1

Modalidad Semiescolar del Sistema de Bachillerato del Gobierno del D. F.

Autor: Gabriel Silva Ramírez

Matemáticas 3

Sistemas de

Ecuaciones

Lineales

Ecuación y

Función

Cuadrática

2) (a + b)2 == (a + b)( . . . ) =

= (a + b)( . . . ) = 3) a2 – b2 =

= a(a – . . . )1) a2 – ab =

2) (a + b)2 == (a + b)( . . . ) =

2) (a + b)2 == (a + b)( . . . ) =

= (a + b)( . . . ) = 3) a2 – b2 =

= (a + b)( . . . ) = 3) a2 – b2 =

= a(a – . . . )1) a2 – ab =

= a(a – . . . )1) a2 – ab =

Productos

Notables

Secciones

Cónicas

anxn + … + a2x2 + a1x + a0

bsys + … + b2y

2 + b1y + b0

anxn + … + a2x2 + a1x + a0

bsys + … + b2y

2 + b1y + b0

2x3 + x2 – 3x + 1

3y4 + 2y2 + y – 4

2x3 + x2 – 3x + 1

3y4 + 2y2 + y – 4

Álgebra

2

Matemáticas 3 Material de apoyo para el estudio de la modalidad SemiEscolar del SBGDF Instituto de Educación Media Superior

3

¿Para qué estudiar matemáticas ? El programa de Matemáticas que te ofrecemos es diferente a los que se aplican en la mayoría de las demás preparatorias, sean éstas del modelo tradicional o el CCH, pues difiere en el contenido, modo y forma de enseñar y su proceso de evaluación. El programa está concebido de modo tal que construyas la Matemática; descubras, inventes, propongas y discutas los contenidos, y de esta manera modeles para ti un método de razonamiento y de análisis, desarrollando tu creatividad, a la vez que aprendas a explicar tus procesos de pensamiento y argumentes tus conclusiones. El curso consta de seis objetivos principales:

1. Sistemas de ecuaciones lineales (4) 2. Ecuación y función cuadrática (4) 3. Secciones cónicas (4) 4. Álgebra (2)

Cada objetivo está compuesto de varios temas, el número en paréntesis indica la cantidad de éstos. En total son 14.

Matemáticas III

Sistemasde Ecuaciones

LinealesEcuación y Función

Cuadrática

SeccionesCónicas

Álgebra

Matemáticas III

Sistemasde Ecuaciones

LinealesEcuación y Función

Cuadrática

SeccionesCónicas

Álgebra

4

¿Cómo se integran los módulos?

Este curso te ofrece en su inicio una propuesta geométrica y una idea de la disposición y las propiedades algebraicas del comportamiento de las rectas, que podemos dibujar en una hoja de papel sin rayas y posteriormente sobre el plano cartesiano. Más adelante, se te presenta la ecuación cuadrática, su tabulación para dibujarla en el plano cartesiano y sus propiedades geométricas y algebraicas, así como este mismo análisis de la función cuadrática. Seguimos con las secciones cónicas, conocerás su definición, construcción, deducción y desarrollo con la idea de encontrar su ecuación o sus elementos. Finalmente, se expone el manejo de polinomios, términos algebraicos de amplio uso en las Matemáticas.

Integración de los los temas La primera sección de la página es la portada . Contiene el título del objetivo y del tema. Después de la portada vienen: un resumen , que explica brevemente cómo se desarrollará el tema; un índice , que ubica la página en donde se encuentra cada tema, así como las secciones importantes mencionadas en el módulo; un esquema instructivo que intenta ser un modelo el cual indica el contenido del módulo, a veces en el orden de la presentación y otras no; una introducción en la que se inicia el tema y que no siempre condensa el contenido del módulo; y algunos ejercicios intercalados en distintas partes del documento. Dentro de los textos hallarás algunas definiciones importantes vistas o mencionadas en el módulo. Es conveniente investigar más acerca de tales definiciones.

O X

Y

O X

Y

5

ÍNDICE

1 Sistemas de 1.1 Interpretación geométrica y análisis para

ecuaciones lineales determinar su solución 6 1.2 Métodos de solución 20 1.3 Sistemas de ecuaciones con más de dos incógnitas 50 1.4 Ubicación de intervalos y regiones definidas por desigualdades 72

2 Ecuaciones y 2.1 Concepto de ecuación cuadrática 98

Funciones Cuadrática 2.2 Análisis gráfico de la ecuación y función cuadrática 111 2.3 Ecuación general y sus raíces 130 2.4 Ubicación de Intervalos y regiones definidas por desigualdades 149

3 Productos 3.1 Factorización y completez de productos notables. 162

notables

4 Secciones 4.1 Definición, construcción y ecuaciones canónica y general

cónicas (circunferencia y parábola). 181 4.2 Definición, construcción y ecuaciones canónica y general

(elipse e hipérbola). 193 4.3 Ecuación canónica y ecuación general; desarrollo, factorización y elementos. Transformación de una en otra (circunferencia y parábola). 212 4.4 Ecuación canónica y ecuación general; desarrollo, factorización y elementos. Transformación de una en otra (elipse e hipérbola). 229

5 Álgebra 4.1 Cocientes compuestos por polinomios. 244

6

Matemáticas 3

1: Sistemas de ecuaciones lineales

1.1: Interpretación geométrica y análisis para

determinar su solución

Objetivo El estudiante comprenderá e incorporará a su acervo geométrico la imagen, concepción y tratamiento de un par de líneas rectas; primero en una hoja de papel cualquiera en blanco y después en el plano cartesiano.

Presentación Comenzamos con provisión de material. Se nos da una hoja de papel en blanco, un lápiz; bueno dos, y una regla. A continuación se nos hace un pedido: que tracemos en ella una línea recta A.

Ahora, se nos solicita el trazo de una segunda recta en nuestra hoja. ¿De cuántas maneras diferentes

podemos trazar esta segunda recta con respecto a la primera?

la hoja

la regla

y los lápicesRecta A

2x – y = 3

5x + 2y = 7

y = –3

. . .

X

Y

0

2x – y + z = -1x + 3y – z = 2x – y + z = 1

∆x

∆

Y

Z

X 0

2x – y = 3

5x + 2y = 7

y = –3

. . .

X

Y

0

2x – y = 3

5x + 2y = 7

y = –3

. . .

X

Y

0

2x – y + z = -1x + 3y – z = 2x – y + z = 1

∆x

∆

Y

Z

X 0

2x – y + z = -1x + 3y – z = 2x – y + z = 1

∆x

∆∆

x∆

Y

Z

X 0

Y

Z

X 0

7

Tenemos ya trazada la recta A, entonces nos imaginamos la segunda recta y dónde trazarla, llamémosla B. Lo que pensamos a continuación es si trazamos esta segunda recta de forma tal que intersecte (corte) o no a la recta A, luego nos decidimos a trazarla. ¿Qué quiere decir el que dos rectas tengan un punto de intersección? Veamos cuántas formas hay de cada una de nuestras opciones; si intersecta o no intersecta. Primero hagámoslo con una recta que intersecte a nuestra recta A.

Opción 1a. La segunda recta,

llamémosla B1, intersecta a la recta A en la hoja.

1b. La segunda recta, la que llamaremos B2, intersecta a la recta A fuera de la hoja.

Recta A

Recta B 1

Recta A

Recta B2

8

1c. La segunda recta, que llamaremos C, intersecta a la recta A en ángulo de 90° (la recta C es perpendicular a la recta A).

1d. La segunda recta, la que llamaremos D, intersecta a la recta A en todos sus puntos, es la misma recta A pero con otro nombre.

Ahora hagámoslo con una recta que no intersecte, ni dentro ni fuera de la hoja, a la recta A.

90°

Recta A

Rec

ta C

Recta D

Recta A

9

Opción 2. La segunda recta, que llamaremos E, no intersecta a la recta A y mantiene con ella una misma distancia (la recta E es paralela a la recta A).

Trazadas todas estas líneas sobre la misma hoja, observamos que hay entre ellas características o propiedades que debemos tomar en cuenta. Estas son:

Considerando la recta A como nuestra postura original, tenemos que, 1. Las rectas B1, B2 y C, la intersectan en un solo punto, ya sea dentro o fuera de la hoja, 2. La recta D, la intersecta en todos sus puntos, o sea es la misma recta, y 3. La recta E, no la intersecta ni dentro ni fuera de la hoja, es paralela a la recta A.

Recta A

Recta E

90°

Recta A

Recta B 1

Recta B2

Rec

ta C

Recta D

10

Veamos ahora qué sucede cuando estas rectas las trazamos sobre el plano cartesiano.

Haciendo abstracción de la hoja y trazando la recta A, tenemos:

Para encontrar la ecuación de la recta A, es necesario que tengamos localizados dos puntos de ella sobre el plano.

O Eje X

Eje Y

Recta A

Eje X

Eje Y

O Eje X

Eje Y

O

11

Con dos puntos, calculamos la pendiente de la recta A y después, con esta pendiente y uno de los dos puntos construimos la ecuación de la recta A.

– 3 – 5 – 8 – 2 mA = 7 – (– 5) = 12 = 3

– 2 3 (x + 5) = (y – 5)

– 2 (x + 5) = 3 (y – 5) – 2x – 10 = 3y – 15 – 2x – 3y = – 15 + 10 ; La ecuación de A es: 2x + 3y = 5 . Ahora, tracemos una recta B, que intersecte a la recta A. Igual que con la recta A, localicemos, sobre el plano, dos puntos por los que atraviesa esta recta. Y encontremos su ecuación. 1 – (– 2) 3 1 1 mB = 8 – 2 = 6 = 2 ; 2 (x – 8) = (y – 1) x – 8 = 2 (y – 1) x – 8 = 2y – 2 x – 2y = – 2 + 8 ; La ecuación de B es: x – 2y = 6.

O Eje X

Eje Y

O Eje X

Eje Y

( 7, –3)

( –5, 5)

Recta A

O Eje X

Eje Y

( 8, 1)

( 2, –2)

Recta A

Recta B

12

Como observamos, las rectas A y B se intersectan. O sea, tienen un punto de intersección. Hagamos una tabulación de cada una de las rectas.

Recta A Recta B x y = (5 –2x)/3 y = x/2 – 3

– 4 (5 –2(–4))/3 = 13/3 = 4 1/3 (–4)/2 – 3 = –5 – 3 (5 –2(–3))/3 = 11/3 = 3 2/3 (–3)/2 – 3 = –9/2 = –4 1/2 – 2 (5 –2(–2))/3 = 9/3 = 3 (–2)/2 – 3 = –4 – 1 (5 –2(–1))/3 = 7/3 = 2 1/3 (–1)/2 – 3 = –7/2 = –3 1/2 0 (5 –2(–0))/3 = 5/3 = 1 2/3 (0)/2 – 3 = –3 1 (5 –2(1))/3 = 1 (1)/2 – 3 = –5/2 = –2 1/2 2 (5 –2(2))/3 = 1/3 = 1/3 (2)/2 – 3 = –2 3 (5 –2(3))/3 = –1/3 = – 1/3 (3)/2 – 3 = –3/2 = –1 1/2 4 (5 –2(4))/3 = –1 (4)/2 – 3 = –1 5 (5 –2(5))/3 = –5/3 = –1 2/3 (5)/2 – 3 = –1/2 = – 1/2 6 (5 –2(6))/3 = –7/3 = –2 1/3 (6)/2 – 3 = 0

El resultado de nuestra tabulación en el plano es así:

Además, en ella vemos que para el valor x = 4, ambas rectas, según su ecuación, asignan el valor y = –1. En nuestro dibujo vemos también que las rectas A y B se intersectan en el punto (4, –1), como una buena aproximación. Sobre la región sombreada en azul pálido, se encuentran los puntos resultado de la tabulación.

Hagamos más, sustituyamos las coordenadas del punto que en la tabulación encontramos en ambas rectas, sus valores numéricos (4, –1) en el plano, y desarrollemos las ecuaciones de cada una de las dos rectas para saber si satisface las condiciones de ambas rectas.

O Eje X

Eje Y

Recta A

Recta B

13

Recta A Recta B Punto de intersección 2x + 3y = 5 , x – 2y = 6 , (4, –1). Sustituyendo: 2(4) + 3(–1) = 8 – 3 = 5 , (4) – 2(–1) = 4 + 2 = 6 . Satisface ambas condiciones. Tracemos ahora, una recta C, perpendicular a la recta A. Como en los ejercicios anteriores, localicemos sobre el plano al menos un punto de esta recta. ¿Cómo encontramos su ecuación? Contamos con dos caminos para encontrar la ecuación de la recta C: Uno. Sabemos el valor de la pendiente

de la recta A; entonces buscamos el valor inverso y de signo contrario al de la pendiente de A y con este valor y localizando un punto por el que atraviese la recta C, construimos su ecuación.

Dos. Si tenemos localizados dos puntos por los que atraviesa la recta C, procedemos como en los

ejercicios anteriores.

O Eje X

Eje Y

90°

( 5, 7)

( 3, 4)

Recta A

Rec

ta C

14

¿Cuál camino tomamos? Pues tomemos ambos, uno primero y otro después, y comparemos las ecuaciones que resulten. Sabemos que serán la misma, pero nos habremos ejercitado por dos caminos diferentes la búsqueda y hallazgo de la ecuación de una recta y así:

– 2 3

Camino Uno:

mA = 3 , entonces mC = 2 , por ser A y B perpendiculares,

3

2 (x – 3) = (y – 4) ; 3 (x – 3) = 2 (y – 4)

3x – 9 = 2y – 8 La ecuación de la recta C es: 3x – 2y = 1

7 – 4 3 3 Camino Dos: mC = 5 – 3 = 2 ; 2 (x – 5) = (y – 7) 3 (x – 5) = 2 (y – 7) 3x – 15 = 2y – 14 3x – 2y = 1 ; La ecuación de C es: 3x – 2y = 1. Teniendo la ecuación de la recta C construida, veamos que nos dice la tabulación:

Recta A Recta C x y = (5 –2x)/3 y = (3x –1)/2

– 2 (5 –2(–2))/3 = 9/3 = 3 (–6 –1)/2 = –7/2 = –3 1/2 – 1 (5 –2(–1))/3 = 7/3 = 2 1/3 (–3 –1)/2 = –4/2 = –2 0 (5 –2(–0))/3 = 5/3 = 1 2/3 (0 –1)/2 = – 1/2 1 (5 –2(1))/3 = 1 (3 –1)/2 = 2/2 = 1 2 (5 –2(2))/3 = 1/3 = 1/3 (6 –1)/2 = 5/2 = 2 1/2 3 (5 –2(3))/3 = –1/3 = – 1/3 (9 –1)/2 = 8/2 = 4 4 (5 –2(4))/3 = –1 (12 –1)/2 = 11/2 = 5 1/2

15

Este es el resultado de nuestra tabulación. Y como nos damos cuenta el punto (1, 1), se encuentra en ambas rectas; por lo que es el punto de intersección. La región sombreada en azul pálido contiene los puntos, resultado de la tabulación. Confirmemos entonces, que satisface ambas ecuaciones. Recta A Recta C Punto de intersección 2x + 3y = 5 , 3x – 2y = 1, (1, 1). Sustituyendo: 2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5 , 3(1) – 2(1) = 3 – 2 = 1. Satisface ambas condiciones. La siguiente recta que consideraremos es la recta D, trazada encima de la recta A. Si la recta D, tiene la misma pendiente que la recta A, al construir la ecuación de la recta D, con cualquier punto que localicemos de ella, obtendremos la misma ecuación que ya exhibimos para la recta A. Recta A: 2x + 3y = 5 ,

Recta D: 2x + 3y = 5 ,

O

Recta D

Eje X

Eje Y

Recta A

O Eje X

Eje Y

90°

Recta A

Rec

ta C

16

Recta A con pendiente mA y punto (– 2, 3) Recta D con pendiente mD y punto (2, 1/3) – 2 – 2 3

(x + 2) = (y – 3) 3

(x – 2) = (y – 1/3)

– 2 (x + 2) = 3 (y – 3) – 2 (x – 2) = 3 (y – 1/3)

– 2x – 4 = 3y – 9 – 2x + 4 = 3y – 1

– 2x – 3y = 4 – 9 – 2x – 3y = –4 –1

2x + 3y = 5. 2x + 3y = 5. En efecto, al construir la ecuación de la recta D con la misma pendiente que la recta A y un punto cualquiera, localizado sobre ella (la recta D), desarrollamos la misma ecuación que la ofrecida para la recta A. En el caso de la tabulación correspondiente para las rectas A y D, se obtendrían los mismos puntos, puesto que se calcularían a partir de la misma ecuación para ambas rectas. Aquí también, en la región sombreada en azul pálido, se encuentran los puntos que resultarían de la tabulación. Cualquier punto sobre una de las rectas será un punto, y el mismo por cierto, sobre la otra y por lo tanto satisface ambas ecuaciones. Por último, tracemos una recta E, que no intersecte a la recta A, que sea paralela a la recta A. Localicemos un punto sobre ella (la recta E).

O Eje X

Eje Y

Recta A

Recta D

17

La recta E es una recta tal que teniendo la misma pendiente que la recta A, no tiene con ella ni un sólo punto en común. ¿Cómo confeccionamos su ecuación? Tenemos la pendiente de la recta E, misma pendiente que A, y tenemos el punto ( – 1, – 2 ), entonces procedamos.

– 2 – 2 Pendiente A y E: mA,E = 3 , entonces ; 3 (x + 1) = (y + 2) – 2 (x + 1) = 3 (y + 2) – 2x – 2 = 3y + 6 ; – 2x – 3y = 6 + 2 2x + 3y = – 8 ; La ecuación de E es: 2x + 3y = – 8. Hemos revisado, dada una primera recta, las distintas posibilidades de trazo para una segunda. Lo hicimos tanto en hojas de papel en blanco como en el plano cartesiano. Y mientras en la hoja de papel sólo exploramos el comportamiento de las rectas según se intersectarán o no, caracterizado el plano cartesiano en la hoja de papel, tuvimos más herramientas para su desarrollo, por ejemplo, las coordenadas de algunos puntos, la inclinación de las rectas y las ecuaciones de las rectas de manera que estas herramientas nos permitieron un mejor acercamiento al desarrollo, construcción y conceptualización de las rectas.

O

Recta E

Eje X

Eje Y

(–1, 2)

Recta A

18

Este es el resumen de las rectas trazadas en el plano cartesiano y que se utilizaron para desarrollar los ejercicios. Recordemos ahora la pregunta que se nos hizo: ¿qué quiere decir el que dos rectas tengan un punto de intersección? Respuesta: que el punto de intersección pertenece a ambas rectas. Los valores numéricos de las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, determinadas por su posición en el plano cartesiano, satisfacen la ecuación de cada una de las rectas. El plano nos provee de elementos simples para la caracterización de las rectas, estos son: la posición de los puntos en el plano y la inclinación de la recta en el plano (la pendiente de la recta en el plano). De esta forma la conducta de las rectas y sus puntos se resumen de la siguiente forma: primero por sus puntos y luego por su inclinación; Por la posición de los puntos: 1. Si dos rectas tienen sólo un punto en común , las rectas se intersectan , 2. Si dos rectas tienen más de un punto en común , las rectas son la misma y 3. Si dos rectas no tienen ni un punto en común , las rectas son paralelas . Por la inclinación de las rectas (sus pendientes): 1. Dadas dos rectas, si sus pendiente son diferentes , estas se intersectan y 2. Dadas dos rectas, si sus pendientes son iguales , estas son la misma o son paralelas .

O Eje X

Eje Y

90°

Recta A

Recta E

Recta DRecta B

Rec

ta C

19

Ejercicios

1. Encuentra la ecuación o las ecuaciones de las rectas cuyos puntos tienen el mismo valor en

su ordenada (valor en y): • rectas paralelas al eje X o bien, • rectas perpendiculares al eje Y. • dibuja algunas restas de estas en el plano y • ¿cómo resultaría la tabulación de estas rectas?

2. Encuentra la ecuación o las ecuaciones de las rectas cuyos puntos tienen el mismo valor en su abscisa (valor en x):

• rectas paralelas al eje Y o bien, • rectas perpendiculares al eje X. • dibuja algunas restas de estas en el plano y • ¿cómo resultaría la tabulación de estas rectas?

20

Objetivo El estudiante aprenderá algunos métodos de solución para sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de rectas en el plano cartesiano.

Presentación Se nos propone el siguiente acertijo: Ejemplo 1. La edad de Pedro es el doble de la de Manuel y la suma de ambas edades es 48. ¿Cuántos años tiene Pedro y cuántos Manuel? Identificando las edades de Pedro y Manuel con las iniciales de sus nombres, tenemos las siguientes expresiones o ecuaciones entre sus edades, en lo que nos dice el texto: (1) La edad de Pedro es el doble de la de Manuel; p = 2m (¿quién es mayor?), (2) La suma de ambas edades es 48; p + m = 48. Tenemos entonces dos ecuaciones, ambas rectas, relacionadas entre sí y que nos dan la correspondencia entre las edades de Pedro y Manuel. Al arreglo de ecuaciones bajo este esquema, afectadas una con la otra, se le llama Sistema de Ecuaciones . Para resolver este sistema debemos encontrar la forma de “inyectar” una recta en la otra, esto quiere decir que la recta “inyectada” tendrá las condiciones de la recta “receptora”, condiciones que sólo cumple el punto de intersección por encontrarse en ambas rectas. Procedamos a buscar la solución de este ejercicio. En el texto del ejercicio, la edad de Pedro (p) se menciona como “el doble” de la de Manuel (m), o sea que p “es dos veces m” lo que escribimos como: (1) p = 2m; y la suma de sus edades como: (2) p + m = 48.

Matemáticas 3

1: Sistemas de Ecuaciones Lineales

1.2 : Métodos de solución p

q

x + by = pcx + dy = q

a bc d

x = p - byc(p - by) + dy = q

p q

x + by = pcx + dy = qx + by = p

cx + dy = q

a bc d

x = p - byc(p - by) + dy = q

O X

Y

2x – y = 35x + 2y = 7y = – 3 . . .

X

Y

O X

Y

O X

Y

2x – y = 35x + 2y = 7y = – 3 . . .

X

Y

2x – y = 35x + 2y = 7y = – 3 . . .

X

Y

X

Y

21

Entonces (1) p = 2m , de aquí,

sustituimos en (2) (2m) + m = 48 , lo que nos da 3m = 48 , m = 16 y p = 2(16) = 32 . Respuesta: Pedro tiene 32 años y Manuel 16. ¿Podemos tabular y graficar las ecuaciones de estas rectas? Sí, ¿cómo?, de la siguiente manera: Tabulación.

Recta (1) Recta (2) p m = p/2 m = 48 – p 0 0/2 = 0 48 – 0 = 48

10 10/2 = 5 48 – 10 = 38 20 20/2 = 10 48 – 20 = 28 30 30/2 = 15 48 – 30 = 18 40 40/2 = 20 48 – 40 = 8 50 50/2 = 25 48 – 50 = –2 60 60/2 = 30 48 – 60 = –12

Sombreamos los desarrollos que se acercan más a los valores que nos arrojó el proceso algebraico para la edad de Pedro: entre 30 y 40 años; y para la edad de Manuel siguiendo la ecuación (1): entre 15 y 20 años y siguiendo la ecuación (2): entre 18 y 8 años. Gráfica

En la búsqueda de solución sobre el dibujo del plano, en este ejercicio, observamos lo siguiente: • las edades son positivas pues no se

cuantifica la gestación. • se hizo un cambio de escala para

que la intersección de las rectas se realizara en un punto accesible (en nuestra hoja).

• las coordenadas del punto de

intersección, son aproximadas. • en la gráfica, tenemos que los

valores más cercanos son: para la edad de Pedro entre 30 y 33 años; y para la edad de Manuel entre 15 y 18 años.

O

Edad de Pedro

Edad de Manuel

Ecuación (1)

p = 2m

Ecuación (2)

p + m = 48

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51

48

45

42

39

36

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

P

M

22

La accesibilidad del punto de intersección, en el trazado de rectas que representarán nuestras ecuaciones, y la aproximación a las coordenadas de ese punto, nos aconsejan buscar métodos aritméticos o algebraicos para resolver los sistemas de ecuaciones que construimos como modelo de cualquier ejercicio que se nos plantee. Para que lo propuesto en el párrafo anterior sea más claro, supongamos el siguiente acertijo: Ejemplo 2. Semejante al anterior y cambiando sólo algunos datos. La edad de un elefante del zoológico es el doble de la de una tortuga del mismo parque y la suma de ambas edades es 160. ¿Cuántos años tiene el elefante y cuántos la tortuga? Identificamos las edades del elefante y la tortuga por las iniciales de sus nombres, tenemos las siguientes relaciones, entre las edades, en lo que nos dice este último texto: (1) La edad del elefante es el doble de la edad de la tortuga; e = 2t (¿quién es mayor?), (2) La suma de ambas edades es 160; e + t = 240. Para hacer más clara la necesidad de un método aritmético o algebraico, y por tanto consistente, desarrollemos en este ejercicio, primero la tabulación y la gráfica y después, apliquemos el procedimiento desplegado en el ejercicio anterior para obtener las edades de este par de animales (coordenadas del punto de intersección de nuestras rectas). Tabulación

Recta (1) Recta (2) e t = e/2 t = 240 – e 0 0/2 = 0 240 – 0 = 240

30 30/2 = 15 240 – 30 = 210 60 60/2 = 30 240 – 60 = 180 90 90/2 = 45 240 – 90 = 150 120 120/2 = 60 240 – 120 = 120 150 150/2 = 75 240 – 150 = 90 180 180/2 = 90 240 – 180 = 60 Para este ejercicio, sombreamos los desarrollos que se aproximan más a los valores que cumplen las condiciones propuestas. Operando en las ecuaciones, los valores de mejor aproximación son:

Ecuación (1) Ecuación (2)

Elefante Tortuga e = 2t e + t = 240

150 75 150 = 2(75) 150 + 75 = 225 90 150 ≠ 2(90) 150 + 90 = 240

180 90 180 = 2(90) 180 + 90 = 270 60 180 ≠ 2(60) 180 + 60 = 240

Las posibles parejas que obtenemos mediante la tabulación no satisfacen, de modo simultaneo, las condiciones del ejercicio.

Gráfica

23

A esta gráfica le hacemos las siguientes observaciones: • las edades, también aquí son

positivas, por la misma razón. • un cambio de escala, más amplio,

para que el punto de intersección sea accesible.

• las coordenadas del punto de

intersección, son aproximadas. • en la gráfica, tenemos que los

valores más cercanos son: para la edad del elefante entre 150 y 165 años; y para la edad de la tortuga entre 75 y 90 años.

Volviendo a las primeras ecuaciones construidas sobre las condiciones del ejercicio, tenemos que en la ecuación (1) la e (edad del elefante) aparece despejada, de manera que si el valor de e (=2t) lo sustituimos en la ecuación (2), obtenemos:

(1) e = 2t de aquí,

sustituimos en (2) (2t) + t = 240 , lo que nos da 3t = 240 , t = 80 y e = 2(80) = 160 . Respuesta: el elefante tiene 160 años y la tortuga 80. Nos damos cuenta que los métodos de tabulación y gráfico son métodos de aproximación. Con ellos nos acercamos a los valores de la solución. Habrá casos en los que en la tabulación tengamos la suerte de calcular las ecuaciones en los valores solución. En el método gráfico, un dibujo muy afortunado nos ofrecerá una intersección sobre el punto solución. Tengamos en cuenta que estos casos serán los menos, de manera que nuestro gran apoyo para encontrar la solución de cualquier acertijo es un método aritmético o algebraico, con él no habrá ejercicio que se nos resista. Ejemplo 3. En el mercado, el kilogramo de maíz cuesta $2 y el de azúcar $4. ¿Cuántos kilogramos se compraron de cada mercancía?, sabiendo que el total de kilos, sumados el maíz y el azúcar, fue de 3 y se pagó por ellos $7. Ecuaciones:

kilos (1) m + a = 3 , pago (2) 2m + 4a = 7 ,

Como en los ejercicios anteriores, una de las mercancías aparece, en alguna de las ecuaciones, en

O

Edad del elefante

Edad de la tortuga

Ecuación (1)

e = 2t

Ecuación (2)

e + t = 240

15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165180 195 210 225 240 255

240

225

210

195

180

165

150

135

120

105

90

75

60

45

30

15

E

T

24

singular. En (1) ambas, de modo que procedemos a despejar una de ellas y la sustituiremos en (2) buscando la solución, por ejemplo el maíz.

despejando m (1) , m = 3 – a

sustituimos en (2) , 2(3 – a) + 4a = 7

6 – 2a + 4a = 7

2a = 7 – 6

2a = 1 a = 1/2 , aplicamos en (1) m = 3 – 1/2 m = 2 1/2.

De manera que se compraron 2 ½ kilos de maíz y 1/2 kilo de azúcar. La gráfica del par de ecuaciones construido y desarrollado, es esta: Como en las gráficas anteriores, hacemos algunas observaciones: • los precios de las mercancías son

positivas (por obvias razones), • aquí, el cambio de escala nos permite

un mejor acercamiento al punto de intersección,

• las coordenadas del punto de

intersección, siguen siendo aproximadas.

• en la gráfica, tenemos que los valores

más cercanos son: para la cantidad de maíz en kilogramos entre 2 y 3; y para la cantidad de kilogramos de azúcar entre 1 y 2.

• y las coordenadas del punto de intersección, con un

buen dibujo y después del resultado algebraico, son: (1/2, 2 1/2). Ejemplo 4. Si 2 bolsas de galletas y 3 bolsas de dulces pesan 7 kilogramos; y 4 bolsas de dulces

OMaíz

Azúcar

1

3

2

1

Eje X

Eje Y

2 3

m + a = 3

2m + 4a = 7

¿Maíz?

¿Azúcar?

= 7 Kilos

+¿Maíz?¿Maíz?

¿Azúcar?¿Azúcar?

= 7 Kilos

+

1KgMaíz

$21Kg

Maíz

$2

1KgAzuc

ar

$41Kg

Azucar

$4

25

pesan 7 kilogramos más 2 bolsas de galletas. ¿Cuánto pesa cada bolsa de galletas y cuánto la de dulces? Ecuaciones: Reacomodando, (1) 2g + 3d = 7 (1) 2g + 3d = 7 (2) 4d = 7 + 2g (2) –2g + 4d = 7 En el planteamiento de este ejercicio, aparecen 2 bolsas de galletas en el inicio, sumadas a las bolsas de dulces, y después, sumadas a los kilogramos. De manera que igualando las ecuaciones propuestas a los kilogramos que se mencionan, en ambas ecuaciones tenemos que el número de bolsas de galletas es el mismo pero con diferente signo. Así, podemos sumar (1) a (2), suprimiendo las bolsas de galletas y dejando bolsas de dulces y kilogramos. (1) 2g + 3d = 7 (2) –2g + 4d = 7 sumando (1) + (2) , 0 + 7d = 14

d = 14/7 d = 2 , aplicando en (1) 2g = 7 – 3d 2g = 7 – 3(2)

2g = 7 – 6 2g = 1 g = 1/2.

Respuesta: Cada bolsa de galletas pesa 1/2 kilogramo y la de dulces 2 kilogramos. La gráfica de estas ecuaciones, es la siguiente (aproximadamente):

Algunas observaciones:

• cambio de escala para un mejor acercamiento al punto de intersección.

• las coordenadas del punto de

intersección, siguen siendo aproximadas.

• en la gráfica, tenemos: para el

peso de las bolsas de galletas entre 1 y 2; y para el de los dulces, tomar como bueno el 2.

• las coordenadas del punto de intersección, con un buen dibujo y el resultado algebraico, son: ( 1/2 , 2 ) .

O

–4 –3 –2 –1 1

3

2

1

–1

G(2)

–2g + 4d = 7

D

(1) 2g + 3d = 7

2

4

26

Ejemplo 5. Se compran, en una papelería, 3 cuadernos y 2 agendas y se paga por todo ello $13. Más tarde se compran, en la misma papelería, 5 agendas y 3 cuadernos y se paga $19. ¿Cuál es el precio de un cuaderno y cuál el de una agenda? Ecuaciones: Reacomodando, (1) 3c + 2a = 13 (1) 3c + 2a = 13 (2) 5a + 3c = 19 (2) 3c + 5a = 19 En este ejercicio, aparecen 3 cuadernos en cada compra. De modo que restando una ecuación a la otra, de manera indistinta, eliminaríamos los cuadernos. (1) x –1, (1’) – (3c + 2a = 13) restando (2) a (1), (1) 3c + 2a = 13 (2) 3c + 5a = 19 (2) 3c + 5a = 19 (1’) –3c – 2a = –13 0 – 3a = –6 (2) 3c + 5a = 19 a = 6/3 sumando (1’) + (2) , 0 + 3a = 6 a = 2 ,

a = 6/3

a = 2 , aplicando en (1) 3c = 13 – 2a

3c = 13 – 2(2) 3c = 13 – 4

3c = 9

c = 9/3

c = 3 . Respuesta: Cada cuaderno costó $3 y cada agenda $2. Dibuja la gráfica de las ecuaciones de este ejercicio (5) y haz las observaciones que consideres pertinentes. Ejemplo 6. Llenando 5 contenedores pequeños y 4 grandes obtenemos 13 litros. Si llenamos 4 contenedores grandes y 15 pequeños, 15 litros. ¿Cuál es la capacidad de cada uno de los tamaños de contenedor?

+= $13 +

= $19

27

Ecuaciones: (1) 5p + 4g = 13 (2) 15p + 4g = 15 En este ejemplo, 4 contenedores grandes aparecen en las dos ecuaciones. De modo que si restamos una a la otra, de manera indistinta, eliminaremos los contenedores grandes. (1) x –1, (1’) – (5p + 4g = 13) restando (2) a (1), (1) 5p + 4g = 13 (2) 15p + 4g = 15 (2) 15p + 4g = 15 (1’) –5p – 4g = –13 –10p + 0 = –2 (2) 15p + 4g = 15 p = 2/10 sumando (1’) + (2) , 10p + 0 = 2 p = 1/5 ,

p = 2/10 p = 1/5 , aplicando en (1) 4g = 13 – 5p 4g = 13 – 5(1/5) 4g = 13 – 1 4g = 12 g = 12/4

g = 3 .

Respondemos que: La capacidad de un contenedor grande es de 3 litros y el de uno pequeño de 1/5 de litro. Dibuja la gráfica de las ecuaciones que se produjeron para este ejercicio (6) y haz tus observaciones. Ejemplo 7. En un almacén de harina se tienen sólo dos pesas de diferente tara. Si a un cliente se le empacaron 53 kilogramos habiendo puesto en la balanza 9 pesas grandes y 4 pequeñas; y a otro cliente se le empacaron 29 kilogramos habiendo puesto en la balanza 5 pesas grandes y 2 pequeñas. ¿Cuál es la tara de cada una de las pesas? Ecuaciones: (1) 9g + 4p = 53 (2) 5g + 2p = 29 Multiplicamos por –2 la ecuación (2), con ello duplicamos la ecuación a la vez que la multiplicamos por –1, y después sumamos ambas ecuaciones:

+

= 13 litros

+

= 15 litros

28

(1) 9g + 4p = 53 (1) x –2, (2’) –10g – 4p = –58 sumando (1) + (2’) , –g + 0 = –5

g = 5 , aplicando en (1) 4p = 53 – 9g

4p = 53 – 9(5) 4p = 53 + 45 4p = 8 p = 8/4 p = 2 .

Respondemos que las pesas tienen las siguientes taras: la grande, 5 kilogramos; la pequeña 2 kilogramos. Desarrolla la tabulación de las dos ecuaciones del ejercicio (8) y dibuja sus gráficas, añadiendo las observaciones que consideres pertinentes. Ejemplo 8. Los pequeños de preprimaria están aprendiendo aritmética y para ello cuentan con tablitas de diferentes longitudes, en centímetros, para los números del 1 al 12 y un tablero de aritmética donde asientan las tablillas. A cada longitud y número le corresponde un color determinado. Resulta que han construido dos expresiones con tablitas de dos longitudes distintas. Las expresiones son las siguientes: primera expresión; 3 tablitas rojas midieron lo mismo que 5 unidades del tablero y 2 tablitas azules; segunda expresión; 5 tablitas azules tuvieron la misma medida que 4 unidades del tablero y 2 tablitas rojas. ¿Cuánto miden las tablitas rojas y cuánto las azules? Ecuaciones Reacomodando, (1) 3r = 5 + 2a (1) 3r – 2a = 5 (2) 5a = 4 + 2r (2) –2r + 5a = 4 Para que podamos sumar ambas expresiones o ecuaciones y con ello suprimir alguna de las incógnitas (ya sea la “r” o la “a”) multiplicamos por 2 (duplicamos) la ecuación (1) y por 3 (triplicamos) la ecuación (2), con esto, los coeficientes de la “r” serán iguales (en valor) y de signo contrario y así podremos sumar ambas ecuaciones y suprimir las “r”, hagámoslo:

9 pesas g

harina

4 pesas p

4 pesas gharina

2 pesas p

29

(1) x 2, (1’) 6r – 4a = 10 (2) x 3, (2’) –6r + 15a = 12 sumando (1’) + (2’) , 0 + 11a = 22

a = 22/11

a = 2 , aplicando en (1) 3r = 5 + 2a 3r = 5 + 2(2) 3r = 5 + 4 3r = 9 r = 9/3 r = 3 .

Nuestra respuesta: las tablitas azules representan al número 2 y miden 2cm., mientras que las tablitas rojas representan al número 3 y miden 3cm.

Tablero de

Aritmética

1 2 3 4 5

Tres tablitas Rojas

Dos Azules

Expresión (1)

3r = 5 + 2a

Expresión (2)

5a = 4 + 2r

1 2 3 4

Cinco tablitas Azules

Dos Rojas

Tablero de

Aritmética

1 2 3 4 51 2 3 4 5

Tres tablitas Rojas

Dos Azules

Expresión (1)

3r = 5 + 2a

Expresión (2)

5a = 4 + 2r

1 2 3 41 2 3 4

Cinco tablitas Azules

Dos Rojas

30

Ejemplo 9. En una papelería un cliente compró 2 bolígrafos y 7 cuadernos y pagó en total $71. Otro cliente compró 5 bolígrafos y 3 cuadernos y su pago fue de $47. ¿Cuál es el precio de un bolígrafo y cuál el de un cuaderno?

Ecuaciones:

Si en ambas ecuaciones despejamos la “b”, obtenemos

71 – 7c (1) 2b + 7c = 71 , b =

2

47 – 3c (2) 5b + 3c = 47 , b =

5 , hemos igualado ambas ecuaciones en “b”,

71 – 7c 47 – 3c comparémoslas

2 =

5 , eliminemos los denominadores,

5 ( 71 – 7c) = 2 ( 47 – 3c) , desarrollemos, 355 – 35c = 94 – 6c – 35c + 6c = 94 – 355 – 29c = – 261 c = 261/29

c = 9 , aplicando en (1) 2b = 71 – 7c

2b = 71 – 7(9)

2b = 71 – 63

2b = 8

b = 8/2 b = 4 . Respuesta: el precio de un bolígrafo es $4 y el de un cuaderno $9.

31

Desarrolla la tabulación de las dos ecuaciones del ejercicio (9), dibuja sus gráficas y añade las observaciones que consideres pertinentes. Ejemplo 10. Para celebrar la primavera, Marcela compró 2 kilos de manzanas y 6 de peras y pagó por todo $55. Al llegar a casa se enteró que su mamá había comprado 8 kilos de peras y 3 de manzanas, pagando por ellos $76. ¿Cuánto les costó el kilo de manzanas y cuánto el de peras? Ecuaciones: Si en ambas ecuaciones despejamos la “b”, obtenemos

55 – 2m (1) 2m + 6p = 55 , p = 6

76 – 3m (2) 8p + 3m = 76 , p =

8 , hemos igualado ambas ecuaciones en “b”,

55 – 2m 76 – 3m comparémoslas

6 =

8 , eliminemos los denominadores,

8 ( 55 – 2m) = 6 ( 76 – 3m) , desarrollemos, 440 – 16m = 456 – 18m – 16m + 18m = 456 – 440

2m = 16 m = 16/2

M = 8 , aplicando en (1) 6p = 55 – 2m

6p = 55 – 2(8)

6p = 55 – 16

6p = 39

p = 39/6

p = 6 3/6 .

p = 6 1/2 .

Respuesta: el kilo de manzanas costó $8.00 y el de peras $6.50.

6k, pera6k, pera2k, mza2k, mza

$55

8k, pera8k, pera

3k, mza3k, mza

$76

32

Desarrolla la tabulación de las dos ecuaciones del ejercicio que acabamos de resolver, dibuja sus gráficas y añade las observaciones pertinentes. Ejemplo 11. En un teatro, 15 boletos para adulto y 8 para infante cuestan $2,740; y 5 boletos para adulto y 4 para infante cuestan $1,020. ¿Cuál es el precio de un boleto para adulto y cuál el de uno para infante? Ecuaciones

(1) 15a + 8i = 2740 (2) 5a + 4i = 1020

Para resolver este ejercicio, utilizaremos un método llamado “por determinantes ” o “método de Cramer ”.

La construcción y desarrollo de un determinante es sobre “matrices ” –arreglos rectangulares de números dispuestos en columnas y renglones– de la siguiente forma: a) Por columna, anotaremos los valores de los coeficientes de una misma incógnita o los valores de

los términos constantes , según sea el caso y b) Las operaciones para obtener el valor del determinante son las siguientes: x y Supongamos que los coeficientes para las x’s y las y’s son: a, b, c, d.

a b c d = (a x d) – (c x b) = ad – cb = valor del determinante = ∆∆∆∆ (letra griega D).

• El producto de los números que se encuentran, en la esquina superior izquierda y en la esquina inferior derecha, es POSITIVO, o sea, se anota con el signo resultante del producto de los signos que posean tales números.

• El producto de los números que se encuentran, en la esquina inferior izquierda y en la esquina superior derecha, es NEGATIVO, o sea, se anota con el signo contrario al resultante del producto de los signos que posean tales números.

i) En nuestro ejercicio, con los coeficientes de las incógnitas (a’s e i’s), formaremos el

determinante del sistema : a i las operaciones son las siguientes: 15 8 5 4 = (15 x 4) – (5 x 8) = 60 – 40 = 20 = ∆.

33

ii) Sustituyendo los coeficientes de la incógnita “a” por los términos constantes, y los

coeficientes de la incógnita “i” formaremos el determinante de la “a”: k i las operaciones: 2740 8 1020 4 = (2740 x 4) – (1020 x 8) = 10960 – 8160 = 2800 = ∆a.

iii) Con los coeficientes de la incógnita “a” y sustituyendo los coeficientes de la incógnita “i” por

los de los términos constantes formaremos el determinante de la “i” : a k las operaciones: 15 2740 5 1020 = (15 x 1020) – (5 x 2740) = 15300 – 13700 = 1600 = ∆i.

Finalmente, para obtener los valores de “a” e “i”, dividimos sus respectivos determinantes por el determinante del sistema . Esto es:

∆a 2800 ∆i 1600 a =

∆ =

20 = 140. i =

∆ =

20 = 80.

Y nuestra respuesta es: el precio del boleto para infante es de $80 y para adulto de $140. Ejemplo 12. Los pequeños de preprimaria han construido otras dos expresiones con tablitas de dos longitudes distintas, son las siguientes: primera, 2 tablitas amarillas y 5 tablitas verdes midieron 13 unidades del tablero; segunda, 3 tablitas amarillas tuvieron la misma medida que 8 unidades del tablero y 4 tablitas verdes. ¿Cuánto miden las tablitas amarillas y cuánto las verdes? Ecuaciones Reacomodando, (1) 2a + 5v = 13 (1) 2a + 5v = 13 (2) 3a = 8 + 4v (2) 3a – 4v = 8

i) Determinante del sistema : a v las operaciones: 2 5 3 – 4 = (2 x –4) – (3 x 5) = –8 – 15 = –23 = ∆ .

34

ii) Determinante de la “a” :

k v operaciones: 13 5 8 – 4 = (13 x –4) – (8 x 5) = –52 – 40 = –92 = ∆a.

iii) Determinante de la “v” :

a k operaciones: 2 13 3 8 = (2 x 8) – (3 x 13) = 16 – 39 = –23 = ∆v.

Para obtener los valores de “a” y “v”:

∆a –92 ∆i –23 a =

∆ =

–23 = 4. v =

∆ =

–23 = 1 .

La respuesta es: las tablitas amarillas representan al número 4 y miden 4cm., mientras que las tablitas verdes representan al número 1 y miden 1cm.

Tablero de

Aritmética

Expresión (1)

2a + 5v = 13

Expresión (2)

3a = 8 + 4v

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13

1 2 3 4 5 6 7 8

Tres tablitas Amarillas

Cuatro Verdes

Dos tablillas Amarillas y cinco VerdesTablero de

Aritmética

Expresión (1)

2a + 5v = 13

Expresión (2)

3a = 8 + 4v

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 1310

1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

Tres tablitas Amarillas

Cuatro Verdes

Dos tablillas Amarillas y cinco Verdes

35

Ejemplo 13 . ¿Cuántos cm3 de solución salina al 5% y cuántas de solución al 20% se deben mezclar para obtener 60 cm3 de solución salina al 15%? Ecuaciones

(1) x + y = 60 cm3 de solución requeridos (2) 0.05x + 0.20y = 60 x 0.15 % de salinidad de la solución

requerida (2) 0.05x + 0.20y = 9

Multiplicando (2) por 100, tenemos:

(1) x + y = 60 (2) 5x + 20y = 900

Resolveremos este ejercicio mediante otro método, el “Método de Gauss ”.

Para este método, necesitamos construir una “matriz ” –recuerda, arreglo rectangular de números dispuestos en columnas y renglones–, con los coeficientes de las variables y los términos constantes. La configuración y operación de esta matriz es de la siguiente forma: a) Por columna, anotaremos los valores de los coeficientes de una misma incógnita así como los

valores de los términos constantes y b) Las operaciones para obtener el resultado del sistema son las de suma, resta, multiplicación y

división según se necesiten. Construyamos la matriz de nuestro ejemplo. x y k 1 1 60 5 20 900

Por el método de Gauss, se debe transformar la matriz que se construye de coeficientes y términos constantes del ejercicio en una matriz que tenga sólo ceros “0” abajo de la “diagonal principal ” de la matriz transformada.

• la diagonal principal señalada con una flecha azul • abajo de esta diagonal, el 5 que debemos transformar en 0.

36

¿Cómo hacerlo? En la matriz transformada:

1) escribiremos el primer renglón de la matriz del ejercicio, En una matriz de transición:

2) multiplicamos el primer renglón por 5, 3) restamos el segundo renglón al primero (o multiplicamos x –1 y sumamos), 4) ese resultado lo escribiremos como el segundo renglón de la matriz transformada, 5) despejada la segunda variable, encontramos su valor y 6) aplicamos ese valor en (1) o en (2) y obtenemos el valor de la primera variable.

Comenzamos por el paso 2) 5 5 300 Matriz de “transición” –5 –20 –900 cambio de signo para aplicar

el paso 3) 0 –15 –600

x y k ahora paso 1) 1 1 60

paso 4) 0 –15 –600 Matriz transformada

y paso 5)

–15y =

–600

y = 600/15

y = 40 , aplicando en (1) x + 40 = 60

x = 60 – 40 x = 20.

¿ cm3 20%

?

¿ cm3 5% ?

60cm3 al 15%

37

Respuesta: deben mezclarse 20cm3 de solución salina al 5% y 40cm3 de solución al 20%, así se obtendrán 60 cm3 de solución salina al 15%. A través de los ejercicios que hemos resuelto, hicimos uso de varios métodos o desarrollos para obtener las soluciones. Estos métodos están relacionados entre sí, de manera que todos obedecen las mismas reglas de operación del álgebra. Por el momento nos basta con saber que son afines, nos brindan varias vías de desarrollo –mientras más herramientas sepamos usar, mejores marcas tendremos– para resolver los ejercicios cuya solución se encuentra a través de Sistemas de Ecuaciones Lineales . Resolvimos ejercicios mediante los siguientes métodos (abreviados o superabreviados):

Nombre Proceso, después de acomodar las variables en una misma columna. 1. Sustitución Alguna de las variables está en singular; sustituirla en la otra. 2. Suma o Resta • La misma variable tiene, en ambas ecuaciones del sistema, el mismo

coeficiente ya sea con el mismo signo, restar una a la otra; o con signos contrarios, entonces sumar una a la otra.

• Si se desea igualar los coeficientes de la misma variable : Multiplicar el coeficiente de esa variable en la primera ecuación, por la segunda ecuación y Multiplicar el coeficiente de esa misma variable en la segunda ecuación, por la primera ecuación . Esto nos asegura que la misma variable tiene ahora, en ambas ecuaciones, coeficientes iguales , salvo tal vez el signo.

3. Igualación Despejar la misma variable en ambas ecuaciones e igualar las resultantes .

4. Determinantes o

de Cramer Se obtienen los determinantes, del sistema y los determinantes de las dos variables . Para obtener los valores de las variables, solución del sistema: dividimos cada uno de los determinantes de las vari ables por el determinante del sistema .

5. De Gauss Se transforma la matriz del ejercicio, mediante operaciones de suma,

resta, multiplicación y división entre sus renglones, de modo que abajo de la diagonal principal sólo se tenga el valor “0”.

Para convencernos que por cualquiera de estos métodos obtendremos el mismo resultado al aplicarlos sobre un Sistema de Ecuaciones Lineales , resolvamos un ejercicio utilizando todos estos métodos.

38

Ejemplo 14 . En un almacén de granos, Vicente compra 1 saco de maíz y 3 sacos de trigo que juntos, los cuatro sacos, pesan 6 kilos; Gerardo compra 5 sacos de maíz que pesan lo mismo que 13 kilos, puestos en pesas, más 2 sacos de trigo. ¿Cuántos kilos pesa cada saco de maíz y cuánto cada saco de trigo? Ecuaciones: (1) m + 3t = 6 (2) 5m = 13 + 2t Dibujos: 1. Método de Sustitución

de (1) m = 6 – 3t

sustituimos en (2) 5(6 – 3t) = 13 +2t , 30 – 15t = 13 + 2t – 15t – 2t = 13 – 30 – 17t = – 17 t = 17/17 t = 1 , en (1) m = 6 – 3(1) m = 6 – 3 m = 3 . Respuesta: el saco de maíz pesa 3 kilos y el de trigo 1 kilo.

6k6k

6k1k

6k6k6k1k1k

6k6k

39

2. Método de Suma o Resta Ecuaciones: (1) m + 3t = 6 (1) m + 3t = 6 , x 2 (2) 5m = 13 + 2t (2) 5m – 2t = 13 , x 3 (1’) 2m + 6t = 12 (2’) 15m – 6t = 39 sumamos, 17m + 0 = 51 m = 51/17 m = 3 , en (1) 3 + 3t = 6 3t = 6 – 3 3t = 3 t = 3/3 t = 1 . Respuesta: el saco de maíz pesa 3 kilos y el de trigo 1 kilo. Llevamos dos . 3. Método de Igualación

6 – m Ecuaciones: (1) m + 3t = 6 (1) t = 3

5m – 13

(2) 5m = 13 + 2t (2) t = 2

2 (6 – m) = 3 (5 – 13) 12 – 2m = 15m – 39 – 2m – 15m = – 39 – 12 – 17m = – 51 m = 51/17 m = 3 , en (1) 3 + 3t = 6 3t = 6 – 3 3t = 3 t = 3/3

40

t = 1. Respuesta: el saco de maíz pesa 3 kilos y el de trigo 1 kilo. Y llevamos tres . 4. Método de Determinantes Ecuaciones: (1) m + 3t = 6 (1) m + 3t = 6 (2) 5m = 13 + 2t (2) 5m – 2t = 13

i) Determinante del sistema : m t las operaciones:

1 3 5 – 2 = (1 x –2) – (5 x 3) = –2 – 15 = –17 = ∆ .

ii) Determinante del “maíz” : k t operaciones:

6 3 13 – 2 = (6 x –2) – (13 x 3) = –12 – 39 = –51 = ∆m.

iii) Determinante del “trigo” : m k operaciones: 1 6 5 13 = (1 x 13) – (5 x 6) = 13 – 30 = –17 = ∆t.

Para obtener los valores del “maíz” y del “trigo” :

∆m –51 ∆t –17 maíz =

∆ =

–17 = 3. trigo =

∆ =

–17 = 1 .

Respuesta: el saco de maíz pesa 3 kilos y el de trigo 1 kilo. Completamos cuatro .

41

5. Método de Gauss Ecuaciones: (1) m + 3t = 6 (1) m + 3t = 6 (2) 5m = 13 + 2t (2) 5m – 2t = 13 m t k Matriz de “transición” : 1 3 6 multiplicar x 5 5 15 30 5 –2 13 multiplicar x –1 y sumar o sólo restar –5 2 –13 (2) transformada 0 17 17

Respuesta: el saco de trigo pesa 1 kilo y el de maíz 3 kilos. Cumplimos con los cinco y en todos y cada uno de ellos obtuvimos la misma respuesta . ¿Qué sucede con estos métodos cuando se enfrentan a un sistema de rectas paralelas entre sí o que el sistema esté compuesto por la misma recta? Respuestas: • Cualquiera que haya sido el método escogido y habiendo sido cuidadoso en su aplicación, los

resultados del sistema podrían parecernos “extraños” y tendríamos la sensación de haber cometido algún error en el desarrollo de las operaciones.

m t k 1 3 6 Matriz transformada 0 17 17 evaluamos t en (2) transformada 17t = 17 t = 17/17

t = 1 , aplicando en (1) m + 3 = 6 m = 6 – 3 m = 3.

42

• A través del análisis de esas “extrañezas” en los resultados, sabremos cómo son entre sí las rectas que componen el sistema.

Resolvamos un ejemplo en el que el sistema esté formado por un par de rectas paralelas entre sí y utilizando las mismas dos rectas paralelas resolvamos por los “cinco” métodos. Ejemplo 15 . Sean las rectas:

(1) x – 2y = 6

(2) 2x – 4y = 2

Esta es la gráfica de las líneas rectas, de este ejercicio, sobre el Plano Cartesiano.

1. Método de Sustitución

de (1) x = 2y + 6

sustituimos en (2) 2(2y + 6) – 4y = 2 , 4y + 12 – 4y = 2 4y – 4y = 2 – 12 ¿ 0 = – 10 ? Esta “extrañeza”, “0 igual a un valor

distinto de 0 ”, nos dice que el sistema es de dos rectas paralelas .

2. Método de Suma o Resta (1) x – 2y = 6 (1) 2x – 4y = 12 , x 2 (2) 2x – 4y = 2 (2) – 2x + 4y = –2 , x –1 sumamos, ¿0 + 0 = 10?

O

Recta (2)

Eje X

Eje Y

Recta (1)

m1,2 = 1 2 1 2

43

Misma “extrañeza”, “0 igual a un valor

distinto de 0 ”, misma conclusión: dos rectas paralelas .

3. Método de Igualación – 6 + x

(1) x – 2y = 6 (1) y = 2

– 2 + 2x

(2) 2x – 4y = 2 (2) y = 4

4 (– 6 + x) = 2 (– 2 + 2x) – 24 + 4x = – 4 + 4x 4x – 4x = – 4 + 24 ¿ 0 = 24? Misma “extrañeza”, “0 igual a un valor

distinto de 0 ”, misma conclusión: dos rectas paralelas .

4. Método de Determinantes (1) x – 2y = 6 (2) 2x – 4y = 2

i) Determinante del sistema x y 1 – 2 2 – 4 = (1 x –4) – (2 x –2) = –4 – (–4) = –4 + 4 = 0 = ∆ .

ii) Determinante de la “x”

k y 6 – 2 2 – 4 = (6 x –4) – (2 x –2) = –24 – (–4) = –24 + 4 = –20 = ∆x.

iii) Determinante de la “y” x k 1 6 2 2 = (1 x 2) – (2 x 6) = 2 – 12 = –10 = ∆y.

44

Valores de la “x” y de la “y” :

∆x –20 ∆y –10 x =

∆ = 0

indeterminado, y = ∆

= 0 indeterminado.

Notemos que los numeradores son distintos de “0”. 5. Método de Gauss (1) x – 2y = 6 (2) 2x – 4y = 2 x y k Matriz de “transición” 1 – 2 6 multiplicar x 2 2 – 4 12 2 – 4 2 multiplicar x –1 y sumar o sólo restar –2 4 –2 (2) transformada 0 0 10

Ahora resolvamos un sistema formado por un par de rectas que están una sobre otra o la misma recta en dos presentaciones o paralelas entre sí y con “un punto” en común . Utilizaremos, como en el ejercicio anterior, las mismas dos rectas y resolveremos por los “cinco” métodos.

x y k 1 – 2 6 Matriz transformada 0 0 10 ¿Cómo evaluamos? ¿ 0 = 10 ?

Misma “extrañeza”, “0 igual a un valor distinto de 0 ”, misma conclusión: dos rectas paralelas .

45

Ejemplo 16 . Sean las rectas: (1) 3x – y = –3 (2) 9x – 3y = –9

Graficadas sobre el Plano Cartesiano, así se presenta el dibujo de las ecuaciones de las rectas de este ejercicio.

1. Método de Sustitución

de (1) y = 3 + 3x ,

sustituimos en (2) 9x – 3 (3 + 3x) = –9 ; 9x – 9 – 9x = –9 9x – 9x = –9 + 9 ¿0 = 0? Esta otra “extrañeza”, “0 igual a 0 ”, nos dice

que el sistema es de dos rectas una sobre otra o sea, la misma recta .

2. Método de Suma o Resta (1) 3x – y = –3 (1) 9x – 3y = –9 , x 3 (2) 9x – 3y = –9 (2) – 9x + 3y = 9 , x –1 sumamos, ¿0 + 0 = 0? Misma “extrañeza” que la de renglones arriba,

“0 igual a 0 ”, misma conclusión: la misma recta o dos rectas una sobre otra .

O

Rec

ta (2

)

Eje X

Eje YR

ecta

(1)

m1,2 = 3

46

3. Método de Igualación

–3 + y (1) 3x – y = –3 (1) x = 3

–9 + 3y

(2) 9x – 3y = –9 (2) x = 9

9 (–3 + y) = 3 (–9 + 3y) – 27 + 9y = – 27 + 9y 9y – 9y = – 27 + 27 ¿ 0 = 0? Misma, esta que es nuestra segunda “extrañeza”,

“0 igual a 0 ”, misma conclusión: la misma recta o dos rectas una sobre otra .

4. Método de Determinantes (1) 3x – y = –3 (2) 9x – 3y = –9

i) Determinante del sistema x y 3 – 1 9 – 3 = (3 x –3) – (9 x –1) = –9 – (–9) = –9 + 9 = 0 = ∆.

ii) Determinante de la “x”

k y – 3 – 1 – 9 – 3 = (–3 x –3) – (–9 x –1) = 9 – (9) = 9 – 9 = 0 = ∆x.

iii) Determinante de la “y”

x k 3 – 3 9 – 9 = (3 x –9) – (9 x –3) = –27 – (–27) = –27 + 27 = 0 = ∆y.

47

Valores de la “x” y de la “y” :

∆x 0 ∆y 0 x =

∆ = 0

indeterminado, y = ∆

= 0 indeterminado.

Notemos que en este ejercicio los numeradores y los denominadores son iguales a “0”. 5. Método de Gauss (1) 3x – y = –3 (2) 9x – 3y = –9 x y k Matriz de transición : 3 – 1 – 3 multiplicar x 3 9 – 3 – 9 9 – 3 – 9 multiplicar x –1 y sumar o sólo restar –9 3 9 (2) transformada 0 0 0

Tenemos, después de todos estos ejercicios, forma y manera de responder que tipo de sistema de dos líneas rectas es el que se presenta, utilizando para resolverlo cualquiera de los métodos aquí desarrollados. Hagamos un resumen.

Método Rectas que se intersectan Rectas paralelas Rectas una sobre otra

Obtenemos la

“extrañeza UNO (1)” Obtenemos la

“extrañeza DOS (2)” 1. Sustitución

Las variables tienen valores racionales y razonables

1.a) “0 igual a un valor distinto de 0”

2.a) “0 igual a 0”

2. Suma o Resta ���� 1.a) ���� 2.a) ���� 3. Igualación ���� 1.a) ���� 2.a) ���� 4. Determinantes o

de Cramer ���� 1.b) “un valor distinto de 0

dividido entre 0” 2.b) “0 dividido entre 0”

5. de Gauss ���� 1.a) ���� 2.a) ����

x y k 3 – 1 – 3 Matriz transformada 0 0 0 ¿Cómo evaluamos? ¿ 0 = 0? Misma última “extrañeza”, “0 igual a 0 ”,

misma conclusión: la misma recta o dos rectas una sobre otra .

48

Ejercicios

1. Jorge compró en el expendio “El Gran Cafeto” 3 kilos de café y 5 kilos de azúcar en $290.00 y

Aurora compró allí mismo, 4 kilos de café y 9 kilos de azúcar en $410.00. ¿Cuánto cuesta en “El Gran Cafeto” el kilo de café y cuánto el de azúcar?

2. Un ganadero compró 5 carneros y 7 caballos en $20,000; más tarde, a los mismos precios,

adquirió 3 carneros y 2 caballos en $7,600. ¿Cuánto pagó por cada carnero y cuánto por cada caballo?

3. Se tienen $4,750 en 69 billetes de $50 y $100. ¿Cuántos billetes son de $50 y cuántos de $100? 4. En un teatro hay 700 personas entre niños y adultos. Cada niño pagó $15 y cada adulto $40 por

entrada. La recaudación es de $18000. ¿Cuántos niños y cuántos adultos hay en el cine? 5. El ancho de una sala tomado 6 veces, excede al doble de la longitud de la sala en 18m. Si la

longitud de la sala se toma 5 veces, excede en 21m. al cuádruplo de la sala. ¿Cuáles son las medidas de la sala?

6. ¿Cuántos cm3 de cada una da dos soluciones de alcohol, una al 8% y otra al 15%, se deben

mezclar para obtener 100cm3 de solución al 12,2%? 7. El kilo de galleta simple cuesta $10 y el kilo de galleta con relleno $25. ¿Cuántos kilos de cada tipo

de galleta se necesitan para que 9 kilos tengan un precio de $20 por kilo? 8. Hallar dos ángulos complementarios tales que uno sea cuádruplo del otro. 9. Obtener dos ángulos suplementarios tales que uno sea triple del otro. 10. Los ángulos interiores de un triángulo guardan entre sí las siguientes relaciones: el ángulo B es el

triple de A y el ángulo C es el doble de A. ¿Cuánto mide cada ángulo? 11. El largo de un rectángulo es el doble de su ancho y su perímetro es igual a 72cm. ¿Cuánto mide

de largo y cuánto de ancho? 12. El perímetro de un triángulo es de 27cm; si el lado A es 2m mayor que el lado B, y el lado C es

5m menor que el lado B. ¿Cuánto mide cada uno de los lados? 13. El largo de un rectángulo es 8m mayor que el triple del ancho, el perímetro es igual a 88m

¿Cuánto mide de largo y cuánto de ancho? 14. Obtener tres números naturales consecutivos tales que su suma sea 66.

49

15. Hallar tres números pares consecutivos tales que su suma sea 78. 16. El ángulo interior B de un triángulo es 10° men or que el doble del ángulo A, y el ángulo C es 15°

menor que el ángulo B. ¿Cuánto mide cada ángulo? 17. Obtener dos ángulos suplementarios tales que uno mida 15° menos que la mitad del otro. 18. El ancho de un rectángulo es 6cm mayor que la tercera parte del largo. ¿Cuáles son las medidas

de su ancho y largo si su perímetro es 92cm? 19. El perímetro de un triángulo es de 29m. Si el lado A es 10m menor que el triple del lado B, y el

lado C es la mitad del lado A, ¿cuánto mide cada uno de los lados? 20. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos suplementarios A y B, si B es 10° mayor que la mitad del

triple de A?

50

Objetivo El estudiante aprenderá algunos métodos de solución para sistemas de ecuaciones lineales en espacios de tres y más dimensiones.

Presentación En el proceso de solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, podemos utilizar varios métodos, según se vaya presentando la oportunidad o se nos facilite conforme lo vayamos resolviendo. Comenzamos. Ejemplo 1 . Rebeca y Beatriz, cuentan con tablitas de diferentes longitudes, en centímetros, para los números del 1 al 12 y un “Tablero de Aritmética” donde asientan las tablitas. A cada longitud y número, le corresponde un color determinado. Resulta que han construido tres expresiones con tablitas de tres longitudes distintas. Las expresiones son las siguientes: Primera expresión; 1 tablita verde una azul y una roja, alcanzaron hasta 6 unidades en el tablero, Segunda expresión; 1 tablita verde y 2 rojas, equivalen a 5 unidades del tablero más 1 tablita azul, Tercera expresión; 1 tablita verde y 10 unidades midieron lo mismo que 1 tablita azul y 3 rojas. ¿Cuánto miden las tablitas verdes, las azules y las rojas? Para identificar los colores de las tablitas, convertimos: verdes = x, azules = y, rojas = z. Ecuaciones: x + y + z = 6 x + 2z = 5 + y x + 10 = y + 3z

Matemáticas 3

1: Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. 3: Sistemas de ecuaciones con más de dos

incógnitas

a b cd e f

pqrg h i

ax + by + cz = pdx + ey + fz = qgx + hy + iz = r

a b cd e f

pqrg h i

ax + by + cz = pdx + ey + fz = qgx + hy + iz = r

ax + by + cz = pdx + ey + fz = qgx + hy + iz = r

Y

Z

X

O

2x – y + z = -1x + 3y – z = 2

Y

Z

X

x – y + z = 1

∆x

∆

Y

Z

X

O

2x – y + z = -1x + 3y – z = 2

Y

Z

X

x – y + z = 1

∆x

∆

2x – y + z = -1x + 3y – z = 2

Y

Z

X

x – y + z = 1

∆x

∆∆

x∆

51

Representación utilizando el “Tablero de Aritmética”.

acomodamos el sistema; (1) x + y + z = 6 (2) x – y + 2z = 5 (3) x – y – 3z = –10

luego, despejamos la x en la ecuación (1) : x = 6 – y – z sustituimos en: (2) (6 – y – z) – y + 2z = 5 ; – y – y – z + 2z = 5 – 6 (3) (6 – y – z) – y – 3z = –10 ; – y – y – z – 3z = – 10 – 6 (2) – 2y + z = – 1 (3) – 2y – 4z = – 16 – 2y + z = – 1 multiplicamos (3’) x –1 , 2y + 4z = 16 suma 0 + 5z = 15 z = 15/5 z = 3 . aplicamos en (1) y (2):

x + y + (3) = 6 ; x + y = 6 – 3 x – y + 2(3) = 5 ; x – y = 5 – 6

(1) x + y = 3 (2) x – y = – 1

sumamos (1) y (2) , 2x + 0 = 2 x = 2/2 x = 1 . aplicamos en (1) (1) + y + (3) = 6 y = 6 – 1 – 3 y = 2. Respuesta: las tablitas verdes representan al 1, las azules al 2 y las rojas al 3.

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Expresión (3)

x + 10 = y + 3z

Expresión (2)

x + 2z = 5 + y

Expresión (1)

x + y + z = 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 51 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Expresión (3)

x + 10 = y + 3z

Expresión (2)

x + 2z = 5 + y

Expresión (1)

x + y + z = 6

52

Ejemplo 2 . Si se juntan los dulces que hay en las bolsas de Rebeca, Beatriz y Omar, serían 12 dulces; Si se duplican los dulces de Rebeca y se juntan con los dulces de Omar, serían 7 más los dulces de Beatriz y; Si se juntan los de Rebeca con el doble de los dulces de Beatriz, serían 6 más los de Omar. ¿Cuántos dulces tiene en su bolsa cada uno? Ecuaciones: (identificaremos a Rebeca = x, Beatriz = y, Omar = z)

x + y + z = 12 x + 2y = 6 + z 2x + z = 7 + y

acomodamos el sistema; (1) x + y + z = 12 (2) 2x – y + z = 7 (3) x + 2y – z = 6 ,

ahora, despejamos la x en la ecuación (1) : x = 12 – y – z

sustituimos en: (2) 2(12 – y – z) – y + z = 7 ; – 2y – 2z – y + z = 7 – 24 (3) (12 – y – z) + 2y – z = 6 ; – y + 2y – z – z = 6 – 12

(2)

– 3y – z = – 17

(3) y – 2z = – 6 ,

despejamos la y en la ecuación (3) y = – 6 + 2z sustituimos en (2) – 3( – 6 + 2z) – z = – 17 18 – 6z – z = – 17 – 7z = – 35 z = 35/7 z = 5.

1212=yyzzxx

77

yy

xxxx =zz

xx yy

yy 66=zz

53

aplicamos en (1) y (2):

x + y + (5) = 12 ; x + y = 12 – 5 2x – y + (5) = 7 ; 2x – y = 7 – 5

(1) x + y = 7 (2) 2x – y = 2

sumamos , 3x + 0 = 9 x = 9/3 x = 3. aplicamos en (1) (3) + y + (5) = 12 y = 12 – 3 – 5 y = 4. Respuesta: Rebeca tiene 3 dulces en su bolsa, Beatriz 4 y Omar 5. Ejemplo 3 . En un lago para la navegación de pequeñas embarcaciones a control remoto, un aficionado realizó tres recorridos. En el primero dio con su velero 3 vueltas al primer circuito, 1 vuelta al segundo y 2 vueltas al tercero, y empleó en total 2 horas; en el segundo, dio 6 vueltas al primero y 4 vueltas al tercero y empleó, 3 horas y 4 vueltas al segundo y; en el tercero, dio 3 vueltas al primero y 4 vueltas al tercero y empleó, 2 vueltas al segundo y una hora. ¿Qué tiempo empleó en una sola vuelta en cada uno de los circuitos? Ecuaciones: (1° circuito = x, 2° = y, 3° = z) acomodamos : 3x + y + 2z = 2 (1) 3x + y + 2z = 2 6x + 4y = 3 + 4z (2) 6x + 4y – 4z = 3 3x + 4z = 2y + 1 (3) 3x – 2y + 4z = 1 restamos (3) tanto a (1) como a (2) (1) 3x + y + 2z = 2 –(3) –3x + 2y – 4z = –1 (4) 0 + 3y – 2z = 1 (2) 6x + 4y – 4z = 3 multiplicamos –2(3) y restamos –2(3) –6x + 4y – 8z = –2 (5) 0 + 8y – 12z = 1 (4) 3y – 2z = 1 (5) 8y – 12z = 1 , por determinantes tenemos: i) determinante del sistema : y z 3 –2 8 –12 = (3 x –12) – (8 x –2) = –36 + 16 = –20 = ∆ .

54

ii) determinante de la “y”: k z 1 –2 1 –12 = (1 x –12) – (1 x –2) = –12 + 2 = –10 = ∆y.

iii) determinante de la “z” : y k 3 1 8 1 = (3 x 1) – (8 x 1) = 3 – 8 = –5 = ∆z.

Finalmente, dividimos los determinantes de “y” y “z” por el determinante del sistema :

∆y –10 1 ∆z –5 1 y =

∆ =

–20 =

2 . z =

∆ =

–20 =

4 .

aplicamos en (1): 3x + (1/2) + 2(1/4) = 2 3x + (1/2) + (1/2) = 2 3x + 1 = 2 3x = 2 – 1 3x = 1 x = 1/3. Respuesta: empleó 20 minutos en dar la vuelta al primer circuito; 30 minutos en el segundo y 15 minutos en el tercero. Recordemos que las medidas buscadas están dadas en horas. Ejemplo 4 (o acertijo). Si al doble de la edad de Amalia se suma la edad de Berenice, se obtiene la edad de Carmen aumentada en 32 años. Si al tercio de la edad de Berenice se suma el doble de la de Carmen, se obtiene la de Amalia aumentada en 9 años. El tercio de la suma de las edades de Amalia y Berenice, es un año menos que la edad de Carmen. ¿Qué edades tiene Amalia, Berenice y Carmen? Ecuaciones: (Amalia = x, Berenice = y, Carmen = z) acomodamos : 2x + y = z + 32 (1) 2x + y – z = 32 y/3 + 2z = x + 9 (2) –x + y/3 + 2z = 9 (x + y)/3 = z – 1 (3) x/3 + y/3 – z = –1

55

Vamos a resolver este sistema por el método de determinantes . ¿Cómo lo resolveremos por determinantes? De la siguiente manera: Supongamos el siguiente sistema: a1x + b1y + c1z = k1 a2x + b2y + c2z = k2 a3x + b3y + c3z = k3 Los determinantes de este sistema los construimos así:

i) Determinante del sistema: x y z a1 b1 c1 a2 b2 c2

Los coeficientes del sistema (ya acomodados, para el caso en que no lo estuvieran a la presentación del ejercicio).

a3 b3 c3 a1 b1 c1 a2 b2 c2

Repetimos los coeficientes de los dos primeros renglones. Esto hará más fácil la comprensión y operación de los coeficientes.

x y z Las operaciones son:

a1 b1 c1 = a1 x b2 x c3 + a2 x b3 x c1 + a3 x b1 x c2 +

a2 b2 c2 – ( a2 x b1 x c3 + a1 x b3 x c2 + a3 x b2 x c1 )

a3 b3 c3

a1 b1 c1

a2 b2 c2

• Los productos de los números que se indican con las flechas azules son POSITIVOS. Se anotan con el signo resultante del producto de los signos que posean tales números.

• Los productos de los números que se indican con las flechas rojas

son NEGATIVOS. Se anotan con el signo contrario al resultante del producto de los signos que posean tales números.

56

Determinantes de las variables del sistema:

ii) Para el de la “x”, se sustituyen los valores de las constantes del sistema por los coeficientes de

la “x”. Las operaciones se realizan de manera análoga a la descrita líneas arriba en el “determinante del sistema”.

iii) Para el de la “y”, se sustituyen los valores de las constantes del sistema por los coeficientes de

la “y”. Las operaciones, como en los determinantes anteriores. iv) Para el de la “z”, se sustituyen los valores de las constantes del sistema por los coeficientes de

la “z”. Las operaciones, igual que en los anteriores.

v) Para obtener, finalmente, los valores de x, y, z :

Dividimos el valor del determinante de cada variable por el valor del determinante del sistema. ∆x ∆y ∆z

x = ∆

, y = ∆

, z = ∆

.

i) determinante del sistema :

x y z 2 1 –1 = ( 2 x 1/3 x –1 ) + ( –1 x 1/3 x –1 ) + ( 1/3 x 1 x 2 ) +

–1 1/3 2 – ( ( –1 x 1 x –1 ) + ( 2 x 1/3 x 2 ) + ( 1/3 x 1/3 x –1 ) ) =

1/3 1/3 –1

2 1 –1 = –2/3 + 1/3 + 2/3 – ( 1 + 4/3 – 1/9 ) = 1/3 – ( 20/9 ) = –17/9

–1 1/3 2

ii) determinante de la “x” :

k y z 32 1 –1 = ( 32 x 1/3 x –1 ) + ( 9 x 1/3 x –1 ) + (–1 x 1 x 2 ) +

9 1/3 2 – ( ( 9 x 1 x –1 ) + ( 32 x 1/3 x 2 ) + (–1 x 1/3 x –1 ) ) =

–1 1/3 –1

32 1 –1 = –32/3 – 3 – 2 – (–9 + 64/3 + 1/3 ) = –47/3 – ( 38/3 ) = –85/3

9 1/3 2

57

iii) determinante de al “y” :

x k z 2 32 –1 = ( 2 x 9 x –1 ) + ( –1 x –1 x –1) + ( 1/3 x 32 x 2 ) +

–1 9 2 – ( ( –1 x 32 x –1 ) + ( 2 x –1 x 2 ) + ( 1/3 x 9 x –1 ) ) =

1/3 –1 –1

2 32 –1 = –18 –1 + 64/3 – ( 32 – 4 – 3 ) = 7/3 – ( 25 ) = –68/3

–1 9 2

iv) determinante de la “z” :

x y k 2 1 32 = ( 2 x 1/3 x –1 ) + ( –1 x 1/3 x 32 ) + ( 1/3 x 1 x 9 ) +

–1 1/3 9 – ( ( –1 x 1 x –1 ) + ( 2 x 1/3 x 9 ) + ( 1/3 x 1/3 x 32 ) ) =

1/3 1/3 –1

2 1 32 = –2/3 – 32/3 + 3 – ( 1 + 6 + 32/9 ) = –25/3 – ( 95/9 ) = –170/9

–1 1/3 9

v) los valores de “x”, “y”, “z” :

∆x –85/3 85 x 9

x =

∆ =

–17/9 =

17 x 3 = 5 x 3 = 15 .

∆y –68/3 68 x 9

y =

∆ =

–17/9 =

17 x 3 = 4 x 3 = 12 .

∆z –170/9 170 x 9

z =

∆ =

–17/9 =

17 x 9 = 10 x 1 = 10 .

Respuesta: Amalia tiene 15 años, Berenice 12 y Carmen 10. Ejemplo 5 . Hallar los valores de las variables (1) x + 4y + 5z = 11

que satisfacen el siguiente sistema: (2) 3x – 2y + z = 5

(3) 4x + y – 3z = –26

58

Resolvamos este sistema por el método de Gauss. Recordemos: abajo de la diagonal principal sólo valores “0”.

Matriz de coeficientes X y z k Matrices de transición

(1) 1 4 5 11 x 3 3 12 15 33

(2) 3 – 2 1 5 x –1 – 3 2 – 1 – 5

(3) 4 1 – 3 – 26

(1) 1 4 5 11 x 4 4 16 20 44

(2) 0 14 14 28

(3) 4 1 – 3 – 26 x –1 – 4 – 1 3 26

(1) 1 4 5 11

(2) 0 14 14 28 : 14 0 1 1 2

(3) 0 15 23 70 x –1 0 – 15 – 23 – 70

(2) x 15 0 15 15 30

(3) x –1 0 – 15 – 23 – 70

(1) 1 4 5 11

(2) 0 14 14 28

(3) 0 0 – 8 – 40 (3) 8z = 40

z = 40/8

z = 5

(2) 14y + 14(5) = 28

14y = 28 – 70 = –42

y = – 42/14 y = –3 (1) x + 4(–3) + 5(5) = 11

x = 11 +12 – 25

x = –2

Respuesta. los valores que satisfacen el sistema son: x = –2 , y = –3 , z = 5.

59

Ejemplo 6 . Hallar los valores de las variables que satisfacen el siguiente sistema de 4x4:

Por medio del método de suma y resta, compararemos la ecuación (1) con las demás.

(1) x + y + z + u = 10 (1) x 2 2x + 2y + 2z + 2u = 20

(2) 2x – y + 3z – 4u = 9 (2) x –1 –2x + y – 3z + 4u = –9

(3) 3x + 2y – z + 5u = 13 suma (5) 3y – z + 6u = 11

(4) x – 3y + 2z – 4u = –3

(1) x 3 3x + 3y + 3z + 3u = 30

(3) x –1 –3x – 2y + z – 5u = –13

suma (6) y + 4z – 2u = 17

(1) x + y + z + u = 10

(4) x –1 –x + 3y – 2z + 4u = 3

suma (7) 4y – z + 5u = 13

Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones. Comparemos entonces, como líneas arriba, la ecuación (5) con las demás.

(5) 3y – z + 6u = 11 (5) 3y – z + 6u = 11

(6) y + 4z – 2u = 17 (6) x –3 –3y – 12z + 6u = –51

(7) 4y – z + 5u = 13 suma (8) – 13z + 12u = –40

(5) x 4 12y – 4z + 24u = 44

(7) x –3 –12y + 3z – 15u = –39

suma (9) – z + 9u = 5

60

Hemos reducido a un sistema de dos ecuaciones. Comparemos ahora las ecuaciones (8) y (9).

(8) –13z + 12u = –40 (8) x –1 13z – 12u = 40

(9) – z + 9u = 5 (9) x 13 –13z + 117u = 65

Suma 105u = 105

u = 105/105

u = 1

(9) – z + 9(1) = 5 (5) 3y – (4) + 6(1) = 11

– z = 5 – 9 = – 4 3y = 11 + 4 – 6 = 9

z = 4 y = 9/3

y = 3

(1) x + (3) + (4) + (1) = 10

x = 10 – 3 – 4 – 1

x = 2

Respuesta: los valores que satisfacen el sistema son: x = 2 , y = 3 , z = 4 , u = 1. Ejemplo 7 . Hallar los valores de las variables (1) x + y + z + u = 4

que satisfacen el siguiente sistema (2) x + 2y + 3z – u = –1

de 4 ecuaciones y 4 variables: (3) 3x + 4y + 2z + u = –5

(4) x + 4y + 3z – u = –7

Resolvamos nuestro ejercicio por el método de Gauss. Paso 1. Comparemos la ecuación (1) con las demás, de esta manera obtendremos 0’s en la columna

de las x’s en las ecuaciones (2), (3) y (4). Paso 2. Repetimos el paso 1, comparando ahora con la ecuación (2) y así sucesivamente hasta

comparar la ecuación (n–1) con la (n) para la última variable.

61

Matriz de coeficientes x y z u k Matrices de transición

(1) 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4

(2) 1 2 3 –1 –1 x –1 –1 –2 –3 1 1

(3) 3 4 2 1 –5

(4) 1 4 3 –1 –7

(1) 1 1 1 1 4 x 3 3 3 3 3 12

(2) 0 –1 –2 2 5

(3) 3 4 2 1 –5 x –1 –3 –4 –2 –1 5

(4) 1 4 3 –1 –7

(1) 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4

(2) 0 –1 –2 2 5

(3) 0 –1 1 2 17

(4) 1 4 3 –1 –7 x –1 –1 –4 –3 1 7

(1) 1 1 1 1 4

(2) 0 –1 –2 2 5 0 –1 –2 2 5

(3) 0 –1 1 2 17 x –1 0 1 –1 –2 –17

(4) 0 –3 –2 2 11

(1) 1 1 1 1 4

(2) 0 –1 –2 2 5 x –3 0 3 6 –6 –15

(3) 0 0 –3 0 –12

(4) 0 –3 –2 2 11 0 –3 –2 2 11

(1) 1 1 1 1 4

(2) 0 –1 –2 2 5

(3) 0 0 –3 0 –12 x 4 0 0 –12 0 –48

(4) 0 0 4 –4 –4 x 3 0 0 12 –12 –12

62

(1) 1 1 1 1 4

(2) 0 –1 –2 2 5

(3) 0 0 –3 0 –12

(4) 0 0 0 –12 –60 (4) –12u = –60

u = 60/12

(3) –3z = –12 u = 5

z = 12/3

z = 4 (2) – y – 2(4) + 2(5) = 5

– y = 5 + 8 – 10

y = –3 (1) x + (–3) + (4) + (5) = 4

x – 3 + 4 + 5 = 4

x + 6 = 4 x = –2

Respuesta: los valores que satisfacen el sistema son: x = –2 , y = –3 , z = 4 , u = 5. Ejemplo 8 . Hallar los valores de las variables (1) 2x – 3y + z + 4u = 0

que satisfacen el siguiente sistema (2) 3x + y – 5z – 3u = –10

de 4 ecuaciones y 4 variables: (3) 6x + 2y – z + u = –3

(4) x + 5y + 4z – 3u = –6

¿Qué les parece si resolvemos este ejercicio por el método de determinantes?

Determinante del sistema Ahora construimos 4 más pequeños de la siguiente forma: 2 –3 1 4 3 1 –5 –3 6 2 –1 1 1 5 4 –3

a) Tomamos los coeficientes del primer renglón y les asociamos la matriz que forman los coeficientes que no están ni en ese renglón ni en esa columna y

b) Alternamos los signos de esos coeficientes del primer renglón (+, –, +, –, +,…).

63

1 –5 –3 3 –5 –3 3 1 –3 3 1 –5 2 2 –1 1 +3 6 –1 1 +1 6 2 1 –4 6 2 –1

5 4 –3 1 4 –3 1 5 –3 1 5 4 1 –5 –3 3 –5 –3 3 1 –3 3 1 –5 2 –1 1 6 –1 1 6 2 1 6 2 –1

2 ( 3 – 24 – 25 – ( 30 + 4 + 15 ) ) + 3 ( 9 – 72 – 5 – ( 90 + 12 + 3 ) )

2 ( –46 –49 ) + 3 ( –68 –105 )

2 ( –95 ) + 3 ( –173 )

–190 –519

+ 1 ( –18 – 90 + 1 – ( –18 + 15 – 6 ) ) –4 ( 24 – 150 – 1 – ( 24 – 15 – 10 ) )

+ 1 ( –107 + 9 ) –4 ( –127 + 1 )

+ 1 ( –98 ) –4 ( –126 ) –98 +504

∆∆∆∆ = – 190 – 519 – 98 + 504

∆ ∆ ∆ ∆ = –303

Determinante de la “x”

0 –3 1 4 –10 1 –5 –3 –3 2 –1 1 –6 5 4 –3

construimos los 4 más pequeños:

64

1 –5 –3 –10 –5 –3 –10 1 –3 –10 1 –5 0 2 –1 1 +3 –3 –1 1 +1 –3 2 1 –4 –3 2 –1

5 4 –3 –6 4 –3 –6 5 –3 –6 5 4 1 –5 –3 –10 –5 –3 –10 1 –3 –10 1 –5 2 –1 1 –3 –1 1 –3 2 1 –3 2 –1

0 + 3 (–30 + 36 + 30 – (–45 – 40 – 18 ) )

+ 3 ( 36 + 103 ) + 3 ( 139 ) +417

+ 1 ( 60 + 45 – 6 – ( 9 – 50 + 36 ) ) –4 ( –80 + 75 + 6 – ( –12 + 50 + 60 ) )

+ 1 ( 99 + 5 ) –4 ( 1 – 98 )

+ 1 ( 104 ) –4 ( –97 ) +104 +388

∆∆∆∆x = 0 + 417 + 104 + 388

∆∆∆∆x = 909

Determinante de la “y” 2 0 1 4 3 –10 –5 –3 6 –3 –1 1 1 –6 4 –3

Construimos los. . .

–10 –5 –3 3 –5 –3 3 –10 –3 3 –10 –5

2 –3 –1 1 +0 6 –1 1 +1 6 –3 1 –4 6 –3 –1 –6 4 –3 1 4 –3 1 –6 –3 1 –6 4 –10 –5 –3 3 –5 –3 3 –10 –3 3 –10 –5 –3 –1 1 6 –1 1 6 –3 1 6 –3 –1

65

2 ( –30 + 36 + 30 – ( –45 – 40 – 18 ) ) + 0

2 ( 36 + 103 )

2 ( 139 ) 278

+ 1 ( 27 + 108 – 10 – ( 180 – 18 + 9 ) ) –4 ( –36 + 180 + 10 – ( –240 + 18 + 15 ) )

+ 1 ( 125 – 171 ) –4 ( 154 + 207 )

+ 1 (– 46 ) –4 ( 361 ) –46 –1444

∆∆∆∆y = 278 + 0 – 46 – 1444

∆∆∆∆y = –1212

Determinante de la “z”

2 – 3 0 4 3 1 –10 –3 6 2 –3 1 1 5 –6 –3

Construimos los...

1 –10 –3 3 –10 –3 3 1 –3 3 1 –10

2 2 –3 1 +3 6 –3 1 +0 6 2 1 –4 6 2 –3 5 –6 –3 1 –6 –3 1 5 –3 1 5 –6 1 –10 –3 3 –10 –3 3 1 –3 3 1 –10 2 –3 1 6 –3 1 6 2 1 6 2 –3

2 (9 + 36 – 50 – (60 – 6 + 45 ) ) + 3 ( 27 + 108 – 10 – (180 – 18 + 9 ) )

2 (–5 – 99 ) + 3 ( 125 – 171 )

2 (–104 ) + 3 (–46 )

–208 –138

+ 0 –4 ( –36 – 300 – 3 – (–36 – 45 – 20 ) )

66

–4 ( –339 + 101 ) –4 (–238 ) 952

∆∆∆∆z = –208 – 138 + 0 + 952

∆∆∆∆z = 606

Determinante de la “u”

2 – 3 1 0 3 1 –5 –10 6 2 –1 –3 1 5 4 –6

Construimos los...

1 –5 –10 3 –5 –10 3 1 –10 3 1 –5

2 2 –1 –3 +3 6 –1 –3 +1 6 2 –3 –0 6 2 –1 5 4 –6 1 4 –6 1 5 –6 1 5 4 1 –5 –10 3 –5 –10 3 1 –10 3 1 –5 2 –1 –3 6 –1 –3 6 2 –3 6 2 –1

2 (6 – 80 + 75 – (60 – 12 + 50 ) ) + 3 (18 – 240 + 15 – (180 – 36 + 10 ) )

2 (1 – 98 ) + 3 (–207 – 154 )

2 (–97 ) + 3 (–361 )

–194 –1083

+ 1 (–36 – 300 – 3 – (–36 – 45 – 20 ) ) –0

+ 1 (–339 + 101 )

+ 1 (– 238 )

–238

∆∆∆∆u = –194 – 1083 – 238 + 0

∆∆∆∆u = –1515

67

Para terminar, ofrecemos el valor de las variables con que se resuelve el sistema, dividiendo los valores correspondientes de los determinantes entre el determinante del sistema.

∆∆∆∆x 909 ∆∆∆∆y –12012 x =

∆ ∆ ∆ ∆ =

–303 = –3 , y =

∆ ∆ ∆ ∆ =

–303 = 4 ,

∆∆∆∆z 606 ∆∆∆∆u –1515

z = ∆ ∆ ∆ ∆

= –303

= –2 , u = ∆ ∆ ∆ ∆

= –303

= 5.

Resolver un sistema de cuatro ecuaciones lineales es laborioso pero aplicándolo encontramos la respuesta buscada. Ejemplo 9 . Hallar los valores de las variables (1) 2x – 3y + 3z – u = 9

que satisfacen el siguiente sistema: (2) 3x – 4y + 7z + 2u = 2

(3) x – 2y + 3z + u = –1

(4) 5x + 2y – 4z – 3u = –6

¿Y si este ejercicio lo resolvemos con una mezcla de los métodos que conocemos? ¿Se podrá? ¡Intentémoslo! Lo más que puede suceder es que lo resolvamos y bien

¿o no? Primera parte. Método de Gauss.

Matriz de coeficientes x y z u k Matrices de transición

(1) 2 –3 3 –1 9 x 3 6 –9 9 –3 27

(2) 3 –4 7 2 2 x –2 –6 8 –14 –4 –4

(3) 1 –2 3 1 –1

(4) 5 2 –4 –3 –6

(1) 2 –3 3 –1 9 2 –3 3 –1 9

(2) 0 –1 –5 –7 23

(3) 1 –2 3 1 –1 x –2 –2 4 –6 –2 2

(4) 5 2 –4 –3 –6

68

(1) 2 –3 3 –1 9 x 5 10 –15 15 –5 45

(2) 0 –1 –5 –7 23

(3) 0 1 –3 –3 11

(4) 5 2 –4 –3 –6 x –2 –10 –4 8 6 12

(1) 2 –3 3 –1 9 y tenemos las siguientes ecuaciones:

(2) 0 –1 –5 –7 23 (5) y + 5z + 7u = –23

(3) 0 1 –3 –3 11 (6) y – 3z – 3u = 11

(4) 0 –19 23 1 57 (7) – 19y + 23z + u = 57

Segunda parte. Método de Sustitución.

(5) Despejamos “y” y = –23 – 5z – 7u y sustituimos en (6) y (7)

(6) y – 3z – 3u = 11 , –23 – 5z – 7u – 3z – 3u = 11

– 8z – 10u = 11 + 23 – 8z – 10u = 34 simplificamos : –2 (8) 4z + 5u = –17

(7) –19y + 23z + u = 57 , –19(–23 – 5z – 7u) + 23z + u = 57

437 + 95z + 133u + 23z + u = 57 118z + 134u = 57 – 437 118z + 134u = –380 simplificamos : 2 (9) 59z + 67u = –190

Hemos reducido nuestro sistema de 4x4 (8) 4z + 5u = –17

a uno de 2x2. (9) 59z + 67u = –190

69

Tercera parte. Método de Suma y Resta.

(8) X 59 4z + 5u = –17 236z + 295u = –1003

(9) X – 4 59z + 67u = –190 –236z – 268u = 760

27u = –243 u = –243/27

(8) 4z + 5(–9) = –17 u = – 9

4z – 45 = –17 4z = –17 + 45 4z = 28 z = 28/4 z = 7 (6) y – 3(7) – 3(–9) = 11

y – 21 + 27 = 11 y + 6 = 11 y = 11 – 6

(1) 2x – 3(5) + 3(7) – (–9) = 9 y = 5

2x – 15 + 21 +9 = 9 2x + 15 = 9 2x = 9 – 15 2x = – 6 x = – 6/2 x = – 3.

Respuesta: los valores que satisfacen el sistema son: x = –3 , y = 5 , z = 7 , u = –9.

70

Los métodos que hemos empleado en todo este camino son amigables, intercambiables, laboriosos, son una herramienta consistente y consecuente para aplicar en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, tengan las incógnitas, o variables que tengan. ¿Qué método se prefiere? Según cómo esté estructurado el sistema o queramos experimentar con uno u otro método o la mezcla de ellos.

Ejercicios

1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. La suma del ángulo mayor y el mediano

es 135°, y la suma del mediano y el menor es 110. ¿ Cuál es la medida de cada ángulo? 2. Si 5 kilos de azúcar, 3 de café y 4 de frijoles cuestan $118; 4 de azúcar, 5 de café y 3 de frijoles

cuestan $145; y 2 de azúcar 1 de café y 2 de frijoles cuestan $46. Hallar el precio por kilogramo de cada mercancía.

3. El ángulo mayor de un triángulo excede al menor en 35° y el menor excede en 20° a la diferencia

entre el mayor y el mediano. Hallar la medida de cada ángulo. 4. x + y + z = 11 5. x + y + z = 6 x – y + 3z = 13 2x + y – z = –1 2x + 2y – z = 7 x + 2y + 3z = –6

6. 2x + 3y + 4z = 3 7. 4x – y + z = 4 2x + 6y + 8z = 5 2y – z + 2x = 2 4x + 9y – 4z = 4 6x + 3z – 2y = 12

8. x + 4y + 5z = 11 9. 7x + 10y + 4z = –2 3x – 2y + z = 5 5y – 2y + 6x = 38 4x + y – 3z = –26 3x + y – z = 21

10. 4x + 7y + 54z = –2 11. 3x – 5y + 2z = –22 6x + 3y + 7z = 6 2x – y + 6z = 32 x – y + 9z = –21 8x + 3y – 5z = –33

71

12. x + y + z = 11 13. 3x – 2y = –1 x + 2y = 6 4y + z = –28 2x + 3y = 6 x + 2y + 3z = –43

14. x + y + z + u = 10 15. x – 2y + z + 3u = –3 2x – y – 2z + 2u = 2 3x + y – 4z – 2u = 7 x – 2y + 3z – u = 2 2x + 2y – z – u = 1 x + 2y – 4z + 2u = 1

x + 4y + 2z – 5u = 12

16. x + y – z = –4 17. x + 2y + z = –4 4x + 3y + 2z – u = 9 2x + 3y + 4z = –2 2x – y – 4z + u = –1 3x + y + z + u = 4 x + 2y + 3z + 2u = –1 6x + 3y – z + u = 3 18. 3x + 2y = –2 19. 2x – 3z – u = 2 x + y + u = –3 3y – 2z – 5u = 3 3x – 2y – u = –7 4y – 3u = 2 4x + 5y + 6z + 3u = 11 x – 3y + 3u = 0

72

Matemáticas 3

1: Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. 4: Ubicación de intervalos y regiones definidas

por desigualdades

Objetivo: El estudiante localizará puntos e intervalos, secciones en el caso de rectas y regiones en el caso del plano, con características particulares.

Presentación Desigualdades en una recta numérica . Los ángulos, uno de los elementos de la geometría, tienen su propia clasificación, la cual se estableció de acuerdo a la longitud del arco que abarcan sus lados sobre una circunferencia, asentando su vértice en el centro de esa misma circunferencia. Y así tenemos que:

a) ángulo agudo el que es mayor a cero grados y menor que uno recto. b) ángulo obtuso el que es mayor que uno recto y menor que dos rectos (o ángulo llano;

de lados colineales). c) ángulo entrante el que es mayor que dos rectos y menor que cuatro rectos (o

perígono; haciendo girar uno de sus lados hasta empatarlo con el otro). ¿Cómo podemos representar estas tres propuestas en una sola? i) Sobre una recta graduada en medidas angulares, así:

Den

tro

FueraD

entr

oFuera

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

ángulo agudo ángulo obtusoperígono

0° 90° 180° 360°

ángulo entranteángulo agudo ángulo obtuso

perígono

0° 90° 180° 360°

ángulo entrante

73

ii) En una circunferencia: En matemáticas, el símbolo “<”, es un “pequeño ángulo” que nos compara dos cantidades; siendo la menor la que escribimos del lado del vértice y la mayor del lado abierto del ángulo. Este símbolo, también se escribe al revés “>”, pero de cualquiera de las dos formas se anotará la cantidad menor del lado del vértice y la mayor del lado de la abertura del ángulo. Lo leemos como: menor que - si anunciamos primero la cantidad que se encuentre del lado del vértice del símbolo–o bien,mayor que - si anunciamos primero la cantidad que se encuentre del lado de la abertura del ángulo-. Recordando que, ángulo recto = 90°, ángulo llano = 180° y perígono = 360°. Escribimos las tres propuestas como sigue:

iii) 0° < ángulo agudo < 90° < ángulo obtuso < 180° < ángulo entrante < 360°

Algo más sobre ángulos. 1. Dos o más ángulos son complementarios si, teniendo el mismo vértice y siendo adyacentes dos a

dos, la suma de sus medidas es un ángulo recto. Ejemplo 1 . Sean A, B y C ángulos complementarios, ¿cuánto medirá cada uno de ellos?

Como son complementarios sabemos que A + B + C = ángulo recto = 90°

entonces: las medidas de A, B y C se encuentran entre 0° y 90 °, o sea 0° ≤ A ≤ 90° , 0° ≤ B ≤ 90° , 0° ≤ C ≤ 90°

0°

90°

0°

90°

0°180° 0°180°

360°0°

360°0°

74

El símbolo “≤”, también nos compara dos cantidades aunque a diferencia del “<”, en donde hay siempre una cantidad menor y una mayor, en este caso la cantidad menor puede igualar a la mayor. Y al igual que con el símbolo “<”, la cantidad mayor la escribimos del lado abierto del ángulo. Este símbolo también se escribe al revés “≥”. De cualquiera de las dos formas se anotará la cantidad mayor del lado de la abertura del ángulo. 2. Dos o más ángulos son suplementarios si, teniendo el mismo vértice y siendo adyacentes dos a

dos, la suma de sus medidas es dos rectos (o ángulo llano; de lados colineales). Ejemplo 2 . Sean D, E y F ángulos suplementarios, ¿cuánto medirá cada uno de ellos?

Como son suplementarios sabemos que D + E + F = ángulo llano = 180°

y tenemos: las medidas de D, E y F se encuentran entre 0° y 18 0°, o sea 0° ≤ D ≤ 180° , 0° ≤ E ≤ 180° , 0° ≤ F ≤ 180°

3. Dos o más ángulos son conjugados si, teniendo el mismo vértice y siendo adyacentes dos a dos,

la suma de sus medidas es un perígono.

0°

90°

AB

0°

90°

AB

0°

90°

F

GH

0°

90°

F

GH

0°

90°

S

TU

PQR

0°

90°

S

TU

PQR

0°180°

JK

0°180°

JK

0°180°A

BC

D

0°180°A

BC

D0°180°

HJ

KL

M0°180°

HJ

KL

M

75

Ejemplo 3 . Sean G, H y J ángulos conjugados, ¿cuánto medirá cada uno de ellos?

Como son conjugados sabemos que G + H + J = perígono = 360°

y así: las medidas de G, H y J se encuentran entre 0° y 36 0°, o sea 0° ≤ G ≤ 360° , 0° ≤ H ≤ 360° , 0° ≤ K ≤ 360°

Ejercicios

1. Hallar el complemento de los ángulos: a) A = 35° b) G = 78° c) M = 1° 30’ d) D = 45° , E = 10° 2. Hallar el suplemento de los ángulos: a) B = 112° b) F = 91° c) H = 120° 45’ d) J = 60° , K = 60° 3. Hallar el conjugado de los ángulos: a) C = 180° b) E = 135° c) L = 270° 15’ d) N = 108° , P = 116° En medicina la temperatura de un ser humano se considera normal si se encuentra en el rango de los 36.5°C y los 37.4°C. Esto es, en condiciones de rep oso. Grados Celsius 35 35.5 36 36.5 ≤ tn ≤ 37.4 38 38.5 39 39.5 40 40.5

95 95.9 96.8 97.7 ≤ tn ≤ 99.3 100.4 101.3 102.2 103.1 104 104.9 Grados Fahrenheit

360°0°

D

E 360°0°

D

E 360°0°

ST

U360°0°

ST

U360°0°K

L

M

N

P Q 360°0°K

L

M

N

P Q

76

Y como estos hay muchos conceptos que se han modelado, con ellos podemos ilustrar el uso de los símbolos “< y ≤”. Por ejemplo: • El punto de ebullición o de congelación del agua (estos puntos varían de acuerdo a la altura sobre

el nivel del mar en que la registremos). • La variación de la temperatura del medio ambiente durante un día, un mes, etc. ¿Cómo se opera con estos símbolos (“< y ≤”)? Al símbolo “<” se le llama de desigualdad estricta ; todos los valores escritos del lado del vértice del pequeño ángulo son siempre menores que los valores escritos del lado abierto del pequeño ángulo. Al símbolo “≤” se le llama de desigualdad no estricta ; los valores escritos del lado del vértice del pequeño ángulo son menores que los valores escritos del lado abierto del pequeño ángulo, pero alguno de los valores escrito del lado del vértice del peq ueño ángulo es igual al valor escrito del lado abierto del pequeño ángulo. Volviendo a la pregunta resolvamos el siguiente ejemplo: Si la temperatura normal del cuerpo humano varía entre 36.5°C y 37.4°C ¿cómo es la conversión a °F? En las medidas presentadas en el termómetro, ¿cómo se realizó la comparación, paridad o analogía entre los grados Celsius y los Fahrenheit? Sabemos que el 0°C equivale al 32°F y que ambas esc alas coinciden en –40° C y F, entonces 0°C = 32°F –40°C = –40°F 40°C , 72°F

Observamos que, mientras el termómetro recorrió 40° en la escala C, en la escala F recorrió 72°.

°C , ( 72/40) °F °C , ( 9/5) °F Esta es la proporción entre °C y °F. Para completar la

paridad entre las dos escalas ó bien

(5/9) °C , °F

ahora, para convertir °C a °F, tenemos que sumar 32 ° a la proporción de °C, pues el 0° de la escala en °C co incide

77

con el 32°F. °F = (°C x (9/5)) + 32

Con esta ecuación convertimos los °C en °F, pero la escala que conocemos es la escala en °C por lo que despeja remos los °F.

°F – 32 = (9/5) °C (5/9) (°F – 32) = °C Y tenemos los dos camino s de conversión.

Volvamos a la búsqueda de la respuesta a la pregunta del cambio de escalas en la temperatura normal del cuerpo humano (rango de temperatura). 36.5°C ≤ temperatura normal ≤ 37.4°C sustituimos °C 36.5 (9/5) °F + 32 ≤ rango ≤ 37.4 (9/5) °F + 32 desarrollamos 65.7°F + 32 ≤ rango ≤ 67.3°F + 32 97.7°F ≤ rango ≤ 99.3°F Respuesta: el rango 36.5 a 37.4 en °C equivale al r ango 97.7 a 99.3 en °F.

Ejemplo 4 . Durante un día en una ciudad costera, la temperatura en grados Fahrenheit varió entre 77°F y 86°F. ¿Cuál fue el rango de temperatura en g rados Celsius para ese día en esa ciudad?

77°F ≤ temperatura en la cuidad ≤ 86°F sustituimos °F 77 [(5/9) (°C – 32)] ≤ rango ≤ 86 [(5/9) (°C – 32)] desarrollamos 42.7°C – 17.7 ≤ rango ≤ 47.7°C – 17.7 25°C ≤ rango ≤ 30°C

78

Respuesta: el rango fue de 25°C a 30°C. Se nos propone el siguiente Ejemplo 5 . El costo de una llamada telefónica es de ¢15 por minuto. ¿Cuántos minutos puede hablar por teléfono una persona y que el costo de su llamada sea menor a $2.00?

Minutos Costo por minuto Total Costo total

1 ¢15 1 x ¢15 ¢15 m ¢15 m x ¢15 menor a $2.00 unificar unidades m x ¢15 menor a ¢200

¢15m < ¢200 m < ¢200 / ¢15 cancelamos ¢

m < 200/15 m < 13 5/15

m < 13 1/3 Respuesta: como la compañía telefónica cobra la fracción de minuto como minuto completo, con las condiciones del ejercicio, una persona puede hablar por teléfono hasta 13 minutos. Hemos trabajado las desigualdades, de manera intuitiva, como lo habíamos hecho con la igualdad, expongamos entonces sus propiedades formales. i) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o se resta una misma cantidad, la

desigualdad se conserva. Ejemplos: sumar y restar c a < b , a + c < b + c ; a – c < b – c ’’ y x < 6 , x + y < 6 + y ; x – y < 6 – y ’’ 2 w < –3 , w + 2 < –3 + 2 ; w – 2 < –3 – 2 w + 2 < –1 w – 2 < –5 ’’ m 5 < h , 5 + m < h + m ; 5 – m < h – m ’’ 1 8 < k , 8 + 1 < k + 1 ; 8 – 1 < k – 1 9 < k + 1 7 < k – 1 ’’ 3 4 < 9 , 4 + 3 < 9 + 3 ; 4 – 3 < 9 – 3 7 < 12 1 < 6 ’’ 5 –8 < 0 , –8 + 5 < 0 + 5 ; –8 – 5 < 0 – 5

79

–3 < 5 –13 < –5 Damos aquí algunas interpretaciones gráficas: Sobre el reflejo de la recta numérica.

i. 1) a menor que b; (o < a < b), sumar y restar d.

a b

a + d < b + d

a – d < b – d

i. 2) –h menor que –k; (–h < –k < 0), sumar y restar m.

–h –k

–h + m < –k + m

–h – m < –k – m

Podemos también imaginarnos el crecimiento (c) de árboles y su poda (–c).

80

i. 3) El árbol g es más alto que el m; (g > m > 0), sumar y restar c.

g > m > 0 g + c > m + c g – c > m – c O la magnitud del calado de un buque.

i. 4) El calado del buque v es mayor (es de mayor profundidad) que el del w; (v < w) . Sumar y restar p.

–v < –w < 0 –v + p < –w + p –v – p < –w – p

81

Al sumar o restar cualquier cantidad a los términos de una desigualdad, la desigualdad se conserva y la diferencia entre los términos permane ce igual; o sea, la diferencia en la desigualdad también se conserva.

i. 4. bis).

ii) Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una misma cantidad positiva , la desigualdad se conserva .

Ejemplos: multiplicar y dividir por c a < b , a x c < b x c ; a / c < b / c ac < bc ’’ y x < 6 , x x y < 6 x y ; x / y < 6 / y xy < 6y ’’ 2 w < –3 , w x 2 < –3 x 2 ; w / 2 < –3 / 2 2w < –6 ’’ m 5 < h , 5 x m < h x m ; 5 / m < h / m 5m < hm ’’ 2 8 < k , 8 x 2 < k x 2 ; 8 / 2 < k / 2 16 < 2k 4 < k / 2 ’’ 3 4 < 9 , 4 x 3 < 9 x 3 ; 4 / 3 < 9 / 3 12 < 27 4 / 3 < 3 ’’ 3 –8 < 0 , –8 x 3 < 0 x 3 ; –8 / 3 < 0 / 3

82

–24 < 0 –8 / 3 < 0 Nuevamente sobre el reflejo de la recta numérica.

ii. 1) a menor que b; (0 < a < b).

a b

a x d < b x d

a / d < b / d

ii. 2) –h menor que –k; (–h < –k < 0).

–h –k

–h x m < –k x m

–h / m < –k / m

Al multiplicar o dividir por cualquier cantidad positi va a los términos de una desigualdad , la desigualdad se conserva y la diferencia entre los t érminos se multiplica o divide según corresponda la operación ; o sea , la diferencia en la desigualdad también se multipli ca o se divide .

83

ii. 1. bis).

iii) Si a los dos miembros de una desigualdad se multipl ica o divide por una misma cantidad negativa, la desigualdad se invierte.

Para esta propiedad, veremos primero las interpretaciones gráficas.

iii. 1) a menor que b; (0 < a < b).

a b

a x –d > b x –d

–ad > –bd

a / –d > b / –d

84

–a / d > –b / d iii. 2) –h menor que –k; (–h < –k < 0).

–h –k

–h x –m > –k x –m

hm > km

–h / –m > –k / –m

h / m > k / m

Al multiplicar o dividir por cualquier cantidad neg ativa a los términos de una desigualdad, la desigualdad se conserva y la diferencia entre los t érminos se multiplica o divide, según corresponda la operación aunque esto cambie el sent ido de la desigualdad; o sea, la diferencia en la desigualdad también se multiplica o se divide .

iii. 1. bis).

85

Los ejemplos los desarrollaremos en sentido inverso a los anteriores. Ejemplos: 4 < 9 , 4 x –3 > 9 x –3 ; 4 / –3 > 9 / –3 –12 > –27 –4 / 3 > –3 –8 < 0 , –8 x –3 > 0 x –3 ; –8 / –3 > 0 / –3 24 > 0 –8 / 3 > 0 8 < k , 8 x –2 > k x –2 ; 8 / –2 > k / –2 –16 > –2k –4 > –k / 2 5 < h , 5 x –m > h x –m ; 5 / –m > h / –m –5m > –hm –5 / m > –h / m w < –3 , w x –2 > –3 x –2 ; w / –2 > –3 / –2 –2w > 6 –w / 2 > 3 / 2 x < 6 , x x –y > 6 x –y ; x / –y > 6 / –y –xy > 6y –x / y > –6 / y a < b , a x –c > b x –c ; a / –c > b / –c –ac > –bc –a / c > –b / c Resolvamos algunos ejemplos numéricos, poniendo en práctica el álgebra de las operaciones básicas y las propiedades de las desigualdades analizadas líneas arriba. Ejemplo 6 . ¿Qué valor de x satisface la ecuación?: 2x – 3 > x + 5 sumamos 3 en ambos lados de la desigualdad 2x – 3 + 3 > x + 5 + 3 desarrollamos 2x > x +8 restamos x ’’ 2x – x > x – x +8 desarrollamos x > 8 Ejemplo 7 . Hallar el valor de a que satisface: 5a – 12 > 3a –4 sumamos 12 ’’ 5a – 12 + 12 > 3a –4 + 12 desarrollamos 5a > 3a + 8 restamos 3a ’’ 5a – 3a > 3a – 3a + 8 desarrollamos 2a > 8 dividimos entre 2 ’’ 2a/2 > 8/2 desarrollamos a > 4 .

86

Ejemplo 8 . Hallar el valor de k que satisface: –2k – 3 > 5 sumamos 3 ’’ –2k – 3 + 3 > 7 + 3 desarrollamos –2k > 10 multiplicamos por (–1) ’’ , se invierte la desigualdad –2k(–1) < 10(–1) desarrollamos 2k < –10 dividimos entre 2 ’’ 2k/2 < –10/2 desarrollamos k < –5 .

Otra vía de solución del ejercicio 5 es : –2k – 3 > 7 sumamos 2k y no se invierte la desigualdad –2k + 2k – 3 > 7 + 2k desarrollamos – 3 > 7 + 2k

restamos 7 ’’ – 3 – 7 > 7 – 7 + 2k desarrollamos –10 > 2k dividimos entre 2 ’’ –10/2 > 2k/2 desarrollamos –5 > k . Nota . En esta vía, “le dimos la vuelta ”, en realidad esto nos permite otra forma de acceso a la

multiplicación por (–1), haciendo uso de propiedades algebraicas permitidas. Ejemplo 9 . Hallar el valor de z que satisface: 3(3z + 5) ≤ 10z – 7 desarrollamos 9z + 15 ≤ 10z – 7 restamos 9z ’’ 9z – 9z + 15 ≤ 10z – 9z – 7 desarrollamos ≤ 15 ≤ z – 7 sumamos 7 ’’ 15 + 7 ≤ z – 7 + 7 desarrollamos 22 22 ≤ z . Ejemplo 10 . Hallar el valor de b que satisface: –2 < 3b + 4 ≤ 7 restamos 4 ’’ –2 – 4 < 3b + 4 – 4 ≤ 7 – 4 desarrollamos –6 < 3b ≤ 3 dividimos entre 3 ’’ –6/3 < 3b/3 ≤ 3/3 desarrollamos –2 < b ≤ 1 .

87

Graficamos este resultado. Ejemplo 11 . Hallar el valor de y que satisface: 1 ≤ 2y + 5 ≤ 9 restamos 5 ’’ 1 – 5 ≤ 2y + 5 – 5 ≤ 9 – 5 desarrollamos –4 ≤ 2y ≤ 4 dividimos entre 2 ’’ –4/2 ≤ 2y/2 ≤ 4/2 desarrollamos –2 ≤ y ≤ 2 . Ejemplo 12 . Hallar el valor de c que satisface: –18 < –2c – 7 < 0

sumamos 7 ’’ –18 + 7 < –2c – 7 + 7 < 0 + 7 desarrollamos –11 < –2c < 7

dividimos entre (–2) ’’ , se invierte la desigualdad –11/(–2) > –2c/(–2) > 7/(–2) desarrollamos 11/2 > c > –7/2.

Ejemplo 13 . Hallar el valor de a que satisface: –5 + 2a ≤ a – 3 ≤ –2 + 2a sumamos 3 ’’ –5 + 3 + 2a ≤ a – 3 + 3 ≤ –2 + 3 + 2a desarrollamos –2 + 2a ≤ a ≤ 1 + 2a restamos 2a ’’ –2 + 2a – 2a ≤ a – 2a ≤ 1 + 2a – 2a desarrollamos –2 ≤ – a ≤ 1 multiplicamos por (–1) ’’ , se invierte la desigualdad –2(–1) ≥ –a(–1) ≥ 1(–1)

-1 1 2 3-3 -2

-2 < b

b 1 b 1

0-4

-2 < b 1 -2 < b 1

88

desarrollamos 2 ≥ a ≥ –1.

¿Cómo resolveríamos por la otra vía? –5 + 2a ≤ a – 3 ≤ –2 + 2a sumamos 3 ’’ –5 + 3 + 2a ≤ a – 3 + 3 ≤ –2 + 3 + 2a

desarrollamos –2 + 2a ≤ a ≤ 1 + 2a restamos 2a ’’ –2 + 2a – 2a ≤ a – 2a ≤ 1 + 2a – 2a desarrollamos –2 ≤ – a ≤ 1 partimos la desigualdad en dos desigualdades –2 ≤ – a – a ≤ 1 en ambos lados de las desigualdades sumamos a –2 + a ≤ – a + a – a +a ≤ 1 + a desarrollamos –2 + a ≤ 0 0 ≤ 1 + a sumamos 2 ’’ –2 + 2 + a ≤ 0 + 2 restamos 1 ’’ 0 –1 ≤ 1 –1 + a desarrollamos desarrollamos a ≤ 2 –1 ≤ a y así lucen estos resultados en una sola expresión: –1 ≤ a ≤ 2 Nota . La posibilidad de partir una desigualdad, nos servirá para hacer nuestros procesos de solución más flexibles, además de proporcionarnos otra u otras vías o caminos de acceso a la solución de ejercicios. Ejemplo 14 . Hallar el valor de x que satisface: –5 + 3x ≥ 2x – 3 > 2 + x

tenemos x’s con diferentes coeficientes en todos los términos, entonces partimos la desigualdad en dos desigualdades a) –5 + 3x ≥ 2x – 3

restamos 2x ’’ –5 + 3x – 2x ≥ 2x – 2x – 3 desarrollamos –5 + x ≥ – 3 sumamos 5 ’’ –5 + 5 + x ≥ – 3 + 5

desarrollamos x ≥ 2 b) 2x – 3 > 2 + x

restamos x ’’ 2x – x – 3 > 2 + x – x desarrollamos x – 3 > 2 sumamos 3 ’’ x – 3 + 3 > 2 + 3

desarrollamos x > 5 ¿A partir de qué valor se cumple la doble desiguald ad?, pues los valores para los que se cumplen las dos desigualdades son valores positivos.

89

Si graficamos estos resultados,

vemos que ambos rangos se intersectan a partir del 5 pero ¿ qué sucede al aplicar algún valor entre el 2 y el 5 en la doble desigualdad? Por ejemplo, en 3.

–5 + 3(3) ≥ 2(3) – 3 > 2 + (3) –5 + 9 ≥ 6 – 3 > 2 + 3 4 ≥ 3 > 5 esta segunda parte de la desigualdad NO se cumple.

¿Y qué sucede con 4 y con 5? –5 + 3(4) ≥ 2(4) – 3 > 2 + (4) –5 + 12 ≥ 8 – 3 > 2 + 4 7 ≥ 5 > 6 No se cumple. –5 + 3(5) ≥ 2(5) – 3 > 2 + (5) –5 + 15 ≥ 10 – 3 > 2 + 5 10 ≥ 7 > 7 Tampoco se cumple, pero con este resultado nos damos

cuenta que a partir de valores mayores a 5 se cumplirá la doble desigualdad. Apliquemos en 6 y en 9.

–5 + 3(6) ≥ 2(6) – 3 > 2 + (6) –5 + 18 ≥ 12 – 3 > 2 + 6 13 ≥ 9 > 8 Se cumple . –5 + 3(9) ≥ 2(9) – 3 > 2 + (9) –5 + 27 ≥ 18 – 3 > 2 + 9 22 ≥ 15 > 11 Se cumple .

?

?

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9-3 -2 -1 0

5 < x

2 x

1 2 3 4 5 6 7 8 9-3 -2 -1 0

5 < x

2 x

90

Los valores que cumplen la doble desigualdad son los mayores a 5, entonces el rango de solución es para 5 < x. Ejemplo 15 . Hallar el valor de z que satisface: | z – 5 | < 7

quitamos las || del valor absoluto –7 < z – 5 < 7 sumamos 5 ’’ –7 + 5 < z – 5 + 5 < 7 + 5 desarrollamos –2 < z < 12

Ejemplo 16 . Hallar el valor de a que satisface: | 3a + 2 | < 10

quitamos las || del valor absoluto –10 < 3a + 2 < 10 restamos 2 ’’ –10 –2 < 3a + 2 –2 < 10 –2

desarrollamos –12 < 3a < 8 dividimos entre 3 ’’ –12/3 < 3a/3 < 8/3

desarrollamos –4 < a < 8/3 Ejemplo 17 . Hallar el valor de x que satisface: | x + 4 | > 9 para quitar las || del valor absoluto debemos de partir la doble desigualdad, x + 4 > 9 pero invertimos el sentido de la desigualdad y cambiamos el signo del valor que no está entre | |

x + 4 < –9

En ambos lados de las desigualdades restamos 4 x + 4 – 4 > – 9 – 4 x + 4 – 4 < – 9 – 4 desarrollamos x > 5 x < – 13 La interpretación geométrica de este resultado es el siguiente:

x < –13 5 < x

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1-12 -11 -10 -9 -8 -7 0-14 -13

x < –13 5 < x

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1-12 -11 -10 -9 -8 -7 0-14 -13

91

x + 2 x – 2 Ejemplo 18 . Hallar el valor de x que satisface: x + 8

> x + 3

(x + 2) (x + 3) (x + 8) (x – 2) (x + 8) (x + 3) multiplicamos por (x + 8) y (x + 3) ’’ ;

x + 8 >

x + 3 (x + 2) (x + 3) > (x – 2) (x + 8) x2 + 5x + 6 > x2 + 6x – 16

restamos x2 ’’ x2 – x2 + 5x + 6 > x2 – x2 + 6x – 16 5x + 6 > 6x – 16

restamos 5x ’’ 5x – 5x + 6 > 6x – 5x – 16

6 > x – 16 sumamos 16 ’’ 6 + 16 > x – 16 + 16

22 > x Ejercicio 19 . Grafica sobre una recta numérica los resultados de los ejercicios 3, 4, 5, 6, 8, 9,

10,12, 13 y 15. Dibújalos con base en las gráficas de los ejercicios 11 y 14.

Ejercicios

1. La suma de un entero más tres veces este entero menos 5, está entre 34 y 54. Encuentra todos

los posibles pares de enteros que satisfagan esta expresión. 2. Para obtener una calificación B+ en álgebra, un estudiante debe aprobar un examen con

promedio mínimo de 86% y un máximo de 90%. Sí las calificaciones de sus tres primeros exámenes fueron 85%, 86% y 93%, ¿qué calificación, en su cuarta prueba, le garantizará una B+?

3. De acuerdo al ejercicio anterior, ¿qué calificación en la cuarta prueba le garantizará una B+, si

este examen cuenta el doble que cada uno de los demás? 4. Si x satisface la expresión: 7/4 < x < 9/4, ¿cuáles son los valores posibles para y, si: y = 4x – 8? 5. Durante cierto periodo de tiempo, en la ciudad de Puebla la temperatura en grados Celsius varió

entre 15° y 32°. ¿Cuál fue el intervalo en grados F ahrenheit para este periodo, sabiendo que F° = 9/5 C° + 32?

92

6. Una máquina está programada para producir placas metálicas rectangulares, cuya longitud es dos veces y una mitad mayor que su ancho. Cuando el ancho es igual a 2cm., el diseño de la máquina garantiza que la tolerancia del producto sea de un décimo. Esto es: 19/10 < w < 21/10.

a) ¿cuál es la tolerancia para la longitud? b) encuentra el intervalo de valores de la superficie.

7. En una tienda hay dos empleados de tiempo parcial, a los cuales se les paga en conjunto un total semanal de $150 a $180. Si uno de ellos gana $15 más que el otro, ¿cuáles son los sueldos posibles para cada uno de ellos?

8. Una tienda tiene tres empleados, a los cuales se les paga un total de $210 a $252. Dos de ellos

ganan lo mismo y el tercero gana $12 menos que los otros. Encuentra los sueldos posibles de estos empleados.

9. Un supermercado tiene 20 empleados los cuales ganan un total de $1544 a $1984, semanales.

Doce de ellos ganan $22 más que los otros ocho. Encuentra los sueldos de estos empleados. 10. Un servicio de entregas acepta paquetes sólo si la suma de su longitud y su perímetro

transversal no es mayor que 110 pulgadas. También pide que cada dimensión tenga un mínimo de 2 pulgadas.

a) si la longitud es igual a 42 pulgadas, ¿cuáles son los valores permitidos para el perímetro? b) si la longitud es igual a 42 pulgadas y el ancho es de 18 pulgadas, ¿cuáles son los valores

permitidos para la altura? Desigualdades lineales en un Plano Cartesiano . Una desigualdad lineal en “x - y”, la conforman todas las parejas ordenadas (x, y) que cumplen con dicha desigualdad. Graficando estas desigualdades en el Plano Cartesiano, descubrimos la región del plano y las parejas ordenadas que cumple la desigualdad. < ≤ Las desigualdades lineales son de la forma: Ax + By = > ≥

C ; la igualdad aunque no sea una desigualdad, su nombre lo indica, nos será de gran utilidad.

en donde A, B y C son números racionales. Nota . Si A o B son 0 (cero), entonces la desigualdad se considera sobre la recta numérica.

93

Ejemplo 20 . Hallar las parejas ordenadas que satisfacen: 3x – 2y < 2 La búsqueda del conjunto de las parejas ordenadas que cumplen con la desigualdad, se facilitará si tomando los coeficientes y las variables de la desigualdad tal y como se expresan y construimos y graficamos la recta correspondiente, esto es: Graficamos la ecuación 3x – 2y = 2. Nótese que difiere de la desigualdad sólo en el signo (razón obvia). Y obtenemos el siguiente dibujo:

Esta recta, nos divide el plano en dos regiones; una es la que se desarrolla hacia esquina superior izquierda y la otra hacia la esquina inferior derecha. ¿Cuál de estas dos, será la que cumple con la desigualdad? Calculemos la expresión de la desigualdad en una pareja que no se encuentre sobre la recta, por ejemplo, el origen, así sabremos a qué región pertenece y por tanto cuál es la región que cumple con la desigualdad.

3x – 2y < 2 , sustituyendo 3(0) – 2(0) = 0 < 2 , el origen es una pareja ordenada

que cumple con la desigualdad.

0 Eje X

Eje Y

3x – 2y = 2

0 Eje X

Eje Y

3x – 2y = 2

94

Las parejas ordenadas que cumplen con la desigualdad son aquellas que se encuentran en la misma región en que se encuentra el origen. Si sombreamos esa región, nuestro dibujo toma la forma siguiente: Recordemos que la desigualdad es estricta, por lo que los puntos de la recta no pertenecen al conjunto de parejas ordenadas que cumplen con la desigualdad, y por lo tanto a la región por ella definida (aquí en color morado). Ejemplo 21 . Hallar las parejas

ordenadas que satisfacen:

2x + y ≥ 0 Graficando la recta 2x + y = 0, obtenemos el siguiente dibujo: Calculamos la desigualdad en el punto (1, 1), 2x + y ≥ 0, sustituyendo 2(1) + (1) = 2 + 1 = 3 ≥ 0.

00

2x + y = 0

Eje X

Eje Y

3x –

2y =

2

Eje X

Eje Y

0

3x –

2y <

2

3x –

2y =

2

Eje X

Eje Y

0

3x –

2y <

2

95

Como el punto (1,1) cumple con la desigualdad, pertenece a los puntos de la región de los que cumplen con ella (región verde). La desigualdad no es estricta, por lo que los puntos de la recta sí pertenecen al conjunto de parejas ordenada que satisfacen la desigualdad. Ejemplo 22 . Hallar las parejas ordenadas que satisfacen: (1) x + y ≤ 1 (2) 2x – y > 2 Esta es la gráfica de las rectas: (1’) x + y = 1 y (2’) 2x – y = 2. Calculemos ambas ecuaciones con los valores del origen. (1) x + y = (0) + (0) = 0 ≤ 1 (2) 2x – y = 2(0) – (0) = 0 > 2

00 Eje X

Eje Y

2x + y = 0

2x + y 0

2x + y 0

00 Eje X

Eje Y

x + y = 1

2x – y = 2

96

Estas son las regiones correspondientes de los puntos que cumplen con las desigualdades: De manera que la región que satisface las dos desigualdades simultáneamente, es la región de intersección de las regiones de cada una de las desigualdades.

00 Eje X

Eje Y

x + y 1

x + y 1

00 Eje X

Eje Y

2x –

y >

2

00 Eje X

Eje Y 2x

–y

>2

x + y 1

x + y 1

2x – y > 2

x + y 1 x + y 1

97

Ejercicios

1. Grafica las siguientes desigualdades en el Plano Cartesiano: a) 2x + 3y > 6 b) x + y ≤ 4 c) –2 < x ≤ 3

d) –1 ≥ y ó 2 < y

e)

3x – 5y < 6

f)

2y – x ≥ 3

g)

y + 4x > –1

h)

4x ≤ 7y

i)

2 > y > 9

2. Grafica y encuentra la región las siguientes desigualdades en el Plano: a) 3x – y > 2 b) x – y ≥ 2 c) 3x + 2y > 6 2x + y < 3 2x – y ≤ 1 x + 3y ≤ 2 d) x + y < 2 e) 3x + y ≤ 1 f) 2y + x < 3 x + y ≤ 1 –x + 2y ≥ 1 4y + 2x < 8 g) 2x – y > 4 h) x + y ≤ 4 i) 3x + 4y ≤ 24 y ≤ 0 2x + y ≤ 6 x + 2y ≤ 10 x ≤ 0

98

Cuadrado

7cm

7cm

Matemáticas 3

2: Ecuación y Función Cuadrática

2. 1: Concepto de ecuación cuadrática

Objetivo: El estudiante podrá construir ecuaciones cuadráticas como modelo de ejercicios. Presentación La expresión cuadrática más sencilla que conocemos es la “fórmula para encontrar la superficie de un cuadrado ”, o deberíamos decir de manera correcta: la superficie de un rectángulo con lados de igual medida, porque decir: cuadrilátero de ángulos rectos y lados de igual medida, sería acaso más ingenioso. La aplicación de esa fórmula es así: Se nos da la medida del lado y lo que hacemos es multiplicar esa medida por sí misma. Ejemplo 1 . ¿Cuál es la superficie de un rectángulo con lados de igual medida si esos lados miden 7cm? Superficie del rectángulo con lados de igual medida = lado2 , entonces sustituimos (7cm)2 = (7cm)(7cm) = = 49cm2.

Superficie

llll 2

llll

llll

Superficie π π π π r 2

r

d ( t ) = ½ g t 2 + A

A

1 X 64

8 X 8

Superficie

llll 2

llll

llll Superficie

llll 2

llll

llll

Superficie π π π π r 2

r

d ( t ) = ½ g t 2 + A

A

1 X 64

8 X 8

1 X 64

8 X 8

99

Ejemplo 2 . De una de estas figuras cuyos lados miden 4m., encuentra su perímetro. ¿Su perímetro? Sí. ¿Esperabas que pidiera la superficie? Bueno, también lo haré pero primero encuentra el perímetro. Perímetro de esas figuras = 4 x lado , sustituyendo, 4 x lado = 4 x 4m = 16m Y ahora sí, cuál es la superficie de tal figura geométrica: Superficie de la figura del ejercicio 2 = (4m)2 = (4m) (4m) = 16m2 . El que en el ejercicio 2 se pidiera primero el perímetro fue para comparar sus unidades resultantes con las unidades resultantes al obtener la superficie. Para obtener el perímetro, se multiplicó la medida de uno de sus lados por el número de lados que tiene la figura. Fijémonos que de estas dos expresiones sólo la medida del lado tiene unidades, la otra, es el número de veces que habrá de tomarse para obtener el perímetro y éste fue de 16m, sólo m, esto es, metros lineales, metros en una sola dimensión. En el caso de la superficie se multiplicó la medida de uno de sus lados por la medida de otro de sus lados (perpendiculares entre sí) y aquí, las dos medidas tiene unidades y la obtención de la superficie dio por resultado 16m2, metros cuadrados, metros en dos dimensiones. Nota . De la figura geométrica construida como cuadrilátero de ángulos rectos y lados de igual medida, se obtiene la superficie multiplicando la medida de uno de sus lados por otro que sea perpendicular a éste. Considerando la operación aritmética, sería multiplicar la medida de uno de sus lados por sí misma, o dicho de otra forma, elevar al “cuadrado ” la medida de uno de sus lados. A esa figura geométrica se le llama comúnmente “cuadrado ”. De manera que la figura y la búsqueda de su superficie tienen el mismo nombre “cuadrado ”. Investiga sobre este pequeño asunto en algún libro que ofrezca uno o varios temas sobre números figurados. Ejemplo 3 . Ahora se nos plantea la operación contraria o sea, encontrar la medida del lado de un “cuadrado” que tiene por superficie 64cm2. Este es el dibujo del ejercicio.

Debemos encontrar una medida que multiplicada por sí misma o elevada al “cuadrado” nos dé 64cm2. Las unidades son cm. ¿Cómo encontramos el número que al “cuadrado” es 64? A ese número se le llamará “la raíz cuadrada de 64”.

Los babilonios inventaron un método que, dado un número, encontrara otro que elevado al cuadrado (o sea, su raíz cuadrada) diera como resultado ese número dado. He aquí el método babilónico.

64cm2

100

Paso 1. Dividir el 64 por mitad.

64 2 + 32 34 2

= 32 , promediar el 2 y el 32 2

= 2

= 17

Paso 2. Dividir el 64 entre el promedio (17).

64 17 + 3.76 20.76 17

= 3.76 , promediar el 17 y el 3.76 2

= 2

= 10.38

Repitiendo estas operaciones hasta que el promedio y la división del 64 entre ese promedio sean iguales, ese número será la raíz cuadrada del 64. Paso 3. Dividir el 64 entre el nuevo promedio.

64 10.38 + 6.16 16.54 10.38

= 6.16 , promediar el 10.38 y el 6.16 2

= 2

= 8.27

Paso 4. Dividir el 64 entre el nuevo promedio.

64 8.27 + 7.73 16.00 8.27

= 7.73 , promediar el 8.27 y el 7.73 2

= 2

= 8

Paso 5. Dividir el 64 entre el nuevo promedio.

64 8

= 8 , son iguales el promedio y la división del 64 entre el promedio.

Una representación geométrica es la siguiente:

1 x 64 2 x 32

3.76 x 17

6.16 x 10.38

7.73 x 8.27

8 x 8

Respuesta: La raíz cuadrada de 64 es 8.

101

Ejemplo 4 . Encontrar la medida del lado de un “cuadrado” que tiene por superficie 169cm2. Paso 1. Dividir el 169 por mitad.

169 2 + 84.5 86.5 2

= 84.5 , promediar 2 y 84.5 2

= 2

= 43.25

Paso 2 y subsecuentes.

169 43.25 + 3.9 47.15 43.25

= 3.9 , promediar 43.25 y 3.9 2

= 2

= 23.57

169 23.57 + 7.17 30.74

23.57 = 7.17 , promediar 23.57 y 7.17

2 =

2 = 15.37

169 15.37 + 10.99 26.36 15.37

= 10.99 , promediar 15.37 y 10.99 2

= 2

= 13.18

169 13.18 + 12.82 26.00

13.18 = 12.82 , promediar 13.18 y 12.82

2 =

2 = 13

169 13

= 13 , son iguales el promedio y la división del 169 entre el promedio.

Aquí su representación geométrica:

1 x 169

2 x 84.5

3.9 x 43.25

7.17 x 23.57

10.99 x 15.37

12.82 x 13.18

13 x 13

Respuesta: la raíz cuadrada de 169 es 13. Otra expresión en la que aparece un asunto cuadrático, es la “fórmula para encontrar la superficie de un círculo ”. La aplicación de la fórmula es así: Si se nos da la medida del radio, aplicamos la fórmula de manera directa; si la medida del diámetro, obtenemos el radio y aplicamos la fórmula; si la medida del perímetro, despejamos y obtenemos el radio y aplicamos la fórmula.

102

Ejemplo 5 . ¿Cuál es la superficie de un círculo con radio igual a 5cm? Superficie del círculo = πr2 , sustituimos = π(5cm)2 = = π(5cm)(5cm) = = π25cm2 = = 3.1416 x 25cm2 = = 78.54cm2 .

Ejercicios

1. La superficie de un cuadrado mide 225m2, encuentra la medida de su lado. 2. El triple de la superficie de un cuadrado mide 588m2, cuál es la medida de su lado. 3. Si el diámetro de la pista de un circo mide 14m, encuentra su superficie, perímetro y radio. 4. Si el perímetro de un círculo es 33cm, encuentra su superficie, diámetro y radio. 5. Si la superficie de un círculo es 453cm2, encuentra su perímetro, diámetro y radio. Ejemplo 6 . ¿Cuáles son las medidas del radio, el diámetro y el perímetro de un círculo cuya superficie es 254.5cm2?

Superficie del círculo = πr2 = 254.5cm2

dividiendo entre π = 254.5cm2 / π = = 254.5cm2 / 3.1416 =

r2 = 81cm2 =

raíz cuadrada de 81 y de cm2 = 9cm.

Respuesta: radio = 9cm

diámetro = 2r = 2 x 9cm = 18cm perímetro = πd = 3.1416 x 18cm = 56.55cm

254.5cm 2

ππππr2

103

Ejemplo 7 . ¿Cuál es la medida de la diagonal del rectángulo que tiene de altura 3m y de base 4m? Como la base, la altura y la diagonal que las une, forman un triángulo rectángulo recurrimos al Teorema de Pitágoras . (base)2 + (altura)2 = (diagonal)2 sustituimos, (4m)2 + (3m)2 = (diagonal)2 (4m)(4m) + (3m)(3m) = diagonal2 16m2 + 9m2 = diagonal2 25m2 = diagonal2 extraemos raíz cuadrada en ambos términos, 5m = diagonal. Siguiendo con los rectángulos.

Ejemplo 8 . ¿Cuál es el valor de x en el rectángulo que tiene 8m de altura y 15m de base? También aquí, tenemos un triángulo rectángulo, entonces recurrimos al Teorema de Pitágoras .

(base)2 + (altura)2 = (diagonal)2 omitimos las unidades sustituimos, (15)2 + (8)2 = (2x)2 (15)(15) + (8)(8) = (2x)(2x) 225 + 64 = 4x2 289 = 4x2 extraemos raíz cuadrada en ambos términos, 17 = 2x 17/2 = x 8.5 = x

4m

3m

¿ . . . m?

15m

8m

2x

104

Ejemplo 9 . ¿Cuál es el valor de h en el rectángulo que tiene 26m de diagonal y 24m de base?

Tenemos un triángulo rectángulo, recurramos al Teorema de Pitágoras .

(base)2 + (altura)2 = (diagonal)2 sustituimos, (24m)2 + (h)2 = (26)2 (24m)(24m) + h2 = (26m)(26m) 576m2 + h2 = 676m2 h2 = 676m2 – 576m2 h2 = 100m2 extraemos raíz cuadrada en ambos términos, h = 10m . Ejemplo 10 . ¿Cuál es la razón, en valor numérico, de la base entre la altura del rectángulo si sabemos que se cumple la siguiente proporción? La base es a la altura como la altura es a la diferencia de la base y la altura. Esto es: base altura altura

= base – altura

b a a

= b – a

haciendo de la base nuestra unidad de medida y considerando la proporción para φ, rescribimos

1 φ φ

= 1 – φ

; 1 x (1 – φ) = φ x φ

1 – φ = φ2 y tenemos la ecuación φ2 + φ – 1 = 0 ¿Cómo resolver esta ecuación?

a

b

24m

h

26m

105

Ejemplo 11 . ¿Cuáles son las medidas de la base y la altura del rectángulo que tiene superficie 40m2, sabiendo que la base excede en 3m a la altura?

Superficie = 40m2

(x)(x + 3) = 40

x2 + 3x = 40

x2 + 3x – 40 = 0, ¿y cómo resolver esta otra? Galileo Galilei e Isaac Newton descubrieron, por método experimental y matemático respectivamente, que un cuerpo al ser soltado desde una altura A experimenta un cambio en su posición de acuerdo a la siguiente expresión: d ( t ) = ½ g t2 + A Ejemplo 12 . Si la altura de un edificio, desde el que se suelta un objeto (una esfera verde), es de 100m. ¿En cuánto tiempo el objeto hará contacto con el suelo? Tenemos la altura del edificio desde donde se dejará caer el objeto y sabemos que la aceleración de la gravedad es de –9.8m/seg2. Entonces tabulemos la ecuación: tiempo ecuación distancia (seg.) ½ g t2 + A d(t) recorrida

0 ½ (–9.8m/seg2)(0seg)2 + 100m = 0m + 100m = 100m

1 ½ (–9.8m/seg2)(1seg)2 + 100m = –4.9m + 100m = 95.1m 4.90m

2 ½ (–9.8m/seg2)(2seg)2 + 100m = –19.6m + 100m = 80.4m 14.70m

3 ½ (–9.8m/seg2)(3seg)2 + 100m = –44.1m + 100m = 55.9m 24.50m

4 ½ (–9.8m/seg2)(4seg)2 + 100m = –78.4m + 100m = 21.6m 34.30m

5 ½ (–9.8m/seg2)(5seg)2 + 100m = –122.5m + 100m = –22.5m 44.10m Respuesta: el objeto hace contacto con el suelo des pués de los 4 segundos y antes de los 5.

x + 3

x

106

Una representación gráfica de la ecuación tabulada, sería ésta: Analizando la tabla y la gráfica de la ecuación, observamos lo siguiente: 1. Conforme transcurre el tiempo, propuesto aquí en segundos, la distancia que recorre el objeto

entre un segundo y otro es cada vez mayor. 2. Entre el segundo 4 y el 5, habría de recorrer 44.10m. Aunque esto no es posible porque el

subsuelo no permite que el objeto siga su “caída libre”. 3. La posición del objeto depende entonces del tiempo transcurrido. 4. La pregunta que habíamos planteado. ¿En cuánto tiempo, el objeto, hará contacto con el suelo?,

¿cómo la resolveríamos?

seg 0; 100m

seg 4; 21.6m

seg 3; 55.9m

seg 2; 80.4m

seg 1; 95.1m

seg 5; –22.5m

Torre

Inclinada

107

El objeto llegará al suelo cuando d (t) = 0, entonces la ecuación por resolver es:

–½ ( 9. 8) t2 + 100 = 0 – 4.9 t2 + 100 = 0 4.9 t2 = 100 t2 = 100/4.9 t2 = 20.41 t = 20.41

t = 4.517 Respuesta: el objeto hace contacto con el suelo en 4.517 segundos. Los ejemplos 10 y 11; 10) φ2 + φ – 1 = 0 11) x2 + 3x – 40 = 0 , nos arrojaron ecuaciones cuadráticas que resolveremos haciendo uso de un resultado de los productos notables.

Nos referimos al cuadrado de un binomio. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,

a la expresión a la derecha del signo igual, se le llama trinomio cuadrado perfecto. Analicemos cómo está compuesta la expresión completa.

primera parte: (a + b)2 a = primer término del binomio

b = segundo término del binomio

segunda parte: a2 + 2ab + b2 a2 = primer término del trinomio = al cuadrado del primer término del

binomio 2ab = segundo término del trinomio = el doble producto del primero por

el segundo términos del binomio b2 = tercer término del trinomio = al cuadrado del segundo término del

binomio.

108

Apliquemos esto, primero a la ecuación del ejemplo 11 . x2 + 3x – 40 = 0 como 40 no es el cuadrado de número racional, entonces

añadimos 40 en ambos lados de la igualdad x2 + 3x = 40 en esta expresión tenemos: x2 = a2 3x = 2ab no tenemos b2 pero vamos desarrollando y sustituyendo; de x2 = a2 ; x = a 3x = 2xb 3 = 2b 3/2 = b Y tenemos nuestro binomio completo, veamos: (x + 3/2)2 = al cuadrado del primer término x2 + el doble producto del primero por el segundo 2(3/2)x = 3x + el cuadrado del segundo término (3/2)2 = 9/4 En nuestra ecuación, el 40 no equivale al cuadrado de 3/2, entonces hacemos lo siguiente: x2 + 3x = 40 añadimos también, 9/4 en ambos lados de la igualdad x2 + 3x + 9/4 = 40 + 9/4 con lo que, la primera parte de la igualdad resulta en un

trinomio cuadrado perfecto (x + 3/2)2 = 169/4 extraemos ahora, raíz cuadrada en ambos lados x + 3/2 = 13/2 y desarrollamos x = 13/2 – 3/2 x = 10/2 x = 5 medida de la altura. Y nuestra respuesta al ejemplo 11 es la siguiente: la base mide 8m. y la altura 5m.

109

La ecuación construida en el ejemplo 10 , cuenta con las mismas características que la del ejercicio 10 , entonces procedamos por el mismo camino para resolverla. φ2 + φ – 1 = 0 φ2 + φ = 1 identificamos: φ2 = a2 φ = 2ab no tenemos b2 desarrollando y sustituyendo; de φ2 = a2 ; φ = a φ = 2φb 1 = 2b 1/2 = b φ2 + φ = 1 añadimos 1/4 en ambos lados de la igualdad φ2 + φ + 1/4 = 1 + 1/4 y así, la primera parte de la igualdad resulta en un trinomio

cuadrado perfecto (φ + 1/2)2 = 5/4 extraemos raíz cuadrada en ambos lados φ + 1/2 = 5 /2 y desarrollamos φ = 5 /2 – 1/2 φ = ( 5 –1 )/2 φ = (2.236 – 1)/2 φ = 1.236/2 φ = 0.618 razón de la altura a la base. Y la respuesta al ejemplo 10 es: la altura es 0.618 de la base. La proporción que se menciona en el ejercicio 10 también se expresa como: dados dos segmentos de distinta longitud, si el segmento mayor es al me nor como el menor es a la diferencia de ellos , entonces se dice que los segmentos están en “ Proporción Áurea ” . Los griegos descubrieron que esta proporción se cumple en un sinnúmero de elementos de la naturaleza. Tal vez fue fijándose en la estructura de todos esos elementos y concibiendo su reproducción a través de un modelo como construyeron la proporción áurea. De las ecuaciones cuadráticas construidas en los ejercicios anteriores, algunas no tuvieron término lineal de la incógnita, pero algunas otras si contaron con todos los términos que corresponden a una ecuación cuadrática completa. Presentaron la forma: ax2 + bx + c = 0 .

110

Haciendo un cuadro comparativo entre las ecuaciones que hemos construido para resolver los ejercicios y la ecuación cuadrática completa que presentamos renglones arriba, obtenemos lo siguiente: Ecuación a x2 + b x + c = 0 Ejemplo unidades2 unidades 1. 1 lado2 – 49 = 0 2. 1 lado2 – 16 = 0 3. 1 lado2 – 64 = 0 4. 1 lado2 – 169 = 0 5. π r2 – 78.54 = 0 6. π r2 – 254.5 = 0 7. 1 diag2 – 25 = 0 8. 4 x2 – 289 = 0 9. 1 h2 – 10 = 0 10. 1 φ2 + 1 φ – 1 = 0 11. 1 x2 + 3 x – 40 = 0 12. ½ g t2 + 100 = 0

Ejercicios 1. Encontrar la superficie y el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 31m. 2. Encontrar la superficie y el perímetro de un cuadrado cuyas diagonales miden 50m. 3. Si la superficie de un círculo mide 345m2, encuentra su radio, diámetro y perímetro. 4. Si la superficie de un círculo es 563cm2, encuentra su radio, diámetro y perímetro. 5. Un cubo tiene como medida de sus aristas 7cm. Encontrar la longitud total de sus aristas, la

superficie total de sus caras y su volumen (esta última medida no es cuadrática pero es de fácil acceso).

111

Matemáticas 3

2: Ecuaciones y Funciones Cuadráticas

2. 2: Análisis gráfico de la ecuación y la función cuadrática

Objetivo: El estudiante aprenderá a construir y graficar funciones cuadráticas y a resolver cualquier ecuación que provenga de estas funciones. Presentación Tenemos los siguientes ejercicios como resultado del desarrollo del tema anterior, cuyo planteamiento para solución, nos presenta ejemplos de ecuaciones cuadráticas: 1. ¿Cuál es la superficie de un rectángulo de lados iguales con medida 7cm?

R: Superficie = Lado2 = (7cm)2 = (7cm)(7cm) = 49cm2. 2. ¿Cuál es la superficie de un rectángulo de lados iguales con medida 4m?

R: Superficie = Lado2 = (4m)2 = (4m)(4m) = 16m2. 3. ¿Qué número elevado al “cuadrado” es 64?

n = 64 = 8. R: n = 8. 4. Hallar el lado de un “cuadrado” que tiene por superficie 169cm2.

Lado = 169cm2 . R: lado = 13cm. 5. ¿Cuál es la superficie de un círculo con radio igual a 5cm?

πr2 = 78.54cm2. R: Superficie = πr2 = 78.54cm2. 6. Cuáles son las medidas del radio, el diámetro y el perímetro de un círculo cuya superficie es

254.5cm2.

Y

X

x y = ax + c

-102

a(-1) + c

Y

X

Y

X

x y = ax + c

-102

a(-1) + c

O X

Y

y = x2 + 1x

-4-20

35

155. . .

O X

Y

O X

Y

O X

Y

y = x2 + 1x

-4-20

35

155. . .

y = x2 + 1x

-4-20

35

155. . .

112

radio2 = superficie / π = 254.5cm2 / π = 81cm2. diámetro = 2 x radio = 2 x 9cm = 18cm. perímetro = πd = 3.1416 x 18cm = 56.55cm. R: radio = 9cm, diámetro = 18cm, perímetro = 56.55cm.

7. Cuál es la medida de la diagonal del rectángulo que tiene de altura 3m y de base 4m.

d2 = altura2 + base2 = (3m)2 + (4m)2 = 9m2 + 16m2 = 25m2. d = 25m2 . R: diagonal = 5m.

8. Cuál es el valor de la diagonal en el rectángulo que tiene 8m de altura y 15m de base.

d2 = altura2 + base2 = (8m)2 + (15m)2 = 64m2 + 225m2 = 289m2.

diagonal = 289m2 . R: diagonal = 17m. 9. Cuál es el valor de h en el rectángulo que tiene 26m de diagonal y 24m de base.

altura2 = diagonal2 – base2 = (26m)2 – (24m)2 = 676m2 – 576m2 = 100m2. altura = 100m2 . R: altura = 10m.

10. Si un rectángulo tiene de base 1 unidad y la proporción entre su base y su altura está dada por la

expresión: φ2 + φ – 1 = 0; en donde φ representa la altura. ¿Cuál es la medida de su altura? Ecuación: φ2 + φ – 1 = 0 , φ2 + φ = 1 añadimos 1/4 en ambos lados φ2 + φ + 1/4 = 1 + 1/4 (φ + 1/2)2 = 1 + 1/4 = 4/4 + 1/4 = 5/4 extraemos raíz; ambos lados (φ + 1/2)2 = 5/4 φ + 1/2 = 5/4 ; 5/4 = 5 / 4 = = 5 /2 = 2.236/2 2.236/2 – 1/2 = = (2.236 – 1)/2 = = 1.236/2 φ = 0.618

R: altura = 0.618u.

113

11. Cuáles son las medidas de la base y la altura del rectángulo que tiene superficie 40m2, sabiendo que la base excede en 3m a la altura? (prescindiremos de las unidades m2)

Superficie = a x (a + 3) = 40 , a2 + 3a = 40 añadimos 9/4 en ambos lados a2 + 3a + 9/4 = 40 + 9/4 (a + 3/2)2 = 40 + 9/4 = 160/4 + 9/4 = 169/4 extraemos raíz; ambos lados (a + 3/2)2 = 169/4 a + 3/2 = 13/2 ; 13/2 – 3/2 = 10/2 a = 5.

R: Las medidas son: base 8m y altura 5m.

12. Si la altura de un edificio, desde el que se suelta un objeto, es de 100m. ¿En cuánto tiempo, el objeto, hará contacto con el suelo?

La expresión que nos describe el cambio de posición de un cuerpo al ser soltado desde una altura de 100m es la siguiente:

d ( t ) = ½ g t2 + 100 ,

en donde d es la altura a la que el objeto se encuentra del suelo y ésta depende del tiempo transcurrido desde el momento en que se soltó el objeto. Sabemos que la aceleración de la gravedad es de –9.8m/seg2. Entonces la expresión del cambio de posición (o cambio de altura) del objeto es la siguiente:

altura = –½ ( 9. 8) t2 + 100 = 0 – 4.9 t2 + 100 = 0 4.9 t2 = 100 t2 = 100/4.9 t2 = 20.41 t = 20.41

t = 4.517

R: El objeto hace contacto con el suelo en 4.517 segundos. Si nos fijamos en el tipo de ecuación de los ejemplos 1 y 2, en los que se trata de encontrar la medida de la superficie de un cuadrado, dada la medida de la longitud de sus lados, el proceso que se realiza es el mismo, esto es:

114

Medida de sus lados Operación Área Método

7cm (7cm) (7cm) 49cm2 Lado2 4m (4m) (4m) 16m2 Lado2

Nos damos cuenta que el método para encontrar la respuesta es uniforme, pues basta con saber cuál es la medida de los lados del cuadrado para obtener su área. Tenemos entonces que el área de un cuadrado está en relación directa con la medida de la longitud de sus lados. Relación que podemos expresar como:

Área = lado2. Y esta relación la podemos tabular y graficar en el plano cartesiano.

Esta es una forma: consideremos la longitud de los lados del cuadrado como x, y su área como y:

Tabulación

Lado = x Área = y = x2

1 12 = 1 2 22 = 4 Gráfica 3 32 = 9 4 42 = 16 5 52 = 25 6 62 = 36 7 72 = 49 8 82 = 81

Ahora, nos fijamos en el tipo de ecuación de los ejemplos 3 y 4. En el ejemplo 3 se busca la raíz cuadrada de un número y en el 4, se trata de encontrar la medida de la longitud de los lados de un cuadrado dada la medida de su superficie, o sea la raíz cuadrada del valor del área del cuadrado. Haciendo un cuadro, tenemos:

Número / Área Operación Raíz cuadrada Método

64 64 8 numero

Eje X

Eje Y

1 2 3 4 5 6 7 8

1

4

9

16

O

115

169cm 169 13m área

En estos ejemplos, también el método para encontrar el resultado es uniforme, basta con saber cuál es el área para obtener, según el caso, la raíz cuadrada o la medida de sus lados. Tenemos entonces que la medida de la longitud de los lados de un cuadrado, está en relación directa con su área. Relación que expresamos de la siguiente manera:

Lado = Área . Y esta relación la tabulamos y graficamos en el plano cartesiano.

Esta es una forma: consideremos el área del cuadrado como x, y la longitud de sus lados como y:

Tabulación

Área = x Lado = y = x = x1/2

1 11/2 = 1 Gráfica 2 21/2 = 1.414 3 31/2 = 1.732 4 41/2 = 2 5 51/2 = 2.236 6 61/2 = 2.449 7 71/2 = 2.646 8 81/2 = 2.828 9 91/2 = 3

Nota . Recordemos que al extraer la raíz cuadrada de un número que debe ser positivo, exhibíamos dos números como las raíces del número original, dicho de otra forma, exhibíamos dos números como las raíces del número aquel del que se nos había pedido extraer la raíz cuadrada. De estas dos raíces una era positiva y la otra negativa. Ejemplos:

O

Eje Y

Eje X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1

2

3

4

116

42 = 4 x 4 = 16 ; (–4)2 = (–4) (–4) = 16 112 = 11 x 11 = 121 ; (–11)2 = (–11) (–11) = 121 a2 = a x a = a2 ; (–a)2 = (–a) (–a) = a2 72 = 7 x 7 = 49 ; (–7)2 = (–7) (–7) = 49 (1/2)2 = (1/2) x (1/2) = 1/4 ; (–1/2)2 = (–1/2) (–1/2) = 1/4 (xy)2 = (xy) x (xy) = x2y2 ; (–xy)2 = (–xy) (–xy) = x2y2 Tomando en cuenta el que todo número positivo tiene dos raíces, una positiva y otra negativa, la tabulación y la gráfica de las raíces cuadradas de los números positivos toman la siguiente forma: Tabulación

Número Positivo

Raíz Positiva

Raíz Negativa

o ambas raíces entre llaves

1 11/2 = 1 11/2 = –1 11/2 = { 1, –1} 2 21/2 = 1.414 21/2 = –1.414 21/2 = { 1.414, –1.414} 3 31/2 = 1.732 31/2 = –1.732 31/2 = { 1.732, –1.732} 4 41/2 = 2 41/2 = –2 41/2 = { 2, –2} 5 51/2 = 2.236 51/2 = –2.236 51/2 = { 2.236, –2.236} 6 61/2 = 2.449 61/2 = –2.449 61/2 = { 2.449, –2.449} 7 71/2 = 2.646 71/2 = –2.646 71/2 = { 2.646, –2.646} 8 81/2 = 2.828 81/2 = –2.828 81/2 = { 2.828, –2.828} 9 91/2 = 3 91/2 = –3 91/2 = { 3, –3}

Gráfica Si bien, todo número positivo tiene dos raíces, una positiva y otra negativa, en la búsqueda de la longitud de los lados de un cuadrado, la medida no tiene sentido si proponemos una longitud negativa, por ejemplo: la longitud del lado de un cuadrado que tiene 25m2 de superficie, es –5m ¿Qué quiere decir esto?

O

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

Eje Y

Eje X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

117

En matemáticas, es importante la consideración de las raíces tanto positivas como negativas. Se hace significativo en el desarrollo de los procesos para encontrar elementos de solución de las ecuaciones y funciones cuadráticas. Por cierto, si el cuadrado de cualquier número racional, sea positivo o negativo, es siempre un valor positivo, podemos completar la tabla y la gráfica de la relación de los ejemplos 1 y 2; éstas son las exposiciones correspondientes: Tabulación

Número Positivo

Cuadrado de Número Positivo

1 12 = 1 x 1 = 1 2 22 = 2 x 2 = 4 3 32 = 3 x 3 = 9 4 42 = 4 x 4 = 16 5 52 = 5 x 5 = 25 6 62 = 6 x 6 = 36 7 72 = 7 x 7 = 49 8 82 = 8 x 8 = 64 9 92 = 9 x 9 = 81

Número Negativo

Cuadrado de Número Negativo

–1 (–1)2 = (–1) x (–1) = 1 –2 (–2)2 = (–2) x (–2) = 4 –3 (–3)2 = (–3) x (–3) = 9 –4 (–4)2 = (–4) x (–4) = 16 –5 (–5)2 = (–5) x (–5) = 25 –6 (–6)2 = (–6) x (–6) = 36 –7 (–7)2 = (–7) x (–7) = 49 –8 (–8)2 = (–8) x (–8) = 64 –9 (–9)2 = (–9) x (–9) = 81

A estas dos relaciones, la que a todo número le asocia su cuadrado y la que a todo número positivo le asocia sus dos raíces, se les llama funciones. Una función es:

• Una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. • Una receta que asocia elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto.

Las funciones que se estudian en matemáticas, son aquellas que dados dos conjuntos:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

O Eje X

Eje Y

4

1

9

16

118

• Relacionan cada elemento de un conjunto con un elemento del otro, y las que • Relacionan varios elementos de un conjunto con un elemento del otro.

Y se denotan de la siguiente manera:

f(x) = y , en donde, con respecto al plano cartesiano, x es un elemento de X y y lo es de Y.

Para representar la gráfica de la función f(x) consideramos (x, f(x)) – o (x, y), ya que estamos identificando a y = f(x) – como el par ordenado que forman, como primer elemento el valor x sobre el Eje X y como segundo elemento el valor f(x) [o y] sobre el Eje Y que la función le asocia al valor x. Examinemos bajo estos conceptos el ejemplo 13 . Encontrar la superficie del “cuadrado” que tiene como medida de sus lados 4mm. ¿Cómo identificamos la función y cómo la ecuación?

La función es: f(x) = y y la ecuación: f(4) = y Los pares ordenados son: (x, f(x)) (4, f(4)) = (4, 42) = (4, 16)

Las gráficas: (x, x2) (4, 16)

Eje X

Eje Y

4

16

O

Eje Y

Ox

f(x) = x2

119

Dados dos conjuntos, una regla de correspondencia entre ellos y considerando que el producto de tal aplicación arroja parejas ordenadas en donde el primer elemento es aquel sobre el que se aplica la regla y el segundo, es el resultado de la aplicación de la regla al primer elemento de la pareja, tenemos las siguientes observaciones: • La función es la regla de correspondencia general, aplicada en todos los elementos de uno de los

dos conjuntos y

• La ecuación es la regla de correspondencia particular, aplicada en un solo elemento de uno de los conjuntos.

Examinemos ahora el ejemplo 14 , que dice: ¿cuál es la superficie de un círculo con radio igual a 2cm? (la misma estructura del ejemplo 5) La función y la ecuación son:

Función Ecuación

Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Radio del círculo

Superficie del círculo

Parejas ordenadas

Radio del círculo

Superficie del círculo

Pareja ordenada

x y (x, y) 2cm y (2, y) g(x) (x, g(x)) g(2) (2, g(2)) πx2 (x, πx2) π22 (2, π22) π4 (2, 4π) 12.57 (2, 12.57)

Eje X

Eje Y

2

O

12.57

Eje Y

Ox

g(x) = πx2

120

Ejemplo 15 . Hacer las gráficas de la función g’(x) = x2/5, y de la ecuación g’(7). FUNCIÓN ECUACIÓN

Elemento del

primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Parejas ordenadas

Elemento del primer

conjunto

Elemento del segundo conjunto

Pareja ordenada

x y (x, y) 7 y (7, y) g’(x) (x, g’(x)) g’(7) (7, g’(2)) x2/5 (x, x2/5) (7)2/5 (7, (7)2/5) 49/5 (7, 49/5) 9 4/5 (7, 9 4/5)

Nota . Se cambió el tamaño de la cuadrícula para una mejor apreciación. ¿Qué similitudes y qué diferencias tienen los tres últimos pares de gráficas? Respuesta: Similitudes en las gráficas de las funciones f(x) = x2, g(x) = πx2 y g’(x) = x2/5:

• Inician en el origen • Son ecuaciones cuadráticas

g’(x) = x2/5

O

Eje Y

xO Eje X

Eje Y

7

9 4/5

121

Diferencias: • g(x) es la más angosta que f(x) al “crecer” la x • g’(x) la más ancha que f(x) al “crecer” la x • g(x) tiene un factor de multiplicación (π) • g’(x) tiene un factor de división (1/5) • g(x) “crece” más rápidamente que f(x) conforme “crece” la x • g’(x) “crece” más lentamente que f(x) conforme “crece” la x

Ejemplo 16 . ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado que tiene 25m2 de superficie? La función y la ecuación son: Nota . El símbolo de extracción de la raíz cuadrada de cualquier expresión es: x ó x1/2. FUNCIÓN ECUACIÓN

Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Superficie del cuadrado

Lado del cuadrado

Parejas ordenadas

Superficie del cuadrado

Lado del cuadrado

Pareja ordenada

x y (x, y) 25m2 y (25, y) h(x) (x, h(x)) h(25) (25, h(2)) x1/2 (x, x1/2) 251/2 (25, 251/2) 5 (25, 5)

h(x) = x1/2

xO Eje X

Eje Y

122

Ejemplo 17 . ¿Cuál es la medida del radio de un círculo cuya superficie es 28.27cm2 (misma estructura del ejemplo 6) La función y la ecuación son: La función: k(x) = y y la ecuación: k(28.27) = y Los pares ordenados son: (x, k(x)) (28.27, k(28.27)) = (x, (x/π)1/2) = (28.27, (28.27/π)1/2) = Las gráficas: = (28.27, (9)1/2) = = (28.27, 3)

25

5

O Eje X

Eje Y

k(x) = (x/π)1/2

xO Eje X

Eje Y

123

Ejemplo 18 . Hacer las gráficas de la función k’(x) = 2x1/2, y de la ecuación k’(16). función ecuación

Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Parejas ordenadas

Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Pareja ordenada

x y (x, y) 16 y (16, y) k’(x) (x, k’(x)) k’(16) (16, k’(16)) 2x1/2 (x, 2x1/2) 2(16)1/2 (16, 2(16)1/2) 2(4) (16, 2(4)) 8 (16, 8)

28.27

3

O Eje X

Eje Y

k’(x) = 2x1/2

Eje Xx

Eje Y

O

124

¿Qué similitudes y qué diferencias tienen los tres últimos pares de gráficas? Respuesta:

Similitudes en las gráficas de las funciones h(x) = x1/2, k(x) = (x/π)1/2 y k’(x) = 2x1/2. • Inician en el origen • Son ecuaciones de radicación cuadrática

Diferencias: • k(x) es más angosta que h(x) al “crecer” la x • k’(x) es más ancha que h(x) al “crecer” la x • k(x) tiene un factor de división (π) • k’(x) tiene un factor de multiplicación (2) • k(x) “crece” menos que h(x) conforme “crece” la x • k’(x) “crece” más que h(x) conforme “crece” la x

Ejemplo 19.a . Un terreno cuadrado cuyos lados miden 6m colinda con otro que mide 12m2 ¿Cuántos m2 se tienen juntando los dos terrenos? La función es: f(x) = y y la ecuación: f(6) = y Los pares ordenados son: (x, f(x)) (6, f(6)) = (6, 62+12) =

(x, x2+12) = (6, 36+12) = = (6, 48)

Ejemplo 19.b . A un terreno cuadrado cuyos lados miden 6m se le quita una porción que mide 12m2 ¿Cuántos m2 se tienen después de la operación? La función es: g(x) = y y la ecuación: g(6) = y Los pares ordenados son: (x, g(x)) (6, f(6)) = (6, 62–12) = (x, x2–12) = (6, 36–12) = = (6, 24)

Eje X16

Eje Y

O

8

125

Gráficas

Eje X

Eje Y

O

48

12

f(x) = x2+12

Eje Y

O

g(x) = x2-12

O

x

Eje XO

6

24

-12

126

Ejemplo 20 . Desde una altura de 50m se deja caer un objeto. ¿En cuánto tiempo hace contacto con el suelo? La expresión que nos describe el cambio de posición de un cuerpo al ser soltado desde cualquier altura es la siguiente:

d ( t ) = ½ g t2 + h ,

Sabemos que la aceleración de la gravedad es de –9.8m/seg2. Entonces la expresión del cambio de posición (o cambio de altura) del objeto es la siguiente: La función es: d(t) = y y la ecuación: d(3.2) = y Los pares ordenados: (t, d(t)) (3.2, f(3.2)) = (t, –1/2gt2+50) = (3.2, –1/2(9.8 x (3.2)2) + 50 = = (3.2, –1/2(9.8 x 10.2) + 50 = = (3.2, –1/2(100) + 50 = Gráficas = (3.2, –50 + 50) =

= (3.2, 0) =

Nota . Se cambió la escala del eje X (eje de t).

d(t) = 1/2gt2+50

Eje Y

Ot

Eje X

Eje Y

3.2

50

O0

127

En el dibujo de las gráficas se han considerado sólo los valores positivos, tanto en las funciones que señalan elevar al cuadrado los valores sobre los que se aplica, como en las que señalan la extracción de la raíz cuadrada. Las gráficas “completas”, esto es: aplicadas sobre cualquier valor positivo o negativo de las funciones, las que elevan al cuadrado como las que extraen raíz cuadrada, son semejantes a las dibujadas para x2 y x1/2. Nota : las gráficas de las funciones son las que se pueden “completar”, no así los valores de las ecuaciones. ¿Qué quiere decir el buscar la superficie de un cuadrado que tiene por lado –9m; o dada la superficie de un círculo, presentar como resultado que su radio mida –3cm?

En esta gráfica, la aplicación de la relación que eleva al cuadrado todo valor racional, ofrece el mismo resultado sobre racionales que son inversos aditivos. Esta relación es del tipo de las que interesan a la matemática; relación que asocia a varios elementos del primer conjunto con uno del segundo. Entonces f(x) = x2, es una función.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

O Eje X

Eje Y

4

1

9

16

128

En esta otra gráfica, la aplicación de la relación que extrae la raíz cuadrada a los valores racionales positivos, ofrece dos resultados que son inversos aditivos.

Esta relación es del tipo de las que no interesan a la matemática; relación que asocia a un sólo elemento del primer conjunto varios del segundo.

Entonces g(x) = x1/2, NO es una función.

O

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

Eje Y

Eje X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

129

Ejercicios

Los incisos a, son las funciones o relaciones que hay que graficar (para lo que se sugiere tabular la función o relación) y los incisos b, el valor en particular que hay que desarrollar (este es uno solo de los valores que se pueden tabular). 1. a. f(x) = x2 + 3 2. a. g(x) = x2 – 5

b. f(5) b. g(–2) 3. a. h(x) = –x2 4. a. k(x) = 3x2

b. h(4) b. k(3) 5. a. f(x) = –x2 + 2 6. a. g(x) = 5x2 – 12

b. f(–4) b. g(–2) 7. a. h(x) = ½ x2 8. a. k(x) = 1/8 x2

b. h(7) b. k(3) 9. a. h(x) = 3/10 x2 + 1 10. a. k(x) = –3x2

b. h(6) b. k(3) 11. a. f(x) = x1/2 – 2 12. a. g(x) = x1/2 + 4

b. f(8) b. g(9) 13. a. h(x) = –x1/2 14. a. k(x) = 5x1/2

b. h(25) b. k(4) 15. a. f(x) = –x1/2 + 5 16. a. g(x) = 3x1/2 – 3

b. f(9) b. g(16) 17. a. h(x) = ½ x1/2 18. a. k(x) = 1/4 x1/2

b. h(4) b. k(5) 19. a. h(x) = 1/5 x1/2 + 5 20. a. k(x) = –3x1/2

b. h(8) b. k(9)

130

Matemáticas 3

2: Ecuaciones y Funciones Cuadráticas

2. 3: Ecuación general y sus raíces

Objetivo El estudiante aprenderá el significado del cambio de valor en los coeficientes de una función cuadrática. Presentación Una función cuadrática en una variable es aquella en que la variable tiene entre los elementos que la componen, uno en el que se encuentra elevada al cuadrado (o elevada a la segunda potencia) y ésta es la de mayor exponente. Esto es:

f1(x) = x2 g1(x) = 3x2

h1(x) = 1/2 x2 k1(x) = 1/9 x2

p1(x) = – 1/4 x2 q1(x) = – 2/5 x2

f2(x) = – x2 + 2 g2(x) = x2 + 3

h2(x) = x2 – 6 k2(x) = – 5x2 + 4

f3(x) = x2 + 3x g3(x) = – x2 + 4x

h3(x) = 3x2 + x k3(x) = 2x2 – 3x

f4(x) = x2 + x + 1 g4(x) = 1/2 x2 – 2x – 1

h4(x) = – 1/3 x2 + 3x + 2 k4(x) = 4x2 – 6x – 3

a 2a 3a 4a

a2

(2a)2 = 4a2

(3a)2 = 9a2

(4a)2 = 16a2

a 2a 3a 4a

a2

(2a)2 = 4a2

(3a)2 = 9a2

(4a)2 = 16a2

O X

Y

x0

x0 x0 +a-a

O X

Y

O X

Y

x0

x0 x0 +a-a x0 x0 +a-a

131

Como podemos darnos cuenta en estas funciones, todas tienen algún término en donde la variable “x” tiene exponente 2 o está elevado a la potencia 2. o bien poseen un término al cuadrado, lo que convierte a cada una de estas funciones en una función cuadrática. Comenzamos por analizar estas funciones preguntándonos: ¿cómo son sus gráficas? a) Las seis primeras , desde f1 hasta q1, se componen sólo del término en donde aparece la

variable al cuadrado ; lo que las define como funciones cuadráticas. Para que su revisión se haga con más claridad, se te pide resolver antes los siguientes:

Ejercicios

Graficar las funciones o relaciones: 1. f(x) = 5x2 2. g(x) = 2x2 3. h(x) = 7/3 x2 4. k(x) = 2/3 x2 5. p(x) = 1/4 x2 6. q(x) = 2/5 x2 7. t(x) = – 3/5 x2 8. u(x) = – 3/8 x2 9. v(x) = – 1/5 x2 10. w(x) = – 3x2 11. v(x) = – 4x2 12. w(x) = – 5/2 x2

a.1) De las cuatro primeras (f1 – k1), así es su gráfica:

Con las gráficas de estas funciones y las que dibujaste, date cuenta de que:

a.1.1) Si el coeficiente de x2 es

mayor a 1 , su gráfica se encuentra “por dentro ” de f1(x). Esto quiere decir que “crece ” más rápidamente que f1(x).

a.1.2) Si el coeficiente de x2 es

menor a 1 y mayor a 0 , su gráfica se encuentra “por fuera ” de f1(x). Esto quiere decir que “crece ” más lentamente que f1(x).

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4Eje X

Eje Y

O

f1(x) = x2 g1(x) = 3x2

h1(x) = 1/2 x2 k1(x) = 1/3 x2

132

a.2) De las dos siguientes (p1 – q1), estas son sus gráficas:

Hemos dibujado la gráfica de F1(x) = –x2 para que nos sirva de referencia. De estas gráficas y las que dibujaste:

a.2.1) Si el coeficiente de x2 es menor

a 0 y mayor a –1 , su gráfica se encuentra “por fuera ” de F1(x). Esto quiere decir que “decrece ” más lentamente que F1(x).

a.2.2) Si el coeficiente de x2 es menor

a –1, su gráfica se encuentra “por dentro ” de F1(x). Esto quiere decir que “decrece ” más rápidamente que F1(x).

a.3) Si el coeficiente de x2 es positivo , la gráfica “abre hacia arriba ” y si es negativo , “abre hacia

abajo ”.

b) Las cuatro siguientes, desde f2 hasta k2, tienen el término en donde aparece la variable al cuadrado y el término constante .

Ejercicios

Graficar los siguientes ejercicios: Los que aparecen con número par tendrán en el término al cuadrado los mismos coeficientes que en la serie anterior, así tendrás un mejor acercamiento. 1. f(x) = 6x2 + 1 2. g(x) = 2x2 + 4 3. h(x) = 5/3 x2 – 4 4. k(x) = 2/3 x2 + 7 5. p(x) = 7/2 x2 – 6 6. q(x) = 2/5 x2 – 1 7. t(x) = – 2/7 x2 + 5 8. u(x) = – 3/8 x2 + 2 9. v(x) = – 3/10 x2 + 2 10. w(x) = – 3x2 – 3 11. v(x) = – 5x2 – 2 12. w(x) = – 5/2 x2 + 3

O Eje X

p1(x) = -1/4 x2

q1(x) = - 2/15 x2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Eje Y

F1(x) = -x2

133

b.1) de las funciones f2 y k2, éstas son sus

gráficas: b.2) gráficas de las funciones g2 y h2:

Toma en cuenta las que dibujaste: Después del angostamiento o ensanchamiento de la gr áfica por el coeficiente de x 2, el

término constante desplaza la gráfica hacia arriba, si es positivo, o hacia abajo, si es negativo .

c) Las cuatro siguientes, desde f 3 hasta k 3, tienen el término en donde aparece la variable al

cuadrado y el término en donde aparece la variable de modo lineal .

Ejercicios

Graficar los siguientes ejercicios: Los que aparecen con número impar tendrán en el término al cuadrado los mismos coeficientes que en la primera serie. 1. f(x) = 5x2 + x 2. g(x) = x2 – 3x 3. h(x) = 7/3 x2 + 2x 4. k(x) = 1/2 x2 + 4x 5. p(x) = 1/4 x2 – x 6. q(x) = 1/5 x2 + x 7. t(x) = – 3/5 x2 + 3x 8. u(x) = – 1/4 x2 – x 9. v(x) = – 1/5 x2 – 3x 10. w(x) = – 1x2 – x 11. v(x) = – 4x2 + 5x 12. w(x) = – 5/2 x2 + 2x

O Eje X

k2(x) = -5x2 + 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Eje Y

f2(x) = -x2 + 2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4Eje X

Eje Y

O

g2(x) = x2 + 3

h2(x) = x2 - 6

134

c.1) de las funciones f3, h3 y k3, estas son sus gráficas:

c.2) gráfica de la función g3:

Junto con las que dibujaste: Después que el coeficiente de x 2, angostó o ensanchó la gráfica, el término lineal

desplaza la gráfica hacia arriba, hacia abajo, haci a derecha o hacia izquierda.

d) Finalmente, las cuatro últimas, desde f4 hasta k4, son funciones cuadráticas completas , pues

tienen los términos en donde aparece la variable al cuadrado, lineal y el término constante.

Ejercicios

Graficar los siguientes ejercicios: Algunos de estos ejercicios, con número impar o par, tendrán en el término al cuadrado los mismos coeficientes que en las series anteriores. 1. f(x) = 5x2 + x – 4 2. g(x) = 1/4 x2 – 3x + 2 3. h(x) = 5/2 x2 + 4x – 3 4. k(x) = 1/2 x2 + 4x + 3 5. p(x) = 1/4 x2 – x + 7 6. q(x) = 1/6 x2 + x – 6 7. t(x) = – 5x2 + 4x – 3 8. u(x) = – 1/4 x2 – x + 9 9. v(x) = – 1/5 x2 – 3x + 12 10. w(x) = – 1x2 – x + 11 11. v(x) = – x2 + 3x – 2 12. w(x) = – 5/2 x2 + 2x – 1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4Eje X

Eje Y

O

f3(x) = x2 + 3x

h3(x) = 3x2 + x

k3(x) = 2x2 - 3xO Eje X

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Eje Y

g3(x) = -x2 + 4x

135

d.1) Estas son las gráficas de las funciones f4, g4 y k4,:

d.2) Aquí la gráfica de la función h4:

Más las que dibujaste: Después que el coeficiente de x2, angostó o ensanchó la gráfica, el término lineal la

desplazó hacia arriba , hacia abajo , hacia derecha o hacia izquierda y el término constante la desplazó arriba o hacia abajo , este es nuestro dibujo.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4Eje X

Eje Y

O

f4(x) = x2 + x + 1

g4(x) = 1/2 x2 - 2x - 1

k4(x) = 4x2 - 6x - 3

O Eje X-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Eje Y

h4(x) = -1/3 x2 + 3x + 2

136

Como te habrás dado cuenta hubo gráficas:

que atravesaron el eje X,

otras sólo hicieron contacto con el eje X en un punto

y otras ni lo atravesaron ni lo tocaron.

¿Qué quiere decir cada uno de estos resultados? Al tabular una función lo que hacíamos era encontrar el estimado que la función le asigna a un valor determinado , o aplicar y desarrollar las operaciones que señala la función en un valor determinado . En los ejemplos y ejercicios desarrollados ¿cómo han sido los estimados y el dibujo de las gráficas correspondientes de las funciones en los valores calculados? Pongamos nuestra atención en los dos primeros dibujos y en las tabulaciones que nos llevaron a gráficas como éstas. Desde luego, también atenderemos al tercer dibujo.

1.1) Si atraviesa el eje X , quiere decir que la función le asigna el estimado 0 (cero) a algún par de valores de x .

1.2) Si atraviesa el eje X , quiere decir que la función asigna estimados positivos y

negativos a valores x sobre los que se aplica . 2.1) Si sólo hace contacto con el eje X en un punto , quiere decir que la función le asigna el

estimado 0 (cero) a un solo valor de x .

O

Eje Y

O

Eje Y

O Eje X

Eje Y

137

2.2) Si sólo hace contacto con el eje X en un punto , quiere decir que la función asigna estimados NO negativos o NO positivos a valores x sobre los que se aplica, según se desplace “hacia arriba” o “hacia abajo” respectivamente.

3) De no atravesar ni hacer contacto con el eje X , quiere decir que la función asigna

estimados positivos o negativos a valores x sobre l os que se aplica, según se desplace “hacia arriba” o “hacia abajo” respectivamente.

Si en alguna tabulación encontramos que para algún valor de x, la función le asigna el estimado 0 (cero), aseguramos que la gráfica atraviesa o hace contacto con el eje X.

Esto lo escribimos como f(x) = 0,

Es una ecuación ; el estimado 0 (cero) de la función en algún valor de x. ¿A qué valor de x la función le esta asignando el estimado 0 (cero)? Ejemplo 1 . La función f(x) = x2 – 4 ¿Para qué valor de x su estimado vale 0?

buscamos en dónde f(x) = x2 – 4 = 0 ; x2 – 4 = 0 es un producto notable,

entonces f(x) = x2 – 4 = (x – 2) (x + 2) = 0 y esto no da

x – 2 = 0 ; x = 2

x + 2 = 0 ; x = – 2 , o sea, la función

f(x) = x2 – 4 atraviesa el eje X en los valores 2 y –2.

O Eje X

Eje Y

p5(x) sólo positiva

q5(x) sólo negativa

O

Eje Y

h5(x) no negativa

k5(x) no positiva

O

Eje Y

f5(x) positiva

f5(x) negativa

g5(x) positiva

g5(x) negativa

138

Gráfica de f(x) = x2 – 4

A los valores de x que la función les asocia el estimado 0 (cero) se les llama raíces de la ecuación (f(x) = 0).

De otra manera, dada f(x) , los valores de x que cumplen con la ecuación f(x) = 0 , son las raíces de la ecuación y se les llamará raíces x 1 y x2. Entonces –2 y 2 son las raíces de la ecuación x2 – 4 = 0.

Ejemplo 2 . Sea la función g(x) = – x2 + 6x – 9. Su gráfica Nos interesa saber en dónde g(x) = – x2 + 6x – 9 = 0

producto notable – x2 + 6x – 9 = 0

– (x2 – 6x + 9) = 0

factorizamos – (x – 3) (x – 3) = 0

tenemos que x – 3 = 0 ; x = 3, dos veces La función g(x) “toca” al eje X en el valor x = 3. Resulta que 3 es la “raíz doble ” de la ecuación – x2 + 6x – 9 = 0.

Eje X

Eje Y

O

f(x) = x2 - 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Eje X

Eje Y

g(x) = -x2 + 6x - 9

O5 6-2 -1 1 2 3 4

139

Ejemplo 3 . h(x) = x2 + 2x – 5

¿En dónde? h(x) = x2 + 2x – 5 = 0 Este NO es un producto notable. En el dibujo de su gráfica, observamos que las “posibles raíces” serán valores próximos a –31/2 y 11/2, aunque al aplicar h(x) en esos valores no obtenemos el estimado 0 (cero). Vamos a abordar otro camino. Tomemos la ecuación x2 + 2x – 5 = 0 sumamos 5 unidades x2 + 2x = 5 en la primera parte de la

igualdad completamos el cuadrado sumando 1 unidad

x2 + 2x +1 = 5 + 1 desarrollamos (x + 1)2 = 6 extraemos raíz x + 1 = ± 6 x + 1 = ± 2.45 ; x1 = –1 + 2.45 = 1.45 x2 = –1 – 2.45 = –3.45 Por el camino seguido en este último ejemplo, vamos a instrumentar un método para calcular las raíces de una ecuación cuadrática completa que nos facilite tal proceso. Sea la ecuación Ax2 + Bx + C = 0 dividimos entre A ambas partes

B C C x2 + A

x + A

= 0 restamos A

en ambas partes

B –C x2 + A

x = A

completamos el cuadrado en la primera parte

B B –C B x2 + A

x + ( 2A

)2 = A

+ ( 2A

)2 desarrollamos

B B2 –C B2 x2 + A

x + 4A2

= A

+ 4A2

factorizamos

B – 4AC + B2 ( x + 2A

)2 = 4A2

extraemos raíz

B – 4AC + B2 x +

2A = ±

4A2

B B2 – 4AC B x +

2A = ±

2A restamos

2A

Eje X

Eje Y

h(x) = x2 + 2x - 5

O

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

140

B B2 – 4AC Fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática

x = – 2A

± 2A

y para cada raíz:

– B + B2 – 4AC x1 =

2A y

– B – B2 – 4AC x2 =

2A .

De modo que, si se nos presenta un ejercicio en el que su modelo esté expresado por una ecuación cuadrática completa:

Ax2 + Bx + C = 0 , sabemos como encontrar sus raíces.

– B + B2 – 4AC – B – B2 – 4AC x1 =

2A , x2 =

2A Volvamos al ejemplo 3 . h(x) = x2 + 2x – 5 sustituyendo para x1 y x2

– 2 + 22 – 4(1x (–5)) – 2 – 22 – 4(1x (–5)) x1 = 2(1)

, x2 = 2(1)

– 2 + 4 + 20 – 2 – 4 + 20 x1 =

2 , x2 =

2

– 2 + 24 – 2 – 24 x1 = 2

, x2 = 2

– 2 + 4.9 2.9 – 2 – 4.9 –6.9 x1 =

2 =

2 , x2 =

2 =

2 x1 = 1.45 , x2 = –3.45 Las diferentes formas de resolver una o varias ecuaciones de alguna función cuadrática, nos plantea la siguiente pregunta: ¿se puede construir una función a partir de sus raíces? Buena pregunta. Pensando sin apremio, contestamos con un rotundo ¡SÍ! ¿Cómo hacerlo? Otra buena pregunta. Igual respuesta: ¡SÍ!

141

Aquí está el desarrollo: Ejemplo 4 . Los valores –3 y 2, son las raíces de una ecuación que pertenece a una función cuadrática. Encuentra la ecuación, la función y la gráfica correspondientes. Nos falta un dato. ¿Cuál? Piensa, piensa. . . ¿Hacia dónde abre la función? ¿Verdad que nos faltaba saber esto? Nos dicen que hacia arriba; entonces, comenzamos: 4.1) La ecuación. 4.2) La función. 4.3) La gráfica.

Raíces: –3 y 2 f(x) = x2 + x – 6 Entonces: x = –3 y

x = 2 Armamos el producto (x + 3) (x – 2) = 0

Desarrollamos

x2 – 2x + 3x – 6 = 0

x2 + x – 6 = 0

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4Eje X

Eje Y

O

f(x) = x2 + x - 6

142

Ejemplo 5 . Las raíces de una ecuación son los valores 1 y 5, ecuación que pertenece a una función cuadrática que abre hacia abajo. Se pide hallar la ecuación, la función y la gráfica correspondientes. En este ejemplo tenemos todo lo que se necesita: las raíces y la dirección en que abre la función, pero ¿cómo acomodar estos datos para que la función abra hacia abajo? 5.1) La ecuación. 5.2) La función. 5.3) La gráfica.

Raíces: 1 y 5 g(x) = –x2 + 6x – 5 Entonces: x = 1 y

x = 5 Armamos el producto

(x – 1) (x – 5) = 0 Desarrollamos x2 – 5x – x + 5 = 0

x2 – 6x + 5 = 0 Como abre hacia abajo (–1) (x2 – 6x + 5 = 0) –x2 + 6x – 5 = 0

Ejemplo 6 . Encontrar las raíces de la ecuación 2x2 – 6x – 8 = 0. También mostrar la función cuadrática, por supuesto, y dibujar la gráfica correspondiente. 6.1) La ecuación. 6.2) La función. 6.3) La gráfica.

2x2 – 6x – 8 = 0 h(x) = 2x2 – 6x – 8 Factorizamos 2(x2 – 3x – 4) = 0. Lo que se encuentra entre paréntesis, es un producto notable; lo factorizamos

2(x + 1) (x – 4) = 0 x + 1 = 0 ; x = –1 x – 4 = 0 ; x = 4 Las raíces son –1 y 4

Eje X

Eje Y

g(x) = -x2 + 6x - 5

O5 6-2 -1 1 2 3 4

Eje X

Eje Y

h(x) = 2x2 - 6x - 8

O5 6-2 -1 1 2 3 4

143

Ejemplo 7 . Encontrar las raíces de la ecuación x2 + 3x + 3 = 0. También mostrar la función cuadrática y dibujar la gráfica correspondiente. 7.1) La ecuación. 7.2) La función. 7.3) La gráfica.

x2 + 3x + 3 = 0 k(x) = x2 + 3x + 3

No es un producto notable.

Utilizamos la fórmula general

– 3 ± 32 – 4x1x3 x1,2 = 2x1

– 3 ± 9 – 12 x1,2 =

2

– 3 ± – 3 x1,2 =

2

No tenemos raíz para –3 ; de modo que la ecuación NO tiene raíces .

La gráfica de la función NO atraviesa el eje X .

La fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, expresada líneas arriba, ¿nos servirá para ecuaciones cuadráticas no completas? Veamos.

– B ± B2 – 4xAxC 1) La ecuación es completa, la fórmula es: x1,2 = 2xA

– B ± B2 – B ± B 2) La ecuación es Ax2 + Bx, la fórmula es: x1,2 =

2xA =

2A =

– B + B 0 x1 =

2A =

2A = 0

– B – B – 2B – B x2 =

2A =

2A =

A

– B ± B2 – 4xAxC 3) La ecuación es Ax2 + C, la fórmula es: x1,2 =

2xA

± – 4xAxC ± 2 – AxC x1,2 =

2xA =

2xA =

± – AxC x1,2 =

A

– AxC x1 =

A

– – AxC x2 =

A

-3 -2 -1 1 2Eje X

Eje Y

O

k(x) = x2 + 3x + 3

-5 -4

144

Ejemplo 8 . Encontrar las raíces de la ecuación 2x2 – 32 = 0. También mostrar la función cuadrática y dibujar la gráfica correspondiente. 8.1) La ecuación. 8.2) La función. 8.3) La gráfica.

2x2 – 32 = 0 f(x) = 2x2 – 32

– 4x2x(–32) x1,2 = 2x2

– 0 ± 256 x1,2 =

4

± 16 x1,2 =

4

Raíces

x1 = 4 x2 = –4 Se cambió la escala en el eje Y. Ejemplo 9 . Encontrar las raíces de la ecuación x2/2 + 3x = 0. También mostrar la función, cuadrática por supuesto, y dibujar la gráfica correspondiente. 9.1) La ecuación. 9.2) La función. 9.3) La gráfica.

x2/2 + 3x = 0 g(x) = x2/2 + 3x

Multiplicamos por 2

x2 + 6x = 0

Sustituimos

– 6 ± 6 X1,2 = 2x1

Raíces

0 x1 = 2

= 0

– 12 x2 =

2 = –6

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4Eje X

Eje Y

O

f(x) = 2x2 - 32

-3 -2 -1 1 2Eje X

Eje Y

O

g(x) = x2/2 + 3x

-5 -4

145

Te habrás dado cuenta, a través de las gráficas de las funciones, que en cada una de ellas hay un valor “x0” al que la función le asocia un estimado mínimo o máximo, según abra la gráfica de la función hacia arriba o hacia abajo respectivamente. Partiendo de este valor “x0”, si se toman dos valores, uno menor y otro mayor que él, que disten de “x0”el mismo número de unidades, la función les asociará el mismo estimado. ¿Cómo es esto geométricamente?

Si cortamos sobre la línea roja (que pasa por los puntos x0 y f(x0)),

Obtenemos las dos ramas de la función, a partir de f(x0) y ambas ascendentes.

En el ejemplo anterior f(x0), es un estimado mínimo, mientras que en este,

f(x0) es uno máximo, para la función.

O

Eje Y

Eje Xx0

f(x0)

O

Eje Y

Eje Xx0

f(x0)

O

Eje Y

Eje Xx0

k(x0)O

Eje Y

Eje Xx0

k(x0)

146

Ejercicio . Dibuja los demás casos posibles de gráficas de funciones cuadráticas. Ejemplo 10 . Encuentra en la función x2 – 2x – 3, sus raíces, si la hay, el valor de x para el que el estimado de la función es mínimo y dibuja su gráfica. 10.1) La gráfica 10.2) Tabulamos f(x) x f(x) = x2 – 2x – 3 –4 21 –3 12 –2 5 –1 0 Raíces x1, x2 0 –3 1 –4 f(x) mínimo 2 –3 3 0

Mismos estimados para valores de “x” diferentes.

4 5 5 12 6 21 Ejemplo 11 . Encuentra en la función – x2 – 2x – 3, sus raíces, si la hay, el valor de x para el que el estimado de la función es máximo y dibuja su gráfica. 11.1) La gráfica 11.2) Tabulamos g(x) x g(x) = – x2 – 2x – 3 –6 –27 No tiene raíces –5 –18 –4 –11 –3 –6 –2 –3 –1 –2 g(x) máximo 0 –3 1 –6

Para valores de “x” diferentes, mismos estimados.

2 –11 3 –18 4 –27

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4Eje X

Eje Y

O

f(x) = x2 - 2x - 3

f(x 0)

Eje X

Eje Y

g(x) = -x2 - 2x - 3

O-4 -3 -2 -1 1 2 3-5-6

g(x 0)

147

Ejercicios

Dadas las siguientes ecuaciones, encuentra sus raíces, si las hay, y genera las funciones correspondientes (si dibujas sus gráficas te será más fácil). 1) x2 – 5x + 4 = 0 2) x2 – 8x + 15 = 0

3) 2x2 – 2x – 24 = 0 4) – 3x2 – 18x – 15 = 0

5) x2 – 3x – 10 = 0 6) 53x2 + 10x – 15 = 0

7) x2 + 3x – 7 = 0 8) 2x2 – 5x + 3 = 0

9) – 3x2 + 6x + 8 = 0 10) – 7x2 – 5x + 2 = 0

11) 3x2 + 4x + 8 = 0 12) x2 – 3x + 7 = 0

13) 5x2 – 2x – 9 = 0 14) – 8x2 + 3x – 1 = 0

Ejercicios

Dadas las siguientes raíces, encuentra sus ecuaciones y genera las funciones de cada una de ellas (dos en cada caso; claro que sí, “dos”; dibujando sus gráficas te será más fácil). 1) x1 = –1 , x2 = 6 2) x1 = 0 , x2 = 3

3) x1 = –2 , x2 = –2 4) x1 = –4 , x2 = 0

5) x1 = 3 , x2 = 7 6) x1 = –0 , x2 = 0

7) x1 = –5 , x2 = –1 8) x1 = –11 , x2 = –3

9) x1 = –3 , x2 = 8 10) x1 = 6 , x2 = 13

11) x1 = 1 , x2 = 6 12) x1 = –2 , x2 = –1

13) x1 = 2 , x2 = 9 14) x1 = –1/2 , x2 = 3

148

Ejercicios

Dadas las siguientes funciones, encuentra las raíces, si las hay, de la ecuación igualada a 0 (cero) y dibuja sus gráficas. 1) f(x) = 3x2 + 2x – 1 2) g(x) = x2 – 2x – 3

3) h(x) = x2 – 2x + 1 4) k(x) = 2x2 + 3x + 4

5) f(x) = 5x2 + 30x + 45 6) g(x) = –3x2 – 12x + 15

7) h(x) = –2x2 + 14x – 20 8) k(x) = x2 + 4x + 3

9) f(x) = –x2 – 9 10) g(x) = 4x2 – 3x

11) h(x) = –x2 + 4x 12) k(x) = 3x2 – 27

13) f(x) = – x2 – 2x – 2 14) g(x) = x2 + x + 1

149

Matemáticas 3

2: Ecuaciones y Funciones Cuadráticas

2. 4: Ubicación de intervalos y regiones definidas por desigualdades

Objetivo El estudiante localizará puntos, intervalos, secciones y regiones en el caso del plano, con características algebraicas y geométricas particulares. Presentación Si en una hoja de papel dibujamos una línea recta, distinguimos dos regiones: Una “arriba” de la recta y otra “abajo” de la recta (no se vale girar la hoja). Si dibujamos una parábola. . .

Dentroarriba

Dentroabajo

Fuera arriba

Fuera abajo

Dentroarriba

Dentroabajo

Fuera arriba

Fuera abajo

Dentroarriba

Dentroabajo

Fuera arriba

Fuera abajo

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

150

Tendríamos también dos regiones: Una “dentro” de la parábola y otra “fuera” de la parábola (aquí no importa si giramos la hoja).

Si ahora dibujamos una línea recta y una parábola, de forma que se intersecten, ¿cuántas regiones resultan determinadas? Una aquí, otra allá, una más. . . ¿Cuántas serán?

151

Mmm. . . ¡Cuatro!, ni una menos ni una más.

Contémoslas: Una; “arriba” de la recta y “dentro” de la

parábola. Dos; “arriba” de la recta y “fuera” de la

parábola. Tres; “abajo” de la recta y “dentro” de la

parábola. Cuatro; “abajo” de la recta y “fuera” de la

parábola. Si esta figura la transportamos al plano cartesiano, nos encontraríamos con más de cuatro regiones. Aquí dibujamos un posible ejercicio:

En este dibujo tenemos más de cuatro regiones. Esto se debe a los rangos de la x y la y , y si estos están dentro o fuera de la parábola y arriba o abajo de la recta. A saber, o mejor dicho a ver: Primer cuadrante, cuatro regiones. Segundo, tres regiones. Tercero, cuatro y Cuarto, dos.

Y

X

152

Ejercicio 1 . Describe las características de cada una de las regiones en cada uno de los cuadrantes e ilumínalas en diferente color. Ejemplo: a) Dentro de la parábola, arriba de la recta y con x y y positivas .

b) Dentro de la parábola, abajo de la recta y con x y y positivas . Continúa tú . Con otras disposiciones de recta y parábola, se tendrán dibujos con otras distribuciones de regiones. Ejercicio 2 . Dibuja en el plano cartesiano con una recta y una parábola, que tengan una disposición como la del ejemplo:

a) distribuciones diferentes a la expuesta en los dibujos anteriores, b) una distribución que presente el número mínimo de regiones y c) una distribución que presente el número máximo de regiones.

Hagamos un descanso en el camino y reflexionemos sobre los dibujos presentados. Lo que nos interesa de haber llevado este dibujo al plano cartesiano es saber en qué punto o puntos se intersectan la recta y la parábola. Más adelante, nos dedicaremos a los intervalos de las regiones del dibujo. Ejemplo 1 . Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección entre la recta x – y = 1 y la parábola x2 + 2x – 4y = 19. Despejamos x = y + 1 ; (y + 1)2 + 2(y + 1) – 4y = 19 y2 + 2y + 1 + 2y + 2 – 4y = 19 y2 + 4y – 4y + 3 = 19 y2 = 19 – 3 = 16 y = ± 4 , sustituyendo x = 4 + 1 = 5 y x = –4 + 1 = –3

La recta y la parábola se intersectan en (5, 4) y (–3 , –4)

Este es el dibujo de la recta y la parábola. Las regiones, como te podrás dar cuenta, se describirían de manera laboriosa.

Y

X

x – y =

1

22

153

Ejemplo 4 . Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección, si los hay, entre las siguientes dos parábolas: x2 – 4x – 4y = 8, x2 + 6x + y + 2 = 0. Despejamos y = – x2 – 6x – 2 ; x2 – 4x – 4(– x2 – 6x – 2) = 8 x2 – 4x + 4x2 + 24x + 8 = 8 Este es nuestro dibujo 5x2 + 20x = 0 5x (x + 4) = 0 5x = 0 ó x + 4 = 0 x = 0 , x = –4

Apliquemos ambos valores en una de las parábolas para obtener los valores correspondientes a las y’s,

(0)2 – 4(0) – 4y = 8 (–4)2 – 4(–4) – 4y = 8 – 4y = 8 16 + 16 – 4y = 8 y = –2 32 – 4y = 8 – 4y = 8 – 32 – 4y = – 24 y = 6 Las parábolas se intersectan en los puntos (0, –2) y (–4, 6) Ejercicio 3 . Dibuja en el plano cartesiano dos parábolas y define:

a) distribuciones diferentes a la expuesta en los dibujos anteriores, b) una distribución que presente el número mínimo de regiones, c) una distribución que presente el número máximo de regiones y d) las diferentes regiones en que dividen el plano.

Y

X

22

22

154

Ejemplo 1 de parábolas . a) dentro de ambas parábolas. b) dentro de la parábola azul y fuera

de la parábola naranja. c) fuera de ambas parábolas. d) …

Ejemplo 2 de parábolas (sobre el plano) . a) fuera de la parábola azul, dentro de la

parábola naranja, con x positiva y y negativa . b) fuera de la parábola naranja, dentro

de la parábola azul, con x positiva y y negativa . c) …

Y

X O

155

Ejemplo 5. Encontrar los puntos de intersección entre la recta x – 2y + 40 = 0 y la circunferencia x2

+ y2 + 8x – 6y = 200. Despejamos x = 2y – 40 ; (2y – 40)2 + y2 + 8(2y – 40) – 6y = 200 4y2 – 160y + 1600 + y2 + 16y – 320 – 6y = 200 4y2 + y2 – 160y – 6y + 16y + 1600 – 320 = 200 5y2 – 150y + 1280 = 200 5y2 – 150y = 200 – 1280 5y2 – 150y = – 1080 y2 – 30y = – 216 y2 – 30y + 225 = – 216 + 225 (y – 15)2 = 9 y – 15 = ± 3 y = ± 3 +15 y1 = 3 + 15 y2 = –3 + 15 y1 = 18 y2 = 12 x1 = 2y1 – 40 x2 = 2y2 – 40 x1 = 2(18) – 40 x2 = 2(12) – 40 x1 = 36 – 40 x2 = 24 – 40 La escala de nuestro dibujo es 2x1.

x1 = – 4 x2 = – 16

Los puntos de intersección tienen coordenadas:

P1(–4, 18) y P2(–16, 12)

Ejercicio 4 ) Encuentra los elementos de la circunferencia del ejemplo 5.

Y

X

O

156

Ejemplo 6 . Encuentra los puntos de intersección de la circunferencia cuyos elementos son: C1(4, 6) y r1 = 5 con la circunferencia de elementos C2(–1, –4) y r2 = 10. Desarrollamos la ecuación canónica de cada una de las circunferencias,

(x – 4)2 + (y – 6)2 = 52 (x + 1)2 + (y + 4)2 = 102

x2 – 8x + 16 + y2 – 12y + 36 = 25 x2 + 2x + 1 + y2 + 8y + 16 = 100

x2 + y2 – 8x – 12y = – 27 x2 + y2 + 2x + 8y = 83 restamos la primera a la segunda, 10x + 20y = 110 dividimos entre 10,

esta ecuación es una recta x + 2y = 11 despejamos; x = 11 – 2y Sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones generales,

(11 – 2y)2 + y2 + 2(11 – 2y) + 8y = 83

121 – 44y + 4y2 + y2 + 22 – 4y + 8y = 83

5y2 – 40y + 143 = 83

5y2 – 40y = – 60 dividimos entre 5,

y2 – 8y = – 12 completamos el cuadrado,

y2 – 8y + 16 = – 12 + 16

(y – 4)2 = 4

y – 4 = ± 2 y tenemos y1 = 2 + 4 = 6 y

y – 4 = ± 2 y2 = – 2 + 4 = 2

x1 = 11 – 2(y1) x2 = 11 – 2(y2)

x1 = 11 – 2(6) x2 = 11 – 2(2)

x1 = 11 – 12 = – 1 x2 = 11 – 4 = 7 Los puntos en que se intersectan estas circunferencias son: P1(–1, 6) y P2(7, 2).

157

Los dibujos que se generan durante el desarrollo del ejercicio son los siguientes:

Las regiones en azul tenue nos dan la idea de la localización de los puntos de intersección.

Esta es la recta que se genera al realizar la resta entre las ecuaciones generales.

Trazamos los dos dibujos anteriores en el mismo plano.

Finalmente, marcamos los puntos de intersección.

Y

XO O

Y

X

Y

XO

Y

XO

158

Ejercicios

1. Define las regiones de este dibujo. 2. Dibuja en el plano cartesiano dos

circunferencias y define:

a) distribuciones diferentes a la expuesta en los dibujos anteriores,

b) una distribución que presente el número mínimo de regiones,

c) una distribución que presente el número máximo de regiones y

d) dibujadas en el plano cartesiano, las diferentes regiones en que se dividen.

2. Encuentra los puntos de intersección de las siguientes circunferencias:

a) C1 (8, –2) y r1 = 5 y C2 (14, 1) y r2 = 10. b) C1 (12, 2) y r1 = 10 y C2 (22, 7) y r2 = 5. b) x2 + y2 + 2x – 4y = 20; x2 + y2 – 10y = 0. c) x2 + y2 + 4x + 14y = 47; x2 + y2 – 16x + 4y + 43 = 0. d) x2 + y2 – 10x – 6y = 15; x2 + y2 – 10x – 6y = – 18. * Se te sugiere hacer dibujos conforme vas desarrollando los ejercicios.

Ejemplo 6 . Encuentra los puntos de intersección de la circunferencia cuyos elementos son: C (9, 1) y r2 = 74 con la elipse de elementos C(9, 1), a = 10 y b = 7 y con eje mayor paralelo al eje X. Desarrollando la ecuación canónica de cada una de estas secciones cónicas, obtenemos:

Circunferencia Elipse

x2 + y2 – 18x – 2y = – 8 49x2 + 100y2 – 882x– 200y = 831

159

Nos damos cuenta que el cálculo de las coordenadas de los puntos de intersección es un proceso laborioso, de manera que por el momento sólo vamos a dibujar estas secciones cónicas lo más aproximado que podamos. Aquí el dibujo: En la elipse, a = 10, b = 7; c2 = a2 – b2

c2 = 102 – 72 c2 = 100 – 49 = 51 c = 7.1

Focos: F1 = (9 – c, 1), F2 = (9 + c, 1) F1 = (9 – 7.1, 1), F2 = (9 + 7.1, 1) F1 = (1.9, 1), F2 = (16.1, 1). Vértices: V1 = (9 – a, 1), V2 = (9 + a, 1) V1 = (9 – 10, 1), V2 = (9 + 10, 1) V1 = (–1, 1), V2 = (19, 1). extremos del eje menor: En la circunferencia, B1 = (9, 1 – b) , B2 = (9, 1 + b) el mismo centro (9, 1) y el radio, raiz de 74; B1 = (9, 1 – 7) , B2 = (9, 1 + 7) r2 = 74 , r = 8.4 B1 = (9, 1 – 6) , B2 = (9, 8). Este es el dibujo del ejemplo: Y de acuerdo al dibujo, hemos escrito las coordenadas de los puntos en que se intersectan la circunferencia y la elipse. Averigüemos si en verdad estos puntos pertenecen a ambas secciones cónicas.

Y

XO C (9, 1)

V1(-1, 1) V2(19, 1)

F1(1.9, 1) F2(16.1, 1)

B1(9, 8)

B2(9, -6)

Y

XO

P1(2, 6) P2(16, 6)

P3(16, -4)P4(2, -4)

160

Sustituyamos las coordenadas de alguno de ellos en ambas ecuaciones generales:

Circunferencia Elipse

x2 + y2 – 18x – 2y = – 8 49x2 + 100y2 – 882x– 200y = 831 Tomemos P1(2, 6)

(2)2 + (6)2 – 18(2) – 2(6) = ¿– 8? 49(2)2 + 100(6)2 – 882(2) – 200(6) = ¿831?

4 + 36 – 36 – 12 = ¿– 8? 49(4) + 100(36) – 1764 – 1200 = ¿831?

40 – 48 = – 8 196 + 3600 – 2964 = ¿831?

3796 – 2964 = ¿831?

832 = ¿831?

Si es un punto de la circunferencia. Tenemos una buena aproximación con el dibujo. Hagámoslo ahora en las ecuaciones canónicas de cada una de estas secciones cónicas.

(2 – 9)2 (6 – 1)2 (2 – 9)2 + (6 – 1)2 = ¿74? 102

+ 72

= ¿1?

(– 7)2 (5)2 (– 7)2 + (5)2 = ¿74? 100

+ 49

= ¿1?

49 25 49 + 25 = 74 100

+ 49

= ¿1?

Sí está en la circunferencia. Tenemos aquí también una buena aproximación. Poco

menos de un medio + poco más de un medio

161

Ejercicios

1. Define las regiones de este dibujo. 2. Dibuja en el plano cartesiano una

circunferencia y una elipse y define:

a) distribuciones diferentes a la expuesta en los dibujos anteriores,

b) una distribución que presente el número mínimo de regiones,

c) una distribución que presente el número máximo de regiones y

d) dibujadas en el plano cartesiano, las diferentes regiones en que se dividen.

3. Define las regiones de este dibujo. 4. Dibuja en el plano cartesiano una

elipse y una hipérbola y define:

a) distribuciones diferentes a la expuesta en este dibujo,

b) una distribución que presente el número mínimo de regiones,

c) una distribución que presente el número máximo de regiones y

d) dibujadas en el plano cartesiano, las diferentes regiones en que se dividen.

5. Dibuja en el plano cartesiano una elipse y una recta y define:

a) una distribución que presente el número mínimo de regiones, b) una distribución que presente el número máximo de regiones y c) dibujadas en el plano cartesiano, las diferentes regiones en que se dividen.

6. Dibuja en el plano cartesiano una circunferencia y una hipérbola y define:

a) una distribución que presente el número mínimo de regiones, b) una distribución que presente el número máximo de regiones y c) dibujadas en el plano cartesiano, las diferentes regiones en que se dividen.

162

Matemáticas 3

3: Productos Notables

3. 1: Factorización y completez de

productos notables

Objetivo

El estudiante aprenderá a factorizar, cuando sea posible, un trinomio en dos binomios y a proponer, en su caso, el término que haga falta en un binomio para completar un trinomio cuadrado perfecto y factorizarlo en un binomio al cuadrado o en dos binomios.

Presentación Un trinomio, es la suma de tres monomios. Ejemplos: a) 2a + b – 3c b) 5xy + 2yz + zx trinomio de grado 1 (uno) trinomio de grado 2 (dos) c) –8x2 + 3x – 7 d) 4a3 – 3a2b + b2 trinomio de grado 2 (dos) trinomio de grado 3 (tres) e) p4 + 7p2q + 12q2 f) 7mn – 3n2 + m2 trinomio de grado 4 (cuatro) trinomio de grado 2 (dos)

2) (a + b)2 == (a + b)( . . . ) =

= (a + b)( . . . ) = 3) a2 – b2 =

= a(a – . . . )1) a2 – ab =

2) (a + b)2 == (a + b)( . . . ) =

2) (a + b)2 == (a + b)( . . . ) =

= (a + b)( . . . ) = 3) a2 – b2 =

= (a + b)( . . . ) = 3) a2 – b2 =

= a(a – . . . )1) a2 – ab =

= a(a – . . . )1) a2 – ab =

6

21

3 4 5

66

222111

33 44 55

163

Dado un trinomio, ¿cómo encontramos sus factores binomiales y los términos en ellos? Ejemplo 1 . Dado el trinomio a2 + 2a + 1, encontrar sus factores binomiales. Desarrollemos el cuadrado del binomio (x + y): (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 , comparemos cada término de este trinomio con los términos del

que se nos dio.

(1) x2 = a2 , extraemos raíz en ambos términos, x = a; sustituimos en (2) (2) 2xy = 2a , 2(a)y = 2a, dividimos ambos términos entre 2a, y = 1, (3) y2 = 1 , extraemos raíz en ambos términos, y = 1. Y la factorización del trinomio es así: a2 + 2a + 1 = (a + 1) (a + 1) = (a + 1)2. Una interpretación geométrica de la comparación de los trinomios es ésta: Ejemplo 2 . Encontrar los factores binomiales del trinomio 4p2 + 4pq + q2. Haciendo la comparación análoga a la anterior, tenemos: (1) x2 = 4p2 , extraemos raíz, x = 2p; sustituimos en (2) (2) 2xy = 4pq , 2(2p)y = 4pq, dividimos entre 4p, y = q, (3) y2 = q2 , extraemos raíz, y = q.

¡Atención! En los ejemplos 1 y 2, fue suficiente la comparación del segundo término (2) para encontrar la equivalencia de los terceros términos (3).

Y el trinomio se factoriza así: 4p2 + 4pq + q2 = (2p + q) (2p + q) = (2p + q)2.

x y

xy

x2

xy

xy b2

a 1

a1

a2 a

a 12

164

Una interpretación geométrica es la siguiente: Ejemplo 3 . Encontrar los factores binomiales del trinomio 9m2 + 24mn + 16n2. Comparamos: (1) x2 = 9m2 , extraemos raíz, x = 3m; sustituimos en (2) (2) 2xy = 24mn , 2(3m)y = 24mn, dividimos entre 6m, y = 4n, (3) y2 = 16n2 , extraemos raíz, y = 4n. Factorizamos: 9m2 + 24mn + 16n2 = (3m + 4n) (3m + 4n) = (3m + 4n)2.

Ejercicio. Dibuja una interpretación geométrica del ejemplo 3. Ejemplo 4 . Encontrar los factores binomiales del trinomio b2 + 6b + . ¡Nos hace falta un término!, pues no es un monomio. Mmm… De cualquier manera intentémoslo. ¿Serán suficientes las herramientas que tenemos? Apliquémoslas y veamos lo que resulta. Comparemos: (1) x2 = b2 , extraemos raíz, x = b; sustituimos en (2) (2) 2xy = 6b , 2(b)y = 6b, dividimos entre 2b, y = 3, (3) y2 = , de (2), y2 = 9; que al extraer raíz nos da y = 3. De manera que = 9 y al extraer raíz tenemos, = 3. Esto se cumple, ya que = . Factorizamos: b2 + 6b + = (b + ) (b + ) = = (b + 3) (b + 3) = (b + )2 = (b + 3)2.

x y

xy

x2

xy

xy y2

2p q

2pq

4p2

2pq

2pq q2

165

¿Cómo sería la interpretación geométrica de este acertijo (bueno lo habíamos llamado Ejemplo 4)?

Así: Ejemplo 5 . Encontrar los factores binomiales del trinomio 4c2 + 16cd + Ya sabemos que sí se puede pero ¿de veras será un trinomio? Comencemos. (1) x2 = 4c2 , extraemos raíz, x = 2c; sustituimos en (2) (2) 2xy = 16cd , 2(2c)y = 16cd, dividimos entre 4c, y = 4d, (3) y2 = , de (2), y2 = 16d2; que al extraer raíz nos da y = 4d. Y sí = 16d2, al extraer raíz, = 4d. Ya que = . Factorizamos: 4c2 + 16cd + = (2c + ) (2c + ) = = (2c + 4d) (2c + 4d) = = (2c + )2 = (2c + 4d)2 . Una interpretación geométrica sería ésta:

b2

3b

3b

b2

3b

3b 9

4c2

8cd

8cd

4c2

8cd

8cd

16d

2

166

Ejemplo 6 . Encontrar los factores binomiales del trinomio 9w2 + + 25z2. Otra vez falta un término. Mmm… ¿lo intentamos? ¡Vamos! (1) x2 = 9w2 , extraemos raíz, x = 3w, (2) y2 = 25z2 , al extraer raíz nos da y = 5z. (3) 2xy = , de (1) y (2) tenemos 2(3w)(5z) = 30wz, Y sí = 30wz, al dividir entre 2, = 15wz. Factorizamos: 9w2 + + 25z2 = (2c + ) (2c + ) = = (2c + 4d)(2c + 4d) = (2c + )2 = (2c + 4d)2. Y una interpretación geométrica es: Ejemplo 7 . Encontrar los factores binomiales del trinomio a2 – + 9 b2. Sabemos que sí se puede pero ¡cuidado ! con el signo del segundo término. (1) x2 = a2 , extraemos raíz, x = a, (2) y2 = 9b2 , al extraer raíz y = 3b. (3) 2xy = – , de (1) y (2) tenemos 2(a)(3b) = 6ab, ¿y el signo?, tomando en

cuenta el signo 2xy = –6ab, lo que nos dice que: x = –a ó y = –3b.

Desarrollemos ambos binomios, (a – 3b)2 y (–a + 3b)2 (a – 3b)2 = a2 – 6ab + 9b2 ; (–a + 3b)2 = a2 – 6ab + 9b2 Y sí – = –6ab, al dividir entre 2, – = –3ab.

9w2

25z2

9w2

25z2

15wz

15wz

167

La interpretación geométrica de la diferencia de un binomio al cuadrado es laboriosa. Aquí exponemos una forma de este desarrollo: Dibujamos el cuadrado

del primer término. Trazamos en él, dos rectas

paralelas a dos lados, que sean perpendiculares entre sí, cuya distancia a esos lados sea el valor de la longitud del segundo término.

Quitando la superficie 3ab de a2 por uno de los lados (por el lado de la base); a2 – 3ab

Y quitando la superficie 3ab de a2 por el otro de los lados (lado de la altura); a2 – 3ab

3b

3b

a 2

a

a

3b

- 3ab

a

3b

a

- 3ab

168

Resulta que estamos quitando dos veces una porción comprendida en las superficies 3ab (la intersección en la esquina inferior derecha de este dibujo). Comparemos el quitar dos veces con hacer dos veces negativo un número.

Si levantamos una de las superficies 3ab, la porción que se sale del cuadrado original (a2) equivale a la de intersección de las superficies 3ab. Entonces añadamos a la superficie original (a2) el equivalente a esa intersección.

¿Cuál es la extensión de la superficie de la intersección?

Como sus lados tienen la medida del segundo término, la superficie que se añade es 9b2.

a2

-3ab

-3ab

-3ab

-3ab

a2

-3ab

3b

3b

3b

3b

9b2

169

Ejemplo 8 . Encontrar los factores binomiales del trinomio 4g2 – + 49h2. ¡Cuidado con el signo del segundo término! (1) x2 = 4g2 , extraemos raíz, x = 2g, (2) y2 = 49h2 , al extraer raíz y = 7h. (3) 2xy = – , de (1) y (2) tenemos 2(2g)(7h) = 28gh, con el signo –28gh Entonces, los posibles binomios son: (2g – 7h)2 ó (7h – 2g)2 Y (como todos ¿sabemos? sí – = 28gh, al dividir entre 2, – = 14gh. Como la interpretación geométrica es similar a la anterior, la presentamos en versión corta: Hasta este último ejemplo, se ha considerado sólo la raíz positiva al radicalizar cualquier expresión, en los ejemplos siguientes haremos algunas consideraciones sobre ellas. Ejemplo 9 . Encontrar los factores binomiales de esta diferencia de cuadrados x2 – y2. (1) x2 , extraemos raíz, x, (2) –y2 , extraemos raíz –y2 . A esta expresión no podemos extraerle raíz cuadrada, pero a y2 , sí. Hagámoslo y después analizaremos el signo. (2’) y2 , extraemos raíz, y. ¿Por qué el signo? Si construimos los factores binomiales con las raíces que hemos obtenido tenemos que: (x + y) (x + y) = x2 + 2xy + y2. Factorización cuyo desarrollo es diferente al que se pide en el ejemplo.

2g

7h

7h

2g

14gh

14gh2g2

49h

2

170

Entonces analicemos el signo. El cuadrado de todo número natural, entero o racional, es siempre positivo. Número

• Natural • Entero • Racional

5

–4

a

3/2

–7/x

–cd

w/9

Su cuadrado: (5)2 (–4)2 (a)2 (3/2)2 (–7/x)2 (–cd)2 (w/9)2

25 16 a2 9/4 49/x2 c2d2 w2/81 El producto de todo número entero o racional por su inverso aditivo, es siempre negativo e igual en valor absoluto al de sus cuadrados. Número

• Natural • Entero • Racional

5

–4

a

3/2

–7/x

–cd

w/9

Su inverso aditivo:

–5 4 –a –3/2 7/x cd –w/9

Su producto:

(5)(–5) (–4)(4) (a)(–a) (3/2)(– 3/2) (–7/x)(7/x) (–cd)(cd) (w/9)(–w/9)

–25 –16 –a2 –9/4 –49/x2 –c2d2 –w2/81 Volviendo a nuestro ejemplo, la construcción de los factores binomiales se hará considerando, para el segundo término de cada binomio, lo siguiente: los inversos aditivos (x + y) (x – y) = x2 – xy + xy – y2 = x2 – y2 ,

o bien, las dos raíces y2 = y –y A estos binomios se les llama conjugados.

Se dice que dos binomios son binomios conjugados, si el primer término de ambos es igual y el segundo de cada uno de ellos sólo difiere en el signo.

171

La diferencia de cuadrados se factoriza en dos binomios conjugados, esto es:

x2 – y2 = (x + y) (x – y).

Una interpretación geométrica del producto de binomios conjugados es la siguiente: Dibujamos el cuadrado del primer término. Aumentamos a ese cuadrado, por uno de

sus lados, y en toda su longitud, la longitud del segundo término.

Trazamos una paralela al lado más largo de la nueva figura, cuya distancia a ese lado sea el valor de la longitud del segundo término.

Recortamos sobre la última recta trazada.

a

a a2

ba

b

+

a

a - b

a

ba

b a - bb

b

b

172

Esto es lo que nos queda después del recorte.

Recortamos las figuras de diferente color; una representa a(a – b) y la otra b(a – b). Reacomodamos la figura b(a – b) rotándola 90° en el extremo superior y colindante con la figura restante.

Estamos devolviendo parte de la figura original (el cuadrado).

De manera que lo que le sustrajimos al cuadrado original es el equivalente a una superficie igual al cuadrado del segundo término.

Ejemplo 10 . Encontrar los factores binomiales de esta diferencia de cuadrados 25g2 – 4h2. (1) 25g2 , extraemos raíz, 5g, (2) –4h2 , extraemos “las raíces ” 4h2 = 2h = – 2h, con estas raíces los binomios conjugados son: (5g + 2h) (5g – 2h); (5g + 2h) (5g – 2h) = 25g2 – 10gh + 10gh – 4h2 = 25g2 – 4h2.

a - b

ba

a - b b

a

a

a

b

bb

a2

-b2

173

Con este ejemplo, ofrecemos la versión corta: Medimos y trazamos,

cortamos, rearmamos y

calculamos. Ejemplo 11 . Encontrar los factores binomiales del trinomio m2 + 5m + 6. (1) x2 = m2 , extraemos raíz, x = m; sustituimos en (2) (2) 2xy = 5m , 2(m)y = 5m, dividimos entre 2m, y = 5/2, (3) y2 = 6 , extraemos raíz, y = 6 . No es un número racional. Con estos resultados, sabemos que el trinomio no se factoriza en un binomio al cuadrado ni en binomios conjugados; para estos últimos necesitamos un binomio, ¿entonces qué es esto? Recordemos cómo es el desarrollo de un binomio al cuadrado; utilizaremos m como primer término y como segundos términos a1,2, (haciendo una distinción entre ellos): (m + a)2 = (m + a1)(m + a2) = m(m + a2) + a1(m + a2) =

= m2 + ma2 + a1m + a1a2 = m2 + m(a1 + a2) + a1a2 .

2h

5g

25g2

-4h2-4h2

5g

5g

5g – 2h

2h5g

2h

174

Comparemos los términos del ejemplo con los del desarrollo que hicimos: (1) m2 , este término lo tratamos igual que en los anteriores ejemplos, (2) 5m = m(a1 + a2) (3) 6 = a1a2 las ecuaciones (2) y (3) nos dicen que para los segundos

términos de los factores binomiales, necesitamos dos números que sumados entre sí , den como resultado 5 [(a1 + a2) = 5] y multiplicados entre sí , den 6 [(a1a2) = 6]. Que el producto a1a2 > 0, quiere decir que ambos tienen el mismo signo; o sea, ambos positivos o ambos negativos.

Busquemos parejas de números enteros que cumplan con estas condiciones; las que debemos considerar en primera instancia son aquellas cuyo producto es 6.

Parejas Producto: a1a2 Suma: a1+ a2 Resultado 1 , 6 1 x 6 = 6 1 + 6 = 7 X –1 , –6 (–1) x (–6) = 6 (–1) + (–6) = –7 X 2 , 3 2 x 3 = 6 2 + 3 = 5 ����

–2 , –3 (–2) x (–3) = 6 (–2) + (–3) = –5 X

Son todas; tenemos ganadora y tenemos que el trinomio se factoriza en estos binomios: (m + 2) (m + 3); (m + 2) (m + 3) = m2 + 3m + 2m + 6 = m2 + 5m + 6. ¿Tendrá este trinomio o su factorización en binomios una interpretación geométrica? Desde luego, aquí ofrecemos una.

m + ?

?

+

m

m2

6m?

m?

m + 3

2

+

m

m2

62m

3m

La búsqueda

La búsqueda

La

resp

uest

aLa

re

spue

sta

175

Ejemplo 12 . Encontrar los factores binomiales del trinomio w2 + 3w – 18. Como 18 no es el cuadrado de un número racional, procederemos de modo similar al del ejemplo anterior: (w + p)(w – q) = w2 – wq + wp – pq = w2 + w(p – q) – pq. Y tenemos: (1) w2 , lo tratamos como en los anteriores ejemplos, (2) 3w = w(p – q) (3) –18 = –pq

necesitamos para los segundos términos de los factores binomiales dos números que sumados entre sí , den como resultado 3 [(p – q) = 3] y multiplicados entre sí , den –18 [(–pq) = –18]. Si el producto –pq < 0, entonces tienen diferente signo.

Busquemos parejas de números enteros cuyo producto sea – 18 y sumen 3. Parejas Producto: –pq Suma: p – q Resultado 1 , –18 1 x (–18) = –18 1 – 18 = –17 X –1 , 18 (–1) x 18 = –18 –1 + 18 = 17 X 2 , –9 2 x (–18) = –18 2 – 9 = –7 X –2 , 9 (–2) x 18 = –18 –2 + 9 = 7 X 3 , –6 3 x (–18) = –18 3 – 6 = –3 X –3 , 6 (–3) x 18 = –18 –3 + 6 = 3 � � � �

Son todas; tenemos ganadora y tenemos que el trinomio se factoriza en estos binomios: (w + 6) (w – 3); (w + 6) (w – 3) = w2 – 3w + 6w – 18 = w2 + 3w –18.

Esta es una interpretación geométrica del desarrollo de la factorización del trinomio.

Medimos y trazamos,

cortamos,

w

-wq

wp

qw

-q

-18

w2

pw

w2 6w

-3w -18

176

rearmamos y calculamos. Ejemplo 13 . Encontrar los factores binomiales del trinomio “natural” 3p2 + 14p + 8. Como ni 3 ni 8 tienen raíces racionales, vamos a desarrollar el producto de los siguientes binomios: (ax + by), (cx + dy). ax + by cx + dy acx2 + cbxy cb adxy + bdy2 ad

productos cruzados

acx2 + (cb + ad) xy + bdy2 ; (cb + ad) suma de productos cruzados. Compararemos ahora con el trinomio del ejemplo: (1) acx2 = 3p2 , pero 3 no tiene raíces racionales y (2)

(ad + bc)xy = 14p

(3)

bdy2 = 8 8 tampoco tiene raíces racionales.

Busquemos parejas de números cuyos productos sean 3 y 8 respectivamente; como ambos productos son positivos, los números que compongan tales productos de parejas también lo serán. Parejas (a, c) Producto: ac = 3 1 , 3 1 x 3 = 3 –1 , –3 (–1) x (–3) = 3

w2 6w

-18-18-3w-3w

177

Parejas (b, d) Producto: bd = 8

1 , 8 1 x 8 = 8

–1 , –8 (–1) x (–8) = 8

2 , 4 2 x 4 = 8

–2 , –4 (–2) x (–4) = 8

Suma de productos

cruzados: ad + cb Resultado

(1x8) + (3x1) = 8 + 3 = 11 X (1x2) + (3x4) = 2 + 12 = 14 � � � � ad = 1x2 La factorización es: (ap + b) (cp + d), Sustituyendo: (1p + 4) (3p + 2).

bc = 4x3

El trinomio se factoriza en los binomios: (p + 4) y (3p + 2); (p + 4) (3p + 2) = 3p2 + 2p + 12p + 8 = 3p2 + 14p + 8. Esta es una interpretación geométrica del trinomio:

acx2 + (cb + ad) xy + bdy2

Y esta, la del trinomio del ejercicio: 3p2 + 14p + 8.

ax + by

dy+

c

x

acx2

bcxy

adxy

bdy2p + 4

2

+

3p

3p2

12p

2p 8

178

Ejemplo 14 . Encontrar los factores binomiales del trinomio “natural” 6z2 + 27z – 15. Busquemos parejas cuyos productos sean 6 y –15, respectivamente. Para 6 de igual signo, y para –15 de signo alternados. Parejas (a, c) Producto: ac = 6 1 , 6 1 x 6 = 6 –1 , –6 (–1) x (–6) = 6 2 , 3 2 x 3 = 6 –2 , –3 (–2) x (–3) = 6 Parejas (b, d) Producto: bd = –15 1 , -15 1 x (–15) = –15

–1 , 15 (–1) x 15 = –15

3 , –5 3 x (–5) = –15

–3 , 5 (–3) x 15 = –15

Suma de productos cruzados: ad + cb

Resultado

(1x(–15)) + (6x1) = –15 + 6 = –9 X (2x(–15)) + (3x1) = –30 + 3 = –27 X (2x15) + (3x(–1)) = 30 – 3 = 27 � � � � ad = 2x(–15) La factorización es: (az + b) (cz + d), Sustituyendo: (2z – 1) (3z + 15).

bc = 1x3

El trinomio se factoriza en los binomios: (2z – 1) y (3z + 15); (2z – 1) (3z + 15) = 6z2 + 30z – 3z – 15 = 6z2 + 27z – 15. Una interpretación geométrica del desarrollo del trinomio es ésta (versión corta):

3z

+

15

30z

6z2

-15

-3z

2 z - 1

2 z

30z

6z2

-15

-3z

179

Hagamos un cuadro sinóptico con las diferentes formas de factorizar un trinomio: Signos de los coeficientes de los términos del trinomio

Factorización

ax2 bxy cy2

Primero Segundo Tercero

Trinomios cuadrados perfectos

+ + + ( gx + hy ) ( gx + hy ) ( px + qy )2 – – – (– gx – hy ) (– gx – hy ) ( px + qy )2

Trinomios con un término al cuadrado

+ + + ( gx + ky ) ( gx + my )

+ + – ( gx + py ) ( gx – qy )

+ – – ( gx + py ) ( gx – sy )

+ – ( gx + uy ) ( gx – uy )

Trinomios “comunes”

+ + + ( gx + hy ) ( kx + my )

+ + – ( gx + hy ) ( kx – my )

+ – – ( gx + hy ) ( kx – my )

180

Ejercicios

1. Compara y anota en un cuadro sinóptico, los términos de los 14 ejemplos resueltos en el desarrollo

del tema. Factoriza las siguientes expresiones; trinomios y diferencias de cuadrados: 2. a2 + 6a + 9 3. b2 – 8b + 16 4. 4d2 + 12d + 9 5. h2 + 4b + 4 6. g2 + 7gk + 6k2 7. 9p2 – 30p + 25 8. x2 – x – 12 9. q2 – 10q + 16 10. y2 – 18y + 81 11. z2 – 7zw + 12w2 12. c2 – 12c + 32 13. k2 + 2k – 15 14. m2 + 8m + 12 15. s2 + s – 12 16. 2w2 + w – 3 17. 3v2 – v – 4 18. 2b2 + 9v + 10 19. 8a2 – 2a – 3 20. 4a2 + 28a + 49 21. 64p2 – 167pq + 1q2 22. c2 – 4 23. b2 – 16c2 24. 25u2 – 36w2 25. 121w2 – 169x2 26. 225z2 – 1 27. x4 – y4

181

Matemáticas 3

4: Secciones Cónicas

4. 1: Definición, construcción y ecuaciones canónica y

general (circunferencia y parábola)

Objetivo El estudiante sabrá por qué a las figuras a estudiar en este tema se les llama secciones cónicas. Aprenderá cuáles son sus características, definición, elementos, deducción y como construirlas.

Presentación Se llama sección cónica al lugar geométrico descrito por un punto que se mueve en el plano de tal manera que la razón de su distancia a un punto fijo, llamado foco, entre su distancia a una recta dada fija, llamada directriz, es siempre igual a una constante positiva. La razón de estas distancias se llama excentricidad de la cónica. A las figuras geométricas como la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola se les llama secciones cónicas porque se extraen de cortes, en diferentes inclinaciones, a un par de conos circulares encontrados por sus vértices y que tienen el mismo eje. Comenzaremos por construir la estructura de los dos conos circulares.

C r

P

F d

P

C r

PC

r P

F d

P

F d

P

182

Conos encontrados sobre su eje Si ahora atravesamos estos conos con hojas

cuya inclinación sea perpendicular al eje de los conos , ¿qué figuras obtenemos?

Imagínate viéndolos desde el eje. ¡Circunferencias! Desde luego, circunferencias concéntricas en donde el eje, al que vemos sólo como un punto, es el centro de ellas. ¿Cómo se define la Circunferencia? Circunferencia . Es el lugar geométrico de los puntos que guardan la misma distancia a un punto fijo en el mismo plano . Al punto fijo se le llama centro de la circunferencia y a la distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia se le llama radio de la circunferencia .

183

La circunferencia posee puntos y líneas de importancia para su cálculo y dibujo, mencionamos e ilustramos algunos de ellos:

C es el centro de la circunferencia.

El trazo con línea verde , es la circunferencia . La distancia de C a cualquier punto P de la circunferencia es el radio de la circunferencia. El segmento comprendido entre los puntos D1 y D2 y que atraviesa el centro, es el diámetro . La línea que toca en un solo punto a la circunferencia, continuándose en cualquiera de sus dos direcciones, es la tangente y el punto de contacto es el punto T de tangencia . La línea que corta a la circunferencia en dos puntos sin atravesar por el centro es una secante .

El segmento de una secante comprendido dentro de la circunferencia S1S2 es una cuerda y la sección de circunferencia comprendida entre S1 y S2 es un arco . Comúnmente se considera como arco la sección de circunferencia más corta comprendida entre los puntos S1 y S2.

Si esto lo consideramos en el plano cartesiano y asentamos el centro de la circunferencia en el origen , lo que obtenemos es lo siguiente:

d (P, O) = r x2 + y2 = r

elevando al cuadrado ambos términos, x2 + y2 = r2

C

T

P

S1

S2

D1

D2

r

C

T

P

S1

S2

D1

D2

r

0 X

Y

P (x, y)

184

Ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen .

Cuando la circunferencia tiene centro fuera del origen , ésta es la ecuación:

d (P, C) = r (x – h)2 + (y – k)2 = r

elevando al cuadrado,

(x – h) 2 + (y – k) 2 = r2

Ecuación canónica de la circunferencia .

¿Cómo se dibuja una circunferencia en una hoja de papel? Implementos: hoja de papel, lápiz, cordel y compás. Proceso: 1.a. Toma la hoja de papel, de preferencia sin rayas para que sea mejor la apreciación, 2.a. Sobre la hoja marca, más o menos centrado, un punto haciendo una pequeña cruz, 3.a. Ata el lápiz con el cordel y deslizando el cordel entre los dedos una porción adecuada, apoya los

dedos sobre el punto marcado en la hoja, 4.a.Toma el lápiz, estira el cordel y dibuja la circunferencia en derredor de los dedos que permanecen

fijos y … 5.a. Haz dibujado una circunferencia. O bien, con los mismos implementos: 1. b. Igual que 1.a, 2. b. Igual que 2.a, 3. b. Separa los brazos del compás en una abertura adecuada, apoya la aguja sobre el punto

marcado en la hoja. 4. b. Haz girar el compás apoyando el extremo de la tiza y dibuja la circunferencia en derredor del

punto fijo. 5. b. Haz dibujado una circunferencia.

0 X

Y

P (x, y)

C (h, k)

185

¿Cómo se dibuja una circunferencia en un plano cartesiano?

Las mismas consideraciones que para dibujarla sobre una hoja de papel, pero asentando la aguja del compás en las coordenadas que se nos dan como el centro. Separa los brazos del compás la longitud que se te da como el radio y finalmente dibuja la circunferencia.

Este es el resultado de cortar uno de los conos con una sola hoja perpendicular al eje de los dos conos.

Volvamos a la ecuación canónica y desarrollémosla.

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2

x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0 , haciendo – 2h = D – 2k = E h2 + k2 – r2 = F

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Esta es la ecuación general de la circunferencia .

186

Ejercicios

Encontrar la ecuación general de las circunferencias y trazar sus gráficas. 1. Centro en el origen y radio 4 2. Centro en el origen r = 5

3. r = 7 y centro en el origen 4. Centro en el origen y pasa por P (3, 4)

5. Centro en el origen y pasa por P (5, 0) 6. Su diámetro es P (1, 1), Q (–1,–1)

7. Pasa por U (2, 1/3) y centro en el origen 8. r = 4/7 y centro en el origen

9. Centro C (0, 0) y pasa por V (–5, 5) 10. Pasa por W (5/2, 8/3) y centro C (0, 0)

11. Centro en (3, –2) y radio 12 12. Centro en (–4, –3) y radio 7

13. Centro en (4, –5) y pasa por el origen 14. Centro en (5, 2) y tangente al eje X

15. Centro en (a, b) y radio 6 16. Radio 3/4 y centro (1, 3)

17. Los puntos (–1, 1), (7, 7) son diámetro 18. Centro en (0, 0) y tangente a x = 3

19. Centro (4, –5) y pasa por (0, –2) 20. Centro (0, 3) y tangente al eje X

Con otro par de conos, aunque sólo atravesaremos uno a la vez como en la circunferencia, y con hojas cuya inclinación sea paralela a cualquier recta que se desplace sobre las caras con curvatura de ambos conos , ¿qué figuras obtenemos?

Imagínate viendo el corte desde el eje.

187

¡Una Parábola! Separamos el corte para mejor apreciación.

Parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a una recta fija es igual a la distancia a un punto fijo en el mismo plano y fuera de la recta . A la recta fija se le llama directriz y al punto fi jo se le llama foco de la parábola. La parábola ostenta puntos y líneas de importancia para su cálculo y dibujo, mencionemos e ilustramos algunos de ellos: F es el foco de la parábola. La recta R1 es la directriz . La recta R2 que atraviesa el foco y es perpendicular a la directriz , es el eje de la parábola . El punto A, es el punto de intersección del eje y la directriz . El punto V, punto medio del segmento AF, pertenece a la parábola y es el vértice de la parábola . La distancia FV que es igual a la VA (FV = VA), por definición, es la distancia paramétrica (p). El segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábol a se llama cuerda ; en particular, una cuerda que atraviesa el foco se llama cuerda focal .

F

V

L 1 L 2

R 1

R 2

A

188

La cuerda focal L1L2 perpendicular al eje se denomina lado recto de la parábola y es igual a 4p (L1L2 = 4p). Parábola a) En el plano cartesiano,

asentando el vértice de la parábola en el origen y directriz paralela al eje X .

d (P, F) = D (P, R1) x2 + (y – p)2 = y + p

elevando al cuadrado ambos términos,

x2 + y2 – 2yp + p2 = y2 + 2yp + p2

restando en ambos términos y2 y p2, tenemos

x2 = 4yp que es la ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen y directriz paralela al eje X .

¿Cómo es el desarrollo si el vértice de la

parábola está en el origen y directriz es paralela al eje Y ?

Parábola. b) Este sería nuestro esquema y este nuestro desarrollo:

d (P, F) = D (P, R1)

(x – p)2 + y2 = x + p

elevando al cuadrado x2 – 2xp + p2 + y2 = x2 + 2xp + p2

y2 = 4xp Esta es la ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen y directriz paralela al eje Y .

F (0, p)

Y

X

y = - p

0

P (x, y)

Y

X

x = - p

0 F (p, 0)

P (x, y)

Y

X

x = - p

0 F (p, 0)

P (x, y)

189

Es común encontrarse con parábolas cuya directriz es paralela a alguno de los ejes coordenados pero su vértice fuera del origen . Entonces “trasladamos ” los ejes coordenados de modo que el nuevo origen O’ coincida con V (h, k) y la ecuación de la parábola estará en referencia a los “nuevos ” ejes coordenados X’ Y’ y tendrá la forma: Parábola a’) Directriz paralela al eje X .

x’2 = 4y’p

Las “nuevas”coordenadas del foco serán: F (h, yf).

La transformación de coordenadas estará dada por

x = x’ + h , y = y’ + k x’ = x – h , y’ = y – k ; y la ecuación toma la forma

(x – h) 2 = 4p (y – k) Ecuación canónica de la parábola con V (h, k) y eje paralelo al eje Y .

Parábola. b’) directriz paralela al eje Y .

y’2 = 4x’p

Las “nuevas”coordenadas del foco

F (xf, k)

La transformación de coordenadas es la misma que en el inciso a) y la ecuación toma la forma

(y – k) 2 = 4p (x – h)

Ecuación canónica de la parábola con C (h, k) y eje paralelo al eje X .

F

Y

X 0

V (h, k)

Y’

X’ 0’

Y

X 0

F V (h, k)

Y’

X’ 0’

190

Este es el resultado de cortar uno de los conos con una sola hoja paralela a las caras curvas de los dos conos.

Manteniendo la inclinación de la hoja, paralela a las caras curvas, podría esta hoja “cortar ” o hacer contacto con ambos conos . Discútelo en clase o con tus compañeros al trabajar en grupo. Igual que con la circunferencia desarrollemos las ecuaciones canónicas de la parábola.

P. a’) Ecuación canónica de la parábola con C (h, k) y eje paralelo al eje X

P. b’) Ecuación canónica de la parábola con C (h, k) y eje paralelo al eje Y

(x – h)2 = 4p (y – k) (y – k)2 = 4p (x – h)

x2 – 2hx + h2 = 4py – 4pk y2 – 2ky + k2 = 4px – 4ph

x2 – 2hx – 4py + h2 + 4pk = 0 y2 – 4px – 2ky + k2 + 4ph = 0

haciendo – 2h = D haciendo – 4p = D

– 4p = E – 2k = E h2 + 4pk = F k2 + 4ph = F

x2 + Dx + Ey + F = 0 y2 + Dx + Ey + F = 0

Y estas son las ecuaciones generales de la parábola .

191

Aquí tenemos otro cono cortado por una hoja y que nos arroja una parábola.

Ejercicios

Hallar la ecuación general de las parábolas, las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz y del eje, la longitud del lado recto, según haga falta, y trazar sus gráficas. 1. Vértice en el origen y directriz y = –3 2. Vértice (0, 0) y directriz x = –5

3. Foco (0, 5) y directriz y = –5 4. Directriz y = 2 y foco (0, –2)

5. Vértice (0, 0) y foco (4, 0) 6. Foco (0, 3) y vértice en el origen

7. Vértice (0, 0) y foco (–6, 0) 8. Vértice (0, 0) y directriz y = –1

9. Vértice (0, 0), parámetro 2 y directriz y = –3

10. Directriz x = 7 vértice en el origen

11. Vértice (4, 0) directriz y = –2 12. Vértice (6, 2), parámetro 1/2 y directriz paralela al eje X

13. Foco (3, 2) y directriz y = –4 14. Directriz x = –1 y foco (3, 5)

15. Vértice (3, 3) y foco (3, 1) 16. Foco (4, –3) y directriz y = 1

17. Vértice (a, b) directriz x = 5 18. Vértice (3, 4) y foco (3, 2)

19. Vértice (–2, 3), parámetro 2 20. Directriz = 3 foco (3, 2)

192

Hagamos un resumen de las ecuaciones, canónicas y generales, que hemos desarrollado: Ecuaciones Canónicas Ecuaciones Generales Circunferencia

x2 + y2 = r2

(x – h)2 + (y – k)2 = r2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Parábola

x2 = 4yp

y2 = 4xp

(x – h)2 = 4p (y – k) x2 + Dx + Ey + F = 0

(y – k)2 = 4p (x – h) y2 + Dx + Ey + F = 0

193

Matemáticas 3

4: Secciones Cónicas

4. 2: Definición, construcción y ecuaciones canónica y

general (elipse e hipérbola)

Objetivo El estudiante sabrá cuál es la definición de la elipse e hipérbola. Aprenderá también cuáles son sus características, elementos, deducción y como construirlas.

Presentación Como ya sabemos, se le llama sección cónica al luga r geométrico descrito por un punto que se mueve en el plano de tal manera que la razón de su distancia a un punto fijo, llamado foco, entre su distancia a una recta dada fija, llamada d irectriz, es siempre igual a una constante positiva. La razón de estas distancias se llama exc entricidad de la cónica. A las figuras geométricas como la elipse e hipérbola se les llama secciones cónicas porque se extraen de cortes, en diferentes inclinaciones, a un par de conos circulares encontrados por sus vértices y que tienen el mismo eje.

C

F1

F2

P

F1 F2

C

P

C

F1

F2

P

C

F1

F2

P

F1 F2

C

P

F1 F2

C

P

194

Construyamos la estructura de los dos conos circulares.

Conos encontrados sobre su eje Ahora atravesaremos este par de conos con hojas cuya

inclinación no sea perpendicular al eje ni paralela al eje o a las caras curvas de los conos , ¿Qué figuras obtenemos?

Imagínate viendo estas hojas desde el eje. ¡Elipses!, desde luego. El eje coincide, los puntos en rojo son los focos de la elipse amarilla y los morados son los focos de la elipse anaranjada.

Eje coincidente

Focos de la elipse amarilla

Focos de la elipse

anaranjada

195

¿Cómo se define la Elipse? Elipse . Es el lugar geométrico de los puntos tales que la s uma de sus distancias a dos puntos fijos en el mismo plano es igual a una constante , siempre mayor que la distancia entre los puntos fijos. A los puntos fijos se les llama focos de la elipse. La elipse tiene puntos y líneas de importancia para su cálculo y construcción, aquí mencionamos e ilustramos algunos de ellos: F1 y F2 son los focos de la elipse. La recta R1 que atraviesa los focos es el eje focal . El eje focal corta a la elipse en los puntos V1 y V2 llamados vértices. El segmento del eje focal comprendido entre los vértices se llama eje mayor . El punto C sobre el eje focal, punto medio entre focos y entre vértices , se llama centro . La recta R2 que pasa por C y es perpendicular al eje focal es el eje normal . El eje normal corta a la elipse en los puntos B1 y B2 y el segmento comprendido entre ellos se llama eje menor . El segmento comprendido entre cualesquiera dos punto s de la elipse se llama cuerda y si atraviesa alguno de los focos se llama cuerda focal . La cuerda L1L2, perpendicular al eje focal y que atraviesa un foco se llama lado recto . El triángulo que forman los puntos C, F2 y B1 es un triángulo rectángulo y por lo tanto las distancias entre ellos cumplen con el teorema de Pitágoras (a2 = b2 + c2). Si los puntos B1 y B2, extremos del eje menor , pertenecen a la elipse, la suma de sus distancias , cada uno por separado, a los focos es igual a 2a, por el triángulo de Pitágoras formado con los puntos C, F2 y B1 o B2, o los puntos C, F1 y B1 o B2, de la elipse, y tenemos:

F1 F2

V1 V2

B1

B2

C

ab

c

L1

L2

R1

R2

196

La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es entonces 2a. La distancia entre los vértices V1 y V2, de la elipse, es también igual a 2a.

Elipse a) Sobre el plano cartesiano, con centro en el origen y eje mayor el eje X .

d (P, F1) + d (P, F2) = 2a

de la fórmula para la distancia entre dos puntos

d (P, F1) = (x + c)2 + y2 d (P, F2) = (x – c)2 + y2 (x – c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 = 2a

restamos el segundo radical en ambos términos

(x – c)2 + y2 = 2a – (x + c)2 + y2 , y esta expresión la elevamos al cuadrado

(x – c)2 + y2 = 4a2 – 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2 + y2

x2 – 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a (x + c)2 + y2 + x2 + 2cx + c2 + y2 simplificando

– 4cx = 4a2 – 4a (x + c)2 + y2 dividimos entre –4 toda la expresión

cx = – a2 + a (x + c)2 + y2

cx + a2 = a (x + c)2 + y2 elevamos nuevamente al cuadrado

c2x2 + 2a2cx + a4 = a2 (x2 + 2cx + c2 + y2)

c2x2 + 2a2cx + a4 = a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2y2 restamos 2a2cx

c2x2 + a4 = a2x2 + a2c2 + a2y2 reacomodando obtenemos

X

Y

P (x, y)

CF1(-c, 0) F2(c, 0)

ab

c

197

a2x2 – c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2 factorizando

(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2 (a2 – c2) del triángulo de Pitágoras dentro de la elipse a2 = b2 + c2 ; b2 = a2 – c2 sustituyendo

b2x2 + a2y2 = a2b2 dividiendo entre a2b2

x2 y2 a2

+ b2

= 1 Y esta es la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen y eje mayor sobre el eje X.

Elipse b) Ahora con centro en el origen y

eje mayor el eje Y .

d (P, F1) + d (P, F2) = 2a d (P, F1) = x2 + (y – c)2 d (P, F2) = x2 + (y + c)2

x2 + (y – c)2 + x2 + (y + c)2 = 2a

restamos el segundo radical en ambos términos

x2 + (y – c)2 = 2a – x2 + (y + c)2

elevamos al cuadrado x2 + (y – c)2 = 4a2 – 4a x2 + (y + c)2 + x2 + (y + c)2

x2 + y2 – 2cy + c2 = 4a2 – 4a x2 + (y + c)2 + x2 + y2 + 2cy + c2

simplificando – 4cy = 4a2 – 4a x2 + (y + c)2

dividimos entre –4 la expresión cy = – a2 + a x2 + (y + c)2

cy + a2 = a x2 + (y + c)2

elevamos al cuadrado c2y2 + 2a2cy + a4

= a2 (x2 + y2 + 2cy + c2)

c2y2 + 2a2cy + a4 = a2x2 + a2y2 + 2a2cy + a2c2

X

Y

P (x, y)

C

F1(0, c)

F2(0, -c)

a

b

c

198

restamos 2a2cy c2y2 + a4 = a2x2 + a2y2 + a2c2

reacomodando a2x2 – c2y2 + a2y2 = a4 – a2c2

factorizando a2x2 + (a – c)2y2 = a2 (a2 – c2)

del triángulo de Pitágoras a2 = b2 + c2 ; b2 = a2 – c2

sustituyendo a2x2 + b2y2 = a2b2

x2 y2

b2 +

a2 = 1 dividiendo entre a2b2

Ecuación canónica de la elipse con centro en el origen y eje mayor sobre el eje Y .

Elipse a’) Sobre el plano , con centro fuera

del origen y eje mayor paralelo al eje X .

Al igual que con la parábola con vértice fuera del origen, “trasladamos ” los ejes coordenados de modo que el nuevo origen O’ coincida con C (h, k) y la ecuación de la elipse estará en referencia a los “nuevos ” ejes coordenados X’ Y’ .

La transformación de coordenadas estará dada por

x = x’ + h, y = y’ + k x’ = x – h , y’ = y – k

x’2 y’2 y la ecuación canónica con centro en O’ a2

+ b2

= 1 toma la forma

(x – h) 2 (y – k) 2 a2

+ b2

= 1 Ecuación canónica de la elipse con eje mayor paralelo al eje X .

X

Y

C (h,k)F1 F

ab

c

Y’

X’

0

0’

199

Elipse b’) Sobre el plano , con centro fuera del origen y eje mayor paralelo al eje Y .

La misma transformación de coordenadas que líneas arriba y la ecuación canónica con centro en O’

x’2 y’2 b2

+ a2

= 1 toma la forma

(x – h) 2 (y – k) 2 b2

+ a2

= 1

Ecuación canónica de la elipse con eje mayor parale lo al eje Y . Esta es la imagen de uno de los conos cortado por una hoja en un ángulo que no sea perpendicular al eje ni paralelo al eje o a la cara curva del cono. Desarrollemos ahora las ecuaciones canónicas de la elipse. Ecuaciones canónicas de la elipse con: Elipse a’) Centro , C (h, k), fuera del origen y eje paralelo al eje X (x – h)2 (y – k)2 a2

+ b2

= 1 multiplicamos por a2b2

X

Y

C (h, k)

F1

F2

a

b

c

X’

Y’

0

0’

200

b2(x – h)2 + a2(y – k)2 = a2b2

b2(x2 – 2xh + h2) + a2(y2 – 2yk + k2) = a2b2

b2x2 – 2b2xh + b2h2 + a2y2 – 2a2yk + a2k2 = a2b2

b2x2 + a2y2 – 2b2xh – 2a2yk + b2h2 + a2k2 – a2b2 = 0

haciendo b2 = A a2 = C

– 2b2h = D – 2a2k = E

b2h2 + a2k2 – a2b2 = F

Ax 2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Ecuación general de la elipse .

Elipse b’) Centro , C (h, k), fuera del origen y eje paralelo al eje Y (x – h)2 (y – k)2 b2

+ a2

= 1 multiplicamos por a2b2

a2(x – h)2 + b2(y – k)2 = a2b2

a2(x2 – 2xh + h2) + b2(y2 – 2yk + k2) = a2b2

a2x2 – 2a2xh + a2h2 + b2y2 – 2b2yk + b2k2 = a2b2

a2x2 + b2y2 – 2a2xh – 2b2yk + a2h2 + b2k2 – a2b2 = 0

haciendo a2 = A

b2 = C – 2a2h = D – 2b2k = E

a2h2 + b2k2 – a2b2 = F Fíjate que no son las mismas variables que el caso anterior .

Ax 2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Ecuación general de la elipse .

201

El cono cortado en donde las caras de las secciones son dos elipses.

Ejercicios

Encontrar la ecuación general de las siguientes elipses, las coordenadas de los vértices, focos, extremos del eje mayor y eje menor, las ecuaciones de los ejes, según haga falta y trazar las gráficas. Los ejercicios con número non, tienen eje mayor sob re o paralelo al eje X , mientras que los números pares lo tienen sobre el eje Y . Los ejercicios 1 a 10, tienen centro en el origen (C = (0, 0)); los ejercicios 11 a 16, centro fuera del origen. 1. Eje mayor 10 y eje menor 6 2. Eje mayor 7 y eje menor 2

3. D(F1,F2) = 30 y eje menor 16 4. Eje mayor 50 y D(F1,F2) = 48

5. Eje mayor 14 y eje menor 5 6. D(F1,F2) = 12 y eje menor 8

7. D(C, F1) = 8 y eje menor 8 8. Eje mayor 30 y eje menor 18

9. D(C, F1) = 8 y D(C, V1) = 12 10. D(C, V1) = 11 y eje menor 9

11. C(5, 3), V(7, 3) y extremo del eje menor B(5, 2)

12. C(5, 4), V(5, –4) y extremo del eje menor B(2, 4)

13. F( –7, 5), V(9, 5) y eje mayor 20 14. C(1, –1), V(–2, –1) y F( 3, –1)

15. C(2, –3), eje mayor 9, eje menor // eje X y su longitud 4

16. C(–3, –2), a = 7, b = 2 y su eje mayor // eje Y

202

Al último par de conos lo atravesaremos cuya inclinación sea paralela al eje de ambos conos , ¿qué figura obtenemos?

¡Hipérbola!, una rama en cada cono.

Ésta sería la vista que tendríamos si la imaginamos desde el eje.

Pero no es tan ilustrativa, así es que la imaginaremos en una vista lateral. ¿Cómo se define la hipérbola? Hipérbola . Es el lugar geométrico de los puntos de tal forma q ue el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos en el mismo plano es igual a una constante , siempre positiva y menor que la distancia entre los puntos fijos. A los puntos fijos se les llama Focos de la hipérbola.

203

La hipérbola, al igual que las figuras anteriores, tiene puntos y líneas de importancia para su cálculo y construcción, aquí mencionamos e ilustramos algunos de ellos: F1 y F2 son los focos de la hipérbola. La recta R1 que atraviesa los focos es el eje focal . El eje focal corta a la elipse en los puntos V1 y V2 llamados vértices. El segmento del eje focal comprendido entre los vértices se llama también eje transverso . El punto C sobre el eje transverso, punto medio entre focos y entre vértices , se llama centro . La recta R2 que pasa por C y es perpendicular al eje focal es el eje normal . El eje normal no corta a la hipérbola aunque la porción de este eje comprendida entre los puntos B1 y B2 se llama eje conjugado . El segmento comprendido entre cualesquiera dos punto s de la elipse se llama cuerda . Estos puntos pueden ser de la misma rama o de ambas ramas; si la cuerda atraviesa alguno de los focos se llama cuerda focal . La cuerda L1L2, perpendicular al eje focal y que atraviesa un foco se llama lado recto . Teniendo la hipérbola dos focos, tendrá también dos lados rectos. El triángulo que forman los puntos C, V2 y B1 es un triángulo rectángulo y por lo tanto las distancias entre ellos cumplen con el teorema de Pitágoras (c2 = a2 + b2). Los puntos B1 y B2, extremos del eje conjugado , NO pertenecen a la elipse. La diferencia de las distancias, en valor absoluto, de los vértices V1 y V2, cada uno por separado, a los focos, es igual a 2a; por el triángulo de Pitágoras formado con los puntos C, V2 y B1 o B2, o los puntos C, V1 y B1 o B2, de la elipse, y así: El valor absoluto se la diferencia de las distancia s de cualquier punto de la hipérbola a los focos es entonces 2a.

C R 1

R 2

V 1 V 2 a

b c

F 2

L 1

L 2

B 1

B 2

F 1

204

Hipérbola. a) sobre el plano cartesiano, con centro en el origen y eje focal el eje X .

d (P, F1) – d (P, F2) = 2a

de la fórmula para la distancia entre dos puntos

d (P, F1) = (x + c)2 + y2 d (P, F2) = (x – c)2 + y2 (x – c)2 + y2 – (x + c)2 + y2 = 2a

restamos el segundo radical en ambos términos

(x – c)2 + y2 = 2a + (x + c)2 + y2 , elevamos al cuadrado

(x – c)2 + y2 = 4a2 + 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2 + y2

x2 – 2cx + c2 + y2 = 4a2 + 4a (x + c)2 + y2 + x2 + 2cx + c2 + y2 simplificando

– 4cx = 4a2 + 4a (x + c)2 + y2 dividimos entre –4 toda la expresión

cx = – a2 – a (x + c)2 + y2

cx + a2 = – a (x + c)2 + y2 elevamos nuevamente al cuadrado

c2x2 + 2a2cx + a4 = a2 (x2 + 2cx + c2 + y2)

c2x2 + 2a2cx + a4 = a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2y2 restamos 2a2cx

c2x2 + a4 = a2x2 + a2c2 + a2y2 reacomodando obtenemos

– a2x2 + c2x2 – a2y2 = – a4 + a2c2 factorizando

(c2 – a2)x2 – a2y2 = a2 (c2 – a2) del triángulo de Pitágoras dentro de la hipérbola c2 = a2 + b2 ; b2 = c2 – a2 sustituyendo

C X

Y

a

b c

P (x, y)

F 1 ( - c, 0)

F 2 (c, 0)

205

b2x2 + a2y2 = a2b2 dividiendo entre a2b2

x2 y2 a2

– b2

= 1 Y esta es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en el origen y eje focal el eje X .

Hipérbola. b) ahora con centro en el origen y eje focal el eje Y .

d (P, F1) – d (P, F2) = 2a d (P, F1) = x2 + (y – c)2 d (P, F2) = x2 + (y + c)2

x2 + (y – c)2 – x2 + (y + c)2 = 2a

restamos el segundo radical en ambos términos

x2 + (y – c)2 = 2a + x2 + (y + c)2

elevamos al cuadrado x2 + (y – c)2 = 4a2 + 4a x2 + (y + c)2 + x2 + (y + c)2

x2 + y2 – 2cy + c2 = 4a2 + 4a x2 + (y + c)2 + x2 + y2 + 2cy + c2

simplificando – 4cy = 4a2 + 4a x2 + (y + c)2

dividimos entre –4 la expresión cy = – a2 – a x2 + (y + c)2

cy + a2 = – a x2 + (y + c)2

elevamos al cuadrado c2y2 + 2a2cy + a4 = a2 (x2 + y2 + 2cy + c2)

c2y2 + 2a2cy + a4 = a2x2 + a2y2 + 2a2cy + a2c2

restamos 2a2cy c2y2 + a4 = a2x2 + a2y2 + a2c2

C X

Y

P (x, y)

c b

a

F 1 (0, c)

F 2 (0, - c)

206

reacomodando – a2x2 + c2y2 – a2y2 = – a4 + a2c2

factorizando – a2x2 + (c – a)2y2 = a2 (c2 – a2)

del triángulo de Pitágoras c2 = a2 + b2 ; b2 = c2 – a2 sustituyendo

sustituyendo – a2x2 + b2y2 = a2b2

cambiando el orden b2y2 – a2x2 = a2b2

y2 x2

a2 –

b2 = 1 dividiendo entre a2b2

Ecuación canónica de la elipse con centro en el origen y eje focal el eje Y.

Hipérbola a’) ahora con centro fuera del

origen y eje focal paralelo al eje Y .

Al igual que hicimos con la parábola y la elipse con vértice fuera del origen, “trasladamos ” los ejes coordenados de modo que el nuevo origen O’ coincida con C (h, k) y la ecuación de la hipérbola estará en referencia a los “nuevos ” ejes coordenados X’ Y’ .

La transformación de coordenadas estará dada por

x = x’ + h , y = y’ + k x’ = x – h , y’ = y – k

x’2 y’2 y la ecuación canónica con

centro en O’ a2 –

b2 = 1 toma la forma

(x – h) 2 (y – k) 2 a2

– b2

= 1 Ecuación canónica de la hipérbola con eje focal paralelo al eje X .

C (h, k) X’

Y’

a

b c

F 1 F 2

Y

X 0

0’

207

Este es el resultado del corte que hicimos a los dos conos. H. b’) Sobre el plano , con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje Y . La misma transformación de coordenadas que hemos hecho anteriormente y la ecuación canónica con centro en O’

y’2 x’2 a2

– b2

= 1 toma la forma

(y – k) 2 (x – h) 2 a2

– b2

= 1

Ecuación canónica de la hipérbola con eje focal par alelo al eje Y .

C (h, k) X’

Y’

c

b

a

F 1

F 2

Y

X 0

0’

208

Desarrollemos ahora las ecuaciones canónicas de la hipérbola. Ecuaciones canónicas de la hipérbola con: H. a’) Centro , C (h, k), fuera del origen y eje paralelo al eje X . (x – h)2 (y – k)2 a2

– b2

= 1 multiplicamos por a2b2

b2(x – h)2 – a2(y – k)2 = a2b2

b2(x2 – 2xh + h2) – a2(y2 – 2yk + k2) = a2b2

b2x2 – 2b2xh + b2h2 – a2y2 + 2a2yk – a2k2 = a2b2

b2x2 – a2y2 – 2b2xh + 2a2yk + b2h2 – a2k2 – a2b2 = 0

haciendo b2 = A

– a2 = C

– 2b2h = D 2a2k = E

b2h2 – a2k2 – a2b2 = F

Ax 2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Ecuación general de la hipérbola .

H. b’) Centro , C (h, k), fuera del origen y eje paralelo al eje Y (y – k)2 (x – h)2 a2

– b2

= 1 multiplicamos por a2b2

b2(y – k)2 – a2(x – h)2 = a2b2

b2(y2 – 2yk + k2) – a2(x2 – 2xh + h2) = a2b2

b2y2 – 2b2yk + b2k2 – a2x2 + 2a2xh – a2h2 = a2b2

– a2x2 + b2y2 + 2a2xh – 2b2yk – a2h2 + b2k2 – a2b2 = 0

209

haciendo – a2 = A b2 = C

2a2h = D – 2b2k = E

– a2h2 + b2k2 – a2b2 = F , no son las mismas

variables que el caso anterior .

Ax 2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Ecuación general de la hipérbola .

Si además de hacer el corte volteamos las secciones pequeñas de los conos, esto es lo que obtenemos:

Ejercicios

Encontrar la ecuación general de las siguientes hipérbolas, las coordenadas de los vértices, focos, extremos del eje conjugado, la distancia focal, la distancia del eje transverso, la distancia del eje conjugado, las ecuaciones de las asíntotas, según haga falta y trazar las gráficas. Los ejercicios con número non, tienen eje de la hipérbola sobre o para lelo al eje X , mientras que los números pares lo tienen sobre o paralelo al eje Y . Los ejercicios 1 a 10, tienen centro en el origen (C = (0, 0)); los ejercicios 11 a 16, centro fuera del origen.

210

1. Eje conjugado 13 y eje transverso 5 2. Eje conjugado 8 y eje transverso 3

3. D(V1,V2) = 27 y eje conjugado 15 4. Eje conjugado 37 y D(V1,V2) = 31

5. Eje transverso 15 y eje conjugado 7 6. D(V1,V2) = 14 y eje transverso 5

7. D(C, V1) = 7 y eje transverso 10 8. Eje conjugado 23 y eje transverso 17

9. D(C, F1) = 9 y D(C, V1) = 14 10. D(C, V1) = 3 y eje conjugado 7

11. C(5, 3), V(7, 3) y extremo del eje conjugado B(5, 2)

12. C(5, 4), V(5, –4) y extremo del eje conjugado B(2, 4)

13. F( –7, 5), V(9, 5) y eje transverso 20 14. C(1, –1), V(–2, –1) y F( 3, –1)

15. C(2, –3), eje conjugado 9, eje transverso // eje X y su longitud 4

16. C(–3, –2), a = 7, b = 2 y su eje transverso // eje Y

Para cerrar los temas de las secciones cónicas, hag amos un resumen de las ecuaciones, canónicas y generales que hemos desarrollado en est e tema y el anterior: Ecuaciones Canónicas Ecuaciones Generales Circunferencia

x2 + y2 = r2

(x – h)2 + (y – k)2 = r2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Parábola

x2 = 4yp

y2 = 4xp

(x – h)2 = 4p (y – k) x2 + Dx + Ey + F = 0

(y – k)2 = 4p (x – h) y2 + Dx + Ey + F = 0

211

Elipse x2 y2 a2

+ B2

= 1

x2 y2

b2 +

A2 = 1

(x – h)2 (y – k)2 a2

+ b2

= 1

(x – h)2 (y – k)2 b2

+ a2

= 1 Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Hipérbola x2 y2 a2

– b2

= 1

y2 x2

a2 –

b2 = 1

(x – h)2 (y – k)2 a2

– b2

= 1

(y – k)2 (x – h)2 a2

– b2

= 1 Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

212

Matemáticas 3

4: Secciones Cónicas

4. 3: Ecuación canónica y ecuación general; desarrollo, factorización y elementos. Transformación de una en

otra (circunferencia y parábola)

Objetivo El estudiante aprenderá a desarrollar, dados los elementos de una sección cónica, la ecuación canónica en ecuación general de cónicas, así como teniendo una ecuación general de cónicas, encontrar la sección de que se trata, su ecuación canónica y sus elementos a partir de ésta.

Presentación Comenzaremos por transformar una ecuación canónica de una circunferencia, dados sus elementos, en su propia ecuación general con el siguiente Ejemplo 1 . Circunferencia con centro en (3, –1) y radio 5. Hallar su ecuación general.

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

213

Ecuación canónica de la circunferencia Dibujo en el plano cartesiano

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

sustitución y desarrollo

(x – 3)2 + (y + 1)2 = 52

x2 – 6x + 9 + y2 + 2y + 1 = 25

x2 + y2 – 6x + 2y + 10 = 25

x2 + y2 – 6x + 2y – 15 = 0

Ecuación general

El dibujo es fácil si contamos con el centro y el radio, pero dada la circunferencia en su ecuación general ¿podríamos dibujarla sin recurrir a la obtención de sus elementos (centro y radio)? Vayamos por partes, tenemos aquí dos preguntas:

¿Cómo dibujarla sin hacer uso de sus elementos? ¿Cómo encontrar sus elementos? La respuesta a la primera pregunta es:

Despejando “y”, que desarrollaremos de la ecuación general del ejemplo 1 .

x2 + y2 – 6x + 2y – 15 = 0 y2 + 2y = – x2 + 6x + 15 completamos el trinomio y2 + 2y + 1 = – x2 + 6x + 15 + 1

factorizamos (y + 1)2 = – x2 + 6x + 16 extraemos raíz y + 1 = ± – x2 + 6x + 16 y = – 1 ± – x2 + 6x + 16

Ahora tabulamos.

Eje X

Eje Y

5

C (3, - 1)

o

214

Para cada valor de x tendremos dos estimados en y.

x y1 (rama positiva)

– 1 + – x2 + 6x + 16

–2 –1 + (–(–2)2 + 6(–2) + 16)1/2 –1 + (–4 –12 + 16)1/2 –1 + (0)1/2 –1 + 0 –1.0

–1 –1 + (–(–1)2 + 6(–1) + 16)1/2 –1 + (–1 –6 + 16)1/2 –1 + (9)1/2 –1 + 3 2.0

0 –1 + (–(0)2 + 6(0) + 16)1/2 –1 + (0 + 0 + 16)1/2 –1 + (16)1/2 –1 + 4 3.0

1 –1 + (–(1)2 + 6(1) + 16)1/2 –1 + (–1 + 6 + 16)1/2 –1 + (21)1/2 –1 + 4.6 3.6

2 –1 + (–(2)2 + 6(2) + 16)1/2 –1 + (–4 –12 + 16)1/2 –1 + (0)1/2 –1 + 4.9 3.9

3 –1 + (–(3)2 + 6(3) + 16)1/2 –1 + (–4 –12 + 16)1/2 –1 + (0)1/2 –1 + 5 4.0

4 –1 + (–(4)2 + 6(4) + 16)1/2 –1 + (–4 –12 + 16)1/2 –1 + (0)1/2 –1 + 4.9 3.9

5 –1 + (–(5)2 + 6(5) + 16)1/2 –1 + (–4 –12 + 16)1/2 –1 + (0)1/2 –1 + 4.6 3.6

6 –1 + (–(6)2 + 6(6) + 16)1/2 –1 + (–4 –12 + 16)1/2 –1 + (0)1/2 –1 + 4 3.0

7 –1 + (–(7)2 + 6(7) + 16)1/2 –1 + (–4 –12 + 16)1/2 –1 + (0)1/2 –1 + 3 2.0

8 –1 + (–(8)2 + 6(8) + 16)1/2 –1 + (–4 –12 + 16)1/2 –1 + (0)1/2 –1 + 0 –1.0

x y2 (rama negativa)

– 1 – – x2 + 6x + 16

–2 –1 – (–(–2)2 + 6(–2) + 16)1/2 –1 – (–4 –12 + 16)1/2 –1 – (0)1/2 –1 – 0 –1.0

–1 –1 – (–(–1)2 + 6(–1) + 16)1/2 –1 – (–1 –6 + 16)1/2 –1 – (9)1/2 –1 – 3 –4.0

0 –1 – (–(0)2 + 6(0) + 16)1/2 –1 – (0 + 0 + 16)1/2 –1 – (16)1/2 –1 – 4 –5.0

1 –1 – (–(1)2 + 6(1) + 16)1/2 –1 – (–1 + 6 + 16)1/2 –1 – (21)1/2 –1 – 4.6 –5.6

2 –1 – (–(2)2 + 6(2) + 16)1/2 –1 – (–4 –12 + 16)1/2 –1 – (0)1/2 –1 – 4.9 –5.9

3 –1 – (–(3)2 + 6(3) + 16)1/2 –1 – (–4 –12 + 16)1/2 –1 – (0)1/2 –1 – 5 –6.0

4 –1 – (–(4)2 + 6(4) + 16)1/2 –1 – (–4 –12 + 16)1/2 –1 – (0)1/2 –1 – 4.9 –5.9

5 –1 – (–(5)2 + 6(5) + 16)1/2 –1 – (–4 –12 + 16)1/2 –1 – (0)1/2 –1 – 4.6 –5.6

6 –1 – (–(6)2 + 6(6) + 16)1/2 –1 – (–4 –12 + 16)1/2 –1 – (0)1/2 –1 – 4 –5.0

7 –1 – (–(7)2 + 6(7) + 16)1/2 –1 – (–4 –12 + 16)1/2 –1 – (0)1/2 –1 – 3 –4.0

8 –1 – (–(8)2 + 6(8) + 16)1/2 –1 – (–4 –12 + 16)1/2 –1 – (0)1/2 –1 – 0 –1.0

Nota . Si bien es cierto que el camino de la tabulación, de la ecuación general, es laborioso, para encontrar puntos por los que atraviesa la circunferencia y poder dibujarla, ese mismo camino nos da los valores de x y de y que se corresponden.

215

La respuesta a la segunda pregunta la daremos resolviendo el Ejemplo 2 . Dada la ecuación (general) x2 + y2 – 4x – 10y – 20 = 0. Encontrar sus elementos.

x2 + y2 – 4x – 10y – 20 = 0 reacomodamos x2 – 4x + y2 – 10y = 20 completamos los trinomios x2 – 4x + 4 + y2 – 10y + 25 = 20 + 4 + 25 factorizamos (x – 2)2 + (y – 5)2 = 49

Con este resultado tenemos sus elementos: centro en (2, 5) y radio 7. Es más fácil dibujar la circunferencia teniendo sus elementos que tabulando su ecuación. Ejemplo 3 . La circunferencia con ecuación x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0, es tangente a otra circunferencia que tiene centro C2(6, 7). El punto de tangencia de estas circunferencias se halla en el primer cuadrante. Encuentra la ecuación general de la segunda ecuación. 1. Encontrar los elementos de la primera circunferencia, 2. Encontrar la distancia entre los centros de ambas circunferencias, 3. Obtener el radio de la segunda circunferencia, restando a la distancia entre sus centros la longitud

del radio de la primera circunferencia, 4. Desarrollar la ecuación canónica de la segunda circunferencia para obtener su ecuación general.

Eje X

Eje Y

C (2, 5)

7

o

216

Si vas dibujando las condiciones, te será más fácil entender el ejemplo. 1. x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0

reacomodamos x2 + 4x + y2 – 2y = 20 completamos los trinomios x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 20 + 4 + 1 factorizamos (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25 elementos C1(–2, 1) y r = 5

2. (6 – (–2))2 + (7 – 1)2 = (C1,C2)

2 (8)2 + (6)2 = (C1,C2)

2 100 = (C1,C2)

2 extraemos raíz 10 = (C1,C2)

3. radio de C2 = (C1,C2) – radio de C1

radio de C2 = 10 – 5 radio de C2 = 5

4. Ecuación canónica de C2 (x – 6)2 + (y – 7)2 = 52

desarrollo x2 – 12x + 36 + y2 – 14y + 49 = 25 x2 + y2 – 12x – 14y + 85 – 25 = 0 Ecuación general de C2 x2 + y2 – 12x – 14y + 60 = 0

¿Por qué se nos dice que el punto de tangencia está en el primer cuadrante? ¿Acaso se tendría otro resultado? Discútelo en clase con tu profesor y con tus compañeros.

217

Ejemplo 4 . Encontrar la ecuación general, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres siguientes puntos: A(–25, 9), B(–21, 17), C(6, 26). ¿Qué hacemos?, no es que sea difícil. Necesitamos decidir qué hacer primero. Comencemos por dibujar lo que nos dice el ejemplo, ¿en dónde están los puntos? Como los valores de las coordenadas son “grandes” requerimos una cuadrícula muy pequeña. Hagamos un dibujo aproximado considerando la cuadrícula de 5 x 5 unidades. Como los puntos que componen la circunferencia deben de cumplir con estar en la ecuación. Sustituyamos las coordenadas de los puntos en la ecuación canónica y veamos qué nos ofrece tal desarrollo. Punto A (–25 – h)2 + (9 – k)2 = r2 625 + 50h + h2 + 81 – 18k + k2 = r2 50h – 18k + h2 + k2 – r2 = – 625 – 81 50h – 18k + h2 + k2 – r2 = – 706 Punto B (–21 – h)2 + (17 – k)2 = r2 441 + 42h + h2 + 289 – 34k + k2 = r2 42h – 34k + h2 + k2 – r2 = – 441 – 289 42h – 34k + h2 + k2 – r2 = – 730 Punto C (6 – h)2 + (26 – k)2 = r2 36 – 12h + h2 + 676 – 52k + k2 = r2 – 12h – 52k + h2 + k2 – r2 = – 36 – 676 – 12h – 52k + h2 + k2 – r2 = – 712

o Eje X

Eje Y

A (-25, 9)

B (-21, 17)

C (6, 26)

218

En los tres desarrollos encontramos la expresión: h2 + k2 – r2, sustituyámosla por R. De esta manera nuestras ecuaciones toman las formas siguientes, además de formar un sistema de tres ecuaciones rectilíneas simultáneas. Punto A 50h – 18k + R = – 706 ; despejamos R y la sustituimos en las

ecuaciones de los puntos B y C, R = – 706 – 50h + 18k Punto B 42h – 34k + R = – 730 , 42h – 34k – 706 – 50h + 18k = – 730 – 8h – 16k = – 24 , dividiendo entre –8 (1) h + 2k = 3 Punto C – 12h – 52k + R = – 712 – 12h – 52k – 706 – 50h + 18k = – 712 – 62h – 34k = – 6 , dividiendo entre –2 (2) 31h + 17k = 3

Ahora tenemos sólo dos ecuaciones ; despejamos (1) h = 3 – 2k sustituimos (2) 31(3 – 2k) + 17k = 3 93 – 62k + 17k = 3 – 45k = 3 – 93 = – 90 k = 90/45 = 2.

Sustituyendo ahora el valor de k en (1) ; h + 2(2) = 3 h + 4 = 3 h = 3 – 4 h = – 1 Tenemos las coordenadas del centro de la circunferencia en el punto C (–1, 2), nos falta encontrar el radio. En la expresión h2 + k2 – r2, que sustituimos por R, encontraremos el valor del radio. Pero antes debemos encontrar el valor de R. y esto lo haremos de la siguiente forma:

219

R = – 706 – 50h + 18k , sustituyamos los valores par h y k R = – 706 – 50(–1) + 18(2) R = – 706 + 50 + 36 R = – 706 + 86 R = – 620 , finalmente sustituimos en R = h2 + k2 – r2 r2 = h2 + k2 – R r2 = (–1)2 + (2)2 – (–620) ; r2 = 1 + 4 + 620 r2 = 625 r = ±25 Y de este resultado tomamos el radio positivo,

pues no se ha encontrado, hasta la fecha, una circunferencia cuyo radio sea negativo.

Con centro y radio ya determinados, desarrollemos la ecuación canónica que nos dará la ecuación general de tal circunferencia. Centro (–1, 2), radio = 25

(x + 1)2 + (y – 2)2 = 252 Y teniendo el centro y el radio, así luce nuestro ejemplo.

x2 + 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 625

x2 + y2 + 2x – 4y + 1 + 4 = 625

x2 + y2 + 2x – 4y + 5 = 625

x2 + y2 + 2x – 4y + 5 – 625 = 0

x2 + y2 + 2x – 4y – 620 = 0

Ecuación general, o bien

x2 + y2 + 2x – 4y = 620

o Eje X

Eje Y

Centro ( - 1, 2)

220

Ejemplo 5 . ¿Cómo encontrar el centro de una circunferencia, con regla y compás, dados tres puntos en una hoja lisa de papel?

1. Abrimos el compás un poco más de lo que consideremos como la mitad de la distancia entre los puntos A y B.

2. Apoyamos la aguja del compás en el

punto A y trazamos un arco de circunferencia.

3. Hacemos lo mismo desde el punto B, con

la misma abertura desde luego. 4. Por los puntos en que se intersectan los

dos arcos, trazamos la recta R1.

5. Repetimos lo que hemos hecho, ahora

desde los puntos B y C:

a) La abertura del compás. b) Arco desde B. c) Arco desde C. d) Recta R2 por los puntos de intersección

de los arcos.

A

B

C

A

B

C

R 1

A

B

C

R 2

221

El dibujo completo tiene esta forma: Y decimos entonces que el punto de intersección O de las rectas R1 y R2, es el centro de la circunferencia. ¿Por qué? Para responder de manera satisfactoria a esta propuesta, vamos a prescindir de los cuatro arcos y 6. A trazar dos rectas:

a) La que atraviesa por A y B. b) La que atraviesa por B y C.

En este dibujo tenemos lo siguiente: 7. El punto P es el punto medio entre los

puntos A y B. 8. Cualesquiera dos triángulos que se

construyan con vértices APr1 y BPr1, donde r1 es cualquier punto sobre la recta R1, por semejanza de triángulos, serán iguales. En particular nos interesan las longitudes AO y BO.

9. El punto T es el punto medio entre los

puntos B y C. 10. También aquí, los triángulos que se

construyan con vértices BTr2 y CTr2, donde r2 es cualquier punto sobre la recta R2, por semejanza de triángulos, serán iguales. En particular, las longitudes BO y CO.

A

B

C

R2

R1

A

B

CP

T

R2

R1

O

A

B

CP

T

O

222

11. Ahora tenemos que:

AO = BO y BO = CO

Por lo tanto, AO = BO = CO y podemos trazar nuestro círculo con centro en O y longitud cualquiera de las tres AO, BO, CO, al cabo que son la misma. Todo el ejemplo 5 se puede trasladar al plano cartesiano. Todos los pasos, del 1 al 11 son factibles de realizarse con puntos con coordenadas definidas, para encontrar las coordenadas del origen y de allí exponer su ecuación canónica y su ecuación general.

Ejemplo 6 . Encontrar la ecuación canónica, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres siguientes puntos: A(–13, 5), B(2, 14), C(10, 12). Dibujemos, siempre es bueno dibujar, los puntos del ejemplo en el plano cartesiano. En este caso consideraremos la cuadrícula de 2 x 2 unidades. Sustituyamos, para este ejemplo, las coordenadas de los puntos en la ecuación general y veamos que nos ofrece este desarrollo.

A

B

C

O

Eje Y

o

223

Punto A (–13)2 + (5)2 – 13D + 5E + F = 0 169 + 25 – 13D + 5E + F = 0 194 – 13D + 5E + F = 0 – 13D + 5E + F = – 194 Punto B (2)2 + (14)2 + 2D + 14E + F = 0 4 + 196 + 2D + 14E + F = 0 200 + 2D + 14E + F = 0 2D + 14E + F = – 200 Punto C (10)2 + (12)2 + 10D + 12E + F = 0 100 + 144 + 10D + 12E + F = 0 244 + 10D + 12E + F = 0 10D + 12E + F = – 244 Tenemos, como en el ejemplo 4, un sistema de tres ecuaciones rectilíneas simultáneas. Punto A – 13D + 5E + F = – 194 ; Despejamos F = 13D – 5E – 194 Punto B 2D + 14E + F = – 200 , 2D + 14E + 13D – 5E – 194 = – 200 (1) 15D + 9E = – 6 ; dividiendo entre 3, (1) 5D + 3E = – 2 Punto C 10D + 12E + F = – 244 10D + 12E + 13D – 5E – 194 = – 244 (2) 23D + 7E = – 50

Hagamos lo siguiente ; (1) x 7 y (2) x –3

(1*) 35D + 21E = – 14 (2*) – 69D – 21E = 150 Sumamos – 34D + 0 = 136 D = 136/–34 D = – 4

224

Sustituimos D en (1) ; 5 (–4) + 3E = – 2

5 (–4) + 3E = – 2 – 20 + 3E = – 2 3E = – 2 + 20 = 18 E = 18/3 E = 6 Sustituimos D y E en F F = 13(–4) – 5(6) – 194 F = – 52 – 30 – 194 F = – 276

Y la ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

se convierte en x2 + y2 – 4x + 6y – 276 = 0 x2 + y2 – 4x + 6y = 276 x2 – 4x + y2 + 6y = 276 completando cuadrados x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 276 + 4 + 9 (x – 2)2 + (y + 3)2 = 289 ; r = 289 = 17

La circunferencia tiene centro en (2, –3) y radio 17.

Entonces la circunferencia pedida, tiene:

Ecuación general

x2 – 4x + y2 + 6y = 276,

centro en ((2, –3)

y radio 17.

Aquí su dibujo:

Eje X

Eje Y

o

Centro (2, -3)

225

Ejercicios

1. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y B(–4, 5). Encuentra la

ecuación general de la circunferencia. 2. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 – 6x + 8y = 11. Determina cuáles puntos son

interiores y cuáles exteriores: A (2, –5) B (–1 , –1) C (2 , –9) D (8 , 2) E (–2 , –8) F (4 , –10) G (6 , –4) H (–3 , 1) J (–3 , –4)

3. Obtén la ecuación general de la circunferencia con radio 5 cuyo centro es el punto de intersección

de las rectas 3x – 2y – 24 = 0, 2x +7y + 9 = 0. 4. Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto (7, –7) y cuyo centro es

el punto de intersección de las rectas 7x – 9y – 10 = 0, 2x – 5y + 2 = 0. 5. La ecuación de una circunferencia es (x – 4)2 + (y – 3)2 = 20. Presenta la ecuación de la recta

tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3, 3). Dos soluciones. Ahora transformemos la ecuación canónica de una parábola, dados sus elementos, en su ecuación general correspondiente con el siguiente Ejemplo 7 . Parábola con vértice en (1, 3), directriz paralela al eje X y parámetro igual a 2.

1. Si la directriz es paralela al eje X, la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. 2. Si además el parámetro es positivo, la parábola abre hacia arriba.

Ecuación canónica de la parábola Dibujo en el plano cartesiano

(x – h)2 = 4p (y – k)

sustitución y desarrollo

(x – 1)2 = 4(2)(y – 3)

x2 – 2x + 1 = 8(y – 3)

x2 – 2x + 1 = 8y – 24

x2 – 2x – 8y + 25 = 0

Ecuación general Directriz y = 1.

0

Eje X

Eje Y

F (1, 5)

Lado recto = 4p = 8

V (1, 3)Directriz

226

Al igual que en la circunferencia, el dibujo es fácil si contamos con el vértice, el foco y el parámetro (tomando en cuenta su signo), pero ¿podríamos dibujar su ecuación general sin recurrir a la obtención de sus elementos (vértice, foco y parámetro)? Aquí también tenemos las dos preguntas:

¿Cómo dibujarla sin hacer uso de sus elementos?; y ¿Cómo encontrar sus elementos?

La respuesta a la primera pregunta es: despejando “y”, que al igual que en la circunferencia es laborioso. Dejamos el ejercicio para ti. La respuesta a la segunda pregunta la daremos resolviendo el Ejemplo 8 . Dada la ecuación (general) y2 – 4x – 10y + 13 = 0. Encontrar sus elementos.

y2 – 4x – 10y + 13 = 0 reacomodamos y2 – 10y = 4x – 13 completamos el trinomio y2 – 10y + 25 = 4x – 13 + 25 (y – 5)2 = 4x + 12 factorizamos (y – 5)2 = 4(x + 3)

Y tenemos sus elementos: Vértice en (–3, 5) y parámetro 1 (4p = 4; positivo). Entonces abre hacia la derecha.

Eje X

Eje Y

F (

-2, 5

) Lado

rec

to =

4p

= 4

V (

-3, 5

)D

irect

riz

o

Eje X

Eje Y

F (

-2, 5

) Lado

rec

to =

4p

= 4

V (

-3, 5

)D

irect

riz

o

227

Ejemplo 9 . Encuentra los elementos de la parábola y2 + 12x – 6y – 15 = 0.

y2 + 12x – 6y – 15 = 0 reacomodamos y2 – 6y = – 12x + 15 completamos el trinomio y2 – 6y + 9 = – 12x + 15 + 9 (y – 3)2 = – 12x + 24 factorizamos (y – 3)2 = –12(x – 2)

Los elementos de la parábola son: Vértice en (2, 3), parámetro –3 (4p = –12; negativo), la parábola abre hacia la izquierda y la ecuación de la directriz es x = 5. Si la tabulamos y la dibujamos en el plano cartesiano, esto es lo que obtendríamos: Ejemplo 10 . Si los elementos de una parábola son: F (–2, 5), parámetro = –1 y directriz paralela al eje X. Encontrar sus ecuaciones canónica y general.

1. Siendo el parámetro negativo y la directriz paralela al eje X, abre hacia abajo, 2. El foco está entre el vértice y el eje X y sus coordenadas sólo cambian en el valor de y, tantas

unidades como señala el parámetro, 3. La directriz se encuentra, con respecto al vértice, del otro lado del foco y su ecuación está

definida por el valor y del vértice “aumentado” en el valor del parámetro.

0 Eje X

Eje Y

F (

-1, 3

)La

do r

ecto

= 4

p =

-12

V (

2, 3

)

Dire

ctriz

228

Entonces: 2. Si F(–2, 5), V(– 2, 5 + 1) = V(– 2, 6), 3. directriz = y = 6 – (–1); y = 7.

Ecuación canónica de la parábola Dibujo en el plano cartesiano

(x + 2)2 = 4(–1) (y – 6)

x2 + 4x + 4 = –4 (y – 6)

x2 + 4x + 4 = –4 y + 24

x2 + 4x + 4y + 4 – 24 = 0

x2 + 4x + 4y – 20 = 0

Ejercicios

1. Una parábola que tiene vértice es el origen y cuyo eje coincide con el eje Y, pasa por el punto

(4, –2). Encuentra su ecuación general, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz, la longitud de su lado recto y dibuja su gráfica.

En los siguientes ejercicios, presenta las coordenadas de foco, del vértice, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y su gráfica: 2. y2 = 12x 3. x2 = 12y 4. x2 + 2y = 0 5. y2 + 8x = 0 6. Busca, encuentra y expón un procedimiento para obtener puntos de una parábola haciendo uso de

regla no graduada y compás si se conocen: a) el foco y la directriz b) el foco y el vértice c) el vértice y la directriz.

En los siguientes ejercicios, presenta las coordenadas de foco, del vértice, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y su gráfica: 7. y2 + 4x + 2y + 9 = 0 8. x2 – 6x + 5y – 11 = 0 9. x2 + 4x + 12y – 8 = 0 10. y2 – 2x + 2x + 3 = 0

0 Eje X

Eje Y

F (-2, 5)

parám etro = -1V (-2, 6)

D irectriz

Lado recto = 4p = -4

229

Matemáticas 3

4: Secciones Cónicas

4. 4: Ecuación canónica y ecuación general; desarrollo, factorización y elementos. Transformación de una en

otra (elipse e hipérbola).

Objetivo El estudiante aprenderá a desarrollar, dados los elementos de una sección cónica, la ecuación canónica en ecuación general de cónicas, así como teniendo una ecuación general de cónicas, encontrar la sección de que se trata, su ecuación canónica y sus elementos a partir de ésta.

Presentación Toca el turno de desarrollo a la elipse. Vayamos a su encuentro. Ejemplo 1 . El centro de una elipse es el punto (3, –1), la longitud del semieje mayor a = 5 y paralelo al eje X, la del semieje menor b =3. Encontrar su ecuación general, las coordenadas de sus focos y de sus vértices.

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

O X

Y

230

Ecuación canónica de la elipse con eje mayor // eje X

Dibujo en el plano cartesiano

(x – 3)2 (y + 1)2 52

+ 32

= 1

a = 5, b = 3; c2 = a2 – b2

c2 = 52 – 32 c2 = 25 – 9 = 16 c = 4.

Focos: F1 = (3 – c, –1), F2 = (3 + c, –1) F1 = (3 – 4, –1), F2 = (3 + 4, –1) F1 = (–1, –1), F2 = (7, –1). Vértices: V1 = (3 – a, –1), V2 = (3 + a, –1) V1 = (3 – 5, –1), V2 = (3 + 5, –1) V1 = (–2, –1), V2 = (8, –1). Ecuación canónica. Primer paso:

32 (x – 3)2 + 52 (y + 1)2 = 32 x 52

9 (x – 3)2 + 25 (y + 1)2 = 9 x 25

9 (x2 – 6x + 9) + 25 (y2 + 2y + 1) = 225

9x2 – 54x + 81 + 25y2 + 50y + 25 = 225

9x2 + 25y2 – 54x + 50y + 81 + 25 = 225

9x2 + 25y2 – 54x + 50y + 106 = 225

9x2 + 25y2 – 54x + 50y + 106 – 225 = 0 Ecuación general:

9x2 + 25y2 – 54x + 50y – 119 = 0

C (3, -1)

X

Y

Oab

c

231

Ejemplo 2 . Una elipse tiene centro en el punto (–4, 7), longitud del eje mayor 26, del eje menor 10 y el centro tiene la misma abscisa que los focos. Hallar su ecuación general, las coordenadas de sus focos y de sus vértices y las ecuaciones de sus ejes. Si el centro y los focos tienen la misma abscisa, el eje mayor // al eje Y. entonces:

Dibujo en el plano cartesiano Ecuación canónica de la elipse con eje mayor // eje Y

(y – 7)2 (x + 4)2 132

+ 52

= 1

Semieje mayor = a = 13 Semieje menor = b = 5 c2 = a2 – b2 ; c2 = 132 – 52

c2 = 169 – 25 = 144 c = 12

Focos: F1 = (–4, 7 + c), F2 = (–4, 7 – c) F1 = (–4, 7 + 12), F2 = (–4, 7 – 12) F1 = (–4, 19), F2 = (–4, –5)

Vértices: Escala 2 x 1

V1 = (–4, 7 + a), V2 = (–4, 7 – a) V1 = (–4, 7 + 13), V2 = (–4, 7 – 13) V1 = (–4, 20), V2 = (–4, –6)

Ecuación canónica. Primer paso: 52 (y – 7)2 + 132 (x + 4)2 = 132 x 52

25 (y – 7)2 + 169 (x + 4)2 = 169 x 25

25 (y2 – 14y + 49) + 169 (x2 + 8x + 16) = 4225

25y2 – 350y + 1225 + 169x2 + 1352x + 2704 = 4225

169x2 + 25y2 + 1352x – 350y + 1225 + 2704 = 4225

169x2 + 25y2 + 1352x – 350y + 3929 = 4225

169x2 + 25y2 + 1352x – 350y + 3929 – 4225 = 0

C (-4, 7)

X

Y

O

a

b

c

232

Ecuación general: 169x2 + 25y2 + 1352x – 350y – 296 = 0 Ecuación del eje mayor, x = –4; ecuación del eje menor, y = 7. Ahora partamos de la ecuación general de una elipse para encontrar sus elementos. Ejemplo 3 . Sea x2 + 4y2 + 2x – 12y + 6 = 0, la ecuación de una elipse. Encontrar sus elementos. Ecuación general: x2 + 4y2 + 2x – 12y + 6 = 0

x2 + 2x + 4y2 – 12y = – 6

x2 + 2x + 4 (y2 – 3y) = – 6

x2 + 2x + 1 + 4 (y2 – 3y + 9/4) = – 6 + 1 + 9

(x + 1)2 + 4 (y – 3/2)2 = 4

(x + 1)2 (y – 3/2)2 Ecuación canónica: 4

+ 1

= 1 , centro en (–1, 3/2)

Eje mayor: longitud 2a = 4 ; a = 2 Eje menor: longitud 2b = 2 ; b = 1 // eje X // eje Y ecuación y = 3/2 ecuación y = –1 c2 = a2 – b2 ; c2 = 22 – 12 c2 = 4 – 1 = 3 c = 3 Focos: F1 = (–1 – c, 3/2) , F2 = (–1 + c, 3/2) F1 = (–1 – 3 , 3/2), F2 = (–1 + 3 , 3/2) Vértices: V1 = (–1 – a, 3/2), V2 = (–1 + a, 3/2) V1 = (–1 – 2, 3/2), V2 = (–1 + 2, 3/2) V1 = (– 3, 3/2), V2 = (1, 3/2).

o X

Y

C (-1, 3/2)V1 V2F1 F2

B2

B1

233

Extremos del eje menor: B1 = (–1, 3/2 + b), B2 = (–1, 3/2 – b) B1 = (–1, 3/2 + 1), B2 = (–1, 3/2 – 1) B1 = (– 1, 5/2), B2 = (–1, 1/2). Ejemplo 4 . Sea 9x2 + 4y2 – 8y – 32 = 0, la ecuación de una elipse. Encontrar sus elementos. Ecuación general: 9x2 + 4y2 – 8y – 32 = 0

9x2 + 4y2 – 8y = 32

9x2 + 4 (y2 – 2y) = 32

9 (x + 0)2 + 4 (y2 –2y + 1) = 32 + 0 + 4 9 (x + 0)2 + 4 (y – 1)2 = 36

(x + 0)2 (y – 1)2 Ecuación canónica: 4

+ 9

= 1 , Centro en (0, 1)

Eje mayor: longitud 2a = 6 ; a = 3 Eje menor: longitud 2b = 4 ; b = 2 // eje Y // eje X ecuación x = 0 ecuación y = 1 c2 = a2 – b2 ; c2 = 32 – 22 c2 = 9 – 4 = 5 c = 5 Focos: F1 = (0, 1 – c), F2 = (0, 1 + c) F1 = (0, 1 – 5 ), F2 = (0, 1 + 5 ). Vértices: V1 = (0, 1 – a), V2 = (0, 1 + a) V1 = (0, 1 – 3), V2 = (0, 1 + 3) V1 = (0, – 2), V2 = (0, 4).

C (0, 1)

X

Y

O

V1

F1

V2

F2

B2

B1

234

Extremos del eje menor: B1 = (0 – b, 1), B2 = (0 + b, 1) B1 = (0 – 2, 1), B2 = (0 + 2, 1) B1 = (–2, 1), B2 = (2, 1).

Ejercicios

Construye las ecuaciones canónica y general de las siguientes elipses, según cada ejercicio, así como encuentra las coordenadas de su centro, focos, vértices y extremos de sus ejes menores y las ecuaciones de sus dos ejes. 1. Eje mayor // eje Y, centro en (–3, 2), eje

mayor 8 y eje menor 6. 2. Centro en (4, 1), foco (9, 1) y extremo de

eje menor B(4, 4). 3. Centro en (1, 5), V(10, 5) y B(1, 9) 4. Centro en (4, 2), V(4, –7) y B(8, 2)

5. Encontrar los elementos de la siguiente elipse 4x2 + 25y2 + 8x + 50y + 10 = 0.

6. Encontrar los elementos de la siguiente elipse 16x2 + 4y2 – 8 y – 32 = 0.

Ahora, toca el turno de desarrollo a la hipérbola. Última de las secciones cónicas. Ejemplo 5 . Sea el punto (2, 3), el centro de una hipérbola, la longitud del semieje transverso a = 5 y paralelo al eje X, la del semieje conjugado b =3. Encontrar su ecuación general, las coordenadas de sus focos y de sus vértices.

Ecuación canónica de la hipérbola con eje transverso // eje X

Dibujo en el plano cartesiano

(x – 2)2 (y – 3)2 52

– 32

= 1

a = 5, b = 3 ; c2 = a2 + b2

c2 = 52 + 32 c2 = 25 + 9 = 34 c = 34 .

oo X

Y

o eje

conj

ugad

o

eje transverso

cb

a

235

Focos: F1 = (2 – c, 3), F2 = (2 + c, 3) F1 = (2 – 34 , 3), F2 = (2 + 34 , 3).

Vértices: V1 = (2 – a, 3), V2 = (2 + a, 3) V1 = (2 – 5, 3), V2 = (2 + 5, 3) V1 = (–3, 3), V2 = (7, 3). Extremos del eje conjugado: B1 = (2, 3 + b), B2 = (2, 3 – b) B1 = (2, 3 + 3), B2 = (2, 3 – 3) B1 = (2, 6), B2 = (2, 0).

Ecuación canónica. Primer paso:

32 (x – 2)2 – 52 (y – 3)2 = 32 x 52

9 (x – 2)2 – 25 (y – 3)2 = 9 x 25

9 (x2 – 4x + 4) – 25 (y2 – 6y + 9) = 225

9x2 – 36x + 36 – 25y2 + 150y – 225 = 225

9x2 – 25y2 – 36x + 150y + 36 – 225 = 225

9x2 – 25y2 – 36x + 150y – 189 = 225

9x2 – 25y2 – 36x + 150y – 189 – 225 = 0 Ecuación general:

9x2 – 25y2 – 36x + 150y – 414 = 0 Nota “amplia ” o divagación geométrica . La hipérbola es la única sección cónica que se desarrolla en dos conos. El corte que se hace en ellos es manteniendo la hoja (o imaginando el corte con un plano rígido) en un plano paralelo al eje de los dos conos.

o o X

Y

o

V 2

B 1

F 2 V 1 F 1

B 2

236

Presentamos algunas figuras de estos cortes para mostrar una de las características de las hipérbolas. Primer corte Vista desde el eje

Vista vertical Vista lateral Sobre esta vista lateral haremos algunas consideraciones.

237

Antes vamos a fijar nuestra atención en:

los lados rectos de los conos y la traza de la hipérbola

Si ahora sólo atendemos a los lados rectos de los conos y a la traza de la hipérbola nuestro dibujo tomo la siguiente forma:

Consideración 1. La figura se nos salió de la hoja. Consideración 2. La traza de la hipérbola, al alejarse del punto de contacto de los dos conos (punto

de intersección de las rectas formadas por los lados de los conos), se acerca más y más a las rectas formadas por los lados de los conos.

Consideración 3. Las rectas formadas por los lados de los conos, se llaman asíntotas .

238

Estas asíntotas, aparecen en el corte de los dos conos, si dicho corte lo hacemos en el eje común de los conos. Veamos como: Segundo corte Vista desde el eje

Vista vertical Vista lateral

239

¿Cómo trazar las asíntotas de una hipérbola? Supongamos que después de tabularla con algunos valores para x o para y, la dibujamos en el plano cartesiano. Lo que obtenemos es el siguiente dibujo:

La longitud b es la longitud del semieje conjugado y la longitud a, la del semieje transverso (distancia entre el centro de la hipérbola y cualquiera de los dos vértices).

“Llevamos” la longitud del eje conjugado (2b) hasta uno de los vértices, corriéndolo hacia la derecha en nuestro dibujo, y haciendo coincidir el punto medio de esa longitud con el vértice seleccionado. Los extremos de esa longitud, medida como se propone líneas arriba, serán los puntos P1 y P2.

o o

Y

X

c b

a

o o

Y

X

b

a

P 1

P 2

C

b

240

Si ahora trazamos dos rectas: a) Una que pase por los puntos

definidos por C (el centro de la hipérbola) y P1 y

b) Otra que pase por los puntos

definidos por C y P2. Estas rectas serán las asíntotas. ¿Cuál es la expresión algebraica de las asíntotas? Para contestar esto, partamos de la ecuación canónica de la hipérbola con eje transverso (o eje focal) paralelo al eje X. Después hagamos lo necesario para la hipérbola con eje transverso paralelo al eje Y. (x – h)2 (y – k)2 a2

– b2

= 1 Cuando la x, o la y, es demasiado grande la apreciación de la diferencia se pierde. De manera que consideremos que se nos convierte en 0 (cero). Entonces tenemos:

(x – h)2 (y – k)2 a2 a2

– b2

= 0 y despejando (x – h)2 = b2

(y – k)2

a extraemos raíz (x – h) = ± b

(y – k).

Ahora desarrollamos la hipérbola con eje transverso paralelo al eje Y. (y – k)2 (x – h)2 a2

– b2

= 1 La misma consideración para la diferencia y tenemos:

(y – k)2 (x – h)2 A2 a2

– b2

= 0 despejando (y – k)2 = B2

(x – h)2

a extraemos raíz (y – k) = ± b

(x – h).

o o

Y

X

241

Fíjate en el cociente ± a/b;

a) en el primer desarrollo está multiplicando a (x – h), mientras que b) en el segundo, multiplica a (y – k).

El dibujo de la hipérbola con eje transverso paralelo al eje Y es el siguiente: Ejemplo 6 . Dada la ecuación 25x2 – 144y2 – 250x – 576y = 3551. Encontrar sus elementos.

reordenamos la ecuación 25x2 – 250x – 144y2 – 576y = 3551

factorizamos 25 (x2 – 10x) – 144 (y2 + 4y) = 3551

completamos cuadrados 25 (x2 – 10x + 25) – 144 (y2 + 4y + 4) = 3551 + 625 – 576

simplificamos 25 (x – 5)2 – 144 (y + 2)2 = 3600

(x – 5)2 (y + 2)2 dividimos entre 3600 144

– 25

= 1

(x – 5)2 (y + 2)2 ecuación canónica

122 –

52 = 1

Y

Xoc

b

a

242

Elementos: eje transverso 2a = 24 , eje conjugado 2b = 10 . centro focos vértices extremos del eje conjugado (5, –2) (–8, –2) (–7, –2) (5, 3) (18, –2) (17, –2) (5, –2)

a asíntotas (x – h) = ± b

(y – k)

12 sustituimos (x – 5) = ± 5

(y + 2)

5 (x – 5) = 12 (y + 2) 5 (x – 5) = – 12 (y + 2) 5x – 25 = 12y + 24 5x – 25 = – 12y – 24 asíntota 1) 5x – 12y = 49 asíntota 2) 5x + 12y = 1

El dibujo del ejemplo es el siguiente:

o C

Y

X

5x – 12y = 495x + 12y = 1

243

Ejercicios

Construye las ecuaciones canónicas y general de las siguientes hipérbolas, según cada ejercicio, así como encuentra las coordenadas de su centro, focos, vértices y extremos de sus ejes conjugados, las ecuaciones de sus dos ejes y las ecuaciones de sus asíntotas. 1. Eje focal // eje X, centro en (–1, 3), semieje focal (o transverso) 4 y semieje conjugado 3. 2. Centro en (3, –1), foco (3, 11) y extremo de eje conjugado B(8, –1). 3. Centro en (1, 5), V(10, 5) y B(1, 9) 4. Centro en (4, 2), V(4, –7) y B(8, 2) 5. Encontrar los elementos de la siguiente hipérbola 4x2 – 25y2 + 8x + 50y + 10 = 0. 6. Encontrar los elementos de la siguiente hipérbola – 16x2 + 4y2 – 8 y – 32 = 0.

244

Matemáticas 3

5: Álgebra

5. 1: Cocientes compuestos por

polinomios

Objetivo El estudiante aprenderá las operaciones ( +, – , x,: ) entre cocientes formados por polinomios.

Presentación Comenzaremos por recordar y ejercitar la factorización de un cociente de números enteros. El factorizar cocientes compuestos por polinomios, obedece las mismas reglas que la realización de esta operación con números racionales. De manera que, recordemos cómo se factoriza un cociente de enteros (con denominador distinto de cero; eso es un racional), para aplicar esas mismas reglas a los cocientes compuestos por polinomios. Factorizaremos los siguientes racionales: factorizamos cancelamos Ejemplo 1 . 18 2 x 3 x 3 2 15 3 x 5 1 27

= 3 x 3 x 3

= 3

Ejemplo 2 . 105

= 3 x 5 x 7

= 7

anxn + … + a2x2 + a1x + a0

bsys + … + b2y2 + b1y + b0

anxn + … + a2x2 + a1x + a0

bsys + … + b2y2 + b1y + b0

2x3 + x2 – 3x + 1

3y4 + 2y2 + y – 4

2x3 + x2 – 3x + 1

3y4 + 2y2 + y – 4

cmxm + … + c2x2 + c1x + c0

esys + … + e2y2 + e1y + e0

dpxp + … + d2x2 + d1x + d0

gqyq + … + g2y2 + g1y + g0

+

–

x

:

cmxm + … + c2x2 + c1x + c0

esys + … + e2y2 + e1y + e0

dpxp + … + d2x2 + d1x + d0

gqyq + … + g2y2 + g1y + g0

cmxm + … + c2x2 + c1x + c0

esys + … + e2y2 + e1y + e0

cmxm + … + c2x2 + c1x + c0

esys + … + e2y2 + e1y + e0

dpxp + … + d2x2 + d1x + d0

gqyq + … + g2y2 + g1y + g0

dpxp + … + d2x2 + d1x + d0

gqyq + … + g2y2 + g1y + g0

+

–

x

:

cmxm + … + c2x2 + c1x + c0

esys + … + e2y2 + e1y + e0

cmxm + … + c2x2 + c1x + c0

esys + … + e2y2 + e1y + e0

dpxp + … + d2x2 + d1x + d0

gqyq + … + g2y2 + g1y + g0

dpxp + … + d2x2 + d1x + d0

gqyq + … + g2y2 + g1y + g0

245

Ejemplo 3 . 6825 3 x 5 x 5 x 7 x 13 5 9555

= 3 x 5 x 7 x 7 x 13

= 7

. Pasamos a los monomios,

factorizamos cancelamos Ejemplo 4 . 6x 3 x 2x 2x 15a2 5a x 3a 5a 9

= 3 x 3

= 3

Ejemplo 5 . 9a

= 3 x 3a

= 3

Ejemplo 6 . 12y 2 x 2 x 3y 3y 9b3c 3b3c x 3 3 8

= 2 x 2 x 2

= 2

Ejemplo 7 . 3b3c2

= 3b3c2

= c

Ahora, hagámoslo sobre cocientes compuestos o construidos por polinomios, factorizamos cancelamos Ejemplo 8 . 8b3 – 4b2 4b2 (2b – 1) 4b2

= 4b2

= 2b – 1

Ejemplo 9 . 9z4 + 12z3 3z2 (3z2 + 4z) 3z2 + 4z 15z2

= 5 x 3z2

= 5

Ejemplo 10 . 6x3 + 8x2 2x2 (3x + 4) 2x2

= 2x2

= 3x + 4

Ejemplo 11 . 9a4b3 – 12 a3b2 3a2b (3 a2b2 – 4 ab) 3a2b

= 3a2b

= 3 a2b2 – 4 ab

Ejemplo 12 . 9h2 – 15h 3h (3h – 5) 3h – 5 6h

= 2 x 3h

= 2

Ejemplo 13 . 15x4y3 – 5x3y2 + 20x2y 5x2y ( 3x2y2 – 1xy + 4 ) 5x2y

= 5x2y

= 3x2y2 - 1xy + 4

Ejemplo 14 . 2a2 – 5a + 3 ( a – 1 )( 2a – 3 ) a – 1

= a – 1

= 2a – 3

Ejemplo 15 . 12a2 + 25ab + 12b2 (4a + 3b )( 3a + 4b ) 4a + 3b

= 4a + 3b

= 3a + 4b

Ejemplo 16 . 2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4 2a2 + 3ab – 3b2

factorizar este cociente no es fácil.

246

Tenemos la opción de trabajarlo como una división de polinomios, hagámoslo: a2 – ab + b2 2a2 + 3ab – 3b2 2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4

– 2a4 – 3a3b + 3a2b2 0 – 2a3b – a2b2 + 6ab3 2a3b + 3a2b2 – 3ab3 0 + 2a2b2 + 3ab3 – 3b4 – 2a2b2 – 3ab3 + 3b4 0 + 0 + 0 Resulta que el polinomio: 2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4, tiene como factores al polinomio; 2a2 + 3ab – 3b2, y al polinomio; a2 – ab + b2. Dejando 0 (cero) como residuo. Volviendo entonces al cociente (ejemplo 16), escribimos: 2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4 ( 2a2 + 3ab – 3b2 ) (a2 – ab + b2 ) 2a2 + 3ab – 3b2

= 2a2 + 3ab – 3b2

y obtenemos a2 – ab + b2 Cancelar así, es muy fácil, ¿o no?

Ejercicios

1. 8a4 : 2a3 2. 27x5y2 : –9x3y2 3. 45c4d5e3 : –9c4d2e3 4. –42h6k4m2 : –7h3k2m 5. ( 9b5 – 6b3 ) : 3b2 6. ( –24a6 – 16a4 ) : –4a3 7. ( 6x4y3 – 4x3y4 + 2xy5 ) : 2xy3 8. ( 12a12b6 – 8a8b4 – 4a4b2 ) : 4a4b2 9. ( 3y2 – 10xy + 3x2 ) : ( 3y – x ) 10. ( 6w3 – 13w2 + 8w – 3 ) : ( 2w – 3 ) 11. ( 5t3 + 23t2u + 14tu2 + 8u3 ) : ( t + 4u )

247

12. ( 2a3 + 3a2 – 5a – 6 ) : ( 2a2 – a – 3 ) 13. ( 6y3 – 11y2z + 7yz2 – 6z3 ) : ( 3y2 – yz + 2z2 ) 14. ( 4c4 + c3 – 4c2 + 6c – 3 ) : ( c2 + c – 1 ) 15. ( 2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4 ) : ( 2a2 + 3ab – 3b2 ) De las cuatro operaciones básicas, es la multiplicación de cocientes con polinomios la que presenta más facilidad para su explicación, enseñanza, aprendizaje, trato y manejo, es por eso que comenzaremos nuestra exposición con ella. Los cocientes con polinomios obedecen las mismas reglas de operación que las de los números racionales, ejemplifiquemos entonces la multiplicación. Multiplicación de cocientes con polinomios . ¿Cómo se realiza en los racionales?,

a c a x c de esta forma: b

x d

= b x d

Ejemplo 17 . 2x + 1 4 (2x + 1) x (4) 8x + 4 2x – 4

x x + 1

= (2x – 4) x (x + 1)

= 2x2 – 2x – 4

=

2 (4x + 2) 4x + 2 =

2 (x2 – x – 2) =

x2 – x – 2

Ejemplo 18 . a a + b a + b

x a – b

= nos damos cuenta que a + b, aparecerá en el numerador y en el denominador del producto, de manera que hacemos lo siguiente:

a x (a + b) a =

(a + b) x (a – b) =

a – b , en lugar del camino un poco más largo,

a2 + ab a (a + b) a = a2 – b2

= (a + b) (a – b)

= a – b

248

Ejemplo 19 . 3x2y4z3 10ab4 ( 3x2y4z3 ) x ( 10ab4 ) 5a2b3

x 5xy6z

= (5a2b3 ) x ( 5xy6z )

=

factorizamos cancelamos

30ab4x2y4z3 5ab3xy4z x 6bxz2 6bxz2 = 25a2b3xy6z

= 5ab3xy4z x 5ay2

= 5ay2

Ahora nos haremos cargo de la división de cocientes con polinomios. División de cocientes con polinomios . ¿Recordamos cómo se realiza en los racionales?

a c a x d claro que sí: b

: d

= b x c

Ejemplo 20 . 2x + 3 3 (2x + 3) x (2x – 2) 4x2 + 2x – 6 2x – 4

: 2x – 2

= (2x – 4) x (3)

= 6x – 12

=

2 (2x2 + x – 3) 2x2 + x – 3 =

2 (3x – 6) =

3x – 6

Ejemplo 21 . 4c3d4e2 5cd3 ( 4c3d4e2 ) x ( 6p3q5r2 ) 3p2q4r

: 6p3q5r2

= (3p2q4r) x ( 5cd3 )

=

factorizamos cancelamos

24c3d4e2p3q5r2 3cd3p2q4r x 8c2de2pqr 8c2de2pqr = 15cd3p2q4r

= 3cd3p2q4r x 5

= 5

Ejemplo 22 . 2x + y 2x + y 2x + 4y

: 4x + 2y

= Observamos que 2x + y, aparecerá en el numerador y en el denominador del producto, entonces hacemos lo siguiente:

(2x + y) x (4x + 2y) 4x + 2y 2 x (2x + y) 2x + y = (2x + 4y) x (2x + y)

= 2x + 4y

= 2 x (x + 2y)

= x + 2y

(2x + y) x (4x + 2y) 8x2 + 8xy + 2y2 factorizamos el camino largo sería, (2x + 4y) x (2x + y)

= 4x2 + 10xy + 4y2

=

cancelamos

(4x + 2y) (2x + y) 4x + 2y 2 x (2x + y) 2x + y = (2x + 4y) (2y + y)

= 2x + 4y

= 2 x (x + 2y)

= x + 2y

249

Algo más sobre la multiplicación y la división de cocientes con polinomios. Las proporciones se rigen por la siguiente propiedad: A es a B como C es a D

, que también escribimos de esta forma: A : B :: C : D

A C como números racionales, B

= D

, que cumplen con: A x D = B x C

Esta propiedad nos servirá para resolver ejercicios como el siguiente: Encontrar el polinomio que cumple con la siguiente proporción: Ejemplo 23 . 5a – 2b C 4a – b

= –4a + b

; (5a – 2b) (–4a + b) = (4a – b) (C)

(5a – 2b) (–4a + b)

4a – b = C

factorizamos cancelamos

–20a2 + 13ab – 2b2 (4a – b) (–5a + 2b) 4a – b

= 4a – b

= –5a + 2b = C

Ejemplo 24 . x – 2 3x2 – 6x 2x + 1

= D

; (x – 2) (D) = (2x + 1) (3x2 – 6x)

(2x + 1) (3x2 – 6x) D =

(x – 2)

factorizamos cancelamos

6x3 – 9x2 – 6x (x – 2) (6x2 + 3x) (x – 2)

= (x – 2)

= 6x2 + 3x = D

250

Ejercicios

Ejercicio 1 . 2x – 5y 5xy – 2x2 Ejercicio 2 . x2 – 4 C x – 3y

= D x2 – x – 2

= x + 1

Ejercicio 3 . 6a2b2 18a3b4 Ejercicio 4 . A 2p + 5q B

= 15ab2 2a2b – 8ab2

= p – 4q

Ejercicio 5 . A a + b Ejercicio 6 . 32x2y3z4 C a2 – b2

= b2 – a2 48x5y4z5

= 3x3yz

Ejercicio 7 . x – 2 5x – 2 Ejercicio 8 . –3k – 2 –k + 4 3x + 4

x –2x + 1 7k – 1

x –3k + 2

Ejercicio 9 . 4a – b 5b Ejercicio 10 . 7m – 2 5m + 4 3a – 4b

: –3a – 2b 3m + 4

: –5m + 3

Ejercicio 11 . 2z + 3 3z + 1 Ejercicio 12 4w – 3u –5w + 2u z – 2

x 4z – 5 3w + 5u

x 4w – 2u

Ejercicio 13 . –2b + 2 2b – 2 Ejercicio 14 . 3h – 1 3h + 1 5b – 2

: –5b + 2 5h + 3

: 4h – 3

Ejercicio 15 . 5t + 3 7t + 1 Ejercicio 16 x – 1 2x + 3 6t – 3

x 8t – 2 3x + 2

x 4x + 5

Ejercicio 17 . 6 – 5g 3g + 4 Ejercicio 18 . 6 – 6d 10 – 2d –4 + 3g

: 7g – 3 5 – 1d

: 5 – 5d

Ejercicio 19 . 9x + 2y 4x – 11y Ejercicio 20 . 7 – 4b 2 + 8b 7y + 5x

x 7x + 6 y 9 + 7b

: 5 – 6b

Finalmente, ejercitaremos la suma y la resta de cocientes con racionales. Suma y resta de cocientes de polinomios . Recordemos como se realiza

a c ad ± bc la suma y resta en los racionales b

± d

= bd

251

El caso en que el denominador de cada uno de los cocientes sea igual, toma la forma:

a c ab ± bc b ( a ± c ) a ± c b

± b

= b2

= b2

= b

Analicemos los siguientes ejemplos: a) Cocientes con igual denominador. El mínimo común múltiplo es ese denominador. Ejemplo 23 . –2x + 1 x + 2 ( –2x + 1 ) + ( x + 2 ) x – 3

+ x – 3

= x – 3

=

–2x + 1 + x + 2 –x + 3 – ( x – 3 ) = x – 3

= x – 3

= ( x – 3 )

= – 1

Ejemplo 24 . 2a2 2b2 (2a2) – (2b2) 2a2 – 2b2 a + b

– a + b

= a + b

= a + b

=

2 (a2 – b2) 2 (a + b) (a – b) = a + b

= a + b

= 2 (a – b) = 2a – 2b

b) Cocientes con denominadores diferentes pero que la búsqueda del mínimo común múltiplo (MCM)

de ellos, presenta cierta facilidad: Ejemplo 25 . 1 1 3x + 2y 2y + 4x – ( 3x + 2y) 6x

+ 3y

– 12xy

= 12xy

=

2y + 4x – 3x – 2y x 1 = 12xy

= 12xy

= 12y

Ejemplo 26 . 3 2 c + 3d 9d – 8c + 2 ( c + 3d) 4c

– 3d

+ 6cd

= 12cd

=

9d – 8c + 2c + 6d – 6c + 15d 3 (– 2c + 5d ) – 2c + 5d = 12cd

= 12cd

= 3 x 4cd

= 4cd

c) Cocientes de polinomios en donde la búsqueda del mínimo común múltiplo (MCM) de ellos, es

más elaborada. He aquí algunos ejercicios: Ejemplo 27 . x + 3 2x – 1 ( 2x + 3 ) ( x + 3 ) + (–2x + 1 ) ( 2x – 1 )

252

–2x + 1 + 2x + 3 = (–2x + 1 ) ( 2x + 3 ) =

( 2x2 + 9x + 9 ) + ( –4x2 + 4x – 1 ) –2x2 + 13x + 8 = –4x2 – 4x + 3

= –4x2 – 4x + 3

=

2x2 – 13x – 8 = 4x2 + 4x – 3

Ejemplo 28 . 4w – 1 2w + 3 ( 2w + 2 ) ( 4w – 1 ) + ( 2w – 2 ) ( 2w + 3 ) 2w – 2

+ 2w + 2

= ( 2w – 2 ) ( 2w + 2 )

=

( 8w2 + 6w – 2 ) + ( 4w2 + 2w – 6 ) 12w2 + 8w – 8 =

4w2 – 4 =

4w2 – 4 =

4 ( 3w2 + 2w – 2 ) 3w2 + 2w – 2 =

4 ( w2 – 1 ) =

w2 – 1

Ejemplo 29 . 2a + 3 3a – 2 2a + 3 –3a + 2 –2a + 1

– a – 1

= –2a + 1

+ a – 1

=

( a – 1 ) ( 2a + 3 ) + (–2a + 1 ) (–3a + 2 ) =

(–2a + 1 ) ( a – 1 ) =

( 2a2 + a – 3 ) + ( 6a2 – 7a + 2 ) 8a2 – 6a – 1 =

–2a2 + 3a – 1 =

–2a2 + 3a – 1 =

Ejemplo 30 . 4w + 4 2w + 3 4w + 4 –2w – 3 3w + 3

– 6w – 3

= 3w + 3

+ 6w – 3

=

( 6w – 3 ) ( 4w + 4 ) + (3w + 3 ) (–2w – 3 ) =

( 3w + 3 ) ( 6w – 3 ) =

( 24w2 + 12w – 12 ) + (–6w2 – 15w – 9 ) 18w2 – 3w – 21 =

18w2 + 9w – 9 =

18w2 + 9w – 9 =

3 x ( 6w2 – w – 7 ) 6w2 – w – 7 =

3 x ( 6w2 + 3w – 3 ) =

6w2 + 3w – 3

253

Ejemplo 31 . 2 3x + 1 x + y 2xz4 – 3xyz2 – 2x2yz4 + ( x3 + x2y ) xy

– x2z

+ 2yz4

= 2x2yz4

=

x3 + x2y – 2x2yz4 – 3xyz2 + 2xz4 x ( x2 + xy – 2xyz4 – 3yz2 + 2z4 ) =

2x2yz4 =

2x2yz4 =

x2 + xy – 2xyz4 – 3yz2 + 2z4 =

2xyz4

Ejercicios

1. 4a + 1 2a – 1 2. 3b – 2 4b – 2 2a

+ 2a

= –2b + 5

+ 3x – 3

=

3. 3g + 2 3g – 1 4. 2h – 3 5h + 1 4g

+ 6g

= –h + 2

+ 2h – 4

=

5. 3x + 7 5x – 2 6. 6z + 4 3z + 2 x – 4

– 3x

= 2z – 1

– 4z – 2

=

7. 2a + 3b 4a – 3b 8. 3p – 1 6p + 1 4a – 5b

– 2a + 1

= 2p + 2

– 4p + 4

=

9. 3a 5b c 10. 1 4 6 2xy

+ 2xy

– 2xy

= 3pq

– 3pq

+ 3pq

254

Bibliografía 1. Pedro Salazar Vásquez, et al. Matemáticas II, (Colección Bachiller) Ed. Compañía Editorial Nueva Imagen, S. A de C. V. 2005, México. 2. Guillermo Gómez, et al. Matemáticas III, Cuaderno de Trabajo. Ed. Trillas, 2005, México. 3. Jesús Heriberto Morales, et al. Matemáticas IV. Ed. Trillas. 2002, México. 4. David B. Jonson, Thomas A. Mowry. Matemáticas Finitas. Aplicaciones Prácticas. Ed. International Thomson. 2000, México. 5. A. Baldor. Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. Ed. Publicaciones Cultural. 2005, México 6. Gabriel Velasco Sotomayor. Tratado de Geometría. Ed. Limusa. 1983, México. 7. Conrado Flores García. Módulos de Matemáticas; Aprendizaje paso a paso. Ed. Trillas. 1986, México. - Bloque 2; Álgebra. Modelos Módulos: 3. Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado 4. Desigualdades de Primer Grado 5. Ecuaciones de Segundo Grado - Bloque 6; Geometría Analítica Módulos: 3. La Circunferencia 7. Las Cónicas y la Ecuación General de Segundo Grado 8. Relaciones y Lugares Geométricos 8. Meter B, Geltner, Darle J. Peterson. Geometría. Ed. International Thomson. 1998, México. 9. Stanley R. Clemens, et al. Geometría. Ed. Prentice Hall. 1999, México. 10. Francisco José Ortiz Campos. Matemáticas 4, Geometría Analítica. Ed. Publicaciones Cultural. 1996, México. 11. Carlos Torres Alcaraz. Geometría Analítica. Ed. Santillana. 1999. México. 12. Humberto Rivera Rivas, Rosa e. Ponce Vázquez. Geometría Analítica. Ed. McGraw Hill. 1997, México. 13. Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. Ed. Limusa. 1989, México. 14. Eugenio Filloy, Fernando Hitt. Geometría Analítica. Ed. Grupo Editorial Iberoamérica. 1999, México. 15. Paul K. Rees. Geometría Analítica. Ed. Reverté. 2005, México.

255

Gobierno del Distrito Federal

Secretaría de Educación

Instituto de Educación Media Superior

Material de Apoyo al estudio

de la Modalidad Semiescolar

Matemáticas 3

Autor: Gabriel Silva Ramírez.

Corrección de estilo: René Chargoy Guajardo

México, D.F. Julio de 2009