MODELAGEM E CONTROLE DE SISTEMAS AUTOMATIZADOSAula 1

Prof. MYROHN FERNANDES BUSSINGUERUEMA-MA 20111

O controle automtico tem desempenhado um papel fundamental no avano da engenharia e da cincia. Alm da extrema importncia em sistemas espaciais e sistemas de robtica ou similares, o controle automtico tem se tornado de grande importncia e parte integrante dos modernos processos industriais e de produo.

Planta: utilizado para designar um equipamento, parte ou um conjunto de partes de um equipamento, que juntas executam uma operao particular. Processo: designa uma operao artificial ou natural contnua, marcada por uma srie de mudanas graduais, controladas ou no, que se sucedem de forma relativamente fixa e tendem a um resultado particular.

Sistema: combinao de componentes que atuam juntos e cumprem um determinado objetivo. Varivel controlada: ou varivel regulada a quantidade que se deseja controlar. Varivel de controle: ou varivel manipulada a quantidade que sofre variaes produzidas por um controlador, no sentido de afetar o comportamento da varivel controlada. Varivel de referncia: ou varivel comandada serve como referncia de comportamento para a varivel controlada.

Sistema de controle em malha aberta: os valores assumidos pela varivel de entrada no dependem dos valores da varivel de sada.

Sistema de controle em malha fechada: cuja caracterstica essencial a utilizao da medida da sada y e sua comparao com a sada desejada.

e=r-y

Distrbios: um sinal que tende a afetar de maneira adversa o valor da varivel de sada de um sistema.

As variveis r; d e n so chamadas de entradas externas ou exgenas, no sentido de que afetam, mas no so afetadas pelas variveis e; u e y.

Controle por realimentao: utilizado para descrever a operao que, na presena de distrbios, visa reduzir continuamente a diferena entre a sada e a referncia de um dado sistema. Ele pode ser manual ou automtico. Servomecanismo: desenvolvimento de certos mecanismos de controle de posio e movimento. Regulao: empregado para designar a funo de controle que visa manter a sada do sistema razoavelmente prxima uma referncia constante especificada.

Funo de transferncia Seja um sistema linear invariante no tempo representado pela equao diferencial de ordem n

y = y(t) : sada do sistema u = u(t) : entrada do sistema (.)(i) : derivada de ordem i de (.)

Tomando as transformadas de Laplace em ambos os lados da igualdade considerando condies iniciais nulas, obtm-se:

A funo de transferncia genrica de um sistema de ordem n a funo racional:

Sistemas de 1 ordem Assume-se que a funo de transferncia de um sistema de 1 ordem :

Exemplo: Sistema hidrulico

Q: vazo nominal do sistema (m3/s); R: resistncia da vlvula (m/(m3/s)); C: capacitncia do recipiente (m3/m).

RESPOSTA TEMPORAL Forma padro mais comum apresentar sistemas de 1 ordem na forma padro.

Onde k o ganho e T a constante de tempo do sistema.

RESPOSTA AO DEGRAU Se U (s) = 1/s, ento:

A anti-transformada (resposta temporal ao degrau) de Y (s) : O primeiro termo de y a resposta forada, enquanto que o segundo termo a resposta natural do sistema

GANHO DC O valor final da resposta de um sistema de ordem qualquer calculado pelo Teorema do Valor Final:

desde que y possua valor final. Se U (s) = 1/s, ento: O valor G (0) chamado de Ganho DC ou Ganho de estado estacionrio do sistema para uma entrada constante.

RESPOSTA TEMPORAL Notas: Se a amplitude do degrau de entrada for A, ento o valor final da sada ser G (0)A; O valor DC de um sistema pode ser calculado mesmo que a entrada no seja igual a uma constante; Se a entrada permanecer igual a A num intervalo de 4T seg, o valor da sada tender constante G (0)A.

RESPOSTA RAMPA Se U (s) = 1/ s2, ento:

A anti-transformada (resposta temporal rampa) de Y (s) : A influncia da exponencial depende agora de T. A resposta de estado estacionrio rampa :

SISTEMAS DE 2 ORDEM

Assume-se que a funo de transferncia do sistema encontra-se na forma:

RESPOSTA TEMPORAL Forma padro A forma padro de um sistema de 2 ordem :

onde

NOTAS A freqncia natural tambm chamada de freqncia no-amortecida. Seria a freqncia de oscilao do sistema caso = 0

O ganho DC do sistema de 2a. ordem na forma padro G(0) = 1. O valor final da sada igual a qualquer valor de entrada constante; Um sistema de 2a. ordem completamente caracterizado pelos valores de = n

RESPOSTA AO DEGRAU

RESPOSTA TEMPORAL As razes do termo de 2 ordem so:

S1,2 = Se

n

n

> 1: razes distintas = 1: razes mltiplas < 1: razes complexas conjulgadas

se

< 1, ento: S1,2 = -

n

j

d

onde a freqncia de oscilao forada do sistema. Note que:

Anti-transformando,

RESPOSTA TEMPORAL

< 0: Resposta no-amortecida

y (t) = 1 - cos nt,

t>0

= 1: Resposta criticamente amortecida

y (t) = 1 e

nt

(1 +

nt),

t>0

> 1: Resposta sobre (super) amortecida

onde

se s1 >> s2, ento e s1t

decai muito mais rpido do que e s2t e y(t) pode ser aproximado por:

Diz-se que a raiz s2 dominante em relao a s1. A resposta obtida tipicamente a de um sistema de 1 ordem.

RESPOSTA TEMPORAL Representao no plano

NOTAS A cada par ( , n) corresponde um par de plos (em geral, complexos conjulgados) representado no plano s;

A constante de tempo do sistema de 2a. ordem 1/ ( n). Quanto maior n, menor a constante de tempo; A freqncia de oscilao forada d aumenta com a diminuio de ou com o aumento de n

NOTAS

Como = cos , observa-se que 1 qdo 0e 0 qdo /2 Diversas caractersticas da resposta ao degrau de um sistema de 2a. ordem podem ser determinadas em funo de e n.

EXEMPLO:

Representa um servomotor (planta) cuja resposta ao degrau deve ser controlada atravs do ganho do amplificador (contolador proporcional) Gc (s) = Ka A funo de malha fechada :

O sistema de 2 ordem resultante se encontra na forma padro com

e n no podem ser especificados de forma independente, pois existe um parmetro de projeto, Ka Se = 1 ento 2 x 1 x Wn = 2 implica Wn = 1 rd/seg e portanto Ka = 2 x (1)2 = 2. A resposta ser criticamente amortecida Se = 0.5 ento Wn = 2 e Ka = 8. A resposta ser sub-amortecida, com Mp aprox. 16%, tr aprox. 0.9 seg e ts = 4 seg

SISTEMAS DE 2 ORDEM COM G (0) 1 Pode ocorrer do sistema de 2 ordem se apresentar na forma

e ento G (0) = K.

A resposta ao degrau do sistema de 2 ordem simplesmente multiplicada por K. O valor final de y ser y() = K.

Uma

modificao conveniente para mxima sobre-elevao quando y ( ) 1 :

EFEITO DA ADIO DE UM ZERO O sistema de 2 ordem

Possui um zero adicional em s = -a. Suponha que = 0.7 , n = 2 rd/seg e os seguintes valores para a: 5, 2, 1 e 0.5