ModaÉ o valor de maior freqüência em um conjunto de dados.Notação: A moda será denotada por mo.

CÁLCULO DE MODA

1º CASO) Dados Brutos ou RolBasta indicar o elemento de maior freqüência.

Exemplos :1. X: 2, 8, 3 ,5 ,4 ,5, 3, 5, 5, 1

O elemento de maior freqüência é 5. Portanto, mo=5. É uma seqüência unimodal.

2. X: 6, 10, 5, 6, 10, 2

Esta freqüência apresenta o elemento 6 e o elemento 10 como elementos de maior freqüência. Portanto, mo=6 e mo=10. É uma seqüência bimodal.Poderemos encontrar seqüências trimodais, tetramodais e assim sucessivamente. Estas seqüências serão chamadas de forma genérica por seqüências

polimodais.

3. X: 2, 2, 5, 8, 5, 8

Observe que todos os elementos da série apresentam a mesma freqüência.Nesta situação, não há um elemento que se destaque pela maior freqüência, e diremos que a série é amodal.

2º CASO) Variável discretaEste caso é ainda mais simples. Note que na apresentação da variável discreta, as freqüências já estão computadas na segunda coluna. Basta identificar o elemento de maior freqüência.

Exemplos :

1.

A maior freqüência observada na segunda coluna é 8 e corresponde ao elemento 3 da série. Portanto é, uma série unimodal com mo=3.

2.

xi fi0 22 53 84 35 1

xi fi1 22 53 44 55 1

A maior freqüência observada na segunda coluna é 5 e corresponde aos valores 2 e 4. Portanto é, uma série bimodal com mo=2 e mo=4.

3.

Observe que todos os elementos da série possuem a mesma freqüência. Portanto, a série é amodal.

2º CASO) Variável contínua

Para determinar a moda de uma variável contínua, podemos optar por vários processos. Daremos destaque para a moda de Pearson, a moda de King e a moda de Czuber.

xi fi4 35 38 310 3

1º Processo: MODA DE PEARSON

Segundo PEARSON, a moda de uma variável contínua pode ser obtida através do valor da média e da mediana.

Exemplo: Calcule a moda de Pearson para a distribuição de freqüência.

Xmdmo 23

Classe Int. cl. fi1 0 ______ 10 12 10 ______ 20 33 20 ______ 30 64 30 ______ 40 2

Solução: Cálculo da média:

fi=12 xifi=270

Cálculo da mediana:

Classe Int. cl. fi xi xifi1 0 ______ 10 1 5 52 10 ______ 20 3 15 453 20 ______ 30 6 25 1504 30 ______ 40 2 35 70

5,2212

270

fi

xifiX

Classe Int. cl. fi Fi1 0 ______ 10 1 12 10 ______ 20 3 43 20 ______ 30 6 104 30 ______ 40 2 12

hfmd

Fantn

amd .2Im

n=12 n = 12 = 6 2 2

A mediana corresponde ao sexto elemento da série. O sexto elemento da série está na terceira classe. Esta é a classe mediana. A mediana vale:

33,23

10.6

4620

md

md

Conseqüentemente :

Note que a moda está situada na terceira classe que é a classe de maior freqüência da série.A classe de maior freqüência será chamada de classe modal.

2º Processo: MODA DE KINGKing levou em consideração, em sua fórmula, a freqüência simples da classe anterior e a freqüência simples da classe posterior à classe modal.

Onde :

25

)5,22(2)33,23(3

23

mo

mo

Xmdmo

hfpostfant

fpostomo .Im

Imo - limite inferior da classe modalfpost- freqüência simples da classe posterior à classe modalfant - freqüência simples da classe anterior à classe modalh - amplitude do intervalo de classe

Exemplo: Calcule a moda de King para a distribuição:

Solução: A classe modal é a de maior freqüência, portanto, é a terceira classe e a moda vale:

Interpretação: 24 é o valor mais freqüente nesta distribuição

Classe Int. cl. fi1 0 ______ 10 12 10 ______ 20 33 20 ______ 30 64 30 ______ 40 2

2410.23

220

mo

3º Processo: MODA DE CZUBERCZUBER levou em consideração, em sua fórmula a freqüência simples da classe anterior, a freqüência simples da classe posterior, além da freqüência simples da classe modal.É, portanto, uma fórmula mais completa que a fórmula de King.

Onde:

Imo - limite inferior da classe modalfmo - freqüência simples da classe modalfant - freqüência simples da classe anterior à classe modalfpost- freqüência simples da classe posterior à classe modalh - amplitude do intervalo de classe

hfpostfantfmo

fantfmoomo .

)(2Im

Exemplo: Calcule a moda de Czuber para a distribuição:

Solução: A classe modal é a terceira classe, portanto, a moda vale:

Interpretação: 24,29 é o valor mais freqüente nesta distribuição

Classe Int. cl. fi1 0 ______ 10 12 10 ______ 20 33 20 ______ 30 64 30 ______ 40 2

29,2410.)23()6(2

3620

mo

Comentário: A fórmula de Pearson tem normalmente interesse teórico. Se não dispusermos da média e da mediana da distribuição, a fórmula de Pearson é a mais trabalhosa.A fórmula de King é a mais simples delas, mas não é a mais precisa.A fórmula de Czuber é a mais precisa que a fórmula de King, pois leva também em consideração a freqüência da classe modal.Observe que no exemplo utilizado o cálculo da moda pelos três processos determinou três valores diferentes.É claro que os três valores obtidos são valores aproximados do verdadeiro valor da moda.Normalmente o mais confiável é o valor da moda de Czuber.As fórmulas de King e Czuber podem ser justificadas, de modo semelhante, com o histograma da distribuição.

Solução: A classe modal é a terceira classe, portanto, a moda vale:

Interpretação: 24,29 é o valor mais freqüente nesta distribuição

a) Fórmula de King

Identifica-se a classe modal como sendo a de maior altura (freqüência) e caracteriza-se o seu limite inferior Imo e seu limite superior Lmo.

Projeta-se a freqüência da classe posterior na reta represen-tativa da freqüência da classe anterior obtendo-se o ponto A. Em seguida projeta-se a partir do Lmo, no sentido vertical, uma distância igual à freqüência da classe anterior obtendo o ponto B.

B

fi

fantfpost

Int.cl.Imo Lmo

A

C DP

x h-x

O segmento de reta unindo os pontos A e B intercepta o eixo horizontal no ponto P, que identifica-se como sendo a moda da distribuição.

A amplitude do intervalo de classe é h e está dividida em duas partes. Se chamarmos a primeira parte de x, então a segunda parte será h-x.

Assim, observando a figura concluímos que:

Como os triângulos ACP e PDB são semelhantes (A,A,A) os lados são proporcionais.Então,

Usando propriedades das proporções, podemos afirmar:

xomo Im

xh

x

DB

AC

x

xhx

AC

DBAC

Ou

de onde conclui-se que:

Lembrando que AC = fpost e que DB = fant, obtém-se:

Substituindo o valor de x na expressão mo=Imo + x obtém-se:

x

h

AC

DBAC

x

h

AC

DBAC

hpostfant

fpostx .

hfpostfant

fpostomo .

)Im

b) Fórmula de Czuber

Identifica-se a classe modal e caracteriza-se o seu limite inferior Imo e seu limite superior Lmo.

Unindo-se os pontos A e D e os pontos B e C, os segmentos de reta determinados se interceptam no ponto P.

Em seguida projeta-se verticalmente este ponto no eixo horizontal obtendo o ponto M, que identifica-se como sendo a moda da distribuição.

fi

Int.cl.Imo

A C

FM

x h-xB

D

x h-xE

P

Lmo

A amplitude do intervalo de classe é h e está dividida em duas partes. Se chamarmos e primeira parte de x, então a segunda parte será h-x.

Estes valores correspondem às alturas dos triângulos ABP e CDP respect6ivamente.

Como estes triângulos são semelhantes (A, A, A), os lados e as alturas são proporcionais. Então:

Usando a propriedade das proporções, podemos afirmar:

ou

de onde se conclui que:

xh

x

CD

AB

x

xhx

AB

CDAB

x

h

AB

CDAB

h

CDAB

ABx .

Lembrando que AB = AE - BE = fmo - fant e que CD = CF - DF = fmo - fpost, obtém-se:

Como a moda é identificada como sendo o ponto M da figura, podemos afirmar que:

Substituindo o valor de x obtido anteriormente nesta expressão, a moda fica escrita:

Observação: Se a classe modal for a primeira classe, então fant = 0 e se a classe modal for a última então fpost = 0.

hfpostfantfmo

fantfmoh

fpostfmofantfmo

fantfmox .

)(2.

xomo Im

hfpostfantfmo

fantfmoomo .

)(2Im

Utilização das Medidas de Tendência Central

Na maioria das situações, não necessitamos calcular as três medidas de tendência central.

Normalmente precisamos de apenas uma das medidas para caracterizar o centro da série.

Surge, então, a questão: qual medida deve ser utilizada?A medida ideal para cada caso é aquela que melhor representa a maioria

dos dados da série.Quando todos os dados de uma série estatística são iguais, a média, a

mediana e a moda coincidirão com este valor e, portanto qualquer uma delas representará bem a série. No entanto, este caso dificilmente ocorrerá na prática.

Na maioria das vezes, teremos valores diferenciados para a série e conseqüentemente a medida irá representar bem, apenas os dados da série que se situam próximos a este valor. Os dados muito afastados em relação ao valor da medida não serão bem representados por ela.

Desta forma, se uma série apresenta forte concentração de dados em sua área central, a média, a mediana e a moda ficam também situadas em sua área central representando bem a série como na figura a. Como a mais conhecida é a média, optamos por esta medida de tendência central. Concluindo, devemos optar pela média, quando houver forte concentração de dados na área central da série.

a)

x

Se uma série apresenta forte concentração de dados em seu início, a mediana e a moda estarão posicionadas mais no início da série, representando bem esta concentração. A moda que é fortemente afetada por alguns valores posicionados no final da série se deslocará para a direita desta concentração não a representando bem.

Como a mais conhecida entre mediana e moda é a mediana, esta será a medida indicada neste caso.

A mesma situação ocorre se a série apresenta forte concentração de dados em seu final.

Concluindo, devemos optar pela mediana, quando houver forte concentração de dados no início ou no final da série.

A moda deve ser a opção como medida de tendência central apenas em séries que apresentam em elemento típico, isto é, um valor cuja freqüência é muito superior à freqüência dos outros elementos da série.