Modelagem e otimização de atuadores magnéticos no controle ...repositorio.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/265844/1/Pilotto_Rafael_… · (Adaptado de Aströn & Hägglund 2006). 23

i

RAFAEL PILOTTO

Modelagem e otimização de atuadores

magnéticos no controle de vibrações

18/2015

CAMPINAS

2015

iii

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

RAFAEL PILOTTO



Orientadora: Prof. Dr. Katia Lucchesi Cavalca Dedini

CAMPINAS

2015

Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de

Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de

Campinas como parte dos requisitos exigidos para

obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica,

na Área de Mecânica dos sólidos e Projeto Mecânico.

xi

v

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INTEGRADOS

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADEMICO



Autor: Rafael Pilotto

Orientadora: Katia Lucchesi Cavalca Dedini

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:

Campinas, 13 de Fevereiro de 2014

vii

AGRADECIMENTOS

À minha família por sempre acreditar em mim, não importando a situação.

Aos amigos da faculdade pelos momentos de descontração durante estes cinco anos de

curso.

Aos companheiros do LAMAR, que nestes três anos de convivência, contribuíram de

maneira fundamental para a realização deste trabalho.

Aos funcionários da oficina do Departamento de Projeto Mecânico, pelo suporte durante a

etapa experimental do trabalho.

À professora Katia, pela oportunidade que me foi oferecida, e pela (extrema) paciência

comigo desde a iniciação científica.

À Schaeffler do Brasil e ao SAE/UNICAMP pelo apoio financeiro durante o

desenvolvimento do projeto.

ix

"Always believe in yourself.

Do this and no matter where you are,

you will have nothing to fear."

Hayao Miyazaki

xi

RESUMO

O uso de atuadores magnéticos para redução de vibrações visa substituir, em algumas

ocasiões, os mancais magnéticos, uma vez que o atuador magnético envolve requisitos de projeto

de menor complexidade em sua configuração. O presente trabalho consiste em avaliar como um

atuador magnético se comporta ao controlar as vibrações em uma viga flexível de material

metálico, bi-engastada, modelada computacionalmente, utilizando o método dos elementos

finitos. O atuador magnético é inserido no modelo, utilizando a teoria de eletromagnetismo,

assim como os componentes: amplificador de corrente, sensor de posição indutivo e um

controlador PID (proporcional-integrador-derivativo). No modelo computacional, o atuador e o

sensor de posição são posicionados em diferentes nós, com o propósito de estudar a eficácia do

sistema atuador-controlador-sensor em função da sua posição ao longo da viga. Os parâmetros do

controlador PID foram obtidos utilizando o método de otimização de Ziegler-Nichols, para as

posições observadas do sistema atuador-sensor, e a técnica LPV (Linear Parameter Varying –

Variação Linear de Parâmetros) foi então aplicada para o desdobramento desses parâmetros como

uma função do comprimento da viga. Para a validação experimental, foram utilizados dois

dispositivos para a excitação externa da viga: um equipamento eletromecânico, denominado

Shaker, que gerou ondas senoidais nas frequências naturais do sistema, com o propósito de

verificar o comportamento do conjunto atuador/controlador em condições críticas, e um martelo

de impacto, que excitou a viga através de um impulso único, o qual permitiu obter a dissipação de

energia na viga em função do tempo decorrido até o amortecimento completo da resposta

transiente. Assim, foram realizadas comparações entre os resultados obtidos a partir do modelo

por elementos finitos e as análises realizadas sobre as medições na bancada experimental. Pode-

se também observar o comportamento do atuador magnético, no que concerne ao controle de

vibrações, em função de seu posicionamento ao longo da viga flexível.

Palavras-Chave: Controle de Vibrações, Controle Adaptativo, Viga Flexível Atuador

Magnético, Controle PID.

xiii

ABSTRACT

The use of magnetic actuators for vibration reduction aims to substitute, in some occasions,

the magnetic bearings, since the magnetic actuator involves less complex project requirements in

its configuration. The present study consists of evaluating how a magnetic actuator behaves while

controlling vibration in a flexible metallic beam, modeled using the finite elements method. The

magnetic actuator is inserted into the model utilizing electromagnetic theory. Other components

are added to the model through the theory of control of mechanical systems, such as: current

amplifier, inductive position sensor and a PID controller (Proportional-Integral-Derivative). The

actuator and the sensor are placed in different nodes in the computational model, in order to study

the effectiveness of the actuator-controller-sensor system depending on its positioning in the

beam. The parameters of the PID controller for the entire length of the beam were obtained using

the Ziegler-Nichols optimization method for the locations of the beam where the actuator-sensor

system was positioned and the LPV (Linear Parameter Varying) technique was applied to the

unfolding of these parameters as a function of the beam length. For the experimental validation,

two devices were used to act as an external excitation in the beam, an electromechanical

equipment called Shaker, which generated sinusoidal waves in the natural frequencies of the

system, in order to verify the behavior of the actuator/controller in critical conditions, and a

modal hammer that excited the beam through a single impulse, which allowed the energy

dissipation to be measured as a function of the time period until the complete damping of the

transient response. Thus, the results obtained from the finite elements model were compared with

the experimental analysis on the test rig. Moreover, the behavior of the magnetic actuator in

vibration control is evaluated regarding its position alongside the flexible beam.

Key Words: Vibration Control, Adaptive control, Flexible Beam, Magnetic Actuator, PID

Control.

xv

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Geometrias distintas de Mancais magnéticos Homopolar (A) e Heteropolar

(B). Fonte: (Schweitzer e Maslen, 2009) 6

Figura 2 – Exemplo de Mancal Magnético Radial. Fonte: www.schaeffler.de 9

Figura 3 – Esquema do sistema utilizado por Castro et al. (2007) com os dois atuadores. 11

Figura 4 – Esquema de montagem diferencial de atuadores magnéticos com duas

bobinas. Adaptado de Arcari 2012 16

Figura 5 – Esquema da montagem do atuador magnético com representação das

correntes utilizadas no sistema de atuador magnético (corrente permanente e corrente de

controle). 17

Figura 6 – Exemplo de diagrama de blocos de um controlador PID. 21

Figura 7 – Ilustração do fenômeno de windup e do anti-windup de um controlador

(Adaptado de Aströn & Hägglund 2006). 23

Figura 8 – Ilustração do controlador com o sistema Anti-windup. (Adaptada de Aströn

& Hägglund 2006). 23

Figura 9 – Elemento de viga com os eixos e dimensões principais para o cálculo dos

momentos de inércia de área. 27

Figura 10 – Arranjo das Matrizes de cada elemento na matriz global (Castro, 2007). 29

Figura 11 – Sistema completo Controlador + Planta do sistema. 34

Figura 12 – Fluxograma da técnica SMILE para o sistema da viga. 36

Figura 13 – Esquema do modelo de uma viga bi-engastada por elementos finitos. 38

Figura 14 – Diagrama de blocos do sistema completo (viga+atuador+controlador) pelo

método os elementos finitos. 39

Figura 15 – Viga Flexível modelada utilizando o software Pro-Engineer, com restrições

e malha visível. 40

Figura 16 – Detalhe da peça de metal modelada utilizando o software Pro-Engineer, com

malha visível. 40

Figura 17 – Diagrama de blocos para o programa de aquisição de dados da bancada

experimental. 41

xvi

Figura 18 – Comparação entre os controladores obtidos originalmente e utilizando a

técnica LPV. 42

Figura 19 – Variação dos ganhos Proporcional (a), Integral (b) e Derivativo (c), com

relação as marcações na viga flexível, utilizando a técnica LPV. 43

Figura 20 – Respostas no tempo do sistema utilizando controladores obtidos através do

método LPV – Posição 10 – (a) onda senoidal (b) impulso. 44









Figura 25 – Montagem experimental com Shaker. 48

Figura 26 – montagem da bancada experimental, com detalhe para o atuador magnético. 48

Figura 27 – Condicionador para transdutor de força e martelo de impacto utilizados nos

testes. 49

Figura 28 – Sensor de posição “Turck” utilizado no experimento. 50

Figura 29 – Curvas de ganho para os dois amplificadores utilizados na montagem

experimental. 50

Figura 30 – Atuador magnético unidirecional utilizado nos testes. 51

Figura 31 – Amplificadores de potência utilizados nos testes. 51

Figura 32 – Martelo de Impacto utilizado nos testes. 52

Figura 33 – a) Sistema de aquisição. b) Bancada experimental. 52

Figura 34 – Marcações da Viga utilizadas para posicionamento do atuador magnético. 54

Figura 35 – Marcações da Viga utilizadas para posicionamento da excitação externa. 55

Figura 36 – Vista panorâmica da viga flexível, com todas as marcações utilizadas. 55

Figura 37 – Fluxograma da instrumentação da bancada experimental. 56

xvii

Figura 38 – Fluxograma descrevendo o procedimento da Análise Modal Experimental

(Adaptado de Avitabile, 2001). 58

Figura 39 – Frequências naturais e modos de vibrar para a montagem da viga com o

journal posicionado na marcação 10 – Experimental: (a) 1º modo, (b) 2º modo, (c) 3º

modo, (d) 4º modo. 61

Figura 40 – Frequências naturais e modos de vibrar para a montagem da viga com o

Journal posicionado na marcação 10 – Pro-Engineer: Experimental: (a) 1º modo, (b) 2º

modo, (c) 3º modo, (d) 4º modo. 63

Figura 41 – Comparação entre as respostas do sistema a excitação por impacto, obtidas

através de simulações numéricas (a) e a montagem experimental (sem atuador

magnético (b1) e com atuador magnético (b2)) – para o conjunto atuador/journal na

marcação 10 e sensor de posição na marcação 30. 66

















xviii













Figura 49 – Comparação entre as respostas do sistema a excitação por Shaker na 1ª

frequência natural do sistema, obtidas através de simulações numéricas (a) e a

montagem experimental (sem atuador magnético (b1) e com atuador magnético (b2)) –

para o conjunto atuador/journal na marcação 10 e sensor de posição na marcação 30. 76













xix





























xx





























xxi

























xxiii

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Parâmetros de diversos controladores obtidos utilizando o método de Ziegler-

Nichols da resposta em Frequência. 33

Tabela 2 – Frequências naturais obtidas na Análise Modal Experimental (Hz). 60

Tabela 3 – Frequências naturais obtidas utilizando os dois softwares (Hz). 62

Tabela 4– Valores utilizados para os parâmetros do atuador magnético e componentes

do sistema elétrico-mecatrônico para o modelo de elementos finitos. 64

xxv

LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS

Letras Latinas

a Largura da viga [m]

b Altura da viga [m]

c Coeficiente de amortecimento [Ns/m]

e Sinal de erro do controlador

es Sinal de erro referente a saturação do controlador

g Folga do atuador magnético [m]

g0 Folga original do atuador magnético

i Intensidade da corrente elétrica [A]

ib Intensidade da corrente permanente no atuador magnético [A]

ix Intensidade da corrente de controle no atuador magnético [A]

k Coeficiente de rigidez [N/m]

ki Rigidez de corrente [N/A]

kx Rigidez de posição [N/m]

l Comprimento do caminho magnético [m]

m Massa [kg]

qm Deslocamento medido no sensor de posição [m]

u Sinal de controle

x Perturbação do eixo em relação ao atuador magnético [m]

{xc} Vetor de saída a ser controlado [m]

y Sinal de saída do sistema

ysp Sinal esperado de saída do sistema

A Área da seção transversal da viga [m2]

Ag Área de folga do circuito magnético [m2]

[Ac] Matriz de estados do controlador

B Densidade de fluxo magnético [T]

[Bc] Matriz de entradas do controlador

C Função de coerência

xxvi

[C] Matriz global de amortecimento da viga [Ns/m]

[Cc] Matriz de saídas do controlador

[Dc] Matriz de realimentação do sistema

E Módulo de Young do material [N/m2]

F Força aplicada na viga [N]

Fe Força de excitação externa [N]

Fm Força magnética exercida pelo atuador magnético [N]

Fs Frequência de amostragens dos sinais para a análise modal

{F} Vetor contendo todas as forças que atuam no sistema [N]

H Intensidade de Campo Magnético [A/m]

H1 Estimador subestimado de análise modal

H2 Estimador superestimado de análise modal

Ii Sinal de entrada no termo integrador do controlador PID

Iy Momento de inércia da viga, com relação ao eixo y [m4]

Iz Momento de inércia da viga, com relação ao eixo z [m4]

K Ganho do controlador

Kd Termo derivativo do controlador PID

Ki Termo integral do controlador PID

Km Constante magnética do atuador

Kp Termo proporcional do controlador PID

Ku Ganho definitivo para o método de Ziegler-Nichols

[K] Matriz global de rigidez da viga [N/m]

[KE] Matriz de rigidez de um elemento da viga [N/m]

[Ki] Matriz de rigidez de corrente do atuador magnético [N/A]

[Kx] Matriz de rigidez de posição do atuador magnético [N/m]

L Comprimento de um elemento de viga [m]

[ME] Matriz global de massa de um elemento da viga [m]

N Número de espiras em cada bobina

Nf Coeficiente de filtro derivativo do controlador

Pxx Densidade espectral de potência do sinal de entrada

xxvii

Pxy Densidade espectral de potência cruzada

Pyx Densidade espectral de potência cruzada

Pyy Densidade espectral de potência do sinal de saída

Si Ganho do amplificador de corrente [A/V]

Sx Ganho do sensor de posição [V/m]

Td Tempo derivativo [s]

Ti Tempo integral [s]

Tt Constante de tempo de rastreamento [s]

Tu Período definitivo para o método de Ziegler-Nichols [s]

Vc Tensão de saída do controlador PID [V]

X Transformada de Fourier do sinal de excitação

Y Transformada de Fourier do sinal de resposta

Letras Gregas

α Constante empírica de amortecimento estrutural proporcional, [s-1

]

relacionada a matriz de massa

β Constante empírica de amortecimento estrutural proporcional, [s]

relacionada a matriz de rigidez

ε Fator de correção geométrico para o modelo do atuador

μ0 Permeabilidade do meio onde a folga do atuador será mantida [H/m]

ρ Massa específica do material [kg/m3]

ω Frequência de excitação [rad/s]

Ф Fluxo magnético no circuito [Wb]

Subscritos

1 Relativo ao sentido positivo da força magnética do atuador

2 Relativo ao sentido negativo da força magnética do atuador

xxviii

Sobrescrito

Relativo as matrizes equivalentes de controle, sensor de posição e amplificador na

modelagem em espaço de estados

Abreviaturas

AMB Active Magnetic Bearing

DSI Departamento de Sistemas Integrados

FEM Finite Elements Method

FFT Fast Fourier Transform

FMECA Failure Modes, Effects, and Criticality Analysis

FRF Função de Resposta em Frequência

EDB Electrodynamic Bearings

LAMAR Laboratório de Máquinas rotativas

LMS Least Mean Square

LPV Linear Parameter Varying

LQR Linear Quadratic Regulator

LTI Linear time Invariant

MIMO Multiple input/Multiple output

PSD Power Spectrum Density

PID Proporcional-Integral-Derivativo

SAE Serviço de apoio ao estudante

SMILE Space-State Model Interpolation fo Local Estimates

SISO Single input/Single output

UNICAMP Universidade Estadual de Campinas

xxix

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES xv

LISTA DE TABELAS xxix

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS xxxi

1. INTRODUÇÃO 1

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5

3. MODELAGEM TEÓRICA 14

3.1 - ATUADOR MAGNÉTICO 14

3.2 - CONTROLADOR PID (PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO) 20

3.2.1 - WINDUP E ANTIWINDUP 22

3.3 - MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (FEM) 26

3.4 - ESPAÇO DE ESTADOS 30

3.5 - MÉTODO DE ZIEGLER NICHOLS 33

3.6 - MODELOS L.P.V. UTILIZANDO TÉCNICA S.M.I.L.E. 35

4. SIMULAÇÃO NUMÉRICA E AQUISIÇÃO DE DADOS 38

4.1 MODELO POR ELEMENTOS FINITOS (MATLAB-SIMULINK) 38

4.2 MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS (PRO-ENGINEER/

CREO ELEMENTS) 40

4.3 DESCRIÇÃO DO SISTEMA DE AQUISIÇÃO DA BANCADA

EXPERIMENTAL 41

4.4 VALIDAÇÃO DA TÉCNICA SMILE UTILIZANDO

MODELOS LPV 42

5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 47

5.1 - BANCADA DE TESTES 47

5.2 - DESCRIÇÃO DOS EXPERIMENTOS 49

xxx

5.3 - DESCRIÇÃO DOS PROCEDIMENTOS DE TESTE 53

5.3.1 EXCITAÇÃO POR RUÍDO BRANCO 53

5.3.2 EXCITAÇÃO EXTERNA HARMÔNICA 53

5.3.3 EXCITAÇÃO EXTERNA POR IMPULSO 53

5.4 DESCRIÇÃO DOS EXPERIMENTOS REALIZADOS NA BANCADA

DE TESTE 54

5.5 ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL 57

6. RESULTADOS 60

6.1 ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL 60

6.2 VALIDAÇÃO DO MODELO EM ELEMENTOS FINITOS 62

6.3 COMPARAÇÃO FEM X RESULTADOS EXPERIMENTAIS 64

6.3.1 EXCITAÇÃO POR IMPACTO 65

6.3.2 EXCITAÇÃO POR SHAKER 75

6.3.2.1 1ª FREQUÊNCIA NATURAL 76



7. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS 103

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 105

1

1. INTRODUÇÃO

Com o surgimento de problemas de engenharia, cada vez mais complexos, novas

tecnologias tornam-se imprescindíveis para a busca da solução dos mesmos. As áreas de

conhecimento da engenharia, uma vez isoladas, tornam-se interdependentes, a fim de desenvolver

novas máquinas, estruturas, componentes mecânicos e, consequentemente, metodologias mais

adequadas aos novos padrões de testes e análises.

Sistemas mecânicos, porém, estão sempre sujeitos a vibrações e, assim, expostos aos efeitos

temporais de fadiga e desgaste, que podem, num curto intervalo de tempo, causar perdas bruscas

nas propriedades físicas e geométricas destes sistemas. Portanto, muitas vezes, são necessários

dispositivos auxiliares para atuar em paralelo ao sistema principal, com a finalidade de manter o

desempenho deste sistema em relação às suas funções de projeto.

Um exemplo deste caso é o controle de vibrações progressivas em um sistema devido ao

tempo de uso, cujas fontes podem ser originárias de estruturas de suporte das máquinas,

desbalanceamento residual, ou excitação pela base, entre outras.

A frequência natural experimental de uma estrutura é obtida através de um teste

amplamente empregado no estudo dinâmico de estruturas, e consiste na aplicação de uma força

de excitação externa à estrutura, normalmente exercida por um dispositivo eletromecânico,

denominado Shaker. A resposta da estrutura é, então medida, em vários pontos para posterior

análise modal da estrutura e conseguinte identificação de seus parâmetros vibracionais. A

conexão física entre a estrutura e a fonte de excitação, tal como a qualidade do sinal gerado, são

fatores essenciais para um resultado de alta qualidade. Aplicando-se, então, técnicas de análise

modal às medições feitas, é possível obter as frequências naturais e os modos de vibrar do

sistema mecânico.

2

O conceito de aplicação de atuadores eletromagnéticos surge, nesse contexto, como uma

solução para o controle de vibrações, pois possibilita a introdução de forças compensadoras no

sistema através de forças eletromagnéticas, praticamente sem interação mecânica com a estrutura

em análise.

O conceito inicial do atuador magnético é simples, porém permite tanto a excitação externa

sem contato quanto o controle de vibrações, quando associado a um sistema de controle.

Entretanto, a avaliação das características de desempenho, que venham atender à solicitação

dinâmica do sistema, envolve procedimento de certo grau de complexidade.

O estado da arte, para o projeto até então desenvolvido, aborda considerações sobre o

modelo eletro-mecânico utilizado nas simulações, a influência da distribuição das bobinas e da

corrente elétrica aplicada, o efeito da folga entre os polos do atuador e a superfície do sistema

vibratório onde este atua, o efeito do tipo de geometria dos polos do atuador, assim como a

influência da frequência de excitação na força eletromagnética gerada.

Este trabalho tem por objetivo avaliar o desempenho de um controlador relativamente

simples, o PID (Proporcional-Integral-Derivativo), no controle de vibrações de um elemento de

viga com elevado grau de elasticidade, ou seja, uma viga muito flexível. A aplicação do

conhecimento aqui desenvolvido é ampla, podendo, por exemplo, ser direcionada para o controle

ativo de vibrações em sistemas de transmissão altamente flexíveis.

Primeiramente, foi desenvolvida a modelagem do sistema mecânico em questão, uma viga

altamente flexível, bi-engastada, através do método dos Elementos Finitos, utilizando o software

MATLAB, e então analisada, com o propósito de identificar as primeiras frequências naturais do

sistema, bem como seus modos próprios de vibrar.

Ao modelo de elementos finitos da viga, foi adicionado o modelo do atuador magnético,

obtido através da teoria de eletromagnetismo, e também os modelos numéricos dos componentes

do sistema eletrônico, como o amplificador de potência e o sensor de posição indutivo.

3

O controle PID foi aplicado ao modelo da viga, com os parâmetros proporcional, integral e

derivativo obtidos através do método de otimização de Ziegler-Nichols para sistemas SISO

(single input, single output) para diversas combinações de entrada (sensor de posição) e saída

(atuador magnético). O Método LPV (Linear Parameter Varying) é utilizado para interpolar os

valores encontrados com a técnica de otimização para alguns pontos da viga e construir uma

função cujo domínio contém todo o comprimento da viga.

Uma bancada de testes experimentais foi construída para a identificação dos parâmetros

vibracionais da viga, através de uma análise modal experimental, onde as três primeiras

frequências naturais e modos próprios de vibrar da viga foram identificados. Em seguida, o

conjunto atuador/controlador foi aplicado na presença de excitações externas do tipo senoidal,

através de um Shaker, e impulso, através de um martelo de impacto.

O objetivo principal do trabalho consiste em comparar os resultados obtidos das simulações

numéricas com os resultados obtidos na bancada experimental, para verificar a validade do

modelo do sistema, bem como verificar em quais posições o conjunto atuador magnético/sensor

de posição possui a maior eficiência no controle de vibrações.

Na sequência, o capítulo 2 deste trabalho apresenta uma revisão bibliográfica detalhada nos

quesitos atuadores magnéticos, AMBs (Active Magnetic Bearings), e também Controle PID,

essenciais para a compreensão e aplicação desses modelos no sistema mecânico utilizado.

A modelagem teórica foi desenvolvida no capítulo 3, consistindo na utilização da teoria de

eletromagnetismo para a elaboração do modelo do atuador magnético, da teoria de controle

abrangendo os parâmetros P, I e D do controlador, bem como da técnica de otimização de

Ziegler-Nichols. Também pode ser encontrado neste capítulo a teoria completa da modelagem

LPV e a construção do modelo completo utilizando espaço de estados.

No capítulo 4 há uma descrição do modelo de elementos finitos utilizado nas simulações

numéricas, e também uma descrição do programa utilizado para aquisição dos dados obtidos da

bancada experimental, e também a validação numérica da técnica LPV.

4

No capítulo 5 está apresentada a metodologia experimental utilizada para a construção da

bancada de testes, bem como a descrição das propriedades geométricas do atuador magnético e

uma lista de todos os componentes utilizados na montagem.

O capítulo 6 contém os resultados, numéricos e experimentais, e finalmente, o capítulo 7

contém as conclusões e considerações finais do trabalho, bem como algumas sugestões para

trabalhos futuros.

5

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Atuadores magnéticos, embora relativamente recentes, tem sido o enfoque de amplos

trabalhos desenvolvidos, desde seus princípios básicos de funcionamento (eletromagnetismo) até

a otimização da sua função (controle). Skowronski (1993) em um relatório entregue à NASA

(North American Space Agency), a fim de incorporar essa tecnologia no controle e sustentação de

painéis solares na Estação Espacial Internacional, conduziu uma introdução sobre os preceitos

básicos de um atuador magnético, levando em consideração vários parâmetros que influenciam a

força magnética obtida, como intensidade da corrente, área do polo e número de espiras

utilizadas.

Araújo e Lépore (1993) utilizaram imãs permanentes para controlar vibrações em rotores,

modelando forças magnéticas através de equações analíticas. O modelo do rotor foi desenvolvido

utilizando o método da matriz de transferência e a resposta do sistema foi obtida por análise

modal. Um dos imãs permanentes foi empregado como excitação externa e o outro como força de

controle em um sistema rotativo com velocidade de 1000 rpm. Neste trabalho, observou-se com

sucesso a redução da amplitude de deslocamento do disco central.

Uma análise sobre uma variedade de sensores que podem ser aplicados na levitação

magnética de mancais magnéticos é estudada em Boehm et al. (1993). Os sensores utilizados no

estudo foram: capacitivos, de efeito Hall, ópticos, laser, ultra-sônicos e de corrente parasita. As

características estudadas pelos autores, em cada tipo de sensor, são referentes à mudança de fase

entre o sinal de saída e entrada do sensor, resposta em frequência, estabilidade e efeitos de

temperatura nesses sensores.

Knight et al. (1994), em uma análise dinâmica de mancais magnéticos, utilizaram valores

medidos para as forças em um atuador magnético de dois graus de liberdade e obtiveram

equações de movimento não lineares para um mancal magnético, devido ao acoplamento

geométrico entre as coordenadas do sistema. Essa análise consistia em examinar o

6

desbalanceamento do sistema sujeito às forças de um mancal magnético ativo (AMB) controlado

linearmente. Os autores chegaram à conclusão de que, como essas equações são não lineares, seu

comportamento é diferente daquele de sistemas lineares, e a longo prazo, a implementação de

mancais magnéticos para esse tipo de análise depende de um conhecimento aprofundado das

características não lineares do sistema rotor-atuador-controlador.

Knospe e Tamer (1997) pesquisaram a influência da estabilidade e da robustez de um

sistema de controle com a finalidade de reduzir vibrações induzidas em rotores suportados por

mancais magnéticos. Foram utilizadas ferramentas de análise que produziram matrizes de ganho

sintetizado. Utilizando três dessas matrizes, cada uma com um intervalo de velocidade de

operação, uma bancada de testes foi construída, cada uma das matrizes foi implementada no

controlador e, então, sua eficácia foi verificada com o valor estipulado no projeto da matriz.

Em outro relatório para a NASA, Allaire et al. (1997) fizeram um estudo sobre a perda de

energia em mancais magnéticos. Primeiramente, os autores explicaram as duas geometrias

básicas de mancais magnéticos (Homopolar e Heteropolar) e suas diferenças básicas.

Posteriormente, foi utilizada uma câmara de vácuo, onde foi colocado um rotor suportado por

dois mancais acionados por motores elétricos, onde as perdas eram medidas através da conversão

da energia cinética gerada pelo rotor em energia térmica. A configuração homopolar apresentou

menores perdas comparadas com a heteropolar (Figura 1).

Figura 1 – Geometrias distintas de Mancais magnéticos Homopolar (A) e Heteropolar (B).

Fonte: (Schweitzer e Maslen, 2009)

7

Antila (1998) determinou os parâmetros linearizados de um mancal magnético radial

utilizando modelo bidimensional de elementos finitos. A verificação foi feita através de testes

conduzidos em duas máquinas, onde os resultados mostraram que o mancal pode ser empregado

operando na sua região de saturação. Também foi estudado o efeito do acoplamento entre os

movimentos em duas direções perpendiculares. O autor também apresentou modelos para o

estudo da histerese magnética e das correntes parasitas (eddy currents),este último derivado da

solução do campo magnético para uma direção.

Em Howe (2000) são apresentadas diversas aplicações para os atuadores magnéticos,

desenvolvidas principalmente na Universidade de Sheffield, na Inglaterra, como atuadores

esféricos, que possuem múltiplos graus de liberdade, atuadores eletromecânicos e eletro-

hidráulicos com aplicação na indústria aeroespacial, entre outras.

Em Maslen (2000) pode ser encontrada uma visão geral da teoria de magnetismo (equações

de Maxwell, força magnética, histerese, etc), assim como um estudo aprofundado sobre atuadores

eletromagnéticos, desde detalhes sobre a sua construção, principalmente empregando a

montagem diferencial, até características dos sensores de posição utilizados. O autor também

disponibiliza informações para o projeto do mancal e o emprego de amplificadores no projeto. No

final, aborda algumas técnicas de controle analógico e digital, dando enfoque ao controle

utilizando espaço de estados.

Em Ferreira et al. (2002), foi desenvolvida uma máquina de indução trifásica sem mancal,

onde a sustentação do rotor é feita através de atuadores magnéticos. Para o controle de posição do

sistema foram utilizados um controlador PD (para controlar a posição do rotor, visto que o

controlador PD possui como característica uma resposta rápida) e um controlador PI (para

controlar a corrente no sistema).

Aenis et al. (2002) estudaram a possibilidade de identificação de falhas em bombas d’água

com mancais magnéticos. Para tal, foram utilizadas funções de resposta em frequência (FRF).

Um dos problemas enfrentados pelos autores foi a necessidade de uma estimativa precisa para a

força magnética, assim, boa parte deste trabalho se dedicou às diversas formas de análise para

8

estimar essas forças. Os métodos utilizados foram os de corrente-deslocamento (medindo

corrente nas bobinas) e os métodos baseados no fluxo magnético (utilizando sensores de efeito

Hall) e concluíram que o erro na estimativa com os sensores Hall é menor (2% para 4 sensores,

1% para 8 sensores) se comparados à medição de corrente nas bobinas (8%).

Skricka e Markert (2002) mostraram em seus estudos os benefícios de uma integração entre

os componentes de um mancal magnético (controlador, amplificador de potência, sensores,

condicionadores de sinal e eletroímãs), a fim de eliminar desvantagens, como a alta despesa de

manutenção e a elevada sensitividade do conjunto. A integração ocorre em duas frentes, a

integração física, ou de hardware e a integração do processamento de informação, utilizando para

isso, microeletrônicos como plataforma de hardware.

Um ponto importante nos estudos de mancais magnéticos foi abordado em Schweitzer

(2002), a saber, as limitações físicas às quais estes estão submetidos. O autor apresenta os

seguintes pontos em sua obra: capacidade de carga, tamanho, rigidez, temperatura de operação,

precisão, velocidade e perdas. A capacidade de carga do mancal, por exemplo, depende de fatores

como o seu arranjo, e sua geometria. Esta também depende dos sistemas elétrico, eletrônico e

mecatrônico (controle) e, principalmente, das propriedades do material do atuador. O autor

exemplifica esses efeitos comparando as forças obtidas por unidade de área do polo em um

mancal feito de materiais convencionais e outro feito com ligas de cobalto, mostrando a

vantagem das ligas de cobalto. A faixa de frequência do mancal também é estudada, e sua relação

é diretamente proporcional à potência utilizada no amplificador e inversamente proporcional à

força magnética.

Harris e Widbro (2003) fizeram uma introdução sobre mancais magnéticos (Figura 2) e

suas características fundamentais, também elucidando um pouco da teoria de suspensão

magnética. Os autores descreveram as vantagens dessa tecnologia sem contato, uma vez que a

mesma praticamente elimina as perdas por atrito encontradas nos mancais convencionais. Ao

final é apresentado um exemplo, onde as vantagens da utilização desse tipo de mancal são

comparadas aos mancais hidrodinâmicos, quando aplicados em um compressor a gás padrão

(ANSI).

9

Figura 2 – Exemplo de Mancal Magnético Radial.

Fonte: www.schaeffler.de

Uma obra essencial para o conhecimento na construção de mancais magnéticos é Polajzer

(2003). Neste texto é apresentado todo o equacionamento dos campos magnéticos e forças

magnéticas. O diferencial dessa obra é a utilização de funções de otimização para a determinação

dos parâmetros geométricos do mancal, bem com simulações utilizando o método dos elementos

finitos para a obtenção e análise do campo magnético. O autor também apresenta o

desenvolvimento de um controlador PI e um controlador PD em cascata para realizar o controle

do mancal magnético.

Cole et al. (2004) tiveram por objetivo desenvolver um sistema de controle ativo para

detectar o que os autores denominaram falhas externas e falhas internas. Falhas externas ocorrem

devido a perturbações externas ao sistema (atuador magnético), como deformação ou quebra do

rotor. Falhas internas, analogamente, são falhas que prejudicam o próprio processo de atuação e

controle do sistema, como erros de software, falhas em placas de aquisição, sensores danificados,

bobinas danificadas Finalmente, o controlador robusto em conjunto com esse sistema de detecção

de falhas foi desenvolvido a partir de uma rede neural.

Bash (2005) utilizou mancais magnéticos como atuadores magnéticos para monitorar as

condições de operação de uma bancada de testes suportada por mancais convencionais, utilizando

um mancal heteropolar com oito polos. As falhas estudadas foram trincas no rotor e fricção (rub).

10

O objetivo do trabalho foi de identificar tais falhas utilizando mancais magnéticos como elemento

de excitação e não de suporte, como em outros trabalhos citados pelo autor. Os resultados

mostram que, quando o contato ocorre sem a rotação do eixo, os valores das frequências naturais

aumentam, enquanto as amplitudes da resposta diminuem, com o aumento da força de contato.

Schweitzer (2005) apresentou os aspectos de confiabilidade e segurança aplicados a

mancais magnéticos. Segundo o autor, pelo fato desses mancais serem de fato sistemas

mecatrônicos, estão sujeitos a falhas específicas nos sub-sistemas que o compõem (software,

circuitos eletrônicos e falhas mecânicas, principalmente). Também destaca alguns pontos que

devem ser analisados durante o projeto desses mancais para se aproximarem de um sistema

totalmente seguro (teórico). Exemplos utilizados no trabalho são: utilização da norma ISO-14839

para sistemas rotativos empregando mancais magnéticos, aplicação de sistemas de redundância e

o emprego do FMECA (Failure Modes, Effects, and Criticality Analysis). O trabalho também

apresenta o conceito de máquinas inteligentes. Neste tipo de sistema, a máquina conhece seu

estado atual e é capaz de otimizá-lo por meio de informações internas processadas. Isto conduz a

um melhor funcionamento, com características de auto-calibração, auto-diagnóstico, auto-

correção, e ainda, associado a isso, menor manutenção e maior segurança.

Chiba et al. (2005) é uma das referências mais expressivas nessa área, detalhando todo o

desenvolvimento de atuadores magnéticos, incluindo a montagem diferencial de atuadores (polos

diametralmente opostos), utilizando o fato de que atuadores só exercem forças de atração. Em sua

obra também foi calculada a força eletromagnética do atuador, bem como foram apresentados

modelagem, controle e sistema de potência para mancais magnéticos.

Guiráo (2006) estudou a influência da variação dos parâmetros do controle feedback tipo

PID em sistemas com mancais magnéticos. Um controle adaptativo, do tipo feedforward

utilizando um algoritmo LMS (Least Mean Square – Mínimos Quadrados) foi utilizado em

sobreposição ao controle PID para fazer o controle da vibração do rotor nas velocidades críticas.

Também foi analisado o efeito da posição dos sensores de posição e a variação nas propriedades

geométricas do mancal utilizado no controle da vibração.

11

Kasarda et. al (2007) mostraram que a obtenção da força magnética, utilizando os valores

de intensidade da corrente elétrica e distância do entreferro (air-gap), pode ser melhor estimada

ao se empregar o método de medição multiponto, se comparada com a técnica usual, de medição

em apenas um ponto. Os resultados obtidos pelos autores mostram que a técnica multiponto

permite obter valores experimentais da força magnética com predições de 1,03% e desvio padrão

de 0,83%, enquanto a técnica usual permite obter valores de predição da força de 5,76% e desvio

padrão de 6,17%.

Castro et al. (2007) apresentaram, utilizando a montagem diferencial proposta em Chiba et

al. (2005), o cálculo da força que um atuador magnético aplica, utilizando como base a Lei de

Ampère. Os autores também utilizaram o método dos elementos finitos para comparação dos

polos do atuador para duas geometrias distintas (circular ou plana), a fim de verificar qual possui

maior eficiência para o sistema utilizado: um eixo de seção circular. A geometria utilizada foi a

circular, uma vez que o air gap permanece constante, enquanto que correções necessitariam ser

feitas no modelo matemático para o polo de geometria plana (Figura 3).

Figura 3 – Esquema do sistema utilizado por Castro et al. (2007) com os dois atuadores.

Furtado (2008) apresentou um desenvolvimento detalhado de todos os sistemas que

compõe um atuador magnético (sistema mecânico, elétrico e magnético), e também sua

modelagem e construção. Utilizando elementos finitos, foram analisadas as influências de

parâmetros construtivos do atuador na sua eficácia, como geometria dos polos, a posição dos

12

sensores Hall (que medem a intensidade do campo magnético) e a distribuição de espiras no

núcleo ferromagnético. Utilizou-se um controlador proporcional implementado com auxílio de

amplificadores operacionais e, então, uma bancada experimental foi construída para a validação

das modelagens computacionais.

Perini (2009) utilizou um sistema com mancais convencionais e controle feedback em um

mancal magnético para faze-lo funcionar como um atuador magnético a fim de reduzir a vibração

de sistemas rotativos. Esse resultado foi comparado com outro sistema utilizando mancais

magnéticos no lugar dos mancais convencionais para a redução de vibração no sistema e controle

feedforward sobreposto ao feedback.

Em Mendes (2011) foi desenvolvido um sistema de excitação externa para um modelo de

sistema rotativo utilizando um atuador magnético como fonte de excitação sem contato. A

dissertação apresentou a modelagem em elementos finitos de um eixo contendo um disco e dois

mancais hidrodinâmicos, juntamente com o modelo do atuador magnético. O ensaio consistiu em

rotacionar o eixo com velocidades variando de 1000 a 3000 rpm e verificar o efeito do atuador

como fonte de excitação externa. Uma bancada foi montada e um atuador magnético foi

construído para a validação dos programas computacionais.

Anantachaisilp et al. (2012) demonstraram várias possibilidades de otimização para um

controlador PID, que é um dos mais utilizados para o controle de atuadores magnéticos. Os

autores apresentaram cinco maneiras de se otimizar um controlador PID, baseadas na robustez e

na performance de malha fechada: Ziegler-Nichols, Ziegler-Nichols sem sobre-sinal, Ziegler-

Nichols com algum sobre-sinal, Método de Tyreus-Luyben e Método de Shinskey. Para a

validação foram realizadas simulações computacionais e testes práticos em bancadas.

Bauomy (2012) estudou a estabilidade de um sistema com mancais magnéticos e um rotor

cuja rigidez era variável (quadrática e cubicamente) em função do tempo. Para esse propósito foi

utilizado o método da resposta em frequência para analisar o sistema em condições próximas da

ressonância sub-harmônica. O método de Runge-Kutta de quarta ordem foi utilizado para analisar

a estabilidade desse sistema no regime permanente para essa ressonância.

13

Impinna et al. (2012) apresentaram o conceito de mancais eletrodinâmicos (Electrodynamic

Bearings - EDB), que são mancais magnéticos, os quais geram forças através da utilização da

interação entre correntes parasitas em um condutor girante e campos magnéticos estáticos. A

característica mais interessante sobre o seu funcionamento é que a levitação pode ser alcançada

por meios passivos, eliminando assim a necessidade de equipamentos eletrônicos na sua

utilização. Os autores explicitam, porém, que a principal falha dos EDBs é a falta de um

procedimento de projeto adequado, uma vez que a opção mais utilizada é o uso do método dos

elementos finitos e tentativa e erro, o que agrega muito tempo e custo ao processo. Os autores

tentaram, a partir da necessidade de um projeto mais rápido, desenvolver uma metodologia para

uma primeira aproximação para o projeto do EDB.

Wang (2012) observou que, embora não ocorra contato em mancais magnéticos, ainda

existe uma força equivalente de fricção, similar à encontrada nos mancais convencionais, que

gera perdas de eficiência. Foi desenvolvido um método de pesquisa similar ao utilizado para

encontrar as perdas em mancais convencionais, a fim de beneficiar os projetos futuros de mancais

magnéticos. Foi construída uma bancada, onde os mancais foram simplificados em Eletroímãs

em forma de “U”, para analisar apenas os graus de liberdade não relacionados à rotação do eixo.

Garcia (2014) utilizou dois métodos de controle, LQR e PID na tentativa de estabilizar um

rotor suportado por mancais convencionais, baseando-se no critério utilizado na norma ISO-

14839. Os resultados obtidos mostram que a 1800rpm, o controle LQR tem melhor desempenho

do que o PID, embora ao aumentar o ganho proporcional, o controlador PID mostrou melhorias

na redução de amplitude de vibração. Deve-se tomar cuidado, pois a alteração dos parâmetros do

controle interfere com a margem de estabilidade do controlador.

O presente trabalho se insere, no contexto do estado da arte apresentado, como uma

aplicação em estrutura altamente flexível, para controle de vibrações induzidas por excitação

externa, em regime permanente, e também em regime transiente. Neste quesito, as fontes de

informação mais importantes no desenvolvimento deste trabalho são Maslen (2000), Polajzer

(2003), Chiba (2005), Castro (2007), Furtado (2008), Perini (2009) e Mendes (2011).

14

3. MODELAGEM TEÓRICA

Neste capítulo será apresentado o embasamento teórico da modelagem utilizada na

simulação numérica do sistema (Furtado 2008 e Perini 2009).

Inicialmente, o modelo do atuador magnético é desenvolvido para a montagem diferencial

e, em seguida, a força magnética é linearizada, e facilmente inserida na equação de movimento

do sistema. O modelo do controlador PID é, então, desenvolvido de forma que seu sinal de

controle é uma função de seus parâmetros de ganho proporcional, derivativo e integral. A técnica

anti-windup, conhecida como Back-calculation é aplicada para prevenir casos em que o

controlador possa atingir sua condição de saturação.

Uma vez definidos os modelos do atuador e do controlador, o modelo do sistema mecânico

é desenvolvido, utilizando o método dos elementos finitos para sua representação matemática

que, neste caso, consiste num elemento de viga. A este modelo é inserida a força magnética do

atuador magnético como excitação externa.

A partir deste ponto o sistema viga-atuador é representado em espaço de estados,

permitindo assim, a inserção do controlador no sistema.

Finalmente, os parâmetros do controlador são otimizados para algumas condições

específicas de montagem para, em seguida, serem interpolados por uma técnica de variação linear

de parâmetros, que torna o controlador adaptativo a essas condições.

3.1 ATUADOR MAGNÉTICO

A teoria básica do atuador magnético está calcada nos princípios do eletromagnetismo,

onde a Lei de Ampére explicita um campo magnético (H) em função do número de espiras (N),

15

enroladas ao redor de um caminho magnético de comprimento (l), e conduzindo uma corrente

elétrica de magnitude (i), segundo a equação (1):

𝐻 = 𝑁𝑖 𝑙⁄ (1)

O fluxo magnético (Ф) no circuito depende exclusivamente da intensidade de fluxo

magnético (B) e da área de folga do circuito magnético (Ag), incluindo, neste caso, ambos os

polos do atuador:

Ф = 𝐵𝐴𝑔 (2)

A densidade de fluxo (B), por sua vez, é função da permeabilidade (μ0) do meio onde a

folga será mantida (no caso do ar: μ0 =4π.10-7

H/m) e do campo magnético (H):

𝐵 = μ0H (3)

Organizando as equações (1) e (3), e substituindo o comprimento do caminho magnético L

pela folga (g) entre o material e a bobina em ambos os polos, segundo a Figura 4, obtém-se o

campo magnético, respectivamente, para cada uma das bobinas:

𝐵 =μ0Ni

2g (4)

Segundo a teoria do eletromagnetismo, a força magnética, é dada por:

𝐹𝑚𝑎𝑔 =𝐵2𝐴𝑔

2𝜇0 (5)

Para estimar a força aplicada em cada um dos polos da bobina, considera-se metade da área

superficial (Ag) dos polos, conforme equação (5). Substituindo a equação (4) em (5), tem-se a

força magnética em função dos parâmetros de projeto da bobina:

𝐹𝑚𝑎𝑔 =μ0𝑁

2𝑖2𝐴𝑔

8g2 (6)

16

Figura 4 – Esquema de montagem diferencial de atuadores magnéticos com duas bobinas.

Adaptado de Arcari 2012

Para a montagem diferencial da Figura 4, a força magnética real será igual a duas vezes a

força em cada polo, encontrada na equação (6), portanto:

𝐹𝑚 = 2𝐹𝑚𝑎𝑔 = μ0𝑁

2𝑖2𝐴𝑔

4g2 (7)

Como o circuito magnético real possui efeitos que normalmente reduzem a força obtida,

como difusão das linhas de força e fugas de corrente, os quais não são levados em consideração

na formulação teórica, é aconselhável a imposição de um fator de correção geométrico (ε≤1) para

a obtenção de resultados mais precisos. A nova expressão para a força magnética é, portanto:

𝐹𝑚 = ε μ0𝑁

2𝑖2𝐴𝑔

4g2 (8)

As forças magnéticas geradas nesses sistemas são de atração, e, portanto, os atuadores

devem ser dispostos aos pares diametralmente opostos em um arranjo de dupla ação (montagem

diferencial), conforme Figura (4), sendo g1 e g2 as folgas (gaps) entre as bobinas e a viga, Ag1 e

Ag2 as áreas dos polos das bobinas. Assim, haverá forças em ambos os sentidos do eixo x.

Portanto, a partir da equação (8), a força magnética resultante (Fm) no atuador será uma diferença

entre as forças diametralmente opostas (utilizando as notações da Figura (4)):

17

𝐹𝑚 = 𝐹1 − 𝐹2 = 𝜀𝜇0𝐴𝑔𝑁

2

4(𝑖12

𝑔12 −

𝑖22

𝑔22) (9)

Sendo que as folgas (g1 e g2) podem ser escritas em função da folga original g0 como:

𝑔1 = 𝑔0 – 𝑥 (10)

𝑔2 = 𝑔0 + 𝑥 (11)

Esta consideração é válida para um rotor perfeitamente centrado, sendo que, neste caso, x

representa a perturbação no eixo, medida a partir da posição central. A diferença no sinal de x

representa que, quando o eixo se aproxima na direção a um imã, estará simultaneamente se

distanciando do outro. De maneira semelhante às folgas, as correntes i1 e i2 também podem ser

reescritas em função de uma corrente permanente (bias), i0 e uma corrente de controle ix:

𝑖1 = 𝑖0 + 𝑖𝑥 (12)

𝑖2 = 𝑖0 – 𝑖𝑥 (13)

Figura 5 – Esquema da montagem do atuador magnético com representação das correntes

utilizadas no sistema de atuador magnético (corrente permanente e corrente de controle).

Na Figura 5, i0 e ix são, respectivamente, as intensidades da corrente permanente no circuito

(bias) e a da corrente de controle (ou perturbação), que em uma das bobinas é somada e na outra

é subtraída. Esta aproximação é necessária pois a corrente permanente (i0) permite posicionar a

referência para a variação da corrente de controle (ix) numa região praticamente linear da curva

de saturação da bobina. Desta forma, para pequenas variações de ix, é possível proceder com a

18

linearização da força magnética F. Substituindo, então as equações (10), (11), (12) e (13) na

equação (9), escreve-se o modelo completo da força magnética resultante:

𝐹𝑚 = 𝜀𝜇0𝐴𝑔𝑁

2

4((𝑖0+𝑖𝑥)

2

(𝑔0−𝑥)2−(𝑖0−𝑖𝑥)

2

(𝑔0+𝑥)2) = 𝜀𝐾𝑚 (

(𝑖0+𝑖𝑥)2

(𝑔0−𝑥)2−(𝑖0−𝑖𝑥)

2

(𝑔0+𝑥)2) (14)

Onde Km é a constante magnética e depende apenas de parâmetros de projeto do atuador.

Para a linearização da equação (14) utiliza-se a série de Taylor, em torno do ponto de equilíbrio

(ie e xe). A formulação básica da Série de Taylor para equação da força apresenta a seguinte

forma:

𝐹𝑚(𝑖𝑥, 𝑥) = 𝐹𝑚(𝑖𝑒, 𝑥𝑒) + (𝜕𝐹𝑚

𝜕𝑖𝑥)𝑖𝑥=𝑖𝑒,𝑥=𝑥𝑒

(𝑖𝑥 − 𝑖𝑒) + (𝜕𝐹𝑚

𝜕𝑥)𝑖𝑥=𝑖𝑒,𝑥=𝑥𝑒

(𝑥 − 𝑥𝑒) + ⋯(15)

Linearizando-se em torno de uma corrente de controle ix=ie não nula, e xe=0, tem-se os

seguintes termos associados à equação (15):

𝐹𝑚(𝑖𝑒 , 𝑥𝑒) = 𝐹𝑚(𝑖𝑒 , 0) = 𝜀𝐾𝑚 ((𝑖0+𝑖𝑒)

2

𝑔02−(𝑖0−𝑖𝑒)

2

𝑔02 ) = 𝜀

𝐾𝑚4𝑖𝑒𝑖0

𝑔02 (16a)

(𝜕𝐹𝑚

𝜕𝑖𝑥)𝑖𝑥=𝑖𝑒,𝑥=𝑥𝑒

= 𝜀𝐾𝑚 (2(𝑖0+𝑖𝑒)

(𝑔0−𝑥)2+2(𝑖0−𝑖𝑒)

(𝑔0+𝑥)2) = 𝜀

4𝐾𝑚𝑖0

𝑔02 (16b)

(𝜕𝐹𝑚

𝜕𝑥)𝑖𝑥=𝑖𝑒,𝑥=𝑥𝑒

= 𝜀𝐾𝑚 (−2(𝑖0+𝑖𝑒)

2

(𝑔0−𝑥)3−2(𝑖0−𝑖𝑒)

2

(𝑔0+𝑥)3 ) = −𝜀

4𝐾𝑚(𝑖02+𝑖𝑒

2)

𝑔03 (16c)

Assim, substituindo os termos resultantes das equações (16a-c) na equação (15):

𝐹𝑚 = 𝜀𝐾𝑚4𝑖𝑒𝑖0

𝑔02 + 𝜀

4𝐾𝑚𝑖0

𝑔02 (𝑖𝑥 − 𝑖𝑒) − 𝜀


2)

𝑔03 𝑥 →

𝐹𝑚 = 𝜀𝐾𝑚4𝑖𝑒𝑖0

𝑔02 + 𝜀

4𝐾𝑚𝑖0

𝑔02 𝑖𝑥 − 𝜀

4𝐾𝑚𝑖0

𝑔02 𝑖𝑒 − 𝜀


2)

𝑔03 𝑥 (17)

Considerando ie << i0, é possível eliminar o termo de maior ordem associado à ie, assim:

𝐹𝑚 = 𝜀4𝐾𝑚𝑖0

𝑔02 𝑖𝑥 − 𝜀

4𝐾𝑚𝑖𝑜2

𝑔03 𝑥 (18)

De acordo com a equação (18), as forças no atuador magnético dependem da corrente de

controle e da posição do eixo, para uma dada corrente permanente e uma folga g0. A variação

devido à corrente de controle na bobina é denominada ganho de rigidez de corrente (ki), enquanto

que a variação devido à variação da folga é chamada de rigidez de posição (kx). Assim, a equação

da força (18) se torna:

19

𝐹𝑚 = 𝑘𝑖𝑖𝑥 + 𝑘𝑥𝑥 (19)

As grandezas ki e kx são representadas, de acordo como a expansão na série de Taylor, pelos

seguintes termos:

𝑘𝑖 = 𝜕𝐹

𝜕𝑖𝑥= 𝜀

4𝐾𝑚𝑖0

𝑔02 (20)

𝑘𝑥 = 𝜕𝐹

𝜕𝑥= −𝜀

4𝐾𝑚𝑖02

𝑔03 (21)

A rigidez de corrente (ou ganho do atuador) é positiva, pois, um aumento na força externa

aplicada em uma dada direção, corresponde a um aumento na corrente de controle. A rigidez de

posição é negativa, pois quanto maior a distância entre a viga e o polo da bobina, menor a força

magnética obtida.

Agrupando os termos das equações (20) e (21) na equação (19), obtém-se a equação

linearizada da força magnética:

𝐹𝑚 = (𝜀𝜇0𝐴𝑔𝑁

2𝑖0

𝑔02 ) 𝑖𝑥 − (𝜀

𝜇0𝐴𝑔𝑁2𝑖02

𝑔03 ) 𝑥 = (𝜀

4𝐾𝑚𝑖0

𝑔02 ) 𝑖𝑥 − (𝜀

4𝐾𝑚𝑖02

𝑔03 ) 𝑥 (22)

Deve-se lembrar de que as forças atuando no sistema terão, além da componente

magnética, uma componente mecânica, ou de excitação (Fe), que pode ser, no caso aqui em

estudo, do tipo harmônico ou de impacto. A força magnética deve compensar os efeitos da força

de excitação. Portanto:

𝐹 = 𝐹𝑒 − 𝐹𝑚 (23)

A equação de movimento para um sistema massa-mola-amortecedor é definida conforme a

equação (24), onde m, c e k correspondem respectivamente a massa, amortecimento e rigidez da

viga:

𝑚�� + 𝑐�� + 𝑘𝑥 = 𝐹 (24)

Portanto, reorganizando a equação (24) com auxílio das equações (19) e (23), obtém-se o

modelo do sistema da viga agregando o atuador magnético:

𝑚�� + 𝑐�� + (𝑘 + 𝑘𝑥)𝑥 + 𝑘𝑖𝑖𝑥 = 𝐹𝑒 (25)

20

3.2 CONTROLADOR PID (PROPORCIONAL-INTERGAL-DIFERENCIAL):

O controlador PID padrão é descrito pela seguinte equação no domínio do tempo (Ogata,

2010):

𝑢(𝑡) = 𝐾 (𝑒(𝑡) +1

𝑇𝑖∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏𝑡

0+ 𝑇𝑑

𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡) (26)

Nessa equação, u é o sinal de controle, e e representa o erro associado a esse controle (que

é simplesmente a diferença entre o valor esperado do sinal de saída e o valor obtido desse mesmo

sinal). Pode-se observar, então, que o sinal de controle é simplesmente uma soma algébrica de 3

termos distintos: o termo P, que é proporcional ao erro, o termo I, que é proporcional a integral

do erro no tempo, e o termo D, proporcional a derivada no tempo do erro. Os parâmetros do

controlador são: K que é chamado de ganho proporcional (este valor pode ser diferente para cada

um dos termos, se necessário), Td e Ti que são respectivamente o tempo derivativo e o tempo

integral. O processo de otimização de controladores PID consiste na busca de valores para esses

três parâmetros (K, Td e Ti), a fim de encontrar a melhor configuração do controlador para aquela

determinada função.

A equação (26) pode ser também representada como uma função de transferência, da

forma:

𝐺(𝑠) = 𝐾 (1 +1

𝑠𝑇𝑖+ 𝑠𝑇𝑑) (27)

Redefinindo os parâmetros do controlador como: K=Kp, K/Ti=Ki e K.Td=Kd, chega-se a

forma mais conhecida da equação do controlador PID (Figura 6):

𝑃𝐼𝐷(𝑠) =𝐾𝑑𝑠

2+𝐾𝑝𝑠+𝐾𝑖

𝑠 (28)

21

Figura 6 – Exemplo de diagrama de blocos de um controlador PID.

Cada um dos parâmetros possui uma influência no controlador PID como um todo. O

termo proporcional (Kp) é relacionado à rigidez do sistema. Se o valor de Kp for muito elevado, o

sistema se torna instável, pois multiplica diretamente a resposta às variações no erro.

Analogamente, se o parâmetro Kp for muito pequeno, a resposta em relação a valores de erro

muito elevados será pequena, resultando num controlador de baixa sensibilidade ao erro, o que

resulta em um esforço de controle muito pequeno para as perturbações no sistema. A contribuição

do parâmetro integral (Ki) é proporcional tanto em relação a magnitude do erro quanto ao seu

tempo de duração. Este parâmetro corresponde à soma de todos os erros instantâneos durante o

período de tempo, e retorna o desvio acumulado que deveria ter sido corrigido previamente, o que

pode gerar um sobressinal em relação ao valor esperado. O parâmetro integral também tende a

eliminar o erro estacionário residual oriundo do controlador puramente proporcional. O

parâmetro derivativo (Kd) ajuda a prever o comportamento do sistema e, assim, melhorar o tempo

de acomodação e a sua estabilidade. Geralmente, não é muito utilizado, devido a sua alta

sensibilidade ao ruído obtido nas medições. Se o ruído for muito elevado, o termo derivativo

tende a diminuir a efetividade do controlador como um todo, devido ao seu comportamento

errático nessas condições.

O ganho derivativo normalmente apresenta uma limitação na qual amplifica medições de

alta frequência, o que pode piorar a saída do sistema. Uma solução para este problema é adicionar

um coeficiente de filtro (Nf) ao modelo de controle que atua como um filtro passa-baixa e, assim,

22

consegue remover as componentes de alta frequência das medições. A equação do controlador,

com a adição do filtro, se torna:

𝑃𝐼𝐷(𝑠) =(𝐾𝑝+𝐾𝑑𝑁𝑓)𝑠

2+(𝐾𝑝𝑁𝑓+𝐾𝑖)𝑠+𝐾𝑖𝑁𝑓

𝑠2+𝑁𝑓𝑠 (29)

3.2.1 WINDUP E ANTI-WINDUP:

Embora diversas condições do comportamento de um controlador PID sejam bem descritas

pela teoria linear, alguns efeitos não lineares devem ser levados em consideração, uma vez que os

atuadores magnéticos em geral possuem limitações em sua construção, como por exemplo:

número de espiras na bobina, diâmetro do fio de cobre, área do polo, folga, dimensões do núcleo

ferromagnético, etc. Quando um sistema de controle deve atuar em uma ampla gama de

condições operacionais, não é raro o controlador levar o atuador a operar em seu limite de

saturação. Uma vez que esta situação venha a ocorrer, o loop de malha fechada é interrompido e

o sistema passa a funcionar como um sistema de malha aberta, visto que o atuador tende a

permanecer no seu limite de saturação independente da saída do sistema. Num controlador PID,

em que há um termo integral, o erro continuará a ser integrado, conforme equação (26), tornando-

se muito elevado devido ao seu caráter cumulativo. A consequência imediata é que o controlador

pode passar por transientes muito longos a partir do momento de saturação do atuador.

A Figura 7 mostra o sinal de controle (u), o sinal de saída (y) e o sinal de saída esperado

(ysp) para condição de saturação do controlador. No instante em que o sinal esperado (ysp) deve

atingir seu valor máximo (Figura 7-a), o sinal de controle (u) alcança o seu valor máximo (umax),

o qual não é o suficiente para eliminar o erro entre o sinal esperado e a saída (e=ysp-y), assim, a

integral do erro do controle na equação (26) e, consequentemente, a parte integral do sinal de

controle continua a aumentar sucessivamente a cada loop.

23

Figura 7 – Ilustração do fenômeno de windup e do anti-windup de um controlador

(Adaptado de Aströn & Hägglund 2006).

Figura 8 – Ilustração do controlador com o sistema Anti-windup. (Adaptada de Aströn &

Hägglund 2006)

24

Uma vez que o sinal de controle desejado (u) continua a aumentar existe uma diferença

entre o sinal desejado e o sinal real (uout) do atuador em saturação, o qual obviamente não é

suficiente para que y atinja o valor de ysp. Pode-se observar que o valor do sinal de controle (u)

continua a aumentar indefinidamente, até que o sinal de saída esperado seja novamente reduzido

a um valor controlável, ou seja, abaixo do limite de saturação do atuador. Mesmo assim, pode-se

notar um atraso na resposta (u) devido ao tempo necessário para que o atuador saia da região de

saturação.

Esse fenômeno de windup é conhecido desde a época dos controladores analógicos e várias

tentativas para evitá-los foram concebidas. Quando os controladores alcançaram a era digital,

vários métodos foram desenvolvidos, chamados de Anti-windup, dentre os quais será tratado o

método Back Calculation, utilizado neste trabalho para o projeto do controlador.

O método Back calculation funciona da seguinte forma: quando o valor do sinal de saída do

controlador atinge a saturação, o termo integral do controlador é recalculado para que o novo

valor do sinal de saída esteja abaixo do limite de saturação.

A Figura 8 mostra um diagrama de blocos contendo um controlador PID de acordo com as

equações (27) e (28), com anti-windup utilizando Back-calculation. O sistema possui um sistema

de realimentação extra, gerado pela medição do sinal de saída de um modelo matemático do

atuador, formando um sinal de erro (es), composto pela diferença do sinal de saída do controle (v)

e do sinal de saída do atuador (u). O sinal de erro é alimentado no termo integral do controlador

através de um ganho (1/Tt), onde Tt é chamado de tracking time constant (constante de tempo de

rastreamento).

É possível observar que, se não houver saturação, o sinal de erro é praticamente nulo e,

portanto, não haverá nenhum efeito sobre o funcionamento normal do atuador. No caso de

saturação, obviamente o sinal de erro será diferente de zero, quebrando assim o loop de malha

fechada devido ao sinal (u) permanecer constante neste caso. O loop em torno do termo integral

ocasiona, então, o sinal de compensação de forma que o sinal de entrada do integrador se anule.

25

Pela Figura 8, observando-se o somatório à frente do ganho Integral, nota-se que o sinal de

entrada do integrador (Ii) é dado por:

𝐼𝑖 =1

𝑇𝑡𝑒𝑠 +

𝐾

𝑇𝑖𝑒 (30)

sendo e é o sinal de erro do controlador. Fazendo o sinal de entrada do integrador nulo

(Ii=0) tem-se:

𝑒𝑠 = −𝐾𝑇𝑡

𝑇𝑖 𝑒 (31)

Tomando-se o regime permanente, e lembrando que es=u-v, tem-se que:

𝑣 = 𝑢𝑙𝑖𝑚 +𝐾𝑇𝑡

𝑇𝑖 𝑒 (32)

Onde ulim é o valor de saturação do sinal de entrada do atuador. Sendo que os valores de e e

de ulim possuem o mesmo sinal, pode-se afirmar que o sinal de saída v é sempre maior que ulim,

impedindo que o valor de es seja negativo e, assim, que o controlador entre em windup. A taxa na

qual o sinal de saída do controlador é redefinida é dada pelo ganho 1/Tt.

26

3.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (FEM):

O método dos elementos finitos (FEM- Finite Elements Method) é uma técnica numérica

muito utilizada nos estudos da mecânica do contínuo, a fim de simplificar a abordagem de

problemas muito complexos. Neste método, um sistema contínuo é discretizado em elementos

considerados, em sua individualidade, também contínuos. Assim, neste caso, o deslocamento em

qualquer ponto do sistema é expresso em função dos deslocamentos de um conjunto determinado

de nós, aplicando-se uma função de interpolação. Para o presente trabalho foi utilizado o modelo

de pequenas deformações, sem a inclusão de fenômenos de cisalhamento nem de deformação na

região plástica do material. Também não havia nenhum interesse na deformação axial da viga

flexível (eixo X da Figura 9), pois esta seria desprezível devido a condição de bi-engaste.

A equação (33) representa para o sistema estudado, assim:

[𝑀]{��} + [𝐶]{��} + [𝐾]{𝑥} = {𝐹} (33)

Onde [M], [C] e [K] são, respectivamente, as matrizes globais de massa, amortecimento e

rigidez do sistema, e {F} é um vetor contendo as forças externas (força magnética do atuador e a

força de excitação mecânica).

A matriz de Massa do elemento de viga, considerado um elemento de seção constante e de

massa contínua e uniforme, para um elemento bidimensional é dada por (Nelson & McVaugh

1976):

[𝑀𝐸] =𝜌𝐴𝐿

420

[ 1560 156 𝑠𝑖𝑚.0 −22𝐿 4𝐿2

22𝐿 0 0 4𝐿2

54 0 0 13𝐿 1560 54 −13𝐿 0 0 1560 13𝐿 −3𝐿2 0 0 22𝐿 4𝐿2

−13𝐿 0 0 −3𝐿2 −22𝐿 0 0 4𝐿2]

(34)

Enquanto a matriz de rigidez do elemento de viga é dada por:

27

[𝐾𝐸] = 𝐸

[ 12𝐼𝑧

𝐿3⁄

012𝐼𝑦

𝐿3⁄ 𝑠𝑖𝑚.

0−6𝐼𝑦

𝐿2⁄

4𝐼𝑦𝐿⁄

6𝐼𝑧𝐿2⁄ 0 0

4𝐼𝑧𝐿⁄

−12𝐼𝑧𝐿3⁄ 0 0

−6𝐼𝑧𝐿2⁄

12𝐼𝑦𝐿3⁄

0−12𝐼𝑦

𝐿3⁄

6𝐼𝑦𝐿2⁄ 0 0

12𝐼𝑦𝐿3⁄

0−6𝐼𝑦

𝐿2⁄

2𝐼𝑦𝐿⁄ 0 0

6𝐼𝑦𝐿2⁄

4𝐼𝑦𝐿⁄

6𝐼𝑧𝐿2⁄ 0 0

2𝐼𝑧𝐿⁄

−6𝐼𝑧𝐿2⁄ 0 0

4𝐼𝑧𝐿⁄ ]

(35)

Onde, tem-se o comprimento do elemento (L),.a área da seção transversal da viga (A),

massa específica do material (ρ), o módulo de Young do material (E) e os respectivos momentos

de inércia de área ,com relação a Y e Z (Iy e Iz).

Como os elementos de viga estão bem caracterizados pela predominância da dimensão na

direção axial, adotou-se o modelo de viga de Euler-Bernoulli, ou seja, são desprezados os efeitos

de cisalhamento.

Figura 9 – Elemento de viga com os eixos e dimensões principais para o cálculo dos

momentos de inércia de área.

28

Onde y e z representam os deslocamentos nos eixos Y e Z, e θy e θz representam as

respectivas rotações. Os índices n e n+1 representam dois nós subsequentes no modelo da viga

Como a viga em questão possui seção retangular (Figura 9), onde a representa a largura da

viga e b a altura da mesma, os momentos em ambos os eixos principais de inércia são dados por:

𝐼𝑦 =𝑏𝑎3

12⁄ (34)

𝐼𝑧 =𝑎𝑏3

12⁄ (35)

Para a obtenção da matriz de amortecimento [C] adotou-se a premissa de amortecimento

estrutural proporcional:

[𝐶] = 𝛼[𝑀] + 𝛽[𝐾] (36)

Onde α e β são constantes empíricas. Neste trabalho, foi considerado que o amortecimento

estrutural não depende de α, e assim, é diretamente proporcional à matriz de rigidez do sistema

estudado (Weyming & Novak, 1996). A equação (36) torna-se, portanto:

[𝐶] = 𝛽[𝐾] (37)

Com as matrizes de elementos formadas, estas são reagrupadas em matrizes globais de

massa, rigidez e amortecimento, que possuem iguais dimensões dependendo do número n de nós,

inicialmente definido no problema. Essas matrizes irão conter todos os graus de liberdade do

modelo (Figura 10).

29

Figura 10 – Arranjo das Matrizes de cada elemento na matriz global (Castro, 2007).

É necessário encontrar um número de nós que produza resultados representativos,

respeitando a convergência do método, de forma a evitar instabilidades numéricas.

De acordo com a Figura 10, as matrizes elementares [ME], [CE] e [KE], compreendem dois

nós do modelo da viga, assim, os vetores respectivos de deslocamento, velocidade e aceleração

associados a cada elemento tem a seguinte forma (Equação 38), de acordo com as notações da

Figura 9:

{𝑥} =

{

𝑦𝑛𝑧𝑛𝜃𝑦𝑛𝜃𝑧𝑛𝑦𝑛+1𝑧𝑛+1𝜃𝑦𝑛+1𝜃𝑧𝑛+1}

{��} =

{

𝑦��𝑧��𝜃𝑦𝑛

𝜃𝑧𝑛

𝑦𝑛+1𝑧𝑛+1

𝜃𝑦𝑛+1

𝜃𝑧𝑛+1 }

{��} =

{

𝑦��𝑧��𝜃𝑦𝑛

𝜃𝑧𝑛

𝑦𝑛+1𝑧𝑛+1

𝜃𝑦𝑛+1

𝜃𝑧𝑛+1 }

(38)

30

3.4 ESPAÇO DE ESTADOS:

A representação matemática de um problema em equações diferenciais lineares de segunda

ordem, como é o caso da equação (33), pode ser feito na forma de espaço de estados que, por sua

vez, permite a redução da ordem do modelo, facilitando a integração do sistema mecânico e a

inserção do modelo do controlador do atuador magnético.

Explicitando novamente a equação (33) para a viga:

[𝑀]{��} + [𝐶]{��} + [𝐾]{𝑥} = {𝐹} (33)

A equação de espaço de estados correspondente apresenta a seguinte forma:

{{��}{��}} = [

[0] [𝐼]

−[𝑀]−1[𝐾] −[𝑀]−1[𝐶]] {{𝑥}{��}} + [

[0]

[𝑀]−1] {𝐹} (39)

A equação que representa o modelo do atuador magnético, na forma matricial, possui a

seguinte forma:

{𝐹𝑚} = [𝐾𝑖]{𝑖𝑥} + [𝐾𝑥]{𝑥} (40)

Adicionando a equação (40) à equação (33), obtém-se a equação matricial do sistema

viga+atuador magnético:

[𝑀]{��} + [𝐶]{��} + [𝐾]{𝑥} = {𝐹} = {𝐹𝑒} − {𝐹𝑚} →

[𝑀]{��} + [𝐶]{��} + [𝐾]{𝑥} + [𝐾𝑥]{𝑥} + [𝐾𝑖]{𝑖𝑥} = {𝐹𝑒} →

[𝑀]{��} + [𝐶]{��} + ([𝐾] + [𝐾𝑥]){𝑥} + [𝐾𝑖]{𝑖𝑥} = {𝐹𝑒} (41)

Assim, o espaço de estados do sistema viga+atuador torna-se:

{{��}

{��}} = [

[0] [𝐼]

−[𝑀]−1([𝐾] + [𝐾𝑥]) −[𝑀]−1[𝐶]] {{𝑥}

{��}} + [

[0] [0]

[𝑀]−1 −[𝑀]−1[𝐾𝑖]] {{𝐹𝑒}

{𝑖𝑥}}(42)

Nessa equação, [Kx] e [Ki] são matrizes que contém os valores de rigidez de posição e

da rigidez de corrente na diagonal principal correspondente ao grau de liberdade em que o

atuador é posicionado (equações (20) e (21)). O vetor {ix} contém os valores das correntes de

controle na posição do atuador.

O sistema completo consiste em: um atuador magnético, uma viga flexível, um controlador

PID, um sensor de posição e em um amplificador de potência. Assumindo um sensor de posição

31

linear, a relação entre o valor medido de tensão qm e o deslocamento x é dada pelo ganho do

sensor de posição Sx:

𝑞𝑚 = 𝑆𝑥𝑥 (43)

O amplificador, quando sujeito a uma tensão de entrada Vc, aplica uma corrente

proporcional a esta tensão, através de um ganho linear Si entre a tensão de entrada (Vc) e a

corrente de saída (ix):

𝑖𝑥 = 𝑆𝑖𝑉𝑐 (44)

Para um controlador PID, a equação de espaço de estados, possui a forma:

{𝑥��} = [𝐴𝑐]{𝑥𝑐} + [𝐵𝑐]{𝑞𝑚} (45)

{𝑉𝑐} = [𝐶𝑐]{𝑥𝑐} + [𝐷𝑐]{𝑞𝑚} (46)

Sendo {qm} o vetor de entrada e {xc} o vetor de saída a ser controlado. A matriz [Ac], neste

caso, contém o modelo do controle. Substituindo as equações (43) e (44) nas equações (45) e

(46), obtém-se a equação de espaço de estados para o sistema eletrônico composto pelo

controlador, sensor e amplificador:

{𝑥��} = [𝐴𝑐]{𝑥𝑐} + [𝐵𝑐][𝑆𝑥]{𝑥} (47)

{𝑖𝑥} = [𝐶𝑐][𝑆𝑖]{𝑥𝑐} + [𝐷𝑐][𝑆𝑖][𝑆𝑥]{𝑥} (48)

A fim de reescrever a equação de espaço de estados, são feitas as seguintes equivalências:

[𝐴𝑐 ] = [𝐴𝑐] (49)

[𝐵𝑐 ] = [𝐵𝑐][𝑆𝑥] (50)

[𝐶𝑐 ] = [𝐶𝑐][𝑆𝑖] (51)

32

[𝐷𝑐 ] = [𝐷𝑐][𝑆𝑖][𝑆𝑥] (52)

Onde as matrizes [𝐴𝑐 ], [𝐵𝑐 ], [𝐶𝑐 ] e [𝐷𝑐 ] são, respectivamente a matriz do modelo do

controlador, a matriz do ganho equivalente de entrada, a matriz do ganho equivalente do sensor

de posição e a matriz do ganho equivalente do amplificador.

Desse modo as equações (45) e (46) tornam-se:

{𝑥��} = [𝐴𝑐 ]{𝑥𝑐} + [𝐵𝑐 ]{𝑥} (53)

{𝑖𝑥} = [𝐶𝑐 ]{𝑥𝑐} + [𝐷𝑐 ]{𝑥} (54)

Também, é possível agrupar as equações de espaço de estados para o sistema viga+atuador

(40) e do sistema eletrônico ((51) e (52)), encontrando, assim, a forma matricial para o sistema

completo:

[𝑀]{��} + [𝐶]{��} + ([𝐾] + [𝐾𝑥]){𝑥} + [𝐾𝑖]([𝐶𝑐 ]𝑥𝑐 + [𝐷𝑐 ]𝑥) = {𝐹𝑒} →

[𝑀]{��} + [𝐶]{��} + ([𝐾] + [𝐾𝑥] + [𝐾𝑖][𝐷𝑐 ]){𝑥} + [𝐾𝑖][𝐶𝑐 ]𝑥𝑐 = {𝐹𝑒} (55)

Finalmente, é possível obter a representação no espaço de estados para o sistema completo,

onde a equação de saída é composta pelas variáveis passíveis de serem controladas.

{

{��}

{��}

{𝑥��}} = [

[0] [𝐼] [0]

−[𝑀]−1([𝐾] + [𝐾𝑥] + [𝐾𝑖][𝐷𝑐 ]) −[𝑀]−1[𝐶] −[𝑀]−1[𝐾𝑖][𝐶𝑐 ]

[𝐵𝑐 ] [0] [𝐴𝑐 ]

] {

{𝑥}

{��}𝑥𝑐

} + [

[0]

[𝑀]−1

[0]] {𝐹𝑒} (56)

33

3.5 MÉTODO DE ZIEGLER-NICHOLS:

Um método clássico para determinação dos parâmetros de um controlador PID foi

apresentado por John G. Ziegler e Nathaniel B. Nichols em 1942 (Aströn e Hägglund 1995). Esse

método, denominado por método de Ziegler-Nichols da resposta em frequência, é baseado no

conhecimento do ponto em uma curva de Nyquist na qual a função de transferência de todo o

sistema (P(s)) intercepta o eixo real negativo, determinando assim os valores de Ganho

Definitivo (Ku) e Período Definitivo (Tu). Esses valores são obtidos associando um controlador à

planta do sistema e considerando-o apenas proporcional, ou seja, fazendo Ti=∞. e Td=0 na

equação 27. Em seguida, o ganho proporcional K é aumentado até que o processo comece a

oscilar (limiar de instabilidade). O ganho proporcional, nesse limiar, torna-se o ganho definitivo

Ku e o correspondente período de oscilação da planta, o período definitivo Tu. O método utiliza

expressões simples (Tabela 1) para os valores de K, Ti e Td em função de Ku e Tu.

Tabela 1 – Parâmetros de diversos controladores obtidos utilizando o método de Ziegler-

Nichols da resposta em Frequência.

Tipo de Controlador K Ti Td

P 0,5Ku - -

PI 0,4Ku 0,8Tu -

PID 0,6Ku 0,5Tu 0,125Tu

O método da resposta em frequência pode ser visto como um método empírico de

otimização, onde os parâmetros dos controladores foram obtidos após muitos testes

experimentais ao longo de muitos anos. Para o sistema utilizado neste trabalho, a Planta P(s)

pode ser observada na Figura 11 com todos os componentes descritos na seção 3.4.

34

Figura 11 – Sistema completo Controlador + Planta do sistema.

A Figura 11 mostra como a planta do sistema P(s) é obtida através do modelo em elementos

finitos (e espaço de estados). É possível observar que o sistema encapsulado pela planta é

composto de todos os componentes citados na seção 3.4 (controlador PID, atuador magnético,

sensor de posição, amplificador de corrente e a própria viga flexível), com a adição do sistema de

excitação.

35

3.6 MODELOS L.P.V. UTILIZANDO TÉCNICA S.M.I.L.E.:

Após o desenvolvimento dos controles otimizados, conforme seções precedentes, para

vários conjuntos de entradas (sensor de posição) e saídas (atuador magnético) ao longo da viga,

esse grupo de controladores pode ser reparametrizado em um único controlador, sendo este uma

função da posição do atuador magnético na viga flexível, utilizando, para isso, uma técnica LPV

(Linear Parameter Varying, ou variação linear de parâmetros). Para este caso, foi utilizada

também a técnica SMILE (State-Space Model Interpolation of Local Estimates, ou Interpolação

de modelos de espaço de estados de estimativas locais). É uma das diversas técnicas utilizadas na

obtenção de modelos LPV. Esta técnica consiste na interpolação de modelos LTI (espaço de

estados com matrizes invariantes no tempo) obtidos para diversas condições de operação do

sistema (nesse caso, para diversas posições do atuador magnético).

Em outras palavras, o objetivo da técnica é obter um modelo “contínuo” e adaptativo em

relação ao parâmetro de variação do sistema, a partir de modelos obtidos para condições de

operação discretas. A técnica SMILE é constituída por 5 passos, (De Caigny et al. 2011):

1º - Obter uma combinação válida de entradas e saídas (SISO – Single Input, Single

Outrput), a partir do sistema inicial (MIMO – Multiple Input Multiple Output). Como já foi dito

na seção anterior, o método de otimização do controlador utilizou somente uma entrada e uma

saída, caracterizando, assim um sistema SISO somente para aplicação da otimização. O sistema

real consiste em um sistema MIMO, pois possui duas entradas (força do atuador magnético e

força de excitação externa) e duas saídas (deslocamento medido pelo sensor de posição e pelo

atuador magnético);

2º - Calcular e ordenar os polos, e zeros, para os modelos SISO de cada condição de

operação;

3º - Dividir cada modelo SISO original em um ganho multiplicado pela conexão em série

de sistemas de 1ª e 2ª ordem (obtidos pela ordenação dos polos e zeros), de forma a obter um

novo modelo SISO;

4º - Para cada condição de operação, calcular a matriz de transformação entre os sistemas

SISO novo e antigo, e aplicá-la no sistema MIMO original;

36

5º - Resolver o problema de otimização para obter as matrizes do modelo LPV MIMO

interpolado, obtendo assim o controlador adaptativo do sistema.

É importante notar que os primeiros 4 passos são necessários para assegurar que o modelo

MIMO seja representado de maneira consistente, assim o problema de otimização possui solução.

Um diagrama demonstrando como a técnica SMILE foi aplicada no contexto deste trabalho está

representado na Figura 12, e uma descrição matemática mais completa pode ser encontrada em

De Caigny et al. (2011).

Figura 12 – Fluxograma da técnica SMILE para o sistema da viga.

Deve- se, no entanto, tomar alguns cuidados na aplicação da técnica SMILE; quando da

implementação do método:

O sistema deve ter um número de zeros constante para todas as condições de operação;

37

A combinação entrada-saída escolhida deve ser controlável e não possuir zeros em zero

(diferenciador puro);

A combinação escolhida no passo anterior deve ter um número de zeros constante para

todas as condições de operação, caso contrário, volta-se ao passo anterior e uma nova

combinação é escolhida;

Quando distribuindo os polos e zeros nos sub-sistemas de primeira e segunda ordem (na

forma canônica observável), deve-se tomar o cuidado de não alocar polos ou zeros complexos

conjugados em sub-sistemas diferentes.

38

4. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS E AQUISIÇÃO DE DADOS

Neste capítulo, serão apresentadas as considerações e os parâmetros utilizados nas

simulações numéricas, realizadas para o modelo em elementos finitos, bem como a descrição do

programa utilizado para a aquisição e o processamento dos dados obtidos da bancada

experimental.

4.1 MODELO POR ELEMENTOS FINITOS (MATLAB-SIMULINK)

Para a simulação por elementos finitos, modelou-se a viga bi-engastada, de maneira a

representar a bancada experimental. No modelo por elementos finitos do sistema foram utilizados

elementos de 25mm de comprimento. Sendo assim, para a viga utilizada (1000mm), tem-se 40

elementos (e 41 nós). A peça de metal que foi utilizada em conjunto com o atuador magnético

também foi modelada e adicionada ao modelo da viga no grau de liberdade associado ao atuador

magnético.

Para simular os engastes no primeiro e no último nó, optou-se por elevar as rigidezes dos

graus de liberdade associados a esses nós a valores extremamente altos, impedindo o

deslocamento e a rotação em todas as direções (Arcari, 2012). As localizações dos componentes

(sensor de posição e atuador magnético) foram colocadas de acordo com a montagem da bancada

experimental, de modo a comparar o modelo computacional com os resultados dos testes (Figura

13).

Figura 13 – Esquema do modelo de uma viga bi-engastada por elementos finitos.

39

As propriedades do material que compõem a viga de aço-inoxidável são os seguintes:

Módulo de Young E = 2,1x1011

N/m2, densidade ρ = 7800kg/m

3. Para o amortecimento, foi

utilizada a hipótese de amortecimento estrutural proporcional, cujo coeficiente de amortecimento

estrutural é β = 2x10-4

(Weiming & Novak, 1996).

De maneira similar ao modelo de elementos finitos, um diagrama de blocos foi criado,

utilizando o Matlab-Simulink (Figura 14). A figura mostra como o modelo do atuador magnético,

visto na seção 3.1, é adicionado ao modelo de espaço de estados da viga, em conjunto com os

outros componentes do sistema (controlador PID, amplificador de corrente e sensor de posição).

Figura 14 – Diagrama de blocos do sistema completo (viga+atuador+controlador) pelo

método os elementos finitos.

40

4.2 MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS (PRO-ENGINEER/CREO

ELEMENTS)

Com o propósito de verificar se o modelo em elementos finitos criado no MATLAB

representava fielmente a viga flexível, foi utilizado um software comercial, o Pro-Engineer, que

utiliza milhares de elementos em sua malha. A viga foi modelada (Figura 15), juntamente com a

peça de metal (Figura 16), e utilizando o módulo MECHANICA foram obtidas as frequências

naturais da viga, as quais foram comparadas às obtidas no modelo por elementos finitos, que

podem ser encontradas no capítulo 6 deste trabalho.

Figura 15 – Viga Flexível modelada utilizando o software Pro-Engineer, com restrições e

malha visível.

Figura 16 – Detalhe da peça de metal modelada utilizando o software Pro-Engineer, com

malha visível.

41

4.3 DESCRIÇÃO DO SISTEMA DE AQUISIÇÃO DA BANCADA

EXPERIMENTAL

O Matlab-Simulink também foi utilizado para o sistema de aquisição utilizado na parte

experimental, o qual pode ser observado na Figura 17.

Figura 17 – Diagrama de blocos para o programa de aquisição de dados da bancada

experimental.

Os sinais de entrada do programa são, como exemplificados acima, os valores de tensão no

sensor de posição (Vsen) e a tensão medida pela célula de carga acoplada ao Shaker ou ao martelo

(Vexc). A corrente permanente (Ib) do sistema é transformada em tensão através do ganho inverso

do amplificador, uma vez que o controlador PID tem como sinal de saída um valor de tensão, e

não de corrente. A tensão de saída do controlador (Vpid) é chamada de tensão de controle, que

será somada ou subtraída em cada um dos lados do atuador, analogamente à corrente de controle

vista no capitulo 3.

Para o processamento de dados, os sinais do sensor e da célula de carga passam pelos seus

respectivos inversos dos ganhos (-1 na Figura 17), respectivamente, a fim de serem armazenados

42

os valores de posição medidos no sensor e da força medida na célula de carga, bem como as

intensidades das correntes medidas em ambos os lados do atuador magnético.

4.4 VALIDAÇÃO DA TÉCNICA SMILE UTILIZANDO MODELOS LPV

Utilizando a técnica SMILE para obtenções dos modelos LPV para controladores PID, foi

possível obter controladores que se adaptassem a um espectro de 1cm a 50cm (centro) da viga

analisada. Como explicado anteriormente, foi necessário calcular os controladores otimizados

para algumas posições dentro desse espectro, para então, utilizar a técnica para interpolar os

valores obtidos em um controlador adaptativo. As posições para os quais estes controladores

foram estabelecidos são 15, 25, 35 e 45 cm, na viga flexível. Os valores dos ganhos singulares

para os controladores, nestas posições, podem ser observados na Figura 18:

Figura 18 – Comparação entre os controladores obtidos originalmente e utilizando a técnica

LPV.

43

Pode ser observado que os valores obtidos utilizando LPV são praticamente idênticos aos

obtidos originalmente. Assim, foram construídos controladores para todos os sistemas SISO, a

serem utilizados nos testes, variando a posição do sensor de posição, e consequentemente, o

sistema estudado. Na Figura 19, é possível observar como os valores dos ganhos proporcional,

integral e derivativo variam em função da posição da viga, utilizando esta técnica.

(a)

(b)

(c)

Figura 19 – Variação dos ganhos Proporcional (a), Integral (b) e Derivativo (c), com relação as

marcações na viga flexível, utilizando a técnica LPV.

Com o propósito de validar o controle obtido utilizando o método LPV, foram realizadas

simulações numéricas utilizando posições para o conjunto atuador magnético/journal diferentes

daquelas utilizadas no projeto do controlador. Assim, as simulações utilizaram as marcações 10,

20, 30, 40 e 50 para a montagem do journal (e com o sensor de posição também nestas mesmas

marcações), tanto para excitação senoidal na 1ª frequência natural do sistema quanto para a

excitação por impulso. Os resultados podem ser observados nas Figuras 20-24.

44

(a)

(b)


método LPV – Posição 10 – (a) onda senoidal (b) impulso.

(a)

(b)



45

(a)

(b)



(a)

(b)



46

(a)

(b)



Observa-se que, à exceção da Figura 20 (a), todas as respostas mostraram uma melhoria

visível com respeito a amplitude de vibração e ao tempo da resposta transiente, no caso do

impulso. Estes resultados preliminares comprovam que um controlador adaptativo pode ser

utilizado em uma estrutura flexível como a viga em questão, o que otimiza a etapa de recalcular

um novo controle para cada posição na qual o atuador magnético pode ser montado.

47

5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

Neste capítulo serão apresentados os procedimentos, a instrumentação e a montagem

experimental utilizadas na verificação dos resultados obtidos na simulação numérica.

5.1 BANCADA DE TESTES

A bancada experimental utilizada para a validação das simulações numéricas foi montada

utilizando uma viga flexível de aço inoxidável de dimensões 1000x33x1,3mm, engastada nas

suas extremidades a dois suportes, utilizando parafusos. Uma peça de aço de dimensões

50x55x7mm é fixada à viga na posição correspondente ao atuador magnético, com o propósito de

torná-la mais espessa, evitando que as linhas de campo geradas do atuador atravessem a viga,

uma vez que estas se propagam em material ferromagnético. Uma vez que a viga possui uma

espessura muito pequena, esta pode tornar o atuador ineficaz no controle do sistema. Para aplicar

a excitação externa ao sistema foram utilizados dois equipamentos: um dispositivo eletro-

mecânico, conhecido como Shaker (Figuras 25 e 26), que gera uma força senoidal de frequência

constante durante toda a duração do experimento; e um martelo de impacto para excitação por

impulso. Os sinais de força são enviados a uma placa de aquisição e controle NI-PCIe-6259

(analógico/digital) da “National Instruments” que possui 16 canais de entrada (input) e 4 canais

de saída (output).

48

Figura 25 – Montagem experimental com Shaker.

Figura 26 – montagem da bancada experimental, com detalhe para o atuador magnético.

Na utilização do Shaker, foi necessário fixar um transdutor de força em um stinger (uma

haste metálica flexível) com o propósito de medir a força normal à viga gerada pelo Shaker. O

transdutor foi um exemplar da marca Brüel & Kjaer, type 8200, em conjunto com um

condicionador NEXUS, também da Brüel & Kjaer, que transforma o sinal da força em tensão e a

envia para a placa de aquisição no computador (Figura 27). O martelo de impacto possui o

transdutor de força acoplado à sua cabeça.

49

Figura 27 – Condicionador para transdutor de força e martelo de impacto utilizados nos

testes.

5.2 DESCRIÇÃO DOS INSTRUMENTOS:

O deslocamento da viga foi medido utilizando um sensor de proximidade Turck (Figura

28), modelo Bi6-M18-LiU com faixa de calibração entre 2 e 4mm, e seu respectivo

condicionador. O sinal do sensor de proximidade passa ainda por dois filtros: um filtro que

remove o ganho DC e um filtro passa-baixa, que permite a passagem dos sinais de baixa

frequência, filtrando os sinais com frequências mais elevadas (acima da frequência de corte de

500Hz). Esse sinal é, então, enviado para a mesma placa de aquisição utilizada para os sinais da

força de excitação externa (Martelo/Shaker).

50

Figura 28 – Sensor de posição “Turck” utilizado no experimento.

Para o atuador magnético (Figura 29), os polos de cada um dos pares de bobinas são

conectados a um amplificador de potência constante (Figura 30), que possuem as curva de ganho

observadas na Figura 28. Esses amplificadores também são, por sua vez, conectados à placa de

aquisição utilizada para o sensor de posição e demais componentes.

Figura 29 – Curvas de ganho para os dois amplificadores utilizados na montagem

experimental.

51

Figura 30 – Atuador magnético unidirecional utilizado nos testes.

Figura 31 – Amplificadores de potência utilizados nos testes.

O Shaker utilizado para a excitação harmônica foi um modelo da marca Brüel & Kjaer

Vibration Exciter type 4809 com uma faixa de frequências de 10Hz a 20kHz e intensidade de

força harmônica com pico de 45N (10lbf), e seu respectivo condicionador. O martelo utilizado

52

para a excitação por impacto foi um modelo fabricado no departamento de sistemas integrados da

FEM-Unicamp (Figura 32), e foi utilizada uma ponta de borracha com o propósito de excitar as

frequências mais baixas, uma vez que a viga é muito flexível.

Figura 32 – Martelo de Impacto utilizado nos testes.

As Figuras 33(a) e 33(b) mostram a montagem completa (Figura 33(b)) com a

instrumentação utilizada nos testes (33(a)).

Figura 33 – a) Sistema de aquisição. b) Bancada experimental.

53

5.3 DESCRIÇÃO DOS PROCEDIMENTOS DE TESTE

5.3.1 EXCITAÇÃO POR RUÍDO BRANCO

A excitação por ruído branco teve por objetivo realizar a análise modal experimental da

viga (detalhada no capítulo 3), utilizando o Shaker posicionado em uma única posição da viga e

tendo o deslocamento da viga medido em vários pontos através do sensor de posição. A força

exercida pelo Shaker é medida pelo transdutor de força posicionado na extremidade do stinger, e

está em contato com a viga.

5.3.2 EXCITAÇÃO EXTERNA HARMÔNICA

A excitação harmônica também utilizou o Shaker e seu condicionador. O sinal foi enviado

através de um programa de aquisição desenvolvido para este fim, ou seja, para o propósito do

trabalho, foram geradas ondas senoidais nas frequências naturais do sistema (estas últimas

obtidas através da análise modal experimental).

5.3.3 EXCITAÇÃO EXTERNA POR IMPULSO

A excitação por impulso foi realizada utilizando um martelo de impacto, aplicando um

pulso único em um ponto específico da viga.

54

5.4 DESCRIÇÃO DOS EXPERIMENTOS REALIZADOS NA BANCADA DE

TESTES

Uma vez que a viga é muito flexível, foram escolhidas apenas duas posições nas quais o

atuador magnético apresenta atuação compatível com o sistema, ou seja, atua sem que a

amplitude do deslocamento da viga a fizesse aderir ao imã (polo do atuador), impossibilitando

qualquer tipo de medição. As posições selecionadas para o atuador foram as marcações 10 e 15

da viga (Figura 34), e a excitação externa foi sempre posicionada na marcação 90 da viga (Figura

34). O sensor de posição, por sua vez, foi posicionado em vários pontos ao longo da viga, para

verificar a eficácia do atuador magnético em todo o comprimento. O sensor foi posicionado nas

marcações 30, 40, 50, 60 e 70 (seção central da viga flexível) conforme Figura 36.

Para o Shaker, as medições foram realizadas nas três primeiras frequências naturais do

sistema e foi comparada a medida do sensor de posição sem o atuador e com o atuador magnético

em todas as posições do sensor.

Para o martelo de impacto, foi utilizado o quesito da redução do transiente, onde foi medido

o transiente causado pelo impulso sem e com o atuador magnético.

Figura 34 – Marcações da Viga utilizadas para posicionamento do atuador magnético.

55

Figura 35 – Marcações da Viga utilizadas para posicionamento da excitação externa.

Figura 36 – Vista panorâmica da viga flexível, com todas as marcações utilizadas.

Um fluxograma relacionando a instrumentação utilizada na bancada pode ser visualizado

na Figura 37. É possível observar que o valor de tensão medido pelo sensor de posição passa por

dois filtros analógicos (um filtro DC e um passa-baixa), o sinal então passa pelo controle

adaptativo, que emite uma tensão de controle Vcont para o amplificador, que transforma essa

tensão em corrente e a envia aos polos do atuador magnético. No caso da excitação por Shaker, o

sinal senoidal é enviado através do programa de aquisição de dados e então o valor medido pela

56

célula de carga é enviado de volta ao programa para comparação com o valor desejado a fim de

otimizar o experimento.

Figura 37 – Fluxograma da instrumentação da bancada experimental.

57

5.5 ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL

Enquanto a análise modal clássica parte da premissa de que as equações de movimento

(matrizes de massa, rigidez e amortecimento) são conhecidas, em uma bancada experimental isto

não ocorre. Nesse sentido, a análise modal experimental consiste em medir experimentalmente as

FRFs (Funções de resposta em frequência) do sistema e, a partir destas, obter os parâmetros

modais do sistema. O trabalho de Avitabile (2001) aborda diversos aspectos sobre a análise

modal experimental, sem focar no desenvolvimento matemático.

A função resposta em frequência corresponde à resposta do sistema em função da

frequência da força de excitação. Um sistema linear, quando excitado por uma força harmônica,

vibra na frequência da excitação, porém apresentando variações de amplitude e fase. Assim, a

FRF é uma grandeza complexa que pode ser representada através de gráficos de amplitude e fase.

Desta forma, a fim de se obter experimentalmente as FRFs, é necessário excitar o sistema

em suas frequências naturais dentro da faixa de interesse (para este trabalho foram utilizadas as

quatro primeiras), o que pode ser realizado a partir da utilização de diversos tipos de sinais, como

impulso, ruído branco ou uma varredura em frequência (chirp). Para o presente trabalho, foi

escolhido um sinal do tipo ruído branco, medido nos pontos 20, 30, 40, 50, 60, 70 e 80 da viga,

como mostrado na Figura 36, da seção anterior. Após a escolha do tipo de excitação a ser

utilizada, existe uma série de passos a serem seguidos para a obtenção da FRF do sistema,

observados na Figura 38.

58

Figura 38 – Fluxograma descrevendo o procedimento da Análise Modal Experimental

(Adaptado de Avitabile, 2001).

O primeiro passo é fazer o sinal passar por um filtro passa-baixa analógico antes de ser

digitalizado, filtrando as altas frequências que não se encontram na faixa de interesse (para o

trabalho foi utilizado uma frequência de corte de 500Hz) e evitando o efeito de aliasing, que

corresponde ao aparecimento de picos em baixas frequências devido a componentes harmônicas

de alta frequência, comprometendo a medição. Por esse motivo esses filtros são chamado de

filtros anti-aliasing.

O passo seguinte corresponde à digitalização do sinal analógico utilizando um conversor

analógico-digital. Após a digitalização, uma função janela é aplicada ao sinal. Funções Janela são

funções de ponderação aplicadas para que o sinal satisfaça as condições de periodicidade da

59

transformada de Fourier, utilizada na próxima etapa. Caso essas funções não sejam utilizadas,

ocorre um fenômeno de distorção no espectro de frequência do sinal, chamado de leakage.

A transformada de Fourier é, então, utilizada para obter o espectro de frequência do sinal de

excitação e de resposta. A partir desses espectros, são calculadas as densidades espectrais de

potência (PSD - Power Spectrum Density) diretas e cruzadas (Equação 56), onde Pxx(ω)

corresponde a PSD do sinal de entrada, Pyy(ω) corresponde à PSD do sinal de saída, Pxy(ω) e

Pyx(ω) às PSDs cruzadas, X(ω) é a transformada de Fourier da excitação, Y(ω) a transformada de

Fourier da resposta (a barra superior indica o conjugado) e Fs é a frequência de amostragem dos

sinais.

𝑃𝑦𝑦(𝜔) = 𝑌(𝜔). 𝑌(𝜔) /𝐹𝑠

𝑃𝑥𝑥(𝜔) = 𝑋(𝜔). 𝑋(𝜔) /𝐹𝑠 (57)

𝑃𝑥𝑦(𝜔) = 𝑋(𝜔). 𝑌(𝜔) /𝐹𝑠

𝑃𝑦𝑥(𝜔) = 𝑌(𝜔). 𝑋(𝜔) /𝐹𝑠

São realizadas diversas medições (neste trabalho foram feitas 10 medições, por questões de

custo-benefício devido ao tempo restrito da montagem) e calculadas as médias (para este

propósito 20 médias foram calculadas), minimizando o efeito de ruído. Finalmente, a partir do

uso dos estimadores H1 e H2 (equações 57 e 58), a FRF é calculada. Para medir a correlação entre

ambos os estimadores e, assim, a qualidade da FRF medida experimentalmente, utiliza-se uma

função de Coerência, simbolizada por C(ω) (Equação 59), que varia entre 0 e 1. Ruído nas

medições é um dos principais fatores que pode levar a FRF estimada a possuir um valor baixo de

coerência.

𝐻1(𝜔) = 𝑃𝑥𝑦(𝜔)/𝑃𝑥𝑥(𝜔) (58)

𝐻2(𝜔) = 𝑃𝑦𝑦(𝜔)/𝑃𝑦𝑥(𝜔) (59)

𝐶(𝜔) = 𝐻1(𝜔)/𝐻2(𝜔) (60)

60

6. RESULTADOS

6.1 ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL

A análise modal experimental foi realizada para a peça de metal (journal) posicionada em 2

pontos diferentes da viga flexível, nos pontos 10 e 15, como vistos na marcação. Uma análise da

viga sem a peça de metal também foi realizada. Os valores das frequências naturais obtidas em

ambas as análises, podem ser vistas na Tabela 2:

Tabela 2 – Frequências naturais obtidas na Análise Modal Experimental (Hz)

Posição do Journal Sem journal 10 15

1ª frequência natural 7,45 7,32 7,45




Os modos de vibrar da viga também foram obtidos, utilizando como pontos de medição as

marcações 20, 30, 40, 50, 60, 70 e 80 da viga. Os modos de vibrar correspondentes às quatro

primeiras frequências naturais da viga, podem ser vistos na Figura 39a-d.

É possível observar que os valores das frequências naturais obtidos para o journal

posicionado na marcação 15 são semelhantes aos valores obtidos sem o journal, isso deriva do

fato de que a bancada de testes foi desmontada após os primeiros dois testes (Sem journal e

journal na posição 10) e uma vez remontada, possivelmente as mesmas condições de engaste da

montagem original não foram obtidas para o último teste, resultando nestes valores tabelados.

61

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 39 – Frequências naturais e modos de vibrar para a montagem da viga com o journal

posicionado na marcação 10 – Experimental: (a) 1º modo, (b) 2º modo, (c) 3º modo, (d) 4º modo.

62

6.2 VALIDAÇÃO DO MODELO EM ELEMENTOS FINITOS

Como dito anteriormente, um modelo da viga foi construído utilizando o software Pro-E,

com a finalidade de verificar se o modelo numérico representa, de maneira adequada, a viga

flexível com o journal, utilizando um número menor de elementos em sua estrutura. Os valores

obtidos para as 4 primeiras frequências naturais, nas mesmas condições da análise modal

experimental (sem journal, journal na marcação 10, e journal na marcação 15) podem ser

observadas na Tabela 3.

Tabela 3 – Frequências naturais obtidas utilizando os dois softwares (Hz).

Sem Journal Erro

(%)

Journal 10 Erro

(%)

Journal 15 Erro

(%) MATLAB Pro-E MATLAB Pro-E MATLAB Pro-E

1ª 8.51 8.55 0.53 8.65 8.99 3.88 8.11 8.49 4.46

2ª 23.45 23.57 0.53 21.74 23.22 6.36 19.99 20.99 4.75

3ª 45.97 46.21 0.54 44.22 42.33 4.48 39.68 40.11 1.08

4ª 75.98 76.41 0.56 67.56 68.27 1.04 69.80 69.31 0.71

Como é possível observar, os valores são muito próximos, com erros inferiores a 7 pontos

percentuais entre os dois pacotes computacionais, o que comprova a eficácia do modelo por

elementos finitos.

É preciso notar, porém, que os valores das frequências naturais obtidas através da análise

modal experimental (Tabela 2) são diferentes dos obtidos através das simulações (Tabela 3) em

percentuais de até 12%. Isto ocorre uma vez que a simulação possui engastes ideais, significando

deslocamentos nulos nas extremidades, condição esta que não representa perfeitamente a bancada

experimental, devido à precisão de manufatura das peças e das ferramentas utilizadas. A

uniformidade da viga flexível em questão dimensional e do material suposto também pode ser

questionada, uma vez que as simulações previam uma viga totalmente homogênea.

63

Também foi realizada uma análise modal com o modelo construído no Pro-Enginner, cujos

modos de vibrar, para as mesmas condições da análise modal experimental (Figura 39), foram

obtidos a fim de verificar a semelhança com o modelo real da viga (Figuras 40).

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 40 – Frequências naturais e modos de vibrar para a montagem da viga com o Journal

posicionado na marcação 10 – Pro-Engineer: Experimental: (a) 1º modo, (b) 2º modo, (c) 3º

modo, (d) 4º modo.

Comparando-se os gráficos obtidos nas Figuras 39 (Análise modal experimental) e 40

(análise usando software comercial de elementos finitos) é possível verificar que em ambos os

casos, os 4 primeiros modos de vibrar são semelhantes em sua forma, bem como nas localizações

dos nós desses modos.

64

6.3 COMPARAÇÃO FEM X RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Apesar de o método LPV ser capaz de obter um controlador que seja efetivo em um amplo

espectro da viga flexível analisada, existem restrições experimentais de ordem física que

impedem os testes de serem realizados com o atuador/Journal em todas as marcações cujos

controladores foram obtidos. O problema principal reside no fato de a viga ser muito flexível,

assim, uma vez que ao atuador magnético trabalha com forças de atração, se uma amplitude de

vibração for demasiadamente elevada, a viga é atraída com força excessiva e, assim, pode aderir

no atuador magnético, impossibilitando qualquer tipo de teste. Foram, portanto, escolhidas

apenas duas posições para a realização de todos os testes possíveis, evitando incidentes deste

tipo. As comparações puderam ser realizadas uma vez que a questão da hipótese do

amortecimento estrutural proporcional foi comprovada (Pilotto, 2013).

Os resultados obtidos, através do método dos elementos finitos, tentam reproduzir as

condições utilizadas na bancada de testes. Assim, os parâmetros da montagem estão listados na

Tabela 4.

Tabela 4 – Valores utilizados para os parâmetros do atuador magnético e componentes do

sistema elétrico-mecatrônico para o modelo de elementos finitos.

Parâmetro Valor

Atuador Magnético

Fator de correção geométrico (ε) 0,8

Permeabilidade do ar (µ0) 4π*10-7

H/m

Área da folga do atuador (Ag) 3,2*10-4

m2

Número de espiras (N) 225

Corrente permanente (ib) 0,8 A

Folga entre a viga e o atuador (g0) 3,5*10-3

m

Sensibilidade do sensor de posição 987 V/m

Ganho do amplificador de corrente 1,2231 A/V

65

6.3.1 EXCITAÇÃO POR IMPACTO

A finalidade da utilização deste tipo de excitação foi verificar como o atuador magnético,

em conjunto do controlador PID, reduz o tempo da resposta transiente na viga flexível. Como

citado anteriormente, os resultados são compostos por medições feitas pelo sensor de posição nas

marcações 30, 40, 50 e 60 da viga flexível, para duas posições do conjunto Journal-atuador

magnético: marcações 10 e 15 da mesma viga, com a excitação sempre atuando na marcação 90.

Para o sensor de posição localizado na marcação 70, os resultados foram semelhantes ou piores

que a marcação de 60, não sendo, portanto, aqui representados. Tal fato deve-se a distância, cada

vez maior, a partir da marcação 50, entre o sensor de posição e o atuador magnético (marcação 10

e 15). Foram utilizados tempos de simulações de 3 segundos. Os resultados podem ser

observados nas Figuras 41-48:

66

(a)

(b1)

(b2)


através de simulações numéricas (a) e a montagem experimental (sem atuador magnético (b1) e

com atuador magnético (b2)) – para o conjunto atuador/Journal na marcação 10 e sensor de

posição na marcação 30.

67

(a)

(b1)

(b2)





68

(a)

(b1)

(b2)





69

(a)

(b1)

(b2)





70

(a)

(b1)

(b2)





71

(a)

(b1)

(b2)





72

(a)

(b1)

(b2)





73

(a)

(b1)

(b2)





Observa-se que o atuador magnético, em conjunto com o controlador PID otimizado,

conseguiu com sucesso reduzir as vibrações para as medições feitas mais próximas a sua posição

74

(Figuras 41-43, 45-47), mas para posições mais afastadas do atuador magnético, e

consequentemente mais próximas da excitação, o controlador não foi capaz de reduzir a

amplitude (Figuras 44 e 48).

Com respeito às comparações entre simulações e resultados experimentais, destaca-se,

primeiramente, que os gráficos b1 e b2 das figuras não tem início no tempo zero, mas em valores

de tempo diferentes para cada teste. Isso ocorre, pois, como o martelo, ao contrário do Shaker,

não é um dispositivo automático, o impacto é executado manualmente, assim que o programa de

aquisição inicia a aquisição de dados, resultando em tempos diferentes de aplicação do impacto

para cada teste. Contudo, todos os gráficos de resposta da bancada possuem um tempo total de 3

segundos, de modo a permitir a comparação com os resultados simulados.

Os resultados simulados, em grande parte, demonstraram com fidelidade promissora o que

foi visto nas simulações numéricas, principalmente para as posições mais próximas entre o sensor

de posição e o atuador magnético. Quando os sensores se distanciam do atuador, observa-se que

os resultados experimentais são de fato diferentes dos obtidos em simulação numérica. Sendo a

viga muito flexível, nos testes experimentais, o impacto pode não ter sido suficiente para excitar a

viga da mesma maneira com a qual a simulação respondeu na mesma situação.

75

6.3.2 EXCITAÇÃO POR SHAKER

Os testes utilizando o Shaker consistem em excitações senoidais nas frequências naturais do

sistema, que compõe as condições mais criticas de operação do mesmo, com o intuito de verificar

como o atuador magnético se comporta em tais condições. Para os testes, foram utilizadas as três

primeiras frequências naturais do sistema. Foram realizados testes nas mesmas posições dos

testes por impacto: atuador/Journal nas marcações 10 e 15 e o sensor de posição nas marcações

30, 40, 50 e 60 e excitação na marcação 90. Os resultados podem ser observados a seguir, para a

1ª (Figuras 49-56), 2ª (Figuras 57-64) e 3ª frequências naturais (Figuras 65-72).

76

6.3.2.1 1ª FREQUÊNCIA NATURAL

(a)

(b1)

(b2)


frequência natural do sistema, obtidas através de simulações numéricas (A) e a montagem

experimental (sem atuador magnético (b1) e com atuador magnético (b2)) – para o conjunto

atuador/Journal na marcação 10 e sensor de posição na marcação 30.

77

(a)

(b1)

(b2)


frequência natural do sistema, obtidas através de simulações numéricas (a) e a montagem



78

(a)

(b1)

(b2)





79

(a)

(b1)

(b2)





80

(a)

(b1)

(b2)





81

(a)

(b1)

(b2)





82

(a)

(b1)

(b2)





83

(a)

(b1)

(b2)





Assim como nas simulações por impacto, para a 1ª frequência natural do sistema é possível

observar que o controle consegue reduzir com sucesso as vibrações para as locações do sensor de

84

posição mais próximas do atuador magnético (Figuras 49-51, 53-55), porém não foi eficiente na

redução de amplitude para as posições do sensor mais próximas da excitação. (Figuras 52 e 56).

Para a marcação 70 e além, o atuador magnético agiu como uma nova excitação, produzindo

amplitudes maiores com o controle do que sem este.

Os valores obtidos através das simulações encontram-se em boa concordância com os

valores obtidos na bancada experimental, sendo a amplitude de vibração reduzida nos mesmos

pontos estudados das simulações, e também aumentando a amplitude de vibração do sistema

quando o sensor de posição foi alocado na marcação 70.

85


(a)

(b1)

(b2)





86

(a)

(b1)

(b2)





87

(a)

(b1)

(b2)





88

(a)

(b1)

(b2)





89

(a)

(b1)

(b2)





90

(a)

(b1)

(b2)





91

(a)

(b1)

(b2)





92

(a)

(b1)

(b2)





Para a 2ª frequência natural, os resultados foram similares aos obtidos nos testes com

excitação na 1ª frequência natural. Neste caso, os valores com melhor redução de vibração são os

93

obtidos das posições 30 e 40 do sensor (Figuras 57, 58, 61 e 62). É possível também notar que,

para a Figura 59-A, a resposta da amplitude de vibração sem o atuador é diferente da esperada

para uma excitação na frequência natural. Isto advém do fato de que, uma vez que a Figura 59-a

corresponde a posição 50 (centro da viga), é provável que esse ponto coincida com o nó do 2º

modo de vibrar da viga, o que reflete na resposta temporal, sendo, portanto, a amplitude de

vibração consideravelmente menor que a encontrada nos demais testes. Comportamento análogo

ocorre na Figura 63, este, porém, de difícil controlabilidade.

Os valores de vibração, para alocações dos sensores próximos a excitação, também

apresentaram-se de difícil atenuação, como pode ser observado nas Figuras 60 e 64.

Os valores obtidos da bancada experimental também representam com bastante eficácia os

valores obtidos nas simulações, no quesito de redução de vibrações, embora os valores simulados

possuam uma redução maior do que sua contraparte experimental.

94


(a)

(b1)

(b2)





95

(a)

(b1)

(b2)





96

(a)

(b1)

(b2)





97

(a)

(b1)

(b2)





98

(a)

(b1)

(b2)





99

(a)

(b1)

(b2)





100

(a)

(b1)

(b2)





101

(a)

(b1)

(b2)





Neste caso, é possível observar que as curvas de amplitude de vibração para as posições 30

(figuras 65 e 69) e 60 (figuras 68 e 72) apresentam comportamento particular diferente das

102

apresentadas anteriormente. Isto ocorre por estarem nas marcações próximas aos nós do 3º modo

de vibrar do sistema. Assim, o controle não apresenta um bom desempenho para estas condições,

conseguindo alguma redução da vibração em 30, mas excitando o sistema a amplitudes

extremamente elevadas de vibração em 60.

Mais uma vez, o controlador se mostrou ativo quando os sensores de posição estão mais

próximos do atuador magnético, porém de maneira menos eficiente do que para as duas primeiras

frequências naturais analisadas. Isto ocorre, possivelmente, pois com frequências mais elevadas,

os valores de amplitude são alterados mais rapidamente, o que faz com que o controlador

necessite de uma resposta mais rápida, o que provavelmente dificultou uma melhoria significativa

na resposta do sistema.

103

7. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS

O presente trabalho apresenta uma contribuição na integração de modelo de um sistema

mecânico composto de uma viga flexível de aço inoxidável com o modelo físico de um atuador

magnético, utilizado para controle frente a uma fonte externa de força de excitação, neste caso,

um martelo de impacto ou um excitador eletromecânico (Shaker).

Foi realizada a montagem de uma bancada de testes, onde a viga foi montada bi-engastada

em dois suportes, e o atuador magnético (mais um Journal de aço) foi alocado em duas posições,

e um sensor de posição foi colocado em diferentes posições na viga flexível com o propósito de

verificar como o controlador se comporta, tentando reduzir vibrações induzidas através de um

martelo (impacto) e de um Shaker (ondas senoidais nas frequências naturais do sistema) ao longo

da viga. Nesta etapa, concluiu-se que o atuador magnético não poderia ser colocado em posições

próximas ao centro da viga bi-engastada, uma vez que, na possibilidade de a amplitude de

vibração da viga ser igual ou maior que a folga entre o atuador magnético e a viga (air-gap), esta

pode aderir nos polos do atuador. Os resultados obtidos nesta etapa foram comparados aos

obtidos utilizando o modelo em elementos finitos, a fim de verificar se o mesmo prediz a resposta

do sistema de forma condizente com a bancada experimental.

Conclui-se finalmente, que o controlador adaptativo, obtido através da combinação do

método de Ziegler-Nichols e da técnica LPV, é promissor para o controle de vibrações na viga

flexível em posições até 40 cm de distância entre a posição do sensor e a do atuador magnético.

Porém, para posições mais afastadas do atuador e mais próximas à excitação externa, o

controlador se mostrou ineficaz em controlar as vibrações, sendo que em alguns casos aumentou

a amplitude de vibração.

O modelo utilizado para o projeto do controlador correspondeu de forma satisfatória as

expectativas da aplicação prevista para este trabalho.

104

Para as próximas etapas deste trabalho, podem ser consideradas as seguintes proposições:

Verificar se as discrepâncias encontradas na analise modal frente ao modelo

numérico para pequenas deformações, são devidas não só ao engaste, mas também

pela própria limitação do modelo linear. Neste caso, vale investigar um modelo para

grandes deformações, incluindo não linearidades;

Utilizar este tipo de controle adaptativo para uma viga em balanço, que representa

uma condição ainda mais crítica do sistema;

Utilizar a técnica LPV para máquinas rotativas, utilizando como parâmetro variável

a rotação do sistema, de preferência em condições críticas, como a velocidade

crítica (frequência natural) e o limiar de instabilidade do sistema;

Verificar se a técnica LPV é compatível com outros tipos de controle de maior

complexidade, como o H-infinito.

105

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