MODELAÇÃO DA EXCITAÇÃO DINÂMICA SUPERFICIAL DO SUBSOLO

APLICAÇÃO À ANÁLISE ESPECTRAL DE ONDAS DE SUPERFÍCIE

José Nuno Varandas

14 Dezembro 2005

Objectivos

• Explicitação das principais características e ferramentas/parâmetros de

caracterização do fenómeno da propagação de ondas;

• Apresentação de resultados da Modelação numérica do campo de deslocamentos

associado à propagação de ondas de superfície de Rayleigh induzidas pela

introdução pontual de energia à superfície e cálculo das correspondentes curvas de

dispersão aparente;

• Simulação numérica de um ensaio CSW para avaliação da contribuição dos

diversos parâmetros que caracterizam uma dada configuração de ensaio, como

sejam o número de transdutores e o espaçamento entre eles.

Propagação de Ondas em Meios Sólidos Contínuos

Ondas Volúmicas Onda de Rayleigh

2Tπ

ω =2k π

=λ

v f= ⋅λ

Ondas de Rayleigh em Meios Homogéneos

3 3 R 1qx sx i( t k x )R1 1 R 2 2

R

2qsku A i k e e es k

− − ω −⎛ ⎞= − + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

3 3 R 1

2sx qx i( t k x )R

3 1 2 2R

2qku A e qe es k

− − ω −⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x λ

u

u

ν = 0.20

ν = 0.30

ν = 0.35

1

3

3

• A profundidade afectada pela passagem de um onda de Rayleigh em meios

homogéneos é de 1 a 2 comprimentos de onda;

• A velocidade de propagação das ondas de Rayleigh em meios homogéneos

elásticos lineares depende apenas das propriedades elásticas do meio afectado e

não depende da frequência, ou do conteúdo em frequência, da onda em causa;

Ondas de Rayleigh em Meios HeterogéneosDispersão Geométrica

b. Pequeno Comprimentoa. Perfil em profundidadede onda

c. Grande Comprimentode onda

propagaçãoDirecção da

Estrato 3

Estrato 2

Estrato 1

Direcção dapropagação

• A velocidade de propagação das ondas de Rayleigh em meios heterogéneos

depende do conteúdo em frequência da onda

Ondas de Rayleigh em Meios HeterogéneosModos de Propagação

( ) ( ) ( )R 3 3 3 jF x , x , x , , k 0⎡ ⎤ρ λ μ ω =⎣ ⎦ω

1 1v ;φ 2 2v ;φ 3 3v ;φ

• A expressão matemática da condição de propagação de ondas de Rayleigh em

regime livre designa-se equação característica• Para uma mesma frequência ω podem existir diferentes modos de propagação,

caracterizados por diferentes valores de velocidade de fase e de configuração modal

Ondas de Rayleigh em Meios HeterogéneosCurva de Dispersão Modal e Aparente

400

350

300

250

200

V [m

/s]

0 50 100 150freq [Hz]

400

350

300

250

200

V [m

/s]

0 50 100 150freq [Hz]

• A representação gráfica das soluções da equação característica associadas a cada

modo é designada por curva de dispersão modal• Em problemas de propagação forçada, a medição da velocidade de propagação em

função da frequência introduzida dá origem a uma curva de dispersão aparente• É a curva de dispersão aparente obtida experimentalmente que permite, através da

resolução de um problema inverso, determinar estimativas para parâmetros de um

modelo teórico adoptado, compatível com os resultados experimentais obtidos

V [m/s]

2800C

omp.

Ond

a [m

]

70

60

50

20

0

40

30

10

260240 300 320 340 360 380 400

V [m/s]

2800C

omp.

Ond

a [m

]

70

60

50

20

0

40

30

10

260240 300 320 340 360 380 400

Comportamento Cíclico dos Solos

γγc

secG

Modelo Constitutivo Elástico Linear:

Modelo Constitutivo Histerético Linear:

(no domínio da frequência)

ij ijkl kl(t) E (t)σ = ε

tkl

ij ijkld ( )(t) G (t ) d

d−∞

ε τσ = − τ τ∫

τ* i t

ij ijkl 0kl(t) G ( ) e ωσ = ω ε

• O tipo de resposta dos solos a uma determinada acção depende, entre outros

factores, da amplitude da deformação imposta

• Principio da correspondência elástico-viscoelástico – a solução de um problema de

valores de fronteira num meio viscoelástico pode obter-se através das equações

deduzidas para um meio elástico, substituindo nestas as constantes elásticas pelos

parâmetros complexos que caracterizam o comportamento viscoelástico do material

Método dos Estratos Finos

hx3

u , Tm-1 m-1

mu , Tm

m 1 m 1m

m m

T uK

T u− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

minh4

λ<

2 2m m m m mK A k B k G M= + + − ω

( )j jK ,k 0ω φ =

• Este método é uma evolução do método de Haskell-Thomson – o conceito de matriz

de transferência é substituído pelo conceito de matriz de rigidez

• Funções de forma lineares do campo de deslocamentos no interior de cada estrato

• A matriz de rigidez individual de cada estrato fino é uma expressão algébrica

quadrática em função do numero de onda e da frequência

• O método dos Estratos Finos, de resolução do problema de propagação de ondas

em meios heterogéneos, radica na consideração individual de estratos homogéneos

justapostos, assentes sobre um semi-espaço elástico

• O cálculo dos valores e vectores próprios da equação característica pode ser

efectuado com recurso a algoritmos de factorização matricial já consagrados para o

efeito

Resultados – Curvas de Dispersão ModaisPerfil Normalmente Dispersivo

ρ [t/m3]

Pv [m/s]

Sv [m/s]

mh [m]

1.8 540 300 20 1.9 900 500 ∞

0 50 100 150

280

300

320

340

360

380

400

420

440

460

480

500

freq [Hz]

V [m

/s]

300 350 400 450 500

0

10

20

30

40

50

60

70

80

V [m/s]

Com

p. O

nda

[m]

Resultados – Modos de PropagaçãoPerfil Normalmente Dispersivo

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 5.6mz

[m]

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 6.1m

f = 50 Hz

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 6.4m

horizontalvertical

• O primeiro modo de propagação tem uma forma semelhante à configuração modal

característica de meios homogéneos

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 28.7m

z [m

]

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 38.2m

f = 10 Hz

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

horizontalvertical

Resultados – Curvas de Dispersão ModaisPerfil Inversamente Dispersivo

ρ

[t/m3] Pv

[m/s]

Sv

[m/s]

mh

[m]

1.8 630 350 10

1.8 450 250 10

1.9 720 400 ∞

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

240

260

280

300

320

340

360

380

400

freq [Hz]

V [m

/s]

240 260 280 300 320 340 360 380 400

0

10

20

30

40

50

60

70

80

V [m/s]

Com

p. O

nda

[m]

Resultados – Modos de PropagaçãoPerfil Inversamente Dispersivo

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 28.7m

z [m

]

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 38.5m

f = 10 Hz

-1 0 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

horizontalvertical

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 5.2m

z [m

]

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 5.8m

f = 50 Hz

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 6.5m

horizontalvertical

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 3.2m

z [m

]

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 3.3m

f = 100 Hz

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 3.4m

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 2.2m

z [m

]

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 2.3m

f = 145 Hz

-1 0 1

0

10

20

30

40

50

60

Comp Onda = 2.4m

Modelação da Excitação Dinâmica Superficial do Subsolo

- Amplitudes do movimento associadas a cada modo de

propagação para uma excitação vertical harmónica exercida

pontualmente [Aki e Richards, 1980]

( ) i t3F t F e ω= ⋅

( ) ( ) ( )j 1M i t k x

1 3 1 3 jj 1u x , x , A x , x , e βω − +ϕ

β β=

⎡ ⎤ω = ω ⋅∑ ⎣ ⎦

( )1 3 jA x , x ,β⎡ ⎤ω⎣ ⎦

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 3 j2 0 j1 1 31 3 3j 3 1 3 j j j 1 jj 2 3 j

r x ,k ,r z , k ,A x , x ,A x , x , F

A x , x , 4v U I 2 x k r x ,k ,β

⎡ ⎤ωω⎡ ⎤ω ⎢ ⎥⎡ ⎤ω = = ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ω π ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Na condição de existência de um meio com heterogeneidade exclusivamente

vertical, isotrópico elástico linear, a introdução de energia com variação harmónica

produz um campo de ondas de Rayleigh que pode ser aproximado por uma soma

de M modos de propagação

( )( ) ( ) ( )( )1 3 1 3 1 3Im u x , x , U x , x , sin t x , x ,β β βω = ω ⋅ ω − ψ ω

( ) ( )( )

1

11 3 1 3

1 1 3 ,x

dx ˆt x , x , c 0 V x , x ,x dt x , x ,

ββ β

β

∂ψ ωω − ψ ω = ⇔ ω− = ⇔ ω =

∂ ⎡ ⎤ψ ω⎣ ⎦

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

M M1 3 1 3 1 i ji ji 1 j 1

1 3 M M1 3 1 3 i j 1 i ji ji 1 j 1

2 A x , x , A x , x , cos x k kV̂ x , x ,

A x , x , A x , x , k k cos x k k

β β= =

β

β β= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω⋅ ω ω ⋅ −∑ ∑ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ω =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω ω + ⋅ −∑ ∑ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Expressão analítica do movimento das partículas na forma trigonométrica

• - Função de Amplitude

• - Função de Fase

Uβ

βψ

Programa rig_efect

Dados do

estratificado

Método dosestratos finos

(...)

v ( )ωj

1 ωr (x , ) ,r (x , )3 2 3 ω

semi-espaço

U ( ) ωjCalculo de

Calculo de j ωI ( )

j[ ]β ωA (a,0, )

A (b,0, )ωβ[ ] j

j[ ]β ωA (c,0, )

x = a1

1x = b

1x = c

V (a,0, )ωβ

v

v

β ωV (b,0, )

V (c,0, )ωβ

v

Resultados – Curvas Aparentes de DispersãoPerfil Normalmente Dispersivo

0 20 40 60 80 100 120

250

300

350

400

450

500

freq [Hz]

V [m

/s]

D = 1 m

0 20 40 60 80 100 120

250

300

350

400

450

500

freq [Hz]

V [m

/s]

D = 3 m

0 20 40 60 80 100 120

250

300

350

400

450

500

freq [Hz]

V [m

/s]

D = 11 m

0 20 40 60 80 100 120

250

300

350

400

450

500

freq [Hz]

V [m

/s]

D = 7 m

5 10 15 20 25250

260

270

280

290

300

310

x1 [m]

V [m

/s]

Resultados – Curvas Aparentes de DispersãoPerfil Inversamente Dispersivo

0 20 40 60 80 100 120

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

freq [Hz]

V [m

/s]

D = 4 m

0 20 40 60 80 100 120

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

freq [Hz]

V [m

/s]

D = 1 m

0 20 40 60 80 100 120

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

freq [Hz]

V [m

/s]

D = 13 m

0 20 40 60 80 100 120

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

freq [Hz]

V [m

/s]

D = 7 m

Ensaio CSW

Curva de dispersão

Frequência

Velo

cida

de d

e fa

se

G3

G2G1

Distância àorigem

Ângu

lo d

e Fa

se

FrequênciaFrequênciaFrequência

180

0

- 180

Fase

Fase

- 180

0

180180

0

- 180

Fase

G3G2G1f11ff1

FrequênciaFrequênciaFrequência

Am

plitu

deE

spec

tral

Am

plitu

deE

spec

tral

Am

plitu

deE

spec

tral

G3G2G1

Transformada de Fourier

Tempo Tempo Tempo

Am

plitu

de

Am

plitu

de

Am

plitu

de

G3G2G1

1Frequência fGeofones

G3G2G1

1f

Programa rig_efect_sim

v

β ωV (b-a,0, )

x = c1

x = b1

1x = a

I ( ) ωjCalculo

Calculo j ωU ( )

semi-espaço

ω323r (x , ) ,r (x , )ω1

j ωv ( )

(...)

estratos finosMétodo dos

estratificado

Dados do

u (x ,x , )=U (x ,x , ) sin( t- (x ,x , ))β βω ω ω1 3 1 3ω ψ1 3

ψ (a,0, )ω

β

β

βω(b,0, )ψ

ψ (c,0, )ωβ

V (c-a,0, )ωβ

v

V (c-b,0, )ωβv

media[ ]V (0, )ωβ

v

( ) ( )( ) ( )

2 12 1

2 1

r rV̂ r r ,0,

r ,0, r ,0,ω⋅ −

− ω =ψ ω − ψ ω

Resultados – Curvas Aparentes de DispersãoSimuladas com 2 transdutores

0 50 100 150220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

freq [Hz]

V [m

/s]

0 50 100 150250

300

350

400

450

500

freq [Hz]

V [m

/s]

r1=2.5m ; r2=3.5m r1=4.5m ; r2=5.5m

• É notório o efeito sobre o valor da velocidade aparente de fase induzido pelos

modos mais elevados

• A curva de dispersão aparente experimental obtida a partir das leituras realizadas

em apenas dois locais depende da configuração de ensaio adoptada

Utilização de vários transdutores

1

Transdutores

2 3 4 5

D d

Espaçamento = dEspaçamento = 2dEspaçamento = 3dEspaçamento = 4d

Curva de dispersão efectiva

• A curva de dispersão aparente final é uma média das dez séries de velocidade

aparente de fase associadas aos dez possíveis pares combináveis

Resultados – Curvas Aparentes de DispersãoSimuladas com 9 transdutores

D=2m ; d=1m D=2m ; d=3m

• Conveniência de utilização de um número de transdutores superior a dois

• Distância entre transdutores deverá maximizar a distância total abrangida sem

ultrapassar os mínimos comprimentos de onda previstos durante o ensaio

• A evidência dos efeitos induzidos por modos mais elevados atenua-se utilizando

mais transdutores e combinando os possíveis pares de resultados

• No primeiro caso, para f<75Hz são ainda evidentes os referidos efeitos devidos aos

modos mais elevados

• No segundo caso, a consideração de uma distância entre transdutores de 3m limita

a resolução em termos de comprimentos de onda. Não são calculadas as

velocidades aparentes de fase de ondas com comprimentos de onda inferiores a 3m

Desenvolvimentos Futuros

• Elaboração de ferramentas de simulação do ensaio baseada no Método dos

Elementos Finitos para a resolução do movimento superficial induzido no decurso de

ensaios SASW ou CSW;

• Utilização do modelo constitutivo histerético linear;

• Desenvolvimento de algoritmos de resolução do problema inverso de caracterização

geotécnica em profundidade a partir de resultados conhecidos de ensaios sísmicos

de superfície;

• Aplicação das ferramentas computacionais a casos reais de ensaios.