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Prof. Afonso C. MedinaProf. Leonardo Chwif

Coleta e Modelagem dos Dados de Entrada

Capítulo 2Páginas 24-52

Este material é disponibilizado para uso exclusivo de docentes que adotam o livro Modelagem e Simulação de Eventos Discretos em suas disciplinas. O material pode (e deve) ser editado pelo professor.

Pedimos apenas que seja sempre citada a fonte original de consulta.

Coleta

Tratamento

Inferência

Três Etapas

1. Escolha adequada da variável de estudo

2. O tamanho da amostra deve estar entre 100 e 200 observações. Amostras com menos de 100 observações podem comprometer a identificação do melhor modelo probabilístico, e amostras com mais de 200 observações não trazem ganhos significativos ao estudo;

Coleta dos Dados

3. Coletar e anotar as observações na mesma ordem em que o fenômeno está ocorrendo, para permitir a análise de correlação ;

4. Se existe alguma suspeita de que os dados mudam em função do horário ou do dia da coleta, a coleta deve ser refeita para outros horários e dias. Na modelagem de dados, vale a regra: toda suspeita deve ser comprovada ou descartada estatisticamente.

Coleta dos Dados

Exemplo 2.1: Filas nos Caixas do Supermercado

Um gerente de supermercado está preocupado com as filas formadas nos caixas de pagamento durante um dos turnos de operação. Quais seriam as variáveis de estudo para coleta de dados? (S) ou (N).

( ) O número de prateleiras no supermercado

( ) Os tempos de atendimento nos caixas

( ) O número de clientes em fila( ) O tempo de permanência dos clientes no supermercado( ) Os tempos entre chegadas sucessivas de clientes nos caixas de pagamento

N

S

N

N

S

É resultado!!

Exemplo 2.1: Coleta de Dados

Intervalo entre chegadas de pessoas nos caixas do supermercado (100 medidas). Tempos em minutos:

Exemplo 2.1: Medidas de Posição e Dispersão

Medidas de posição

Média 10,44

Mediana 5

Moda 3

Mínimo 0

Máximo 728

Medidas de dispersão

Amplitude 728

Desvio padrão 51,42

Variância da amostra 2.643,81

Coeficiente de Variação

493%

Coeficiente Assimetria 13,80

O 728 é um outlier?

Exemplo 2.1: Outlier

Intervalo entre chegadas de pessoas nos caixas do supermercado (100 medidas). Tempos em minutos:

Outliers ou Valores Discrepantes

Erro na coleta de dados. Este tipo de outlier é o mais comum, principalmente quando o levantamento de dados é feito por meio manual.

Eventos Raros. Nada impede que situações totalmente atípicas ocorram na nossa coleta de dados. Alguns exemplos:

Um dia de temperatura negativa no verão da cidade do Rio de Janeiro;

Um tempo de execução de um operador ser muito curto em relação aos melhores desempenhos obtidos naquela tarefa;

Um tempo de viagem de um caminhão de entregas na cidade de São Paulo, durante o horário de rush, ser muito menor do que fora deste horário.

Exemplo 2.1: Outlier (valor discrepante)

Dados

com o outlier

sem o outlier

Média 10,44 6,83

Mediana 5 5

Variância da amostra

2.643,81 43,60

Identificação de Outliers: Box-plot

0

5

10

15

20

A B C Séries

Valores

mediana

outlier

Q 1

Q 3

Q1-1,5(Q3- Q1)

Q 3+1,5(Q 3- Q 1)

Análise de Correlação

Diagrama de dispersão dos tempos de atendimento do exemplo de supermercado, mostrando que não há correlação entre as observações da amostra.

Análise de Correlação

Diagrama de dispersão de um exemplo hipotético em que existe correlação entre os dados que compõem a amostra.

Exemplo 2.1: Construção do Histograma

1. Definir o número de classes:

O histograma é utilizado para identificar qual a distribuição a ser ajustada aos dados coletados ou é utilizado diretamente dentro do modelo de simulação.

2. Definir o tamanho do intervalo:

3. Construir a tabela de frequências

4. Construir o histograma

Exemplo 2.1: Histograma

Exemplo 2.1: Inferência

Qual o melhor modelo probabilístico ou distribuição estatística que pode representar a amostra coletada?

x

f (x )

1/λ

x

f (x )

µ

x

f (x )

a bm

x

f (x)

µ =1 σ=1

µ=1 σ=0,5

Exponencial?

Normal?Triangular?

Lognormal?

Testes de Aderência (não paramétricos)

Testa a validade ou não da hipótese de aderência (ou hipótese nula) em confronto com a hipótese alternativa:

H0: o modelo é adequado para representar a distribuição da

população.

Ha: o modelo não é adequado para representar a distribuição

da população.

Se a um dado nível de significância (100)% rejeitarmos H0, o modelo testado não é adequado para representar a distribuição da população. O nível de significância equivale à probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula H0, dado que ela está correta. Testes usuais:

Qui quadrado

Kolmogorov-Sminov

Teste do Qui-quadrado

P-value

Valor Critério

p-value<0,01Evidência forte contra a hipótese de aderência

0,01p-value<0,05 Evidência moderada contra a hipótese de aderência

0,05p-value<0,10 Evidência potencial contra a hipótese de aderência

0,10p-value Evidência fraca ou inexistente contra a hipótese de aderência

Parâmetro usual nos softwares de estatística. Para o teste do qui-quadrado no Excel, utilizar:

=DIST.QUI (valor de E; graus de liberdade)

Distribuições discretas: Binomial

Exemplo:

 Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa (sucesso) é p=0,1. Toma-se uma amostra de 4 peças para serem inspecionadas. Qual a probabilidade de se obter uma peça defeituosa, nenhuma peça defeituosa, 2 peças defeituosas, 3 e 4 peças defeituosas? 

Pela tabela,  vemos que as probabilidades de se obter uma peça defeituosa é de 29,16%, nenhuma peça defeituosa é de 65,61%, e de se obter duas peças defeituosas é 4,86% e para mais que mias que três é menos que 1%.

Distribuições discretas: Binomial

Distribuições discretas: Poisson

Distribuição discreta de probabilidade aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo especificado

TAXA

Exemplos

usuários de computador ligados à Internet

clientes chegando ao caixa de um supermercado

acidentes com automóveis em uma determinada estrada

Número de carros que chegam a um posto de gasolina

Número de falhas em componentes por unidade de tempo

Número de requisições para um servidor em um intervalo de tempo t

Número de peças defeituosas substituídas num veículo durante o primeiro ano de vida

Distribuições discretas: Poisson

Distribuições contínuas: Beta

0 0,5 1x

f (x )

α=2 β=1α =3

β =2

α=4 β=4

α=2 β=3

α=1,5 β =5 α=6 β =2

α=2 β =1

Na teoria da probabilidade e estatística, a distribuição beta é uma família de distrições contínuas de probabilidade definidas sobre o intervalo [0, 1] parametrizado por dois parâmetros positivos, chamados a e b, que aparecem como expoentes da variável aleatória e controlam o formato da distribuição.

Distribuições contínuas: Erlang

x

f (x )

λ =0,5 k= 3

λ =0,5

λ =0,2 k= 10

A distribuição Erlang é uma distribuição de probabilidade contínua com uma ampla aplicabilidade, principalmente devido à sua relação com a distribuição exponencial e a distribuição gama. A distribuição Erlang foi desenvolvida por Agner Krarup Erlang para analisar o número de chamadas telefônicas que poderiam ser feitas simultaneamente aos operadores das estações de comutação. Atualmente esta distribuição é utilizada em várias áreas que aplicam processos estocásticos.

Distribuições contínuas: Exponencial

x

f (x )

1/λ

Esta é uma distribuição que se caracteriza por ter uma função de taxa de falha constante. A distribuição exponencial é a única com esta propriedade. Ela é considerada uma das mais simples em termos matemáticos. Esta distribuição tem sido usada extensivamente como um modelo para o tempo de vida de certos produtos e materiais. Ela descreve adequadamente o tempo de vida de óleos isolantes e dielétricos, entre outros.

Distribuições contínuas: Gama

x

f (x )

α =0,

α =1

α =2

Distribuições contínuas: Lognormal

x

f (x )

µ =1 σ=1

µ=1 σ=0,5

Distribuições contínuas: Normal

f (x )

µ

Distribuições contínuas: Normal

f (x )

µ

Distribuições contínuas: Uniforme

ba

1/ (b-a )

x

f (x )

Distribuições contínuas: Triangular

x

f (x )

a bm

Distribuições contínuas: Weibull

x

f (x )

α=0,5 β=1

α=1 β =1 α=2 β =1

α=3 β =1

α=3 β=2

Modelagem de dados... Sem dados!

Distribuição Parâmetros Características Aplicabilidade

Exponencial MédiaVariância altaCauda para direita

Grande variabilidade dos valoresIndependência entre um valor e outroMuitos valores baixos e poucos valores altosUtilizada para representar o tempo entre chegadas sucessivas e o tempo entre falhas sucessivas

TriangularMenor valor, moda e maior valor

Simétrica ou nãoQuando se conhece ou se tem um bom “chute” sobre a moda (valor que mais ocorre), o menor valor e o maior valor que podem ocorrer

NormalMédia e desvio-padrão

SimétricaForma de sinoVariabilidade controlada pelo desvio-padrão

Quando a probabilidade de ocorrência de valores acima da média é a mesma que valores abaixo da médiaQuando o tempo de um processo pode ser considerado a soma de diversos tempos de sub-processosProcessos manuais

Uniforme Maior valor e menor valor

Todos os valores no intervalo são igualmente prováveis de ocorrer

Quando não se tem nenhuma informação sobre o processo ou apenas os valores limites (simulação do pior caso)

Discreta

Valores e probabilidade de ocorrência destes valores

Apenas assume os valores fornecidos pelo analista

Utilizada para a escolha de parâmetros das entidades (por exemplo: em uma certa loja, 30% dos clientes realizam suas compras no balcão e 70% nas prateleiras) Quando se conhecem apenas “valores intermediários” da distribuição ou a porcentagem de ocorrência de alguns valores discretos