde muitas vezes a relaccedilatildeo entre as grandezas eacute percebida mais rapidamente pois estes

graacuteficos permitem uma visatildeo mais geral do comportamento das duas grandezas fiacutesicas O

graacutefico (diagrama de dispersatildeo) permite que se visualize a forma do relacionamento entre duas variaacuteveis possibilitando tambeacutem que se proponha alguma(s) funccedilatildeo (otildees) que reproduza(m) de

forma mais ou menos aproximada o comportamento observado no graacutefico

Neste texto nos limitamos agrave introduccedilatildeo ao estudo das relaccedilotildees entre grandezas fiacutesicas

procurando caracterizar as relaccedilotildees diretamente e inversamente proporcionais que poderatildeo ser estendidas para outras relaccedilotildees mais complexas entre as grandezas fiacutesicas envolvidas

31 RELACcedilOtildeES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo diretamente proporcional vamos considerar uma mola helicoidal plaacutestica (pode ser uma espiral de encadernaccedilatildeo) que se deforma ao equilibrar um

corpo suspenso a ela Quando o corpo atingir o equiliacutebrio permanecendo em repouso a forccedila

responsaacutevel pela deformaccedilatildeo da mola tem o mesmo valor do peso do corpo suspenso Variando-se o peso do corpo suspenso pode-se sujeitar a mola a forccedilas deformadoras diferentes Por

exemplo no iniacutecio a mola suportava apenas um recipiente leve Depois foram acrescentadas

diversas bolinhas a este recipiente e medidas as elongaccedilotildees (deformaccedilotildees) produzidas pelas bolinhas sobre a mola utilizando uma reacutegua como mostra a Figura 2

16

Figura2 Mola suspensa

Na Tabela 2 vocecirc deve registrar os dados do experimento com a mola relacionando o moacutedulo

do peso das bolinhas (F) suspensas na mola e as elongaccedilotildees na mola (x) produzidas pelas

bolinhas suspensas

Tabela 2 Dados do experimento da Lei de Hooke

Moacutedulo do peso das bolinhas (F) (gf) Elongaccedilatildeo da mola (x) (cm)

Conclusotildees

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

311 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico F (forccedila) (gf) versus x (deformaccedilatildeo) (cm) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

32 RELACcedilOtildeES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo inversamente proporcional vamos considerar um objeto

luminoso (um colega ou outra coisa qualquer brincadeira) colocado em frente ao orifiacutecio de

uma cacircmara escura (de profundidade 15 cm) e a consequente formaccedilatildeo de sua imagem projetada e invertida dentro desta cacircmara A Figura 3 apresenta um esquema desta formaccedilatildeo de

imagem

Figura 3 Cacircmara escura

17

Observa-se que alterando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura tambeacutem

eacute alterada a altura da imagem (h) do objeto formada nesta cacircmara

A Tabela 3 apresenta os registros de um experimento semelhante realizado com uma cacircmara escura relacionando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura e a altura da imagem

(h) do objeto formada dentro desta mesma cacircmara escura

Tabela 3 Dados do experimento Cacircmara Escura

Distacircncia do objeto (d) (cm) Altura da imagem (h) (cm)

Conclusatildeo

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

321 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico d (distacircncia) (cm) versus h (altura) (cm) deste experimento (USE PAPEL

MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

33 GRANDEZAS FIacuteSICAS INDEPENDENTES

Para caracterizar a inexistecircncia de relaccedilatildeo entre duas grandezas fiacutesicas vamos considerar que um pecircndulo tenha a sua massa alterada diversas vezes alterando-se o nuacutemero de

bolinhas contidas num pequeno copo suspenso por um fio sem alterar o seu comprimento e a

sua amplitude de oscilaccedilatildeo Em cada uma destas vezes foram medidos o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e

a massa do pecircndulo utilizando-se um cronocircmetro digital e uma balanccedila de prato para isto

Figura 4 Pecircndulo virtual utilizado Fonte PHET

18

Tabela 4 Dados do experimento do Pecircndulo Simples

Periacuteodo (T) (s) Massa (m) (g)

Conclusatildeo

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

331 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico T (periacuteodo) (s) versus m (massa) (g) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

CAPIacuteTULO 4

4 AVENTURA MEacuteTRICA

Vocecirc sabe o motivo do nuacutemero do seu calccedilado ser ____ Natildeo Entatildeo vamos conhecer

A numeraccedilatildeo dos sapatos foi criada em 1324 na Inglaterra no reinado de Eduardo II tendo como unidade de medida um gratildeo de cevada que correspondia a 13 de polegada (lembrando

que 1 polegada equivale a 254 centiacutemetros) Hoje os meacutetodos ou sistemas de numeraccedilatildeo de

calccedilado baseiam-se em outras unidades de medida mas natildeo haacute uma uniformidade de padrotildees em termos internacionais Jaacute imaginou o que isso pode ocasionar

No Brasil o nuacutemero de sapato estaacute relacionado com o tamanho do peacute em centiacutemetros e eacute dado

pela seguinte equaccedilatildeo de 1ordm grau

119873 =5 119901 + 28

4

Onde N eacute o nuacutemero do sapato e p eacute o tamanho do peacute em centiacutemetros

Meccedila seu peacute com a trena e verifique se a ldquofoacutermulardquo acima eacute verdadeira

41 O PAPEL DE CADA DIA

Os tamanhos de papel indicados como An ou seja (A0 A1 A2 A3 A4 A5 A10)

tecircm padratildeo de medidas universal

A altura dividida pela base resulta sempre em radic2 (raiz quadrada de dois) que daacute aproximadamente 141

O tamanho A0 tem exatamente 1 metro quadrado As aacutereas (A0 A1 A2 A3 A4 A10) formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 12 Vocecirc

sabe o que isso significa

19

O tamanho de uma folha de papel

No quadro seguinte vocecirc vecirc alguns formatos de papel

Nome Largura

(mm cm e m)

Comprimento

(mm cm e m)

Diagonal

(mm cm e m)

Periacutemetro

(mm cm e m)

Aacuterea

(mm2 cm2 e m2)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

a) Complete o quadro

b) Quantas folhas A1 podem obter com uma folha A0 c) Quantas folhas A2 podem obter com uma folha A1 E A0

d) Quantas folhas A5 podem obter com uma folha A4

e) Quantas folhas A4 vocecirc precisa para obter com uma folha A3 E A2

20

42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE

VEGETAL

Georg Alexander Pick (1859 ndash 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite

calcular a aacuterea de um poliacutegono simples sobreposto a uma malha quadriculada relacionando

somente os noacutes localizados no periacutemetro deste poliacutegono e o nuacutemero de noacutes internos a ele Definiccedilatildeo 1 Um noacute eacute definido pela intersecccedilatildeo de duas retas da malha

[Figura 1 - Noacute]

Definiccedilatildeo 2 Um poliacutegono simples eacute aquele que natildeo possui buracos no seu interior nem

intersecccedilotildees com suas arestas

[Figura 2 ndash Poliacutegono simples e poliacutegonos natildeo-simples]

Teorema 1 Seja P um poliacutegono simples Sejam B o nuacutemero de noacutes coincidentes ao periacutemetro e i o nuacutemero de noacutes internos ao poliacutegono A aacuterea do poliacutegono P seraacute dada pela foacutermula de Pick

119860 =1

2119861 + 119894 minus 1 (1)

Para determinarmos a aacuterea de um triacircngulo vamos considerar a figura abaixo onde os pontos vermelhos satildeo os coincidentes ao periacutemetro e os pontos verdes satildeo internos AP poliacutegono

[Figura 3 - Triacircngulo]

Entatildeo termos que B = 12 e i = 4 Aplicando na foacutermula de Pick obtemos

119860 =1

2 12 + 4 minus 1 = 9 119906 119886 (2)

Pela foacutermula conhecida para calcula de aacutereas de triacircngulos temos que

119860 =1

2 6 3 = 9 119906 119886 (3)

11

2510 Aceleraccedilatildeo

Metro por segundo ao quadrado (mssup2) unidade SI constante de variaccedilatildeo de velocidade

Radiano por segundo ao quadrado (radssup2) unidade SI constante de variaccedilatildeo de

velocidade angular

2511 Frequecircncia

Hertz (Hz) unidade SI nuacutemero de ciclos completos por segundo (Hz s-sup1)

2512 Forccedila

Newton (N) unidade SI forccedila que imprime uma aceleraccedilatildeo de 1 mssup2 a uma massa de 1 kg

(kgmssup2) na direccedilatildeo da forccedila aplicada

Unidade de forccedila tradicional

Quilograma-forccedila (kgf) 98N

2513 Energia

Joule (J) unidade SI energia necessaacuteria para uma forccedila de 1N produzir um deslocamento de 1m

(J Nm)

Unidades de energia tradicionais

Watt-hora (Wh) 3 600 J

quilowatt-hora (kWh) 3600000 J ou 3600 kJ eletrovolt (eV) 16021 times 10 J

caloria (cal) 41 J

quilocaloria (kcal) 4 184 J

2514 Potecircncia

Watt (W) unidade SI potecircncia necessaacuteria para exercer uma energia de 1 J durante um segundo

(W Js) O fluxo de energia (eleacutetrica sonora teacutermica ou luminosa) tambeacutem eacute medido em watt

Unidade de potecircncia tradicional

Horse-power (HP) ou cavalo-vapor (cv) 7355 W

2515 Intensidade Energeacutetica

Watt por esterradiano (Wsr) unidade SI intensidade do fluxo de energia no interior de um

acircngulo soacutelido igual a 1sr

2516 Pressatildeo

Pascal (Pa) unidade SI forccedila constante de 1N sobre uma superfiacutecie plana de 1msup2 (Pa Nmsup2)

Unidades de pressatildeo tradicionais

Miliacutemetro de mercuacuterio (mmHg) 13332 Pa

12

atmosfera (atm) 101 325 Pa ou cong105 Pa asymp 14696 psi equiv 14696 lbfinsup2 = 76 cmHg

2517 Corrente Eleacutetrica

Ampegravere (A) unidade SI corrente eleacutetrica constante capaz de produzir uma forccedila igual a 2 times 10 N entre dois condutores de comprimento infinito e seccedilatildeo transversal despreziacutevel situados no

vaacutecuo e com 1 m de distacircncia entre si

2518 Carga Eleacutetrica

Coulomb (C) unidade SI quantidade de eletricidade com intensidade constante de 1A que

atravessa a seccedilatildeo de um condutor durante 1s (C sA)

Unidade de carga eleacutetrica tradicional

Ampegravere-hora (Ah) 3600 C

2519 Diferenccedila de Potencial

Volt (V) unidade SI tensatildeo eleacutetrica existente entre duas seccedilotildees transversais de um condutor percorrido por uma corrente constante de 1A quando a frequecircncia dissipada entre as duas

seccedilotildees eacute igual a 1W (V WA)

2520 Resistecircncia Eleacutetrica

Ohm (Ω) unidade SI resistecircncia de um elemento de um circuito que submetido a uma

diferenccedila de potencial de 1V entre seus terminais faz circular uma corrente constante de 1A (

VA)

2521 Capacitacircncia Eleacutetrica

Farad (F) unidade SI capacitacircncia de um elemento de um circuito que ao ser carregado com

uma quantidade de eletricidade constante igual a 1C apresenta uma tensatildeo constante igual a 1V

(F CV)

2522 Indutacircncia Eleacutetrica

Henry (H) unidade SI indutacircncia de um elemento passivo de um circuito em cujos terminais se induz uma tensatildeo constante de 1V quando percorrido por uma corrente que varia na razatildeo de 1A

por segundo (H VsA ou Ws)

2523 Temperatura

Kelvin (K) unidade SI fraccedilatildeo de 127316 da temperatura termodinacircmica do ponto triacuteplice da aacutegua que corresponde agraves condiccedilotildees de temperatura e pressatildeo em que a aacutegua em estado liacutequido

o vapor de aacutegua e o gelo estatildeo em perfeito equiliacutebrio O ponto zero da escala (0degK) eacute igual ao

zero absoluto (-27315degC)

Unidades de temperatura tradicionais ndash

Escala Celsius (degC) 0degC 273degK e 1degC 274degK

Escala Fahrenheit (F) 0degF 25533degK ou -1777degC 1degF 25578degK ou -1722degC

13

2524 Quantidade De Mateacuteria

Mol (siacutembolo mol) unidade SI quantidade de mateacuteria de um sistema que reuacutene tantas entidades elementares (partiacuteculas que devem ser especificadas) quanto o nuacutemero de aacutetomos contidos em

0012 kg de carbono

2525 Intensidade Luminosa

Candela (cd) unidade SI intensidade luminosa emitida em uma determinada direccedilatildeo por uma

fonte de radiaccedilatildeo monocromaacutetica com frequecircncia igual a 540 times 10sup1sup2 Hz e com uma intensidade

energeacutetica de 1683 watt por esterradiano

2526 Fluxo Luminoso

Luacutemen (lm) unidade SI fluxo luminoso com intensidade de 1cd emitido no interior de um

acircngulo soacutelido igual a 1sr (lm cdsr)

2527 Iluminamento

Lux (lx) unidade SI iluminamento de uma superfiacutecie plana de 1 msup2 que recebe um fluxo

luminoso perpendicular de 1lm (lx lmmsup2)

2528 Informaacutetica

Bit menor unidade de armazenamento de informaccedilotildees em computadores e sistemas

informatizados

Byte eacute a unidade baacutesica de memoacuteria de computadores igual a 8 bits contiacuteguos

Kilobit (kbit) 1024 bits de informaccedilatildeo Kilobyte (kbyte) 1024 bytes Megabytes

1048576 bytes

3 - Exerciacutecios

31 Agora Pratique

1) Transforme

a) 2 km em m b) 15 m em mm

c) 58 km em cm

d) 04 m em mm

e) 27 mm em cm f) 126 mm em m

g) 12 m em km

2) Agora converta as unidades de aacuterea

a) 837 dm2 em mm2

b) 314 m2 em cm2 c) 214 m2 em mm2

e) 1258 msup2 em kmsup2

f) 129 kmsup2 em msup2

g) 153 msup2 em mmsup2 h) 120 ha em m2

3) Depois converta as de volume

a) 8132 km3 em litros b) 1 m3 em mm3

c) 5 cmsup3 em msup3

d) 250 litros em msup3

e) 12 msup3 em oz fl

4) Converta em litros

a) 35 dmsup3=

b) 5 msup3=

c) 26 dmsup3=

d) 34 msup3=

e) 28 cmsup3=

f) 43 msup3= g) 13 dmsup3= h) 230 mL = i) 1 oz fl =

14

5) Qual o resultado em metros cuacutebicos do valor da expressatildeo

3540 dm3 + 340000 cm3 + 1 m3 + 100 L =

6) Um aquaacuterio tem o formato de um paralelepiacutepedo retangular de largura 50 dm comprimento

320 cm e altura 2500 mm Para encher 34 dele com aacutegua quantos litros de aacutegua seratildeo usados

7) Preciso colocar arame farpado em volta de um terreno retangular que mede 02 km de largura

e 350 m de comprimento Quantos metros de arame farpado devo usar se desejo dar 4 voltas

(cercado de quatro fios)

8) Uma unidade de aacuterea frequentemente utilizada para expressar aacutereas de terra eacute o hectare

definido como 104 m2 Uma mina de carvatildeo a ceacuteu aberto consome 75 hectares de terra a uma

profundidade de 26 m por ano Calcule o volume de terra retirada neste tempo em km3

9) A proacutexima geraccedilatildeo de chips da Intel os P7 que saiu da faacutebrica em meados de 2015

reunindo nada menos do que dez milhotildees de transistores num quadrinho com quatro ou cinco

miliacutemetros de ladordquo (Revista ISTO Eacute ndeg1945 paacutegina 61)

Tendo como base as informaccedilotildees anteriores podemos afirmar que cada um desses transistores ocupa uma aacuterea da ordem de

Decirc sua resposta em m2

10) Um caminhatildeo consegue transportar 39 toneladas de carga Sabendo que uma laranja pesa

130 gramas quantas laranjas o caminhatildeo pode carregar

11) Em uma aacuterea disponiacutevel em formato retangular de 3 metros por 4 metros eu pretendo cavar

uma cisterna para guardar 15000 litros de aacutegua A qual profundidade em centiacutemetros eu devo

cavar

12) Muitos remeacutedios satildeo tomados em doses menores que o mg Um comprimido de certo

remeacutedio tem 0025 mg de uma certa substacircncia Com 1 kg desta substacircncia quantos

comprimidos podem ser feitos

13) Uma parede de 5 metros por 2 metros deve ser coberta com azulejos quadrados de lado 25

cm Uma caixa de azulejos tem 100 azulejos Quantas caixas eu devo comprar no miacutenimo para

garantir que natildeo fiquem faltando azulejos

14) Um muro em formato de um paralelepiacutepedo retangular mede 20 metros de comprimento e

2 metros de altura tendo 50 centiacutemetros de espessura Sabendo que ele foi construiacutedo com

tijolos em formato de paralelepiacutepedo com dimensotildees 10 cm x 10 cm x 20 cm determine o

nuacutemero de tijolos usados para construir o muro

15) Um programa de televisatildeo comeccedilou agraves 13 horas 15 minutos e 20 segundos e terminou agraves

15 horas 5 minutos e 40 segundos Quanto tempo este programa durou em segundos

16) Um aviatildeo decolou agraves 15 horas e 30 minutos e a viagem durou 17358 segundos Determine

o horaacuterio em que o aviatildeo chegou

17) Nosso planeta possui uma velocidade orbital meacutedia de 107200 kmh Qual a velocidade do

nosso planeta em ms Em um dia completo quantos quilocircmetros ela se desloca no espaccedilo

15

18) Um tubo de plaacutestico (esgoto) possui 100 mm de diacircmetro e 6 metros de comprimento Ao

preenchecirc-lo completamente com aacutegua quantos litros caberatildeo

19) Desejo construir em minha comunidade uma caixa dacuteaacutegua de

cimento (figura) com cinco aneacuteis Sabendo que o diacircmetro interno do anel eacute de 150 m e sua altura mede 100 m qual a capacidade dessa

caixa

20) Quais satildeo as dimensotildees do carro em metros

CAPIacuteTULO 3

3- RELACcedilOtildeES ENTRE DUAS GRANDEZAS FIacuteSICAS

Em muitos eventos eacute possiacutevel selecionar apenas duas grandezas para anaacutelise

observando o comportamento de uma delas em funccedilatildeo da outra Para facilitar e organizar a anaacutelise e a observaccedilatildeo do comportamento destas grandezas normalmente as mediccedilotildees

realizadas resultam em dados dispostos em uma tabela Outra maneira interessante de apresentar

o comportamento destas grandezas fiacutesicas eacute sob a forma graacutefica utilizando o plano cartesiano onde muitas vezes a relaccedilatildeo entre as grandezas eacute percebida mais rapidamente pois estes

graacuteficos permitem uma visatildeo mais geral do comportamento das duas grandezas fiacutesicas O

graacutefico (diagrama de dispersatildeo) permite que se visualize a forma do relacionamento entre duas variaacuteveis possibilitando tambeacutem que se proponha alguma(s) funccedilatildeo (otildees) que reproduza(m) de

forma mais ou menos aproximada o comportamento observado no graacutefico

Neste texto nos limitamos agrave introduccedilatildeo ao estudo das relaccedilotildees entre grandezas fiacutesicas

procurando caracterizar as relaccedilotildees diretamente e inversamente proporcionais que poderatildeo ser estendidas para outras relaccedilotildees mais complexas entre as grandezas fiacutesicas envolvidas

31 RELACcedilOtildeES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo diretamente proporcional vamos considerar uma mola helicoidal plaacutestica (pode ser uma espiral de encadernaccedilatildeo) que se deforma ao equilibrar um

corpo suspenso a ela Quando o corpo atingir o equiliacutebrio permanecendo em repouso a forccedila

responsaacutevel pela deformaccedilatildeo da mola tem o mesmo valor do peso do corpo suspenso Variando-se o peso do corpo suspenso pode-se sujeitar a mola a forccedilas deformadoras diferentes Por

exemplo no iniacutecio a mola suportava apenas um recipiente leve Depois foram acrescentadas

diversas bolinhas a este recipiente e medidas as elongaccedilotildees (deformaccedilotildees) produzidas pelas bolinhas sobre a mola utilizando uma reacutegua como mostra a Figura 2

16

Figura2 Mola suspensa

Na Tabela 2 vocecirc deve registrar os dados do experimento com a mola relacionando o moacutedulo

do peso das bolinhas (F) suspensas na mola e as elongaccedilotildees na mola (x) produzidas pelas

bolinhas suspensas

Tabela 2 Dados do experimento da Lei de Hooke

Moacutedulo do peso das bolinhas (F) (gf) Elongaccedilatildeo da mola (x) (cm)

Conclusotildees

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

311 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico F (forccedila) (gf) versus x (deformaccedilatildeo) (cm) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

32 RELACcedilOtildeES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo inversamente proporcional vamos considerar um objeto

luminoso (um colega ou outra coisa qualquer brincadeira) colocado em frente ao orifiacutecio de

uma cacircmara escura (de profundidade 15 cm) e a consequente formaccedilatildeo de sua imagem projetada e invertida dentro desta cacircmara A Figura 3 apresenta um esquema desta formaccedilatildeo de

imagem

Figura 3 Cacircmara escura

17

Observa-se que alterando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura tambeacutem

eacute alterada a altura da imagem (h) do objeto formada nesta cacircmara

A Tabela 3 apresenta os registros de um experimento semelhante realizado com uma cacircmara escura relacionando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura e a altura da imagem

(h) do objeto formada dentro desta mesma cacircmara escura

Tabela 3 Dados do experimento Cacircmara Escura

Distacircncia do objeto (d) (cm) Altura da imagem (h) (cm)

Conclusatildeo

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

321 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico d (distacircncia) (cm) versus h (altura) (cm) deste experimento (USE PAPEL

MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

33 GRANDEZAS FIacuteSICAS INDEPENDENTES

Para caracterizar a inexistecircncia de relaccedilatildeo entre duas grandezas fiacutesicas vamos considerar que um pecircndulo tenha a sua massa alterada diversas vezes alterando-se o nuacutemero de

bolinhas contidas num pequeno copo suspenso por um fio sem alterar o seu comprimento e a

sua amplitude de oscilaccedilatildeo Em cada uma destas vezes foram medidos o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e

a massa do pecircndulo utilizando-se um cronocircmetro digital e uma balanccedila de prato para isto

Figura 4 Pecircndulo virtual utilizado Fonte PHET

18

Tabela 4 Dados do experimento do Pecircndulo Simples

Periacuteodo (T) (s) Massa (m) (g)

Conclusatildeo

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

331 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico T (periacuteodo) (s) versus m (massa) (g) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

CAPIacuteTULO 4

4 AVENTURA MEacuteTRICA

Vocecirc sabe o motivo do nuacutemero do seu calccedilado ser ____ Natildeo Entatildeo vamos conhecer

A numeraccedilatildeo dos sapatos foi criada em 1324 na Inglaterra no reinado de Eduardo II tendo como unidade de medida um gratildeo de cevada que correspondia a 13 de polegada (lembrando

que 1 polegada equivale a 254 centiacutemetros) Hoje os meacutetodos ou sistemas de numeraccedilatildeo de

calccedilado baseiam-se em outras unidades de medida mas natildeo haacute uma uniformidade de padrotildees em termos internacionais Jaacute imaginou o que isso pode ocasionar

No Brasil o nuacutemero de sapato estaacute relacionado com o tamanho do peacute em centiacutemetros e eacute dado

pela seguinte equaccedilatildeo de 1ordm grau

119873 =5 119901 + 28

4

Onde N eacute o nuacutemero do sapato e p eacute o tamanho do peacute em centiacutemetros

Meccedila seu peacute com a trena e verifique se a ldquofoacutermulardquo acima eacute verdadeira

41 O PAPEL DE CADA DIA

Os tamanhos de papel indicados como An ou seja (A0 A1 A2 A3 A4 A5 A10)

tecircm padratildeo de medidas universal

A altura dividida pela base resulta sempre em radic2 (raiz quadrada de dois) que daacute aproximadamente 141

O tamanho A0 tem exatamente 1 metro quadrado As aacutereas (A0 A1 A2 A3 A4 A10) formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 12 Vocecirc

sabe o que isso significa

19

O tamanho de uma folha de papel

No quadro seguinte vocecirc vecirc alguns formatos de papel

Nome Largura

(mm cm e m)

Comprimento

(mm cm e m)

Diagonal

(mm cm e m)

Periacutemetro

(mm cm e m)

Aacuterea

(mm2 cm2 e m2)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

a) Complete o quadro

b) Quantas folhas A1 podem obter com uma folha A0 c) Quantas folhas A2 podem obter com uma folha A1 E A0

d) Quantas folhas A5 podem obter com uma folha A4

e) Quantas folhas A4 vocecirc precisa para obter com uma folha A3 E A2

20

42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE

VEGETAL

Georg Alexander Pick (1859 ndash 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite

calcular a aacuterea de um poliacutegono simples sobreposto a uma malha quadriculada relacionando

somente os noacutes localizados no periacutemetro deste poliacutegono e o nuacutemero de noacutes internos a ele Definiccedilatildeo 1 Um noacute eacute definido pela intersecccedilatildeo de duas retas da malha

[Figura 1 - Noacute]

Definiccedilatildeo 2 Um poliacutegono simples eacute aquele que natildeo possui buracos no seu interior nem

intersecccedilotildees com suas arestas

[Figura 2 ndash Poliacutegono simples e poliacutegonos natildeo-simples]

Teorema 1 Seja P um poliacutegono simples Sejam B o nuacutemero de noacutes coincidentes ao periacutemetro e i o nuacutemero de noacutes internos ao poliacutegono A aacuterea do poliacutegono P seraacute dada pela foacutermula de Pick

119860 =1

2119861 + 119894 minus 1 (1)

Para determinarmos a aacuterea de um triacircngulo vamos considerar a figura abaixo onde os pontos vermelhos satildeo os coincidentes ao periacutemetro e os pontos verdes satildeo internos AP poliacutegono

[Figura 3 - Triacircngulo]

Entatildeo termos que B = 12 e i = 4 Aplicando na foacutermula de Pick obtemos

119860 =1

2 12 + 4 minus 1 = 9 119906 119886 (2)

Pela foacutermula conhecida para calcula de aacutereas de triacircngulos temos que

119860 =1

2 6 3 = 9 119906 119886 (3)

12

atmosfera (atm) 101 325 Pa ou cong105 Pa asymp 14696 psi equiv 14696 lbfinsup2 = 76 cmHg

2517 Corrente Eleacutetrica

Ampegravere (A) unidade SI corrente eleacutetrica constante capaz de produzir uma forccedila igual a 2 times 10 N entre dois condutores de comprimento infinito e seccedilatildeo transversal despreziacutevel situados no

vaacutecuo e com 1 m de distacircncia entre si

2518 Carga Eleacutetrica

Coulomb (C) unidade SI quantidade de eletricidade com intensidade constante de 1A que

atravessa a seccedilatildeo de um condutor durante 1s (C sA)

Unidade de carga eleacutetrica tradicional

Ampegravere-hora (Ah) 3600 C

2519 Diferenccedila de Potencial

Volt (V) unidade SI tensatildeo eleacutetrica existente entre duas seccedilotildees transversais de um condutor percorrido por uma corrente constante de 1A quando a frequecircncia dissipada entre as duas

seccedilotildees eacute igual a 1W (V WA)

2520 Resistecircncia Eleacutetrica

Ohm (Ω) unidade SI resistecircncia de um elemento de um circuito que submetido a uma

diferenccedila de potencial de 1V entre seus terminais faz circular uma corrente constante de 1A (

VA)

2521 Capacitacircncia Eleacutetrica

Farad (F) unidade SI capacitacircncia de um elemento de um circuito que ao ser carregado com

uma quantidade de eletricidade constante igual a 1C apresenta uma tensatildeo constante igual a 1V

(F CV)

2522 Indutacircncia Eleacutetrica

Henry (H) unidade SI indutacircncia de um elemento passivo de um circuito em cujos terminais se induz uma tensatildeo constante de 1V quando percorrido por uma corrente que varia na razatildeo de 1A

por segundo (H VsA ou Ws)

2523 Temperatura

Kelvin (K) unidade SI fraccedilatildeo de 127316 da temperatura termodinacircmica do ponto triacuteplice da aacutegua que corresponde agraves condiccedilotildees de temperatura e pressatildeo em que a aacutegua em estado liacutequido

o vapor de aacutegua e o gelo estatildeo em perfeito equiliacutebrio O ponto zero da escala (0degK) eacute igual ao

zero absoluto (-27315degC)

Unidades de temperatura tradicionais ndash

Escala Celsius (degC) 0degC 273degK e 1degC 274degK

Escala Fahrenheit (F) 0degF 25533degK ou -1777degC 1degF 25578degK ou -1722degC

13

2524 Quantidade De Mateacuteria

Mol (siacutembolo mol) unidade SI quantidade de mateacuteria de um sistema que reuacutene tantas entidades elementares (partiacuteculas que devem ser especificadas) quanto o nuacutemero de aacutetomos contidos em

0012 kg de carbono

2525 Intensidade Luminosa

Candela (cd) unidade SI intensidade luminosa emitida em uma determinada direccedilatildeo por uma

fonte de radiaccedilatildeo monocromaacutetica com frequecircncia igual a 540 times 10sup1sup2 Hz e com uma intensidade

energeacutetica de 1683 watt por esterradiano

2526 Fluxo Luminoso

Luacutemen (lm) unidade SI fluxo luminoso com intensidade de 1cd emitido no interior de um

acircngulo soacutelido igual a 1sr (lm cdsr)

2527 Iluminamento

Lux (lx) unidade SI iluminamento de uma superfiacutecie plana de 1 msup2 que recebe um fluxo

luminoso perpendicular de 1lm (lx lmmsup2)

2528 Informaacutetica

Bit menor unidade de armazenamento de informaccedilotildees em computadores e sistemas

informatizados

Byte eacute a unidade baacutesica de memoacuteria de computadores igual a 8 bits contiacuteguos

Kilobit (kbit) 1024 bits de informaccedilatildeo Kilobyte (kbyte) 1024 bytes Megabytes

1048576 bytes

3 - Exerciacutecios

31 Agora Pratique

1) Transforme

a) 2 km em m b) 15 m em mm

c) 58 km em cm

d) 04 m em mm

e) 27 mm em cm f) 126 mm em m

g) 12 m em km

2) Agora converta as unidades de aacuterea

a) 837 dm2 em mm2

b) 314 m2 em cm2 c) 214 m2 em mm2

e) 1258 msup2 em kmsup2

f) 129 kmsup2 em msup2

g) 153 msup2 em mmsup2 h) 120 ha em m2

3) Depois converta as de volume

a) 8132 km3 em litros b) 1 m3 em mm3

c) 5 cmsup3 em msup3

d) 250 litros em msup3

e) 12 msup3 em oz fl

4) Converta em litros

a) 35 dmsup3=

b) 5 msup3=

c) 26 dmsup3=

d) 34 msup3=

e) 28 cmsup3=

f) 43 msup3= g) 13 dmsup3= h) 230 mL = i) 1 oz fl =

14

5) Qual o resultado em metros cuacutebicos do valor da expressatildeo

3540 dm3 + 340000 cm3 + 1 m3 + 100 L =

6) Um aquaacuterio tem o formato de um paralelepiacutepedo retangular de largura 50 dm comprimento

320 cm e altura 2500 mm Para encher 34 dele com aacutegua quantos litros de aacutegua seratildeo usados

7) Preciso colocar arame farpado em volta de um terreno retangular que mede 02 km de largura

e 350 m de comprimento Quantos metros de arame farpado devo usar se desejo dar 4 voltas

(cercado de quatro fios)

8) Uma unidade de aacuterea frequentemente utilizada para expressar aacutereas de terra eacute o hectare

definido como 104 m2 Uma mina de carvatildeo a ceacuteu aberto consome 75 hectares de terra a uma

profundidade de 26 m por ano Calcule o volume de terra retirada neste tempo em km3

9) A proacutexima geraccedilatildeo de chips da Intel os P7 que saiu da faacutebrica em meados de 2015

reunindo nada menos do que dez milhotildees de transistores num quadrinho com quatro ou cinco

miliacutemetros de ladordquo (Revista ISTO Eacute ndeg1945 paacutegina 61)

Tendo como base as informaccedilotildees anteriores podemos afirmar que cada um desses transistores ocupa uma aacuterea da ordem de

Decirc sua resposta em m2

10) Um caminhatildeo consegue transportar 39 toneladas de carga Sabendo que uma laranja pesa

130 gramas quantas laranjas o caminhatildeo pode carregar

11) Em uma aacuterea disponiacutevel em formato retangular de 3 metros por 4 metros eu pretendo cavar

uma cisterna para guardar 15000 litros de aacutegua A qual profundidade em centiacutemetros eu devo

cavar

12) Muitos remeacutedios satildeo tomados em doses menores que o mg Um comprimido de certo

remeacutedio tem 0025 mg de uma certa substacircncia Com 1 kg desta substacircncia quantos

comprimidos podem ser feitos

13) Uma parede de 5 metros por 2 metros deve ser coberta com azulejos quadrados de lado 25

cm Uma caixa de azulejos tem 100 azulejos Quantas caixas eu devo comprar no miacutenimo para

garantir que natildeo fiquem faltando azulejos

14) Um muro em formato de um paralelepiacutepedo retangular mede 20 metros de comprimento e

2 metros de altura tendo 50 centiacutemetros de espessura Sabendo que ele foi construiacutedo com

tijolos em formato de paralelepiacutepedo com dimensotildees 10 cm x 10 cm x 20 cm determine o

nuacutemero de tijolos usados para construir o muro

15) Um programa de televisatildeo comeccedilou agraves 13 horas 15 minutos e 20 segundos e terminou agraves

15 horas 5 minutos e 40 segundos Quanto tempo este programa durou em segundos

16) Um aviatildeo decolou agraves 15 horas e 30 minutos e a viagem durou 17358 segundos Determine

o horaacuterio em que o aviatildeo chegou

17) Nosso planeta possui uma velocidade orbital meacutedia de 107200 kmh Qual a velocidade do

nosso planeta em ms Em um dia completo quantos quilocircmetros ela se desloca no espaccedilo

15

18) Um tubo de plaacutestico (esgoto) possui 100 mm de diacircmetro e 6 metros de comprimento Ao

preenchecirc-lo completamente com aacutegua quantos litros caberatildeo

19) Desejo construir em minha comunidade uma caixa dacuteaacutegua de

cimento (figura) com cinco aneacuteis Sabendo que o diacircmetro interno do anel eacute de 150 m e sua altura mede 100 m qual a capacidade dessa

caixa

20) Quais satildeo as dimensotildees do carro em metros

CAPIacuteTULO 3

3- RELACcedilOtildeES ENTRE DUAS GRANDEZAS FIacuteSICAS

Em muitos eventos eacute possiacutevel selecionar apenas duas grandezas para anaacutelise

observando o comportamento de uma delas em funccedilatildeo da outra Para facilitar e organizar a anaacutelise e a observaccedilatildeo do comportamento destas grandezas normalmente as mediccedilotildees

realizadas resultam em dados dispostos em uma tabela Outra maneira interessante de apresentar

o comportamento destas grandezas fiacutesicas eacute sob a forma graacutefica utilizando o plano cartesiano onde muitas vezes a relaccedilatildeo entre as grandezas eacute percebida mais rapidamente pois estes

graacuteficos permitem uma visatildeo mais geral do comportamento das duas grandezas fiacutesicas O

graacutefico (diagrama de dispersatildeo) permite que se visualize a forma do relacionamento entre duas variaacuteveis possibilitando tambeacutem que se proponha alguma(s) funccedilatildeo (otildees) que reproduza(m) de

forma mais ou menos aproximada o comportamento observado no graacutefico

Neste texto nos limitamos agrave introduccedilatildeo ao estudo das relaccedilotildees entre grandezas fiacutesicas

procurando caracterizar as relaccedilotildees diretamente e inversamente proporcionais que poderatildeo ser estendidas para outras relaccedilotildees mais complexas entre as grandezas fiacutesicas envolvidas

31 RELACcedilOtildeES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo diretamente proporcional vamos considerar uma mola helicoidal plaacutestica (pode ser uma espiral de encadernaccedilatildeo) que se deforma ao equilibrar um

corpo suspenso a ela Quando o corpo atingir o equiliacutebrio permanecendo em repouso a forccedila

responsaacutevel pela deformaccedilatildeo da mola tem o mesmo valor do peso do corpo suspenso Variando-se o peso do corpo suspenso pode-se sujeitar a mola a forccedilas deformadoras diferentes Por

exemplo no iniacutecio a mola suportava apenas um recipiente leve Depois foram acrescentadas

diversas bolinhas a este recipiente e medidas as elongaccedilotildees (deformaccedilotildees) produzidas pelas bolinhas sobre a mola utilizando uma reacutegua como mostra a Figura 2

16

Figura2 Mola suspensa

Na Tabela 2 vocecirc deve registrar os dados do experimento com a mola relacionando o moacutedulo

do peso das bolinhas (F) suspensas na mola e as elongaccedilotildees na mola (x) produzidas pelas

bolinhas suspensas

Tabela 2 Dados do experimento da Lei de Hooke

Moacutedulo do peso das bolinhas (F) (gf) Elongaccedilatildeo da mola (x) (cm)

Conclusotildees

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

311 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico F (forccedila) (gf) versus x (deformaccedilatildeo) (cm) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

32 RELACcedilOtildeES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo inversamente proporcional vamos considerar um objeto

luminoso (um colega ou outra coisa qualquer brincadeira) colocado em frente ao orifiacutecio de

uma cacircmara escura (de profundidade 15 cm) e a consequente formaccedilatildeo de sua imagem projetada e invertida dentro desta cacircmara A Figura 3 apresenta um esquema desta formaccedilatildeo de

imagem

Figura 3 Cacircmara escura

17

Observa-se que alterando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura tambeacutem

eacute alterada a altura da imagem (h) do objeto formada nesta cacircmara

A Tabela 3 apresenta os registros de um experimento semelhante realizado com uma cacircmara escura relacionando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura e a altura da imagem

(h) do objeto formada dentro desta mesma cacircmara escura

Tabela 3 Dados do experimento Cacircmara Escura

Distacircncia do objeto (d) (cm) Altura da imagem (h) (cm)

Conclusatildeo

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

321 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico d (distacircncia) (cm) versus h (altura) (cm) deste experimento (USE PAPEL

MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

33 GRANDEZAS FIacuteSICAS INDEPENDENTES

Para caracterizar a inexistecircncia de relaccedilatildeo entre duas grandezas fiacutesicas vamos considerar que um pecircndulo tenha a sua massa alterada diversas vezes alterando-se o nuacutemero de

bolinhas contidas num pequeno copo suspenso por um fio sem alterar o seu comprimento e a

sua amplitude de oscilaccedilatildeo Em cada uma destas vezes foram medidos o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e

a massa do pecircndulo utilizando-se um cronocircmetro digital e uma balanccedila de prato para isto

Figura 4 Pecircndulo virtual utilizado Fonte PHET

18

Tabela 4 Dados do experimento do Pecircndulo Simples

Periacuteodo (T) (s) Massa (m) (g)

Conclusatildeo

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

331 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico T (periacuteodo) (s) versus m (massa) (g) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

CAPIacuteTULO 4

4 AVENTURA MEacuteTRICA

Vocecirc sabe o motivo do nuacutemero do seu calccedilado ser ____ Natildeo Entatildeo vamos conhecer

A numeraccedilatildeo dos sapatos foi criada em 1324 na Inglaterra no reinado de Eduardo II tendo como unidade de medida um gratildeo de cevada que correspondia a 13 de polegada (lembrando

que 1 polegada equivale a 254 centiacutemetros) Hoje os meacutetodos ou sistemas de numeraccedilatildeo de

calccedilado baseiam-se em outras unidades de medida mas natildeo haacute uma uniformidade de padrotildees em termos internacionais Jaacute imaginou o que isso pode ocasionar

No Brasil o nuacutemero de sapato estaacute relacionado com o tamanho do peacute em centiacutemetros e eacute dado

pela seguinte equaccedilatildeo de 1ordm grau

119873 =5 119901 + 28

4

Onde N eacute o nuacutemero do sapato e p eacute o tamanho do peacute em centiacutemetros

Meccedila seu peacute com a trena e verifique se a ldquofoacutermulardquo acima eacute verdadeira

41 O PAPEL DE CADA DIA

Os tamanhos de papel indicados como An ou seja (A0 A1 A2 A3 A4 A5 A10)

tecircm padratildeo de medidas universal

A altura dividida pela base resulta sempre em radic2 (raiz quadrada de dois) que daacute aproximadamente 141

O tamanho A0 tem exatamente 1 metro quadrado As aacutereas (A0 A1 A2 A3 A4 A10) formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 12 Vocecirc

sabe o que isso significa

19

O tamanho de uma folha de papel

No quadro seguinte vocecirc vecirc alguns formatos de papel

Nome Largura

(mm cm e m)

Comprimento

(mm cm e m)

Diagonal

(mm cm e m)

Periacutemetro

(mm cm e m)

Aacuterea

(mm2 cm2 e m2)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

a) Complete o quadro

b) Quantas folhas A1 podem obter com uma folha A0 c) Quantas folhas A2 podem obter com uma folha A1 E A0

d) Quantas folhas A5 podem obter com uma folha A4

e) Quantas folhas A4 vocecirc precisa para obter com uma folha A3 E A2

20

42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE

VEGETAL

Georg Alexander Pick (1859 ndash 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite

calcular a aacuterea de um poliacutegono simples sobreposto a uma malha quadriculada relacionando

somente os noacutes localizados no periacutemetro deste poliacutegono e o nuacutemero de noacutes internos a ele Definiccedilatildeo 1 Um noacute eacute definido pela intersecccedilatildeo de duas retas da malha

[Figura 1 - Noacute]

Definiccedilatildeo 2 Um poliacutegono simples eacute aquele que natildeo possui buracos no seu interior nem

intersecccedilotildees com suas arestas

[Figura 2 ndash Poliacutegono simples e poliacutegonos natildeo-simples]

Teorema 1 Seja P um poliacutegono simples Sejam B o nuacutemero de noacutes coincidentes ao periacutemetro e i o nuacutemero de noacutes internos ao poliacutegono A aacuterea do poliacutegono P seraacute dada pela foacutermula de Pick

119860 =1

2119861 + 119894 minus 1 (1)

Para determinarmos a aacuterea de um triacircngulo vamos considerar a figura abaixo onde os pontos vermelhos satildeo os coincidentes ao periacutemetro e os pontos verdes satildeo internos AP poliacutegono

[Figura 3 - Triacircngulo]

Entatildeo termos que B = 12 e i = 4 Aplicando na foacutermula de Pick obtemos

119860 =1

2 12 + 4 minus 1 = 9 119906 119886 (2)

Pela foacutermula conhecida para calcula de aacutereas de triacircngulos temos que

119860 =1

2 6 3 = 9 119906 119886 (3)

13

2524 Quantidade De Mateacuteria

Mol (siacutembolo mol) unidade SI quantidade de mateacuteria de um sistema que reuacutene tantas entidades elementares (partiacuteculas que devem ser especificadas) quanto o nuacutemero de aacutetomos contidos em

0012 kg de carbono

2525 Intensidade Luminosa

Candela (cd) unidade SI intensidade luminosa emitida em uma determinada direccedilatildeo por uma

fonte de radiaccedilatildeo monocromaacutetica com frequecircncia igual a 540 times 10sup1sup2 Hz e com uma intensidade

energeacutetica de 1683 watt por esterradiano

2526 Fluxo Luminoso

Luacutemen (lm) unidade SI fluxo luminoso com intensidade de 1cd emitido no interior de um

acircngulo soacutelido igual a 1sr (lm cdsr)

2527 Iluminamento

Lux (lx) unidade SI iluminamento de uma superfiacutecie plana de 1 msup2 que recebe um fluxo

luminoso perpendicular de 1lm (lx lmmsup2)

2528 Informaacutetica

Bit menor unidade de armazenamento de informaccedilotildees em computadores e sistemas

informatizados

Byte eacute a unidade baacutesica de memoacuteria de computadores igual a 8 bits contiacuteguos

Kilobit (kbit) 1024 bits de informaccedilatildeo Kilobyte (kbyte) 1024 bytes Megabytes

1048576 bytes

3 - Exerciacutecios

31 Agora Pratique

1) Transforme

a) 2 km em m b) 15 m em mm

c) 58 km em cm

d) 04 m em mm

e) 27 mm em cm f) 126 mm em m

g) 12 m em km

2) Agora converta as unidades de aacuterea

a) 837 dm2 em mm2

b) 314 m2 em cm2 c) 214 m2 em mm2

e) 1258 msup2 em kmsup2

f) 129 kmsup2 em msup2

g) 153 msup2 em mmsup2 h) 120 ha em m2

3) Depois converta as de volume

a) 8132 km3 em litros b) 1 m3 em mm3

c) 5 cmsup3 em msup3

d) 250 litros em msup3

e) 12 msup3 em oz fl

4) Converta em litros

a) 35 dmsup3=

b) 5 msup3=

c) 26 dmsup3=

d) 34 msup3=

e) 28 cmsup3=

f) 43 msup3= g) 13 dmsup3= h) 230 mL = i) 1 oz fl =

14

5) Qual o resultado em metros cuacutebicos do valor da expressatildeo

3540 dm3 + 340000 cm3 + 1 m3 + 100 L =

6) Um aquaacuterio tem o formato de um paralelepiacutepedo retangular de largura 50 dm comprimento

320 cm e altura 2500 mm Para encher 34 dele com aacutegua quantos litros de aacutegua seratildeo usados

7) Preciso colocar arame farpado em volta de um terreno retangular que mede 02 km de largura

e 350 m de comprimento Quantos metros de arame farpado devo usar se desejo dar 4 voltas

(cercado de quatro fios)

8) Uma unidade de aacuterea frequentemente utilizada para expressar aacutereas de terra eacute o hectare

definido como 104 m2 Uma mina de carvatildeo a ceacuteu aberto consome 75 hectares de terra a uma

profundidade de 26 m por ano Calcule o volume de terra retirada neste tempo em km3

9) A proacutexima geraccedilatildeo de chips da Intel os P7 que saiu da faacutebrica em meados de 2015

reunindo nada menos do que dez milhotildees de transistores num quadrinho com quatro ou cinco

miliacutemetros de ladordquo (Revista ISTO Eacute ndeg1945 paacutegina 61)

Tendo como base as informaccedilotildees anteriores podemos afirmar que cada um desses transistores ocupa uma aacuterea da ordem de

Decirc sua resposta em m2

10) Um caminhatildeo consegue transportar 39 toneladas de carga Sabendo que uma laranja pesa

130 gramas quantas laranjas o caminhatildeo pode carregar

11) Em uma aacuterea disponiacutevel em formato retangular de 3 metros por 4 metros eu pretendo cavar

uma cisterna para guardar 15000 litros de aacutegua A qual profundidade em centiacutemetros eu devo

cavar

12) Muitos remeacutedios satildeo tomados em doses menores que o mg Um comprimido de certo

remeacutedio tem 0025 mg de uma certa substacircncia Com 1 kg desta substacircncia quantos

comprimidos podem ser feitos

13) Uma parede de 5 metros por 2 metros deve ser coberta com azulejos quadrados de lado 25

cm Uma caixa de azulejos tem 100 azulejos Quantas caixas eu devo comprar no miacutenimo para

garantir que natildeo fiquem faltando azulejos

14) Um muro em formato de um paralelepiacutepedo retangular mede 20 metros de comprimento e

2 metros de altura tendo 50 centiacutemetros de espessura Sabendo que ele foi construiacutedo com

tijolos em formato de paralelepiacutepedo com dimensotildees 10 cm x 10 cm x 20 cm determine o

nuacutemero de tijolos usados para construir o muro

15) Um programa de televisatildeo comeccedilou agraves 13 horas 15 minutos e 20 segundos e terminou agraves

15 horas 5 minutos e 40 segundos Quanto tempo este programa durou em segundos

16) Um aviatildeo decolou agraves 15 horas e 30 minutos e a viagem durou 17358 segundos Determine

o horaacuterio em que o aviatildeo chegou

17) Nosso planeta possui uma velocidade orbital meacutedia de 107200 kmh Qual a velocidade do

nosso planeta em ms Em um dia completo quantos quilocircmetros ela se desloca no espaccedilo

15

18) Um tubo de plaacutestico (esgoto) possui 100 mm de diacircmetro e 6 metros de comprimento Ao

preenchecirc-lo completamente com aacutegua quantos litros caberatildeo

19) Desejo construir em minha comunidade uma caixa dacuteaacutegua de

cimento (figura) com cinco aneacuteis Sabendo que o diacircmetro interno do anel eacute de 150 m e sua altura mede 100 m qual a capacidade dessa

caixa

20) Quais satildeo as dimensotildees do carro em metros

CAPIacuteTULO 3

3- RELACcedilOtildeES ENTRE DUAS GRANDEZAS FIacuteSICAS

Em muitos eventos eacute possiacutevel selecionar apenas duas grandezas para anaacutelise

observando o comportamento de uma delas em funccedilatildeo da outra Para facilitar e organizar a anaacutelise e a observaccedilatildeo do comportamento destas grandezas normalmente as mediccedilotildees

realizadas resultam em dados dispostos em uma tabela Outra maneira interessante de apresentar

o comportamento destas grandezas fiacutesicas eacute sob a forma graacutefica utilizando o plano cartesiano onde muitas vezes a relaccedilatildeo entre as grandezas eacute percebida mais rapidamente pois estes

graacuteficos permitem uma visatildeo mais geral do comportamento das duas grandezas fiacutesicas O

graacutefico (diagrama de dispersatildeo) permite que se visualize a forma do relacionamento entre duas variaacuteveis possibilitando tambeacutem que se proponha alguma(s) funccedilatildeo (otildees) que reproduza(m) de

forma mais ou menos aproximada o comportamento observado no graacutefico

Neste texto nos limitamos agrave introduccedilatildeo ao estudo das relaccedilotildees entre grandezas fiacutesicas

procurando caracterizar as relaccedilotildees diretamente e inversamente proporcionais que poderatildeo ser estendidas para outras relaccedilotildees mais complexas entre as grandezas fiacutesicas envolvidas

31 RELACcedilOtildeES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo diretamente proporcional vamos considerar uma mola helicoidal plaacutestica (pode ser uma espiral de encadernaccedilatildeo) que se deforma ao equilibrar um

corpo suspenso a ela Quando o corpo atingir o equiliacutebrio permanecendo em repouso a forccedila

responsaacutevel pela deformaccedilatildeo da mola tem o mesmo valor do peso do corpo suspenso Variando-se o peso do corpo suspenso pode-se sujeitar a mola a forccedilas deformadoras diferentes Por

exemplo no iniacutecio a mola suportava apenas um recipiente leve Depois foram acrescentadas

diversas bolinhas a este recipiente e medidas as elongaccedilotildees (deformaccedilotildees) produzidas pelas bolinhas sobre a mola utilizando uma reacutegua como mostra a Figura 2

16

Figura2 Mola suspensa

Na Tabela 2 vocecirc deve registrar os dados do experimento com a mola relacionando o moacutedulo

do peso das bolinhas (F) suspensas na mola e as elongaccedilotildees na mola (x) produzidas pelas

bolinhas suspensas

Tabela 2 Dados do experimento da Lei de Hooke

Moacutedulo do peso das bolinhas (F) (gf) Elongaccedilatildeo da mola (x) (cm)

Conclusotildees

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

311 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico F (forccedila) (gf) versus x (deformaccedilatildeo) (cm) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

32 RELACcedilOtildeES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo inversamente proporcional vamos considerar um objeto

luminoso (um colega ou outra coisa qualquer brincadeira) colocado em frente ao orifiacutecio de

uma cacircmara escura (de profundidade 15 cm) e a consequente formaccedilatildeo de sua imagem projetada e invertida dentro desta cacircmara A Figura 3 apresenta um esquema desta formaccedilatildeo de

imagem

Figura 3 Cacircmara escura

17

Observa-se que alterando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura tambeacutem

eacute alterada a altura da imagem (h) do objeto formada nesta cacircmara

A Tabela 3 apresenta os registros de um experimento semelhante realizado com uma cacircmara escura relacionando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura e a altura da imagem

(h) do objeto formada dentro desta mesma cacircmara escura

Tabela 3 Dados do experimento Cacircmara Escura

Distacircncia do objeto (d) (cm) Altura da imagem (h) (cm)

Conclusatildeo

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

321 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico d (distacircncia) (cm) versus h (altura) (cm) deste experimento (USE PAPEL

MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

33 GRANDEZAS FIacuteSICAS INDEPENDENTES

Para caracterizar a inexistecircncia de relaccedilatildeo entre duas grandezas fiacutesicas vamos considerar que um pecircndulo tenha a sua massa alterada diversas vezes alterando-se o nuacutemero de

bolinhas contidas num pequeno copo suspenso por um fio sem alterar o seu comprimento e a

sua amplitude de oscilaccedilatildeo Em cada uma destas vezes foram medidos o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e

a massa do pecircndulo utilizando-se um cronocircmetro digital e uma balanccedila de prato para isto

Figura 4 Pecircndulo virtual utilizado Fonte PHET

18

Tabela 4 Dados do experimento do Pecircndulo Simples

Periacuteodo (T) (s) Massa (m) (g)

Conclusatildeo

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

331 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico T (periacuteodo) (s) versus m (massa) (g) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

CAPIacuteTULO 4

4 AVENTURA MEacuteTRICA

Vocecirc sabe o motivo do nuacutemero do seu calccedilado ser ____ Natildeo Entatildeo vamos conhecer

A numeraccedilatildeo dos sapatos foi criada em 1324 na Inglaterra no reinado de Eduardo II tendo como unidade de medida um gratildeo de cevada que correspondia a 13 de polegada (lembrando

que 1 polegada equivale a 254 centiacutemetros) Hoje os meacutetodos ou sistemas de numeraccedilatildeo de

calccedilado baseiam-se em outras unidades de medida mas natildeo haacute uma uniformidade de padrotildees em termos internacionais Jaacute imaginou o que isso pode ocasionar

No Brasil o nuacutemero de sapato estaacute relacionado com o tamanho do peacute em centiacutemetros e eacute dado

pela seguinte equaccedilatildeo de 1ordm grau

119873 =5 119901 + 28

4

Onde N eacute o nuacutemero do sapato e p eacute o tamanho do peacute em centiacutemetros

Meccedila seu peacute com a trena e verifique se a ldquofoacutermulardquo acima eacute verdadeira

41 O PAPEL DE CADA DIA

Os tamanhos de papel indicados como An ou seja (A0 A1 A2 A3 A4 A5 A10)

tecircm padratildeo de medidas universal

A altura dividida pela base resulta sempre em radic2 (raiz quadrada de dois) que daacute aproximadamente 141

O tamanho A0 tem exatamente 1 metro quadrado As aacutereas (A0 A1 A2 A3 A4 A10) formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 12 Vocecirc

sabe o que isso significa

19

O tamanho de uma folha de papel

No quadro seguinte vocecirc vecirc alguns formatos de papel

Nome Largura

(mm cm e m)

Comprimento

(mm cm e m)

Diagonal

(mm cm e m)

Periacutemetro

(mm cm e m)

Aacuterea

(mm2 cm2 e m2)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

a) Complete o quadro

b) Quantas folhas A1 podem obter com uma folha A0 c) Quantas folhas A2 podem obter com uma folha A1 E A0

d) Quantas folhas A5 podem obter com uma folha A4

e) Quantas folhas A4 vocecirc precisa para obter com uma folha A3 E A2

20

42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE

VEGETAL

Georg Alexander Pick (1859 ndash 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite

calcular a aacuterea de um poliacutegono simples sobreposto a uma malha quadriculada relacionando

somente os noacutes localizados no periacutemetro deste poliacutegono e o nuacutemero de noacutes internos a ele Definiccedilatildeo 1 Um noacute eacute definido pela intersecccedilatildeo de duas retas da malha

[Figura 1 - Noacute]

Definiccedilatildeo 2 Um poliacutegono simples eacute aquele que natildeo possui buracos no seu interior nem

intersecccedilotildees com suas arestas

[Figura 2 ndash Poliacutegono simples e poliacutegonos natildeo-simples]

Teorema 1 Seja P um poliacutegono simples Sejam B o nuacutemero de noacutes coincidentes ao periacutemetro e i o nuacutemero de noacutes internos ao poliacutegono A aacuterea do poliacutegono P seraacute dada pela foacutermula de Pick

119860 =1

2119861 + 119894 minus 1 (1)

Para determinarmos a aacuterea de um triacircngulo vamos considerar a figura abaixo onde os pontos vermelhos satildeo os coincidentes ao periacutemetro e os pontos verdes satildeo internos AP poliacutegono

[Figura 3 - Triacircngulo]

Entatildeo termos que B = 12 e i = 4 Aplicando na foacutermula de Pick obtemos

119860 =1

2 12 + 4 minus 1 = 9 119906 119886 (2)

Pela foacutermula conhecida para calcula de aacutereas de triacircngulos temos que

119860 =1

2 6 3 = 9 119906 119886 (3)

14

5) Qual o resultado em metros cuacutebicos do valor da expressatildeo

3540 dm3 + 340000 cm3 + 1 m3 + 100 L =

6) Um aquaacuterio tem o formato de um paralelepiacutepedo retangular de largura 50 dm comprimento

320 cm e altura 2500 mm Para encher 34 dele com aacutegua quantos litros de aacutegua seratildeo usados

7) Preciso colocar arame farpado em volta de um terreno retangular que mede 02 km de largura

e 350 m de comprimento Quantos metros de arame farpado devo usar se desejo dar 4 voltas

(cercado de quatro fios)

8) Uma unidade de aacuterea frequentemente utilizada para expressar aacutereas de terra eacute o hectare

definido como 104 m2 Uma mina de carvatildeo a ceacuteu aberto consome 75 hectares de terra a uma

profundidade de 26 m por ano Calcule o volume de terra retirada neste tempo em km3

9) A proacutexima geraccedilatildeo de chips da Intel os P7 que saiu da faacutebrica em meados de 2015

reunindo nada menos do que dez milhotildees de transistores num quadrinho com quatro ou cinco

miliacutemetros de ladordquo (Revista ISTO Eacute ndeg1945 paacutegina 61)

Tendo como base as informaccedilotildees anteriores podemos afirmar que cada um desses transistores ocupa uma aacuterea da ordem de

Decirc sua resposta em m2

10) Um caminhatildeo consegue transportar 39 toneladas de carga Sabendo que uma laranja pesa

130 gramas quantas laranjas o caminhatildeo pode carregar

11) Em uma aacuterea disponiacutevel em formato retangular de 3 metros por 4 metros eu pretendo cavar

uma cisterna para guardar 15000 litros de aacutegua A qual profundidade em centiacutemetros eu devo

cavar

12) Muitos remeacutedios satildeo tomados em doses menores que o mg Um comprimido de certo

remeacutedio tem 0025 mg de uma certa substacircncia Com 1 kg desta substacircncia quantos

comprimidos podem ser feitos

13) Uma parede de 5 metros por 2 metros deve ser coberta com azulejos quadrados de lado 25

cm Uma caixa de azulejos tem 100 azulejos Quantas caixas eu devo comprar no miacutenimo para

garantir que natildeo fiquem faltando azulejos

14) Um muro em formato de um paralelepiacutepedo retangular mede 20 metros de comprimento e

2 metros de altura tendo 50 centiacutemetros de espessura Sabendo que ele foi construiacutedo com

tijolos em formato de paralelepiacutepedo com dimensotildees 10 cm x 10 cm x 20 cm determine o

nuacutemero de tijolos usados para construir o muro

15) Um programa de televisatildeo comeccedilou agraves 13 horas 15 minutos e 20 segundos e terminou agraves

15 horas 5 minutos e 40 segundos Quanto tempo este programa durou em segundos

16) Um aviatildeo decolou agraves 15 horas e 30 minutos e a viagem durou 17358 segundos Determine

o horaacuterio em que o aviatildeo chegou

17) Nosso planeta possui uma velocidade orbital meacutedia de 107200 kmh Qual a velocidade do

nosso planeta em ms Em um dia completo quantos quilocircmetros ela se desloca no espaccedilo

15

18) Um tubo de plaacutestico (esgoto) possui 100 mm de diacircmetro e 6 metros de comprimento Ao

preenchecirc-lo completamente com aacutegua quantos litros caberatildeo

19) Desejo construir em minha comunidade uma caixa dacuteaacutegua de

cimento (figura) com cinco aneacuteis Sabendo que o diacircmetro interno do anel eacute de 150 m e sua altura mede 100 m qual a capacidade dessa

caixa

20) Quais satildeo as dimensotildees do carro em metros

CAPIacuteTULO 3

3- RELACcedilOtildeES ENTRE DUAS GRANDEZAS FIacuteSICAS

Em muitos eventos eacute possiacutevel selecionar apenas duas grandezas para anaacutelise

observando o comportamento de uma delas em funccedilatildeo da outra Para facilitar e organizar a anaacutelise e a observaccedilatildeo do comportamento destas grandezas normalmente as mediccedilotildees

realizadas resultam em dados dispostos em uma tabela Outra maneira interessante de apresentar

o comportamento destas grandezas fiacutesicas eacute sob a forma graacutefica utilizando o plano cartesiano onde muitas vezes a relaccedilatildeo entre as grandezas eacute percebida mais rapidamente pois estes

graacuteficos permitem uma visatildeo mais geral do comportamento das duas grandezas fiacutesicas O

graacutefico (diagrama de dispersatildeo) permite que se visualize a forma do relacionamento entre duas variaacuteveis possibilitando tambeacutem que se proponha alguma(s) funccedilatildeo (otildees) que reproduza(m) de

forma mais ou menos aproximada o comportamento observado no graacutefico

Neste texto nos limitamos agrave introduccedilatildeo ao estudo das relaccedilotildees entre grandezas fiacutesicas

procurando caracterizar as relaccedilotildees diretamente e inversamente proporcionais que poderatildeo ser estendidas para outras relaccedilotildees mais complexas entre as grandezas fiacutesicas envolvidas

31 RELACcedilOtildeES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo diretamente proporcional vamos considerar uma mola helicoidal plaacutestica (pode ser uma espiral de encadernaccedilatildeo) que se deforma ao equilibrar um

corpo suspenso a ela Quando o corpo atingir o equiliacutebrio permanecendo em repouso a forccedila

responsaacutevel pela deformaccedilatildeo da mola tem o mesmo valor do peso do corpo suspenso Variando-se o peso do corpo suspenso pode-se sujeitar a mola a forccedilas deformadoras diferentes Por

exemplo no iniacutecio a mola suportava apenas um recipiente leve Depois foram acrescentadas

diversas bolinhas a este recipiente e medidas as elongaccedilotildees (deformaccedilotildees) produzidas pelas bolinhas sobre a mola utilizando uma reacutegua como mostra a Figura 2

16

Figura2 Mola suspensa

Na Tabela 2 vocecirc deve registrar os dados do experimento com a mola relacionando o moacutedulo

do peso das bolinhas (F) suspensas na mola e as elongaccedilotildees na mola (x) produzidas pelas

bolinhas suspensas

Tabela 2 Dados do experimento da Lei de Hooke

Moacutedulo do peso das bolinhas (F) (gf) Elongaccedilatildeo da mola (x) (cm)

Conclusotildees

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

311 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico F (forccedila) (gf) versus x (deformaccedilatildeo) (cm) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

32 RELACcedilOtildeES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo inversamente proporcional vamos considerar um objeto

luminoso (um colega ou outra coisa qualquer brincadeira) colocado em frente ao orifiacutecio de

uma cacircmara escura (de profundidade 15 cm) e a consequente formaccedilatildeo de sua imagem projetada e invertida dentro desta cacircmara A Figura 3 apresenta um esquema desta formaccedilatildeo de

imagem

Figura 3 Cacircmara escura

17

Observa-se que alterando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura tambeacutem

eacute alterada a altura da imagem (h) do objeto formada nesta cacircmara

A Tabela 3 apresenta os registros de um experimento semelhante realizado com uma cacircmara escura relacionando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura e a altura da imagem

(h) do objeto formada dentro desta mesma cacircmara escura

Tabela 3 Dados do experimento Cacircmara Escura

Distacircncia do objeto (d) (cm) Altura da imagem (h) (cm)

Conclusatildeo

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

321 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico d (distacircncia) (cm) versus h (altura) (cm) deste experimento (USE PAPEL

MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

33 GRANDEZAS FIacuteSICAS INDEPENDENTES

Para caracterizar a inexistecircncia de relaccedilatildeo entre duas grandezas fiacutesicas vamos considerar que um pecircndulo tenha a sua massa alterada diversas vezes alterando-se o nuacutemero de

bolinhas contidas num pequeno copo suspenso por um fio sem alterar o seu comprimento e a

sua amplitude de oscilaccedilatildeo Em cada uma destas vezes foram medidos o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e

a massa do pecircndulo utilizando-se um cronocircmetro digital e uma balanccedila de prato para isto

Figura 4 Pecircndulo virtual utilizado Fonte PHET

18

Tabela 4 Dados do experimento do Pecircndulo Simples

Periacuteodo (T) (s) Massa (m) (g)

Conclusatildeo

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

331 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico T (periacuteodo) (s) versus m (massa) (g) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

CAPIacuteTULO 4

4 AVENTURA MEacuteTRICA

Vocecirc sabe o motivo do nuacutemero do seu calccedilado ser ____ Natildeo Entatildeo vamos conhecer

A numeraccedilatildeo dos sapatos foi criada em 1324 na Inglaterra no reinado de Eduardo II tendo como unidade de medida um gratildeo de cevada que correspondia a 13 de polegada (lembrando

que 1 polegada equivale a 254 centiacutemetros) Hoje os meacutetodos ou sistemas de numeraccedilatildeo de

calccedilado baseiam-se em outras unidades de medida mas natildeo haacute uma uniformidade de padrotildees em termos internacionais Jaacute imaginou o que isso pode ocasionar

No Brasil o nuacutemero de sapato estaacute relacionado com o tamanho do peacute em centiacutemetros e eacute dado

pela seguinte equaccedilatildeo de 1ordm grau

119873 =5 119901 + 28

4

Onde N eacute o nuacutemero do sapato e p eacute o tamanho do peacute em centiacutemetros

Meccedila seu peacute com a trena e verifique se a ldquofoacutermulardquo acima eacute verdadeira

41 O PAPEL DE CADA DIA

Os tamanhos de papel indicados como An ou seja (A0 A1 A2 A3 A4 A5 A10)

tecircm padratildeo de medidas universal

A altura dividida pela base resulta sempre em radic2 (raiz quadrada de dois) que daacute aproximadamente 141

O tamanho A0 tem exatamente 1 metro quadrado As aacutereas (A0 A1 A2 A3 A4 A10) formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 12 Vocecirc

sabe o que isso significa

19

O tamanho de uma folha de papel

No quadro seguinte vocecirc vecirc alguns formatos de papel

Nome Largura

(mm cm e m)

Comprimento

(mm cm e m)

Diagonal

(mm cm e m)

Periacutemetro

(mm cm e m)

Aacuterea

(mm2 cm2 e m2)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

a) Complete o quadro

b) Quantas folhas A1 podem obter com uma folha A0 c) Quantas folhas A2 podem obter com uma folha A1 E A0

d) Quantas folhas A5 podem obter com uma folha A4

e) Quantas folhas A4 vocecirc precisa para obter com uma folha A3 E A2

20

42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE

VEGETAL

Georg Alexander Pick (1859 ndash 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite

calcular a aacuterea de um poliacutegono simples sobreposto a uma malha quadriculada relacionando

somente os noacutes localizados no periacutemetro deste poliacutegono e o nuacutemero de noacutes internos a ele Definiccedilatildeo 1 Um noacute eacute definido pela intersecccedilatildeo de duas retas da malha

[Figura 1 - Noacute]

Definiccedilatildeo 2 Um poliacutegono simples eacute aquele que natildeo possui buracos no seu interior nem

intersecccedilotildees com suas arestas

[Figura 2 ndash Poliacutegono simples e poliacutegonos natildeo-simples]

Teorema 1 Seja P um poliacutegono simples Sejam B o nuacutemero de noacutes coincidentes ao periacutemetro e i o nuacutemero de noacutes internos ao poliacutegono A aacuterea do poliacutegono P seraacute dada pela foacutermula de Pick

119860 =1

2119861 + 119894 minus 1 (1)

Para determinarmos a aacuterea de um triacircngulo vamos considerar a figura abaixo onde os pontos vermelhos satildeo os coincidentes ao periacutemetro e os pontos verdes satildeo internos AP poliacutegono

[Figura 3 - Triacircngulo]

Entatildeo termos que B = 12 e i = 4 Aplicando na foacutermula de Pick obtemos

119860 =1

2 12 + 4 minus 1 = 9 119906 119886 (2)

Pela foacutermula conhecida para calcula de aacutereas de triacircngulos temos que

119860 =1

2 6 3 = 9 119906 119886 (3)

15

18) Um tubo de plaacutestico (esgoto) possui 100 mm de diacircmetro e 6 metros de comprimento Ao

preenchecirc-lo completamente com aacutegua quantos litros caberatildeo

19) Desejo construir em minha comunidade uma caixa dacuteaacutegua de

cimento (figura) com cinco aneacuteis Sabendo que o diacircmetro interno do anel eacute de 150 m e sua altura mede 100 m qual a capacidade dessa

caixa

20) Quais satildeo as dimensotildees do carro em metros

CAPIacuteTULO 3

3- RELACcedilOtildeES ENTRE DUAS GRANDEZAS FIacuteSICAS

Em muitos eventos eacute possiacutevel selecionar apenas duas grandezas para anaacutelise

observando o comportamento de uma delas em funccedilatildeo da outra Para facilitar e organizar a anaacutelise e a observaccedilatildeo do comportamento destas grandezas normalmente as mediccedilotildees

realizadas resultam em dados dispostos em uma tabela Outra maneira interessante de apresentar

o comportamento destas grandezas fiacutesicas eacute sob a forma graacutefica utilizando o plano cartesiano onde muitas vezes a relaccedilatildeo entre as grandezas eacute percebida mais rapidamente pois estes

graacuteficos permitem uma visatildeo mais geral do comportamento das duas grandezas fiacutesicas O

graacutefico (diagrama de dispersatildeo) permite que se visualize a forma do relacionamento entre duas variaacuteveis possibilitando tambeacutem que se proponha alguma(s) funccedilatildeo (otildees) que reproduza(m) de

forma mais ou menos aproximada o comportamento observado no graacutefico

Neste texto nos limitamos agrave introduccedilatildeo ao estudo das relaccedilotildees entre grandezas fiacutesicas

procurando caracterizar as relaccedilotildees diretamente e inversamente proporcionais que poderatildeo ser estendidas para outras relaccedilotildees mais complexas entre as grandezas fiacutesicas envolvidas

31 RELACcedilOtildeES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo diretamente proporcional vamos considerar uma mola helicoidal plaacutestica (pode ser uma espiral de encadernaccedilatildeo) que se deforma ao equilibrar um

corpo suspenso a ela Quando o corpo atingir o equiliacutebrio permanecendo em repouso a forccedila

responsaacutevel pela deformaccedilatildeo da mola tem o mesmo valor do peso do corpo suspenso Variando-se o peso do corpo suspenso pode-se sujeitar a mola a forccedilas deformadoras diferentes Por

exemplo no iniacutecio a mola suportava apenas um recipiente leve Depois foram acrescentadas

diversas bolinhas a este recipiente e medidas as elongaccedilotildees (deformaccedilotildees) produzidas pelas bolinhas sobre a mola utilizando uma reacutegua como mostra a Figura 2

16

Figura2 Mola suspensa

Na Tabela 2 vocecirc deve registrar os dados do experimento com a mola relacionando o moacutedulo

do peso das bolinhas (F) suspensas na mola e as elongaccedilotildees na mola (x) produzidas pelas

bolinhas suspensas

Tabela 2 Dados do experimento da Lei de Hooke

Moacutedulo do peso das bolinhas (F) (gf) Elongaccedilatildeo da mola (x) (cm)

Conclusotildees

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

311 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico F (forccedila) (gf) versus x (deformaccedilatildeo) (cm) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

32 RELACcedilOtildeES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo inversamente proporcional vamos considerar um objeto

luminoso (um colega ou outra coisa qualquer brincadeira) colocado em frente ao orifiacutecio de

uma cacircmara escura (de profundidade 15 cm) e a consequente formaccedilatildeo de sua imagem projetada e invertida dentro desta cacircmara A Figura 3 apresenta um esquema desta formaccedilatildeo de

imagem

Figura 3 Cacircmara escura

17

Observa-se que alterando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura tambeacutem

eacute alterada a altura da imagem (h) do objeto formada nesta cacircmara

A Tabela 3 apresenta os registros de um experimento semelhante realizado com uma cacircmara escura relacionando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura e a altura da imagem

(h) do objeto formada dentro desta mesma cacircmara escura

Tabela 3 Dados do experimento Cacircmara Escura

Distacircncia do objeto (d) (cm) Altura da imagem (h) (cm)

Conclusatildeo

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

321 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico d (distacircncia) (cm) versus h (altura) (cm) deste experimento (USE PAPEL

MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

33 GRANDEZAS FIacuteSICAS INDEPENDENTES

Para caracterizar a inexistecircncia de relaccedilatildeo entre duas grandezas fiacutesicas vamos considerar que um pecircndulo tenha a sua massa alterada diversas vezes alterando-se o nuacutemero de

bolinhas contidas num pequeno copo suspenso por um fio sem alterar o seu comprimento e a

sua amplitude de oscilaccedilatildeo Em cada uma destas vezes foram medidos o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e

a massa do pecircndulo utilizando-se um cronocircmetro digital e uma balanccedila de prato para isto

Figura 4 Pecircndulo virtual utilizado Fonte PHET

18

Tabela 4 Dados do experimento do Pecircndulo Simples

Periacuteodo (T) (s) Massa (m) (g)

Conclusatildeo

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

331 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico T (periacuteodo) (s) versus m (massa) (g) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

CAPIacuteTULO 4

4 AVENTURA MEacuteTRICA

Vocecirc sabe o motivo do nuacutemero do seu calccedilado ser ____ Natildeo Entatildeo vamos conhecer

A numeraccedilatildeo dos sapatos foi criada em 1324 na Inglaterra no reinado de Eduardo II tendo como unidade de medida um gratildeo de cevada que correspondia a 13 de polegada (lembrando

que 1 polegada equivale a 254 centiacutemetros) Hoje os meacutetodos ou sistemas de numeraccedilatildeo de

calccedilado baseiam-se em outras unidades de medida mas natildeo haacute uma uniformidade de padrotildees em termos internacionais Jaacute imaginou o que isso pode ocasionar

No Brasil o nuacutemero de sapato estaacute relacionado com o tamanho do peacute em centiacutemetros e eacute dado

pela seguinte equaccedilatildeo de 1ordm grau

119873 =5 119901 + 28

4

Onde N eacute o nuacutemero do sapato e p eacute o tamanho do peacute em centiacutemetros

Meccedila seu peacute com a trena e verifique se a ldquofoacutermulardquo acima eacute verdadeira

41 O PAPEL DE CADA DIA

Os tamanhos de papel indicados como An ou seja (A0 A1 A2 A3 A4 A5 A10)

tecircm padratildeo de medidas universal

A altura dividida pela base resulta sempre em radic2 (raiz quadrada de dois) que daacute aproximadamente 141

O tamanho A0 tem exatamente 1 metro quadrado As aacutereas (A0 A1 A2 A3 A4 A10) formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 12 Vocecirc

sabe o que isso significa

19

O tamanho de uma folha de papel

No quadro seguinte vocecirc vecirc alguns formatos de papel

Nome Largura

(mm cm e m)

Comprimento

(mm cm e m)

Diagonal

(mm cm e m)

Periacutemetro

(mm cm e m)

Aacuterea

(mm2 cm2 e m2)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

a) Complete o quadro

b) Quantas folhas A1 podem obter com uma folha A0 c) Quantas folhas A2 podem obter com uma folha A1 E A0

d) Quantas folhas A5 podem obter com uma folha A4

e) Quantas folhas A4 vocecirc precisa para obter com uma folha A3 E A2

20

42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE

VEGETAL

Georg Alexander Pick (1859 ndash 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite

calcular a aacuterea de um poliacutegono simples sobreposto a uma malha quadriculada relacionando

somente os noacutes localizados no periacutemetro deste poliacutegono e o nuacutemero de noacutes internos a ele Definiccedilatildeo 1 Um noacute eacute definido pela intersecccedilatildeo de duas retas da malha

[Figura 1 - Noacute]

Definiccedilatildeo 2 Um poliacutegono simples eacute aquele que natildeo possui buracos no seu interior nem

intersecccedilotildees com suas arestas

[Figura 2 ndash Poliacutegono simples e poliacutegonos natildeo-simples]

Teorema 1 Seja P um poliacutegono simples Sejam B o nuacutemero de noacutes coincidentes ao periacutemetro e i o nuacutemero de noacutes internos ao poliacutegono A aacuterea do poliacutegono P seraacute dada pela foacutermula de Pick

119860 =1

2119861 + 119894 minus 1 (1)

Para determinarmos a aacuterea de um triacircngulo vamos considerar a figura abaixo onde os pontos vermelhos satildeo os coincidentes ao periacutemetro e os pontos verdes satildeo internos AP poliacutegono

[Figura 3 - Triacircngulo]

Entatildeo termos que B = 12 e i = 4 Aplicando na foacutermula de Pick obtemos

119860 =1

2 12 + 4 minus 1 = 9 119906 119886 (2)

Pela foacutermula conhecida para calcula de aacutereas de triacircngulos temos que

119860 =1

2 6 3 = 9 119906 119886 (3)

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Figura2 Mola suspensa

Na Tabela 2 vocecirc deve registrar os dados do experimento com a mola relacionando o moacutedulo

do peso das bolinhas (F) suspensas na mola e as elongaccedilotildees na mola (x) produzidas pelas

bolinhas suspensas

Tabela 2 Dados do experimento da Lei de Hooke

Moacutedulo do peso das bolinhas (F) (gf) Elongaccedilatildeo da mola (x) (cm)

Conclusotildees

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

311 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico F (forccedila) (gf) versus x (deformaccedilatildeo) (cm) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

32 RELACcedilOtildeES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Para caracterizar uma relaccedilatildeo inversamente proporcional vamos considerar um objeto

luminoso (um colega ou outra coisa qualquer brincadeira) colocado em frente ao orifiacutecio de

uma cacircmara escura (de profundidade 15 cm) e a consequente formaccedilatildeo de sua imagem projetada e invertida dentro desta cacircmara A Figura 3 apresenta um esquema desta formaccedilatildeo de

imagem

Figura 3 Cacircmara escura

17

Observa-se que alterando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura tambeacutem

eacute alterada a altura da imagem (h) do objeto formada nesta cacircmara

A Tabela 3 apresenta os registros de um experimento semelhante realizado com uma cacircmara escura relacionando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura e a altura da imagem

(h) do objeto formada dentro desta mesma cacircmara escura

Tabela 3 Dados do experimento Cacircmara Escura

Distacircncia do objeto (d) (cm) Altura da imagem (h) (cm)

Conclusatildeo

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

321 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico d (distacircncia) (cm) versus h (altura) (cm) deste experimento (USE PAPEL

MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

33 GRANDEZAS FIacuteSICAS INDEPENDENTES

Para caracterizar a inexistecircncia de relaccedilatildeo entre duas grandezas fiacutesicas vamos considerar que um pecircndulo tenha a sua massa alterada diversas vezes alterando-se o nuacutemero de

bolinhas contidas num pequeno copo suspenso por um fio sem alterar o seu comprimento e a

sua amplitude de oscilaccedilatildeo Em cada uma destas vezes foram medidos o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e

a massa do pecircndulo utilizando-se um cronocircmetro digital e uma balanccedila de prato para isto

Figura 4 Pecircndulo virtual utilizado Fonte PHET

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Tabela 4 Dados do experimento do Pecircndulo Simples

Periacuteodo (T) (s) Massa (m) (g)

Conclusatildeo

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

331 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico T (periacuteodo) (s) versus m (massa) (g) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

CAPIacuteTULO 4

4 AVENTURA MEacuteTRICA

Vocecirc sabe o motivo do nuacutemero do seu calccedilado ser ____ Natildeo Entatildeo vamos conhecer

A numeraccedilatildeo dos sapatos foi criada em 1324 na Inglaterra no reinado de Eduardo II tendo como unidade de medida um gratildeo de cevada que correspondia a 13 de polegada (lembrando

que 1 polegada equivale a 254 centiacutemetros) Hoje os meacutetodos ou sistemas de numeraccedilatildeo de

calccedilado baseiam-se em outras unidades de medida mas natildeo haacute uma uniformidade de padrotildees em termos internacionais Jaacute imaginou o que isso pode ocasionar

No Brasil o nuacutemero de sapato estaacute relacionado com o tamanho do peacute em centiacutemetros e eacute dado

pela seguinte equaccedilatildeo de 1ordm grau

119873 =5 119901 + 28

4

Onde N eacute o nuacutemero do sapato e p eacute o tamanho do peacute em centiacutemetros

Meccedila seu peacute com a trena e verifique se a ldquofoacutermulardquo acima eacute verdadeira

41 O PAPEL DE CADA DIA

Os tamanhos de papel indicados como An ou seja (A0 A1 A2 A3 A4 A5 A10)

tecircm padratildeo de medidas universal

A altura dividida pela base resulta sempre em radic2 (raiz quadrada de dois) que daacute aproximadamente 141

O tamanho A0 tem exatamente 1 metro quadrado As aacutereas (A0 A1 A2 A3 A4 A10) formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 12 Vocecirc

sabe o que isso significa

19

O tamanho de uma folha de papel

No quadro seguinte vocecirc vecirc alguns formatos de papel

Nome Largura

(mm cm e m)

Comprimento

(mm cm e m)

Diagonal

(mm cm e m)

Periacutemetro

(mm cm e m)

Aacuterea

(mm2 cm2 e m2)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

a) Complete o quadro

b) Quantas folhas A1 podem obter com uma folha A0 c) Quantas folhas A2 podem obter com uma folha A1 E A0

d) Quantas folhas A5 podem obter com uma folha A4

e) Quantas folhas A4 vocecirc precisa para obter com uma folha A3 E A2

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42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE

VEGETAL

Georg Alexander Pick (1859 ndash 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite

calcular a aacuterea de um poliacutegono simples sobreposto a uma malha quadriculada relacionando

somente os noacutes localizados no periacutemetro deste poliacutegono e o nuacutemero de noacutes internos a ele Definiccedilatildeo 1 Um noacute eacute definido pela intersecccedilatildeo de duas retas da malha

[Figura 1 - Noacute]

Definiccedilatildeo 2 Um poliacutegono simples eacute aquele que natildeo possui buracos no seu interior nem

intersecccedilotildees com suas arestas

[Figura 2 ndash Poliacutegono simples e poliacutegonos natildeo-simples]

Teorema 1 Seja P um poliacutegono simples Sejam B o nuacutemero de noacutes coincidentes ao periacutemetro e i o nuacutemero de noacutes internos ao poliacutegono A aacuterea do poliacutegono P seraacute dada pela foacutermula de Pick

119860 =1

2119861 + 119894 minus 1 (1)

Para determinarmos a aacuterea de um triacircngulo vamos considerar a figura abaixo onde os pontos vermelhos satildeo os coincidentes ao periacutemetro e os pontos verdes satildeo internos AP poliacutegono

[Figura 3 - Triacircngulo]

Entatildeo termos que B = 12 e i = 4 Aplicando na foacutermula de Pick obtemos

119860 =1

2 12 + 4 minus 1 = 9 119906 119886 (2)

Pela foacutermula conhecida para calcula de aacutereas de triacircngulos temos que

119860 =1

2 6 3 = 9 119906 119886 (3)

17

Observa-se que alterando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura tambeacutem

eacute alterada a altura da imagem (h) do objeto formada nesta cacircmara

A Tabela 3 apresenta os registros de um experimento semelhante realizado com uma cacircmara escura relacionando a distacircncia do objeto (d) ao orifiacutecio da cacircmara escura e a altura da imagem

(h) do objeto formada dentro desta mesma cacircmara escura

Tabela 3 Dados do experimento Cacircmara Escura

Distacircncia do objeto (d) (cm) Altura da imagem (h) (cm)

Conclusatildeo

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

321 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico d (distacircncia) (cm) versus h (altura) (cm) deste experimento (USE PAPEL

MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

33 GRANDEZAS FIacuteSICAS INDEPENDENTES

Para caracterizar a inexistecircncia de relaccedilatildeo entre duas grandezas fiacutesicas vamos considerar que um pecircndulo tenha a sua massa alterada diversas vezes alterando-se o nuacutemero de

bolinhas contidas num pequeno copo suspenso por um fio sem alterar o seu comprimento e a

sua amplitude de oscilaccedilatildeo Em cada uma destas vezes foram medidos o periacuteodo de oscilaccedilatildeo e

a massa do pecircndulo utilizando-se um cronocircmetro digital e uma balanccedila de prato para isto

Figura 4 Pecircndulo virtual utilizado Fonte PHET

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Tabela 4 Dados do experimento do Pecircndulo Simples

Periacuteodo (T) (s) Massa (m) (g)

Conclusatildeo

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

331 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico T (periacuteodo) (s) versus m (massa) (g) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

CAPIacuteTULO 4

4 AVENTURA MEacuteTRICA

Vocecirc sabe o motivo do nuacutemero do seu calccedilado ser ____ Natildeo Entatildeo vamos conhecer

A numeraccedilatildeo dos sapatos foi criada em 1324 na Inglaterra no reinado de Eduardo II tendo como unidade de medida um gratildeo de cevada que correspondia a 13 de polegada (lembrando

que 1 polegada equivale a 254 centiacutemetros) Hoje os meacutetodos ou sistemas de numeraccedilatildeo de

calccedilado baseiam-se em outras unidades de medida mas natildeo haacute uma uniformidade de padrotildees em termos internacionais Jaacute imaginou o que isso pode ocasionar

No Brasil o nuacutemero de sapato estaacute relacionado com o tamanho do peacute em centiacutemetros e eacute dado

pela seguinte equaccedilatildeo de 1ordm grau

119873 =5 119901 + 28

4

Onde N eacute o nuacutemero do sapato e p eacute o tamanho do peacute em centiacutemetros

Meccedila seu peacute com a trena e verifique se a ldquofoacutermulardquo acima eacute verdadeira

41 O PAPEL DE CADA DIA

Os tamanhos de papel indicados como An ou seja (A0 A1 A2 A3 A4 A5 A10)

tecircm padratildeo de medidas universal

A altura dividida pela base resulta sempre em radic2 (raiz quadrada de dois) que daacute aproximadamente 141

O tamanho A0 tem exatamente 1 metro quadrado As aacutereas (A0 A1 A2 A3 A4 A10) formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 12 Vocecirc

sabe o que isso significa

19

O tamanho de uma folha de papel

No quadro seguinte vocecirc vecirc alguns formatos de papel

Nome Largura

(mm cm e m)

Comprimento

(mm cm e m)

Diagonal

(mm cm e m)

Periacutemetro

(mm cm e m)

Aacuterea

(mm2 cm2 e m2)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

a) Complete o quadro

b) Quantas folhas A1 podem obter com uma folha A0 c) Quantas folhas A2 podem obter com uma folha A1 E A0

d) Quantas folhas A5 podem obter com uma folha A4

e) Quantas folhas A4 vocecirc precisa para obter com uma folha A3 E A2

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42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE

VEGETAL

Georg Alexander Pick (1859 ndash 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite

calcular a aacuterea de um poliacutegono simples sobreposto a uma malha quadriculada relacionando

somente os noacutes localizados no periacutemetro deste poliacutegono e o nuacutemero de noacutes internos a ele Definiccedilatildeo 1 Um noacute eacute definido pela intersecccedilatildeo de duas retas da malha

[Figura 1 - Noacute]

Definiccedilatildeo 2 Um poliacutegono simples eacute aquele que natildeo possui buracos no seu interior nem

intersecccedilotildees com suas arestas

[Figura 2 ndash Poliacutegono simples e poliacutegonos natildeo-simples]

Teorema 1 Seja P um poliacutegono simples Sejam B o nuacutemero de noacutes coincidentes ao periacutemetro e i o nuacutemero de noacutes internos ao poliacutegono A aacuterea do poliacutegono P seraacute dada pela foacutermula de Pick

119860 =1

2119861 + 119894 minus 1 (1)

Para determinarmos a aacuterea de um triacircngulo vamos considerar a figura abaixo onde os pontos vermelhos satildeo os coincidentes ao periacutemetro e os pontos verdes satildeo internos AP poliacutegono

[Figura 3 - Triacircngulo]

Entatildeo termos que B = 12 e i = 4 Aplicando na foacutermula de Pick obtemos

119860 =1

2 12 + 4 minus 1 = 9 119906 119886 (2)

Pela foacutermula conhecida para calcula de aacutereas de triacircngulos temos que

119860 =1

2 6 3 = 9 119906 119886 (3)

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Tabela 4 Dados do experimento do Pecircndulo Simples

Periacuteodo (T) (s) Massa (m) (g)

Conclusatildeo

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

331 EXERCITANDO

1) Construa o graacutefico T (periacuteodo) (s) versus m (massa) (g) deste experimento (USE PAPEL MILIMETRADO)

2) Usando o Excel

CAPIacuteTULO 4

4 AVENTURA MEacuteTRICA

Vocecirc sabe o motivo do nuacutemero do seu calccedilado ser ____ Natildeo Entatildeo vamos conhecer

A numeraccedilatildeo dos sapatos foi criada em 1324 na Inglaterra no reinado de Eduardo II tendo como unidade de medida um gratildeo de cevada que correspondia a 13 de polegada (lembrando

que 1 polegada equivale a 254 centiacutemetros) Hoje os meacutetodos ou sistemas de numeraccedilatildeo de

calccedilado baseiam-se em outras unidades de medida mas natildeo haacute uma uniformidade de padrotildees em termos internacionais Jaacute imaginou o que isso pode ocasionar

No Brasil o nuacutemero de sapato estaacute relacionado com o tamanho do peacute em centiacutemetros e eacute dado

pela seguinte equaccedilatildeo de 1ordm grau

119873 =5 119901 + 28

4

Onde N eacute o nuacutemero do sapato e p eacute o tamanho do peacute em centiacutemetros

Meccedila seu peacute com a trena e verifique se a ldquofoacutermulardquo acima eacute verdadeira

41 O PAPEL DE CADA DIA

Os tamanhos de papel indicados como An ou seja (A0 A1 A2 A3 A4 A5 A10)

tecircm padratildeo de medidas universal

A altura dividida pela base resulta sempre em radic2 (raiz quadrada de dois) que daacute aproximadamente 141

O tamanho A0 tem exatamente 1 metro quadrado As aacutereas (A0 A1 A2 A3 A4 A10) formam uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo 12 Vocecirc

sabe o que isso significa

19

O tamanho de uma folha de papel

No quadro seguinte vocecirc vecirc alguns formatos de papel

Nome Largura

(mm cm e m)

Comprimento

(mm cm e m)

Diagonal

(mm cm e m)

Periacutemetro

(mm cm e m)

Aacuterea

(mm2 cm2 e m2)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

a) Complete o quadro

b) Quantas folhas A1 podem obter com uma folha A0 c) Quantas folhas A2 podem obter com uma folha A1 E A0

d) Quantas folhas A5 podem obter com uma folha A4

e) Quantas folhas A4 vocecirc precisa para obter com uma folha A3 E A2

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42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE

VEGETAL

Georg Alexander Pick (1859 ndash 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite

calcular a aacuterea de um poliacutegono simples sobreposto a uma malha quadriculada relacionando

somente os noacutes localizados no periacutemetro deste poliacutegono e o nuacutemero de noacutes internos a ele Definiccedilatildeo 1 Um noacute eacute definido pela intersecccedilatildeo de duas retas da malha

[Figura 1 - Noacute]

Definiccedilatildeo 2 Um poliacutegono simples eacute aquele que natildeo possui buracos no seu interior nem

intersecccedilotildees com suas arestas

[Figura 2 ndash Poliacutegono simples e poliacutegonos natildeo-simples]

Teorema 1 Seja P um poliacutegono simples Sejam B o nuacutemero de noacutes coincidentes ao periacutemetro e i o nuacutemero de noacutes internos ao poliacutegono A aacuterea do poliacutegono P seraacute dada pela foacutermula de Pick

119860 =1

2119861 + 119894 minus 1 (1)

Para determinarmos a aacuterea de um triacircngulo vamos considerar a figura abaixo onde os pontos vermelhos satildeo os coincidentes ao periacutemetro e os pontos verdes satildeo internos AP poliacutegono

[Figura 3 - Triacircngulo]

Entatildeo termos que B = 12 e i = 4 Aplicando na foacutermula de Pick obtemos

119860 =1

2 12 + 4 minus 1 = 9 119906 119886 (2)

Pela foacutermula conhecida para calcula de aacutereas de triacircngulos temos que

119860 =1

2 6 3 = 9 119906 119886 (3)

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O tamanho de uma folha de papel

No quadro seguinte vocecirc vecirc alguns formatos de papel

Nome Largura

(mm cm e m)

Comprimento

(mm cm e m)

Diagonal

(mm cm e m)

Periacutemetro

(mm cm e m)

Aacuterea

(mm2 cm2 e m2)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

a) Complete o quadro

b) Quantas folhas A1 podem obter com uma folha A0 c) Quantas folhas A2 podem obter com uma folha A1 E A0

d) Quantas folhas A5 podem obter com uma folha A4

e) Quantas folhas A4 vocecirc precisa para obter com uma folha A3 E A2

20

42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE

VEGETAL

Georg Alexander Pick (1859 ndash 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite

calcular a aacuterea de um poliacutegono simples sobreposto a uma malha quadriculada relacionando

somente os noacutes localizados no periacutemetro deste poliacutegono e o nuacutemero de noacutes internos a ele Definiccedilatildeo 1 Um noacute eacute definido pela intersecccedilatildeo de duas retas da malha

[Figura 1 - Noacute]

Definiccedilatildeo 2 Um poliacutegono simples eacute aquele que natildeo possui buracos no seu interior nem

intersecccedilotildees com suas arestas

[Figura 2 ndash Poliacutegono simples e poliacutegonos natildeo-simples]

Teorema 1 Seja P um poliacutegono simples Sejam B o nuacutemero de noacutes coincidentes ao periacutemetro e i o nuacutemero de noacutes internos ao poliacutegono A aacuterea do poliacutegono P seraacute dada pela foacutermula de Pick

119860 =1

2119861 + 119894 minus 1 (1)

Para determinarmos a aacuterea de um triacircngulo vamos considerar a figura abaixo onde os pontos vermelhos satildeo os coincidentes ao periacutemetro e os pontos verdes satildeo internos AP poliacutegono

[Figura 3 - Triacircngulo]

Entatildeo termos que B = 12 e i = 4 Aplicando na foacutermula de Pick obtemos

119860 =1

2 12 + 4 minus 1 = 9 119906 119886 (2)

Pela foacutermula conhecida para calcula de aacutereas de triacircngulos temos que

119860 =1

2 6 3 = 9 119906 119886 (3)

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42 A FOacuteRMULA DE PICK E A MEDICcedilAtildeO DA AacuteREA DE UM FOLHA DE

VEGETAL

Georg Alexander Pick (1859 ndash 1942) desenvolveu um teorema em 1899 que permite

calcular a aacuterea de um poliacutegono simples sobreposto a uma malha quadriculada relacionando

somente os noacutes localizados no periacutemetro deste poliacutegono e o nuacutemero de noacutes internos a ele Definiccedilatildeo 1 Um noacute eacute definido pela intersecccedilatildeo de duas retas da malha

[Figura 1 - Noacute]

Definiccedilatildeo 2 Um poliacutegono simples eacute aquele que natildeo possui buracos no seu interior nem

intersecccedilotildees com suas arestas

[Figura 2 ndash Poliacutegono simples e poliacutegonos natildeo-simples]

Teorema 1 Seja P um poliacutegono simples Sejam B o nuacutemero de noacutes coincidentes ao periacutemetro e i o nuacutemero de noacutes internos ao poliacutegono A aacuterea do poliacutegono P seraacute dada pela foacutermula de Pick

119860 =1

2119861 + 119894 minus 1 (1)

Para determinarmos a aacuterea de um triacircngulo vamos considerar a figura abaixo onde os pontos vermelhos satildeo os coincidentes ao periacutemetro e os pontos verdes satildeo internos AP poliacutegono

[Figura 3 - Triacircngulo]

Entatildeo termos que B = 12 e i = 4 Aplicando na foacutermula de Pick obtemos

119860 =1

2 12 + 4 minus 1 = 9 119906 119886 (2)

Pela foacutermula conhecida para calcula de aacutereas de triacircngulos temos que

119860 =1

2 6 3 = 9 119906 119886 (3)

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Vimos que eacute relativamente simples o caacutelculo Claro que para determinar as aacutereas de triacircngulos eacute

mais direto pela foacutermula tradicional mas para poliacutegonos de complexa geometria fica faacutecil

determinar sua aacuterea

[Figura 4 ndash Poliacutegono com geometria complexa]

Temos que B = 96 e i = 157 logo

119860 =1

2 96 + 157 minus 1 = 204 119906 119886

Um estudo mais detalhado sobre a aplicaccedilatildeo do Teorema de Pick em poliacutegonos pode ser vista no link httpcmupfcupptcmuppickindexhtml

Vamos testar esse teorema Calcule a aacuterea da folha de uma planta fictiacutecia utilizando o teorema de Pick

Vamos utilizar o software livre Geogebra para comprovar nossa medida

43 ALGUNS PREFIXOS DAS UNIDADES DO SISTEMA INTERNACIONAL

Os Prefixos das unidades satildeo utilizados para facilitar a escrita das mesmas

quando elas estatildeo expressas ou em valores muito grandes ou muito pequenos A Tabela

abaixo mostra os Prefixos seus multiplicadores e seus siacutembolos

22

Tabela 1 Prefixos seus multiplicadores e seus siacutembolos

Desta forma para escrevermos 55000000 V (cinquenta e cinco milhotildees de volts)

utilizando um prefixo teriacuteamos 55MV ou Itaipu possui 14000000000000 de W de

potecircncia instalada escreveriacuteamos 14000 MW ou ainda 14 TW ou para escrevermos

0009A (nove miliampegraveres) teriacuteamos 9mA as plaquetas que possuem formato irregular

com 00000025 m de diacircmetro escreveriacuteamos 25 microm Isto pode ser utilizado para todas

as Unidades do Sistema Internacional com seguranccedila

Referecircncias

ALVARENGA B MAacuteXIMO A Curso de Fiacutesica Satildeo Paulo Spicione 2000 3 v

ALVES R Filosofia da ciecircncia uma introduccedilatildeo ao jogo e suas regras Satildeo Paulo Brasiliense

1981

EISBERG R M LERNER L S Fiacutesica fundamentos e aplicaccedilotildees Satildeo Paulo Editora

MacGraw-Hill do Brasil 1983 2v

INMETRO SISTEMA Internacional de Unidades - SI 8 ed (revisada) Rio de Janeiro 2007

114 p Disponiacutevel em lt httpwwwinmetrogovbrconsumidorResumo_SIpdf gt Acesso em

16 nov 2015

LUCIE P A gecircnese do meacutetodo cientiacutefico 2 ed Rio de Janeiro Campus 1978

Nome do Prefixo Siacutembolo do Prefixo Fator pelo qual a unidade

eacute multiplicada

MUacuteLTIPLUS

yotta Y 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 zetta Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 tera T 1012 = 1 000 000 000 000 giga G 109 = 1 000 000 000 mega M 106 = 1 000 000 quilo k 103 = 1 000 hecto h 102 = 1 00 deca da 10

SUBMUacuteLTIPLUS

deci d 10-1 = 01 centi c 10-2 = 001 mili m 10-3 = 0001

micro micro 10-6 = 0000 001 nano n 10-9 = 0000 000 001 pico p 10-12 = 0000 000 000 001

femto f 10-15 = 0000 000 000 000 001 atto a 10-18 = 0000 000 000 000 000 001

zepto z 10-21 = 0000 000 000 000 000 000 001 yocto y 10-24 = 0000 000 000 000 000 000 000 001

23

RESNICK R HALLIDAY D KRANE K S Fiacutesica 4 ed Rio de Janeiro LTC Editora

2012 v I

PEDROSO LS Articulaccedilatildeo Entre Laboratoacuterio Investigativo e Virtual Visando a

Aprendizagem Significativa de Conceitos de Eletromagnetismo 2014 225 f Tese (Doutorado

em Ensino de Ciecircncias e Matemaacutetica) - Universidade Cruzeiro do Sul Satildeo Paulo 2014

SILVEIRA F L OSTERMANN F A Insustentabilidade da Proposta Indutivista de

ldquoDescobrir a Lei a Partir dos Resultados Experimentaisrdquo Caderno Catarinense de Ensino de

Fiacutesica Florianoacutepolis v19 n especial p 7-27 2002 Disponiacutevel em lt httpwwwfscufscbrccefport19-especialindexhtml gtAcesso em 16 nov 2015

THUILLIER P De Arquimedes a Einstein a face oculta da invenccedilatildeo cientiacutefica Rio de Janeiro Jorge Zahar Ed 1994

TIPLER P Fiacutesica para cientistas e engenheiros 6 ed Rio de Janeiro LTC Editora 2009 v 1

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2012 v I

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Aprendizagem Significativa de Conceitos de Eletromagnetismo 2014 225 f Tese (Doutorado

em Ensino de Ciecircncias e Matemaacutetica) - Universidade Cruzeiro do Sul Satildeo Paulo 2014

SILVEIRA F L OSTERMANN F A Insustentabilidade da Proposta Indutivista de

ldquoDescobrir a Lei a Partir dos Resultados Experimentaisrdquo Caderno Catarinense de Ensino de

Fiacutesica Florianoacutepolis v19 n especial p 7-27 2002 Disponiacutevel em lt httpwwwfscufscbrccefport19-especialindexhtml gtAcesso em 16 nov 2015

THUILLIER P De Arquimedes a Einstein a face oculta da invenccedilatildeo cientiacutefica Rio de Janeiro Jorge Zahar Ed 1994

TIPLER P Fiacutesica para cientistas e engenheiros 6 ed Rio de Janeiro LTC Editora 2009 v 1