modelagem (1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA ELÉTRICA

PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL – PET

MMooddeellaaggeemm ee SSiimmuullaaççããoo ddee CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss

Aluna: Elíbia Teresa Moreira Colaço Bolsista do Grupo PET-Elétrica

Orientador: Washington L. A. Neves Tutor: Edmar Candeia Gurjão

CAMPINA GRANDE – PB NOVEMBRO DE 2007

Elíbia Teresa Moreira Colaço MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

2

Sumário MODELAGEM DOS COMPONENTES ELEMENTARES 1. Introdução................................................................................................................................................3

2. Métodos de Integração Numérica ............................................................................................................3

3. Modelos ...................................................................................................................................................4

3.1 Resistores..................................................................................................................................................4

3.2 Indutores ..................................................................................................................................................4

3.3 Capacitores ...............................................................................................................................................5

SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS LINEARES 1. Introdução................................................................................................................................................8

2. Circuito RC................................................................................................................................................8

2.1 Solução Analítica.......................................................................................................................................9

2.2 Solução Numérica...................................................................................................................................10

2.3 Rotina no MatLab ...................................................................................................................................11

2.4 Resultados ..............................................................................................................................................12

3. Circuito RL ..............................................................................................................................................15

3.1 Solução Analítica.....................................................................................................................................17


3.3 Rotina no MatLab ...................................................................................................................................18

3.4 Resultados ..............................................................................................................................................19

4. Circuito RLC em paralelo ........................................................................................................................23

4.1 Solução Analítica.....................................................................................................................................24


4.3 Rotina no MatLab ...................................................................................................................................26

4.4 Resultados ..............................................................................................................................................27

5. Conclusões .............................................................................................................................................30

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................................................................................................31


3

MODELAGEM DOS COMPONENTES ELEMENTARES

1. Introdução

O estudo sobre Transitórios Eletromagnéticos em Sistemas de Potência se baseia em conceitos básicos de circuitos com parâmetros concentrados e em noções de propagação de ondas eletromagnéticas em circuitos com parâmetros distribuídos. No cálculo de transitórios eletromagnéticos e na simulação digital de circuitos elétricos lineares, faz-se necessário converter as equações diferenciais que relacionam tensão e corrente nos elementos do circuito por relações algébricas. Neste material fornecemos um resumo sobre a modelagem dos componentes elementares (resistor, indutor e capacitor) em circuitos equivalentes discretos de Norton e Thévenin. Nestes modelos, as fontes representam as informações da história do sistema.

2. Métodos de Integração Numérica Os métodos de integração numérica são de grande utilidade quando integrais são difíceis ou até

mesmo impossíveis de serem resolvidas analiticamente. Estes métodos podem ser vistos como uma aproximação da integral por uma soma finita de termos.

Para o caso em estudo, consideremos a integração de uma função f(τ) no tempo. Primeiramente é necessário uma discretização no tempo em intervalos regulares. Em seguida, utilizam-se os métodos de Euler Regressivo e Trapezoidal para encontrarmos a área abaixo de f(τ). A interpretação gráfica e as fórmulas dessas integrais são esquematizadas a seguir.

Figura 1.a

Figura 1.b

Figura 1. Interpretação gráfica da integração numérica da função f(τ) em um passo de discretização. 1.a) Método de integração Euler Regressivo. 1.b) Método de integração Trapezoidal.

tttfdf

tt

t

∆∗∆+=∫∆+

)()( ττ

Equação 1.a

[ ]∫∆+

∆++∗∆

=

tt

t

ttftft

df )()(2

)( ττ

Equação 1.b

Equação 1.a) Euler Regressivo. Equação 1.b) Trapezoidal.


4

3. Modelos A partir das fórmulas descritas acima, nós realizamos a modelagem de resistores, indutores e

capacitores. Estes modelos consistem em circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton, os quais são esquematizados na figura abaixo.

Figura 2. Circuitos Equivalentes de Thévenin (à esquerda) e de Norton (à direita). 3.1. Resistores

Considere um resistor linear e invariante com o tempo, mostrado na figura 3, cuja equação característica é dada por: Riv = .

Figura 3. Resistor linear e invariante no tempo.

A relação tensão/corrente no resistor já é uma equação algébrica. Deste modo, o circuito

equivalente discreto do resistor é ele próprio. 3.2. Indutores

Considere um indutor linear e invariante com o tempo, mostrado na figura 4, cuja equação

característica é dada por: dt

diLv = .


5

Figura 4. Indutor linear invariante no tempo.

A partir dos métodos de integração numérica, nós podemos aproximar a tensão e a corrente no indutor por uma equação algébrica e então determinar um modelo discreto para o indutor em um passo de tempo. A seguir nós temos o desenvolvimento da integração numérica, utilizando primeiramente o método de Euler Regressivo e em seguida o Método Trapezoidal.

Euler regressivo

[ ] ⇒∆−−=∆⇒=∫ ∫∆− ∆−

)()()()( ttitiLttvdiLdv kmkmkm

t

tt

t

tt

kmkm ττ

)()()( ttit

Lti

t

Ltv kmkmkm ∆−

∆−

∆= ou )()()( ttitv

L

tti kmkmkm ∆−+

∆=

Trapezoidal

[ ] [ ] ⇒∆−−=∆−+∆

⇒=∫ ∫∆− ∆−

)()()()(2

)( ttitiLttvtvt

diLdv kmkmkmkm

t

tt

t

tt

kmkm ττ

∆−

∆+∆−−

∆= )(

2)()(

2)( tti

t

Lttvti

t

Ltv kmkmkmkm ou

∆−

∆+∆−+

∆= )(

2)()(

2)( ttv

L

tttitv

L

tti kmkmkmkm

Observando as equações de diferença obtidas acima, nós podemos concluir que o circuito

depende do momento presente e de momentos passados. Assim, nosso modelo deverá conter informações da história do indutor.

Os parâmetros associados às correntes ou às tensões atuais podem ser modelados como resistores em série ou em paralelo. Já os parâmetros associados à história do circuito podem ser modelados como fontes de tensão ou de corrente fictícias. O modelo do circuito equivalente (Thévenin ou Norton) será escolhido de acordo com a equação utilizada. Após a análise das equações, nós obtemos os resultados que estão expostos na tabela abaixo.


6

Circuito de Thévenin Circuito de Norton Veq Req Ieq Geq

Euler Regressivo

)( ttit

Lkm ∆−

∆−

t

L

∆ )( ttikm ∆−

L

t∆

Trapezoidal )(

2)( tti

t

Lttv kmkm ∆−

∆−∆−−

t

L

∆

2

)()(2

ttittvL

tkmkm ∆−+∆−

∆

L

t

2

∆

Tabela 1. Fontes de tensão e de corrente e resistores equivalentes.

3.3. Capacitores

Considere um capacitor linear e invariante com o tempo, mostrado na figura 5, cuja equação

característica é dada por: dt

dvCi = .

Figura 5. Capacitor linear e invariante no tempo.

Realizando o mesmo procedimento que foi utilizado na modelagem do indutor, nós poderemos

encontrar os modelos equivalentes de Thévenin e Norton para o capacitor. A seguir, temos o desenvolvimento da integração numérica pelos métodos de Euler Regressivo e Trapezoidal.

Euler regressivo

[ ] ⇒∆−−=∆⇒=∫ ∫∆− ∆−

)()()()( ttvtvCttidvCdi kmkmkm

t

tt

t

tt

kmkm ττ

)()()( ttvtiC

ttv kmkmkm ∆−+

∆= ou )()()( ttv

t

Ctv

t

Cti ∆−

∆−

∆=

Trapezoidal

[ ] [ ] ⇒∆−−=∆−+∆

⇒=∫ ∫∆− ∆−

)()()()(2

)( ttvtvCttitit

dvCdi kmkmkmkm

t

tt

t

tt

kmkm ττ

)(2

)()(2

)( ttiC

tttvti

C

ttv kmkmkmkm ∆−

∆+∆−+

∆=

ou

∆−+∆−

∆−

∆= )()(

2)(

2)( ttittv

t

Ctv

t

Cti kmkmkmkm

Observando as equações de diferença acima, nós obtemos os resultados que estão expostos na


7

tabela a seguir.

Circuito de Thévenin Circuito de Norton Veq Req Ieq Geq

Euler Regressivo

)( ttvkm ∆− C

t∆

t

Cttvkm

∆∆−− )(

t

C

∆

Trapezoidal )(

2)( tti

C

tttv kmkm ∆−

∆+∆−

C

t

2

∆

)()(2

ttittvt

Ckmkm ∆−−∆−

∆−

t

C

∆

2

Tabela 2. Fontes de tensão e de corrente e resistores equivalentes.


8

SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS LINEARES

1. Introdução Para iniciarmos o estudo de transitórios eletromagnéticos nós realizamos a simulação de

circuitos elétricos simples, cuja solução analítica é conhecida. Com os conceitos básicos da teoria de circuitos elétricos, com o uso dos conhecimentos de métodos numéricos e dos resultados mostrados no tópico anterior, nós programamos rotinas básicas no MatLab para solucionarmos três circuitos: RC, RL e RLC paralelo.

Os objetivos deste experimento são: relatar a eficiência da modelagem dos componentes, demonstrar as qualidades da ferramenta MatLab na análise de circuitos elétricos e integrar os conceitos da teoria de circuitos elétricos e os métodos numéricos em uma aplicação da Engenharia Elétrica.

2. Circuito RC Os circuitos RC e RL são também conhecidos como circuitos de primeira ordem, pois suas

tensões e correntes são definidas por equações diferenciais de primeira ordem. Para podermos compreender esta classificação, analisemos o circuito RC da figura abaixo.

Figura 6. Capacitor ligado a um circuito equivalente de Thévenin (à esquerda) e de Norton (à direita).

Escolhemos o circuito equivalente de Norton do circuito ligado ao capacitor para a análise por

facilidade matemática. Assim, aplicando a Lei das Correntes de Kirchhoff no nó principal do circuito nós obtemos a seguinte equação:

C

I

RC

v

dt

dvI

R

v

dt

dvC SCC

S

CC =+⇒=+

A solução desta equação representa a resposta de um circuito RC a um degrau, ou seja, a

resposta do circuito a uma variação brusca de corrente ou de tensão. As soluções analíticas das respostas natural e a um degrau de um circuito RC são abordadas na próxima seção.

Com o uso de um dos modelos para capacitores mostrados acima, nós podemos transformar esta equação diferencial de primeira ordem em uma equação de diferenças. Assim, a partir de uma rotina numérica nós poderemos determinar a resposta transitória do circuito RC e realizar a simulação do circuito.

O objetivo desta simulação é verificar a validade dos modelos obtidos anteriormente e comparar os dois métodos de integração utilizados. Para isto, nós implementamos as duas soluções numéricas e a solução analítica. Os resultados e a rotina serão explanados a seguir.

O circuito RC em estudo está representado na figura 7.


9

Figura 7. Circuito RC: capacitor ligado a um circuito equivalente de Thévenin.

2.1. Solução Analítica

Vamos deduzir a resposta natural de um circuito RC a partir da análise do circuito abaixo. Primeiramente, supomos que a chave ficou na posição a por um longo tempo, de forma que o circuito atinja o regime estacionário e que o capacitor esteja completamente carregado (vC=V).

Figura 8. Circuito RC.

No instante t=0 a chave é deslocada da posição a para a b. Esta malha (figura 9) é o circuito

que devemos analisar para obtermos a resposta natural do circuito. Assim, aplicando a Lei das Correntes de Kirchhoff na junção superior entre R e C temos:

0=+R

v

dt

dvC CC

Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. O desenvolvimento matemático e

a solução seguem abaixo.

tRCV

tvdy

RCx

dxdt

RCv

dv

R

v

dt

dvC C

ttv

VC

CCCC 1)(

ln11

000

)(

0

−=⇒−=⇒−=⇒=+ ∫∫

0)( 0 ≥=⇒ − teVtv RCt

C

Figura 9. Circuito da figura 8 com chave na posição b.

A resposta a um degrau é obtida a partir da análise do circuito da figura 8 com a chave na


10

posição a. A equação diferencial ordinária já foi obtida na seção anterior. Abaixo está o desenvolvimento matemático e a solução de tal equação.

( ) ⇒−=−

⇒−−=⇒=+ ∫ ∫)(

00

11tv

V

t

S

SCC

SCC

C

dyRCRIx

dxRIv

RCdv

C

I

RC

v

dt

dv

( ) 0)(1)(

ln 00

≥−+=⇒−=−

− − teRIVRItvtRCRIV

RItv RCt

SSC

S

SC

A partir da relação tensão/corrente para o capacitor, nós podemos determinar também a expressão para a corrente nos dois casos (resposta natural e resposta a um degrau). Os resultados são mostrados na tabela abaixo.

Tensão no capacitor Corrente no capacitor

Resposta narural

0)( 0 ≥=− teVtv RCt

C +−

≥−= 0)( 0 teR

Vti RCt

C

Resposta a um degrau

( ) 0)( 0 ≥−+=− teRIVRItv RCt

SSC +−≥

−= 0)( 0 te

R

VIti RCt

SC

Tabela 3. Resposta natural e resposta a um degrau para circuitos RC.

2.2. Solução Numérica

Para obtermos a solução numérica precisamos substituir o capacitor pelo seu modelo discreto equivalente e em seguida, a partir da manipulação do circuito, determinar um circuito equivalente e suas equações.

A partir de uma transformação de fonte no circuito da figura 7 nós obtemos o primeiro circuito abaixo (equivalente de Norton ligado ao capacitor). Substituindo o capacitor pelo seu modelo discreto equivalente e simplificando o circuito (associação em paralelo de resistores) nós obtemos o circuito final.

Figura 10. Simplificação do circuito com o modelo discreto para o capacitor.

Observando o circuito nós escrevemos as seguintes equações:


11

C

eqCeqRR

GRRR11

// +=⇒=

[ ] eqCC RttIItv *)()( ∆−−=

C

C

CCR

tvttIti

)()()( +∆−=

A equação para determinar IC(t-∆t) vai depender do método de integração escolhido na

modelagem do capacitor. As condições iniciais são determinadas pela análise do circuito. Como sabemos, não é possível

a existência de variações bruscas de tensão entre os terminais de um capacitor, assim:

( ) ( )

R

VV

R

vViVv C

CC

00

)0()0()0(

−=

−=⇒=

2.3. Rotina no MatLab

A seguir, está a seqüência de comandos utilizada para implementar as soluções numéricas e a solução analítica do circuito RC em estudo.

%Dados

R=500; C=1e-6; V=100; vc0=0;

%Constante de tempo do circuito e passo de discretização

tal=R*C; dt=tal/10;

%Cálculo do circuito equivalente de Norton (Euler)

Rc=dt/C;

Geq=1/R+1/Rc;

I=V/R;

%Condições iniciais

vce(1)=vc0; vct(1)=vc0;

ice(1)=(V-vc0)/R; ict(1)=(V-vc0)/R;

Ice(1)=-vce(1)/Rc; Ict(1)=-vct(1)/Rc-ict(1);

%Método de Euler Regressivo

for n=2:100

vce(n)=(I-Ice(n-1))/Geq;

ice(n)=vce(n)/Rc+Ice(n-1);

Ice(n)=-vce(n)/Rc;

end

%Cálculo do circuito equivalente de Norton (Trapezoidal)

Rc=dt/(2*C);

Geq=1/R+1/Rc;

%Método trapezoidal

for n=2:100

vct(n)=(I-Ict(n-1))/Geq;

ict(n)=vct(n)/Rc+Ict(n-1);

Ict(n)=-2*vct(n)/Rc-Ict(n-1);

end


12

2.4. Resultados

A seguir, as curvas obtidas na simulação para a tensão e a corrente no capacitor. O passo de discretização é de 50 microssegundos, sendo esta a escala de tempo nos gráficos (1unid. → 50 µs).

%Método analítico

t=linspace(0,10*tal,100);

ic=(I-vc0/R)*exp(-t/tal);

vc=I*R+(vc0-I*R)*exp(-t/tal);

%Gráficos

n=[1:100];

%As três soluções

figure(1), plot(n,ice*10^3,'r',n,ict*10^3,'b',t/dt,ic*1000,'m')

title('Corrente no Capacitor (mA)')

legend('Euler', 'Trapezoidal', 'Solução Analítica Ic'),pause

figure(2), plot(n,vce,'r',n,vct,'b',t/dt,vc,'m')

title('Tensão no Capacitor (V)')

legend('Euler', 'Trapezoidal', 'Solução Analítica vc'),pause

%As soluções numéricas

figure(3), plot(n,ice*10^3,'r*-',n,vce,'r'),hold on, pause

plot(n,ict*10^3,'b*-',n,vct,'b')

title('Soluções Numéricas')

legend('Euler (mA)', 'Euler (V)', 'Trapezoidal (mA)', 'Trapezoidal

(V)'),pause%Euler e solução analítica

figure(4), plot(n,ice*10^3,'r*-',n,vce,'r',t/dt,ic*1000,'b*-',t/dt,vc,'b')

title('Método de Euler Regressivo X Solução Analítica')

legend('Euler (mA)', 'Euler (V)', 'Solução Analítica (mA)',...

'Solução Analítica (V)')

%Trapezoidal e solução analítica

figure(5), plot(n,ict*10^3,'r*-',n,vct,'r',t/dt,ic*1000,'b*-',t/dt,vc,'b')

title('Método de Trapezoidal X Solução Analítica')

legend('Trapezoidal (mA)', 'Trapezoidal (V)', 'Solução Analítica (mA)',...

'Solução Analítica (V)')


13

Gráfico 1. Corrente versus Tempo.

Unidade de tempo: 50 microssegundos.

Gráfico 2. Tensão versus Tempo.

Unidade de tempo: 50 microssegundos.


14

Os próximos gráficos comparam as soluções numéricas entre si, e as soluções numéricas com a analítica.

Gráfico 3. Comparação das soluções numéricas.

Gráfico 4. Comparação do Método de Euler com a Solução Analítica.


15

Gráfico 5. Comparação do Método Trapezoidal com a Solução Analítica.

Observando os gráficos obtidos, concluímos que os métodos Euler Regressivo e Trapezoidal e

o passo de discretização adotado (um décimo da constante de tempo do circuito) foram suficientes para obtermos uma solução numérica satisfatória.

Nós podemos constatar também que a curva obtida pelo método Euler Regressivo se ajusta melhor à curva da solução analítica nos primeiros passos de discretização, enquanto que o método Trapezoidal converge mais rapidamente para a solução.

A partir destes resultados, nós concluímos que o uso dos dois métodos de forma adequada otimizaria a solução numérica. Este procedimento será utilizado na análise do Circuito RL.

3. Circuito RL Como foi dito, o circuito RL é conhecido como circuito de primeira ordem porque suas tensões

e correntes são descritas por equações diferenciais de primeira ordem. Primeiramente, analisemos o circuito abaixo.

Figura 11. Indutor ligado a um circuito equivalente de Thévenin (à esquerda) e de Norton (à direita).


16

Por facilidade matemática, escolhemos o circuito equivalente de Thévenin ligado ao indutor

para análise. Aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff, nós obtemos:

L

Vi

L

R

dt

diVRi

dt

diL S

S =+⇒=+

Como podemos perceber as equações diferenciais envolvidas na análise de circuitos RC e RL

são semelhantes (observe a equação obtida na seção 2). Assim, será realizada uma abordagem geral para determinar as respostas destes circuitos.

De acordo com as equações vistas, a equação diferencial que descreve qualquer um dos quatro circuitos (equivalentes de Thévenin e de Norton ligados a capacitores e indutores) é dada por:

dadesconhecigrandezaaétxondeKx

dt

dx)(=+

τ.

Como as fontes do circuito são fontes cc, o valor final de x deve ser uma constante que

satisfaça a equação acima e o valor de dx/dt será nulo. Assim, temos que: τKx f = . Agora,

utilizando o método de separação de variáveis, nós obtemos a solução para a equação geral.

( ) ( )

[ ]∫ ∫−−

−+=⇒−=−

⇒

−=−

⇒−

−=⇒−

−=⇒+−=

)(

)0(

)0(0

0

)()(1

1

tx

tx

tt

ff

t

tf

f

f

extxxtxdtxu

du

dtxx

dxxx

dt

dxKx

dt

dxK

x

dt

dx

τ

τ

τττ

τ

τ

A solução geral para as respostas dos circuitos RL e RC escrita em forma verbal é:

O circuito que estudaremos está especificado na figura 12.

Figura 12. Circuito RL: equivalente de Thévenin ligado a indutor.


17


Utilizaremos a abordagem geral para determinarmos as respostas natural e a um degrau do circuito RL. Primeiramente, nós determinaremos a equação para a corrente no indutor, e em seguida, a partir da equação característica para o indutor, nós obteremos a equação para a tensão.

Neste caso, a variável desconhecida será a corrente no indutor e então precisamos determinar o valor inicial e o valor final, bem como o instante da comutação da chave e a constante de tempo.

Para nosso estudo, consideraremos que o instante de comutação é t0=0s. O estado inicial é dado

por il(0)=il0 e o valor da constante de tempo para circuitos RL é dada por: R

L=τ . Quando t → ∞ o

indutor comporta-se como um curto-circuito, e assim, calculamos o estado final para o caso da resposta natural e da resposta a um degrau.

.:

.0:

R

Vilderauumaresposta

ilnaturalresposta

f

f

=

=

Com estas informações nós obtemos as soluções expostas na tabela 4.

Tensão no indutor Corrente no indutor

Resposta natural

( ) +−≥−= 0)( 0 teRItv LRt

L ( ) 0)( 0 ≥=− teIti LRt

L

Resposta a um degrau

( ) ( ) +−≥−= 0)( 0 teRIVtv LRt

SL ( ) 0)( 0 ≥

−+=

− teR

VI

R

Vti LRtSS

L

Tabela 4. Resposta natural e resposta a um degrau para circuitos RL.


O procedimento para obtermos a solução numérica é o mesmo utilizado na simulação do circuito RC. Primeiramente substituímos o indutor por seu modelo discreto equivalente, em seguida realizamos algumas simplificações no circuito e então, a partir de uma análise, obtemos as equações para a corrente e tensão no indutor. O procedimento de análise está demonstrado passo a passo na figura a seguir.

Figura 13. Simplificação do circuito com modelo discreto para o indutor.


18

%Dados

R=500; L=500e-3; V=500; il0=0;

%Constante de tempo e passo de discretização

tal=L/R; fator=10; dt=tal/fator;

%Circuito Equivalente de Norton (Euler)

Rl=L/dt; Geq=1/R+1/Rl; I=V/R;

%Condições iniciais

il(1)=il0; vl(1)=V-R*il(1); Il(1)=il(1);

%Método de Euler Regressivo

for n=2:3

vl(n)=(I-Il(n-1))/Geq;

il(n)=vl(n)/Rl+Il(n-1);

Il(n)=il(n);

end

%Circuito Equivalente de Norton (Trapezoidal)

Rl=2*L/dt; Geq=1/R+1/Rl; I=V/R;

Observando o circuito nós escrevemos as seguintes equações:

L

eqLeqRR

GRRR11

// +=⇒=

[ ] eqLL RttIItv *)()( ∆−−=

L

L

LLR

tvttIti

)()()( +∆−=

A equação para determinar IL(t-∆t) vai depender do método de integração escolhido na

modelagem do indutor. Agora, analisemos as condições iniciais do circuito. Nós sabemos que não é possível a

existência de variações bruscas de corrente nos terminais de um indutor e, portanto, a corrente inicial é a corrente armazenada no indutor.

00 )0()0()0( RilVRiVvili LLL −=−=⇒=

Como já foi citado na seção anterior, a rotina de simulação do circuito RL irá utilizar os dois métodos na solução. O método de Euler Regressivo será utilizado apenas nos primeiros intervalos de tempo, enquanto que o modelo Trapezoidal será utilizado no restante da simulação.

Para verificarmos a eficiência do uso dos dois métodos, nós iremos simular três situações: apenas o Trapezoidal, três e quinze intervalos iniciais com o Euler Regressivo.


A seqüência de comandos utilizados no MatLab está exposta a seguir.


19

3.4. Resultados

Os gráficos a seguir comparam as soluções numéricas obtidas na simulação com a solução analítica do circuito.

%Método Trapezoidal

for n=3:10*fator

vl(n)=(I-Il(n-1))/Geq;

il(n)=vl(n)/Rl +Il(n-1);

Il(n)=(2/Rl)*vl(n)+Il(n-1);

end

%Solução analítica

t=linspace(0,10*tal,100);

ila=I+(il0-I)*exp(-t/tal);

vla=(V-il0*R)*exp(-t/tal);

%Gráficos

n=[1:10*fator];

figure(1),plot(n-1,il*10^3,'b'), hold on

plot(t/dt,ila*10^3,'r')

title('Circuito RL – Corrente no Indutor (mA)')

legend('Solução Numérica', 'Solução Analítica'), pause

figure(2),plot(n-1,vl,'b'), hold on

plot(t/dt,vla,'r')

title('Circuito RL – Tensão no Indutor (V)')

legend('Solução Numérica', 'Solução Analítica');


20


Solução Trapezoidal.


Solução Trapezoidal.


21


Quinze intervalos iniciais com o Euler.


Quinze intervalos iniciais com o Euler.


22

Como podemos observar nos gráficos acima, a solução obtida utilizando o método de Euler Regressivo reduziu os erros nos intervalos iniciais. No entanto, as divergências entre as soluções aumentaram nos intervalos seguintes. Para melhorarmos esta simulação nós realizamos uma pequena modificação na rotina.

Nós reduzimos o número de intervalos que utilizam o Método de Euler Regressivo e assim, nós aperfeiçoamos a solução. Os erros iniciais foram menores e a solução numérica convergiu rapidamente para a solução analítica, assim como na solução com o Método Trapezoidal.

Nesta simulação, nós utilizamos o Método de Euler Regressivo nos três passos iniciais e o Trapezoidal nos demais. Os gráficos 10 e 11 comparam as soluções.

Gráfico 10. Corrente versus Tempo. Três intervalos iniciais com o Euler.


23


Três intervalos iniciais com o Euler.

4. Circuito RLC Paralelo Em um circuito paralelo RLC é preferível que se determine primeiramente a tensão, pois esta é

a mesma para todos os componentes do circuito. Posteriormente é possível obter as correntes nos ramos através do uso da lei de Ohm para o ramo resistivo e através de soluções análogas para os ramos indutivo e capacitivo.

É importante relembrar da existência de três tipos de respostas transitórias obtidas a partir de um circuito RLC, estas são: a resposta subamortecida, a reposta superamortecida e a resposta criticamente amortecida.

A solução de um circuito RLC em paralelo a um degrau é obtida por uma abordagem direta a partir da reposta natural e pode ser escrita da seguinte forma:

naturalrespostaaqueformamesmadafunçãoIi f += naturalrespostaaqueformamesmadafunçãoVv f +=

Para este experimento nós iremos simular três situações, de tal forma que possamos verificar as

respostas subamortecida, superamortecida e criticamente amortecida. O modelo de circuito utilizado e os parâmetros dos componentes seguem na figura 14.


24

Figura 14. Circuito RLC em paralelo, parâmetros: R=400, 500, 625Ω; L=25uH; C=25nF.


Para obtermos a resposta a um degrau do circuito paralelo RLC em estudo, iremos primeiramente deduzir a resposta natural e a partir da abordagem direta determinar a solução desejada. Assim, analisemos o circuito da figura 14 (com a chave fechada).

Somando todas as correntes que saem do nó superior, nós obtemos a seguinte equação diferencial para a tensão:

∫ =+++

t

dt

dvCIvd

LR

v

0

0 01

τ

Para eliminar a integral realizamos a diferenciação em relação ao tempo de toda a equação. Em

seguida, normalizamos o coeficiente da derivada de segunda ordem. Como podemos observar, nos deparamos com uma equação diferencial ordinária de segundo grau, o que justifica a denominação de circuitos de segunda ordem para circuitos RLC.

[ ] ⇒=++⇒=

+++ ∫ 0

10

12

2

0

0 dt

vdC

L

v

dt

dv

Rdt

d

dt

dvCIvd

LR

v

dt

dt

τ

01

2

2

=++LC

v

dt

dv

RCdt

vd

O método de solução para equações deste tipo é o método da equação característica. Primeiro,

supomos que a solução é uma exponencial. Assim, substituímos a solução na equação e obtemos a expressão:

01

0 22=

++⇒=++ →=

LCRC

ssAe

LC

Aee

RC

AseAsAev St

StStStdosubstituinSt

Esta expressão só será satisfatória para todos os valores de t se A for nulo ou então se o termo

entre parênteses for nulo, já que a exponencial nunca é nula. Logo temos que:

012

=

++

LCRC

ss

Esta equação é denominada equação característica, daí o nome do método. Como podemos

observar, teremos duas soluções para a equação, uma para s=s1 e outra para s=s2. Já é sabido que


25

para equações diferenciais ordinárias lineares a combinação linear de duas soluções também é uma solução. Então, a forma mais geral é dada por:

tStS eAeAv 2

21

1 += A tabela abaixo mostra os parâmetros da resposta natural dos circuitos RLC em paralelo.

Parâmetros da Resposta Natural dos Circuitos RLC em Paralelo

PARÂMETRO NOME VALOR NA RESPOSTA

NATURAL

s1,s2 Raízes da equação característica

20

21 ωαα −+−=s

20

22 ωαα −−−=s

α Freqüência de Neper RC2

1=α

ωo Freqüência angular de ressonância LC

10 =ϖ

Tabela 5. Parâmetros da resposta natural: circuitos RLC paralelo.

Como podemos ver, as raízes s1 e s2 dependem apenas dos valores de α e ω0. Se ω0

2 < α2 as raízes são dois números reais e distintos, e dizemos que a resposta é superamortecida. Se ω0

2 = α2 as raízes são reais e iguais, e a resposta é dita criticamente amortecida. Se ω0

2 > α2 as raízes são complexas e conjugadas, neste caso a resposta é subamortecida.

A forma geral das respostas superamortecida, criticamente amortecida e subamortecida são esquematizadas na tabela a seguir.

Forma Geral da Resposta Natural – Circuito RLC em paralelo

Resposta Superamortecida tStS eAeAtv 22

11)( +=

Resposta Criticamente amortecida

22021 :cos)( αωϖϖϖ αα

−=+=−−

dd

t

d

t ondetseneBteBtv

Resposta Subamortecida tt eDteDtv αα −−+= 21)(

Tabela 6. Rresposta natural: circuitos RLC paralelo.

As constantes das expressões são determinadas a partir das condições iniciais do circuito. Através da abordagem direta e dos parâmetros do circuito em estudo, nós obtemos as soluções

analíticas que serão usadas na simulação. Estas expressões são mostradas na tabela abaixo.


26

Soluções Analíticas

Superamortecida ( ) ( )mAeetiVeetv tt

L

tt 80000200008000020000 83224)(16)( −−−−+−=−=

Criticamente amortecida ( )( )mAeteti

Vtetv

tt

L

t

4000040000

40000

2496000024)(

960000)(−−

−

−−=

=

Subamortecida ( )

( )mAtseneteti

Vtsenetv

tt

L

t

24000(32)24000cos(2424)(

)24000(40)(3200032000

32000

−−

−

−−=

=

Tabela 7. Soluções Analíticas: circuito em estudo.


Para a realização da simulação do circuito em estudo, nós utilizamos os modelos equivalentes de Norton para indutores e capacitores, obtidos a partir da integração trapezoidal. Em seguida, nós manipulamos o circuito discreto equivalente para facilitar a implementação da solução numérica. O circuito discreto e o circuito final encontram-se logo abaixo.

Figura 15. Circuito discreto equivalente ao circuito em estudo e circuito final, após manipulações.

Analisando o circuito final, nós podemos determinar a equação para a tensão e as condições

iniciais. A equação para a resistência equivalente total do circuito e a equação para o cálculo da tensão no nó principal do circuito estão abaixo.

CL

eqCLeqRRR

GRRRR111

//// ++=→=

( ) eqCL RttIttIItv *)()()( ∆−−∆−−=

Considerando as características dos indutores e capacitores e utilizando as Leis de Kirchhoff,

nós obtemos as expressões para as condições iniciais.

00 )0()0( LLC iivv ==

00)0()0(

)0()0( L

C

CLC iR

vIii

R

vIi −−=→−−=


A seguir, está exposta a seqüência de comandos utilizada no MatLab para implementar a simulação do circuito RLC em paralelo.


27

Com os valores de entrada utilizados acima nós obtemos a resposta subamortecida do circuito. Para obtermos as demais soluções, basta substituir o valor de entrada do resistor (R) para 500Ω e 625Ω, e em seguida repetir a rotina.

4.4. Resultados

Os gráficos a seguir mostram as soluções numéricas das respostas subamortecida, superamortecida e criticamente amortecida para o circuito RLC em paralelo em estudo. O gráfico 12 representa a tensão de nó do circuito e o gráfico 13 representa a corrente no ramo indutivo.

%Dados

R=400; L=25e-3; C=25e-9; I=24e-3; vc0=0; il0=0;

%Passo de discretização

dt=2e-6;

%Modelagem

Rl=2*L/dt; Rc=dt/(2*C);

Geq=1/Rl+1/Rc+1/R;

%Condições Iniciais

v(1)=vc0; il(1)=il0; ic(1)=I-v(1)/R-il(1);

Il(1)=v(1)/Rl+il(1); Ic(1)=-v(1)/Rc-ic(1);

%Solução Numérica

for n=2:100

v(n)=(I-Ic(n-1)-Il(n-1))/Geq;

il(n)=v(n)/Rl+Il(n-1); ic(n)=v(n)/Rc+Ic(n-1);

Il(n)=2*v(n)/Rl+Il(n-1); Ic(n)=-2*v(n)/Rc-Ic(n-1);

end

%Gráficos

n=[1:100];

figure(1), plot(n-1,v),hold on

title('Solução Numérica')

figure(2), plot(n-1,il),hold on

title('Solução Numérica')


28

Gráfico 12 – Tensão versus Tempo (a tensão de nó do circuito).

Unidades de tensão e de tempo: Volt (V); 2 microssegundos (µs).

Gráfico 13 – Corrente versus Tempo (corrente no indutor).

Unidades de corrente e de tempo: miliampères (mA); 2 microssegundos (µs).


29

Apesar de verificarmos que as curvas obtidas numericamente correspondem ao esperado, é preciso realizar uma comparação gráfica entre as soluções analíticas e numéricas, de tal forma que possamos concluir com precisão a validade do método. Estes gráficos seguem abaixo.

Gráfico 14 – Comparação do método numérico com a solução analítica.


30

Gráfico 15 – Comparação do método numérico com a solução analítica.

5. Conclusões Pelos resultados obtidos, nós podemos confirmar a eficiência desta técnica de solução

apresentada por Hermann V. Dommel e, portanto, verificar a importância do uso deste método de análise no estudo em transitórios eletromagnéticos.

É importante também que alunos interessados no cálculo de transitórios eletromagnéticos compreendam a necessidade do conhecimento sobre os métodos numéricos. Desta forma, será possível entender o funcionamento de simuladores e assim, facilitar seu uso.

Por fim, nós concluímos que as simulações foram satisfatórias e que os objetivos principais foram atingidos.


31

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARAÚJO, Antonio E. A. de; NEVES, Washington. L. A. Cálculo de Transitórios

Eletromagnéticos em Sistemas de Energia. Belo Horizonte: UFMG, 2004. DOMMEL, H. W. Digital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single- and

Multi-Phase Networks. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-88, pp. 388-395, Abril, 1969.

NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 1999.

PILLAGE, Lawrence T.; ROHRER, Ronald A.; VISWESWARIAH, Chandramouli. Lawrence

T. Pillage: Electronic circuit and system simulation methods. Nova Iorque: McGraw-Hill, 1995. ZANETTA JÚNIOR, Luiz Cera. Transitórios Eletromagnéticos em Sistemas de Potência.

São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2003.

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