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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO
Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Engenharia de Minas
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral – PPGEM
MODELAGEM DE FLUXO EM MEIOS GRANULARES:
UMA ABORDAGEM FÍSICA, MATEMÁTICA E NUMÉRICA
Autor: PAULO FILIPE TRINDADE LOPES
Orientador: Profª Drª MILENE SABINO LANA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Mineral do
Departamento de Engenharia de Minas da Escola
de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto,
como parte integrante dos requisitos para a
obtenção do título de Mestre em Engenharia
Mineral.
Área de concentração:
Lavra de minas
Ouro Preto/MG
Maio de 2015
L864m
Lopes, Paulo Filipe Trindade.
Modelagem de fluxo em meios granulares [manuscrito]: uma abordagem
física, matemática e numérica / Paulo Filipe Trindade Lopes. - 2015.
131f.: il.: color; grafs; tabs.
Orientadora: Profa. Dra. Milene Sabino Lana.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de
Minas. Departamento de Engenharia de Minas. Programa de Pós-Graduação
em Engenharia Mineral.
Área de Concentração: Lavra de Minas.
1. Materiais. 2. Modelagem de processos. 3. Modelagem fisica. I. Lana,
Milene Sabino. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Titulo.
CDU: 62-492.3:621.74
Catalogação: www.sisbin.ufop.br
DEDICATÓRIA
"Cedo ou tarde você vai perceber como eu, que há uma diferença entre conhecer o caminho e
percorrer o caminho" – Morpheus.
Dedico esta dissertação a todos aqueles que
me ajudaram a completar mais esta etapa do
caminho. Obrigado!
AGRADECIMENTOS
Primeiramente ao Criador, pelo dom da vida, e pela chance de expectar e comtemplar parte da
história de nosso universo.
Aos meus pais, Paulo Cézar e Maria Trindade, pelo amor, carinho e apoio.
À Bianca Mayumi, minha melhor amiga, meu amor... por tudo.
À professora, orientadora e mentora, Milene, por me acompanhar e me ajudar desde o início
da graduação.
Ao professor José Aurélio, pelos conselhos, finas e apoio na minha jornada.
À gloriosa Escola de Minas, e todos os seus professores, pelos anos de formação e
amadurecimento.
Ao PPGEM, pela oportunidade de realizar este trabalho.
Aos colegas e bolsistas, Lucas e Raphael, que me ajudaram na execução deste trabalho.
Aos meus colegas de mestrado, pelo companheirismo durante nossa árdua fase de créditos.
E por fim, ao meu cachorrinho Naruto, sim... à ele mesmo, companheiro inseparável nas
longas noites de estudo.
RESUMO
Neste trabalho propõe-se o estudo do fluxo de materiais granulares através de 3 abordagens
distintas, um modelo matemático a partir das equações diferenciais básicas que governam o
problema, um modelo experimental em escala reduzida e um modelo numérico computacional
utilizando o método dos elementos discretos. As 3 abordagens foram implementadas com
base nos modelos já existentes na literatura, através de formulações físicas e matemáticas,
visando uma maior proximidade do modelo ao fenômeno real observado. Foi escolhido uma
amostra de gnaisse britado, em diferentes faixas granulométria, como exemplo de material
granular real, e caracterizado, para realização do modelo experimental. Desenvolveu-se um
modelo experimental em escala reduzida, de modo a obter-se um banco de dados para
alimentar as demais abordagens, um modelo de simulação, reproduzindo o modelo
experimental, e um modelo matématico buscando descrever o fenômeno. O modelo de
simulação numérica reproduziu o modelo experimental desenvolvido e também a um estudo
de caso selecionado, no qual utilizou-se o mesmo gnaisse britado caracterizado. Ao final do
trabalho, é realizado um estudo comparativo entre os métodos, visando confrontá-los, e
discutir os pontos fortes e fracos de cada um deles. Conclui-se por fim, que para o material
estudado, o gnaisse britado, podemos definir 3 padrões distintos de comportamento, em
função de sua razão de diâmetro de abertura e diâmetro de partículas.
Palavras-chave: materiais granulares, fluxo granular, modelagem matemática, modelagem
numérica.
ABSTRACT
In this work, it is proposed to study the flow of granular materials through 3 distinct
approaches, a mathematical model from the basic differential equations governing the
problem, an experimental small-scale model and a computational model using the numerical
method of discrete elements. The 3 approaches were implemented based on existing models
in the literature, and through physical and mathematical formulations, aiming to a model
closer to the real phenomenon observed. A sample of crushed gneiss was chosen in different
particle size ranges as an example of a real granular material, and characterized, to perform
the experimental model. It was developed an experimental model in reduced scale, as to
obtain a database to feed other approaches, a simulation model, reproducing the experimental
model, and a mathematical model to aiming to describe the phenomenon. The numerical
simulation model reproduced the developed experimental model and also to a selected case
study, which used the same characterized crushed gneiss. At the end of the work is done a
comparative study of the methods in order to confront them, and discuss the strengths and
weaknesses of each. We conclude finally that for the studied material, crushed gneiss, we can
define 3 distinct patterns of behavior, due to the ratio of aperture diameter and particle
diameter.
Keywords: granular materials, granular flow, mathematical modeling, numerical modeling.
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 23
2. JUSTIFICATIVA ............................................................................................................. 25
3. OBJETIVOS ..................................................................................................................... 26
3.1. OBJETIVOS GERAIS ............................................................................................... 26
3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS..................................................................................... 26
4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................................... 27
4.1. MECÂNICA DOS MEIOS GRANULARES ............................................................ 27
4.1.1. Abordagem mecânica contínua .......................................................................... 27
4.1.2. Abordagem mecânica discreta ............................................................................ 28
4.2. MODELOS FÍSICOS, EMPÍRICOS E EXPERIMENTAIS ..................................... 30
4.2.1. Modelo físico do elipsoide de fluxo ................................................................... 30
4.2.2. Modelo empírico para a taxa de fluxo ................................................................ 32
4.2.3. Modelo físico usado como estudo de caso ......................................................... 33
4.3. MODELOS ANALÍTICOS ....................................................................................... 36
4.3.1. O modelo cinemático .......................................................................................... 37
4.3.2. O modelo de vazios ............................................................................................ 38
4.3.3. O modelo de pontos ............................................................................................ 40
4.4. MODELOS NUMÉRICOS E COMPUTACIONAIS ............................................... 41
5. METODOLOGIA ............................................................................................................. 44
5.1. MODELAGEM FÍSICA E EXPERIMENTAL ......................................................... 44
5.2. MODELAGEM NUMÉRICA E COMPUTACIONAL ............................................ 44
5.3. MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................................................. 45
5.4. ESTUDO COMPARATIVO ..................................................................................... 45
6. DESENVOLVIMENTO ................................................................................................... 46
6.1. MODELO EXPERIMENTAL EM ESCALA REDUZIDA ...................................... 46
6.1.1. Caracterização petrográfica ................................................................................ 46
6.1.2. Massa específica ................................................................................................. 48
6.1.3. Ângulo de repouso .............................................................................................. 48
6.1.4. Esfericidade ........................................................................................................ 49
6.1.5. Construção do silo experimental em escala reduzida ......................................... 50
6.1.6. Ensaios de fluxo.................................................................................................. 52
6.2. MODELAGEM NUMÉRICA COM PFC2D ............................................................ 54
6.2.1. Parâmetros de construção do modelo numérico ................................................. 54
6.2.1.1. Formação de arco mecânico .................................................................................. 55
6.2.1.2. Ocorrência de fluxo pleno ..................................................................................... 55
6.2.2. Reprodução do silo experimental ....................................................................... 55
6.2.3. Estudo de caso .................................................................................................... 56
6.3. MODELAGEM MATEMÁTICA E DEDUÇÃO DE EQUAÇÕES ......................... 58
6.3.1. Expressão matemática da vazão volumétrica e mássica ..................................... 58
6.3.2. Modelo matemático da velocidade média de fluxo e decaimento da aceleração59
6.3.3. Expressão matemática das curvas de ajuste para resultados experimentais ....... 61
6.3.4. Expressão matemática para obtenção do comprimento de difusão .................... 61
7. RESULTADOS E DISCUSSÕES .................................................................................... 63
7.1. MODELO EXPERIMENTAL EM ESCALA REDUZIDA ...................................... 63
7.1.1. Tratamento estatístico dos ensaios de densidade ................................................ 63
7.1.2. Tratamento estatístico dos ensaios de ângulo de repouso .................................. 64
7.1.3. Tratamento estatístico dos ensaios de esfericidade ............................................ 67
7.1.4. Tratamento estatístico dos ensaios de fluxo ....................................................... 68
7.1.4.1. Vazão média de fluxo ........................................................................................... 68
7.1.4.2. Velocidade média de fluxo ................................................................................... 70
7.2. MODELAGEM NUMÉRICA COM PFC2D ............................................................ 71
7.2.1. Reprodução do silo experimental ....................................................................... 71
7.2.1.1. Faixa granulométrica -6,35 +5,66mm ................................................................... 71
7.2.1.2. Faixa granulométrica -5,66 +3,36mm ................................................................... 73
7.2.1.3. Faixa granulométrica -3,36 +2,38mm ................................................................... 75
7.2.2. Estudo de caso .................................................................................................... 78
7.2.2.1. Faixa granulométrica -25 +19mm ......................................................................... 78
7.2.2.2. Faixa granulométrica -19 +9,5mm ........................................................................ 80
7.2.2.3. Faixa granulométrica -9,5 +4,8mm ....................................................................... 83
7.3. MODELAGEM MATEMÁTICA E AJUSTES DE EQUAÇÕES ............................ 86
7.3.1. Determinação do comprimento de difusão a partir dos dados experimentais .... 86
7.3.2. Ajuste de equação para probabilidade de ocorrência de fluxo ........................... 87
7.3.3. Ajuste de equação para vazão média de fluxo em função do tamanho relativo de
partícula88
7.3.4. Ajuste equação para velocidade média de fluxo em função do tamanho relativo
de partícula ....................................................................................................................... 89
7.3.5. Obtenção do parâmetro de ajuste do modelo matemático da velocidade média de
fluxo e decaimento da aceleração ..................................................................................... 90
8. CONCLUSÕES ................................................................................................................ 93
8.1. QUADROS COMPARATIVOS FINAIS .................................................................. 93
8.2. CONCLUSÃO GERAL E SUGESTÃO DE TRABALHOS FUTUROS ................. 95
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 96
A. TABELA DE DADOS DOS ENSAIOS DE DENSIDADE .......................................... 103
B. TABELA DE DADOS DOS ENSAIOS DE ÂNGULO DE REPOUSO ....................... 104
C. TABELA DE DADOS DOS ENSAIOS DE ESFERICIDADE ..................................... 105
D. TABELA DE DADOS DOS ENSAIOS DE FLUXO .................................................... 106
a. FAIXA GRANULOMÉTRICA -6,35 +5,66mm ......................................................... 106
b. FAIXA GRANULOMÉTRICA -5,66 +3,36mm ......................................................... 108
c. FAIXA GRANULOMÉTRICA -3,36 +2,38mm ......................................................... 110
E. INTERVALOS DE CONFIANÇA DOS ENSAIOS REALIZADOS ........................... 112
a. DENSIDADE .............................................................................................................. 112
b. ÂNGULO DE REPOUSO ........................................................................................... 112
c. ESFERICIDADE ......................................................................................................... 114
d. VAZÃO MÉDIA DE FLUXO .................................................................................... 115
e. VELOCIDADE MÉDIA DE FLUXO ......................................................................... 116
F. ANÁLISES DE RESÍDUO DOS AJUSTES NÃO LINEARES REALIZADOS ......... 117
a. PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE FLUXO ............................................... 117
b. VAZÃO MÉDIA DE FLUXO .................................................................................... 117
c. VELOCIDADE MÉDIA DE FLUXO ......................................................................... 118
G. SCRIPTS EM LINGUAGEM FISH USADOS NO PFC2D .......................................... 119
a. REPRODUÇÃO DO SILO EXPERIMENTAL .......................................................... 119
i. Faixa granulométrica: 6,35 - 5,66 (mm) .................................................................. 119
ii. Faixa granulométrica: 5,66 - 3,36 (mm) .................................................................. 121
iii. Faixa granulométrica: 3,36 - 2,38 (mm) .............................................................. 123
b. ESTUDO DE CASO ................................................................................................... 125
i. Faixa granulométrica: 25,0 – 19,0 (mm) ................................................................. 125
ii. Faixa granulométrica: 19,0 – 9,5 (mm) ................................................................... 127
iii. Faixa granulométrica: 9,5 – 4,8 (mm) .................................................................. 129
H. DEMONSTRAÇÃO DA SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
PARCIAL DO MODELO CINEMÁTICO ............................................................................ 131
I. MODELAGEM DO COMPRIMENTO DE DIFUSÃO PARA MATERIAIS
POLIDISPERSOS .................................................................................................................. 132
J. FORMA VETORIAL DO CAMPO DE VELOCIDADES ............................................ 133
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1.1 – Exemplos de materiais granulares diversos. (a) Bolas de plástico. (b) Minério
britado. (c) e (d) Grãos de origem vegetal (adaptado de
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Granular_matter_examples.PNG, 2014). .............. 23
Figura 1.2 – Amostra de gnaisse britado, retirada do montante utilizado nos trabalhos e
ensaios desta dissertação. ......................................................................................................... 24
Figura 4.1 – Elipsoide de fluxo (adaptado de Brady & Brown, 2004) ..................................... 31
Figura 4.2 – Zonas de movimento durante o processo de fluxo de material (Janelid & Kvapil,
1966). ........................................................................................................................................ 31
Figura 4.3 – Silo experimental utilizado como estudo de caso (adaptado de Silva, 2005). ..... 34
Figura 4.4 – Exemplo de obstrução de fluxo granular devido à formação de formação de arco
mecânico (adaptado de Silva, 2005). ........................................................................................ 35
Figura 4.5 – a) Curvas de isovalores do campo de velocidade descendente. (b) Resultados dos
modelos experimental e numérico para dois valores de z: 9,1d e 29,1d (Jaehyuk et. al. 2005).
.................................................................................................................................................. 37
Figura 4.6 – Exemplo de simulação computacional de material granular, pelo método dos
elementos discretos, onde é mostrado um exemplo da cadeia de transmissão de esforços entre
as partículas (adaptado de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stress_transmision.svg,
2014). ........................................................................................................................................ 41
Figura 4.7 – Exemplo do efeito arco, e sua obstrução ao fluxo de material granular, simulada
pelo método dos elementos discretos (adaptado de
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Granular_jamming.svg, 2014). ............................. 42
Figura 6.1 – Amostra de mão do gnaisse utilizado para confecção das lâminas delgadas. ...... 46
Figura 6.2 – Seção polida da amostra de gnaisse, sem polarização, com escala. ..................... 47
Figura 6.3 – Seção polida da amostra de gnaisse, com polarização cruzada, com escala. ....... 47
Figura 6.4 – Definição do ângulo de repouso para pilhas cônicas de material granular
(adaptado de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Angulo_de_reposo.svg, 2014). ........ 48
Figura 6.5 – Clinômetro utilizado para medida do ângulo de repouso das pilhas cônicas. ...... 49
Figura 6.6 – Amostra de gnaisse britado utilizada na medida da esfericidade. ........................ 50
Figura 6.7 – Projeto conceitual do silo em escala reduzida. ..................................................... 51
Figura 6.8 – Detalhe do silo experimental em escala reduzida, em fase de construção. .......... 52
Figura 6.9 – Silo experimental cheio de gnaisse fragmentado, preparado para o ensaio de
fluxo. ......................................................................................................................................... 53
Figura 6.10 – Detalhe da formação de arco mecânico após ensaio de fluxo. ........................... 54
Figura 6.11 – Silo experimental construído em modelo de simulação numérica, no PFC2D. . 56
Figura 6.12 – Projeto conceitual da passagem de minério do estudo de caso, implementado no
modelo de simulação numérica. ............................................................................................... 57
Figura 6.13 – Silo do estudo de caso, construído em modelo de simulação numérica, no
PFC2D. ..................................................................................................................................... 58
Figura 6.14 – Modelo de decaimento da aceleração e evolução da velocidade, proposto para
os sistemas granulares partindo do repouso. ............................................................................ 60
Figura 7.1 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de densidade. ............ 63
Figura 7.2 – Histogramas das medidas de ângulo de repouso, para cada faixa granulométrica
separada, e para todos os resultados agrupados. ....................................................................... 64
Figura 7.3 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de ângulo de repouso
na faixa granulométrica -6,35 +5,66mm. ................................................................................. 65
Figura 7.4 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de ângulo de repouso
na faixa granulométrica -5,66 +3,36mm. ................................................................................. 65
Figura 7.5 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de ângulo de repouso
na faixa granulométrica -3,36 +2,38mm. ................................................................................. 66
Figura 7.6 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de ângulo de repouso
para todas as faixas granulométricas agrupadas. ...................................................................... 66
Figura 7.7 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de esfericidade. ......... 67
Figura 7.8 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de vazão média de
fluxo, na faixa granulométrica -5,66 +3,36mm, filtrados apenas os casos de ocorrência de
fluxo pleno. ............................................................................................................................... 69
Figura 7.9 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de vazão média de
fluxo, na faixa granulométrica -3,36 +2,38mm. ....................................................................... 69
Figura 7.10 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de velocidade média
de fluxo, na faixa granulométrica -5,66 +3,36mm, filtrados apenas os casos de ocorrência de
fluxo pleno. ............................................................................................................................... 70
Figura 7.11 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de velocidade média
de fluxo, na faixa granulométrica -3,36 +2,38mm. .................................................................. 71
Figura 7.12 – Modelo numérico do silo experimental, na faixa -6,35 +5,66mm. .................... 72
Figura 7.13 – Cadeias de esforços de compressão, transmitidos ao longo do material, na fase
de acomodação do modelo e preparação para o fluxo, na faixa granulométrica de -6,35
+5,66mm. .................................................................................................................................. 72
Figura 7.14 – Formação de arco mecânico, após liberação de fluxo no modelo numérico, na
faixa granulométrica de -6,35 +5,66mm. ................................................................................. 73
Figura 7.15 – Modelo numérico do silo experimental, na faixa de -5,66 +3,36mm. ............... 74
Figura 7.16 – Cadeias de esforços de compressão, transmitidos ao longo do material, na fase
de acomodação do modelo e preparação para o fluxo, na faixa granulométrica de -5,66
+3,36mm. .................................................................................................................................. 74
Figura 7.17 – Formação de arco mecânico, após liberação de fluxo no modelo numérico, na
faixa granulométrica de -5,66 +3,36mm. ................................................................................. 75
Figura 7.18 – Modelo numérico do silo experimental, na faixa de -3,36 +2,38mm. ............... 76
Figura 7.19 – Cadeias de esforços de compressão, transmitidos ao longo do material, na fase
de acomodação do modelo e preparação para o fluxo, na faixa granulométrica de -3,36
+2,38mm. .................................................................................................................................. 76
Figura 7.20 – Ocorrência de fluxo pleno no modelo numérico, na faixa granulométrica de -
3,36 +2,38mm. .......................................................................................................................... 77
Figura 7.21 – Histórico das velocidades descendentes de fluxo no modelo numérico, ao longo
de seu eixo, na faixa granulométrica de -3,36 +2,38mm. Velocidades expressas na coluna
esquerda, em cm/s, para cada ponto monitorado. ..................................................................... 78
Figura 7.22 – Modelo numérico do silo experimental, na faixa de -25 +19mm. ..................... 79
Figura 7.23 – Cadeias de esforços de compressão, transmitidos ao longo do material, na fase
de acomodação do modelo e preparação para o fluxo, na faixa granulométrica de -25 +19mm.
.................................................................................................................................................. 79
Figura 7.24 – Formação de arco mecânico, após liberação de fluxo no modelo numérico, na
faixa granulométrica de -25 +19mm. ....................................................................................... 80
Figura 7.25 – Modelo numérico do silo experimental, na faixa de -19 +9,5mm. .................... 81
Figura 7.26 – Cadeias de esforços de compressão, transmitidos ao longo do material, na fase
de acomodação do modelo e preparação para o fluxo, na faixa granulométrica de -19 +9,5mm.
.................................................................................................................................................. 81
Figura 7.27 – Ocorrência de fluxo pleno no modelo numérico, na faixa granulométrica de -19
+9,5mm. .................................................................................................................................... 82
Figura 7.28 – Histórico das velocidades descendentes de fluxo no modelo numérico, ao longo
de seu eixo, na faixa granulométrica de -19 +9,5mm. Velocidades expressas na coluna
esquerda, em cm/s, para cada ponto monitorado. ..................................................................... 83
Figura 7.29 – Modelo numérico do silo experimental, na faixa de -9,5 +4,8mm. ................... 84
Figura 7.30 – Cadeias de esforços de compressão, transmitidos ao longo do material, na fase
de acomodação do modelo e preparação para o fluxo, na faixa granulométrica de -9,5
+4,8mm. .................................................................................................................................... 84
Figura 7.31 – Ocorrência de fluxo pleno no modelo numérico, na faixa granulométrica de
9,5mm a 4,8mm. ....................................................................................................................... 85
Figura 7.32 – Histórico das velocidades descendentes de fluxo no modelo numérico, ao longo
de seu eixo, na faixa granulométrica de 9,5mm a 4,8mm. Velocidades expressas na coluna
esquerda, em cm/s, para cada ponto monitorado. ..................................................................... 86
Figura 7.33 – Ajuste não linear de curva sigmoide para a taxa de ocorrência de fluxo. .......... 88
Figura 7.34 – Ajuste não linear de curva sigmoide para a vazão média de fluxo. ................... 89
Figura 7.35 – Ajuste não linear de curva sigmoide para a velocidade média de fluxo. ........... 90
Figura 7.36 – Decaimento da aceleração e crescimento da velocidade ao longo do tempo, na
faixa granulométrica de -6,35 +5,66mm. ................................................................................. 91
Figura 7.37 – Decaimento da aceleração e crescimento da velocidade ao longo do tempo, na
faixa granulométrica de -5,66 +3,36mm. ................................................................................. 92
Figura 7.38 – Decaimento da aceleração e crescimento da velocidade ao longo do tempo, na
faixa granulométrica de -3,36 +2,38mm. ................................................................................. 92
Figura E.1 – Intervalo de confiança dos ensaios de densidade. ............................................. 112
Figura E.2 – Intervalo de confiança dos ensaios de ângulo de respouso na faixa
granulométrica -6,35 +5,66mm. ............................................................................................. 112
Figura E.3 – Intervalo de confiança dos ensaios de ângulo de respouso na faixa
granulométrica -5,66 +3,36mm. ............................................................................................. 113
Figura E.4 – Intervalo de confiança dos ensaios de ângulo de respouso na faixa
granulométrica -3,36 +2,38mm. ............................................................................................. 113
Figura E.5 – Intervalo de confiança dos ensaios de ângulo de respouso para a combinação de
todas as faixas granulométricas. ............................................................................................. 114
Figura E.6 – Intervalo de confiança dos ensaios de esfericidade. .......................................... 114
Figura E.7 – Intervalo de confiança dos ensaios de vazão média de fluxo na faixa
granulométrica -5,66 +3,36mm. ............................................................................................. 115
Figura E.8 – Intervalo de confiança dos ensaios de vazão média de fluxo na faixa
granulométrica -3,36 +2,38mm. ............................................................................................. 115
Figura E.9 – Intervalo de confiança dos ensaios de velocidade média de fluxo na faixa
granulométrica -5,66 +3,36mm. ............................................................................................. 116
Figura E.10 – Intervalo de confiança dos ensaios de velocidade média de fluxo na faixa
granulométrica -3,36 +2,38mm. ............................................................................................. 116
Figura F.1 – Análise de resíduos para a probabilidade de ocorrência de fluxo. ..................... 117
Figura F.2 – Análise de resíduos para a vazão média de fluxo. ............................................. 117
Figura F.3 – Análise de resíduos para a velocidade média de fluxo. ..................................... 118
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 – Algoritmo genérico, exemplificando o método dos elementos discretos (adaptado
de Göncü, 2012). ...................................................................................................................... 29
Tabela 4.2 – Correlação experimental entre a razão D/d e a ocorrência de fluxo (adaptado de
Hambley, 1987). ....................................................................................................................... 35
Tabela 6.1 – Parâmetros de entrada dos modelos numéricos. .................................................. 54
Tabela 7.1 – Resultado final dos ensaios de picnometria, para medida de densidade da
amostra de gnaisse. ................................................................................................................... 63
Tabela 7.2 – Resultado final dos ensaios de ângulo de repouso, para cada faixa granulométrica
separada, e para todos os resultados agrupados. ....................................................................... 67
Tabela 7.3 – Resultado final dos ensaios de esfericidade. ........................................................ 67
Tabela 7.4 – Resultados de vazão e velocidade médias de fluxo, e resultados do comprimento
de difusão, associado a cada faixa granulométrica onde ocorreu fluxo pleno. ........................ 86
Tabela 7.5 – Resultados da taxa de ocorrência de fluxo pleno, para as faixas granulométricas
utilizadas, mais o grupo de controle, em função da relação entre o diâmetro da passagem e o
diâmetro da partícula. ............................................................................................................... 87
Tabela 7.6 – Resultados da vazão média de fluxo, para as faixas granulométricas utilizadas,
mais o grupo de controle, em função da relação entre o diâmetro da passagem e o diâmetro da
partícula. ................................................................................................................................... 88
Tabela 7.7 – Resultados da velocidade média de fluxo, para as faixas granulométricas
utilizadas, mais o grupo de controle, em função da relação entre o diâmetro da passagem e o
diâmetro da partícula. ............................................................................................................... 89
Tabela 7.8 – Resultados da velocidade média de fluxo e dos coeficientes de decaimento de
aceleração, associados às faixas granulométricas onde ocorreu fluxo pleno. .......................... 91
Tabela 8.1 – Resumo das propriedades constitutivas, parâmetros matemáticos e velocidades
médias, segundo cada faixa granulométrica. ............................................................................ 93
Tabela 8.2 – Resumo das velocidades médias de fluxo, normalizadas com a largura da
abertura do silo. ........................................................................................................................ 94
Tabela 8.3 – Quadro comparativo qualitativo entre as 3 abordagens utilizadas. ..................... 94
Tabela A.1 –Dados dos ensaios de densidade. ....................................................................... 103
Tabela B.1 – Dados dos ensaios de ângulo de respouso. ....................................................... 104
Tabela C.1 – Dados dos ensaios de esfericidade. ................................................................... 105
Tabela D.1 – Dados dos ensaios de fluxo na faixa -6,35 +5,66mm. ...................................... 106
Tabela D.2 – Dados dos ensaios de fluxo na faixa -5,66 +3,36mm. ...................................... 108
Tabela D.3 – Dados dos ensaios de fluxo na faixa -3,36 +2,38mm. ...................................... 110
LISTA DE SÍMBOLOS E NOTAÇÕES
𝑄: Taxa de vazão mássica [g/s]
𝜌: Massa específica [g/cm³]
𝑔: Aceleração gravitacional [m/s²]
𝑘: Constante real qualquer
𝑢: Velocidade horizontal [cm/s]
𝑥: Velocidade descendente [cm/s]
𝑣: Velocidade [cm/s]
𝑏: Comprimento de difusão [cm]
𝑄′: taxa de fluxo por espessura unitária do silo [g/s.cm]
𝑧: Coordenada vertical
𝑑: Diâmetro da partícula
𝐷: Diâmetro da abertura de fluxo [mm]
𝑉𝑎𝑟(𝑘): Variância
𝛥𝑥: Deslocamento horizontal [mm]
𝛥𝑧: Deslocameanto vertical [mm]
𝑚: Massa [g]
𝜑: Ângulo de repouso [°]
𝛹: Esfericidade
𝑉: Volume [cm³]
�̇�: Vazão mássica [g/s]
�̇�: Vazão volumétrica [cm³/s]
𝐴: Área da seção de fluxo [cm²]
𝑡: Tempo [s]
𝛼: Coeficiente de decaimento da aceleração [1/s]
𝑠(𝑥): Curva sigmoide genérica, em função da variável 𝑥
𝜀: Excentricidade do elipsoide de fluxo
𝑎𝑛: Semi-eixo maior do elipsoide de fluxo
𝑏𝑛: Semi-eixo menor do elipsoide de fluxo
23
1. INTRODUÇÃO
Materiais granulares podem ser definidos como um conjunto ou aglomerado de sólidos
discretos, partículas macroscópicas caracterizadas pela perda de energia sempre que houver
interação entre elas. Um típico exemplo destas interações é o atrito durante a colisão entre
grãos. As partículas que compõem tal material devem ser grandes o suficiente para que não
estejam sujeitas a flutuações, movimentos de convecção de origem térmica, ou movimentos
brownianos. Dessa forma, o tamanho mínimo para o diâmetro das partículas é da ordem de
1µm, já o tamanho máximo varia conforme as dimensões do sistema a ser considerado. Nestes
casos, se torna mais importante o tamanho relativo entre as partículas e o sistema do que seu
tamanho absoluto (Nedderman, 1992). Alguns exemplos de materiais granulares são
mostrados na Figura 1.1.
Figura 1.1 – Exemplos de materiais granulares diversos. (a) Bolas de plástico. (b)
Minério britado. (c) e (d) Grãos de origem vegetal (adaptado de
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Granular_matter_examples.PNG, 2014).
Devido a seu comportamento mecânico bastante complexo, os meios granulares não se
enquadram perfeitamente em nenhum modelo mecânico de comportamento (sólidos ou
fluidos) e para alguns autores, o material granular trata-se de outro estado da matéria, com
modelos mecânicos e constitutivos específicos. Desta forma, foi criado um novo campo da
ciência, denominado mecânica dos meios granulares. Em diversas situações o material
(a) (b)
(c) (d)
24
granular ou particulado é produzido por algum processo de fragmentação e a denominação
material fragmentado é preferida. O gnaisse britado utilizado nos trabalhos e ensaios desta
dissertação é um exemplo de material fragmentado, conforme mostra a Figura 1.2.
Figura 1.2 – Amostra de gnaisse britado, retirada do montante utilizado nos
trabalhos e ensaios desta dissertação.
O manuseio de materiais granulares é essencial em diversos setores industriais, minero-
metalúrgico, e na agricultura. Na mineração é comum o fluxo por gravidade nas passagens de
material (minério, estéril ou de material de enchimento), nos silos (subterrâneos ou nas usinas
de tratamento de minérios), nos britadores, nos alimentadores de equipamentos e nos chutes
de descarga.
O fluxo de materiais granulares não é uma situação exclusiva dos métodos de lavra
subterrânea. Nas usinas de beneficiamento, temos retomadores de pilhas de homogeneização,
correias transportadoras e silos de carregamento de vagões. Na agricultura, por exemplo,
grãos são armazenados em silos, e estes são escoados para o abastecimento de equipamentos
de transporte. Em suma, em toda situação onde ocorre manuseio de materiais granulares, o
controle do fluxo é um fator condicionante das operações.
25
2. JUSTIFICATIVA
O desenvolvimento de um modelo coerente com o fenômeno real, e ao mesmo tempo de fácil
manuseio, com dados de entrada de obtenção simples é o grande obstáculo a ser vencido no
estudo de materiais granulares, no âmbito da engenharia e aplicações práticas. A própria
compreensão dos sistemas granulares já é um desafio que tem sido um grande campo de
estudos na física e ciência dos materiais.
Destaca-se a importância da aplicação dos materiais granulares nas diversas atividades da
humanidade, e especificamente, nas atividades ligadas à mineração, manuseio e transporte de
sólidos granulares. Uma grande fração dos materiais manipulados e processados na indústria
química, metalurgia, farmacêutica, e indústrias de processamento de alimentos são de
natureza granular. O fluxo e transporte destes materiais são muitas vezes operações críticas
nesses processos. Na maioria dos casos, o desenvolvimento de processos e equipamentos é
baseado principalmente na experiência e regras empíricas.
A necessidade da compreensão destes fenômenos e a criação de modelos coerentes com as
observações de campo são essenciais para a otimização dos processos envolvendo o manuseio
destes materiais. Não apenas a otimização de processos é possível, mas também a própria
viabilização técnica de alguns, pois muitas vezes o controle do fluxo, o transporte e o
manuseio de materiais granulares é uma condição limitante para a realização da atividade,
pois implica na redução dem erros de dimensionamento, custos operacionais, aumento da
produtividade, e até mesmo melhoria em ídices de segurança operacional de trabalho.
26
3. OBJETIVOS
3.1. OBJETIVOS GERAIS
Neste trabalho propõe-se um estudo do fluxo de materiais granulares através de 3 abordagens
distintas, um modelo matemático a partir das equações diferenciais básicas que governam o
problema, um modelo experimental em escala reduzida e um modelo numérico computacional
utilizando o método dos elementos discretos. As 3 abordagens foram desenvolvidas com base
nos modelos já existentes na literatura, e através de formulações físicas e matemáticas,
visando uma maior proximidade do modelo ao fenômeno real observado.
3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Caracterizar um material granular real, para realização do modelo experimental.
Desenvolver, construir e utilizar o modelo experimental, de modo a obter-se um banco
de dados para alimentar as demais abordagens.
Validar os dados experimentais.
Desenvolver e executar um modelo de simulação, reproduzindo o modelo
experimental.
Desenvolver um modelo matématico que descreva o fenômeno.
Confrontar os resultados das 3 abordagens.
27
4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
4.1. MECÂNICA DOS MEIOS GRANULARES
O estudo da mecânica dos meios granulares sempre foi um tema importante na engenharia.
Historicamente, a formulação matemática do assunto remonta ao trabalho pioneiro de Charles
Augustin de Coulomb em 1776. Em seu famoso livro de memórias, Coulomb postulou as
condições que devem ser preenchidas para a ruptura de um material granular. Este postulado
para a ruptura ainda permanece como um ponto determinante no estudo matemático da
mecânica de materiais granulares (Hill & Selvadurai, 2005).
Nedderman (1992) reuniu os principais tópicos da mecânica dos meios granulares em sua
obra, sendo esta bibliografia um dos alicerces na qual todas as discussões, proposições e
questionamentos deste trabalho se baseiam.
Recentemente, vários campos de pesquisa, incluindo, geomecânica, engenharias, química,
física e matemática aplicada, têm mostrado um interesse renovado em modelar com precisão
os materiais granulares e examinar, simultaneamente, a ruptura, fluxo e deformações.
As duas principais linhas de pesquisa são a abordagem mecânica contínua, e em
contraposição, a abordagem mecânica discreta.
4.1.1. Abordagem mecânica contínua
Modelos contínuos têm sido extensivamente usados para ambos os problemas estáticos e de
fluxo. Nestes modelos, as partículas são substituídas por um meio contínuo, e as grandezas,
tais como velocidade e densidade são assumidas como sendo funções posição e tempo. Como
os materiais granulares se mostram discretos macroscopicamente, pode parecer surpreendente
que modelos contínuos possam ser usados.
A matemática de um sistema discreto com um número de partículas muito grande permanece
além da capacidade humana, sendo necessário o uso de ferramentas computacionais. Sendo
assim, pode-se substituir um sistema discreto muito grande por um meio contínuo
equivalente, visto que as propriedades de meios contínuos são mais simples e fáceis de
gerenciar. Uma vez que o material granular é idealizado como um contínuo, está sujeito ao
equilíbrio e às leis da mecânica dos meios contínuos. As equações que contemplam a
28
totalidade destes sistemas contêm muitas variáveis e, portanto, devem ser complementadas
por leis constitutivas que descrevem o comportamento do material em resposta às forças
atuantes no meio. Atualmente, a falta de equações constitutivas válidas ao longo de uma
ampla variedade de materiais representa um grande obstáculo para a utilização desta
abordagem sem restrições (Rao & Nott, 2008).
Tüzün & Nedderman foram dois dos principais pesquisadores nesta área, sendo autores do
modelo cinemático, que é o principal modelo analítico de abordagem mecânica contínua
utilizado.
4.1.2. Abordagem mecânica discreta
Na abordagem discreta, cada partícula do meio granular é tratada individualmente, bem como
suas interações entre si, respeitando os princípios básicos da mecânica. Todo o tipo de força e
interação pode ser considerada nesta abordagem, como por exemplo o peso, atrito,
velocidade, momento, energia potencial, forças eletrostáticas, tensões, deformações e até
mesmo forças capilares. Uma que todas as equações que governam cada fator são
devidamente aplicadas, cada fator considerado será calculado partícula a partícula,
iterativamente.
Apesar de ser facilmente conceituado, a aplicação deste método requer algoritmos e rotinas
computacionais, de modo a processar o gigantesco volume de operações a ele inerentes. Para
tal, foi desenvolvido o método dos elementos discretos (DEM), que permite simular o
movimento e a interação de um grande número partículas, e é a principal ferramenta numérica
utilizada neste trabalho.
No DEM, as variáveis de maior importância são a densidade, tamanho das partículas
(granulometria), atrito entre partículas, atrito entre partícula e parede, rigidez normal, rigidez
cisalhante, e por fim, a geometria dos grãos e do meio confinante.
A densidade, assim como a granulometria estão diretamente ligadas ao peso das partículas,
bem como à intensidade das forças de interação entre as partículas e a pressão exercida nas
paredes. O atrito por sua vez, é propriedade intrínseca ao material, e juntamente com a força
peso, influencia na resistência ao fluxo. A rigidez normal e a rigidez cisalhante são
parâmetros relativos às interações de contato entre partículas e no caso do método dos
elementos discretos, estão ligadas à sobreposição de partículas, também chamada de overlap,
29
e à própria convergência do método, devido à sua instabilidade numérica. Por último, a
geometria do meio confinante tem influência em todo o processo, pois além de se relacionar
com o tamanho das partículas, afeta a distribuição de forças no meio, bem como a própria
ocorrência de fluxo.
A Tabela 4.1 resume conceitua uma rotina básica de operações, entrada de dados e condições
de contorno, de um algoritmo DEM. A implementação de fato deste algoritmo obviamente
deverá obedecer as regras, sintaxe e restrições inerentes à linguagem ou plataforma utilizada.
Tabela 4.1 – Algoritmo genérico, exemplificando o método dos elementos discretos
(adaptado de Göncü, 2012).
Entrada: Posições iniciais e velocidades das partículas
Tempo total de simulação T
Demais condições de contorno
Equilíbrio: Iniciar o sistema, de modo a estabilizar as velocidade e
forças desbalanceadas.
while t < T do
for TODAS AS PARTÍCULAS do
ENCONTRAR CONTATOS OU PARES COM INTERAÇÃO
CALCULAR E SOMAR FORÇAS
end for
for TODAS AS PARTÍCULAS do
INTEGRAR AS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
ATUALIZAR POSIÇÕES E VELOCIDADES
end for
ATUALIZAR CONDIÇÕES DE CONTORNO DO SISTEMA
t = t +∆t
end while
Resultados: Históricos de monitoramento
Campos vetoriais
Campos escalares
Neste trabalho, será utilizada a linguagem FISH, própria do software PFC2D, para a
implementação dos modelos estudados e para a execução das simulações.
Diversos autores se dedicaram ao estudo dos materiais granulares através do método dos
elementos discretos, incluindo os trabalhos de Balevičius (2008 e 2011), que estudou as
forças de atrito e a influência da geometria do meio; Cleary & Sawley (2002), que estudou o
efeito da forma das partículas; Coetzee & Els (2009 e 2010), que estudou a sensibilidade da
rigidez normal e cisalhante bem como a calibração do modelo; Göncü (2012), que trabalhou
com as propriedades constitutivas; e Mishra & Thornton (2002), que trabalhou com as
interações de contato entre partículas.
30
4.2. MODELOS FÍSICOS, EMPÍRICOS E EXPERIMENTAIS
Apesar da importância do estudo do fluxo de material desmontado em mina subterrânea, o
mecanismo de fluxo por gravidade de rochas desmontadas ou colapsadas ainda não é bem
compreendido. Ele foi alvo de estudos na década de 60 usando modelos físicos experimentais
(Kvapil, 1965 e Jenike, 1966), modelos matemáticos baseados na teoria da plasticidade e por
modelos em escala reduzida de galerias de produção no método de lavra por abatimento em
subnível, ou sublevel caving (Janelid & Kvapil, 1966), e modelos em escala de bancada
desenvolvidos por Beverloo et al. (1961).
4.2.1. Modelo físico do elipsoide de fluxo
O conceito clássico sobre o fluxo por gravidade de minério no método de lavra por
abatimento em subnível foi desenvolvido por Janelid e Kvapil em 1966, a partir de estudos
utilizando modelos físicos em escala reduzida. Os autores introduziram o conceito do
elipsoide de fluxo.
O material fragmentado fica armazenado dentro de um silo (galeria de produção). Quando
uma abertura é feita na parte de baixo do silo, o material flui por gravidade. Todo o material
descarregado após determinado período de tempo, origina-se de uma zona aproximadamente
elipsoidal, denominada elipsoide de movimento. O material contido entre o elipsoide de
movimento e o elipsoide limite desloca-se, mas não atinge o ponto de descarga. Além do
elipsoide limite não há movimentação de material. O cone invertido mostrado nas Figura 4.1 e
Figura 4.2 indica os grandes deslocamentos que ocorrem no canal central de fluxo, à medida
que o fluxo de material prossegue.
A forma do elipsoide de movimento é dada pela sua excentricidade, equação 4.1.
𝜀 =1
𝑎𝑛(𝑎𝑛
2 − 𝑏𝑛2)1 2⁄ (4.1)
31
Figura 4.1 – Elipsoide de fluxo (adaptado de Brady & Brown, 2004)
Figura 4.2 – Zonas de movimento durante o processo de fluxo de material (Janelid
& Kvapil, 1966).
32
Os principais fatores levados em conta neste modelo são:
Largura da galeria de extração
Altura da galeria de extração
Espaçamento entre galerias
Intervalo entre os subníveis
Altura de fluxo
Excentricidade do elipsoide
O modelo geométrico do elipsoide de fluxo, aplicado à mineração, foi estudado por Crispim
(2010), onde foi encontrado, mediante as premissas do modelo, um layout ótimo para o
dimensionamento da fatia de minério a ser desmontado e do layout na lavra subterrânea por
subníveis. Embora tenha mérito porque representa um ponto de partida importante no
dimensionamento de layouts de lavra por abatimento em subnível, trabalha com parâmetros
puramente geométricos, o que representa um problema, já que o fluxo de material
fragmentado depende de outros fatores, tais como as velocidades de fluxo, as forças que
atuam no material em fluxo, o empilhamento das partículas, a resistência de atrito entre
partículas dentre outros.
4.2.2. Modelo empírico para a taxa de fluxo
A velocidade média de fluxo, ou taxa de fluxo, também é um aspecto importante a ser
discutido. Usando experimentos de drenagem em silos cilíndricos com um orifício circular,
Beverloo, et al. (1961) desenvolveram uma expressão conhecida como a correlação de
Beverloo, onde a taxa de vazão mássica é proporcional à densidade e ao diâmetro das
partículas, à menos de uma constante, conforme mostra a equação 4.2.
𝑄 ∝ 𝜌 ∙ √𝑔 ∙ (𝐷 − 𝑘 ∙ 𝑑)2,5 (4.2)
Onde 𝑄 é a taxa mássica de fluxo, 𝜌 é densidade do material, e 𝑔 é aceleração gravitacional.
Entretanto, esta correlação inclui o fator 𝐷 − 𝑘 ∙ 𝑑, que pode ser interpretado como o diâmetro
efetivo da partícula, onde a constante de proporcionalidade empírica 𝑘 deve ser medida
experimentalmente para cada material, nas mesmas condições realizadas por Beverloo, e que
não tem um significado prático ou interpretação física. Desta forma, tal modelo, apesar de
possuir relação direta com a vazão, velocidade e tamanho das partículas, é aplicável apenas
33
aos materiais estudados pelo autor, bem como é difícil de ser generalizado para qualquer
material.
4.2.3. Modelo físico usado como estudo de caso
Silva (2005), através de modelos físicos em escala reduzida, estudou a influência de uma série
de fatores no comportamento do fluxo de material fragmentado, aplicáveis à mineração
subterrânea, dentre eles os principais foram:
Altura da coluna de material.
Inclinação da passagem.
Umidade.
Mudança de direção (joelho) na passagem.
Presença de argilosos e outros finos.
Problemas de obstrução de fluxo.
Seção de descarga do fluxo.
Faixa granulométrica do material.
Tipo de material (litologia).
Diversas alturas da coluna de material foram estudadas devido à influência que esta exerce na
pressão e esforços distribuídos, conhecido como efeito Jansen de parede. Destes diversos
valores, foi selecionada a altura de 1931mm, para calibração do modelo numérico apresentado
nesta dissertação.
A inclinação da passagem foi variada de modo a alterar a influência do atrito das partículas
com a parede do silo, sendo neste trabalho adotado o ângulo de 75°. A seção de descarga
utilizada, dentre as várias analisadas, foi fixada em 120mm. A mudança de direção, ou joelho,
na passagem de minério teve como objetivo avaliar a influência deste parâmetro geométrico
no fluxo granular. Neste trabalho, por questões de simplificação, foi reproduzido apenas uma
passagem sem mudança de direção.
A umidade foi estudada para se verificar a influência desta, tanto nas propriedades de atrito,
quanto na sua interação com os finos. Ambos parâmetros não foram abordados neste trabalho.
34
Dentre os problemas de obstrução de fluxo, que são o entupimento e a formação de arco
mecânico, também chamado de arco de tensão, neste trabalho foi abordado apenas a formação
de arco, uma vez que o entupimento está relacionado com a umidade e a presença de finos.
Por fim, Silva (2005) testou diversas granulometrias e combinações de material. Foram
testadas granulometrias variando desde areia de quartzo (1,2mm) à brita 2 (-25 +19mm), e
também as litologias gnaisse e dolomito. Neste trabalho, por simplificação e para permitir a
comparação com o modelo experimental desenvolvido, foram utilizados apenas os dados
relativos ao gnaisse britado, nas granulometrias de brita 2 (-25 +19mm), brita 1 (-19 +9,5mm)
e brita 0 (-9,5 +4,8mm), sem a presença de finos.
A Figura 4.3 mostra o modelo de Silva (2005), no qual foram variadas as diversas condições
citadas, visando obter correlações entre parâmetros, bem como definir fatores que impedem
ou que permitem o fluxo granular.
Figura 4.3 – Silo experimental utilizado como estudo de caso (adaptado de Silva,
2005).
35
A Figura 4.4 mostra um exemplo de obstrução do fluxo granular, fenômeno amplamente
estudado, contemplando diversas variações, nos trabalhos de Silva (2005).
Figura 4.4 – Exemplo de obstrução de fluxo granular devido à formação de
formação de arco mecânico (adaptado de Silva, 2005).
A partir deste trabalho foram confirmados em sua tese fatores de aplicação prática no
dimensionamento de situações de fluxo de material fragmentado, conforme mostra a Tabela
4.2, na qual a razão entre o diâmetro da abertura de descarga (D) e o diâmetro médio das
partículas (d), é diretamente ligada à frequência de ocorrência de fluxo granular.
Tabela 4.2 – Correlação experimental entre a razão D/d e a ocorrência de fluxo
(adaptado de Hambley, 1987).
Razão D/d Frequência de obstruções Tipo de fluxo
D/d > 5 Muito baixa a nula Fluxo pleno
5 > D/d > 3 Baixa a média Fluxo incerto
D/d < 3 Alta a muito alta Fluxo obstruído
36
Novos trabalhos na área tiveram como impulso estes resultados, a exemplo, o estudo de caso
tratado nesta dissertação, onde o silo experimental utilizado neste trabalho é reproduzido e
simulado numericamente com o auxílio do software PFC2D.
4.3. MODELOS ANALÍTICOS
Modelos cinemáticos simplificados envolvendo o conhecimento do perfil de velocidade de
materiais granulares em silos e câmaras foram desenvolvidos desde a década de 50
(Nedderman, 1982). O modelo cinemático parte de uma lei constitutiva básica que relaciona
componentes de velocidades, numa equação diferencial de forma similar à equação de difusão
(Tüzün & Nedderman, 1979) e é uma variação de modelo mais antigo, conhecido como
modelo de vazios (Void model, Litwiniszyn, 1963). O modelo de vazios, no âmbito teórico, é
mais completo porque apresenta um mecanismo microscópico para o fluxo. Entretanto, de
acordo com Jaehyuk et. al. (2005), experimentos recentes têm rejeitado firmemente o modelo
de vazios, pois o fluxo granular de fato ocorre em sistema aleatório, sendo necessário o uso de
modelos estatísticos. Uma alternativa, ainda segundo Jaehyuk et. al. (2005), é o modelo
estocástico denominado de modelo de pontos, que trabalha com arranjos aleatórios de
empilhamento.
Os modelos analíticos podem ser simulados computacionalmente, e confrontados com dados
experimentais, como mostra a Figura 4.5, onde Jaehyuk et. al. (2005) realizaram ensaios de
fluxo com esferas de vidro, e através da análise de imagem, confrontaram esses dados com o
modelo cinemático.
A abordagem contínua para o fluxo de materiais granulares é conveniente sob o ponto de vista
matemático, porque ao tratar o meio como contínuo, permite a utilização de equações
diferenciais para fins de modelagem. Deve-se levar em conta, no entanto, que a abordagem
contínua é válida quando o número de partículas for grande o suficiente em relação ao
tamanho do sistema, já que a menor escala do sistema corresponde ao tamanho de um grão.
No caso do fluxo em galerias de produção no método de lavra em subnível por abatimento é
uma abordagem, a princípio, que poderia ser considerada.
37
Figura 4.5 – a) Curvas de isovalores do campo de velocidade descendente. (b)
Resultados dos modelos experimental e numérico para dois valores de z: 9,1d e
29,1d (Jaehyuk et. al. 2005).
4.3.1. O modelo cinemático
Modelo inicialmente proposto por Tüzün & Nedderman (1979), baseado numa lei constitutiva
relativa das componentes da velocidade, conforme a equação 4.4.
𝑢 = 𝑏 ∙𝜕𝑣
𝜕𝑥 (4.3)
𝜕𝑢
𝜕𝑥= 𝑏 ∙
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2 (4.4)
Onde a velocidade horizontal 𝑢, é proporcional ao gradiente horizontal (isto é, a taxa de
cisalhamento) da velocidade descendente 𝑣. Este pressuposto baseia-se no fato de que as
partículas tendem a deslocar-se horizontalmente na direção da região de fluxo descendente
mais rápido, pois encontram mais espaço para mover-se nessa direção. Assumindo pequenas
variações de densidade, podemos admitir condição de incompressibilidade, conforme a
equação 4.6.
𝜕𝑢
𝜕𝑥−
𝜕𝑣
𝜕𝑧= 0 (4.5)
𝜕𝑢
𝜕𝑥=
𝜕𝑣
𝜕𝑧 (4.6)
38
Finalmente, combinando-se as equações, obtém-se a equação diferencial geral da velocidade
descendente, conforme a equação 4.7.
𝜕𝑣
𝜕𝑧= 𝑏 ∙
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2 (4.7)
Esta equação possui a forma da equação de difusão, onde a variável tempo é substituída pela
coordenada vertical 𝑧. Para a condição inicial onde o ponto de origem do fluxo é o ponto
(0; 0), num sistema de coordenadas bidimensional (ou aproximadamente bidimensional),
onde 𝑥 é a coordenada horizontal e 𝑧 a coordenada vertical, a solução analítica desta EDP é
apresentada na equação 4.8.
𝑣(𝑥, 𝑧) =𝑄′
√4𝜋∙𝑏∙𝑧∙ 𝑒
−𝑥2
4𝑏∙𝑧 (4.8)
Onde 𝑄′ é taxa de fluxo por espessura unitária do silo. A constante de proporcionalidade 𝑏,
também chamada de comprimento de difusão, é uma propriedade constitutiva do material,
normalmente associada ao diâmetro médio das partículas.
O modelo cinemático foi testado experimentalmente, e o parâmetro 𝑏 foi medido por vários
pesquisadores. Tüzün & Nedderman (1979) obtiveram a relação 𝑏 ≈ 2.24𝑑 para diferentes
tamanhos de partículas. Experiências realizadas por Mullins (1974) com partículas de minério
de ferro monodispersas resultaram em 𝑏 ≈ 2𝑑. O fato de um único parâmetro 𝑏 ser
suficiente para reproduzir o campo de fluxo total deve ser encarado como uma proposição
interessante do modelo cinemático. O grande desafio é definir este parâmetro com precisão e
confiabilidade, bem como se definir qual a correlação deste parâmetro com outras
propriedades intrínsecas ao material, como densidade, superfície específica, esfericidade,
índice de Hausner ou outros índices físicos aplicáveis ao material.
O modelo cinemático será o principal modelo analítico utilizado neste trabalho, sua
formulação teórica ser robusta, e sua implementação prática ser feita sem muitos problemas.
Ao final do trabalho é discutida de fato a melhor aplicação deste modelo.
4.3.2. O modelo de vazios
Mullins (1974), de forma análoga ao modelo cinemático, propôs que os espaços vazios dentro
do meio granular se difundem aleatoriamente, proporcionando o fluxo. No seu modelo, as
39
partículas se movem de forma passiva para baixo, em resposta ao movimento ascendente dos
espaços vazios.
Assumindo que os vazios se difundem por caminhos aleatórios não-interativos, Mullins
demonstrou que no limite onde o tamanho das partículas tende a zero, ou seja, o material se
torna de fato contínuo, a concentração (ou densidade de probabilidade) de vazios, 𝜌𝑣, satisfaz
a equação 4.9, muito similar à tradicional equação de difusão. A concentração de vazios no
sistema é proporcional à porosidade do meio granular.
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑧= 𝑏 ∙
𝜕2𝜌𝑣
𝜕𝑥2 (4.9)
Mullins (1974) propõe que a velocidade descendente 𝑣 é proporcional à frequência de
ocorrência da propagação de vazios e ,desta forma, o modelo apresenta uma resposta prática
análoga à do modelo cinemático. Esta afirmação é difícil de ser comprovada, uma vez que o
modelo de vazios é de difícil implementação experimental.
O modelo de vazios também nos dá uma interpretação para o parâmetro 𝑏, advindo do modelo
cinemático. Se um vazio sofre um deslocamento horizontal ao acaso, 𝛥𝑥𝑣, enquanto sobe 𝛥𝑧𝑣,
o parâmetro 𝑏 é dado pela equação 4.10.
𝑏 = 𝑉𝑎𝑟(𝛥𝑥𝑣)
2∙𝛥𝑧𝑣 (4.10)
Onde 𝑏 é o comprimento característico de difusão. No entanto, é muito difícil obter este
parâmetro diretamente desta equação, além de que 𝛥𝑥𝑣 e 𝛥𝑧𝑣 não podem ser medidos
experimentalmente. Em suma, o modelo dos vazios possui uma interpretação teórica
satisfatória acerca do comportamento dos materiais granulares, propondo que seu fluxo se dá
pela difusão de vazios, numa taxa proporcional a sua velocidade de escoamento, porém possui
diversas limitações práticas, visto que nenhum de seus parâmetros pode ser medido
experimentalmente, e confrontado com o modelo teórico. A única saída possível, é a
simulação computacional, como foi realizada nos trabalhos de Rycroft (2009), onde não só o
modelo de vazios, mas o modelo de pontos é simulado, utilizando o método dos elementos
discretos, e com o auxílio de ferramentas de análise de imagem digital.
Segundo Jaehyuk (2005), o modelo de vazios enfrenta problemas mais sérios quando ele é
usado para prever difusão e mistura. Se uma partícula marcada é colocada num fluxo
uniforme conduzido por espaços vazios, esta tem uma trajetória aleatória descendente, com
40
comprimento de difusão precisamente o mesmo comprimento dos espaços vazios em
movimento ascendente. Assim, as partículas são facilmente misturadas antes de descer
pequenos deslocamentos, o que vai contra os experimentos de mistura de materiais
granulares, pois se observa que a mistura de espécies granulares distintas está associada ao
grau de agitação e vibração do meio e isso não é levado em conta no modelo.
Neste trabalho optou-se por não utilizar o modelo de vazios, devido à sua complicada
implementação experimental, que requer instrumentação complexa, bem como sua simulação
numérica, que precisaria de dados experimentais para calibração.
4.3.3. O modelo de pontos
Bazant et al (2003) propuseram o modelo de pontos, que começa a partir de um mecanismo de
difusão cooperativa do volume livre em um empacotamento de partículas denso e aleatório.
Tem aproximadamente o mesmo comportamento do modelo cinemático (perfis de velocidade,
vazão, etc), porque também assume que as partículas se movem em resposta à difusão de
volume livre, mas este volume de vazio em excesso se difunde ascendentemente por pontos
ligeiramente maiores que o volume intersticial.
O parâmetro 𝑏, dvindo do modelo cinemático, também pode ser definido pelo comprimento
de difusão de pontos, conforme a equação 4.11, e é neste definição que este modelo de fato
difere do modelo cinemático, visto que Bazant propõe a obtenção deste parâmetro através de
métodos estatísticos.
𝑏 = 𝑉𝑎𝑟(𝛥𝑥𝑠)
2∙𝛥𝑧𝑠 (4.11)
Onde, 𝛥𝑥𝑠 e 𝛥𝑧𝑠 são os deslocamentos pontuais, nas direções 𝑥 e 𝑧, respectivamente. Ao
contrário de um vazio, que é uma vaga capaz de ser preenchida por uma partícula inteira, um
ponto carrega pequena fração que se propaga através de um espaço intersticial e faz com que
todas as partículas afetadas se movam, em média, como um bloco, com o mesmo
deslocamento na direção oposta ao ponto.
A concepção teórica deste modelo é muito interessante, mas do ponto de vista prático é difícil
de ser implementada. Desta forma, o modelo de pontos não foi utilizado neste trabalho.
41
4.4. MODELOS NUMÉRICOS E COMPUTACIONAIS
A abordagem apresentada por Neves (2009) condena a utilização de modelos contínuos, já
que os materiais granulares são discretos. O autor estuda o comportamento de um solo,
submetido a um ensaio de compressão biaxial, utilizando o método dos elementos discretos,
implementado no software comercial PFC2D (Itasca, 2008). As características discretas do
meio, segundo o autor, permitem a modelagem de comportamentos complexos do material,
quando submetidos a carregamentos e descarregamentos, os quais dificilmente seriam
modelados a partir de abordagens contínuas. Nesta abordagem, as forças de contato entre os
grãos podem ser calculadas através de leis constitutivas específicas, e representadas
graficamente como mostra a Figura 4.6. O comportamento tensão-deformação pode ser
modelado, bem como as relações existentes no contato entre grãos, formato das partículas, a
heterogeneidade na distribuição de vazios. Condições de contorno, por exemplo, em termos
de tensões de confinamento podem ser consideradas.
Figura 4.6 – Exemplo de simulação computacional de material granular, pelo
método dos elementos discretos, onde é mostrado um exemplo da cadeia de
transmissão de esforços entre as partículas (adaptado de
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stress_transmision.svg, 2014).
No método dos elementos discretos a segunda lei de Newton é resolvida para cada partícula,
iterativamente. A resposta mecânica do material em termos de deformabilidade, resistência é
reproduzida, com a determinação das propriedades micromecânicas do mesmo, como a
rigidez e o atrito tangencial. Entretanto, a determinação de certas propriedades do material,
42
como a rigidez normal e a rigidez cisalhante são complexas, o que dificulta a obtenção de
simulações de fluxo consistentes com a realidade.
É sempre necessária a realização de análises paramétricas, e a calibração do modelo através
de experimentos é desejável. O coeficiente de atrito, apesar de facilmente mensurável,
também pode ser ligeiramente calibrado, de modo a se compensar a dificuldade de se variar
os parâmetros rigidez normal e cisalhante, pois a estabilidade numérica do método é
extremamente sensível a estes.
Uma vantagem notória do método dos elementos discretos é sua possibilidade de cálculo de
obstruções ao fluxo de material, a partir de arranjos geométricos das partículas, conhecido
como efeito arco, como mostra a Figura 4.7.
Figura 4.7 – Exemplo do efeito arco, e sua obstrução ao fluxo de material granular,
simulada pelo método dos elementos discretos (adaptado de
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Granular_jamming.svg, 2014).
As seguintes hipóteses foram assumidas por Neves (2009) e se fazem necessárias em função
do código PFC2D utilizado em seu trabalho:
As partículas são tratadas como corpos rígidos.
Os contatos ocorrem nos pontos de tangência entre as partículas.
43
Permitem-se pequenas sobreposições das partículas nos pontos de contato, desde
que elas não excedam um limite pré-estabelecido, e permitam a convergência do
modelo.
A sobreposição de partículas, também chamada de overlap, depende diretamente da rigidez
normal e da rigidez cisalhante, e do sistema resistor/capacitor, inerente ao DEM, que são
parâmetros relativos às interações de contato entre partículas. Em relação ao tamanho das
partículas, é assumido que:
Podem existir ligações entre os pontos de contato.
As partículas são circulares.
Perfis de velocidade e deslocamento podem ser gerados através da aplicação do método dos
elementos discretos, permitindo a definição da geometria do fluxo.
44
5. METODOLOGIA
O trabalho foi dividido em 3 partes distintas, que ao final serão comparadas e discutidas, de
modo a alcançar os objetivos propostos.
5.1. MODELAGEM FÍSICA E EXPERIMENTAL
Modelagem física e experimental do fenômeno de fluxo granular, utilizando um modelo de
um silo em escala reduzida, visando a validação dos modelos matemático e numérico,
dividida nas etapas:
Caracterização petrográfica das amostras utilizadas, através da análise de amostras de
mão e da identificação da composição mineralógica através de lâminas delgadas.
Medida da massa específica da rocha, pelo método da picnometria.
Estimativa do ângulo de atrito do material granular, através da medida do ângulo de
repouso da pilha cônica para as faixas granulométricas utilizadas.
Estimativa da esfericidade dos grãos.
Construção do silo experimental em escala reduzida.
Realização de ensaios de fluxo para as faixas granulométricas utilizadas.
Obtenção de parâmetros de ajuste para o modelo numérico e matemático.
Tratamento estatístico dos resultados experimentais, utilizando o software Minitab 16.
5.2. MODELAGEM NUMÉRICA E COMPUTACIONAL
Modelagem numérica e computacional do fluxo granular, através do método dos elementos
discretos, utilizando o software PFC2D, dividida nas etapas:
Introdução dos parâmetros de análise e construção do modelo.
Desenvolvimento do script base em linguagem FISH.
Reprodução numérica do silo experimental.
Análise comparativa do modelo numérico com o modelo físico e retroanálise para
determinação de dados de entrada do modelo numérico.
Reprodução numérica de um estudo de caso.
Análise paramétrica do estudo de caso.
45
5.3. MODELAGEM MATEMÁTICA
Modelagem matemática a partir das equações diferenciais básicas que governam o problema.
Modelagem da taxa de vazão mássica.
Modelagem da velocidade média de fluxo.
Desenvolvimento de equações e curvas de ajustes para os dados experimentais.
Obtenção de parâmetros constitutivos do modelo matemático associados ao material
granular estudado, usando os resultados do modelo físico.
5.4. ESTUDO COMPARATIVO
Comparação entre as 3 etapas de modelagem do fluxo de material granular, a partir do ajuste
dos modelos numérico e matemático, com base nos resultados do modelo experimental.
46
6. DESENVOLVIMENTO
6.1. MODELO EXPERIMENTAL EM ESCALA REDUZIDA
6.1.1. Caracterização petrográfica
Foram utilizadas amostras de mão para a identificação macroscópica de minerais, e para a
confecção de lâminas delgadas, que foram analisadas através de microscópio ótico de luz
polarizada transmitida, conforme a Figura 6.1.
Figura 6.1 – Amostra de mão do gnaisse utilizado para confecção das lâminas
delgadas.
A partir das lâminas produzidas, foram analisados os minerais e contornos de grão, segundo
luz transmitida direta, conforme Figura 6.2.
47
Figura 6.2 – Seção polida da amostra de gnaisse, sem polarização, com escala.
E segundo luz com polarização cruzada, onde foi possível evidenciar os contornos de grão,
conforme Figura 6.3.
Figura 6.3 – Seção polida da amostra de gnaisse, com polarização cruzada, com
escala.
Desta forma, a amostra foi caracterizada como um gnaisse de composição granítica, o qual foi
utilizado sob granulometrias variadas, ao longo dos demais experimentos.
1 mm
1 mm
48
6.1.2. Massa específica
O ensaio de massa específica foi executado pelo método do picnômetro, que consiste em
pesar em uma balança analítica um picnômetro vazio, com o material, com água e finalmente
com água e o material. Esta medida deve ser feita em duplicata, para minimizar os erros. Foi
utilizado um pequeno fragmento de gnaisse, de modo que este pudesse passar pela abertura do
picnômetro de 100ml utilizado
A partir destas medidas a massa específica da amostra é obtida pela equação 6.1.
𝜌 =(𝑚𝑝𝑖𝑐+𝑚𝑎𝑡−𝑚𝑝𝑖𝑐)
(𝑚𝑝𝑖𝑐+á𝑔𝑢𝑎+𝑚𝑝𝑖𝑐+𝑚𝑎𝑡−𝑚𝑝𝑖𝑐−𝑚𝑝𝑖𝑐+𝑚𝑎𝑡+á𝑔𝑢𝑎) (6.1)
Este ensaio foi repetido 12 vezes, de modo a minimizar os erros decorrentes do método e para
análise estatística.
6.1.3. Ângulo de repouso
O ângulo de atrito do material granular foi estimado através da medida de seu ângulo de
repouso num pilha cônica, conforme a Figura 6.4.
Figura 6.4 – Definição do ângulo de repouso para pilhas cônicas de material
granular (adaptado de
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Angulo_de_reposo.svg, 2014).
As medidas foram realizadas com o auxílio de um clinômetro de barra, conforme a Figura 6.5.
49
Figura 6.5 – Clinômetro utilizado para medida do ângulo de repouso das pilhas
cônicas.
Foram utilizadas 3 diferentes faixas granulométricas, conforme a escala Tyler de peneiras de
laboratório. As faixas utilizadas foram de -6,35 +5,66mm, -5,66 +3,36mm e de -3,36
+2,38mm.
Estas faixas foram escolhidas visando facilitar o manuseio e a realização de todos os
experimentos, uma vez que em faixas granulométricas menores, ou seja, de partículas mais
finas, seria difícil a realização de medidas, e já em mais grosseiras, também seria impraticável
a realização dos experimentos, dado o grande volume de material que cada amostra iria gerar.
Para cada faixa foram tomadas 4 medidas, uma em cada flanco da pilha, e repetido o
procedimento 30 vezes, totalizando 120 medidas por faixa e 360 no total. A pilha foi obitido a
partir do basculamento de amostras de gnaisse britado em cada faixa granulométrica.
6.1.4. Esfericidade
Para a medida da esfericidade média das partículas, foi retirada uma amostra da faixa
granulométrica de -6,35 +5,66mm, conforme a Figura 6.6.
50
Figura 6.6 – Amostra de gnaisse britado utilizada na medida da esfericidade.
Para o cálculo da esfericidade, foi utilizada a relação de Wadell, conforme a equação 6.2,
devido a fácil obtenção de seus parâmetros de entrada. O diâmetro do grão, para o cálculo do
volume da esfera circunscrita equivalente foi obtido com o auxílio de um paquímetro. O
volume do grão foi obtido utilizando a diferença de volume ao se imergir o grão em uma
proveta parcialmente preenchida.
𝛹 = √𝑉𝑔𝑟ã𝑜
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
3 (6.2)
Foram realizadas 30 medidas no total, para futura validação estatística do experimento.
6.1.5. Construção do silo experimental em escala reduzida
Para os ensaios de fluxo, foi projetado um silo em escala reduzida, conforme a Figura 6.7.
Dada as suas dimensões, bem como sua espessura unitária, de 1” (25,4mm), este silo pode ser
considerado aproximadamente bidimensional.
51
Figura 6.7 – Projeto conceitual do silo em escala reduzida.
Este silo foi concebido visando o total controle do material a ser usado, para o monitoramento
de seu fluxo, para cada uma das faixas granulométricas utilizadas ao longo dos ensaios de
fluxo. Suas dimensões foram calculadas em função das faixas granulométricas utilizadas, de
modo a tornar viável a execução dos experimentos na escala de bancada.
O silo foi construído em madeira, com uma placa frontal de acrílico, para visualização interna,
e fixado em um suporte de bancada, conforme a Figura 6.8.
177,8mm
177,8mm
25,4mm
76,2mm
76,2mm
52
Figura 6.8 – Detalhe do silo experimental em escala reduzida, em fase de
construção.
6.1.6. Ensaios de fluxo
Os ensaios de fluxo foram realizados preenchendo-se o silo com o gnaisse britado, e
cronometrando-se seu tempo de fluxo após liberação, com o auxílio de um cronômetro de
mão, conforme a Figura 6.9. Ao final do fluxo, a massa passante e a massa retida, caso
ocorresse, eram pesadas, e então a partir da razão entre a massa passante e o tempo de fluxo,
era calculada a vazão mássica.
53
Figura 6.9 – Silo experimental cheio de gnaisse fragmentado, preparado para o
ensaio de fluxo.
As faixas utilizadas foram de -6,35 +5,66mm, -5,66 +3,36mm e de -3,36 +2,38mm, e mais 2
faixas granulométricas acima, de -7,94 +6,35mm e -9,52 +7,94mm, como grupo controle do
experimento, conforme a escala Tyler de peneiras de laboratório.
Optou-se pela utilização de um grupo controle primeiramente para certificar-se que as faixas
granulométricas escolhidas estavam no limiar entre a ocorrência ou não de fluxo pleno, e
também para gerar um maior número de pontos, em futuros ajustes das equaçõoes, visto que o
grupo controle é uma condição inicial onde se tem certeza de que não ocorre fluxo.
Foram realizadas 30 medidas para cada faixa granulométrica, totalizando 90 medidas de
tempo de fluxo, para futura validação estatística do experimento e para o cálculo de
parâmetros como a vazão média e a velocidade média de fluxo.
Ocasionalmente, ocorre a obstrução do fluxo, devido à formação de arco mecânico, conforme
a Figura 6.10.
54
Figura 6.10 – Detalhe da formação de arco mecânico após ensaio de fluxo.
6.2. MODELAGEM NUMÉRICA COM PFC2D
6.2.1. Parâmetros de construção do modelo numérico
Para a construção do modelo numérico no PFC2D, foram necessárias as coordenadas que
definiam a geometria do silo, e os parâmetros constitutivos e geométricos do material, como
densidade, ângulo de atrito entre partículas, ângulo de atrito entre a partícula e a parede do
silo, e diâmetro das partículas, conforme mostra a Tabela 6.1.
Tabela 6.1 – Parâmetros de entrada dos modelos numéricos.
Reprodução do modelo experimental Estudo de caso
Densidade: ρ (g/cm³) 2,63 2,63
Coeficiente de atrito entre partículas 0,7 0,7
Coeficiente de atrito entre partículas e parede 0,6 0,7
Coeficiente de rigidez normal (kN/m) 1x108 1x108
Coeficiente de rigidez cisalhante (kN/m) 1x108 1x108
55
Os valores adotados para os coeficientes de rigidez e cisalhante foram os valores default do
PFC2D, uma vez que ao se testarem valores ligeiramente diferentes, não foi atingida a
convergência do modelo, pois ordem de tamanho das partículas, ou o sistema travava, sem
fluxo, ou as partículas se sobrepunham em excesso, chegando ao caso extremo de passarem
pelas paredes do silo, em algumas das simulações teste.
Por definição padrão do PFC2D, as partículas dentro de uma faixa granulométrica
estabelecida são sorteadas aleatoriamente segundo uma distribuição estatística uniforme. É
possível a utilização de outros modelos de distribuição, mas optou-se pelo padrão devido ao
fato de não se conhecer exatamente a qual distribuição estatística os tamanhos das partículas
dentro de cada faixa se enquadram.
6.2.1.1. Formação de arco mecânico
Para a análise da formação de arco mecânico, os scripts foram programados até minimizar,
segundo uma precisão estabelecida pelo programa, as forças desbalanceadas, de modo a
acomodar e estabilizar o sistema. Em seguida, o sistema é novamente liberado e após segunda
convergência, são plotadas as cadeias de transmissão de esforços compressivos.
6.2.1.2. Ocorrência de fluxo pleno
Para o monitoramento da velocidade média de fluxo, foram marcados 10 pontos ao longo do
eixo do silo, a partir do centro de sua abertura, espaçados em intervalos iguais ao longo da
altura do silo, e monitorada a evolução da velocidade descendente de fluxo em cada ponto ao
longo de todas as iterações. Estes pontos ao longo do eixo foram escolhidos para ambos os
modelos numéricos visando acompanhar a evolução da velocidade descendente de fluxo, bem
como sua estabilização num patamar limite, do qual o fluxo entra em regime próximo ao
permanente.
6.2.2. Reprodução do silo experimental
O silo experimental em escala reduzida foi reproduzido segundo suas dimensões internas,
conforme a Figura 6.11.
56
Figura 6.11 – Silo experimental construído em modelo de simulação numérica, no
PFC2D.
6.2.3. Estudo de caso
Para complementar o trabalho, foi realizado um estudo de caso, a partir do modelo físico
construído por Silva (2005). Suas medidas foram implementadas segundo seu projeto
original, conforme a Figura 6.12.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
23:05:44 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -1.262e+002 <=> 1.262e+002 Y: -1.270e+001 <=> 2.667e+002
Wall
57
Figura 6.12 – Projeto conceitual da passagem de minério do estudo de caso,
implementado no modelo de simulação numérica.
Após sua implementação no script, podemos plotar a geometria do silo do estudo de caso,
conforme a Figura 6.13.
120mm 515mm
635mm
1931mm
75
°
58
Figura 6.13 – Silo do estudo de caso, construído em modelo de simulação numérica,
no PFC2D.
6.3. MODELAGEM MATEMÁTICA E DEDUÇÃO DE EQUAÇÕES
6.3.1. Expressão matemática da vazão volumétrica e mássica
Outra forma indireta de medir-se a vazão de fluxo de material granular é a partir do princípio
da continuidade do meio granular, onde a vazão volumétrica é assumida constante ao longo
do tempo. Desta forma, temos a equação 6.3.
𝑉 =𝑚
𝜌 (6.3)
A vazão volumétrica será dada pela equação 6.4.
�̇� =�̇�
𝜌 (6.4)
Que por sua vez, pode ser expressa em função da área da seção de fluxo e da velocidade linear
de fluxo, conforme a equação 6.7.
𝑣 ∙ 𝐴 =�̇�
𝜌 (6.5)
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
23:16:17 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -6.422e+002 <=> 1.278e+003 Y: -9.659e+001 <=> 2.028e+003
Wall
59
�̇� = 𝑣 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 (6.6)
�̇� = 𝑣 ∙ 𝐴 (6.7)
Desta forma, pode-se medir indiretamente uma série de parâmetros condicionantes do fluxo,
pois a taxa de vazão mássica média é facilmente obtida através do modelo físico. O parâmetro
𝑏, comprimento de difusão do modelo cinemático, pode ser obtido a partir desta abordagem,
pois conhecida a vazão média de fluxo num silo experimental, e a geometria do silo e a área
da seção de saída do fluxo, pode-se calcular a velocidade descendente. Obtida a velocidade
descendente no modelo físico, pode ser feita a retroanálise desta medida com o modelo
cinemático, e assim obtém-se o comprimento de difusão equivalente, para o material
estudado.
6.3.2. Modelo matemático da velocidade média de fluxo e decaimento da
aceleração
A partir da equação 6.5, que corresponde à vazão mássica, pode-se obter a equação da
velocidade linear de fluxo, dada pela equação 6.8.
𝑣 =�̇�
𝜌∙𝐴 (6.8)
Desta forma, é possível comparar os resultados dos modelos experimental, numérico e
matemático, visto que o parâmetro velocidade linear é comum entre eles.
Partindo da premissa de que o fluxo se inicia a partir do material em repouso, pois o silo é
abastecido com o material granular com a tampa fechada e só então o fluxo é liberado, é
possível elaborar um modelo para a estabilização da velocidade média final de fluxo, que será
chamada a partir daqui de velocidade limite de fluxo.
Desta forma, pode-se desenvolver uma equação diferencial a partir da definição de que a
aceleração é a variação da velocidade ao longo do tempo. Tal equação define o decaimento da
aceleração do sistema, partindo da aceleração gravitacional, no instante inicial, para uma
aceleração nula conforme o tempo decorre, tendendo ao infinito. Dadas estas considerações,
foi adotado um decaimento exponencial para esta queda da aceleração, visto que tal
comportamento matemático se enquadra nas premissas descritas para a elaboração do modelo,
conforme mostra a equação 6.9.
60
𝑑𝑣
𝑑𝑡= 𝑔 ∙ 𝑒−𝛼∙𝑡 (6.9)
A partir da integração desta equação, podemos chegar a uma função da velocidade com o
tempo, tendo o parâmetro 𝛼 como constante, conforme mostra a equação 6.11.
∫ 𝑑𝑣𝑡
0= ∫ 𝑔 ∙ 𝑒−𝛼∙𝑡𝑑𝑡
𝑡
0 (6.10)
𝑣(𝑡) =𝑔
𝛼∙ (1 − 𝑒−𝛼∙𝑡) (6.11)
Assim, podemos calcular a velocidade limite do sistema, bem como o parâmetro de
decaimento da aceleração, conforme a expressão 6.13.
𝑣𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚𝑡→∞
𝑔
𝛼∙ (1 − 𝑒−𝛼∙𝑡) (6.11)
𝑣𝑙𝑖𝑚 =𝑔
𝛼 (6.12)
𝛼 =𝑔
𝑣𝑙𝑖𝑚 (6.13)
Este modelo pode ser descrito genericamente conforme o gráfico da Figura 6.14.
Figura 6.14 – Modelo de decaimento da aceleração e evolução da velocidade,
proposto para os sistemas granulares partindo do repouso.
t →∞
Modelo de decaimento da aceleração
a(t)
v(t)
61
O parâmetro 𝛼, genericamente denominado coeficiente de decaimento da aceleração pode ser
interpretado como a taxa de decaimento da aceleração, ou também como o qual rápido o
sistema entra em regime de fluxo aproximadamente permanente.
6.3.3. Expressão matemática das curvas de ajuste para resultados experimentais
Para o ajuste não-linear dos diversos resultados experimentais para a probabilidade de
ocorrência de fluxo, vazão média de fluxo e velocidade média de fluxo, em função do
tamanho relativo das partículas, foi utilizada uma curva do tipo sigmoide, em sua forma
genérica, conforme a equação 6.14.
𝑠(𝑥) =𝑘1
𝑘2+𝑒−𝑘3∙𝑥 (6.14)
Foi escolhido tal grupo de curvas, dado que o comportamento geral dos pontos plotados varia
entre 2 patamares distintos, sendo este, portanto, um tipo de equação que atende ao ajuste
destes pontos.
Existem outras famílias de curvas que atendem ao ajuste desejado, mas não foi o foco deste
trabalho o estudo do melhor grupo de equações que ajustam os pontos obtidos, e sim obter
uma definição de padrão de comportamento para o fenômeno observado, que consiste em
ajustar uma nuvem de pontos que varia de forma crescente entre 2 patamares, convergindo
assintoticamente para ambos, nos extremos inferior e superior da nuvem.
6.3.4. Expressão matemática para obtenção do comprimento de difusão
Dada a equação diferencial geral 6.15, que define a velocidade descendente, no modelo
cinemático.
𝜕𝑣
𝜕𝑧= 𝑏 ∙
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2 (6.15)
E sua solução analítica, conforme a equação 6.16.
𝑣(𝑥, 𝑧) =𝑄
√4𝜋∙𝑏∙𝑧∙ 𝑒
−𝑥2
4𝑏∙𝑧 (6.16)
Considerando o eixo de simetria da solução, onde 𝑥 = 0, temos a expressão 6.18, que define o
comprimento de difusão em função da coordenada 𝑧 do sistema.
62
𝑣(𝑥 = 0, 𝑧) =𝑄
√4𝜋∙𝑏∙𝑧 (6.17)
𝑏(𝑧) =𝑄2
𝑣2∙4𝜋∙𝑧 (6.18)
Para se calcular o comprimento de difusão médio, relativo a todo o domínio do problema,
temos a equação 6.20.
�̅� = ∫(
𝑄2
𝑣2∙4𝜋∙𝑧)
𝑧
∞
0𝑑𝑧 (6.19)
�̅� =𝑄2
𝑣2∙4𝜋 (6.20)
Onde a vazão média por unidade de espessura do silo é dada pela equação 6.21.
𝑄 =�̇�
𝜌∙∆𝑦 (6.21)
63
7. RESULTADOS E DISCUSSÕES
7.1. MODELO EXPERIMENTAL EM ESCALA REDUZIDA
7.1.1. Tratamento estatístico dos ensaios de densidade
As 12 medidas de densidade foram validadas segundo o teste estatístico de normalidade de
Anderson-Darling, conforme a Figura 7.1.
2,82,72,62,52,4
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
ρ
Pe
rce
nt
Mean 2,627
StDev 0,07981
N 12
AD 0,542
P-Value 0,128
Probability Plot of ρNormal
Figura 7.1 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de densidade.
Desta forma, foi obtido como valor final de densidade do gnaisse utilizado, o resultado
apresentado na Tabela 4.1.
Tabela 7.1 – Resultado final dos ensaios de picnometria, para medida de densidade
da amostra de gnaisse.
ρ (g/cm³) Desvio padrão (g/cm³)
2,63 0,08
Tal valor se apresenta coerente com os valores de densidade média do gnaisse, amplamente
encontrados na literatura.
64
7.1.2. Tratamento estatístico dos ensaios de ângulo de repouso
Dado o grande volume de dados para o ângulo de repouso do material, inicialmente, foi
construído o histograma destes dados, segundo as diferentes faixas granulométricas, conforme
a Figura 7.2.
43,542,040,539,037,536,034,5
12
9
6
3
042,040,539,037,536,034,5
12
9
6
3
0
39,037,536,034,533,031,5
16
12
8
4
0424038363432
40
30
20
10
0
6,35 - 5,66 (mm)
Fre
qu
en
cy
5,66 - 3,36 (mm)
3,36 - 2,38 (mm) All data
Mean 38,70
StDev 2,178
N 120
6,35 - 5,66 (mm)
Mean 38,32
StDev 2,011
N 120
5,66 - 3,36 (mm)
Mean 35,41
StDev 1,852
N 120
3,36 - 2,38 (mm)
Mean 37,47
StDev 2,494
N 360
All data
HistogramNormal Distribution
Figura 7.2 – Histogramas das medidas de ângulo de repouso, para cada faixa
granulométrica separada, e para todos os resultados agrupados.
As 120 medidas de ângulo de repouso para cada faixa granulométrica, de -6,35 +5,66mm, -
5,66 +3,36mm e de -3,36 +2,38mm, foram validadas segundo o teste estatístico de
normalidade de Anderson-Darling, conforme a Figura 7.3, Figura 7.4 e Figura 7.5.
65
464442403836343230
99,9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0,1
phi
Pe
rce
nt
Mean 38,70
StDev 2,178
N 120
AD 0,397
P-Value 0,363
Probability Plot of 6,35 - 5,66 (mm)Normal
Figura 7.3 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de ângulo de
repouso na faixa granulométrica -6,35 +5,66mm.
4644424038363432
99,9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0,1
phi
Pe
rce
nt
Mean 38,32
StDev 2,011
N 120
AD 0,459
P-Value 0,259
Probability Plot of 5,66 - 3,36 (mm)Normal
Figura 7.4 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de ângulo de
repouso na faixa granulométrica -5,66 +3,36mm.
66
42403836343230
99,9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0,1
phi
Pe
rce
nt
Mean 35,41
StDev 1,852
N 120
AD 0,243
P-Value 0,761
Probability Plot of 3,36 - 2,38 (mm)Normal
Figura 7.5 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de ângulo de
repouso na faixa granulométrica -3,36 +2,38mm.
As 360 medidas de ângulo de repouso para todas as faixas granulométricas foram validadas
segundo o teste estatístico de normalidade de Anderson-Darling, conforme a Figura 7.6.
464442403836343230
99,9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0,1
phi
Pe
rce
nt
Mean 37,47
StDev 2,494
N 360
AD 0,501
P-Value 0,206
Probability Plot of All dataNormal
Figura 7.6 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de ângulo de
repouso para todas as faixas granulométricas agrupadas.
Desta forma, foram obtidos como valores finais de ângulo de repouso do gnaisse utilizado, os
resultados apresentados na Tabela 7.2.
67
Tabela 7.2 – Resultado final dos ensaios de ângulo de repouso, para cada faixa
granulométrica separada, e para todos os resultados agrupados.
d (mm) φ (°)
-6,35 +5,66 38,703
-5,66 +3,36 38,315
-3,36 +2,38 35,406
média total 37,475
Tais valores se apresentam coerentes com os valores de ângulo repouso do gnaisse,
amplamente encontrados na literatura.
7.1.3. Tratamento estatístico dos ensaios de esfericidade
As 30 medidas de esfericidade foram validadas segundo o teste estatístico de normalidade de
Anderson-Darling, conforme a Figura 7.7.
0,80,70,60,50,40,3
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
ψ
Pe
rce
nt
Mean 0,5355
StDev 0,09505
N 30
AD 0,323
P-Value 0,511
Probability Plot of ψNormal
Figura 7.7 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de
esfericidade.
Desta forma, foi obtido como valor final de esfericidade das partículas de gnaisse utilizadas, o
resultado apresentado na Tabela 7.3.
Tabela 7.3 – Resultado final dos ensaios de esfericidade.
Ψ Desvio padrão
0,535 0,095
68
Tais valores se apresentam coerentes com os valores de esfericidade para britas, amplamente
encontrados na literatura. Inicialmente, pretendia-se chegar a correlações matemáticas do
valor da esfericidade com alguma das variáveis inerentes ao fluxo granular (velocidade,
vazão, etc), mas como não foi possível variar o valor da esfericidade, este só foi usado para
conclusões qualitativas no trabalho.
7.1.4. Tratamento estatístico dos ensaios de fluxo
Os resultados dos ensaios de fluxo foram divididos segundo a vazão mássica média de fluxo e
segundo a velocidade média de fluxo, para as diversas faixas granulométricas utilizadas.
Entretanto, apenas em parte dos ensaios ocorreu fluxo pleno, sem a formação de arco
mecânico, portanto apenas os ensaios onde não houve obstrução foram analisados.
7.1.4.1. Vazão média de fluxo
Para o material na faixa granulométrica de -6,35 +5,66mm ocorreu fluxo pleno em apenas um
dos 30 ensaios de fluxo realizados. Dessa forma, não se aplica uma análise estatística da
vazão média de fluxo.
Para a faixa granulométrica de -5,66 +3,36mm foram obtidas 15 medidas de fluxo dentre os
30 ensaios realizados, e para a faixa de -3,36 +2,38mm, todos os 30 ensaios realizados
obtiveram fluxo pleno do material granular. Dessa forma, foi possível realizar uma análise
estatística segundo o teste de normalidade de Anderson-Darling dos resultados obtidos,
visando comprovar a confiabilidade e reprodutibilidade das medidas, conforme a Figura 7.8 e
Figura 7.9.
69
175170165160155150
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Flow rate (g/s)
Pe
rce
nt
Mean 160,8
StDev 5,706
N 15
AD 0,272
P-Value 0,617
Probability Plot of 5,66 - 3,36 (mm) filteredNormal
Figura 7.8 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de vazão
média de fluxo, na faixa granulométrica -5,66 +3,36mm, filtrados apenas os casos de
ocorrência de fluxo pleno.
250245240235230
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Flow rate (g/s)
Pe
rce
nt
Mean 239,0
StDev 4,124
N 30
AD 0,387
P-Value 0,367
Probability Plot of 3,36 - 2,38 (mm)Normal
Figura 7.9 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de vazão
média de fluxo, na faixa granulométrica -3,36 +2,38mm.
Estes resultados foram usados como parâmetros de ajuste e calibração dos modelos numérico
e matemático.
70
7.1.4.2. Velocidade média de fluxo
Para o material na faixa granulométrica de -6,35 +5,66mm ocorreu fluxo pleno em apenas um
dos 30 ensaios de fluxo realizados. Dessa forma, não se aplica uma análise estatística da
vazão média de fluxo.
Para a faixa granulométrica de -5,66 +3,36mm foram obtidas 15 medidas de fluxo dentre os
30 ensaios realizados, e para a faixa de -3,36 +2,38mm, todos os 30 ensaios realizados
obtiveram fluxo pleno do material granular. Dessa forma, foi possível realizar uma análise
estatística segundo o teste de normalidade de Anderson-Darling dos resultados obtidos,
visando comprovar a confiabilidade e reprodutibilidade das medidas, conforme a Figura 7.10
e Figura 7.11.
10,2510,009,759,509,259,008,758,50
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Velocity (cm/s)
Pe
rce
nt
Mean 9,474
StDev 0,3363
N 15
AD 0,272
P-Value 0,617
Probability Plot of 5,66 - 3,36 (mm) filteredNormal
Figura 7.10 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de
velocidade média de fluxo, na faixa granulométrica -5,66 +3,36mm, filtrados apenas
os casos de ocorrência de fluxo pleno.
71
14,7514,5014,2514,0013,7513,50
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Velocity (cm/s)
Pe
rce
nt
Mean 14,08
StDev 0,2431
N 30
AD 0,387
P-Value 0,367
Probability Plot of 3,36 - 2,38 (mm)Normal
Figura 7.11 – Teste de normalidade Anderson-Darling para as medidas de
velocidade média de fluxo, na faixa granulométrica -3,36 +2,38mm.
Estes resultados foram usados como parâmetros de ajuste e calibração dos modelos numérico
e matemático.
7.2. MODELAGEM NUMÉRICA COM PFC2D
7.2.1. Reprodução do silo experimental
Os resultados de modelo numérico utilizando o método dos elementos discretos foram
divididos segundo as diferentes faixas granulométricas usadas no modelo experimental,
visando a convergência de ambos os resultados.
7.2.1.1. Faixa granulométrica -6,35 +5,66mm
Ao se construir o modelo numérico, este foi preenchido com as partículas na faixa
granulométrica de -6,35 +5,66mm, conforme a Figura 7.12. Após a geração das partículas, foi
iniciada a iteração inicial do modelo, de modo a equilibrar as forças desbalanceadas do
sistema, na condição anterior ao fluxo, e plotadas as cadeias de transmissão de esforços
compressivos, conforme a Figura 7.13. Após a estabilização pré-fluxo do sistema, este foi
liberado e ocorreu a formação de arco mecânico, conforme a Figura 7.14.
72
Figura 7.12 – Modelo numérico do silo experimental, na faixa -6,35 +5,66mm.
Figura 7.13 – Cadeias de esforços de compressão, transmitidos ao longo do material,
na fase de acomodação do modelo e preparação para o fluxo, na faixa
granulométrica de -6,35 +5,66mm.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 20004 23:36:07 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -1.320e+002 <=> 1.320e+002 Y: -1.270e+001 <=> 2.667e+002
Wall
Ball
Axes Linestyle
X
Y
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 20004 23:35:43 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -1.320e+002 <=> 1.320e+002 Y: -1.270e+001 <=> 2.667e+002
Wall
Ball
CForce ChainsCompressionTension
Maximum = 1.055e+008
Axes Linestyle
X
Y
73
Figura 7.14 – Formação de arco mecânico, após liberação de fluxo no modelo
numérico, na faixa granulométrica de -6,35 +5,66mm.
O modelo numérico para a faixa granulométrica de -6,35 +5,66mm foi coerente com os dados
experimentais, onde ocorreu arco mecânico em todos os ensaios.
7.2.1.2. Faixa granulométrica -5,66 +3,36mm
Ao se construir o modelo numérico, este foi preenchido com as partículas na faixa
granulométrica de 5,66 +3,36mm, conforme a Figura 7.15. Após a geração das partículas, foi
iniciada a iteração inicial do modelo, de modo a equilibrar as forças desbalanceadas do
sistema, na condição anterior ao fluxo, e plotadas as cadeias de transmissão de esforços
compressivos, conforme a Figura 7.16. Após a estabilização pré-fluxo do sistema, este foi
liberado e ocorreu a formação de arco mecânico, conforme a Figura 7.17.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 20115 00:45:32 Sat Feb 22 2014
View Size: X: -1.320e+002 <=> 1.320e+002 Y: -1.270e+001 <=> 2.667e+002
Wall
Ball
CForce ChainsCompressionTension
Maximum = 1.029e+008
Axes Linestyle
X
Y
Velocity Maximum = 7.748e-013 Linestyle
74
Figura 7.15 – Modelo numérico do silo experimental, na faixa de -5,66 +3,36mm.
Figura 7.16 – Cadeias de esforços de compressão, transmitidos ao longo do material,
na fase de acomodação do modelo e preparação para o fluxo, na faixa
granulométrica de -5,66 +3,36mm.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 20002 23:03:14 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -1.320e+002 <=> 1.320e+002 Y: -1.270e+001 <=> 2.667e+002
Wall
Ball
Axes Linestyle
X
Y
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 20002 22:56:34 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -1.320e+002 <=> 1.320e+002 Y: -1.270e+001 <=> 2.667e+002
Wall
Ball
CForce ChainsCompressionTension
Maximum = 6.950e+007
Axes Linestyle
X
Y
75
Figura 7.17 – Formação de arco mecânico, após liberação de fluxo no modelo
numérico, na faixa granulométrica de -5,66 +3,36mm.
O modelo numérico para a faixa granulométrica de 5,66mm a 3,36mm foi parcialmente
coerente com os dados experimentais, onde ocorreu arco mecânico 50% dos ensaios. Não foi
possível calibrar o modelo de modo a obter-se fluxo pleno sem que os dados não ficassem
incoerentes, como por exemplo, ângulos de atrito tanto entre partículas quanto entre parede e
partícula muito baixos, ou também o ajuste de sobreposição das partículas, overlap,
extremamente alto.
7.2.1.3. Faixa granulométrica -3,36 +2,38mm
Ao se construir o modelo numérico, este foi preenchido com as partículas na faixa
granulométrica de -3,36 +2,38mm, conforme a Figura 7.18. Após a geração das partículas, foi
iniciada a iteração inicial do modelo, de modo a equilibrar as forças desbalanceadas do
sistema, na condição anterior ao fluxo, e plotadas as cadeias de transmissão de esforços
compressivos, conforme a Figura 7.19. Após a estabilização pré-fluxo do sistema, este foi
liberado e ocorreu fluxo granular pleno, conforme a Figura 7.20.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 20002 23:14:43 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -1.320e+002 <=> 1.320e+002 Y: -1.270e+001 <=> 2.667e+002
Wall
Ball
CForce ChainsCompressionTension
Maximum = 8.514e+007
Axes Linestyle
X
Y
76
Figura 7.18 – Modelo numérico do silo experimental, na faixa de -3,36 +2,38mm.
Figura 7.19 – Cadeias de esforços de compressão, transmitidos ao longo do material,
na fase de acomodação do modelo e preparação para o fluxo, na faixa
granulométrica de -3,36 +2,38mm.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 20002 23:34:54 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -1.320e+002 <=> 1.320e+002 Y: -1.270e+001 <=> 2.667e+002
Wall
Ball
Axes Linestyle
X
Y
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 20002 23:33:37 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -1.320e+002 <=> 1.320e+002 Y: -1.270e+001 <=> 2.667e+002
Wall
Ball
CForce ChainsCompressionTension
Maximum = 4.634e+007
Axes Linestyle
X
Y
77
Figura 7.20 – Ocorrência de fluxo pleno no modelo numérico, na faixa
granulométrica de -3,36 +2,38mm.
O modelo numérico para a faixa granulométrica de 3,36mm a 2,38mm foi coerente com os
dados experimentais, onde ocorreu fluxo granular pleno em todos os ensaios. Uma vez que
ocorreu fluxo, foi possível monitorar a evolução da velocidade média de fluxo, conforme o
histórico de velocidades apresentado na Figura 7.21.
Observou-se uma estabilização da velocidade média de fluxo, para cada ponto monitorado ao
longo do eixo do silo, onde o patamar médio de velocidade atingido foi de 12,95cm/s, valor
próximo e coerente com os resultados obtidos experimentalmente, de 14,085cm/s, na mesma
faixa granulométrica. Justifica-se a diferença entre os resultados devido ao fato de que no
modelo numérico as partículas são perfeitamente circulares, e dessa forma, cada partícula
possui uma seção maio, se individualmente observada. Dessa forma, o modelo numérico é
mais restritivo em relação ao fluxo, porém a ordem de grandeza das velocidades foi a mesma.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 65000 23:57:04 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -1.320e+002 <=> 1.320e+002 Y: -1.270e+001 <=> 2.667e+002
Wall
Ball
CForce ChainsCompressionTension
Maximum = 1.872e+006
Axes Linestyle
X
Y
Velocity Maximum = 7.911e+000 Linestyle
78
Figura 7.21 – Histórico das velocidades descendentes de fluxo no modelo numérico,
ao longo de seu eixo, na faixa granulométrica de -3,36 +2,38mm. Velocidades
expressas na coluna esquerda, em cm/s, para cada ponto monitorado.
7.2.2. Estudo de caso
Os resultados do modelo numérico utilizando o método dos elementos discretos foram
divididos segundo as diferentes faixas granulométricas usadas na reprodução do estudo de
caso, visando a convergência de ambos os resultados.
7.2.2.1. Faixa granulométrica -25 +19mm
Ao se construir o modelo numérico, este foi preenchido com as partículas na faixa
granulométrica de -25 +19mm (brita 2), conforme a Figura 7.22. Após a geração das
partículas, foi iniciada a iteração inicial do modelo, de modo a equilibrar as forças
desbalanceadas do sistema, na condição anterior ao fluxo, e plotadas as cadeias de
transmissão de esforços compressivos, conforme a Figura 7.23. Após a estabilização pré-fluxo
do sistema, este foi liberado e ocorreu a formação de arco mecânico, conforme a Figura 7.24.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 65000 23:57:30 Fri Feb 21 2014
History
2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
x10^4
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
x10^1
11 Ball 12 Y-Velocity Linestyle -1.332e+001 <-> -6.759e-001 12 Ball 836 Y-Velocity Linestyle -1.157e+001 <-> 1.627e+000 13 Ball 383 Y-Velocity Linestyle -1.128e+001 <-> 1.084e-001 14 Ball 671 Y-Velocity Linestyle -1.217e+001 <-> 4.456e-001 15 Ball 842 Y-Velocity Linestyle -1.355e+001 <-> 3.658e-002 16 Ball 794 Y-Velocity Linestyle -1.408e+001 <-> 2.401e-002 17 Ball 28 Y-Velocity Linestyle -1.317e+001 <-> 1.043e+000 18 Ball 657 Y-Velocity Linestyle -1.345e+001 <-> -1.414e-004 19 Ball 204 Y-Velocity Linestyle -1.396e+001 <-> 1.070e+000 20 Ball 834 Y-Velocity
79
Figura 7.22 – Modelo numérico do silo experimental, na faixa de -25 +19mm.
Figura 7.23 – Cadeias de esforços de compressão, transmitidos ao longo do material,
na fase de acomodação do modelo e preparação para o fluxo, na faixa
granulométrica de -25 +19mm.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 52295 23:42:00 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -6.859e+002 <=> 1.321e+003 Y: -9.659e+001 <=> 2.028e+003
Wall
Ball
Axes Linestyle
X
Y
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 52295 23:41:44 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -6.859e+002 <=> 1.321e+003 Y: -9.659e+001 <=> 2.028e+003
Wall
Ball
CForce ChainsCompressionTension
Maximum = 2.919e+008
Axes Linestyle
X
Y
80
Figura 7.24 – Formação de arco mecânico, após liberação de fluxo no modelo
numérico, na faixa granulométrica de -25 +19mm.
O modelo numérico para a faixa granulométrica de -25 +19mm foi coerente com os dados dos
trabalhos de Silva (2005), onde ocorreu arco mecânico em todos os ensaios. A ocorrência de
arco em ambos os modelos ocorreu pois apesar da relação D/d permitir um bom fluxo,
segundo a literatura, o atrito entre as partículas e a parede era alto o bastante para estabilizar
os arcos mecânicos. Numa situação de fluxo pleno, também são formados arcos mecânicos ao
longo do tempo de descarga, mas estes não conseguem se manter devido à força de atrito não
ser suficiente para tal.
7.2.2.2. Faixa granulométrica -19 +9,5mm
Ao se construir o modelo numérico, este foi preenchido com as partículas na faixa
granulométrica de -19 +9,5mm (brita 1), conforme a Figura 7.25. Após a geração das
partículas, foi iniciada a iteração inicial do modelo, de modo a equilibrar as forças
desbalanceadas do sistema, na condição anterior ao fluxo, e plotadas as cadeias de
transmissão de esforços compressivos, conforme a Figura 7.26. Após a estabilização pré-fluxo
do sistema, este foi liberado e ocorreu fluxo granular pleno, conforme a Figura 7.27.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 52295 00:55:04 Sat Feb 22 2014
View Size: X: -6.859e+002 <=> 1.321e+003 Y: -9.659e+001 <=> 2.028e+003
Wall
Ball
CForce ChainsCompressionTension
Maximum = 2.928e+008
Axes Linestyle
X
Y
81
Figura 7.25 – Modelo numérico do silo experimental, na faixa de -19 +9,5mm.
Figura 7.26 – Cadeias de esforços de compressão, transmitidos ao longo do material,
na fase de acomodação do modelo e preparação para o fluxo, na faixa
granulométrica de -19 +9,5mm.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 55035 23:18:41 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -6.859e+002 <=> 1.321e+003 Y: -9.659e+001 <=> 2.028e+003
Wall
Ball
Axes Linestyle
X
Y
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 55035 23:18:16 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -6.859e+002 <=> 1.321e+003 Y: -9.659e+001 <=> 2.028e+003
Wall
Ball
CForce ChainsCompressionTension
Maximum = 1.964e+008
Axes Linestyle
X
Y
82
Figura 7.27 – Ocorrência de fluxo pleno no modelo numérico, na faixa
granulométrica de -19 +9,5mm.
O modelo numérico para a faixa granulométrica de -19 +9,5mm foi coerente com os dados
dos trabalhos de Silva (2005), onde ocorreu fluxo granular pleno em todos os ensaios. Uma
vez que ocorreu fluxo, foi possível monitorar a evolução da velocidade média de fluxo,
conforme o histórico de velocidades apresentado na Figura 7.28.
Observou-se uma estabilização da velocidade média de fluxo, para cada ponto monitorado,
onde o patamar médio de velocidade atingido foi de 23,63cm/s, valor este coerente com os
resultados obtidos nos trabalhos de Silva (2005), que foram de 20,37cm/s. A diferença neste
caso se dá em decorrência da esfericidade das partículas reais, que em condições decorrentes
da escala do estudo de caso, permitem um empacotamento maior, bem como exercem mais
pressão nas paredes do silo, dificultando o fluxo.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 55035 23:15:37 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -6.859e+002 <=> 1.321e+003 Y: -9.659e+001 <=> 2.028e+003
Wall
Ball
CForce ChainsCompressionTension
Maximum = 3.163e+007
Axes Linestyle
X
Y
Velocity Maximum = 2.454e+001 Linestyle
83
Figura 7.28 – Histórico das velocidades descendentes de fluxo no modelo numérico,
ao longo de seu eixo, na faixa granulométrica de -19 +9,5mm. Velocidades
expressas na coluna esquerda, em cm/s, para cada ponto monitorado.
7.2.2.3. Faixa granulométrica -9,5 +4,8mm
Após a construção do modelo numérico, este foi preenchido com as partículas na faixa
granulométrica de -9,5 +4,8mm (brita 0), conforme a Figura 7.29. Após a geração das
partículas, foi iniciada a iteração inicial do modelo, de modo a equilibrar as forças
desbalanceadas do sistema, na condição anterior ao fluxo, e plotadas as cadeias de
transmissão de esforços compressivos, conforme a Figura 7.30. Após a estabilização pré-fluxo
do sistema, este foi liberado e ocorreu fluxo granular pleno, conforme a Figura 7.31.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 55035 00:58:54 Sat Feb 22 2014
History
4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4
x10^4
-3.0
-2.8
-2.6
-2.4
-2.2
-2.0
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
x10^1
10 Ball 131 Y-Velocity Linestyle -2.231e+001 <-> -5.751e+000 11 Ball 19 Y-Velocity Linestyle -2.323e+001 <-> -1.676e-007 12 Ball 213 Y-Velocity Linestyle -2.207e+001 <-> -4.523e-014 13 Ball 286 Y-Velocity Linestyle -2.625e+001 <-> -2.734e-013 14 Ball 90 Y-Velocity Linestyle -2.365e+001 <-> 8.779e-001 15 Ball 164 Y-Velocity Linestyle -2.428e+001 <-> 1.712e+000 16 Ball 218 Y-Velocity Linestyle -2.507e+001 <-> 7.831e-001 17 Ball 7 Y-Velocity Linestyle -2.638e+001 <-> 7.557e-001 18 Ball 1 Y-Velocity Linestyle -1.943e+001 <-> 8.737e-002 19 Ball 6 Y-Velocity
84
Figura 7.29 – Modelo numérico do silo experimental, na faixa de -9,5 +4,8mm.
Figura 7.30 – Cadeias de esforços de compressão, transmitidos ao longo do material,
na fase de acomodação do modelo e preparação para o fluxo, na faixa
granulométrica de -9,5 +4,8mm.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 87626 23:40:19 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -6.859e+002 <=> 1.321e+003 Y: -9.659e+001 <=> 2.028e+003
Wall
Ball
Axes Linestyle
X
Y
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 87626 23:40:11 Fri Feb 21 2014
View Size: X: -6.859e+002 <=> 1.321e+003 Y: -9.659e+001 <=> 2.028e+003
Wall
Ball
CForce ChainsCompressionTension
Maximum = 2.032e+008
Axes Linestyle
X
Y
85
Figura 7.31 – Ocorrência de fluxo pleno no modelo numérico, na faixa
granulométrica de 9,5mm a 4,8mm.
O modelo numérico para a faixa granulométrica de 9,5mm a 4,8mm foi coerente com os
dados dos trabalhos de Silva (2005), onde ocorreu fluxo granular pleno em todos os ensaios.
Uma vez que ocorreu fluxo, foi possível monitorar a evolução da velocidade média de fluxo,
conforme o histórico de velocidades apresentado na Figura 7.32.
Observou-se uma estabilização da velocidade média de fluxo, para cada ponto monitorado,
onde o patamar médio de velocidade atingido foi de 27,55cm/s, valor este coerente com os
resultados obtidos nos trabalhos de Silva (2005), que foram de 28,55cm/s. Nota-se que neste
caso a diferença de resultados foi bem menor, devido à melhor resposta da brita 0 ao fluxo, na
situação real.
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 87626 01:00:18 Sat Feb 22 2014
View Size: X: -6.859e+002 <=> 1.321e+003 Y: -9.659e+001 <=> 2.028e+003
Wall
Ball
CForce ChainsCompressionTension
Maximum = 1.542e+007
Axes Linestyle
X
Y
Velocity Maximum = 3.131e+001 Linestyle
86
Figura 7.32 – Histórico das velocidades descendentes de fluxo no modelo numérico,
ao longo de seu eixo, na faixa granulométrica de 9,5mm a 4,8mm. Velocidades
expressas na coluna esquerda, em cm/s, para cada ponto monitorado.
7.3. MODELAGEM MATEMÁTICA E AJUSTES DE EQUAÇÕES
7.3.1. Determinação do comprimento de difusão a partir dos dados
experimentais
A partir do modelo proposto no item 6.3.4, os resultados experimentais de vazão média de
fluxo foram desenvolvidos, usando a equação 7.1, desenvolvida passo a passo no item citado,
e o comprimento de difusão médio para cada faixa granulométrica onde ocorreu fluxo foi
calculado, segundo a equação 5.19, conforme mostra a Tabela 7.4.
�̅� =𝑄2
𝑣2∙4𝜋 (7.1)
Tabela 7.4 – Resultados de vazão e velocidade médias de fluxo, e resultados do
comprimento de difusão, associado a cada faixa granulométrica onde ocorreu fluxo
pleno.
d (mm) Q' (g/s) Q (g/s,cm) v (cm/s) b (cm)
-6,35 +5,66 134,512 20,136 7,928 0,513
-5,66 +3,36 160,800 24,071 9,474 0,514
-3,36 +2,38 239,000 35,777 14,080 0,514
PFC2D 4.00Job Title: Estudo de fluxo/forças’
View Title: ‘Silo’Step 87626 01:00:34 Sat Feb 22 2014
History
6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5
x10^4
-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
x10^1
10 Ball 343 Y-Velocity Linestyle -2.228e+001 <-> -5.663e+000 11 Ball 12 Y-Velocity Linestyle -2.892e+001 <-> -6.475e-010 12 Ball 325 Y-Velocity Linestyle -2.455e+001 <-> 2.921e+000 13 Ball 115 Y-Velocity Linestyle -2.484e+001 <-> 1.051e+000 14 Ball 250 Y-Velocity Linestyle -3.545e+001 <-> 9.982e-001 15 Ball 204 Y-Velocity Linestyle -3.068e+001 <-> 3.501e-001 16 Ball 262 Y-Velocity Linestyle -2.769e+001 <-> 1.111e-001 17 Ball 162 Y-Velocity Linestyle -3.034e+001 <-> 1.528e+000 18 Ball 260 Y-Velocity Linestyle -2.316e+001 <-> 1.158e+000 19 Ball 75 Y-Velocity
87
Observou-se que apesar das diferentes faixas granulométricas, o comprimento de difusão
médio foi aproximadamente o mesmo, portanto pode-se concluir que este é um parâmetro
intrínseco ao material estudado, brita de gnaisse, mas que não varia com o tamanho da
partícula, nas faixas granulométricas estudadas. Ressalta-se que na faixa granulométrica de
6,35mm a 5,66mm, apenas em um dentre os 30 ensaios ocorreu fluxo pleno, e este foi
utilizado como parâmetro.
7.3.2. Ajuste de equação para probabilidade de ocorrência de fluxo
A partir do modelo proposto no item 6.3.3, os resultados experimentais da probabilidade
ocorrência de fluxo foram modelados, conforme a Tabela 7.5.
Tabela 7.5 – Resultados da taxa de ocorrência de fluxo pleno, para as faixas
granulométricas utilizadas, mais o grupo de controle, em função da relação entre o
diâmetro da passagem e o diâmetro da partícula.
D/d Probabilidade de ocorrência de fluxo
2,00 (controle) 0,000
3,18 (controle) 0,000
4,00 1/30 = 0,033
4,49 15/30 = 0,500
7,56 30/30 = 1,000
Foi realizada a regressão não-linear da curva tipo sigmoide e foi obtido uma equação de ajuste
conforme o gráfico apresentado na Figura 7.33.
Conclui-se que para a base de dados utilizada, a regressão não-linear alcançou uma equação
de ajuste compatível e coerente com os dados de Hambley (1987), apresentados na Tabela 4.2
do item 4.2.3, podendo ser utilizada amplamente, para o gnaisse britado em questão.
88
8765432
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
D/d
Flo
w o
ccu
rre
nce
Fitted Line PlotFlow occurrence = 3,47984e-014 / (3,47984e-014 + exp(-2,63 * 0,53 * 4,95406 * 'D/d'))
Figura 7.33 – Ajuste não linear de curva sigmoide para a taxa de ocorrência de
fluxo.
7.3.3. Ajuste de equação para vazão média de fluxo em função do tamanho
relativo de partícula
A partir do modelo proposto no capítulo 6.3.3, os resultados experimentais da vazão média de
fluxo foram modelados, conforme a Tabela 7.6.
Tabela 7.6 – Resultados da vazão média de fluxo, para as faixas granulométricas
utilizadas, mais o grupo de controle, em função da relação entre o diâmetro da
passagem e o diâmetro da partícula.
D/d Vazão média de fluxo (g/s)
2,000 (controle) 0,000
3,175 (controle) 0,000
4,000 72,142
4,488 205,039
7,560 238,983
Foi realizado a regressão não-linear da curva tipo sigmoide, e foi obtido uma equação de
ajuste conforme o gráfico apresentado na Figura 7.34.
89
8765432
250
200
150
100
50
0
D/d
Flo
w r
ate
(g
/s)
Fitted Line PlotFlow rate (g/s) = 3,98479e-008 / (1,66776e-010 + exp(-2,63 * 0,53 * 3,88744 * 'D/d'))
Figura 7.34 – Ajuste não linear de curva sigmoide para a vazão média de fluxo.
Conclui-se que para a base de dados utilizada, a regressão não-linear alcançou uma equação
de ajuste compatível e coerente com os dados de Hambley (1987), apresentados na tabela 2 do
item 4.2.3, podendo ser utilizada amplamente, para o gnaisse britado em questão.
7.3.4. Ajuste equação para velocidade média de fluxo em função do tamanho
relativo de partícula
A partir do modelo proposto no capítulo 6.3.3, os resultados experimentais da velocidade
média de fluxo foram modelados, conforme a Tabela 7.7.
Tabela 7.7 – Resultados da velocidade média de fluxo, para as faixas
granulométricas utilizadas, mais o grupo de controle, em função da relação entre o
diâmetro da passagem e o diâmetro da partícula.
D/d Velocidade média de fluxo (cm/s)
2,000 0,000
3,175 0,000
4,000 4,252
4,488 12,084
7,560 14,085
Foi realizado a regressão não-linear da curva tipo sigmoide, e foi obtido uma equação de
ajuste conforme o gráfico apresentado na Figura 7.35.
90
8765432
14
12
10
8
6
4
2
0
D/d
Ve
locit
y (
cm
/s)
Fitted Line PlotVelocity (cm/s) = 2,34846e-009 / (1,66776e-010 + exp(-2,63 * 0,53 * 3,88744 * 'D/d'))
Figura 7.35 – Ajuste não linear de curva sigmoide para a velocidade média de fluxo.
Conclui-se que para a base de dados utilizada, a regressão não-linear alcançou uma equação
de ajuste compatível e coerente com os dados de Hambley (1987), apresentados na tabela 2 do
item 4.2.3, podendo ser utilizada amplamente, para o gnaisse britado em questão. Por fim,
ressalta-se que o silo utilizado foi único, e que a variação do ângulo das paredes levará a
resultados diferentes, não só com relação aos valores, mas também ao próprio
comportamento, a exemplo, uma parede de descarga horizontal levaria à formação de uma
zona com material parado, sem fluxo.
7.3.5. Obtenção do parâmetro de ajuste do modelo matemático da velocidade
média de fluxo e decaimento da aceleração
A partir do modelo proposto no item 6.3.2, os resultados experimentais de velocidade média
de fluxo foram calculados, conforme a equação 7.2, desenvolvida passo a passo no item
citado, e o coeficiente de decaimento da aceleração para cada faixa granulométrica onde
ocorreu fluxo foi obtido, conforme a Tabela 7.8.
𝛼 =𝑔
𝑣𝑙𝑖𝑚 (7.2)
91
Tabela 7.8 – Resultados da velocidade média de fluxo e dos coeficientes de
decaimento de aceleração, associados às faixas granulométricas onde ocorreu fluxo
pleno.
d (mm) v (cm/s) α (1/s)
-6,35 +5,66 7,93 1,237457
-5,66 +3,36 9,47 1,035465
-3,36 +2,38 14,08 0,696733
Foi construído o gráfico que descreve o decaimento da aceleração e crescimento da
velocidade média de fluxo, rumo a um patamar de velocidade, para a faixa granulométrica de
-6,35 +5,66mm, conforme a Figura 7.36.
Figura 7.36 – Decaimento da aceleração e crescimento da velocidade ao longo do
tempo, na faixa granulométrica de -6,35 +5,66mm.
Foi construído o gráfico que descreve o decaimento da aceleração e crescimento da
velocidade média de fluxo, rumo a um patamar de velocidade, para a faixa granulométrica de
-5,66 +3,36mm, conforme a Figura 7.37.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10
a(c
m/s
²) -
v(c
m/s
)
t(s)
Evolução da velocidade média de fluxo -6,35 +5,66mm
a(t)
v(t)
92
Figura 7.37 – Decaimento da aceleração e crescimento da velocidade ao longo do
tempo, na faixa granulométrica de -5,66 +3,36mm.
Foi construído o gráfico que descreve o decaimento da aceleração e crescimento da
velocidade média de fluxo, rumo a um patamar de velocidade, para a faixa granulométrica de
-3,36 +2,38mm, conforme a Figura 7.38.
Figura 7.38 – Decaimento da aceleração e crescimento da velocidade ao longo do
tempo, na faixa granulométrica de -3,36 +2,38mm.
Conclui-se que o modelo de decaimento da aceleração e estabilização da velocidade foi
coerente com o fenômeno físico real, e que tal comportamento também foi obtido no modelo
numérico.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10
a(c
m/s
²) -
v(c
m/s
)
t(s)
Evolução da velocidade média de fluxo -5,66 +3,36mm
a (t)
v (t)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 2 4 6 8 10
a(c
m/s
²) -
v(c
m/s
)
t(s)
Evolução da velocidade média de fluxo 3,36 - 2,38 (mm)
a (t)
v (t)
93
8. CONCLUSÕES
8.1. QUADROS COMPARATIVOS FINAIS
Na Tabela 8.1, é mostrada a comparação entre as diversas propriedades e parâmetros medidos
ao longo das 3 abordagens. Todos os parâmetros foram medidos com rigor e
representatividade estatística, sendo portanto, perfeitamente aplicáveis para o material
estudado.
Tabela 8.1 – Resumo das propriedades constitutivas, parâmetros matemáticos e
velocidades médias, segundo cada faixa granulométrica.
Faixa granulométrica (mm) -6,35 +5,66 -5,66 +3,36 -3,36 +2,38
Densidade: ρ (g/cm³) 2,63 2,63 2,63
Ângulo de repouso: φ (°) 38,703 38,315 35,406
Esfericidade de Waddel: Ψ 0,535 0,535 0,535
Comprimento de difusão: b (cm) 0,513 0,514 0,514
Coeficiente de decaimento da aceleração: α (1/s) 1,237 1,035 0,697
Modelo experimental: v (cm/s) 7,928 9,474 14,080
Modelo numérico: v (cm/s) - - 12,950
Inicialmente, a principal função do modelo experimental foi a obtenção dos parâmetros de
entrada dos demais modelos, analítico e numérico, e destes foram obtidos novos parâmetros.
Os parâmetros obtidos experimentalmente foram a densidade, ângulo de repouso,
esfericidade, vazão e velocidade médias de fluxo (que são proporcionais uma à outra). Os
parâmetros calculados a partir dos resultados experimentais foram o comprimento de difusão,
coeficiente de decaimento da aceleração e a velocidade média de fluxo do modelo numérico.
Ressalta-se que o parâmetro esfericidade (Ψ), apesar de medido no trabalho, não foi utilizado
diretamente, mas serviu de base para certas considerações qualitativas, por exemplo, o fato do
modelo numérico ocorrer fluxo apenas na menor granulometria, visto que neste, as partículas
são perfeitamente esféricas. O material real, por sua vez, não era perfeitamente esférico,
possibilitando diferentes arranjos e empacotamentos dentro do silo. Dessa forma, no modelo
experimental ocorreu fluxo em todas as faixas granulométricas, exceto as faixas controle,
porém com frequências de ocorrência distintas, onde medida que a granulometria diminuía, a
ocorrência de fluxo aumentava. No modelo matemático por sua vez, o tamanho das partículas
é sequer considerado, pois este parte de material contínuo equivalente, e a influência da
granulometria é indiretamente considerada através dos parâmetros constitutivos que
94
contemplam a resistência ao fluxo do meio. Na Tabela 8.2 é mostrada a comparação entre as
velocidades normalizadas dos modelos experimental e numérico.
Tabela 8.2 – Resumo das velocidades médias de fluxo, normalizadas com a largura
da abertura do silo.
Razão D/d 4 4,488 7,56
Modelo experimental: v (normalizada) 3,121 3,730 5,543
Modelo numérico: v (normalizada) - - 5,098
No modelo numérico, apenas nas simulações da maior razão D/d, ou seja, da menor
granulometria, ocorreu fluxo. As partículas no modelo numérico são perfeitamente esféricas,
apresentando portanto, maior volume para um mesmo diâmetro médio, se comparado às
partículas reais. Isso ocorre devido à equação de esfericidade adotada no trabalho. Apesar do
maior volume, as propriedades de contato utilizadas foram as mesmas do material real, e por
isso em certas faixas de granulometria maior, onde ocorreu fluxo com certa frequência no
modelo experimental, no modelo numérico por sua vez, sequer ocorreu fluxo. Na Tabela 8.3 é
mostrado um quadro comparativo final entre os diversos pontos positivos e negativos das 3
abordagens.
Tabela 8.3 – Quadro comparativo qualitativo entre as 3 abordagens utilizadas.
Modelo Pontos positivos Pontos negativos
Experimental
Didática
Fácil compreensão
Utilização de materiais granulares
reais
Reprodutibilidade
Possibilidade de combinar
diferentes fatores e variáveis
Dificuldades de construção do
modelo
Operação
Alterações no projeto/desenho
Instrumentação e monitoramento
Escala do modelo e
representatividade
Matemático
Abordagem robusta
Baseada em equações diferenciais
Fácil tratamento
Possibilidade de se resolver
numericamente as equações
diferencias, como alternativa
Simplificações inerentes ao modelo
Obtenção de solução analítica geral
Requer parâmetros constitutivos de
difícil obtenção
Numérico
Flexibilidade na variação de
parâmetros
Possiblidade de análises
paramétricas
Possibilidade de simulações
estocásticas
Monitoramento de variáveis de
interesse
Utilização de escala real
Simplificações inerentes ao método
Construção dos códigos e
implementação do modelo
Condições de contorno, devido à
instabilidade numérica, bem como
Instabilidade numérica e
convergência
Aplicação de parâmetros
constitutivos representativos
95
8.2. CONCLUSÃO GERAL E SUGESTÃO DE TRABALHOS FUTUROS
Individualmente, cada modelo apresentou resultados consistentes, e comparativamente foram
semelhantes entre si, sendo as pequenas diferenças de resultados devidamente compreendidas
e justificadas. Apesar das várias simplificações adotadas, os resultados forem satisfatórios.
Cada forma de abordagem, seja experimental, analítica ou numérica, complementa as lacunas
deixadas pelas outras, dessa forma, podemos dizer que os 3 modelos se completam na busca
de uma melhor compreensão do fluxo em meios granulares.
Conclui-se por fim, que para o material estudado, o gnaisse britado, podemos definir 3
padrões distintos de comportamento, em função de sua razão D/d. Para valores de razão D/d
menores que 4, dificilmente ocorrerá fluxo granular, sendo portanto dispensáveis ensaios
nesta faixa.
Para valores da razão D/d entre 4 e 5, entra-se numa zona de transição, na qual a ocorrência
de fluxo é incerta. Nesta faixa, recomenda-se o uso da simulação numérica, através do método
dos elementos discretos, pois este permite analisar os possíveis problemas de obstrução que
podem ocorrer nesta faixa.
Por último, para razões D/d maiores que 5, a ocorrência de fluxo granular é praticamente
certa, e desta forma, o modelo cinemático se torna a melhor opção, pois permite resultados
rápidos, robustos, como campos vetoriais e perfis de velocidade, e é de fácil implementação.
Todavia, em todos os casos, é necessário o conhecimento de parâmetros constitutivos do
material, e estes devem ser medidos com critério para que sejam representativos.
Em trabalhos futuros, poderá ser abordado o tratamento tridimensional destes modelos, ou
também a modelagem de materiais compostos por mais de uma faixa granulométrica, ou seja,
materiais polidispersos. Pode-se também testar outras formas de obtenção de parâmetros
constitutivos, como a densidade e ângulo de repouso. O ângulo de repouso, por exemplo,
poderia ser estimado a partir de um ensaio de inclinação, também conhecido como tilt test.
Por fim, como última sugestão, pode-se variar a geometria do silo, desde o ângulo de suas
paredes à própria escala do modelo.
96
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103
A. TABELA DE DADOS DOS ENSAIOS DE DENSIDADE
Tabela A.1 –Dados dos ensaios de densidade.
n m_pic (g) m_pic+min (g) m_pic+água (g) m_picn+min+água (g) ρ (g/cm³)
1 40,39 51,30 94,89 101,34 2,45
2 39,57 54,55 93,96 103,53 2,76
3 40,33 54,22 94,89 103,60 2,68
4 40,77 47,94 97,11 101,46 2,54
5 40,37 55,40 94,58 104,81 2,60
6 38,71 51,47 93,35 101,14 2,56
7 40,27 61,80 93,82 107,21 2,64
8 43,66 57,58 95,47 104,19 2,67
9 40,16 56,03 95,25 105,14 2,65
10 40,30 53,53 95,20 103,47 2,67
11 40,00 54,41 93,92 102,90 2,65
12 40,79 54,56 93,76 102,38 2,65
104
B. TABELA DE DADOS DOS ENSAIOS DE ÂNGULO DE REPOUSO
Tabela B.1 – Dados dos ensaios de ângulo de respouso.
6,35 - 5,66 (mm) 5,66 - 3,36 (mm) 3,36 - 2,38 (mm)
n f_1 f_2 f_3 f_4 f_1 f_2 f_3 f_4 f_1 f_2 f_3 f_4
1 42,3 41,1 42,4 37,0 34,4 37,7 36,7 34,9 33,7 33,7 34,0 36,0
2 42,1 37,5 41,9 37,3 37,7 35,7 38,5 35,3 34,5 34,4 36,8 34,8
3 35,7 38,6 40,3 35,8 38,3 37,3 39,2 36,3 32,0 32,5 31,6 30,5
4 43,1 39,8 41,7 37,9 39,4 37,3 41,1 35,5 35,0 36,3 36,9 33,7
5 39,4 38,4 39,4 35,7 40,9 36,6 39,1 36,4 35,5 33,8 34,5 34,0
6 37,4 37,2 37,1 34,4 36,1 37,1 38,1 34,4 36,4 35,2 37,2 33,1
7 36,4 38,8 40,0 35,0 39,3 38,5 41,6 38,5 34,6 34,0 37,1 33,7
8 42,4 38,4 40,0 36,8 39,7 35,3 39,0 34,4 36,5 34,0 36,1 33,9
9 34,1 37,2 39,4 34,9 39,8 39,0 37,4 36,5 33 32,2 34,7 32,1
10 36,6 40,4 37,2 35,4 36,8 39,4 39,3 38,0 37,8 34,5 37,2 36,4
11 37,6 39,3 38,1 42,4 37,7 39,1 37,4 36,0 36,8 35,0 38,7 33,7
12 37,5 41,3 37,8 39,8 37,2 40,5 36,6 40,6 35 35,2 38,2 33,2
13 37,8 38,9 36,6 38,4 41,1 39,6 39,1 34,7 36,1 37,8 34,7 36,0
14 35,8 39,6 39,4 35,1 38,3 40,4 37,8 37,2 34,8 34,2 34,0 31,2
15 37,0 42,0 37,8 36,8 39,0 40,0 40,3 39,3 39,2 37,2 38,5 35,4
16 35,8 41,2 39,0 37,6 36,4 39,7 41,4 38,4 36,8 35,8 37,6 36,0
17 37,0 40,6 40,3 36,1 36,4 40,6 38,5 39,3 35,4 37,6 39,0 35,3
18 43,1 38,5 38,9 39,5 35,5 38,6 37,7 36,0 35,1 37,2 36,9 37,0
19 37,7 35,2 34,6 36,4 41,6 41,2 39,1 40,0 35,2 36,1 36,1 34,5
20 41,6 39,9 40,0 35,6 37,5 39,9 37,7 40,8 36,2 38,7 37,2 36,0
21 38,8 39,4 38,9 35,1 34,0 37,1 38,5 34,0 37,8 35,9 35,2 35,0
22 38,6 36,9 37,4 40,4 38,3 40,5 39,1 37,1 38,2 37,1 38,9 36,3
23 37,8 39,1 40,2 38,0 36,6 40,3 39,9 37,2 35,6 37,8 36,3 35,9
24 38,2 42,2 38,4 35,8 38,1 35,8 39,7 33,7 34,6 34,3 36,3 32,5
25 38,5 39,4 40,1 37,1 41,3 42,5 40,4 36,8 34,4 33,5 37,0 34,0
26 42,0 42,7 40,1 39,5 38,7 41,0 40,0 42,9 33,9 35,2 35,6 35,2
27 38,9 42,2 39,8 39,6 37,3 39,4 38,5 36 35,1 32 36,9 31,9
28 42,0 39,7 39,1 36,0 39,9 39,3 40 38,8 36,2 32,9 36,7 32,6
29 40,6 40,4 40,8 40,3 35,5 40,9 38,6 36,7 38,3 39,1 37,2 35,2
30 36,9 41,5 39,6 38,3 37,8 41,2 39,2 40,5 35,2 34,4 35,4 34,6
105
C. TABELA DE DADOS DOS ENSAIOS DE ESFERICIDADE
Tabela C.1 – Dados dos ensaios de esfericidade.
d_grão (cm) V_inicial (cm³) V_total (cm³) V_grão (cm³) V_esfera (cm³) ψ
1,820 4,2 4,5 0,3 3,157 0,456
1,835 4,0 4,3 0,3 3,235 0,453
1,040 4,1 4,2 0,1 0,589 0,554
1,460 3,8 4,0 0,2 1,630 0,497
1,180 3,7 3,9 0,2 0,860 0,615
0,950 4,2 4,3 0,1 0,449 0,606
1,420 4,0 4,1 0,1 1,499 0,406
1,635 4,0 4,2 0,2 2,289 0,444
1,360 4,0 4,2 0,2 1,317 0,534
1,250 3,8 3,9 0,1 1,023 0,461
1,430 3,7 3,9 0,2 1,531 0,507
1,250 3,9 4,1 0,2 1,023 0,580
1,060 3,8 3,9 0,1 0,624 0,543
1,440 4,1 4,2 0,1 1,563 0,400
1,340 4,1 4,2 0,1 1,260 0,430
1,070 4,0 4,1 0,1 0,641 0,538
1,400 4,1 4,3 0,2 1,437 0,518
1,605 3,5 3,7 0,2 2,165 0,452
1,180 4,3 4,5 0,2 0,860 0,615
1,070 3,8 3,9 0,1 0,641 0,538
1,060 4,1 4,3 0,2 0,624 0,684
1,010 4,0 4,1 0,1 0,539 0,570
2,040 4,3 4,7 0,4 4,445 0,448
1,130 4,3 4,5 0,2 0,755 0,642
1,030 3,4 3,5 0,1 0,572 0,559
0,860 3,5 3,6 0,1 0,333 0,670
1,230 4,1 4,3 0,2 0,974 0,590
0,900 3,8 4,0 0,2 0,382 0,806
1,300 4,0 4,2 0,2 1,150 0,558
1,860 3,6 3,8 0,2 3,369 0,390
106
D. TABELA DE DADOS DOS ENSAIOS DE FLUXO
a. FAIXA GRANULOMÉTRICA -6,35 +5,66mm
Tabela D.1 – Dados dos ensaios de fluxo na faixa -6,35 +5,66mm.
n Δt (s) arco (s/n) m_passante (g) m_retida (g) m_total (g) ρ_aparente (g/cm³)
1 0,35 s 10,0 1245,0 1255,0 1,255
2 9,33 n 1255,0 0,0 1255,0 1,255
3 2,00 s 255,0 1015,0 1270,0 1,270
4 0,60 s 40,0 1215,0 1255,0 1,255
5 0,50 s 15,0 1255,0 1270,0 1,270
6 1,22 s 80,0 1225,0 1305,0 1,306
7 4,70 s 575,0 725,0 1300,0 1,301
8 1,91 s 260,0 1035,0 1295,0 1,296
9 1,60 s 180,0 1115,0 1295,0 1,296
10 1,23 s 15,0 1285,0 1300,0 1,301
11 1,00 s 25,0 1280,0 1305,0 1,306
12 5,91 s 800,0 490,0 1290,0 1,291
13 4,80 s 590,0 682,0 1272,0 1,272
14 0,31 s 5,0 1280,0 1285,0 1,286
15 4,46 s 585,0 710,0 1295,0 1,296
16 0,66 s 10,0 1285,0 1295,0 1,296
17 0,43 s 15,0 1280,0 1295,0 1,296
18 0,60 s 10,0 1285,0 1295,0 1,296
19 1,49 s 150,0 1160,0 1310,0 1,311
20 0,53 s 5,0 1305,0 1310,0 1,311
21 1,05 s 80,0 1225,0 1305,0 1,306
22 0,41 s 15,0 1285,0 1300,0 1,301
23 0,70 s 30,0 1265,0 1295,0 1,296
24 0,41 s 10,0 1285,0 1295,0 1,296
25 1,00 s 70,0 1235,0 1305,0 1,306
26 2,00 s 260,0 1045,0 1305,0 1,306
27 9,60 s 1175,0 130,0 1305,0 1,306
28 0,92 s 70,0 1235,0 1305,0 1,306
29 4,22 s 505,0 800,0 1305,0 1,306
30 0,66 s 15,0 1280,0 1295,0 1,296
107
n V_preenchido (cm³) V_vazios (cm³) %_vazios Q' (g/s) v (cm/s)
1 477,186 522,424 52,26% 28,571 1,684
2 477,186 522,424 52,26% 134,512 7,928
3 482,890 516,720 51,69% 127,500 7,514
4 477,186 522,424 52,26% 66,667 3,929
5 482,890 516,720 51,69% 30,000 1,768
6 496,198 503,412 50,36% 65,574 3,865
7 494,297 505,313 50,55% 122,340 7,210
8 492,395 507,215 50,74% 136,126 8,023
9 492,395 507,215 50,74% 112,500 6,630
10 494,297 505,313 50,55% 12,195 0,719
11 496,198 503,412 50,36% 25,000 1,473
12 490,494 509,116 50,93% 135,364 7,978
13 483,650 515,960 51,62% 122,917 7,244
14 488,593 511,017 51,12% 16,129 0,951
15 492,395 507,215 50,74% 131,166 7,730
16 492,395 507,215 50,74% 15,152 0,893
17 492,395 507,215 50,74% 34,884 2,056
18 492,395 507,215 50,74% 16,667 0,982
19 498,099 501,511 50,17% 100,671 5,933
20 498,099 501,511 50,17% 9,434 0,556
21 496,198 503,412 50,36% 76,190 4,490
22 494,297 505,313 50,55% 36,585 2,156
23 492,395 507,215 50,74% 42,857 2,526
24 492,395 507,215 50,74% 24,390 1,437
25 496,198 503,412 50,36% 70,000 4,125
26 496,198 503,412 50,36% 130,000 7,662
27 496,198 503,412 50,36% 122,396 7,213
28 496,198 503,412 50,36% 76,087 4,484
29 496,198 503,412 50,36% 119,668 7,053
30 492,395 507,215 50,74% 22,727 1,339
108
b. FAIXA GRANULOMÉTRICA -5,66 +3,36mm
Tabela D.2 – Dados dos ensaios de fluxo na faixa -5,66 +3,36mm.
n Δt (s) arco (s/n) m_passante (g) m_retida (g) m_total (g) ρ_aparente (g/cm³)
1 7,34 n 1260,0 0,0 1260,0 1,260
2 5,00 s 745,0 515,0 1260,0 1,260
3 8,00 s 1160,0 105,0 1265,0 1,265
4 7,39 s 1145,0 110,0 1255,0 1,255
5 1,50 s 205,0 1060,0 1265,0 1,265
6 3,84 s 585,0 675,0 1260,0 1,260
7 8,29 n 1260,0 0,0 1260,0 1,260
8 7,72 n 1235,0 0,0 1235,0 1,235
9 7,30 n 1245,0 0,0 1245,0 1,245
10 5,59 s 940,0 315,0 1255,0 1,255
11 7,66 n 1235,0 0,0 1235,0 1,235
12 7,72 n 1235,0 0,0 1235,0 1,235
13 1,60 s 170,0 1060,0 1230,0 1,230
14 7,56 n 1235,0 0,0 1235,0 1,235
15 7,52 n 1245,0 0,0 1245,0 1,245
16 7,75 n 1230,0 0,0 1230,0 1,230
17 7,50 s 1130,0 95,0 1225,0 1,225
18 7,00 s 1025,0 225,0 1250,0 1,250
19 6,40 s 950,0 295,0 1250,0 1,250
20 1,69 s 140,0 1100,0 1240,0 1,240
21 7,84 n 1245,0 0,0 1245,0 1,245
22 8,40 s 1160,0 60,0 1220,0 1,220
23 3,00 s 380,0 865,0 1245,0 1,245
24 7,73 n 1210,0 0,0 1210,0 1,210
25 7,83 n 1225,0 0,0 1225,0 1,225
26 5,50 s 795,0 435,0 1230,0 1,230
27 8,11 n 1230,0 0,0 1230,0 1,230
28 7,62 n 1235,0 0,0 1235,0 1,235
29 7,60 n 1237,0 0,0 1237,0 1,237
30 0,69 s 1235,0 5,0 1240,0 1,240
109
n V_preenchido (cm³) V_vazios (cm³) %_vazios Q' (g/s) v (cm/s)
1 479,087 520,523 52,07% 171,662 10,117
2 479,087 520,523 52,07% 149,000 8,781
3 480,989 518,621 51,88% 145,000 8,546
4 477,186 522,424 52,26% 154,939 9,131
5 480,989 518,621 51,88% 136,667 8,055
6 479,087 520,523 52,07% 152,344 8,978
7 479,087 520,523 52,07% 151,990 8,958
8 469,582 530,028 53,02% 159,974 9,428
9 473,384 526,226 52,64% 170,548 10,051
10 477,186 522,424 52,26% 168,157 9,910
11 469,582 530,028 53,02% 161,227 9,502
12 469,582 530,028 53,02% 159,974 9,428
13 467,681 531,929 53,21% 106,250 6,262
14 469,582 530,028 53,02% 163,360 9,628
15 473,384 526,226 52,64% 165,559 9,757
16 467,681 531,929 53,21% 158,710 9,354
17 465,779 533,831 53,40% 150,667 8,880
18 475,285 524,325 52,45% 146,429 8,630
19 475,285 524,325 52,45% 148,438 8,748
20 471,483 528,127 52,83% 82,840 4,882
21 473,384 526,226 52,64% 158,801 9,359
22 463,878 535,732 53,59% 138,095 8,139
23 473,384 526,226 52,64% 126,667 7,465
24 460,076 539,534 53,97% 156,533 9,225
25 465,779 533,831 53,40% 156,450 9,220
26 467,681 531,929 53,21% 144,545 8,519
27 467,681 531,929 53,21% 151,665 8,938
28 469,582 530,028 53,02% 162,073 9,552
29 470,342 529,268 52,95% 162,763 9,593
30 471,483 528,127 52,83% 1789,855 105,486
110
c. FAIXA GRANULOMÉTRICA -3,36 +2,38mm
Tabela D.3 – Dados dos ensaios de fluxo na faixa -3,36 +2,38mm.
n Δt (s) arco (s/n) m_passante (g) m_retida (g) m_total (g) ρ_aparente (g/cm³)
1 5,56 n 1320,0 0,0 1320,0 1,321
2 5,62 n 1335,0 0,0 1335,0 1,336
3 5,66 n 1350,0 0,0 1350,0 1,351
4 5,81 n 1345,0 0,0 1345,0 1,346
5 5,66 n 1345,0 0,0 1345,0 1,346
6 5,62 n 1345,0 0,0 1345,0 1,346
7 5,62 n 1330,0 0,0 1330,0 1,331
8 5,43 n 1325,0 0,0 1325,0 1,326
9 5,69 n 1335,0 0,0 1335,0 1,336
10 5,53 n 1330,0 0,0 1330,0 1,331
11 5,34 n 1330,0 0,0 1330,0 1,331
12 5,50 n 1330,0 0,0 1330,0 1,331
13 5,68 n 1330,0 0,0 1330,0 1,331
14 5,56 n 1335,0 0,0 1335,0 1,336
15 5,47 n 1335,0 0,0 1335,0 1,336
16 5,60 n 1335,0 0,0 1335,0 1,336
17 5,53 n 1335,0 0,0 1335,0 1,336
18 5,69 n 1345,0 0,0 1345,0 1,346
19 5,53 n 1320,0 0,0 1320,0 1,321
20 5,53 n 1330,0 0,0 1330,0 1,331
21 5,59 n 1325,0 0,0 1325,0 1,326
22 5,44 n 1330,0 0,0 1330,0 1,331
23 5,50 n 1325,0 0,0 1325,0 1,326
24 5,84 n 1335,0 0,0 1335,0 1,336
25 5,44 n 1335,0 0,0 1335,0 1,336
26 5,63 n 1340,0 0,0 1340,0 1,341
27 5,69 n 1340,0 0,0 1340,0 1,341
28 5,53 n 1330,0 0,0 1330,0 1,331
29 5,56 n 1325,0 0,0 1325,0 1,326
30 5,62 n 1340,0 0,0 1340,0 1,341
111
n V_preenchido (cm³) V_vazios (cm³) %_vazios Q' (g/s) v (cm/s)
1 501,901 497,709 49,79% 237,410 13,992
2 507,605 492,005 49,22% 237,544 14,000
3 513,308 486,302 48,65% 238,516 14,057
4 511,407 488,203 48,84% 231,497 13,643
5 511,407 488,203 48,84% 237,633 14,005
6 511,407 488,203 48,84% 239,324 14,105
7 505,703 493,907 49,41% 236,655 13,947
8 503,802 495,808 49,60% 244,015 14,381
9 507,605 492,005 49,22% 234,622 13,828
10 505,703 493,907 49,41% 240,506 14,174
11 505,703 493,907 49,41% 249,064 14,679
12 505,703 493,907 49,41% 241,818 14,252
13 505,703 493,907 49,41% 234,155 13,800
14 507,605 492,005 49,22% 240,108 14,151
15 507,605 492,005 49,22% 244,059 14,384
16 507,605 492,005 49,22% 238,393 14,050
17 507,605 492,005 49,22% 241,410 14,228
18 511,407 488,203 48,84% 236,380 13,931
19 501,901 497,709 49,79% 238,698 14,068
20 505,703 493,907 49,41% 240,506 14,174
21 503,802 495,808 49,60% 237,030 13,970
22 505,703 493,907 49,41% 244,485 14,409
23 503,802 495,808 49,60% 240,909 14,198
24 507,605 492,005 49,22% 228,596 13,472
25 507,605 492,005 49,22% 245,404 14,463
26 509,506 490,104 49,03% 238,011 14,027
27 509,506 490,104 49,03% 235,501 13,879
28 505,703 493,907 49,41% 240,506 14,174
29 503,802 495,808 49,60% 238,309 14,045
30 509,506 490,104 49,03% 238,434 14,052
112
E. INTERVALOS DE CONFIANÇA DOS ENSAIOS REALIZADOS
a. DENSIDADE
2,92,82,72,62,52,42,3
99
95
80
50
20
5
1
ρ
Perc
en
t
Goodness of Fit Test
Normal
AD = 0,542
P-Value = 0,128
Probability Plot for ρ
Normal - 95% CI
Figura E.1 – Intervalo de confiança dos ensaios de densidade.
b. ÂNGULO DE REPOUSO
464442403836343230
99,9
99
95
80
50
20
5
1
0,1
phi
Perc
en
t
Goodness of Fit Test
Normal
AD = 0,397
P-Value = 0,363
Probability Plot for 6,35 - 5,66 (mm)
Normal - 95% CI
Figura E.2 – Intervalo de confiança dos ensaios de ângulo de respouso na faixa
granulométrica -6,35 +5,66mm.
113
464442403836343230
99,9
99
95
80
50
20
5
1
0,1
phi
Perc
en
t
Goodness of Fit Test
Normal
AD = 0,459
P-Value = 0,259
Probability Plot for 5,66 - 3,36 (mm)
Normal - 95% CI
Figura E.3 – Intervalo de confiança dos ensaios de ângulo de respouso na faixa
granulométrica -5,66 +3,36mm.
42403836343230
99,9
99
95
80
50
20
5
1
0,1
phi
Perc
en
t
Goodness of Fit Test
Normal
AD = 0,243
P-Value = 0,761
Probability Plot for 3,36 - 2,38 (mm)
Normal - 95% CI
Figura E.4 – Intervalo de confiança dos ensaios de ângulo de respouso na faixa
granulométrica -3,36 +2,38mm.
114
464442403836343230
99,9
99
95
80
50
20
5
1
0,1
phi
Perc
en
t
Goodness of Fit Test
Normal
AD = 0,501
P-Value = 0,206
Probability Plot for All data
Normal - 95% CI
Figura E.5 – Intervalo de confiança dos ensaios de ângulo de respouso para a
combinação de todas as faixas granulométricas.
c. ESFERICIDADE
0,90,80,70,60,50,40,30,2
99
95
80
50
20
5
1
ψ
Perc
en
t
Goodness of Fit Test
Normal
AD = 0,323
P-Value = 0,511
Probability Plot for ψ
Normal - 95% CI
Figura E.6 – Intervalo de confiança dos ensaios de esfericidade.
115
d. VAZÃO MÉDIA DE FLUXO
180170160150140
99
95
80
50
20
5
1
Flow rate (g/s)
Perc
en
tGoodness of Fit Test
Normal
AD = 0,272
P-Value = 0,617
Probability Plot for 5,66 - 3,36 (mm) filtered
Normal - 95% CI
Figura E.7 – Intervalo de confiança dos ensaios de vazão média de fluxo na faixa
granulométrica -5,66 +3,36mm.
255250245240235230225
99
95
80
50
20
5
1
Flow rate (g/s)
Perc
en
t
Goodness of Fit Test
Normal
AD = 0,387
P-Value = 0,367
Probability Plot for 3,36 - 2,38 (mm)
Normal - 95% CI
Figura E.8 – Intervalo de confiança dos ensaios de vazão média de fluxo na faixa
granulométrica -3,36 +2,38mm.
116
e. VELOCIDADE MÉDIA DE FLUXO
10,510,09,59,08,5
99
95
80
50
20
5
1
Velocity (cm/s)
Perc
en
tGoodness of Fit Test
Normal
AD = 0,272
P-Value = 0,617
Probability Plot for 5,66 - 3,36 (mm) filtered
Normal - 95% CI
Figura E.9 – Intervalo de confiança dos ensaios de velocidade média de fluxo na
faixa granulométrica -5,66 +3,36mm.
15,0014,7514,5014,2514,0013,7513,50
99
95
80
50
20
5
1
Velocity (cm/s)
Perc
en
t
Goodness of Fit Test
Normal
AD = 0,387
P-Value = 0,367
Probability Plot for 3,36 - 2,38 (mm)
Normal - 95% CI
Figura E.10 – Intervalo de confiança dos ensaios de velocidade média de fluxo na
faixa granulométrica -3,36 +2,38mm.
117
F. ANÁLISES DE RESÍDUO DOS AJUSTES NÃO LINEARES REALIZADOS
a. PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE FLUXO
0,00010,0000-0,0001
99
90
50
10
1
Residual
Perc
en
t
1,000,750,500,250,00
0,000000
-0,000025
-0,000050
-0,000075
-0,000100
Fitted Value
Re
sid
ual
0,00
000
-0,0
0002
-0,0
0004
-0,0
0006
-0,0
0008
-0,0
0010
-0,0
0012
4
3
2
1
0
Residual
Fre
qu
en
cy
54321
0,000000
-0,000025
-0,000050
-0,000075
-0,000100
Observation Order
Resid
ua
l
Normal Probability Plot Versus Fits
Histogram Versus Order
Residual Plots for Flow occurrence
Figura F.1 – Análise de resíduos para a probabilidade de ocorrência de fluxo.
b. VAZÃO MÉDIA DE FLUXO
10-1
99
90
50
10
1
Residual
Perc
en
t
240180120600
0,0
-0,3
-0,6
-0,9
-1,2
Fitted Value
Re
sid
ual
0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0-1,2
4
3
2
1
0
Residual
Fre
qu
en
cy
54321
0,0
-0,3
-0,6
-0,9
-1,2
Observation Order
Resid
ual
Normal Probability Plot Versus Fits
Histogram Versus Order
Residual Plots for Flow rate (g/s)
Figura F.2 – Análise de resíduos para a vazão média de fluxo.
118
c. VELOCIDADE MÉDIA DE FLUXO
0,050,00-0,05-0,10
99
90
50
10
1
Residual
Perc
en
t
1612840
0,00
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
Fitted Value
Re
sid
ual
0,00-0,01-0,02-0,03-0,04-0,05-0,06-0,07
4
3
2
1
0
Residual
Fre
qu
en
cy
54321
0,00
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
Observation Order
Resid
ual
Normal Probability Plot Versus Fits
Histogram Versus Order
Residual Plots for Velocity (cm/s)
Figura F.3 – Análise de resíduos para a velocidade média de fluxo.
119
G. SCRIPTS EM LINGUAGEM FISH USADOS NO PFC2D
a. REPRODUÇÃO DO SILO EXPERIMENTAL
i. Faixa granulométrica: 6,35 - 5,66 (mm)
new
set random
title 'Estudo de fluxo/forças’
DEF create_hopper; esta função cria o silo
command
wall id=1 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (-12.7,0) (12.7,0)
wall id=2 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (12.7,0)
(88.9,76.2)
wall id=3 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (88.9,76.2)
(89.9,254)
wall id=4 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (-89.9,254) (-
88.9,76.2)
wall id=5 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (-88.9,76.2) (-
12.7,0)
plot wall black
end_command
END
DEF create_balls; esta função cria as bolas
command
gen id 1 300 rad 5.66 6.36 x -88.9 88.9 y 76.2 500
end_command
END
DEF acomodate_balls; esta função acomoda as bolas no silo
command
wall id=6 kn=1e8 ks=1e8 nodes (89.9,254) (160,338)
wall id=7 kn=1e8 ks=1e8 nodes (-160,338) (-88.9,254)
prop kn 1e8 ks 1e8 friction=0.7 dens 2630
hist id 1 diagnostic muf; cria um historico para a força
desbalanceada
cycle 10000
del ball range y 254 1000
Delete wall 6
Delete wall 7
end_command
END
DEF diferenciate_balls; esta função gera mudança de cor nas camadas
Command
prop color 1
prop color 0 range y 30 60
prop color 0 range y 90 120
prop color 0 range y 150 180
prop color 0 range y 210 240
end_command
END
DEF create_hist_vel; esta função cria o historico de velocidades no eixo y
command
his id 11 ball yvelocity 0,21
his id 12 ball yvelocity 0,42
his id 13 ball yvelocity 0,63
his id 14 ball yvelocity 0,84
120
his id 15 ball yvelocity 0,105
his id 16 ball yvelocity 0,126
his id 17 ball yvelocity 0,147
his id 18 ball yvelocity 0,168
his id 19 ball yvelocity 0,189
his id 20 ball yvelocity 0,210
end_command
END
DEF hist_fdes; esta função cria o historico das forças desbalanceadas
command
plot hist 1; o principal e lembrar o id alocado
end_command
END
DEF hist_vel; esta função cria o historico de velocidade das bolinhas
command
plot hist 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20; o principal e lembrar
o id alocado
end_command
END
DEF monitor; funçao para deletar bolinhas que caem
whilestepping; enquanto o programa estiver rodando
skip = skip + 1
if skip < 100; parametro de parada
exit
endif
skip = 0
bp_ = ball_head
loop while bp_ # null; escaneia todas as bolas
bnext = b_next(bp_)
if b_y(bp_) < -10.0; deleta as bolas
ii=b_delete(bp_)
endif
bp_ = bnext
endloop
bnext = null
bp_ = null
END
; create plot
create_hopper
plot set back White; muda a cor de fundo do plot
SET grav 0.0 -9.81; estabelece sentido e intensidade do campo potencial
create_balls
plot add ball yellow
SET disk on ; considera o sistema bidimensional => bolas = discos de
espessura 1
acomodate_balls
diferenciate_balls
plot set title text ‘Silo’; título especifico
plot add cforce black blue; adiciona as estruturas de força
plot add axes brown; adiciona os eixos cartesianos
plot add vel
delete wall 1; libera o inicio do fluxo
create_hist_vel
solve
cycle 10000
solve
121
ii. Faixa granulométrica: 5,66 - 3,36 (mm)
new
set random
title 'Estudo de fluxo/forças’
DEF create_hopper; esta função cria o silo
command
wall id=1 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (-12.7,0) (12.7,0)
wall id=2 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (12.7,0)
(88.9,76.2)
wall id=3 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (88.9,76.2)
(89.9,254)
wall id=4 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (-89.9,254) (-
88.9,76.2)
wall id=5 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (-88.9,76.2) (-
12.7,0)
plot wall black
end_command
END
DEF create_balls; esta função cria as bolas
command
gen id 1 500 rad 3.36 5.66 x -88.9 88.9 y 76.2 500
end_command
END
DEF acomodate_balls; esta função acomoda as bolas no silo
command
wall id=6 kn=1e8 ks=1e8 nodes (89.9,254) (160,338)
wall id=7 kn=1e8 ks=1e8 nodes (-160,338) (-88.9, 254)
prop kn 1e8 ks 1e8 friction=0.7 dens 2630
hist id 1 diagnostic muf; cria um historico para a força
desbalanceada
cycle 10000
del ball range y 254 1000
Delete wall 6
Delete wall 7
end_command
END
DEF diferenciate_balls; esta função gera mudança de cor nas camadas
Command
prop color 1
prop color 0 range y 30 60
prop color 0 range y 90 120
prop color 0 range y 150 180
prop color 0 range y 210 240
end_command
END
DEF create_hist_vel; esta função cria o historico de velocidades no eixo y
command
his nstep 50
his id 10 ball yvelocity 0,0
his id 11 ball yvelocity 0,21
his id 12 ball yvelocity 0,42
his id 13 ball yvelocity 0,63
his id 14 ball yvelocity 0,84
his id 15 ball yvelocity 0,105
his id 16 ball yvelocity 0,126
his id 17 ball yvelocity 0,147
his id 18 ball yvelocity 0,168
his id 19 ball yvelocity 0,189
his id 20 ball yvelocity 0,210
122
end_command
END
DEF hist_fdes; esta função cria o historico das forças desbalanceadas
command
plot hist 1; o principal e lembrar o id alocado
end_command
END
DEF hist_vel; esta função cria o historico de velocidade das bolinhas
command
plot hist 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20; o principal e
lembrar o id alocado
end_command
END
DEF monitor; funçao para deletar bolinhas que caem
whilestepping; enquanto o programa estiver rodando
skip = skip + 1
if skip < 100; parametro de parada
exit
endif
skip = 0
bp_ = ball_head
loop while bp_ # null; escaneia todas as bolas
bnext = b_next(bp_)
if b_y(bp_) < -10.0; deleta as bolas
ii=b_delete(bp_)
endif
bp_ = bnext
endloop
bnext = null
bp_ = null
END
; create plot
create_hopper
plot set back White; muda a cor de fundo do plot
SET grav 0.0 -9.81; estabelece sentido e intensidade do campo potencial
create_balls
plot add ball yellow
SET disk on ; considera o sistema bidimensional => bolas = discos de
espessura 1
acomodate_balls
diferenciate_balls
plot set title text ‘Silo’; título especifico
plot add cforce black blue; adiciona as estruturas de força
plot add axes brown; adiciona os eixos cartesianos
plot add vel
delete wall 1; libera o inicio do fluxo
create_hist_vel
cycle 10000
solve
123
iii. Faixa granulométrica: 3,36 - 2,38 (mm)
new
set random
title 'Estudo de fluxo/forças’
DEF create_hopper; esta função cria o silo
command
wall id=1 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (-12.7,0) (12.7,0)
wall id=2 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (12.7,0)
(88.9,76.2)
wall id=3 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (88.9,76.2)
(89.9,254)
wall id=4 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (-89.9,254) (-
88.9,76.2)
wall id=5 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.6 nodes (-88.9,76.2) (-
12.7,0)
plot wall black
end_command
END
DEF create_balls; esta função cria as bolas
command
gen id 1 1000 rad 2.38 3.36 x -88.9 88.9 y 76.2 500
end_command
END
DEF acomodate_balls; esta função acomoda as bolas no silo
command
wall id=6 kn=1e8 ks=1e8 nodes (89.9,254) (160,338)
wall id=7 kn=1e8 ks=1e8 nodes (-160,338) (-88.9, 254)
prop kn 1e8 ks 1e8 friction=0.7 dens 2630
hist id 1 diagnostic muf; cria um historico para a força
desbalanceada
cycle 10000
del ball range y 254 1000
Delete wall 6
Delete wall 7
end_command
END
DEF diferenciate_balls; esta função gera mudança de cor nas camadas
Command
prop color 1
prop color 0 range y 30 60
prop color 0 range y 90 120
prop color 0 range y 150 180
prop color 0 range y 210 240
end_command
END
DEF create_hist_vel; esta função cria o historico de velocidades no eixo y
command
his nstep 50
his id 11 ball yvelocity 0,21
his id 12 ball yvelocity 0,42
his id 13 ball yvelocity 0,63
his id 14 ball yvelocity 0,84
his id 15 ball yvelocity 0,105
his id 16 ball yvelocity 0,126
his id 17 ball yvelocity 0,147
his id 18 ball yvelocity 0,168
his id 19 ball yvelocity 0,189
his id 20 ball yvelocity 0,210
end_command
124
END
DEF hist_fdes; esta função cria o historico das forças desbalanceadas
command
plot hist 1; o principal e lembrar o id alocado
end_command
END
DEF hist_vel; esta função cria o historico de velocidade das bolinhas
command
plot hist 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20; o principal e lembrar
o id alocado
end_command
END
DEF monitor; funçao para deletar bolinhas que caem
whilestepping; enquanto o programa estiver rodando
skip = skip + 1
if skip < 100; parametro de parada
exit
endif
skip = 0
bp_ = ball_head
loop while bp_ # null; escaneia todas as bolas
bnext = b_next(bp_)
if b_y(bp_) < -10; deleta as bolas
ii=b_delete(bp_)
endif
bp_ = bnext
endloop
bnext = null
bp_ = null
END
;create plot
create_hopper
plot set back White; muda a cor de fundo do plot
SET grav 0.0 -9.81; estabelece sentido e intensidade do campo potencial
create_balls
plot add ball yellow
SET disk on ; considera o sistema bidimensional => bolas = discos de
espessura 1
acomodate_balls
diferenciate_balls
plot add cforce black blue; adiciona as estruturas de força
plot add axes brown; adiciona os eixos cartesianos
plot set title text ‘Silo’; título especifico
plot add vel
delete wall 1; libera o inicio do fluxo
create_hist_vel
cycle 55000
125
b. ESTUDO DE CASO
i. Faixa granulométrica: 25,0 – 19,0 (mm)
new
set random
title 'Estudo de fluxo/forças’
DEF create_hopper; esta função cria o silo
command
wall id=1 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.7 nodes (0,0) (120,0)
wall id=2 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.7 nodes (120,0)
(635.615,1931.8587)
wall id=3 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.7 nodes (515.615,1931.8587)
(0,0)
plot wall black
end_command
END
DEF create_balls; esta função cria as bolas
command
gen id 1 120 rad 19 25 x 525.615 625.615 y 1931.8587 7000
end_command
END
DEF acomodate_balls; esta função acomoda as bolas no silo
command
wall id=4 kn=1e8 ks=1e8 nodes (635.615,1931.8587)
(635.615,7000)
wall id=5 kn=1e8 ks=1e8 nodes (515.615,7000)
(515.615,1931.8587)
prop kn 1e8 ks 1e8 friction=0.7 dens 1000
hist id 1 diagnostic muf; cria um historico para a força
desbalanceada
solve
cycle 30000
del ball range y 1930 10000
Delete wall 4
Delete wall 5
end_command
END
DEF diferenciate_balls; esta função gera mudança de cor nas camadas
Command
prop color 1
prop color 0 range y 250 500
prop color 0 range y 750 1000
prop color 0 range y 1250 1500
prop color 0 range y 1750 2000
end_command
END
DEF create_hist_vel; esta função cria o historico de velocidades no eixo y
command
his nstep 50
his id 10 ball yvelocity 60,0
his id 11 ball yvelocity 111.561,193.239
his id 12 ball yvelocity 163.123,386.479
his id 13 ball yvelocity 214.684,579.718
his id 14 ball yvelocity 266.246,772.957
his id 15 ball yvelocity 317.807,966.196
his id 16 ball yvelocity 369.369,1159.436
his id 17 ball yvelocity 420.930,1352.675
126
his id 18 ball yvelocity 472.492,1545.914
his id 19 ball yvelocity 524.053,1739.153
his id 20 ball yvelocity 575.615,1925.000
end_command
END
DEF hist_vel; esta função plota o historico de velocidade das bolinhas
command
plot hist 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20; o principal e
lembrar o id alocado
end_command
END
DEF monitor; funçao para deletar bolinhas que caem
whilestepping; enquanto o programa estiver rodando
skip = skip + 1
if skip < 100; parametro de parada
exit
endif
skip = 0
bp_ = ball_head
loop while bp_ # null; escaneia todas as bolas
bnext = b_next(bp_)
if b_y(bp_) < -50.0; deleta as bolas
ii=b_delete(bp_)
endif
bp_ = bnext
endloop
bnext = null
bp_ = null
END
; create plot
create_hopper
plot set back White; muda a cor de fundo do plot
SET grav 0.0 -9.81; estabelece sentido e intensidade do campo potencial
create_balls
plot add ball yellow
SET disk on ; considera o sistema bidimensional => bolas = discos de
espessura 1
acomodate_balls
diferenciate_balls
plot add cforce black blue; adiciona as estruturas de força
plot add axes brown; adiciona os eixos cartesianos
plot set title text ‘Silo’; título especifico
plot add vel
delete wall 1; libera o inicio do fluxo
create_hist_vel
cycle 10000
solve; apertar esc pra parar
127
ii. Faixa granulométrica: 19,0 – 9,5 (mm)
new
set random
title 'Estudo de fluxo/forças’
DEF create_hopper; esta função cria o silo
command
wall id=1 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.7 nodes (0,0) (120,0)
wall id=2 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.7 nodes (120,0)
(635.615,1931.8587)
wall id=3 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.7 nodes (515.615,1931.8587)
(0,0)
plot wall black
end_command
END
DEF create_balls; esta função cria as bolas
command
gen id 1 300 rad 9.5 19 x 515.615 635.615 y 1931.8587 7000
end_command
END
DEF acomodate_balls; esta função acomoda as bolas no silo
command
wall id=4 kn=1e8 ks=1e8 nodes (635.615,1931.8587)
(635.615,7000)
wall id=5 kn=1e8 ks=1e8 nodes (515.615,7000)
(515.615,1931.8587)
hist id 1 diagnostic muf; cria um historico para a força
desbalanceada
prop kn 1e8 ks 1e8 friction=0.7 dens 1000
solve
cycle 10000
del ball range y 1930 10000
Delete wall 4
Delete wall 5
end_command
END
DEF diferenciate_balls; esta função gera mudança de cor nas camadas
Command
prop color 1
prop color 0 range y 250 500
prop color 0 range y 750 1000
prop color 0 range y 1250 1500
prop color 0 range y 1750 2000
end_command
END
DEF create_hist_vel; esta função cria o historico de velocidades no eixo y
command
his nstep 50
his id 10 ball yvelocity 60,0
his id 11 ball yvelocity 111.561,193.239
his id 12 ball yvelocity 163.123,386.479
his id 13 ball yvelocity 214.684,579.718
his id 14 ball yvelocity 266.246,772.957
his id 15 ball yvelocity 317.807,966.196
his id 16 ball yvelocity 369.369,1159.436
his id 17 ball yvelocity 420.930,1352.675
his id 18 ball yvelocity 472.492,1545.914
his id 19 ball yvelocity 524.053,1739.153
his id 20 ball yvelocity 575.615,1925.000
end_command
128
END
DEF hist_vel; esta função plota o historico de velocidade das bolinhas
command
plot hist 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20; o principal e
lembrar o id alocado
end_command
END
DEF hist_fdes; esta função cria o historico das forças desbalanceadas
command
plot hist 1; o principal e lembrar o id alocado
end_command
END
DEF monitor; funçao para deletar bolinhas que caem
whilestepping; enquanto o programa estiver rodando
skip = skip + 1
if skip < 100; parametro de parada
exit
endif
skip = 0
bp_ = ball_head
loop while bp_ # null; escaneia todas as bolas
bnext = b_next(bp_)
if b_y(bp_) < -50.0; deleta as bolas
ii=b_delete(bp_)
endif
bp_ = bnext
endloop
bnext = null
bp_ = null
END
; create plot
create_hopper
plot set back White; muda a cor de fundo do plot
SET grav 0.0 -9.81; estabelece sentido e intensidade do campo potencial
create_balls
plot add ball yellow
SET disk on ; considera o sistema bidimensional => bolas = discos de
espessura 1
acomodate_balls
diferenciate_balls
plot add cforce black blue; adiciona as estruturas de força
plot add axes brown; adiciona os eixos cartesianos
plot set title text ‘Silo’; título especifico
plot add vel
delete wall 1; libera o inicio do fluxo
create_hist_vel
monitor
cycle 17000
129
iii. Faixa granulométrica: 9,5 – 4,8 (mm)
new
set random
title 'Estudo de fluxo/forças’
DEF create_hopper; esta função cria o silo
command
wall id=1 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.7 nodes (0,0) (120,0)
wall id=2 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.7 nodes (120,0)
(635.615,1931.8587)
wall id=3 kn=1e8 ks=1e8 friction=0.7 nodes (515.615,1931.8587)
(0,0)
plot wall black
end_command
END
DEF create_balls; esta função cria as bolas
command
gen id 1 400 rad 4.8 19 x 515.615 635.615 y 1931.8587 7000
end_command
END
DEF acomodate_balls; esta função acomoda as bolas no silo
command
wall id=4 kn=1e8 ks=1e8 nodes (635.615,1931.8587)
(635.615,7000)
wall id=5 kn=1e8 ks=1e8 nodes (515.615,7000)
(515.615,1931.8587)
hist id 1 diagnostic muf; cria um historico para a força
desbalanceada
prop kn 1e8 ks 1e8 friction=0.7 dens 1000
solve
cycle 10000
del ball range y 1930 10000
Delete wall 4
Delete wall 5
end_command
END
DEF diferenciate_balls; esta função gera mudança de cor nas camadas
Command
prop color 1
prop color 0 range y 250 500
prop color 0 range y 750 1000
prop color 0 range y 1250 1500
prop color 0 range y 1750 2000
end_command
END
DEF create_hist_vel; esta função cria o historico de velocidades no eixo y
command
his nstep 50
his id 10 ball yvelocity 60,0
his id 11 ball yvelocity 111.561,193.239
his id 12 ball yvelocity 163.123,386.479
his id 13 ball yvelocity 214.684,579.718
his id 14 ball yvelocity 266.246,772.957
his id 15 ball yvelocity 317.807,966.196
his id 16 ball yvelocity 369.369,1159.436
his id 17 ball yvelocity 420.930,1352.675
his id 18 ball yvelocity 472.492,1545.914
his id 19 ball yvelocity 524.053,1739.153
his id 20 ball yvelocity 575.615,1925.000
end_command
130
END
DEF hist_vel; esta função plota o historico de velocidade das bolinhas
command
plot hist 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20; o principal e
lembrar o id alocado
end_command
END
DEF hist_fdes; esta função cria o historico das forças desbalanceadas
command
plot hist 1; o principal e lembrar o id alocado
end_command
END
DEF monitor; funçao para deletar bolinhas que caem
whilestepping; enquanto o programa estiver rodando
skip = skip + 1
if skip < 100; parametro de parada
exit
endif
skip = 0
bp_ = ball_head
loop while bp_ # null; escaneia todas as bolas
bnext = b_next(bp_)
if b_y(bp_) < -50.0; deleta as bolas
ii=b_delete(bp_)
endif
bp_ = bnext
endloop
bnext = null
bp_ = null
END
; create plot
create_hopper
plot set back White; muda a cor de fundo do plot
SET grav 0.0 -9.81; estabelece sentido e intensidade do campo potencial
create_balls
plot add ball yellow
SET disk on ; considera o sistema bidimensional => bolas = discos de
espessura 1
acomodate_balls
diferenciate_balls
plot add cforce black blue; adiciona as estruturas de força
plot add axes brown; adiciona os eixos cartesianos
plot set title text ‘Silo’; título especifico
plot add vel
delete wall 1; libera o inicio do fluxo
create_hist_vel
monitor
cycle 30000
131
H. DEMONSTRAÇÃO DA SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
PARCIAL DO MODELO CINEMÁTICO
Dada a equação diferencial geral da velocidade descendente, no modelo cinemático:
𝜕𝑣
𝜕𝑧= 𝑏 ∙
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2 (h.1)
E sua solução analítica:
𝑣(𝑥, 𝑧) =𝑄
√4𝜋∙𝑏∙𝑧∙ 𝑒
−𝑥2
4𝑏∙𝑧 (h.2)
Demonstra-se que esta função é solução da EDP em questão, a partir do teorema da existência
e unicidade da solução de uma equação diferencial parcial, substituindo-a na mesma, assim
temos as parcelas:
𝜕𝑣
𝜕𝑧=
𝑄
8𝑏∙𝑧2√𝜋∙𝑏∙𝑧∙ 𝑥2𝑒
−𝑥2
4𝑏∙𝑧 −𝑄
4√𝜋∙𝑏3∙𝑧3∙ 𝑏𝑒
−𝑥2
4𝑏∙𝑧 (h.3)
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2 =𝑄
8𝑏2∙𝑧2√𝜋∙𝑏∙𝑧∙ 𝑥2𝑒
−𝑥2
4𝑏𝑧 −𝑄
4√𝜋∙𝑏3∙𝑧3∙ 𝑒
−𝑥2
4𝑏∙𝑧 (h.4)
Substituindo-se as parcelas, satisfaz-se a igualdade, e temos:
𝑄
8𝑏∙𝑧2√𝜋∙𝑏∙𝑧∙ 𝑥2𝑒
−𝑥2
4𝑏∙𝑧 −𝑄
4√𝜋∙𝑏3∙𝑧3∙ 𝑏𝑒
−𝑥2
4𝑏∙𝑧 = 𝑏 (𝑄
8𝑏2∙𝑧2√𝜋∙𝑏∙𝑧∙ 𝑥2𝑒
−𝑥2
4𝑏𝑧 −𝑄
4√𝜋∙𝑏3∙𝑧3∙ 𝑒
−𝑥2
4𝑏∙𝑧) (h.5)
132
I. MODELAGEM DO COMPRIMENTO DE DIFUSÃO PARA MATERIAIS
POLIDISPERSOS
Os modelos analíticos estudados mostram-se satisfatórios no estudo do comportamento de
materiais granulares, porém em todos eles, a maioria de suas propriedades constitutivas não é
levada em consideração, a não ser pelo parâmetro 𝑏, comprimento de difusão, e este por sua
vez ainda não é devidamente correlacionado com as demais propriedades do material. Outro
fator não abordado é que em situações reais, no manuseio de material granular, este não se
apresenta monodisperso, e sim numa distribuição de diversas frações granulométricas
distintas.
Esta distribuição é obtida através da caracterização granulométrica do material a ser estudado.
A cada fração granulométrica, está associado um valor do parâmetro 𝑏, presente na equação
geral do modelo cinemático do perfil de velocidade. Para representar o material composto
pela mistura destas diversas granulometrias, propõe-se uma combinação linear dos
comprimentos de difusão associados a cada fração granulométrica, ponderados por suas
respectivas frações mássicas. Assim temos a equação g.1, e sua forma compacta, equação i.1,
que calcula o comprimento de difusão para um material misto.
�̅� = 𝑓1∙𝑏1+𝑓2∙𝑏2+ ⋯+ 𝑓𝑛∙𝑏𝑛
𝑓1+𝑓2+⋯𝑓𝑛 (i.1)
�̅� =∑ 𝑓𝑛∙𝑏𝑛
𝑛𝑖=1
∑ 𝑓𝑛𝑛𝑖=1
(i.2)
Onde o ponderador 𝑓𝑛 é a frequência relativa mássica da fração granulométrica 𝑛, e 𝑏𝑛 é o
comprimento de difusão associado a esta granulometria, para um dado material. Caso a
frequência relativa seja dada na forma decimal, a equação é reduzida para a equação i.4.
�̅� = 𝑓1 ∙ 𝑏1 + 𝑓2 ∙ 𝑏2 + ⋯+ 𝑓𝑛 ∙ 𝑏𝑛 (i.3)
�̅� = ∑ 𝑓𝑛 ∙ 𝑏𝑛𝑛𝑖=1 (i.4)
Cabe citar que a proposta da combinação linear, resultando numa média ponderada, pode não
ser a melhor forma de se obter o 𝑏 equivalente, e que necessita de validação experimental para
cada tipo de material utilizado.
133
J. FORMA VETORIAL DO CAMPO DE VELOCIDADES
Outro tratamento matemático conveniente para o estudo da equação geral de perfil de
velocidade é escrevê-la na forma de função vetorial, associando um ponto no espaço a suas
componentes no sistema de coordenadas adotado. Desta forma pode-se representar o vetor
velocidade em cada ponto do espaço, no domínio da função, que no caso, se trata das
fronteiras do silo ou local onde o material granular é armazenado. Assim, tomando o vetor �⃗⃗�
como vetor velocidade resultante num dado ponto do espaço, chega-se a uma forma matricial
final, dada pela expressão j.3.
�⃗⃗� = [𝑢𝑣] (j.1)
�⃗⃗� = [𝑏] ∙ 𝑣 (j.2)
�⃗⃗� = [𝑏 ∙𝜕
𝜕𝑥0
0 1] ∙ [
𝑣(𝑥, 𝑧)𝑣(𝑥, 𝑧)
] (j.3)
Onde a matriz [𝑏] associa a função geral da velocidade descendente com a sua componente na
direção cisalhante, partindo do princípio da continuidade equivalente do meio.
Outra opção viável é a construção das curvas de isovalores de velocidade, que podem
determinar pontos críticos no controle da massa total de material granular, como obstruções
ao fluxo, ou “zonas mortas”, onde o fluxo é estagnado. Este é o tratamento usado nos modelos
contínuos para a avaliação da viabilidade técnica de um escoamento granular, visto que a
priori, esta condição só é perfeitamente descrita nos modelos discretos.
Com condições de contorno devidamente estabelecidas para o problema, pode-se obter uma
aderência satisfatória do modelo à situação real de campo. Logicamente, estas condições de
contorno são gradativamente ajustadas e calibradas, à medida que cresce o conhecimento
acerca do material granular manuseado em questão.
Esta situação, inicialmente bidimensional, pode ser extrapolada para o espaço tridimensional,
assumindo que o caso a 2D é uma seção particular de um espaço com simetria axial na
direção 𝑧. Desta forma, a função vetorial 2D em coordenadas cartesianas pode ser escrita
como uma função 3D em coordenadas cilíndricas. Assim, tomando como premissa a simetria
134
axial, o eixo 𝑥 se é convertido num eixo cilíndrico 𝑟, e a transformação da função vetorial do
campo de velocidades, é dada pela expressão j.4.
[𝑟𝜃𝑧] = [
√𝑥2 + 𝑦2
𝑎𝑡𝑎𝑛 (𝑦
𝑥)
𝑧
] (j.4)
Ou na forma invertida, caso necessário, conforme a expressão j.5.
[𝑥𝑦𝑧] = [
𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑧] (h.5)
O vetor �⃗⃗� é formado pelas componentes 𝑣 (descendente na direção 𝑧), 𝑢 (na direção 𝑦) e 𝑡
(na direção 𝑥). Na forma de função vetorial, podemos relacionar os sistemas de coordenadas
pela transformação dada na expressão j.6.
[𝑟𝜃𝑧] = [
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 0−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0
0 0 1] ∙ [
𝑥𝑦𝑧] (j.6)
E por fim, escrever a função do campo de velocidades, em função das coordenadas
cartesianas do ponto, no espaço tridimensional, a partir da lei geral da velocidade
descendente, obtida pelo modelo bidimensional axisimétrico, conforme a expressão j.9.
�⃗⃗� = [𝑢𝑥
𝑢𝑦
𝑣] (j.7)
�⃗⃗� = [𝑏] ∙ 𝑣 (j.8)
�⃗⃗� = [
𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙𝜕
𝜕𝑥0 0
0 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙𝜕
𝜕𝑥0
0 0 1
] ∙ [
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧)] (j.9)
Com esta transformação, podemos obter o vetor velocidade em qualquer ponto do espaço, e
limitando-se as condições de contorno e domínio das funções, podemos representar um silo,
funil ou qualquer outra geometria axisimétrica que corresponda à estrutura física
condicionante do fluxo, seja uma já existente, ou a ser projetada.