Modelação das Ondas de Rayleigh

Gonçalo Manuel de Sousa Henriques Vitorino

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri Presidente: Prof. Pedro Parreira

Orientador: Prof. João Teixeira de Freitas

Co-Orientador: Prof. Ionut Dragos Moldovan

Vogal: Prof. Luís Guerreiro

Outubro de 2010

i

Agradecimentos

Sinceramente nem sei por onde começar, para mim esta tese é um culminar de cinco

anos de muito estudo, amizades e convívio. É com algum pesar que escrevo esta parte, pois

significa que a minha vida de estudante acabou e está na altura de seguir em frente, cada um o

seu caminho. Gostaria não só de agradecer mas também congratular o Prof. João Teixeira de

Freitas por ser um belíssimo exemplo do que é ser Professor, não só a sabedoria e

conhecimentos científicos, mas uma boa pessoa, sempre disponível para ajudar assim como

claro e expedito em fazê-lo. O meu obrigado estende-se também à excelente pessoa que é o

Professor Ionut Moldovan, sempre despachado e obstinado, sempre que precisava da sua

ajuda sabia qualquer tipo de dúvida seria esclarecida e resolvida.

Não poderia deixar de agradecer aos meus pais, como é óbvio, não só por sempre me

ajudarem, mas como incansavelmente se propunham a fazê-lo, para além de terem sempre

confiança em mim no meu percurso escolar e me deixarem fazer sempre o que queria.

Obrigado a eles, e se tivesse de escolher outros pais no meio de seis biliões que o mundo tem,

escolheria os mesmos sem pestanejar.

Acabo esta conversa com um abraço e obrigado ao meu irmão, porque é simplesmente

o meu melhor amigo.

ii

iii

Resumo

As ondas de Rayleigh podem ser descritas através um conjunto de equações

diferenciais, sujeita a condições de superfície livre. A sua formulação é feita separando as

variáveis no espaço e no tempo, originando um conjunto de problemas definidos no domínio da

frequência. A discretização no tempo é normalmente feita recorrendo a séries de Fourier,

aproximando uma função periódica inicial por um certo de número de funções espectrais,

sendo a variação espacial definida pelas equações da Mecânica adequadas à modelação do

meio de propagação.

A combinação dessas equações origina a descrição espectral (ou de Helmholtz) da

equação da onda. As ondas de Rayleigh são então definidas combinando ondas-P e ondas-S

em condições de superfície livre. São estabelecidas admitindo dois tipos de meio (homogéneo)

de propagação, designamente meios de uma fase (por exemplo, solos secos) e meios de duas

fases (solos saturados). O modelo apresentado para as ondas de Rayleigh é formulado

admitindo um estado plano de deformação.

Para ultrapassar as dificuldades conhecidas na modelação de respostas não-periódicas

com séries de Fourier, utiliza-se uma base de aproximação no tempo definida sobre um

conjunto completo de Wavelets. Com o modelo definido, e com a variação no espaço e tempo

acoplados, é possível representar a propagação das ondas de Rayleigh provocadas por uma

acção sísmica.

Palavras-Chave

Modelação de Ondas de Rayleigh

Solos Homogénos

Solos Saturados

Modelação de Ondas no Tempo

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Abstract

Rayleigh waves can be defined by a set of differential equations subject to free-surface

conditions. These equations are derived separating the variables in space and time to obtain a

set of problems defined in the frequency domain. The discretization in time is usually

implemented using Fourier series, replacing the initial periodic function by a number of spectral

functions. The variation in space is defined by a set of equations that model adequately the

mechanical behavior of the medium of propagation.

The combination of these equations leads to the spectral (Helmholtz) definition of the

wave equation. Rayleigh waves are defined combining P- and S-waves under free-surface

conditions, assuming that they propagate in two distinct homogeneous media, namely single-

phase (dry) and biphasic (saturated) media The Rayleigh wave models are derived for states of

plane strain.

The approximation in time is implemented using a system of Wavelets to circumvent the

difficulties inherent to the modelling of non-periodic problems with Fourier series. The modelling

of the propagation of seismic waves is obtained combining this temporal series with the

solutions of the spectral definitions obtained for the Rayleigh waves

Keywords

Modelling of Rayleigh Waves

Homogeneous Soils

Saturated Soils

Transient Wave Modelling

vi

vii

Índice

1 Introdução ........................................................................................................................ 1

1.1 Objecto e Objectivo ................................................................................................... 1

1.2 Ondas Sísmicas .......................................................................................................... 2

1.2.1 Ondas de Volume ............................................................................................... 2

1.2.2 Ondas de Superfície ........................................................................................... 3

1.3 Organização do texto ................................................................................................. 4

2 Solução de Equações Não Lineares Complexas .................................................................. 5

2.1 Introdução ................................................................................................................. 5

2.2 Método Gráfico ......................................................................................................... 6

2.3 Métodos Numéricos .................................................................................................. 6

2.3.1 Método da Bissecção ......................................................................................... 7

2.3.2 Método da Falsa Posição .................................................................................... 7

2.3.3 Método do Ponto Fixo ....................................................................................... 8

2.3.4 Método de Newton ............................................................................................ 9

2.3.5 Método da Secante ............................................................................................ 9

2.4 Conclusão ................................................................................................................ 10

3 Integração no Domínio do Tempo ................................................................................... 13

3.1 Introdução ............................................................................................................... 13

3.2 Série de Fourier ....................................................................................................... 13

3.3 Série de Fourier Complexa ....................................................................................... 14

3.4 Análise Periódica ..................................................................................................... 15

3.5 Análise Não Periódica .............................................................................................. 16

3.6 Conclusão ................................................................................................................ 17

4 Estado de Tensão num Sólido .......................................................................................... 19

4.1 Introdução ............................................................................................................... 19

4.2 Estado de tensão num ponto ................................................................................... 21

4.2.1 Tensor das tensões .......................................................................................... 22

4.2.2 Equilíbrio na fronteira ...................................................................................... 23

4.2.3 Equilíbrio no domínio ....................................................................................... 24

4.3 Estado Plano de Tensão ........................................................................................... 26

4.4 Conclusão ................................................................................................................ 27

5 Estado de Deformação num Sólido .................................................................................. 29

5.1 Introdução ............................................................................................................... 29

viii

5.2 Estado de deformação num ponto ........................................................................... 29

5.2.1 Deformação Homogénea ................................................................................. 29

5.2.2 Decomposição de deformações homogéneas................................................... 31

5.2.3 Deformação Pura ............................................................................................. 31

5.2.4 Tensor das deformações .................................................................................. 33

5.2.5 Compatibilidade no domínio ............................................................................ 34

5.2.6 Compatibilidade na fronteira ........................................................................... 34

5.3 Estado Plano de Deformação ................................................................................... 35

5.4 Conclusão ................................................................................................................ 36

6 Relações Constitutivas de um Sólido................................................................................ 37

6.1 Introdução ............................................................................................................... 37

6.2 Lei de Hooke Generalizada....................................................................................... 37

6.3 Simetria Elástica ...................................................................................................... 38

6.4 Lei de Hooke para Materiais Isotrópicos .................................................................. 39

6.4.1 Relação Tensão Normal-Extensão .................................................................... 40

6.4.2 Relação Tensão Tangencial-Distorção ............................................................... 41

6.5 Estado Plano de Tensão ........................................................................................... 42

6.6 Estado Plano de Deformação ................................................................................... 43

6.7 Conclusão ................................................................................................................ 43

7 Propagação de Ondas de Rayleigh ................................................................................... 45

7.1 Introdução ............................................................................................................... 45

7.2 Formulação do Problema ......................................................................................... 45

7.2.1 Condições de Domínio ..................................................................................... 46

7.2.2 Condições de Fronteira .................................................................................... 47

7.3 Aproximação no Tempo ........................................................................................... 47

7.4 Formulação Espectral .............................................................................................. 49

7.5 Ondas de Rayleigh ................................................................................................... 50

7.6 Acção Sísmica .......................................................................................................... 51

7.7 Conclusão ................................................................................................................ 51

8 Solos Não Saturados ........................................................................................................ 53

8.1 Introdução ............................................................................................................... 53

8.2 Identificação das Variáveis ....................................................................................... 53

8.3 Equação da Onda ..................................................................................................... 55

8.4 Ondas Planas ........................................................................................................... 56

8.5 Ondas Cilíndricas ..................................................................................................... 56

8.6 Ondas de Rayleigh ................................................................................................... 57

ix

8.7 Conclusão ................................................................................................................ 59

9 Solos Saturados ............................................................................................................... 61

9.1 Introdução ............................................................................................................... 61

9.2 Identificação das Variáveis ....................................................................................... 61

9.3 Equação da Onda ..................................................................................................... 63

9.4 Ondas Planas ........................................................................................................... 64

9.5 Ondas Cilíndricas ..................................................................................................... 65

9.6 Ondas de Rayleigh ................................................................................................... 66

9.7 Solução das Ondas de Rayleigh ................................................................................ 67

9.8 Conclusão ................................................................................................................ 69

10 Aplicações Numéricas .................................................................................................... 71

10.1 Introdução ............................................................................................................... 71

10.2 Análise no Domínio da Frequência ........................................................................... 71

10.2.1 Frequência de 10 rads-1 .................................................................................... 71

10.2.2 Frequência de 100 rads-1 .................................................................................. 75

10.2.3 Frequência de 250 rads-1 .................................................................................. 79

10.3 Análise no Domínio do Tempo ................................................................................. 82

10.3.1 Definição das Bases de Aproximação................................................................ 83

10.3.2 Determinação das Amplitudes ......................................................................... 84

10.3.3 Resultados ....................................................................................................... 85

11 Conclusão ...................................................................................................................... 93

Apêndice 1: Raízes de Funções Não Lineares ........................................................................... 95

Apêndice 2: Equação da Onda em Solos Não Saturados ........................................................ 99

Apêndice 3: Campos de Deslocamento, Deformação e Tensão em Solos Não Saturados ..... 101

Apêndice 4: Equação da Onda em Solos Saturados.............................................................. 103

Apêndice 5: Campos de Deslocamento, Deformação e Tensão em Solos Saturados ............ 107

Apêndice 6: Propriedades do Solo de Ensaio ........................................................................ 109

x

xi

Índice de Figuras

Figura 1 - Ondas de Corpo ou Volume (ondas-P e ondas-S) ..................................................... 2

Figura 2 Ondas de Superfície (ondas de Rayleigh e ondas de Love) ......................................... 3

Figura 3 - Gráfico de uma função f real de variável real [4] ........................................................ 6

Figura 4 - Método da Bissecção [9] ........................................................................................... 7

Figura 5 - Método da Falsa Posição (Cordas) [9] ....................................................................... 8

Figura 6 - Método do Ponto Fixo [9] .......................................................................................... 8

Figura 7 - Método de Newton [9] ............................................................................................... 9

Figura 8 - Método da Secante [9] ............................................................................................ 10

Figura 9 - Variação temporal de uma função f(t) ...................................................................... 13

Figura 10 - Aproximação de uma função por Série de Fourier ................................................. 14

Figura 11 - Peça prismática sujeita a uma força F [5] .............................................................. 20

Figura 12 - Comportamento Elástico Linear [5] ........................................................................ 20

Figura 13 - Comportamento Elástico Não Linear [5]................................................................. 20

Figura 14 - Comportamento Elastoplástico [5] ......................................................................... 20

Figura 15 - Corpo sujeito a forças mássicas e de superfície [5]................................................ 21

Figura 16 - Vector tensão nas três facetas paralelas aos planos coordenados [5] .................... 22

Figura 17 - Significado dos elementos do Tensor das Tensões ............................................... 23

Figura 18 - Tetraedro Infinitesimal [5] ...................................................................................... 23

Figura 19 - Paralelepípedo de volume infinitesimal [3] ............................................................. 25

Figura 20 - Estado Plano de Tensão, componentes nulas do tensor das tensões .................... 26

Figura 21 - Corpo sujeito a uma deformação – estado inicial e estado final [5]......................... 29

Figura 22 - Corpo sujeito a uma deformação [5] ...................................................................... 30

Figura 23 - Paralelepípedo Infinitesimal [5] .............................................................................. 31

Figura 24 - Extensão segundo [5] ....................................................................................... 32

Figura 25 - Distorção entre os eixos e [5] ....................................................................... 32

Figura 26 - Diminuição do ângulo entre e [5] .................................................................. 33

Figura 27 - Corpo sujeito a um Estado Plano de Deformação [5] ............................................. 35

Figura 28 - Cubo sujeito apenas a uma tensão normal [5] ................................................ 40

Figura 29 - Cubo sujeito apenas a uma tensão tangencial [5] ........................................... 41

Figura 30 - Distorção provocada por [5] .................................................................... 41

Figura 31 - Domínio, Fronteiras de Neumann e Dirichlet e Sommerfeld [8] .............................. 45

Figura 32 - Ondas de Rayleigh – Solos Não Saturados ........................................................... 58

Figura 33 - Ondas de Rayleigh em Solos Saturados................................................................ 66

Figura 34 - Campo de deslocamentos (solo não saturado, raiz , rads-1

)................... 73

Figura 35 - Campo de tensões (solo não saturado, raiz , rads-1

) .............................. 73

Figura 36 - Campo de deslocamentos (solo saturado, raiz , rads-1

) ......................... 74

xii

Figura 37 - Campo de tensões (solo saturado, raiz , rads-1

) .................................... 75

Figura 38 - Campo de deslocamentos (solo não saturado, raiz , rads-1

) ................. 76

Figura 39 - Campo de tensões (solo não saturado, raiz , rads-1

) ........................... 76

Figura 40 - Campo de deslocamentos (solo saturado, raiz , rads-1

) ....................... 77

Figura 41 - Campo de tensões (solo saturado, raiz , rads-1

) .................................. 78

Figura 42 - Campo de deslocamentos (solo não saturado, raiz , rads-1

) ................ 80

Figura 43 - Campo de tensões (solo não saturado, raiz , rads-1

) ........................... 80

Figura 44 - Campo de deslocamentos (solo saturado, raiz , rads-1

) ....................... 81

Figura 45 - Campo de tensões (solo saturado, raiz , rads-1

) .................................. 82

Figura 46 – Campos de tensões para solos homogéneos com base N=16 .............................. 86

Figura 47 – Campos de tensões para solos homogéneos com base N=32 .............................. 87

Figura 48 – Campos de tensões e pressão para solos saturados com base N=16 ................... 88

Figura 49 – Campos de tensões e pressão para solos saturados com base N=32 ................... 89

Figura 50 – Campo de deslocamentos, solos homogéneos com base N=16 ............................ 90

Figura 51 – Campo de deslocamentos para solos homogéneos com base N=32 ..................... 90

Figura 52 – Campo de deslocamentos no sólido para solos saturados com base N=16 ........... 91

Figura 53 – Campo de deslocamentos no líquido para solos saturados com base N=16 .......... 91

Figura 54 – Campo de deslocamentos no sólido para solos saturados com base N=32 ........... 92

Figura 55 – Campo de deslocamentos no líquido para solos saturados com base N=32 .......... 92

xiii

Índice de Tabelas

Tabela 1: Soluções de k para rads-1

(solo não saturado) ............................................. 72

Tabela 2: Soluções de k para rads-1

(solo saturado) .................................................... 72

Tabela 3: Soluções de k para rads-1

(solo saturado) .................................................. 78

Tabela 4: Soluções de k para rads-1

(solo saturado) .................................................. 79

xiv

xv

Índice de Quadros

Quadro 1 Implementação do Método da Bissecção ................................................................. 95

Quadro 2 Implementação do Método da Falsa Posição ........................................................... 96

Quadro 3 Implementação do Método do Ponto Fixo ................................................................ 96

Quadro 4 Implementação do Método de Newton ..................................................................... 96

Quadro 5 Implementação do Método da Secante .................................................................... 97

xvi

xvii

Lista de Símbolos

Factor de Correcção de Tortuosidade

Matriz dos Coeficientes de Amortecimento

Tensor das Relações Constitutivas

Tensor das Deformações

Módulo de Elasticidade ( ou Módulo de Hooke)

Vector das Forças de Massa

Módulo de Distorção

Matriz de Rigidez

Número de Onda

Segunda Constante de Biot

Fracção de Líquido por Unidade de Volume

Período de onda

Vector dos Deslocamentos

Vector dos Deslocamentos Inicial

Vector das Acelerações Espectrais

Vector das Velocidades Espectrais

Vector das Velocidades Inicial

Função de Bessel de ordem

Vector dos Deslocamentos da Fase Líquida

Amplitude Generalizada

Primeira Constante de Biot

Número de Onda

Fronteira de Neumann

Fronteira de Dirichlet

Fronteira de Sommerfeld

Distorção

Tensor das Deformações

Número de Onda

Coeficiente que depende das Constantes de Biot e Lamé

Constante de Lamé

Constante de Lamé

Coeficiente de Poisson

Factor de Dissipação

Vector da Pressão da Fase Líquida

Matriz dos Coeficientes de Massa

xviii

Massa Volúmica da Água

Tensor das Tensões

Função Potencial

Frequências Numéricas

Frequência de Fourier

Frequência de Fourier Inicial

Tensor das Rotações

Gradiente de uma Função

Laplaciano de uma Função

1

1 Introdução

1.1 Objecto e Objectivo

A investigação que aqui se resume incide sobre a modelação da propagação de ondas

de Rayleigh em solos não saturados e saturados. Esse modelo é formulado e testado, visando

a sua posterior incorporação num programa de elementos finitos desenvolvido para a análise

do comportamento elastodinâmico de solos [8].

Esse programa foi desenvolvido para realizar análises dinâmicas tanto no domínio da

frequência como no domínio do tempo de meios finitos e semi-infinitos. O tipo de elementos

finitos que aí são implementados (elementos finitos híbridos-Trefftz) caracteriza-se pela

utilização de bases de aproximação definidas sobre a solução formal da equação da onda. A

base incorpora, portanto, o comportamento mecânico do meio a analisar, o que permite, entre

outros aspectos, modelar facilmente o comportamento de fundações usando elementos semi-

infinitos ou fronteiras absorventes que satisfazem explicitamente a condição de Sommerfeld.

Os resultados aqui apresentados servem para generalizar a base de aproximação usada

nesse programa de modo a incluir as soluções de ondas de Rayleigh e utilizá-las para simular

a propagação de ondas sísmicas em meios de fundação. A definição das ondas de Rayleigh

está bem estabelecida para meios monofásicos, mas o mesmo não sucede em relação a meios

poroelásticos saturados. Acresce ser nula a experiência existente na utilização das soluções

formais das ondas de Rayleigh na modelação do comportamento de fundações pelo Método

dos Elementos Finitos, no contexto acima definido.

A formulação que aqui se usa baseia-se numa decomposição espectral do problema

elastodinâmico. Essa decomposição não pressupõe mas permite a modelação de movimentos

periódicos, servindo por isso para implementar análises no domínio da frequência (periódicas

ou periodicamente estendidas) e, também, análises no domínio do tempo (periódicas ou não

periódicas).

Essa formulação permite modelar as ondas de Rayleigh induzidas por uma acção

sísmica. A técnica que aqui se testa é a geração de um espectro de frequências (decorrente do

método de integração no tempo adoptado), a definição das famílias de ondas de Rayleigh

associadas a cada frequência e, finalmente, a determinação das suas amplitudes de modo a

recuperar o acelerograma que caracteriza o sismo.

Para simplificar a apresentação, a informação relativa ao método de integração usado e

à formulação do comportamento elastodinâmico de solos saturados é indexada à tese de

doutoramento que apoiou a realização deste trabalho, [8], podendo aí encontrar-se a

informação detalhada sobre as fontes usadas em cada tema.

2

1.2 Ondas Sísmicas

As ondas sísmicas que se propagam através da Terra têm geralmente origem em sismos

ou em explosões. As características destas ondas, estudadas pelos sismólogos, são registadas

por sismógrafos, sismómetros ou geofones, permitindo esses registos classificar as ondas

sísmicas em duas grandes famílias, as ondas de volume (ou de corpo) e as ondas de

superfície.

1.2.1 Ondas de Volume

As ondas de corpo ou volume propagam-se no interior da Terra, apresentando percursos

radiais deformados devido às variações de densidade e composição dos estratos que

atravessam. Trata-se de um efeito semelhante à refracção de ondas de luz. As ondas de corpo

são as responsáveis pelos primeiros tremores sentidos durante um sismo bem como grande

parte da vibração produzida posteriormente. Existem dois tipos de ondas de corpo: primárias

(ondas-P) e secundárias (ondas-S).

As ondas-P são as primeiras a chegar, pois têm uma velocidade de propagação maior.

São ondas longitudinais que fazem a rocha vibrar paralelamente à direcção da onda, tal como

um elástico em contracção. Verifica-se alternadamente uma compressão seguida de uma

distensão, com amplitudes e períodos baixos, impondo aos corpos sólidos elásticos alterações

de volume. No ar, estas ondas de pressão tomam a forma de ondas sonoras e propagam-se à

velocidade do som. A velocidade de propagação deste tipo de ondas varia com o meio em que

se propagam, sendo típicos valores de 330 m/s no ar, 1450 m/s na água e 5000 m/s no granito.

Não são tão destrutivas como as ondas-S ou as ondas de superfície que se lhes seguem. A

velocidade de propagação destas ondas é, em geral, ligeiramente inferior ao dobro da das

ondas-S.

Figura 1 - Ondas de Corpo ou Volume (ondas-P e ondas-S)

3

As ondas-S são ondas transversais ou de corte, o que significa que o solo é deslocado

perpendicularmente à direcção de propagação. Quando as ondas-S são polarizadas

horizontalmente, o solo move-se alternadamente para um e outro lado. A sua velocidade de

propagação é cerca de 60% da das ondas-P, para um dado material, mas a sua amplitude é

várias vezes maior que a amplitude dessas ondas. É o segundo grupo de ondas que são

sentidas. Provocam alterações morfológicas mas não causam a alteração de volume. As

ondas-S propagam-se apenas em corpos sólidos, uma vez que os fluidos (gases e líquidos)

não suportam forças de corte.

1.2.2 Ondas de Superfície

As ondas de superfície são semelhantes às ondas que se observam à superfície de um

corpo de água e propagam-se imediatamente abaixo da superfície terrestre. Devido à sua

baixa frequência, longa duração e grande amplitude, podem ser as ondas sísmicas mais

destrutivas. Propagam-se pela superfície a partir do epicentro de um sismo (tal como as ondas

de uma pedra ao cair num charco), com velocidades mais baixas que as ondas de corpo.

Existem dois tipos de ondas de superfície: ondas de Rayleigh e ondas de Love.

Figura 2 Ondas de Superfície (ondas de Rayleigh e ondas de Love)

As ondas de Rayleigh, ou ondas-R, são ondas de superfície que se propagam como as

ondas na superfície da água. A existência destas ondas foi prevista por John William Strutt,

Lord Rayleigh, em 1885. Resultam da combinação de ondas-P e S, e provocam uma vibração

no sentido contrário à propagação da onda, ou seja, um movimento de rolamento (descrevem

uma órbita elíptica). A sua amplitude diminui rapidamente com a profundidade.

As ondas de Love, ou ondas-L, são ondas de superfície que produzem corte horizontal

do solo e a sua energia é obrigada a permanecer nas camadas superiores da Terra por

4

ocorrerem por reflexão interna total. São assim chamadas em honra de A.E.H. Love, um

matemático britânico que criou o modelo matemático destas ondas em 1911. Essas ondas

resultam da combinação de duas ondas-S. São ligeiramente mais rápidas que as ondas de

Rayleigh e, sendo ondas de corte, são ondas altamente destrutivas.

1.3 Organização do texto

Este texto está organizado em três partes, que traduzem as diferentes fases do trabalho

realizado: a preparação de matérias básicas, o estudo da aplicação e a obtenção de

resultados.

A primeira parte incide sobre a recapitulação de dois temas da Análise Numérica,

designadamente solução de equações não lineares complexas (Capítulo 2) e métodos de

integração no tempo (Capítulo 3), e dos aspectos principais da Mecânica dos Sólidos,

nomeadamente a caracterização de estados de tensão (Capítulo 4) e de estados de

deformação (Capítulo 5) e a caracterização das relações constitutivas (Capítulo 6).

A segunda parte resume o estudo da aplicação, o qual exigiu a abordagem de duas

novas matérias, a formulação do comportamento dinâmico de meios contínuos e a modelação

de meios bifásicos, isto é, de misturas com uma fase sólida e uma fase líquida. Para evitar

repetições na apresentação, optou-se por formular primeiro (Capítulo 7) o problema em termos

gerais, definindo as equações nos domínios do tempo e da frequência. Essa formulação é

depois particularizada para meios monofásicos e bifásicos para modelar o comportamento

dinâmico de solos não saturados e de solos saturados, respectivamente. As ondas de Rayleigh

são caracterizadas nesses capítulos (Capítulos 8 e 9).

A terceira parte do texto inclui a apresentação dos resultados (Capítulo 10) e uma

apreciação não só desses resultados como da formação adquirida (Capítulo 11). A

apresentação dos resultados está organizada em duas partes. A primeira ilustra os resultados

obtidos no domínio da frequência e serve, fundamentalmente, para mostrar os modos que as

ondas Rayleigh tomam em solos não saturados e em solos saturados sujeitos a diferentes

níveis de frequências de excitação. A segunda parte ilustra a propagação dessas ondas

quando se admite que esse meio, não saturado ou saturado, é actuado por um sismo.

5

2 Solução de Equações Não Lineares Complexas

2.1 Introdução

Como adiante se mostra, as ondas de Rayleigh são caracterizadas combinando ondas-P

e ondas-S sob a condição de serem nulas as forças na superfície livre do solo. Esta

caracterização define um problema de valores e vectores próprios, representando os valores

próprios os números de onda e os vectores próprios os modos de combinação das ondas. Os

números de onda representam as raízes da equação discriminante do problema de valores e

vectores próprios, a qual é, em geral, uma equação não linear com variáveis complexas.

Foi esse o primeiro problema estudado, tendo como objectivo o desenvolvimento e a

validação de rotinas a inserir no programa de elementos finitos que suportou o trabalho aqui

apresentado, contribuindo assim para generalizar esse programa para a modelação da

propagação de ondas sísmicas em solos saturados.

Determinar a solução de uma equação pode ser considerada uma tarefa demasiado

simples quando estejam disponíveis as ferramentas necessárias, designadamente software

numérico ou analítico adequados. No entanto, é importante salientar que essas ferramentas

têm limitações, não sendo em geral suficiente programar a função e obter as raízes procuradas

chamando directamente as rotinas disponíveis.

A maior parte dos métodos de resolução de equações exige o fornecimento dos “limites”

onde se situam os zeros da função, por não ser viável estender a busca a todo o seu domínio.

Por outro lado, as estratégias de busca desses métodos baseiam-se sobre hipóteses feitas

sobre o comportamento da função, o qual tem, portanto, uma grande influência na eficácia da

estratégia de solução.

Consequentemente, a utilização de um determinado método obriga à realização de uma

análise preliminar da função. Essa análise, no caso mais simples, passa pelo esboço do gráfico

da função, permitindo estabelecer grosseiramente, os limites no domínio onde se encontram os

zeros.

Este capítulo resume o estudo feito sobre os principais métodos numéricos utilizados na

determinação de raízes de funções não lineares com variáveis complexas, tendo cada um

deles sido programado e devidamente testado no contexto da aplicação em causa, isto é, a

determinação dos números de onda e da direcção de propagação de ondas de Rayleigh em

solos saturados.

6

2.2 Método Gráfico

O método gráfico é o mais simples dos métodos disponíveis para a estimar os zeros de

uma função. Consiste no traçado da função (real) no intervalo que contem os zeros, seguido de

sucessivos zooms até se obter a precisão pretendida. O recurso a este método é essencial

para caracterizar o comportamento da função, o qual depende directamente do problema físico

que a função representa, e obter assim a informação que vai fundamentar a escolha do método

numérico a adoptar na determinação dessas raízes com a precisão desejada.

Para uma dada função começa-se por traçar o gráfico num intervalo suficientemente

amplo para conter as raízes esperadas (ver Figura 3), sendo esta operação muito facilitada

pelas ferramentas actualmente disponíveis, p. ex. “Mathematica”, [13].

Figura 3 - Gráfico de uma função f real de variável real [4]

Geralmente, o método gráfico é utilizado para a detecção das raízes de equações, ou

seja para verificar a existência, o número e o intervalo onde se localizam essas raízes. No

entanto, este procedimento é demorado, requer o traçado de vários gráficos e é inadequado

em termos de automatização do cálculo, tanto termos de precisão como de sistematização, os

quais exigem o recurso a um método numérico ajustado ao comportamento da função.

2.3 Métodos Numéricos

Os métodos que irão ser apresentados são iterativos (em oposição aos métodos

directos), ou seja fornecem-nos uma sucessão de valores que conduz, havendo

convergência, às soluções da equação , com a precisão desejada. Esta

sucessão é definida por recorrência, necessitando de um ou mais valores iniciais, dependendo

do método utilizado. A aplicação de um método iterativo coloca diferentes problemas formais e

práticos, a saber:

A implementação da estratégia de pesquisa do método;

O estudo de convergência da sucessão , obtida;

O estudo da velocidade de convergência.

7

Como é impraticável efectuar um número infinito de iterações (repetição do mesmo

processo com valores iniciais diferentes, visando a obtenção de um dado termo da sucessão,

) será pois necessário escolher um limite, N, para o número de pesquisas. Isto põe o

problema de escolha de um bom critério de paragem, o qual dependente da precisão

desejada. A implementação de cada um dos métodos a seguir apresentados está apresentada

no Apêndice 1.

2.3.1 Método da Bissecção

Um dos métodos mais simples para a resolução de equações não lineares é o Método

da Bissecção. Considere-se um intervalo [ ] de uma certa função (ver Figura 4).

Figura 4 - Método da Bissecção [9]

O método consiste em identificar um intervalo em que se verifica a condição

, subdividir o intervalo ao meio e testar de novo a condição nos subintervalos, [ ] e

[ ] com

, para determinar qual deles contém a raiz. O processo é repetido para o

novo subintervalo até se atingir a precisão desejada (ver Apêndice 1).

2.3.2 Método da Falsa Posição

O Método da Bissecção é bastante lento em termos de convergência, o que de certa

forma não é de estranhar pois exige apenas a informação sobre o intervalo que contém uma

raiz da equação . O Método da Falsa Posição ou Regula Falsi (também designado

por Método das Cordas) é muito semelhante ao Método da Bissecção. No entanto tem uma

convergência mais rápida, pois envolve informações adicionais sobre a função (ver Figura 5),

para além da informação sobre o intervalo que contém a raiz.

8

Figura 5 - Método da Falsa Posição (Cordas) [9]

Como no Método da Bissecção, este método requer dois valores iniciais, a e b, situados

na vizinhança da raiz. A corda definida pelos pontos ⟨ ⟩ e ⟨ ⟩ intersecta o eixo dos

no ponto . A análise do gráfico representado na Figura 5 mostra que o eixo e a corda

formam dois triângulos semelhantes, o que permite escrever:

(1)

Esta equação pode ser resolvida na variável que aproxima a raiz da função, , o que

constitui a base da programação do Método da Falsa Posição (ver Apêndice 1).

O desempenho deste método é relativamente fraco em consequência do número de

testes que é necessário realizar em cada tentativa de localização da raiz.

2.3.3 Método do Ponto Fixo

Muitas vezes o problema de determinação do zero de uma função pode reduzir-se

à procura de um valor que verifique a igualdade , ou seja um ponto fixo da função

. A técnica em que este método se baseia consiste em transformar o problema de

encontrar uma solução da equação no problema de resolver a equação .

Uma das condições para a convergência do método é a boa escolha da função , (ver

Figura 6).

Figura 6 - Método do Ponto Fixo [9]

9

Para que o método seja convergente, a função tem de satisfazer certas condições,

as quais são definidas no Teorema do Ponto Fixo [4]. O Método do Ponto Fixo é bastante

eficaz em consequência da simplicidade das operações que envolve (ver Apêndice 1), mas a

qualidade do desempenho depende da natureza de cada problema, em consequência das

condições de convergência acima referidas.

2.3.4 Método de Newton

O Método de Newton, ou Newton-Raphson, é o método mais utilizado na solução de

equações não lineares por ser simples de implementar ter uma convergência muito rápida (a

convergência do método é quadrática [9]).

A velocidade de convergência do método decorre de se basear não só no cálculo da

função, como os métodos anteriores, mas também da sua derivada. A determinação da

derivada da função pode não ser viável em determinadas aplicações, mesmo quando essa

derivada é determinada numericamente, em consequência da perda de precisão que esse

cálculo geralmente implica.

Figura 7 - Método de Newton [9]

Como se ilustra na Figura 7, a estratégia do Método de Newton consiste em utilizar o

valor da função e da sua derivada num ponto para estimar o comportamento da função na

vizinhança desse ponto (ver Apêndice 1).

O Método de Newton apresenta dificuldades no cálculo de raízes de funções que

coincidam com pontos de extremos de função e, também, na distinção de raízes múltiplas ou

quase múltiplas. A convergência do Método de Newton depende, também, da escolha do valor

inicial .

2.3.5 Método da Secante

O Método da Secante é um método que alia a simplicidade conceptual do método da

bissecção com uma velocidade de convergência semelhante à do método de Newton. Como no

10

método da bissecção, ele requer dois valores iniciais, e , localizados numa vizinhança da

raiz da função .

Figura 8 - Método da Secante [9]

Considera-se como primeira aproximação da raiz o ponto de intersecção do eixo do

com a secante da função, definida pelos pontos ⟨ ⟩ e ⟨ ⟩, como se mostra

na Figura 8. Este procedimento é equivalente a usar a secante como aproximação da tangente

da função no ponto ⟨ ⟩, ou seja:

(2)

Substituindo esta estimativa da tangente no Método de Newton obtém-se o

procedimento de cálculo resumido no Apêndice 1.

Da definição do Método da Secante, facilmente se constata que a vantagem é a de

dispensar o cálculo formal da derivada da função. Se a função for bem comportada, contínua e

com derivada contínua, a aproximação secante da derivada é suficiente para obter velocidades

de convergência, medidas em tempos de cálculo, semelhantes às que caracterizam o Método

de Newton.

2.4 Conclusão

Neste capítulo foram apresentados cinco métodos para aproximação numérica de raízes

de funções. Os três primeiros apresentados, Método da Bissecção, Falsa Posição e Ponto Fixo

são métodos com convergência linear [4,9] e, portanto convergem lentamente para a solução.

Consequentemente, estes métodos não foram utilizados neste trabalho.

O Método de Newton e o Método da Secante são métodos com convergência supra

linear [4,9] e, por isso mesmo, a convergência é muito mais rápida na vizinhança da raiz de

uma equação não linear. Quando a derivada é difícil de determinar, ou o seu cálculo é

dispendioso, o Método da Secante é mais eficiente. Em problemas extremamente sensíveis,

estes dois métodos podem comportar-se de uma maneira menos boa, podendo ser necessário

recorrer a técnicas para determinar um intervalo óptimo para análise da função. Qualquer dos

11

dois métodos permite determinar raízes complexas, tendo isso sido tomado em consideração

na elaboração deste trabalho.

Apesar do Método da Secante ser ligeiramente mais lento que o de Newton, tem uma

grande vantagem face às equações não lineares que tiveram de ser resolvidas, a de dispensar

a definição da derivada da função que define o discriminante do problema de valores e

vectores próprios. O Método da Secante, nesta situação, revelou ser o melhor método

numérico para o cálculo de raízes de funções não lineares, pelo que veio a ser o escolhido

para a sistematização da caracterização das ondas de Rayleigh e da sua propagação em solos

saturados.

12

13

3 Integração no Domínio do Tempo

3.1 Introdução

Os problemas de Dinâmica Estrutural são usualmente resolvidos separando as variáveis

no espaço e no tempo. Dependendo do tipo informação que se pretende caracterizar, a

solução é descrita no domínio da frequência (análise espectral) ou no domínio do tempo

(análise temporal). Ambos os tipos de análise são frequentemente utilizados na modelação do

comportamento elastodinâmico de solos saturados, o âmbito do estudo que aqui se apresenta.

A abordagem que mais facilita a introdução dos conceitos envolvidos consiste em admitir

que o comportamento é periódico no tempo, ou que se recorre a uma extensão periódica do

problema, isto é, que a análise é estendida periodicamente, com um período suficiente grande

para minimizar os efeitos dessa restrição.

A Análise de Fourier é a que melhor se adapta a esta representação, permitindo

esclarecer facilmente os dois tipos de análise, no domínio do tempo e de frequência. É esse o

aspecto que é abordado na segunda parte deste capítulo, depois de recordar as bases da

aproximação de uma função por uma série de Fourier.

A análise no domínio do tempo baseia-se em métodos incrementais conceptualmente

muito distintos da Análise de Fourier, sendo as variantes do Método de Newmark [8,11] as

mais frequentemente utilizadas em Dinâmica Estrutural. Esses métodos não são aqui

abordados por se ter optado por recorrer a uma generalização do método de decomposição

espectral que não depende da periocidade do comportamento em análise [9,10]. Esse método

de análise não-peródica no domínio do tempo é descrito sumariamente na terceira e última

parte deste capítulo.

3.2 Série de Fourier

Qualquer função contínua, com um certo período T, pode ser representada combinando

um conjunto completo de funções periódicas simples, nomeadamente senos e cosenos, sob a

forma de uma série designada por série de Fourier.

Figura 9 - Variação temporal de uma função f(t)

Assim, uma função periódica (ou periodicamente estendida) pode ser descrita na forma,

14

∑

∑

(3)

sendo a seguinte a definição dos coeficientes da série:

∫

(4)

∫

(5)

∫

(6)

Como a série é truncada, isto é, não se tomam infinitos termos na aproximação, a

representação harmónica de uma certa função periódica pode ser feita como se ilustra na

Figura 10, havendo no entanto a garantia de convergência para o número apropriado de

termos da aproximação

Figura 10 - Aproximação de uma função por Série de Fourier

3.3 Série de Fourier Complexa

É frequentemente vantajoso escrever a série de Fourier em forma complexa, recorrendo

à fórmula de Euler,

(7)

(8)

com

, para , concluindo-se facilmente que:

15

( ) (9)

( ) (10)

Utilizando estas definições na equação (3) e sabendo que

para a unidade

imaginária, obtém-se:

(11)

Escrevendo , e , e substituindo na equação (3)

obtém-se a expressão alternativa,

∑

∑

(12)

ou, mais simplesmente [7]:

∑

(13)

3.4 Análise Periódica

O movimento de uma partícula de um meio sujeito a uma acção dinâmica é descrito pelo

deslocamento, , pela velocidade, , e pela aceleração, . A separação de variáveis

consiste em admitir que esses campos podem ser escritos na forma seguinte:

Se se admitir que o movimento é periódico, com período T, e se optar por uma

aproximação de Fourier no domínio do tempo,

∫

(14)

∑

(15)

∑

(16)

∑

(17)

16

(18)

obtêm-se as seguintes regras de integração no tempo para a velocidade e para a aceleração,

(19)

(20)

passando os coeficientes a representar os coeficientes de Fourier definidos pela

equação (12). Como adiante se mostra, esses coeficientes são determinados recorrendo ao

Método dos Elementos Finitos, impondo adequadamente as condições de equilíbrio e de

compatibilidade do problema e as relações constitutivas do meio poroso em análise, o solo

saturado.

Uma análise espectral consiste simplesmente em representar a variação da

componente espacial do problema, designadamente deslocamentos, velocidades, acelerações,

tensões ou deformações, varrendo uma determinada gama de frequências, classificada como

relevante para o problema em análise.

Uma análise temporal periódica (ou estendida periodicamente) consiste em combinar

cada uma dessas soluções espaciais, por exemplo o campo de deslocamentos obtido para

cada frequência, , e representar a sua evolução no tempo recorrendo à decomposição

(15) para a base de proximação no tempo .

No contexto da Análise de Fourier, essa recomposição da solução no tempo e no espaço

não é tão trivial como as equações em que se baseia podem sugerir, sendo necessário recorrer

a transformadas de Fourier para tornar o processo suficientemente expedito.

3.5 Análise Não Periódica

Visando este estudo modelar a propagação de ondas de Rayleigh num solo saturado

accionado por um sismo, não se pode admitir que o movimento é periódico e é pouco prático

admitir extensões periódicas desse movimento.

Em vez de recorrer à aplicação de métodos tradicionais de integração no tempo para

representar a resposta solo, optou-se por generalizar a decomposição (15) a (17) usando uma

base de aproximação no tempo, , não periódica [8,11]. Esse método gera regras de

integração no tempo semelhantes às obtidas para a aproximação periódica, definidas pelas

equações (19) e (20),

(21)

(22)

17

mas envolvendo duas diferenças fundamentais: dependem da configuração inicial do sistema,

definida pelo deslocamento e pela velocidade iniciais, e , pois o movimento não é

periódico, e envolve frequências algorítmicas (adimensionais), , isto é, frequências de

excitação que dependem da base de aproximação no tempo e do incremento de tempo

escolhido:

(23)

Como o problema em estudo é linear, torna-se possível substituir uma análise

incremental por uma análise realizada num único intervalo de tempo (como na Análise de

Fourier), o período de análise da acção sísmica (em vez do período da resposta), desde que se

adopte uma base de aproximação suficientemente estável e forte. A base que se utiliza para

obter os resultados adiante apresentados é um sistema de wavelets definidas no intervalo

[8,11].

Como se admite que a fundação está em repouso antes da acção sísmica, e

, conclui-se que formalmente são as mesmas as regras de integração a adoptar na

formulação do problema para análises periódicas (19) e (20) e não periódicas (21) e (22), o que

facilita a formulação do problema e a implementação do modelo de elementos finitos utilizado

na sua solução, bastando definir adequadamente as frequências do espectro gerado por cada

uma das bases de aproximação no tempo.

3.6 Conclusão

Mostra-se neste capítulo que a formulação aqui adoptada pode ser usada para resolver

problemas dinâmicos no domínio da frequência ou no domínio do tempo, recorrendo a

decomposições espectrais periódicas ou não periódicas. Para além de permitir usar a mesma

formulação para resolver um mesmo problema no domínio da frequência ou no domínio do

tempo, a separação de variáveis que é utilizada permite compreender essa formulação no mais

simples dos contextos possíveis, de aproximação de uma função por uma série de Fourier.

18

19

4 Estado de Tensão num Sólido

4.1 Introdução

Neste capítulo são descritas as características do estado de tensão a que um corpo

pode estar sujeito. Começa-se por apresentar o caso mais geral, Estado Tridimensional,

seguindo-se um caso particular deste, o Estado Plano de Tensão. As equações apresentadas

[1,2,3] serão fundamentais para a compreensão da formulação das equações das ondas

apresentadas adiante. Apresentam-se de seguida algumas definições e hipóteses

consideradas importantes:

Matéria:

Descontínua – Caso real devido á natureza atómica do problema.

Contínua – Simplificação do problema

Ao supor-se a matéria contínua, introduz-se um simplificação que na maior parte dos

casos não introduz erros significativos desde que se pretenda analisar o comportamento em

termos macroscópicos, como acontece na maioria dos problemas correntes, designadamente

no que é aqui estudado.

Material:

Não Homogéneo

Homogéneo

Diz-se que um material é homogéneo se, de ponto para ponto de um mesmo corpo, as

propriedades se mantêm iguais. Na generalidade dos casos supõe-se que o material é

homogéneo. No entanto, distintos materiais apresentam em geral propriedades distintas. Se um

determinado corpo for constituído por dois ou mais materiais homogéneos, existe uma

descontinuidade de deformação na transição entre os diversos materiais.

Isotropia:

Material Anisotrópico

Material Isotrópico

No material anisotrópico as propriedades variam com a direcção considerada, enquanto

no material isotrópico as propriedades são independentes da direcção.

Comportamento do Material:

Elástico e Linear

Elástico não linear

Elastoplástico

20

Para explicar esta classificação muito simplificada das diferentes formas de

comportamento dos materiais estruturais, considere-se a peça prismática, encastrada numa

extremidade e livre na outra, sujeita a uma força aplicada nesta última extremidade (ver

Figura 11).

Figura 11 - Peça prismática sujeita a uma força F [5]

Assim, para os diferentes tipos de comportamento apresentam-se nas Figuras 12,13 e

14 a relação F- .

Figura 12 - Comportamento

Elástico Linear [5]

Figura 13 - Comportamento

Elástico Não Linear [5]

Figura 14 - Comportamento

Elastoplástico [5]

O comportamento de um material pode ser ainda classificado relativamente à ordem de

grandeza das deformações a que pode estar sujeito.

O aparecimento de grandes deformações depende das propriedades do material, da

geometria do elemento estrutural e da acção a que está sujeito, podendo ocorrer tanto em

materiais muito flexíveis (e.g., borracha) como em materiais muito rígidos (e.g., lâmina de aço).

O seu efeito não é considerado no presente trabalho.

Em resumo, admitem-se as seguintes hipóteses na representação do comportamento de

solos não saturados e saturados:

Material contínuo.

Material homogéneo.

Material isotrópico.

Material com comportamento elástico linear.

No domínio das pequenas deformações.

21

Em rigor, nenhuma destas hipóteses é válida para qualquer acção sísmica. O solo é

tipicamente um material com três fases, sólida, líquida e gasosa. A fase gasosa não é

explicitamente considerada, atendo ao estado de saturação assumido, podendo o seu efeito

ser introduzido corrigindo os parâmetros constitutivos relevantes. As fases sólida e líquida são

modeladas explicitamente recorrendo à Teoria das Misturas, da qual resulta a definição de uma

material macroscopicamente equivalente, contínuo, homogéneo e isotrópico. As duas

hipóteses seguintes, de linearidade física e geométrica, decorrem simplesmente da

necessidade de simplificar o modelo nesta fase de desenvolvimento do estudo da propagação

de ondas de Rayleigh.

4.2 Estado de tensão num ponto

Nesta secção é apresentado o caso geral, isto é, o estado de tensão é caracterizado

em pontos de um corpo que apresenta uma forma qualquer no espaço a três dimensões.

Admite-se também que as forças podem estar orientadas segundo uma qualquer direcção no

espaço. Considere-se um corpo nas condições indicadas na Figura 15:

Figura 15 - Corpo sujeito a forças mássicas e de superfície [5]

As forças mássicas ou de massa, exercem a sua acção sobre todos os elementos

infinitesimais de volume (e.g., forças gravíticas, forças de inércia). As forças de superfície

actuam na superfície exterior do corpo (e.g., acção do vento, acção de uma carga aplicada).

A definição da tensão no ponto P para uma faceta de normal será:

(24)

Legenda

C Corpo qualquer.

V Volume arbitrário do corpo C,

limitado pela superfície S.

P Ponto da superfície S.

𝑓𝑚 Forças mássicas aplicadas a V.

𝑓𝑠 Forças de superfície aplicadas a V

através de S.

ΔS Elemento de superfície S contendo o

ponto P.

�� Normal a ΔS dirigida para o exterior

de S.

𝛥𝑓𝑠 Força exercida através de ΔS pela

matéria exterior a V sobre a matéria

22

4.2.1 Tensor das tensões

Na Figura 16 está representado um cubo cujas faces são paralelas aos planos

coordenados. As três faces representadas na figura são aquelas cujo versor normal coincide

com , ou . As faces do cubo são facetas infinitesimais que contêm um mesmo ponto P.

Encontra-se ainda representado na Figura 16 o vector tensão , correspondente a cada uma

das três facetas.

Figura 16 - Vector tensão nas três facetas paralelas aos planos coordenados [5]

Cada um dos vectores representados na Figura 16 tem três componentes no espaço,

segundo , e . Isto significa que as forças são campos vectoriais,

(25)

sendo , e referindo-se às tensões nas facetas 1, 2 e 3 que contêm respectivamente

, e .

Esta equação pode então ser escrita em notação tensorial, mais compacta.

Considerando que,

(26)

a equação pode ser reescrita, ficando com a seguinte forma:

(27)

Nesta equação, é o índice livre e é um índice mudo. A cada índice mudo está

associada a convenção do somatório de 1 a 3. A equação (27) pode ser apresentada

matricialmente, correspondente às 3 facetas visíveis no cubo infinitesimal da Figura 16

obtendo-se:

{

} [

] {

} (28)

23

A matriz de 3x3 com elementos representa o tensor das tensões. O tensor das

tensões num ponto do interior dum corpo é definido pelas componentes normais e tangenciais

dos vectores das tensões que actuam em três facetas ortogonais que se cruzam nesse ponto

(ver Figura 17).

Figura 17 - Significado dos elementos do Tensor das Tensões

Nos elementos do tensor das tensões , o índice está associado à faceta e o índice

está associado à componente de . As componentes com índices iguais ( , ) são

designadas tensões normais, enquanto que as tensões com índices diferentes ( , , ,

, e ) definem as tensões tangenciais.

4.2.2 Equilíbrio na fronteira

Considere-se um ponto P cujo estado de tensão é caracterizado pelo tensor . Na Figura

18 encontra-se representado um tetraedro infinitesimal (OABC).

Figura 18 - Tetraedro Infinitesimal [5]

24

A face ABC é uma faceta que apresenta uma orientação arbitrária definida pelo versor .

As faces OAB, OAC, OBC são paralelas aos planos coordenados.

O referencial utilizado tem a origem coincidente com o ponto P. Uma vez que o tetraedro

tem dimensões infinitesimais, no limite, todas as faces contêm o ponto P.

Impondo o equilíbrio vectorial no tetraedro segundo a direcção encontra-se a

condição,

| ( )| ( )| ( )| (29)

a qual, após algumas simplificações [2,3], pode ser reduzida à seguinte forma:

(30)

O processo pode ser repetido para as outras direcções, e , obtendo-se assim de

uma forma mais compacta, em notação indicial, a equação de equilíbrio na fronteira:

(31)

Na equação (31), que define a condição de Neumann, o índice refere-se à direcção dos

vectores , enquanto, o índice refere-se a cada um dos vectores na respectiva faceta 1,2 e 3.

Matricialmente ter-se-á:

{

}

[

] {

} (32)

Este resultado mostra que o estado de tensão num ponto do interior dum corpo, definido

pelo tensor das tensões, não fica determinado pelas três condições de equilíbrio na fronteira.

Pelo contrário, as forças numa faceta da fronteira, caracterizada pelo versor , são

complemente determinadas pelo estado de tensão nesse ponto.

4.2.3 Equilíbrio no domínio

A determinação do campo de tensões instalado num corpo sujeito à acção de forças

exteriores conhecidas conduz a um problema estaticamente indeterminado ou hiperestático, na

medida em que as nove componentes de tensão estão relacionadas por apenas seis equações

de equilíbrio.

A simetria do tensor das tensões, , resulta da imposição das três condições de

equilíbrio de momentos. As três condições de equilíbrio de forças definem três condições

independentes sobre as seis componentes restantes do tensor das tensões ( , , , ,

e ).

25

Considere-se então o paralelepípedo de volume infinitesimal de arestas

representado na Figura 19.

Figura 19 - Paralelepípedo de volume infinitesimal [3]

Fazendo-se o equilíbrio de forças na direcção ,

∑ (

) .

/

(

)

(33)

obtém-se, após simplificação e eliminação dos infinitésimos de ordem superior:

(34)

Obtêm-se equações análogas impondo o equilíbrio de forças nas outras duas direcções,

e :

(35)

(36)

Estas três equações definem as condições de equilíbrio no interior de um corpo. Tal

como se fez o equilíbrio de forças, o equilíbrio de momentos também se tem de verificar para

assegurar o equilíbrio estático do corpo. Sendo nulas as componentes de momento das forças

de massa, o momento resultante em relação a qualquer eixo tem de ser nula.

Se se considerar um eixo paralelo ao eixo e que passe pelo centro do elemento, ter-

se-á,

26

∑

(

)

.

/

(37)

ou, após simplificação:

(38)

Repetindo a condição de equilíbrio relativamente a eixos e , paralelos aos eixos y e z

respectivamente, passando pelo centro do elemento infinitesimal, obtêm-se relações análogas

sobre as componentes tangenciais do tensor das tensões,

(39)

(40)

o que estabelece a simetria do tensor das tensões.

Escrevendo a equações de equilíbrio de uma forma mais compacta, em notação indicial,

para os eixos x,y e z como 1,2 e 3 respectivamente, ter-se-á,

(41)

(42)

sendo um tensor de segunda ordem simétrico, tendo apenas seis componentes

independentes.

4.3 Estado Plano de Tensão

Existem vários tipos de estado de tensão num corpo, sendo importante salientar um caso

muito comum, o Estado Plano de Tensão. Se se considerar um corpo em que uma das suas

tensões principais é nula, diz-se que esse corpo está sujeito ao Estado Duplo de Tensão. Se se

verificar o estado duplo no corpo todo e se a direcção correspondente à tensão principal nula

for a mesma em todos os pontos do corpo, o Estado de Tensão diz-se Plano.

Figura 20 - Estado Plano de Tensão, componentes nulas do tensor das tensões

27

Se as componentes , e do tensor das tensões forem nulas (ver Figura 20),

devido à simetria do tensor das tensões, e também são nulas, resultando,

[

] (43)

O estado de tensão caracterizado pelo tensor (43) verifica-se nas seguintes condições:

Corpo com espessura h muito pequena quando comparada com as outras duas

direcções;

Corpo simétrico em relação ao plano médio ;

Todas as acções paralelas e simétricas em relação a esse plano.

4.4 Conclusão

Este capítulo resume a caracterização do estado de tensão num corpo sólido

tridimensional, a qual foi particularizada para o Estado Plano de Tensão. Foram apresentadas

as equações que serão utilizadas posteriormente para formular o problema de propagação de

ondas em meios homogéneos e em meios saturados.

Em qualquer um destes casos, as condições de equilíbrio no domínio serão

generalizadas para incluir o efeito de forças de inércia e de amortecimento. Na análise de

meios saturados, as condições de equilíbrio no domínio e na fronteira são ainda generalizadas

para incluir os termos que caracterizam o equilíbrio da fase líquida da mistura.

As equações de equilíbrio estático, tanto no interior de qualquer corpo (41), como na

fronteira (32), assim como a simetria (42) do tensor das tensões, são resultados importantes

para um melhor entendimento de formulações e resultados posteriores.

28

29

5 Estado de Deformação num Sólido

5.1 Introdução

Quando são aplicadas forças a um corpo, este deforma-se, sendo possível estudar as

características de deformação independentemente das forças que a originam. Apresentar-se-á

primeiramente o caso geral tridimensional, o qual é depois particularizado para o caso utilizado

na modelação de solos saturados, o Estado Plano de Deformação [1,2,3].

5.2 Estado de deformação num ponto

5.2.1 Deformação Homogénea

A chave para analisar a deformação de um corpo não está na definição do seu

movimento, isto é, na definição dos deslocamentos, mas na descrição do movimento relativo

de dois pontos, ou seja, da variação da distância entre quaisquer dois pontos do corpo (ver

Figura 21).

Figura 21 - Corpo sujeito a uma deformação – estado inicial e estado final [5]

Cada uma das componentes do vector deslocamento , dependem da posição do ponto,

{

(44)

podendo a sua definição ser desenvolvida em série de Taylor,

.

/

(

) .

/

(

) .

/

(

) (45)

com , respectivamente as direcções .

30

Na equação (45) apenas se consideram termos de primeira ordem, pois os termos de

ordem superior à primeira são potências de infinitésimos e, portanto, desprezáveis.

Considerando

tem-se:

.

/

(46)

Se a origem do referencial coincidir com o ponto P, como se indica na Figura 22,

representa as coordenadas de um ponto Q situado na sua vizinhança infinitesimal, passando a

designar-se apenas por .

Figura 22 - Corpo sujeito a uma deformação [5]

Assim, o deslocamento do ponto P passa a ser o deslocamento da origem e o

deslocamento do ponto Q passa a ser o deslocamento de um ponto genérico . Substituindo

na equação (46), obtém-se,

(47)

sendo:

(48)

.

/

(49)

O facto de esta relação ser linear implica que, na vizinhança infinitesimal de um ponto,

todos os pontos apresentam a mesma deformação, tratando-se portanto de uma deformação

homogénea.

31

5.2.2 Decomposição de deformações homogéneas

De acordo com a equação (47), se se decompuser na soma de um tensor simétrico

com um antisimétrico, resulta,

( )

( ) (50)

tomando a equação (47) a seguinte expressão:

(51)

Nesta expressão, representa uma translação, porque é independente das

coordenadas, representa uma rotação e

representa um deslocamento

que provoca uma deformação pura. A translação e a rotação são movimentos de corpo rígido,

isto é, isentos de deformação pura. Em notação matricial, a equação (51) ficará:

[

] [

] [

] [

] [

] [

] (52)

5.2.3 Deformação Pura

A deformação pura é caracterizada por um tensor simétrico , cujos termos têm a

seguinte definição:

.

/ (53)

5.2.3.1 Extensão

Considere-se um paralelepípedo de dimensões infinitesimais, com arestas , e

(ver Figura 23):

Figura 23 - Paralelepípedo Infinitesimal [5]

32

Se se fizer a projecção do paralelepípedo no plano , obtém-se um quadrado de

dimensões infinitesimais (ver Figura 24).

Figura 24 - Extensão segundo [5]

A Figura 24 mostra que,

(54)

verificando-se assim que o elemento representa uma extensão, isto é, uma variação de

comprimento por unidade de comprimento. Procedendo-se analogamente para as outras duas

direcções e ., obter-se-ia e . Em notação indicial ter-se-á,

(55)

com , correspondendo respectivamente às extensões, num corpo, segundo .

5.2.3.2 Distorção

Considere-se o paralelepípedo da Figura 23. Fazendo novamente a projecção no mesmo

plano , obtém-se a representação feita na Figura 25.

Figura 25 - Distorção entre os eixos e [5]

33

De acordo com a equação (53), é a seguinte a definição da componente de deformação,

(

) (56)

mostrando a Figura 25 que:

(

)

(57)

O valor de representa assim a diminuição do ângulo entre os semi-eixos

positivos e (ver Figura 26).

Figura 26 - Diminuição do ângulo entre e [5]

A grandeza designa-se por distorção entre ,

(58)

ou, em notação indicial:

(59)

5.2.4 Tensor das deformações

Considerando as deduções feitas anteriormente, pode-se então definir o tensor das

deformações, o qual agrupa as componentes de extensão e de distorção:

[

]

(60)

.

/ (61)

34

5.2.5 Compatibilidade no domínio

Admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos, as relações deformações-

deslocamentos tomam a seguinte forma em notação indicial:

( ) (62)

Trata-se dum sistema de seis equações diferenciais. Se se conhecerem as componentes

do deslocamento , com, , a equação (62) permite determinar de forma unívoca os

valores de (seis equações independentes a seis incógnitas). Pelo contrário, se forem as

componentes de deformação a ser conhecidas, pode não ser possível determinar os

deslocamentos (seis equações a três incógnitas).

Do ponto de vista matemático isso quer dizer que, dado um campo de deformações

arbitrário, pode ser impossível achar um campo de deslocamentos

contínuo que seja solução do sistema de equações diferenciais. Se se arbitrarem seis funções

de para as três extensões e para as três distorções, não se pode garantir a

existência de três funções de cuja derivação resultem as seis referidas funções.

Do ponto de vista físico, admita-se que se decompõe o corpo em cubos elementares e

que se deforma cada um desses cubos de acordo com o campo de deformações arbitrário

dado. Pode ser impossível reconstituir, a partir dos cubos elementares

deformados, um corpo deformado contínuo.

As equações de compatibilidade escritas em função das componentes de deformação

não são mais do que condições de integrabilidade do sistema de equações diferenciais, isto é,

condições a que devem satisfazer as componentes de deformação para que lhes corresponda

um campo de deslocamentos contínuo. Essas equações têm a seguinte definição indicial [1,2]:

(63)

É ainda de realçar que as equações de compatibilidade só fazem sentido quando as

deformações são funções duas vezes continuamente diferenciáveis, o que implica que os

deslocamentos sejam funções três vezes continuamente diferenciáveis.

5.2.6 Compatibilidade na fronteira

A relação deformações-deslocamentos (61) define as condições de compatibilidade no

domínio do corpo, ou seja, o campo de deformação compatível com um determinado campo de

deslocamento.

Para completar as condições de compatibilidade do corpo, que influem directamente no

estado de deformação que nele ocorre, é necessário definir as condições de compatibilidade

35

na fronteira (em pontos exteriores) do corpo. Essas condições, as condições de Dirichlet,

limitam-se a impor que o campo de deslocamento seja compatível com os deslocamentos que

possam estar impostos na superfície do corpo:

5.3 Estado Plano de Deformação

Se se considerar um corpo em que uma das suas deformações principais é nula, diz-se

que esse corpo está sujeito ao Estado Duplo de Deformação. Se se verificar o estado duplo em

todos os pontos do corpo diz-se que esse corpo está sujeito a um Estado Plano de

Deformação.

Considere-se um corpo com as seguintes características (ver Figura 27):

Corpo prismático gerado por translação de uma figura plana ao longo de um

eixo, sendo a secção geradora paralela ao plano e o eixo de

translação;

A dimensão do corpo segundo é muito superior às restantes dimensões;

Todas as acções têm componente nula segundo nula, isto é, actuam

paralelamente ao plano e não variam com .

Figura 27 - Corpo sujeito a um Estado Plano de Deformação [5]

Nestas circunstâncias admite-se que o deslocamento de qualquer ponto segundo é

nulo e que os deslocamentos segundo e não variam com :

{

(65)

Quando um corpo apresenta este conjunto de características diz-se que está sujeito a

um Estado Plano de Deformação.

(64)

36

O tensor das deformações (60) simplifica-se, sendo ∑ 0, tomando a seguinte

expressão:

[

] (66)

5.4 Conclusão

Este capítulo, à semelhança do anterior, resume a caracterização do estado de

deformação num sólido tridimensional, o qual foi particularizado para o Estado Plano de

Deformação a que habitualmente se recorre para caracterizar a resposta de meios de

fundação.

Esta caracterização é posteriormente generalizada para combinar a descrição das

condições de compatibilidade das fases sólida e líquida dos solos saturados, recorrendo-se à

deformação volumétrica para descrever a deformação da fase líquida da mistura. A condição

de compatibilidade na fronteira é também generalizada para controlar a componente do

deslocamento da fase líquida normal à superfície que limita o meio de fundação (fronteiras

impermeáveis) ou para impedir a reflexão espúria de ondas quando se introduzem fronteiras

artificiais na discretização de meios semi-infinitos (fronteiras absorventes).

As equações que interessa reter são as que definem as condições de compatibilidade no

domínio (62) e na fronteira (64) do corpo, para além da equação que de define a simetria do

tensor das deformações.

37

6 Relações Constitutivas de um Sólido

6.1 Introdução

Nos capítulos anteriores foram caracterizados os estados de tensão e de deformação

num corpo sólido. Essas caracterizações foram feitas de forma independente, isto é, quando se

caracterizou o estado de tensão não se mencionou o estado de deformação e vice-versa.

São agora apresentadas as expressões que relacionam esses dois estados admitindo

que o material tem um comportamento elástico linear. Estas expressões são conhecidas como

relações tensão-deformação, ou relações constitutivas, e descrevem a deformação elástica

num sólido.

O estado de tensão num ponto é caracterizado pelo tensor das tensões, , cujos

elementos definem tensões normais e tensões tangenciais. Admitindo que o corpo está sujeito

a pequenas deformações e considerando a vizinhança infinitesimal de um ponto, supõe-se que

o estado de tensão apenas depende das componentes do tensor das deformações, , de

acordo com a seguinte relação:

(67)

6.2 Lei de Hooke Generalizada

Cada uma das funções pode ser desenvolvida em série de Taylor, desde que seja

uma função contínua com derivadas contínuas. Efectuando esse desenvolvimento na origem,

isto é para , tem-se,

(68)

O termo corresponde a um estado de tensão quando as deformações são nulas,

sendo portanto nulo, quando não existem tensões residuais. Admitindo-se a hipótese de

pequenas deformações, os termos de ordem superior à primeira são desprezados, resultando a

seguinte expressão:

(69)

Assim, e tendo em conta que e são tensores de segunda ordem,

é um tensor

de quarta ordem, que passa a ser designado por ,

(70)

38

Esta relação define a lei de Hooke generalizada, sendo i e j índices livres, enquanto k e l

são índices mudos, o que implica a existência de somatórios de 1 a 3. O tensor de quarta

ordem tem 34 = 81 elementos.

O facto de tanto o tensor das tensões como o tensor das deformações serem simétricos

faz com que seja necessário apenas conhecer seis componentes de cada um dos tensores

(três componentes diagonais e três componentes não diagonais). Assim a relação entre

componentes independentes de ambos os tensores pode ser escrita na forma,

∑

(71)

permitindo considerações de carácter energético [2] para concluir que os coeficientes são

necessariamente simétricos, isto é, , o que reduz para 21 o número de coeficientes

independentes. Em notação matricial ter-se-á, portanto:

[

]

[

]

[

]

(72)

6.3 Simetria Elástica

Um material apresenta um determinado tipo de simetria elástica quando ao ser sujeito a

um campo de deformações com determinadas características de simetria, fica sujeito a um

campo de tensões com as mesmas características de simetria. Quando um material não

apresenta qualquer simetria, diz-se ser anisotrópico.

Considerando-se que um material apresenta simetria elástica em relação a um plano,

tomando-se como referência o plano , é possível mostrar [2,3] que alguns dos termos

do sistema (72) são nulos, ficando:

(73)

Considerando-se a mesma simetria elástica em relação aos outros dois planos,

e , as alterações ao sistema (72) serão, respectivamente:

(74)

(75)

39

É ainda possível mostrar que quando um material apresenta simetria elástica

relativamente a dois planos ortogonais entre si, está implícita uma simetria elástica em relação

a um terceiro plano ortogonal aos outros dois.

Nestas circunstâncias, em que um material apresenta simetria elástica relativamente a

três planos ortogonais entre si, diz-se que o material é ortótropo. Para um material com estas

características, a relação (72) entre os estados de tensão e de deformação toma a seguinte

forma simplificadas:

[

]

[

]

[

]

(76)

6.4 Lei de Hooke para Materiais Isotrópicos

Como é explicado em [2], para que a matriz das constantes elásticas seja

independente do referencial utilizado tem de se verificar as seguintes igualdades:

[

] [

] [

] (77)

Designando por A os elementos , e , por B os elementos , e , e por

C os elementos , e , o sistema (76) toma a seguinte expressão,

[

]

[

]

[

]

(78)

podendo recorrer-se a uma transformação de coordenadas [2] para estabelecer ainda a

seguinte relação:

(79)

Assim, quando uma material é isotrópico, a matriz dos coeficientes elásticos depende

apenas de dois parâmetros independentes, A e B.

40

6.4.1 Relação Tensão Normal-Extensão

Considere-se agora um cubo sujeito a uma tensão normal (ver Figura 28).

Figura 28 - Cubo sujeito apenas a uma tensão normal [5]

A relação entre uma tensão e uma deformação define o módulo de elasticidade do

material, . Esta grandeza representa, fisicamente, a tensão normal que se tem de aplicar

numa dada direcção para se obter uma extensão unitária nessa direcção:

(80)

O módulo de elasticidade varia de material para material, podendo ser determinado

experimentalmente.

Observando-se a Figura 28 constata-se que associado ao alongamento na direcção ,

estão associados encurtamentos nas outras duas direcções ortogonais e . O quociente

entre o encurtamento nestas duas direcções e o alongamento na direcção define o

coeficiente de Poisson. Esta grandeza adimensional,

(81)

pode também ser determinada experimentalmente.

Se se considerar que actuam no cubo da Figura 28 simultaneamente tensões normais

, e , resultam as seguintes extensões,

[

]

[

] [

] (82)

podendo esta relação ser invertida para recuperar a forma (78):

[

] [

] [

] (83)

41

e definir as constantes A e B:

(84)

(85)

6.4.2 Relação Tensão Tangencial-Distorção

Considere-se agora um cubo, apenas sujeito a uma tensão tangencial (Figura 29).

Figura 29 - Cubo sujeito apenas a uma tensão tangencial [5]

Figura 30 - Distorção provocada por [5]

Pode-se constatar que ao aplicar a tensão tangencial não ocorre alongamento ou

encurtamento das faces do cubo. O que se verifica é uma distorção pura, , caracterizada

pela rotação das faces relativamente ao referencial inicial, como se indica na Figura 30.

Assim pode definir-se uma nova grandeza, designada por módulo de distorção, . Esta

grandeza representa a tensão tangencial que é necessário aplicar para obter uma distorção

unitária e, portanto, é dada pelo quociente:

42

(86)

Relacionando a equação (86) com o sistema (78), obtém-se a seguinte definição [2]:

(87)

Atendendo às equações (84) e (85), pode-se estabelecer a seguinte relação entre o

módulo de distorção, o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson:

(88)

Assim, pode caracterizar-se finalmente a Lei de Hooke para materiais isotrópicos:

[

]

[

]

[

]

(89)

sendo A, B e G os elementos definidos pelas equações (84), (85) e (88).

A matriz das constantes elásticas pode ser expressa em função de dois parâmetros

alternativos, e ,

[

]

[

]

[

]

(90)

que definem as constantes de Lamé:

(91)

(92)

6.5 Estado Plano de Tensão

Se um corpo estiver sujeito a um Estado Plano de Tensão, o tensor das tensões toma a

expressão (43),

[

] (93)

sendo as seguintes as expressões alternativas que se obtêm as relações de elasticidade:

43

[

]

[

] [

] (94)

[

]

[

] [

] (95)

6.6 Estado Plano de Deformação

No Estado Plano de Deformação é a seguinte a expressão do tensor das deformações,

(66):

[

] (96)

As descrições alternativas das relações de elasticidade são determinadas recorrendo às

relações tensão-deformação (90):

[

] [

] [

] (97)

[

]

[

] [

] (98)

6.7 Conclusão

Este capítulo resume o último conjunto de equações que será utilizado na caracterização

do comportamento de solos saturados. Tal como nos capítulos anteriores, a Lei de Hooke é

apresentada em termos gerais, sendo progressivamente particularizada para materiais

ortotópicos e isotrópicos e, neste caso, para o Estado Plano de Tensão e para o Estado Plano

de Deformação.

Estas relações, definidas pela expressão (98) serão utilizadas para caracterizar o

comportamento da fase sólida dos solos saturados, sendo posteriormente generalizadas para

caracterizar o comportamento da fase líquida.

44

45

7 Propagação de Ondas de Rayleigh

7.1 Introdução

Neste capítulo apresenta-se a formulação geral dos problemas elastodinâmicos lineares

que será utilizada para modelar a propagação de ondas de Rayleigh em meios de fundação

actuados por um sismo.

As equações que caracterizam esse comportamento são primeiro definidas no domínio

do tempo, tomando como base a caracterização dos estados de tensão e de deformação

definidas anteriormente. São depois aproximadas no tempo aplicando a decomposição

espectral anteriormente apresentada.

Mostra-se que a formulação que assim se obtém pode ser usada para realizar análises

no domínio da frequência ou no domínio do tempo, usando uma base de Fourier (periódica) no

primeiro caso e uma base de wavelets (não periódica) no segundo.

7.2 Formulação do Problema

Na terminologia aqui usada, ilustrada na Figura 31, V define o domínio em análise,

representa a fronteira de Neumann (onde são conhecidas as forças aplicadas), representa a

fronteira de Dirichlet (onde são conhecidos os deslocamentos impostos) e representa a

fronteira de Sommerfeld.

Figura 31 - Domínio, Fronteiras de Neumann e Dirichlet e Sommerfeld [8]

46

A fronteira interior, , representada na mesma figura é considerada rígida em análises

estáticas de meios semi-infinitos, e colocada suficientemente longe da fonte da excitação para

assegurar a validade dessa hipótese. Quando se realiza uma análise sísmica, é usual fazê-la

coincidir com o substrato rochoso, aplicando aí as acelerações que caracterizam essa acção.

O inconveniente desta opção em análises dinâmicas é que a fronteira actua como um

reflector das ondas sísmicas, sendo necessário interromper a análise num momento que

assegure que essa reflexão não destrua a solução obtida. Para evitar esta forte limitação,

recorre-se a uma de duas técnicas alternativas. Uma consiste em caracterizar essa fronteira

como uma fronteira absorvente ou de Sommerfeld (onde as forças são proporcionais à

velocidade de propagação). A segunda técnica consiste em usar funções de aproximação que

satisfazem implicitamente essa condição.

7.2.1 Condições de Domínio

A condição de equilíbrio estático (41) é escrita matricialmente na forma,

(99)

sendo o vector que reúne as componentes independentes do tensor das tensões, o vector

das forças de massa e o operador diferencial de equilíbrio. As definições destes termos,

assim como as das equações que a seguir se resumem, são adiante explicitadas para meios

monofásicos e bifásicos.

Em regime dinâmico, a equação de equilíbrio (99) é generalizada para incluir o efeito das

forças de inércia e de amortecimento, tomando a seguinte forma,

(100)

em que e definem os vectores de aceleração e velocidade, respectivamente, e as matrizes

e reúnem os coeficientes de massa e de amortecimento. É a seguinte a expressão matricial

da condição de compatibilidade no domínio (62),

(101)

e das relações de elasticidade (97),

(102)

sendo o vector que reúne as componentes independentes do tensor das deformações, o

vector dos deslocamentos, o operador diferencial de compatibilidade e a matriz de rigidez

do meio.

47

7.2.2 Condições de Fronteira

Nas fronteiras de Neumann , e de Dirichlet, , têm de se verificar as condições de

equilíbrio (32) e de compatibilidade (64), cuja notação matricial é a seguinte,

(103)

(104)

sendo a matriz que reúne as componentes da normal exterior unitária e e os vectores

que definem as forças e os deslocamentos impostos, respectivamente. A condição de

Sommerfeld, tem a seguinte expressão,

(105)

sendo a matriz que reúne constantes do material, definidas de modo a caracterizar a fronteira

como um meio absorvente [11].

7.3 Aproximação no Tempo

É assumido que todas as variáveis presentes no modelo de comportamento

elastodinâmico são separadas no tempo e no espaço. Assim, para o deslocamento ,

velocidade e aceleração , tem-se,

∑

(106)

∑

(107)

∑

(108)

onde define um base de aproximação no tempo, a qual se admite ser completa no

intervalo . Como anteriormente se referiu, representa o período do movimento

em análises periódicas, sendo,

(109)

a base de Fourier, com frequências reais dadas por,

(110)

48

tomando as aproximações (106) a (108) as seguinte expressões, de acordo com as regras de

integração (19) e (20):

∑

(111)

∑

(112)

∑

(113)

Quando se realiza uma análise espectral não periódica, representa o intervalo da

análise, ou o incremento de tempo se essa análise for incremental.

Como anteriormente se referiu, representa agora o termo geral da base

aproximação, o qual é, em geral, complexa, e gera frequências numéricas, , também

complexas, tomando a frequência de Fourier equivalente a seguinte expressão:

(114)

Como também já se referiu, a opção seguida neste trabalho foi a de usar como base de

aproximação no tempo um sistema de wavelets, de modo a assegurar a necessária precisão

numa análise não periódica realizada num único incremento de tempo.

Como se admite que o meio está inicialmente em repouso, a expressão geral das regras

de integração, definidas pelas equações (21) e (22), é análoga à obtida para movimentos

periódicos, definidas pelas equações (19) e (20). As aproximações (106) a (108) são escritas

na forma,

∑

(115)

∑

(116)

∑

(117)

pois as funções (digitais) que definem a base de wavelets, , não têm expressão analítica.

49

7.4 Formulação Espectral

Aplicando a separação de variáveis no espaço e no tempo às restantes variáveis do

problema,

∑

(118)

∑

(119)

∑

(120)

∑

(121)

e igualando os termos da mesma ordem, obtém-se a seguinte descrição espectral paras as

condições de equilíbrio (100), compatibilidade (101) e elasticidade (102),

(122)

(123)

(124)

e para as condições de Neumann, Dirichlet e Sommerfeld, definidas pelas equações (103) a

(105):

(125)

(126)

(127)

Todas as matrizes presentes nas equações acima resumidas são apresentadas nos

capítulos posteriores sobre meios monofásicos (solos secos) e meios bifásicos (solos

saturados). Para simplificar a notação, deixa-se aí de identificar o modo de excitação, definido

pelo índice n.

50

7.5 Ondas de Rayleigh

Para caracterizar as ondas de Rayleigh, começa-se por escrever a condição de equilíbrio

no domínio (122) em função do campo de deslocamentos, recorrendo às condições de

compatibilidade (123) e de elasticidade (124):

(128)

Determinam-se primeiro as soluções gerais da equação homogénea,

(129)

as quais são utilizadas para definir a aproximação da componente espacial dos campos de

deslocamentos, deformação e tensão na forma,

(130)

(131)

(132)

impondo localmente as condições de compatibilidade (123) e de elasticidade (124),

respectivamente, representando um vector de amplitudes generalizadas.

Como adiante se mostra, para resolver a equação da onda (128), admite-se que o

campo de deslocamentos deriva de funções potenciais, sendo geradas ondas-P quando se

admite um potencial de gradiente,

(133)

e ondas-S usando um potencial de antigradiente:

(134)

Em consequência destas hipóteses, a equação da onda (128) é reduzida à equação de

Helmholtz,

(135)

cujas soluções estão bem estabelecidas, representando o número de onda.

A expressão da onda de Rayleigh é finalmente determinada combinando as ondas-P e

as ondas-S de modo a assegurar que são nulas as forças na superfície livre da fundação,

impondo a condição (31) com para a aproximação (132) do campo de tensões.

51

7.6 Acção Sísmica

A definição assim obtida para as ondas de Rayleigh fica determinada a menos das

amplitudes do movimento, . Estas amplitudes são calculadas impondo uma condição

equivalente à condição de Dirichlet (126), em que o termo imposto representa os

deslocamentos definidos a partir do acelerograma que caracteriza o sismo.

Finalmente, a decomposição (115) é imposta para reconstruir a evolução no tempo da

componente espacial (130) do campo de deslocamentos, processando-se de modo análogo as

restantes variáveis que caracterizam a resposta do solo à acção sísmica, designadamente os

campos de tensão (118) e de deformação (119), recorrendo às aproximações espaciais (131) e

(132), respectivamente.

Foi escolhido um acelerograma do sismo de “Loma Prieta”, que atingiu a baía de São

Francisco a 17 de Outubro de 1989, às 17:04 hora local. Foi provocado por um deslizamento

ao longo da falha de Santo André. Teve uma duração entre 10-15 segundos e uma intensidade

de 6.9 na escala aberta de Richter.

7.7 Conclusão

Este capítulo resume a formulação dos problemas elastodinâmicos lineares, tendo-se

usado uma notação geral que permite a sua utilização na representação do comportamento de

meios monofásicos ou multifásicos. As equações que caracterizam esse comportamento são

primeiro definidas no domínio do tempo e são depois aproximadas no tempo aplicando uma

decomposição espectral generalizada. Resume-se, também, o procedimento geral para a

caracterização de ondas de Rayleigh no domínio da frequência ou no domínio do tempo,

usando três frequências no primeiro caso e uma base de wavelets (não periódica) no segundo.

52

53

8 Solos Não Saturados

8.1 Introdução

A formulação apresentada no capítulo anterior é agora particularizada para se obter a

caracterização da propagação de ondas de Rayleigh em solos homogéneos monofásicos, isto

é, sem a presença de água (não saturado).

Começa-se por definir as variáveis necessárias para caracterizar um Estado Plano de

Deformação usando a formulação espectral anteriormente definida, pois é a usada para

resolver problemas tanto no domínio da frequência como do tempo. Como já se referiu, deixa-

se de indicar o índice que identifica a frequência de excitação para simplificar a notação.

Os resultados obtidos são depois utilizados para obter as definições das ondas-P e das

ondas-S, de cuja combinação resulta a definição das ondas de Rayleigh. Consideram-se duas

situações distintas, consoante se pretende analisar o comportamento de ondas planas ou de

ondas esféricas.

As ondas de Rayleigh são formuladas apenas para o caso plano, por ser aquele que se

adequa à aplicação estudada neste trabalho. Após definir o problema de valores e vectores

próprios que caracteriza a definição das ondas Rayleigh como uma combinação linear de

ondas-P e ondas-S, ilustra-se a sua implementação recorrendo aos métodos de solução de

equações não lineares apresentados no Capítulo 2.

A informação apresentada neste capítulo baseia-se nas referências [8,11,13],

resumindo-se nos Apêndices 2 e 3 a dedução dos resultados obtidos.

O solo em estudo, é um solo arenoso (Molsand), estando as suas características

identificadas no Apêndice 6. O estudo deste capítulo pressupõe o uso das propriedades sólidas

do solo.

8.2 Identificação das Variáveis

Como se admite um Estado Plano de Deformação, é a seguinte a definição dos vectores

que definem os estados de tensão e de deformação e o campo de deslocamentos no solo de

fundação:

(136)

(137)

(138)

54

As expressões que se encontram para o operador diferencial de equilíbrio, para as

matrizes de massa e de amortecimento e para o vector das forças de massa presentes na

equação de equilíbrio no domínio (122) são as seguintes,

0

1 (139)

[

] (140)

*

+ (141)

onde representa o massa volúmica e o coeficiente de amortecimento. Como o objectivo é

analisar o efeito de ondas de Rayleigh, despreza-se a contribuição das forças de massa:

(142)

Na equação (123), o operador diferencial de compatibilidade é o adjunto do de equilíbrio,

ficando para problemas de primeira ordem, e nas relações constitutivas (124) a

matriz de rigidez é definida para Estados Planos de Deformação:

[

] (143)

Relativamente às condições de fronteira, encontram-se as seguintes formas explícitas

para as condições de Neumann (125) e de Dirichlet (126),

[

] {

} {

} (144)

,

- {

} (145)

em que e definem as componentes da normal exterior unitária, . A matriz de absorção

presente na condição de Sommerfeld (127) tem seguinte definição,

[

] (146)

em que as constantes e dependem das propriedades mecânicas do meio [8,11]. Essas

constantes não são aqui definidas porque a expressão que se obtém para as ondas de

Rayleigh satisfazem implicitamente a condição de Sommerfeld.

55

8.3 Equação da Onda

Quando se substituem os resultados definidos na secção anterior na equação da onda

(129) e se admite que o campo de deslocamentos deriva do gradiente de um potencial, definido

pela equação (133) com:

{

} (147)

obtém-se a seguinte equação diferencial escalar (ver Apêndice 2), em que representa o

Laplaciano:

(148)

Como adiante se mostra, este resultado define uma onda-P com o seguinte número de

onda (ver Apêndice 2):

(149)

Se, pelo contrário, se admitir que o campo de deslocamentos deriva do anti-gradiente de

um potencial, definido pela equação (134) com,

{

} (150)

obtém-se a seguinte equação diferencial escalar (ver Apêndice 1),

(151)

que gera as ondas-S, sendo a seguinte a expressão do número de onda correspondente:

(152)

Os resultados (149) e (152) mostram que os números de onda dependem da frequência

, e das propriedades do solo, designadamente a massa volúmica, , o amortecimento, , e as

constantes de Lamé, e , constatando-se que são números reais apenas na ausência de

amortecimento.

Apresentam-se a seguir as expressões para as ondas-P e para as ondas-S, de cuja

combinação resultará a definição das ondas de Rayleigh. Consideram-se duas situações

distintas, consoante se pretende analisar o comportamento numa zona restrita da superfície

(ondas planas) ou se pretenda modela a curvatura da superfície (ondas esféricas).

56

8.4 Ondas Planas

A solução geral da equação de Helmholtz (135) escrita em coordenadas Cartesianas é

uma função exponencial,

(153)

sujeita à condição (ver Apêndice 3):

(154)

O campo de deslocamentos é definido impondo esta solução nas definições (133) e

(147) para as ondas-P,

,

- {

} (155)

e nas definições (134) e (150) para as ondas-S:

,

- {

} (156)

As tensões são definidas impondo as relações constitutivas (124) depois de determinar

as deformações compatíveis (123), no contexto dos Estados Planos de Deformação (ver

Apêndice 3)

{

} {

} (157)

{

} {

} (158)

8.5 Ondas Cilíndricas

A solução geral da equação de Helmholtz (135) escrita em coordenadas polares tem a

seguinte expressão,

( ) (159)

em que que é a função de Bessel de ordem , isto é, a solução geral da equação de

Bessel:

( )

*( )

+ (160)

57

Repetindo o processo anteriormente descrito, obtêm-se as seguintes definições para as

ondas-P,

,

- 2

3 (161)

{

} {

} (162)

e para as ondas-S:

,

- 2

3 (163)

{

} {

} (164)

A condição de Sommerfeld (127) e a expressão (146) para a matriz de absorção podem

ser recuperadas usando os resultados acima definidos [8,11].

8.6 Ondas de Rayleigh

Para aplicação tratada neste trabalho interessa formular as ondas de Rayleigh como

ondas planas. O procedimento aqui descrito pode ser adaptado à formulação de ondas de

Rayleigh cilíndricas. As ondas de Rayleigh planas são definidas como uma combinação linear

das soluções (155) a (158) obtidas para ondas-P e para as ondas-S:

,

- {

} {

} (165)

{

} {

} {

} (166)

Os pesos da combinação, e , representam as amplitudes (desconhecidas) e a

relação entre eles é determinada impondo a condição de superfície livre num meio semi-infinito

(ver Figura 32), podendo as ondas decair tanto em extensão (direcção ) como em

profundidade (direcção ). De acordo com a definição (153), o decaimento ou amplificação da

amplitude da onda são controlados pela parte imaginária dos números de onda, definindo a

parte real o modo de propagação.

58

Figura 32 - Ondas de Rayleigh – Solos Não Saturados

Utilizando a notação definida na Figura 32, a condição de superfície livre é imposta

recorrendo à definição (166) do campo de tensão para :

,

-

{

} {

} ,

- (167)

Para que este sistema seja válido para qualquer ponto da superfície, isto é, para

qualquer coordenada , é necessário impor a seguinte condição,

(168)

transformando o sistema (167) no seguinte problema valores e vectores próprios:

0

1 {

} ,

- (169)

Para obter as soluções deste sistema, para além da solução trivial , sem

interesse prático, impõe-se que o determinante da matriz seja nulo, obtendo-se a seguinte

equação quártica em ,

(170)

√ (171)

√ (172)

em que, de acordo com as definições (149) e (152),

(173)

59

podendo os vectores próprios ser determinados através de uma das duas soluções:

{

} {

} (174)

{

} {

} (175)

Os resultados (170), (174) e (175) podem ser reescritos numa forma mais simples e

adimensional:

( √ ) . √ / (176)

{

} 2 √

3 (177)

A equação (176) mostra que para solos com apenas uma fase (fase sólida), os valores

próprios ondas de Rayleigh não dependem da frequência de excitação, , mas apenas das

constantes elásticas do meio (constantes de Lamé), através do parâmetro definido pela

equação (173). Este parâmetro é real mas as raízes da equação (176) são, em geral,

complexas. Apesar das raízes que assim se obtêm serem independentes da frequência, o

mesmo não sucede para os números de onda, em consequência das definições (168) e (152).

8.7 Conclusão

Neste capítulo são identificadas as variáveis e os operadores que intervêm na

formulação espectral da propagação de ondas em solos não saturados. Definem-se as duas

famílias de ondas que se podem propagar em meios monofásicos, as ondas-P e as ondas-S, e

combinam-se essas famílias para caracterizar ondas de Rayleigh planas. Essas ondas são

equacionadas definindo um problema de valores e vectores próprios que deixa livre a definição

da amplitude da onda, a qual será posteriormente determinada para acções sísmicas

recorrendo à definição dos acelerogramas que os caracterizam.

60

61

9 Solos Saturados

9.1 Introdução

A formulação apresentada no Capítulo 7 é agora aplicada à caracterização da

propagação de ondas de Rayleigh em solos homogéneos saturados, isto é, em solos definidos

como uma mistura de uma fase sólida e de uma fase líquida.

A estrutura da apresentação é análoga à adoptada no capítulo anterior. Começa-se por

identificar as variáveis do problema (também como estado plano de deformação) e caracterizar

todos os termos presentes nas condições de domínio e de fronteira. Definem-se depois as

ondas-P e as ondas-S, verificando-se que, em consequência da existência de duas fases,

existem agora duas famílias de ondas-P, permanecendo apenas uma família de ondas-S por a

fase líquida não resistir a deformações de corte.

A caracterização das ondas de Rayleigh em meios bifásicos continua a ser formulada

definindo combinações lineares das ondas-P e das ondas-S, conduzindo a um problema de

valores e vectores próprios de ordem superior ao encontrado na caracterização de solos não

saturados. Tal como no capítulo anterior, a informação apresentada baseia-se nas referências

[8,11,13], resumindo-se nos Apêndices 4 e 5 a dedução dos resultados obtidos. O solo em

estudo é o mesmo, estando as propriedades definidas no Apêndice 6.

9.2 Identificação das Variáveis

Para além de caracterizar o estado de tensão na fase sólida do solo, é agora também

necessário definir o estado de tensão (isotrópico) na fase líquida, o qual é caracterizado pela

pressão, , tomando o vector das tensões a seguinte expressão:

(178)

Analogamente, a caracterização do estado de deformação é generalizada para incluir a

deformação volumétrica da fase líquida, :

(179)

Para caracterizar o campo de deslocamentos é agora necessário definir o movimento da

fase sólida e da fase líquida ou, o que é equivalente, o movimento da fase sólida, definido

pelas componentes e , e o movimento relativo das fases sólida e líquida, definido pelas

componentes e :

(180)

62

A condição de equilíbrio no domínio (122), em que se continua a admitir forças de massa

nulas,

(181)

é generalizada para incluir as condições de equilíbrio da fase líquida, encontrando-se as

seguintes expressões para o operador diferencial de equilíbrio e para as matrizes de massa e

de amortecimento:

[

]

(182)

[

]

(183)

[

] (184)

Nestas definições, representa a massa volúmica da fase líquida (água), é o factor

de correcção que tem em conta a tortuosidade da mistura, é fracção de líquido por unidade

de volume e é o factor de dissipação.

Na equação (123), o operador diferencial de compatibilidade continua a ser o adjunto do

de equilíbrio para problemas de primeira ordem, , e nas relações constitutivas (124) a

matriz de rigidez toma a seguinte expressão,

[

] (185)

em que,

(186)

sendo e as constantes de Lamé da fase sólida e e o primeiro e o segundo coeficientes

de Biot, respectivamente, por se admitir uma percolação regida pela lei de Darcy.

63

Relativamente às condições de fronteira, a condição de Neumann (125) toma agora a

seguinte expressão, para controlar a pressão que possa estar imposta sobre a fase líquida:

[

] {

} {

} (187)

Na forma explícita da condição de Dirichlet (126),

2

3 {

} (188)

define a componente normal à fronteira do deslocamento relativo das fases sólida e líquida:

(189)

A matriz de absorção presente na condição de Sommerfeld (127) tem seguinte

expressão geral,

[

] (190)

podendo também ser determinada usando os resultados que adiante se apresentam para a

definição da propagação de ondas-P e ondas-S em meios bifásico [8,11,13].

9.3 Equação da Onda

As ondas-P e as ondas-S são ainda determinadas a partir das definições (133) e (134),

admitindo-se agora que o movimento relativo das fases sólida e líquida, , é proporcional ao

movimento da fase sólida, . Como adiante se mostra, esse coeficiente de proporcionalidade,

, toma valores para ondas-P1,

, ondas-P2, , e ondas-S,

.

Nestas condições, as definições (133) e (134) tomam as seguintes expressões,

,

- {

} (191)

,

- 2

3 (192)

mantendo-se válidas as definições (147) e (150) para os vectores gradiente e o antigradiente.

Substituindo a definição (191) na equação da onda (129), tendo em consideração as

identificações feitas na secção anterior, chega-se ao seguinte sistema de equações diferenciais

(ver Apêndice 4),

64

2( ) ( )

( ) ( ) (193)

onde:

(194)

Para recuperar a equação de Helmholtz (135), resolve-se o sistema (193), encontrando-

se duas soluções para os valores próprios,

(195)

e, portanto, dois números de onda, associados aos vectores próprios do mesmo sistema:

(196)

Estes resultados caracterizam duas famílias de ondas-P, as ondas-P1 e as ondas-P2,

adiante definidas.

Quando se substitui a definição (192) na equação da onda (129), chega-se a um sistema

de equações diferenciais (ver Apêndice 4),

{

(197)

cuja redução à equação de Helmholtz produz apenas um valor próprio,

(198)

e um vector próprio, caracterizado pelo número de onda:

(199)

Esta solução define a família de ondas-S adiante definida.

9.4 Ondas Planas

As definições (153) e (154) mantêm-se válidas para a solução geral da equação de

Helmholtz (135) escrita em coordenadas Cartesianas. O campo de deslocamentos é obtido

aplicando a definição (191) para ondas-Pj ,

{

}

{

}

(200)

e a definição (192) para as ondas-S:

65

{

}

{

}

(201)

Os campos de tensão e pressão são definidos usando as relações constitutivas (124),

para a identificação (185), depois de determinar as deformações compatíveis com os campos

de deslocamentos (123), encontrando-se as seguintes expressões para as ondas-Pj

e para as ondas-S, respectivamente (ver Apêndice 4):

{

}

{

[ ( ) ]

[ ( ) ]

( )

}

(202)

{

}

{

} (203)

9.5 Ondas Cilíndricas

As definições (159) e (160) mantêm-se válidas para a solução geral da equação de

Helmholtz (135) escrita em coordenadas polares, encontrando-se as seguintes expressões

para os campos de deslocamentos e tensões de ondas-Pj ,

{

}

{

}

(204)

{

}

{

( )

( )

}

(205)

e para as ondas-S:

{

}

{

}

(206)

66

{

}

{

} (207)

A condição de Sommerfeld (127) e a expressão (190) para a matriz de absorção podem

ser recuperadas usando os resultados acima definidos [9].

9.6 Ondas de Rayleigh

Tal como para o caso dos solos não saturados, as ondas de Rayleigh planas são obtidas

combinando linearmente as ondas-P e as ondas-S, as quais são agora definidas pelas

equações (200) a (203), obtendo-se as seguintes expressões para os campos de

deslocamento,

,

- ∑{

} {

}

(208)

,

- ∑{

} {

}

(209)

e para o campo de tensões:

{

} ∑

{

[ ( ) ]

[ ( ) ]

( )

}

{

} (210)

onde a combinação dos pesos e , representam as amplitudes generalizadas,

desconhecidas, dos termos das Ondas-P e das Onda-S.

A particularidade destas ondas reside no facto de à superfície as tensões e a pressão

serem nulas, podendo decair tanto em extensão como em profundidade, analogamente ao que

foi dito para os solos não saturados (ver Figura 33).

Figura 33 - Ondas de Rayleigh em Solos Saturados

67

Utilizando a notação definida na Figura 33, a condição de superfície livre é imposta

recorrendo à definições (210) do campo de tensão para :

∑{

[ ( ) ]

( )

}

{

} { } (211)

Tal como para os solos não saturados, o decaimento ou a amplificação da amplitude de

onda é controlado pela parte imaginária dos números de onda, definindo a parte real o modo

de propagação.

9.7 Solução das Ondas de Rayleigh

A condição de superfície livre (211) torna-se independente da posição dos pontos de

superfície fazendo,

(212)

sendo as equações (171) e (172) substituídas pelas seguintes,

√

(213)

com e , de acordo com as definições (196) e (199),

(214)

onde:

(215)

Usando as definições das (212) a (215), e após algumas simplificações, o sistema (211)

pode ser reduzido à forma seguinte:

[

] {

} { } (216)

onde,

(217)

( √ ) (218)

68

(219)

para , e:

( √ ) (220)

(221)

As amplitudes , e representam o peso das contribuições das diferentes famílias

de ondas, de ondas-P1, ondas-P2 e ondas-S, para a caracterização de uma determinada onda

de Rayleigh.

É conveniente recorrer à terceira equação do sistema (216) para extrair a contribuição de

uma das ondas-P, fazendo:

{

} {

} (222)

Substituindo este resultado nas equações restantes do sistema (216), recupera-se um

problema de valores e vectores próprios semelhante ao definido na análise de solos não

saturados,

[

] {

} ,

- (223)

onde se tem, de acordo com as definições (217) e (218):

(224)

0(

). √

/ (

) . √

/1 (225)

É fácil concluir que os vectores próprios do sistema (216) são definidos por uma das

duas expressões alternativas:

{

}

{

(

) ( √ )

(

) ( √ )

(

)

}

(226)

69

{

}

{

(

)

(

)

}

(227)

Os valores próprios do sistema (216) são definidos impondo que seja nulo o

determinante do sistema (223) , encontrando-se a seguinte equação resolvente:

( √ ) 0

. √

/

. √

/1 (228)

Resolvendo esta equação em ordem à variável obtém-se a solução para a propagação

de ondas de Rayleigh em solos saturados. A grande diferença desta equação para a equação

dos solos não saturados, a equação (176), reside no facto de para além de depender das

propriedades do material (sólido e fluído), também depende explicitamente da frequência de

excitação, .

9.8 Conclusão

A existência de duas famílias de ondas em meios monofásicos, as ondas-P e as ondas-

S, e o desdobramento da primeira família em meios poroelásticos saturados são resultados

bem estabelecidos, assim como o é a definição da propagação de ondas de Rayleigh em

meios monofásicos. No entanto, o mesmo não sucede em relação à generalização desse

resultado para meios bifásicos. Esse é o tema central deste capítulo, o qual está estruturado de

modo a manter o procedimento geralmente adoptado na formulação da propagação de ondas

de Rayleigh.

70

71

10 Aplicações Numéricas

10.1 Introdução

Na primeira parte deste capítulo apresentam-se os resultados obtidos no domínio da

frequência para ilustrar os modos de propagação de ondas de Rayleigh em solos não

saturados e saturados, para diferentes valores da frequência de excitação. Na segunda parte

do capítulo, esses modos são combinados no domínio do tempo para simular a propagação de

ondas de Rayleigh associadas ao sismo de Loma Prieta.

Cada tipo de análise dinâmica é precedido por uma descrição sumária do procedimento

adoptado para obter os resultados que se apresentam. As características do solo utilizado

nestes testes de ensaio e validação estão definidas no Apêndice 6. Todos os resultados estão

apresentados para um domínio rectangular com 100 m de extensão e 30 m de profundidade.

10.2 Análise no Domínio da Frequência

É o seguinte o procedimento seguido para caracterizar as ondas de Rayleigh no domínio

da frequência:

Definem-se as propriedades do solo e o valor da frequência de excitação;

Determinam-se as raízes do descriminante do problema de valores próprios,

definidas pelas equações (176) e (228) para solos não saturados e para solos

saturados, respectivamente;

Determinam-se os vectores próprios usando as equações (177) e (227),

respectivamente para cada um desses casos;

Calculam-se os números de onda através das equações (171) e (172) para solos

saturados e da equação (213) para solos saturados;

Definem-se os campos de deslocamento e de tensão da onda de Rayleigh usando

as definições (165) e (166) para solos não saturados e as definições (208) a (210)

para solos saturados.

Apresentam-se a seguir os resultados obtidos para três valores característicos da

frequência de excitação: baixa (10 rads-1

), média (100 rads-1

) e alta (250 rads-1

). Estes

resultados foram obtidos para uma amplitude, definida nos capítulos 8 e 9, unitária .

10.2.1 Frequência de 10 rads-1

A frequência escolhida, rads-1

, corresponde a uma frequência induzida pelo

tráfego rodoviário. Os valores próprios adimensionalizados correspondentes às raízes da

equação (176) para solos não saturados definem pares conjugados e simétricos, estando

apresentados na Tabela 1.

72

ki Parte Real (Re) Parte Imaginária (Im)

1 -0.51367 -0.0734362

2 -0.51367 0.0734362

3 0.51367 0.0734362

4 0.51367 -0.0734362

5 -1.07241 0

6 1.07241 0

Tabela 1: Soluções de k para rads-1

(solo não saturado)

Esses seis valores, obtidos pelo método de Newton, não dependem da frequência de

excitação, a qual intervém apenas na definição dos números de onda correspondentes. Pode-

se verificar que quatro raízes são complexas e duas são reais, representando ondas sem

decaimento no espaço, mesmo quando se considera o efeito do amortecimento, ver equações

(168), (173) e (176). Não se representam os campos de tensão e de deslocamento associados

às raízes reais da equação (176), uma vez que produziriam ondas de Rayleigh sem

decaimento com o afastar da origem da excitação sísmica.

Os valores próprios adimensionalizados obtidos para a mesma frequência no solo

saturado estão resumidos na Tabela 2. As ordens dos valores obtidos são bastante diferentes

dos relativos ao mesmo solo não saturado. Não estão incluídas na Tabela 2 duas raízes com

significado físico muito dúbio (da ordem de ), não tendo sido possível assegurar que a sua

identificação pelo algoritmo de solução de equações não lineares complexas resultava de

insuficiente precisão numérica.

ki Parte Real (Re) Parte Imaginária (Im)

1 -0.486437 0.135749

2 0.486437 -0.135749

3 -0.467805 -0.148975

4 0.467805 0.148975

5 -0.47681 -0.120302

6 0.47681 0.120302

7 -0.458479 0.126295

8 0.458479 -0.126295

9 -2.66009 2.60588

10 2.66009 -2.60588

11 -1.05578 0.00600318

12 1.05578 -0.00600318

13 -1.04014 -0.00893715

14 1.04014 0.00893715

Tabela 2: Soluções de k para rads-1

(solo saturado)

A parte real dos resultados obtidos para os campos de deslocamento e de tensão no

solo não saturado para a raiz estão representadas nas Figuras 34 e 35, respectivamente.

Esses resultados identificam claramente a frente da onda e mostram que a superfície da

fundação está livre de tensões, havendo, no entanto uma forte variação dos componentes de

tensão em extensão e em profundidade.

73

a) Parte real da componente

b) Parte real da componente

c) Parte real do campo de deslocamentos

Figura 34 - Campo de deslocamentos (solo não saturado, raiz , rads-1

)

a) Parte real da componente

b) Parte real da componente

c) Parte real da componente

Figura 35 - Campo de tensões (solo não saturado, raiz , rads-1

)

74

Os resultados obtidos para o solo saturado com uma da mesma ordem de grandeza da

usada para ilustrar o comportamento do solo não saturado estão apresentados nas Figuras 36

e 37. Em termos relativos, verifica-se agora que o movimento é mais amortecido, devido à

presença da fase líquida, obtendo-se no entanto modos de tensão globalmente semelhantes.

a) Parte real da componente na fase sólida

b) Parte real da componente na fase sólida

c) Parte real do campo de deslocamentos na fase sólida

d) Parte real da componente do movimento relativo

e) Parte real da componente do movimento relativo

f) Parte real do campo de movimento relativo

Figura 36 - Campo de deslocamentos (solo saturado, raiz , rads-1

)

75

a) Parte real da componente

b) Parte real da componente

c) Parte real da componente

d) Parte real da pressão

Figura 37 - Campo de tensões (solo saturado, raiz , rads-1

)

Faz-se notar que todos os resultados apresentados no domínio da frequência são

obtidos para uma amplitude unitária nas definições dadas nos Capítulos 8 e 9 para o peso do

vector próprio que define as ondas de Rayleigh .

10.2.2 Frequência de 100 rads-1

Os valores resumidos na Tabela 1 mantêm-se válidos para a excitação de solo não

saturado com uma frequência rads-1

. Todavia, o efeito dessa frequência nos números

de onda e, consequentemente, nos campos de deslocamento e de tensão das ondas de

Rayleigh é muito forte, para a mesma raiz, , como se mostra nas Figuras 38 a 41.

O movimento da onda está bem evidenciado, com um maior amortecimento em extensão

e em profundidade. A condição de superfície livre continua a ser verificada, mostrando a

solução uma concentração de tensões mais acentuada.

76

a) Parte real da componente

b) Parte real da componente

c) Parte real do campo de deslocamentos

Figura 38 - Campo de deslocamentos (solo não saturado, raiz , rads-1

)

a) Parte real da componente

b) Parte real da componente

c) Parte real da componente

Figura 39 - Campo de tensões (solo não saturado, raiz , rads-1

)

77

a) Parte real da componente na fase sólida

b) Parte real da componente na fase sólida

c) Parte real do campo de deslocamentos na fase sólida

d) Parte real da componente do movimento relativo

e) Parte real da componente do movimento relativo

f) Parte real do campo de deslocamentos relativo

Figura 40 - Campo de deslocamentos (solo saturado, raiz , rads-1

)

78

a) Parte real da componente

b) Parte real da componente

c) Parte real da componente

d) Parte real da pressão

Figura 41 - Campo de tensões (solo saturado, raiz , rads-1

)

Os valores próprios adimensionalizados obtidos para a mesma frequência no solo

saturado estão resumidos na Tabela 3, podendo verificar-se que não são substancialmente

diferentes dos obtidos para a frequência de 10 rads-1

, resumidas na Tabela 2.

ki Parte Real (Re) Parte Imaginária (Im)

1 -0.514434 0.133057

2 0.514434 -0.133057

3 -0.464396 -0.201298

4 0.464396 0.201298

5 -0.484433 -0.101479

6 0.484433 0.101479

7 -0.43647 0.0988796

8 0.43647 -0.0988796

9 -1.06914 0.00686039

10 1.06914 -0.00686039

11 -1.01351 -0.0289133

12 1.01351 0.0289133

13 -0.945622 0.762574

14 0.945622 -0.762574

Tabela 3: Soluções de k para rads-1

(solo saturado)

79

Mantêm-se os padrões gerais obtidos para a onda de Rayleigh no solo saturado, sendo

no entanto agora muito mais expressivo o movimento relativo entre as fases sólida e líquida do

solo, com um forte amortecimento em extensão. Relativamente ao campo de tensões, a maior

diferença que se verifica é a concentração da variação da pressão na fase líquida na

vizinhança da superfície livre.

10.2.3 Frequência de 250 rads-1

Como se mostra nas Figuras 42 a 45, o aumento da frequência de 100 rads-1

para 250

rads-1

traduz-se numa forte amplificação dos efeitos anteriormente ilustrados, mantendo-se, no

entanto, uma fraca variação dos valores próprios adimensionalizados da onda de Rayleigh,

resumidos na Tabela 4.

ki Parte Real (Re) Parte Imaginária (Im)

1 -0.534889 0.12459

2 0.534889 -0.12459

3 -0.487406 -0.26227

4 0.487406 0.26227

5 -0.488558 -0.0908571

6 0.488558 0.0908571

7 -0.436623 0.0695122

8 0.436623 -0.0695122

9 -1.07241 0.00365288

10 1.07241 -0.00365288

11 -0.982135 -0.0281761

12 0.982135 0.0281761

13 -0.74198 0.428054

14 0.74198 -0.428054

Tabela 4: Soluções de k para rads-1

(solo saturado)

Para o modelo de fase única (solo não saturado), os resultados apresentados na Figura

42 mostram que o movimento no solo de fundação é fortemente localizado, apresentando o

campo de tensões um andamento semelhante, como se mostra na Figura 43. Os resultados

ilustrados nas Figuras 44 e 45 mostram que a presença da fase líquida no modelo de solo

saturado reforça o decaimento dos deslocamentos e das tensões.

A relevância destes resultados, que continuam a verificar exactamente a condição de

superfície livre e todas as condições de domínio em regime elastodinâmico linear, é

principalmente de ordem numérica. A estabilidade das soluções obtidas, tanto para baixas

como altas frequências, é uma condição central para garantir a robustez do programa de

elementos finitos para a análise tanto no domínio da frequência, em que geralmente se varre

um espectro bastante amplo, como nas análises no domínio do tempo usando uma base de

wavelets.

80

a) Parte real da componente

b) Parte real da componente

c) Parte real do campo de deslocamentos

Figura 42 - Campo de deslocamentos (solo não saturado, raiz , rads-1

)

a) Parte real da componente

b) Parte real da componente

c) Parte real da componente

Figura 43 - Campo de tensões (solo não saturado, raiz , rads-1

)

81

a) Parte real da componente na fase sólida

b) Parte real da componente na fase sólida

c) Parte real do campo de deslocamentos na fase sólida

d) Parte real da componente do movimento relativo

e) Parte real da componente do movimento relativo

f) Parte real do campo de deslocamentos relativo

Figura 44 - Campo de deslocamentos (solo saturado, raiz , rads-1

)

82

a) Parte real da componente

b) Parte real da componente

c) Parte real da componente

d) Parte real da pressão

Figura 45 - Campo de tensões (solo saturado, raiz , rads-1

)

10.3 Análise no Domínio do Tempo

Para simular a propagação de ondas de Rayleigh em solos saturados e não saturados

actuados por um sismo, começa-se por executar o programa de integração no tempo,

determinando-se as funções de aproximação, nas equações (15) a (17), e as frequências

algorítmicas, , a partir dos quais se determinam as frequências de excitação equivalentes

através da equação (114).

Com base nessa informação, e nas propriedades do solo, implementa-se o procedimento

descrito na secção anterior para calcular os valores e vectores próprios das diferentes famílias

de ondas de Rayleigh. Inicia-se depois o processo de determinação das amplitudes dessas

ondas recorrendo ao acelerograma que carecteriza o sismo, sendo depois as ondas de

Rayleigh combinadas para definir os campos de tensão e de deslocamento em cada instante

do período em análise.

83

Interessa sublinhar que a determinação dessas amplitudes é feita de maneira distinta

nos ensaios que a seguir se apresentam e no programa de elementos finitos que este estudo

apoia.

No programa de elementos finitos as amplitudes são determinadas incluindo as soluções

obtidas para as ondas de Rayleigh na definição do campo de aproximação dos elementos, o

qual inclui, ainda, todas as soluções da forma homogénea da equação da onda,

designadamente, as famílias de ondas-P e de ondas-S anteriormente definidas. O sinal sísmico

é introduzido impondo os deslocamentos ou as acelerações registadas num ou mais pontos da

superfície, consoante a extensão do meio de fundação a analisar. A discretização em

elementos finitos permite modelar meios estratificados e a representação do sinal pode ser

imposta localmente (método da colocação) ou em média (método de Galerkin).

A simulação que aqui se faz corresponde a admitir que existe um único elemento e que o

meio é homogéneo, não permitindo, portanto, analisar meios estratificados. Para além disso,

admite-se que o sinal sísmico é medido num único ponto da superfície. Assim, o problema

consiste, essencialmente, em determinar quais são as amplitudes de uma combinação de

ondas de Rayleigh que, em cada instante, recuperam os deslocamentos medidos nesse ponto.

Portanto, a base de aproximação no espaço não contém as famílias de ondas-P e de ondas-S

que definem as soluções da forma homogénea da equação da onda.

Da aplicação deste método (de colocação) para a determinação das amplitudes pode

resultar um sistema resolvente com dependências (subdeterminado mas possível), sendo a

indeterminação aqui resolvida aplicando o método dos mínimos quadráticos. A depedência

decorre do número de soluções de Rayleigh para cada uma das frequências de excitação, cujo

número depende da dimensão da base de aproximação no tempo, a qual só pode ser definida

para um número discreto de instantes durante o período da análise, em consequência da

natureza binária das funções de aproximação (wavelets).

10.3.1 Definição das Bases de Aproximação

Como anteriormente se referiu, as variáveis são separadas no tempo e no espaço,

usando-se para a aproximação no tempo uma base não periódica definida sobre um sistema

de wavelets. Por exemplo, para o campo de deslocamentos tem-se:

∑

(229)

Ensaiaram-se duas bases, uma com N=16 termos e outra com 32. O método de

integração no tempo gera, para cada base, N funções de aproximação, , e as

correspondentes frequências adimensionais, , a partir das quais se determinam as

frequências de excitação, , a partir da equação (114), ficando assim definida a informação

necessária para aplicar as regras de integração dos campos de velocidade e aceleração,

84

definidas pelas equações (21) e (22), admitindo um estado inicial de repouso, e

As bases usadas são relativamente fracas, pois a análise no domínio do tempo é

executada num único passo, isto é, o método de integração é aplicado num único incremento,

cuja dimensão corresponde ao período da análise sísmica. A qualidade da solução pode ser

melhorada aumentando substancialmente a dimensão da base, com N=2p, pois o sistema de

wavelets é muito estável. Tal não foi feito por economia de tempos de execução e,

principalmente, porque a aplicação da segunda base (N=32) se revelou suficiente para validar

o estudo.

Conhecendo as frequências de excitação e as características do meio, define-se a

dimensão espacial da aproximação,

(230)

em que, tal como para a análise espectral, a matriz reúne as soluções das ondas de

Rayleigh anteriormente definidas e o vector define as correspondentes amplitudes.

10.3.2 Determinação das Amplitudes

O método de colocação é aplicado admitindo que o sinal do sismo, , é conhecido

na origem do sistema de coordendas, , recorrendo-se ao método de integração no tempo

para obter os termos da sua decomposição espectral:

∑

(231)

Os termos dessa decomposição, , podem ser determinados para as bases de

wavelets utilizadas, recorrendo a expressões que generalizam a decomposição de Fourier,

definida pela equação (12). No entanto, optou-se por resolver o sistema (231) também por

colocação, nos pontos diádicos das bases de wavelets.

Esses valores são usados para impor o sistema (232) para cada onda,

(232)

e para as duas componentes do deslocamento da fase sólida, obtendo-se a seguinte

expressão geral para o sistema resolvente:

(233)

As dependências do sistema são resolvidas aplicando o método dos mínimos

quadráticos na forma,

85

(234)

encontrando-se a seguinte solução:

(235)

10.3.3 Resultados

Conhecidas as amplitudes, , decompõe-se a solução para cada ondas de Rayleigh, ,

e determina-se o campo de deslocamentos em cada ponto e em cada instante usando as

aproximações (231) e (232). Aplica-se um procedimento análogo para definir o estado de

tensão usando agora a aproximação,

∑

(236)

em que a matriz reúne os campos de tensão anteriormente definidos para solos

homogéneos e saturados. Em qualquer dos casos, os instantes em que se representam as

soluções, t, correspondem aos pontos diádicos da base de aproximação.

As soluções obtidas para o campo de tensão para o modelo monofásico estão

representadas nas Figuras 46 e 47 para as bases N=16 e N=32, respectivamente. As soluções

correspondentes obtidas com o modelo de solo saturado, Molsand, estão apresentadas nas

Figuras 48 e 49. Esses resultados mostram que, para os mesmos instantes de tempo, a

solução melhora significativamente quando se usa a segunda base de aproximação no tempo,

pois nota-se uma transição mais suave na modelação da propagação das ondas. Por definição,

os campos satisfazem exactamente as condições de equilíbrio no domínio e na fronteira da

fundação.

Nas Figuras 50 e 51 mostram-se os campos de deslocamente calculados com o modelo

de solo homogéneo. Também aqui se verifica ser insuficiente a qualidade da solução obtida

com a série de wavelets com apenas 16 termos. No entanto, deve-se lembrar que a solução é

obtida usando apenas um passo de integração no tempo, tal como para todos os outros testes.

Os campos determinados com o modelo de solo saturado estão representados nas

Figuras 52 a 55. Nas Figuras 52 e 53 se mostram as respostas das fases sólida e líquida para

a base N=16 e nas Figuras 54 e 55 as respostas obtidas com a base mais enriquecida, N=32.

Na leitura qualitativa desses resultados deve-se ter em conta que os valores máximos

encontrados são da ordem de 4 MPa para as tensões e de cerca de 25 cm para os

deslocamentos, sendo que os deslocamentos retirados do acelerograma chegavam a um

máximo de 15 cm. É de notar que os resultados obtidos podem ser mais elevados pois são

baseados numa formulação elástica, não se considerando a plasticidade do solo.

A animação da evolução dos campos de deslocamento e de tensão é apresentada na

versão electrónica deste trabalho.

86

0.02

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

0.32

0.36

0.40

0.44

0.48

0.52

0.56

0.60

0.64

Figura 46 – Campos de tensões para solos homogéneos com base N=16

87

0.02

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

0.32

0.36

0.40

0.44

0.48

0.52

0.56

0.60

0.64

Figura 47 – Campos de tensões para solos homogéneos com base N=32

88

0.02

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

0.32

0.36

0.40

0.44

0.48

0.52

0.56

0.60

0.64

Figura 48 – Campos de tensões e pressão para solos saturados com base N=16

89

0.02

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

0.32

0.36

0.40

0.44

0.48

0.52

0.56

0.60

0.64

Figura 49 – Campos de tensões e pressão para solos saturados com base N=32

90

Figura 50 – Campo de deslocamentos, solos

homogéneos com base N=16

Figura 51 – Campo de deslocamentos para solos

homogéneos com base N=32

91

Figura 52 – Campo de deslocamentos no sólido para

solos saturados com base N=16

Figura 53 – Campo de deslocamentos no líquido para solos saturados com

base N=16

92

Figura 54 – Campo de deslocamentos no sólido para

solos saturados com base N=32

Figura 55 – Campo de deslocamentos no líquido para solos saturados com

base N=32

93

11 Conclusão

Apesar deste relatório não o reflectir explicitamente, o trabalho aqui apresentado exigiu,

para além da formação já referida, a familiarização com programas de cálculo simbólico e de

representação gráfica, designadamente os programas “Wolfram Mathematica” e “TecPlot 9.0”,

[13], assim como a concepção e o desenvolvimento de programas em linguagem C.

O Capítulo 2 traduz uma aplicação prática de matérias de Análise Numérica. Foi

necessário testar as diferentes opções aí resumidas, e realizar diversos e exaustivos ensaios

para escolher a que melhor se adequava ao problema de aplicação, tendo-se implementando

alterações específicas à estrutura das raízes das equações que definem os valores próprios

das ondas de Rayleigh.

Relativamente ao tema do Capítulo 3, só uma pequena parte traduz matérias

curriculares (séries de Fourier). Para além da sua aplicação, serviu essa matéria para apoiar

um método de integração no tempo mais geral (a decomposição espectral não periódica) e,

ainda, experimentar a sua implementação usando uma nova base de aproximação (o sistema

de wavelets).

Os três capítulos seguintes resumem matérias curriculares utilizadas em diferentes

disciplinas do curso. São essenciais para fundamentar o estudo do tema que exigiu uma

formação adicional mais profunda, a modelação do comportamento dinâmico de solos,

resumida no Capítulo 7. Sendo uma matéria nova, optou-se por analisar primeiro (Capítulo 8) o

comportamento de sólidos homogéneos, os solos não saturados, para facilitar o estudo da

definição e do comportamento das duas principais famílias de ondas, as ondas-P e S, e a sua

combinação em ondas de Rayleigh. Esse estudo foi depois desenvolvido para analisar o

comportamento de solos saturados (Capítulo 9).

Os resultados apresentados no Capítulo 10 exigiram um grande esforço de

desenvolvimento e validação de novas rotinas e, também, da sua articulação com o programa

de elementos finitos [8] que este trabalho visa complementar. Os resultados apresentados

mostram que foram atingidos os objectivos inicialmente estabelecidos, designadamente a

generalização, ensaio e validação da base de aproximação usada nesse programa de modo a

incluir as soluções de ondas de Rayleigh e utilizá-las para simular a propagação de ondas

sísmicas em meios de fundação.

94

95

Apêndice 1: Raízes de Funções Não Lineares

São os seguintes os procedimentos adoptados na implementação dos diferentes

métodos de solução de funções não lineares:

Quadro 1 Implementação do Método da Bissecção

𝒙𝒎 𝟏 𝒂𝒎 𝒃𝒎

𝟐

Método da Bisecção

- Condição suficiente de convergência métodos:

f contínua em [a,b]

f(a)f(b)<0

- Inicialização:

a0=a, b0=b, x0=a ou x0=b

- Ciclo:

Para m≥0

Se 𝒙𝒎 𝟏 𝒙𝒎 𝜺 ou 𝒇 𝒙𝒎 𝟏 𝜺

Então fazer 𝒛 𝒙𝒎 𝟏 e terminar

Caso contrário,

Se 𝒇 𝒙𝒎 𝟏 𝒇 𝒂𝒎 , então fazer

am+1=am e bm+1=xm+1

Se não, fazer,

am+1= xm+1 e bm+1= bm

𝒙𝒎 𝟏 𝒃𝒎 𝒇 𝒃𝒎 𝒃𝒎 𝒂𝒎

𝒇 𝒃𝒎 𝒇 𝒂𝒎

Método da Falsa Posição

- Condição suficiente de convergência métodos:

f contínua em [a,b]

f(a)f(b)<0

- Inicialização:

a0=a, b0=b, x0=a ou x0=b

- Ciclo:

Para m≥0

Se 𝒙𝒎 𝟏 𝒙𝒎 𝜺 ou 𝒇 𝒙𝒎 𝟏 𝜺

Então fazer 𝒛 𝒙𝒎 𝟏 e terminar

Caso contrário,

Se 𝒇 𝒙𝒎 𝟏 𝒇 𝒂𝒎 então fazer,

am+1=am e bm+1=xm+1

Se não, fazer,

am+1= xm+1 e bm+1= bm

96

Quadro 2 Implementação do Método da Falsa Posição

Quadro 3 Implementação do Método do Ponto Fixo

Quadro 4 Implementação do Método de Newton

𝒙𝒎 𝟏 𝒈 𝒙𝒎

Método da Ponto Fixo

- Condição suficiente de convergência métodos:

f contínua em [a,b]

f(a)f(b)<0

Escolher uma função g tal que f(x)=0 ↔ g(x)=x com:

g ∈ (]a,b[) g([a,b])C [a,b]

max |g´(x)|<1

- Inicialização:

Dado x0∈ [a,b]

- Ciclo:

Para m≥0

até 𝒙𝒎 𝟏 𝒙𝒎 𝜺 ou 𝒇 𝒙𝒎 𝟏 𝜺

𝒙𝒎 𝟏 𝒙𝒎 𝒇 𝒙𝒎

𝒇 𝒙𝒎

Método de Newton

- Condição suficiente de convergência métodos:

f contínua em [a,b]

f(a)f(b)<0

f´(x)≠0 x ∈ [a,b]

f´´(x)≠0 x ∈ ]a,b[

𝒇 𝒂

𝒇 𝒂 <|b-a|,

𝒇 𝒃

𝒇 𝒃 <|b-a| ou f´´(x)f(x0)>0, x ∈ ]a,b[

- Inicialização:

Para todo x0∈ [a,b] ou para x0 escolhido.

- Ciclo:

Para m≥0

até 𝒙𝒎 𝟏 𝒙𝒎 𝜺 ou 𝒇 𝒙𝒎 𝟏 𝜺

97

Quadro 5 Implementação do Método da Secante

𝒙𝒎 𝟏 𝒙𝒎 𝒇 𝒙𝒎 𝒙𝒎 𝒙𝒎 𝟏

𝒇 𝒙𝒎 𝒇 𝒙𝒎 𝟏

Método da Secante

- Condição suficiente de convergência métodos:

f contínua em [a,b]

f(a)f(b)<0

f´(x)≠0 x ∈ [a,b]

f´´(x)≠0 x ∈ ]a,b[

𝒇 𝒂

𝒇 𝒂 <|b-a|,

𝒇 𝒃

𝒇 𝒃 <|b-a| ou f´´(x)f(x0)>0, x ∈ ]a,b[

- Inicialização:

Para todo x-1, x0∈ [a,b] ou para x-1, x0 escolhido.

- Ciclo:

Para m≥0

até 𝒙𝒎 𝟏 𝒙𝒎 𝜺 ou 𝒇 𝒙𝒎 𝟏 𝜺

98

99

Apêndice 2: Equação da Onda em Solos Não Saturados

A equação de equilíbrio (espectral) toma a forma da (237):

(237)

O campo de tensão, , da equação tem a seguinte forma:

[

] [

] ,

- {

( )

} (238)

Substituindo-se em (237) ter-se-á:

0

1 {

( )

} [

] ,

- ,

- (239)

O campo de deslocamentos, , pode ser tomado como a derivada dos termos gradiente

e rotacional, de potenciais de funções escalares, , da seguinte forma:

(240)

O gradiente tomado, será a origem do aparecimento das Onda-P e Onda-S, podendo ser

da forma:

{

} (241)

{

} (242)

O último é também conhecido como anti-gradiente por ser perpendicular ao primeiro.

Onda-P

Utilizando (241) em (240) e substituindo-se em (239) resultará no seguinte sistema de

equações:

2 ( )

( ) (243)

Se se integrar a primeira equação em ordem a , a segunda equação em ordem a ,

e somando todos os termos com o mesmo índice obtém-se:

100

2

(244)

Ao observar-se atentamente, pode-se concluir que as duas equações são iguais e

portanto (244) resume-se a apenas uma equação:

(245)

A equação (245) pode então dividida pela constante , obtendo-se a equação

de Helmholtz:

(246)

(247)

Onda-S

Utilizando agora o anti-gradiente, utilizando (242) em (240) e substituindo em (239),

obtém-se:

2 ( )

( ) (248)

Da mesma forma que para a Onda-P, integram-se as equações desta feita em ordem a

a primeira e em ordem a segunda. Somando, resulta em:

2 ( )

( ) (249)

Obtém-se então o sistema da (249), em que, as equações são iguais resumindo-se a:

(250)

Dividindo por , obtém-se a equação de Helmholtz:

(251)

(252)

Tanto para a Onda-P como para a Onda-S pode-se definir a equação de Helmholtz com

um índice , respectivamente Onda-P e Onda-S:

(253)

101

Apêndice 3: Campos de Deslocamento, Deformação e

Tensão em Solos Não Saturados

Considerando-se um potencial escalar, , ,

(254)

as suas derivadas parciais serão:

(255)

(256)

(257)

(258)

(259)

Substituindo (256) e (258) na equação de Helmholtz:

(260)

Pondo-se em evidência a função escalar:

(

) (261)

Visto uma função exponencial nunca ser nula, para que a (261) tenha solução, é

necessário que se verifique a seguinte condição:

(262)

Verifica-se assim que há uma relação entre os números de onda ,

e . Como o

potencial escolhido é uma solução possível para a equação de Helmholtz, então o campo

de deslocamentos, , para a Onda-P e Onda-S, será obtido através de (255) e (257):

{

} {

} (263)

{

} {

} (264)

102

Para os campos de deformações ter-se-á:

{

}

{

( )

( )

} {

} (265)

{

}

{

( )

( )

} {

} (266)

Consequentemente para os campos de tensões, utilizando a relação da (262)e onde a

matriz representa a matriz de elasticidade obtém-se:

{

}

{

{ ( )}

{ ( )}

{ ( )}

} {

}

{

}

(267)

{

}

{

{ ( )} { }

{ ( )} { }

{ ( )}

} {

(

)

}

{

(

)

}

(268)

103

Apêndice 4: Equação da Onda em Solos Saturados

A equação de equilíbrio (espectral) toma a forma:

(269)

O campo de tensão tem a seguinte forma:

[

]

[

]

{

}

{

( )

( )

( )

( ) }

(270)

Substituindo-se em (269):

[

]

{

( )

( )

( )

( ) }

[

]

{

} , -

(271)

O campo de deslocamentos, , pode ser tomado como a derivada dos termos gradiente

e rotacional, de potenciais de funções escalares, , da seguinte forma,

,

- {

} (272)

definindo o tipo de gradiente o tipo de onda, P ou S:

{

} (273)

{

} (274)

104

Ondas-P

Utilizando (273) em (272) e substituindo em (271) obtém-se:

{

( )

( )

( ) ( ) ( {

})

( ) ( ) ( {

})

(275)

Integrando-se a primeira e terceira equações em ordem a , a segunda e quarta

equações em ordem a , obtém-se um sistema em que as duas primeiras equações e as duas

últimas são iguais, reduzindo-se a:

{

( ) ( )

( ) ( ) ( {

}) (276)

Rearranjando, obtém-se então duas vias para a equação de Helmholtz,

{

(277)

onde:

(278)

Uma vez que ambas as equações do sistema (277) tem de ser iguais então, para as

Ondas-P ter-se-á duas soluções e portanto duas ondas e consequentemente dois números de

onda:

(279)

Esta igualdade origina uma equação do segundo grau em ordem ao coeficiente de

proporcionalidade , obtendo-se a seguinte equação:

(280)

Obtêm-se duas soluções , dois números de onda e portanto duas Ondas-P.

105

Ondas-S

Utiliza-se para esta solução de onda o anti-gradiente (274) em (272), substituindo em

(271):

{

( ) ( ) (

)

( ) ( ) ( )

.

2

3/

.

2

3/

(281)

Integrando-se a primeira e terceira equações em ordem a , a segunda e quarta

equações em ordem a , obtém-se um sistema iguais duas a duas, primeira e segunda,

terceira e quarta:

{

( )

( {

}) (282)

Simplificando, obtém-se o seguinte resultado para a equação de Helmholtz,

{

(283)

onde é dado por (278).

Com estes resultados chega-se à conclusão que há apenas uma Onda-S e que o seu

coeficiente de proporcionalidade, e o seu número de onda são dados por:

(284)

(285)

Assim, o índice representará as ondas .

106

107

Apêndice 5: Campos de Deslocamento, Deformação e

Tensão em Solos Saturados

Considerando-se um potencial escalar, , igual ao apêndice D.2:

(286)

As suas derivadas parciais serão:

(287)

(288)

(289)

(290)

(291)

Substituindo (288) e (258) na equação de Helmholtz:

(292)

Pondo-se em evidência a função escalar:

(

) (293)

Visto uma função exponencial nunca ser nula, para que a (293) tenha solução, é

necessário que se verifique a seguinte condição:

(294)

Assim o campo de deslocamentos será dado através da substituição de (274) em (272),

e com as definições de derivadas parciais dadas acima, ter-se-á para Ondas-P , ,e

Onda-S, :

2

3 {

} {

} (295)

108

2

3 {

} {

} (296)

As deformações serão dadas por:

{

}

{

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )}

{

(

)}

(297)

{

}

{

( )

( )

( ) }

{

} (298)

Para os campos de tensões, utilizando a relação (294) e onde a matriz representa a

matriz de elasticidade, obtém-se :

{

}

{

{ ( )} { ( )} { ( ) ( )}

{ ( )} { ( )} { ( ) ( )}

{ ( ) ( )}

{ ( )} { ( )} { ( ) ( )}}

{

( ) [

] ( )

( ) [

] ( )

( ) [

] }

{

[ ( ) ]

[ ( ) ]

( )

}

(299)

{

}

{

{ ( )} { } { ( ) }

{ ( )} { } { ( ) }

{ ( ) }

{ ( )} { } { ( ) }}

{

}

(300)

109

Apêndice 6: Propriedades do Solo de Ensaio

O solo “Molsand” é uma areia com uma matriz sólida incompressível com quartzo sub-

angular, em que o diâmetro do grão varia entre 0.07 e 0.6mm, conforme descrito em [8]. De

acordo com a notação anteriormente definida, o solo apresenta as seguintes características:

;

;

;

;

;

O factor de dissipação tem a seguinte expressão,

, tomando-se para a

aceleração da gravidade . O significado físico de todas as constantes pode ser

encontrado na lista de símbolos.

110

111

Bibliografia

[1] ARANTES E OLIVEIRA, E.R., E. BORGES PIRES, D. CAMOTIM, Mecânica dos Meios

Contínuos, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa, Departamento

de Engenharia Civil e Arquitectura, Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas, 1991.

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