Modelagem I

OPTIMIZAÇÃO DE CIRCUITOS E PROCESSOS

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ALGUNS MODELOS DE OPERAÇÕES UNITÁRIAS

em

PROCESSAMENTO DE MINÉRIOS

SUMÁRIO

1. MODELOS DE FRAGMENTADORES GRAÚDOS

BRITADORES E GRANULADORES DE MAXILAS E CONES

1.1 Modelo da Curva Padrão

1.2 Modelos Matriciais.

1.3 Modelo Matricial de Circulação Selectiva – Modelo de Lynch

1.4 Condensação de parâmetros e Parâmetros Condensados

2. MODELOS de FRAGMENTADORES FINOS

MOINHOS DE TAMBOR

2.1 Fragmentadores de Tambor

2.2 Modelos de Transição Finita

2.3 Integração das Equações da Moagem Batch

3. SISTEMAS DE FLUXO CONTÍNUO

Modelos para Moagem em Regime Permanente Estacionário

4. TRANSPORTE DIFERENCIAL NO CALIBRE

Um modelo Fenomenológico para Moinho de Barras

5. PARTICULARIDADES DA MOAGEM BOLAS E BARRAS

AS NÃO-LINEARIDADES INTRÍNSECAS

6. MÉTODOS PARA CÁLCULO DO REGIME PERMANENTE EM CIR-

CUITO FECHADO

6.1 Equação do Circuito Fechado utilizando um Modelo de Curva Padrão

6.2 Equação Global do Circuito Fechado em Regime Permanente Estacionário

6.2 Método iterativo para cálculo de um Circuito Fechado

7. MODELO DE MOAGEM AUTOGÉNEA

7.1 Equação de Balanço Básica

7.2 Discretização do Calibre.

Equação da Moagem Autogénea Batch para Fenómenos de Fractura e Abrasão

Combinadas

7.3 As Não-Linearidades Intrínsecas da Moagem Autogénea.


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ALGUNS MODELOS DE OPERAÇÕES UNITÁRIAS

em

PROCESSAMENTO DE MINÉRIOS

1. MODELOS DE FRAGMENTADORES GRAÚDOS

BRITADORES E GRANULADORES DE MAXILAS E CONES

Entende-se por fragmentador graúdo toda a máquina de cominuição par-

tícula-a-partícula, operada normalmente entre duas maxilas, cones ou rolos. Para se

conseguir este objectivo as partículas são encaminhadas pela geometria construtiva da

máquina (dimensões e tipo de movimento das peças fragmentadoras) de modo a

seguirem trajectórias mais ou menos rígidas. Este condicionamento, embora

aparentemente simples, acaba por ser demasiado exigente, implicando dois aspectos

de primordial importância na cinética da fragmentação neles operada:

tempo de residência fixo, ou “semi-fixo” na medida em que apenas é

manipulável dentro da curta gama de variação permitida pela afinação da

regulação;

tempo de residência independente do caudal de alimentação -- este

aspecto, claramente relacionado com o anterior, é referido em destaque para

salientar o diferente comportamento destes fragmentadores relativamente

aos moinhos de tambor.

1.1 Modelo da “Curva Padrão”

O conceito de “Curva Padrão” é a expressão prática das chamadas Leis de

Gaudin da Fragmentação. Com efeito, nos seus trabalhos pioneiros Gaudin tinha já

identificado que as granulometrias dos produtos descarregados por máquinas de

tempo de residência fixo ou semi-fixo podiam ser descritas por curvas de forma muito

bem definida e sobreponíveis para diferentes regulações, desde que estas se encon-

trassem dentro das gamas de utilização recomendadas. Embora Gaudin não tivesse

definido esse comportamento em termos cinéticos, enunciou os seus efeitos ao

postular para esse tipo de fragmentador a constância da forma da curva granulo-

métrica dentro da gama de regulação de cada máquina, ou seja, a invariância das

condições cinéticas de moagem como consequência da pequena variabilidade do

tempo de residência.

Directamente das Leis de Gaudin deriva, então, o primeiro modelo elementar

de descrição dos trituradores de maxilas e cones – a CURVA PADRÃO utilizada

como simples descritor empírico do processo. Como se trata duma representação di-

recta da resposta granulométrica do sistema, é uma solução integrada (ie, não depende

explicitamente do tempo de residência, usando-se o artifício do escalamento no

calibre para simular diferentes regulações) que não permite aceder à função de

transição do processo cinético que lhe está subjacente.

O grande inconveniente deste modelo é a incapacidade intrínseca de resposta a

variações da composição granulométrica original. Por isso, apenas é legitimamente

utilizada com alimentação rigorosamente classificada à cabeça.


- 3 -

Trata-se, obviamente, de uma abordagem de natureza empírica, cuja eficácia

de aplicação depende fundamentalmente da qualidade dos dados obtidos pela via

experimental.

Na perspectiva descrita, este modelo de “curva padrão” é exclusivamente um

descritor estático da operação de fragmentação. A sua pequena flexibilidade

aconselha a restringir a sua utilização à descrição de fragmentadores de tempo de

residência fixo (ou semi-fixo), isto é, apenas para simular o funcionamento dos ditos

Fragmentadores Graúdos.

Os dados experimentais podem ser utilizados basicamente de duas formas

diferentes: pela via da interpolação linear (algorítmica ou gráfica) ou ajustando

qualquer uma das chamadas leis granuloméricas – Suchuman-Gaudin, Rosin-

Rammler ou Harris, entre outras – para o que se deverá recorrer a um algoritmo de

optimização para determinação dos parâmetros (forma e escala) que minimizam a

soma do quadrado dos desvios entre as respostas do modelo e os dados reais.

As leis acima referidas, expressas na forma de Cumulante da distribuição de

calibres, têm as seguintes expressões para :

Suchuman-Gaudin

m

ta

xw

Rosin-Rammler

m

ta

xw exp1

Harris

21

11

mm

ta

xw

sendo os expoentes, m, m1 e m2, os parâmetros forma, a o parâmetro escala de cada

uma das distribuições e x a variável calibre (mm).

Quando se utiliza este modelo de Curva Padrão (aproximação válida apenas

quando se cumprem os pressupostos acima assinalados), a Regulação de afinação do

fragmentador é utilizada para se efectuar o posicionamento da própria Curva Padrão

na escala de calibres, isto é, a graduação dessa curva, já que o princípio básico é o da

constância de forma da curva granulométrica dos produtos descarregados pelo

fragmentador, em todo o seu domínio de aplicação. Para tal, o desempenho de cada

fragmentador é normalmente caracterizado pela indicação do valor (experimental) da

percentagem de material fragmentado que se encontra acima do calibre corres-

pondente ao valor dessa Regulação. Este valor é designado por Percentagem de

Refugo à Regulação e pode ser determinado experimentalmente ou encontrado nos

catálogos ou manuais operativos dos equipamentos.

Assim, considere-se que sobre um fragmentador graúdo, do tipo maxilas ou

granulador de cones (Symons), se efectuaram ensaios sob várias Regulações

diferentes e se determinaram experimentalmente as respectivas Cumulantes Inferiores

dos Histogramas granulométrico dos produtos fragmentados.

A cada uma dessas Cumulantes é possível ajustar qualquer uma das leis acima

referidas, com determinação dos parâmetros forma e escala – m e a.


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Se os dados forem coerentes e o ajuste for minimamente bem sucedido, a

primeira constatação será a de que os parâmetros forma – m – calculados para cada

uma das Regulações ensaiadas devem ser iguais (ou próximos). Esta constatação, a

existir, confirmará o enunciado das Leis de Gaudin – invariância da forma da

Cumulante das distribuições granulométricas dos produtos fragmentados para

diferentes Regulações.

Seguidamente, para cada Regulação determina-se o valor da Cumulante para o

calibre igual ao da Regulação (alternativamente pode determinar-se experimental-

mente efectuando uma crivagem expedita do produto fragmentado sobre um crivo de

malha igual ao valor da Regulação em mm). Em princípio este valor deverá ser da

mesma ordem de grandeza para cada uma das Regulações ensaiadas – facto que

traduzirá a constância do valor do Refugo à Regulação acima referido.

Com estes elementos estaremos em condições de determinar a forma geral da

Curva Padrão que representa o funcionamento do fragmentador ensaiado.

Consideremos como exemplo o caso de uma lei Schuman-Gaudin:

admitindo m conhecido, resultante do ajustamento, então

m

a

RegulaçãoRefugo1

expressão que permite calcular directamente o valor de a com o qual ficará

devidamente definida a Curva Padrão procurada.

a = função (Regulação, Refugo)

O leitor encarregar-se-á de produzir os raciocínios semelhantes para aplicação

às outras leis acima referidas.

COMENTÁRIO FINAL

De facto, as Funções Granulométricas Clássicas, enquanto expressões

matemáticas formais das chamadas Leis da Fragmentação de Gaudin, só se

transformam em “modelos” da cominuição produzida por um fragmentador graúdo a

partir do momento em que é possível introduzir na sua formulação o parâmetro

operacional “Regulação”.


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1.2 Modelos Matriciais.

Mantendo o mesmo ponto de vista de máquinas de tempo de residência fixo,

surgiram durante a década de 70 os modelos matricias, abundantemente utilizados em

ambiente industrial (Lynch em Mount Isa Mines - Austrália) que fazem apelo a uma

função de transição finita. Uma vez que essa transição finita descreve a transfor-

mação de calibre operada durante um determinado intervalo de tempo finito, igual ao

tempo de residência médio e constante para todas as partículas (1), é uma descrição

integrada do processo só legitimamente utilizável para fragmentações com um mesmo

tempo de residência, portanto, com aplicação particular à descrição do funcionamento

de máquina de fragmentação graúda. Contudo apresenta uma vantagem relativamente

ao modelo anterior pois admite a influência directa da composição granulométrica da

alimentação, como veremos já de seguida ao escrever a equação geral da

cominuição em contínuo para o caso da transição finita.

Seja então o seguinte fragmentador em circuito aberto, em que:

- fi , ( f ) o vector composição da alimentação

- pi , ( p ) o vector composição do produto final

- M o caudal mássico através do fragmentador

Note-se, antes de mais, que o carácter finito da transição que se vai descrever

está implícito apenas na destruição, única função dependente do tempo de residência.

Em regime permanente estacionário (constante), as equações de balanço de

massa a cada calibre permitem escrever (2):

0

saida fluxo

no i calibre

massa

ãofragmentaç

por destruida

i calibre massa

ãofragmentaç

por gerada

i calibre massa

entrada fluxo

no i calibre

massa

Admitindo:

- Si a função destruição dos calibres por fragmentação

- Bi,j formação de partículas de novos calibres por fragmentação das mais

graúdas que se destruíram, poderemos escrever:

f M S f M B S f M p Mi j j i j i i i

j

i

, 01

1

1

1

,1i

j

jijjiii BfSfSp

1 Está aqui já implícita a aceitação dum regime de fluxo em transporte perfeito, visto se

admitir o mesmo tempo de residência para todas as partículas.

2 Na discretização da escala granulométrica que passaremos a usar, o índice i=1 representará a

classe de calibre superior, descendo o índice até à classe mais fina definida pelo calibre i=n.

M M

fi pi


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em que:

Si é um parâmetro que exprime a fracção de massa de partículas da classe de

calibre i que foi destruída durante o evento singular de fragmentação. Este

fenómeno é vulgarmente referido pela designação de Função Destruição;

Bij é um outro conjunto de parâmetros que referem a distribuição (percentual) da

massa de partículas da classe j que sofreram destruição, pelas várias classes i de

calibre inferior. Esta função é normalmente designada por Função Formação.

A anterior equação toma a seguinte forma em notação matricial:

fSBSIFSBFSIp

Como por definição, chama-se MATRIZ TRANSIÇÃO, T à matriz (trian-

gular inferior de diagonal não nula) que aplicada ao vector composição inicial origina

o vector composição final, isto é:

SBSIT e

fTp

Esta é a forma final dum modelo matricial de transporte perfeito. Note-se que, ao

contrário do modelo de Curva Padrão, agora a resposta do sistema é formalmente

expressa em função da composição inicial. A matriz T é o operador dessa transfor-

mação e representa o EVENTO, finito, “fragmentação operada numa passagem do

material através da máquina” (sucessivos apertos entre as maxilas ou cones).

Atente-se, contudo, que a Regulação continua a não estar explicitamente expressa no

modelo, de modo que duas regulações diferentes terão que ser expressas por duas

matrizes T diferentes.

1.3 Modelo Matricial de Circulação Selectiva – Modelo de Lynch

Contudo, este tipo de modelos, embora já respondessem às variações da

granulometria da alimentação, não respondiam ainda às conhecidas variações da

resposta do sistemas em face da regulação, a grande variável operacional deste tipo

de máquinas, expressa como afastamento entre as peças fragmentadoras na zona da

descarga.

Lynch propõe uma abordagem deste problema baseada na observação de que

no interior da câmara de um fragmentador graúdo ocorre um efeito de classificação de

cada vez que a máquina abre. Desta forma, segundo este autor, o processo pode ser

descrito como uma sequência de eventos singulares de fragmentação (que ocorrem

quando se opera um fecho das maxilas, ou dos cones numa máquina tipo Symons),

considerados semelhantes, cujo número (supostamente pequeno) será tanto maior

quanto mais apertada for a Regulação do fragmentador. Ora, no modelo proposto, o

número desses eventos singulares de fragmentação que actuam sobre as partículas é

precisamente comandado pela curva de partição da classificação acima referida.

Deste modo, o funcionamento cinético do triturador é descrito por um

transição finita que diz respeito ao EVENTO, finito, “cominuição operada durante

um aperto entre as maxilas ou cones” e por uma classificação que decide quais as

partículas que vão estar sujeitas a essa transição.


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Esquematicamente, teremos:

M – caudal mássico de Alimentação

R – caudal mássico seleccionado para o EVENTO de fragmentação

fi ,( f ) o vector histograma de calibre i da Alimentação e

xi ,( x ) o vector histograma de calibre i na alimentação do Classificador

pi ,( p ) o vector histograma de calibre i no Produto Final

Ci,i ,(C ) Função Classificação (matriz diagonal)

Ti,j ,(T ) Função Transição (matriz triangular inferior, diagonal não nula)

No esquema seguinte representa-se o modelo idealizado por LYNCH,

devidamente parametrado consoante a legenda anterior e com os operadores C e T a

realizarem as suas transformações:

f . M

x . (M+R)

R

p . M

C . x .(M+R)

T . C . x .(M+R)

Uma vez que o modelo só tem coerência no pressuposto de que o circuito

fechado que o suporta está em regime permanente, então o Princípio da Conservação

permite escrever as equações de balanço nos nós, respectivamente, de Mistura e

Classificador:

- nó mistura ).( )( RMxRMxCTMf

MfxCTI R)(M

e, portanto, MfCTIRMx 1

)(

equação que permite determinar directamente dos dados e dos parâmetros do modelo

o valor do vector de fluxos, X, intermédio;

- nó classificador MpxCx R)(M R)(M ,

ou seja, R)(M xCIMp

pelo que, substituindo x .(M+R) pelo valor obtido na equação anterior e eliminando

M, se obtêm a equação final desejada:

fCTICIp 1


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Como, entretanto, na equação final obtida só figuram agora os vectores fluxos

mássicos f e p (porque o vector x foi eliminado durante o cálculo), que em regime

permanente se referem a um mesmo caudal total, então estes vectores de fluxo

mássico representam igualmente os respectivos histogramas de calibre (uma vez que a

normalização é feita pelo cociente com o mesmo valor de caudal). Dito de outra

forma, se na expressão anterior f representar o histograma de calibre do produto que

alimenta o fragmentador, então p , dado pela expressão deduzida, será uma previsão

(resultado do modelo) do histograma de calibre do produto fragmentado.

Com o artifício da classificação interna, o modelo proposto permite usar uma

mesma transição finita (correspondente a um dado tempo de residência, associável

neste caso a um único aperto das maxilas ou cones) para diferentes regulações, pois o

efeito de maior tempo de residência para regulações mais apertadas vai surgir, não à

custa de uma nova integração mais longa, mas sim de sucessivas aplicações da mesma

matriz transição finita sobre mais material recirculado. Para que este efeito de

circulação selectiva seja minimamente realista é necessário fazer depender a matriz

classificação do valor da regulação. Lynch propõe para esta matriz classificação uma

forma paraboloide:

C s( ) 0 para s<CSS

2/1 OSSCSSOSSsC s para CSS<s<OSS

C s( ) 1 para s>OSS

em que s é o calibre e OSS e CSS, respectivamente, as regulações lado aberto e lado

fechado ("open side setting" e "close side setting").

Para obter, finalmente, os valores da matriz classificação discretizados na

malha de calibre, aconselha-se o uso do valor médio de C(s) dentro de cada intervalo

de calibre, dado por:

1

1)(

ii

si

sii

ss

dssCc


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1.4 Condensação de parâmetros e Parâmetros Condensados

Uma análise atenta do modelo de fragmentação descrito pela equação

1

1

,1i

j

jijjiii BfSfSp

anteriormente deduzida no parágrafo anterior (pág. 4), em termos exclusivamente

empíricos, revela que nela foram utilizados duas classes de parâmetros descritores do

processo de transição por cominuição de um estado anterior, representado por fi, para

o estado seguinte pi.

Ora, se pretendermos representar o sistema particulado em questão com uma

descretização de 10 classes de calibre, a descrição do processo de fragmentação pela

equação acima apresentada necessita da determinação experimental de, pelo menos:

9 valores de Si, dado que a classe de calibre mais fino não sofre fragmentação,

visto que, por definição, só se considera haver fragmentação quando as

partículas mudam de lote granulométrico;

35 valores de Bij (45 da matriz triangular inferior subtraídos da última linha que

poderá ser obtida por diferença invocando o princípio da conservação da

massa).

Ora, esta situação é duplamente indesejável para a formulação e operaciona-

lidade do modelo. Primeiro porque o número de parâmetros necessários para a

descrição do processo é variável com o grau de discretização da escala dos

calibres, o que manifestamente não tem sentido. Por outro lado, um tão elevado

número de variáveis no modelo representam um igual número de graus de

liberdade que originará, necessariamente, um mau condicionamento do

problema quando se pretender determinar os seus valores a partir de dados

experimentais. Com efeito, dado esse elevado número de graus de liberdade,

será de esperar a possibilidade de aparecimento de diferentes conjuntos desses

parâmetros que permitam reproduzir os resultados experimentais com um grau

de aproximação semelhante.

Assim, em favor da operacionalidade do modelo e da necessidade de

introdução de meios que permitam fazer uma leitura fenomenológica dos parâmetros

que controlam o comportamento do modelo – nomeadamente ao nível da definição

das funções Destruição e Formação atrás definidas – há todo o interesse em condensar

os parâmetros Si e Bij num outro conjunto de parâmetros a que chamaremos

parâmetros condensados, estabelecendo condições de dependência entre aqueles,

minimamente suportadas pela física do processo de fragmentação.

O caminho normalmente seguido neste processo de condensação consiste na

introdução de multiplicadores (escalas) e expoentes nas fórmulas de dependência.

Embora este assunto seja ainda hoje alvo de investigação por parte das mais

importantes escolas internacionais de Preparação de Minérios, para efeito de

desenvolvimento de modelos operacionais, quer ao nível das aulas práticas, quer

mesmo em grande número de casos reais, poderão ser adoptadas as seguintes regras

de condensação para simulação do processo de fragmentação:


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Função Destruição – admite-se um decrescimento monótono do fenómeno da

destruição à medida que os calibres vão diminuindo, contexto que é fisicamente

coerente com a teoria da fractura segundo Griffith (ver disciplina de

Fragmentação – 3º ano):

Pa – parâmetro que, referindo a destruição efectiva da classe de calibre

mais graúda, é um aferidor da energia útil de fragmentação (escala)

e depende directamente das condições energéticas disponíveis para a

própria fragmentação – amplitude e frequência do movimento das

peças fragmentadoras e sua massa, nos Fragmentadores Graúdos e

diâmetro do moinho e velocidade de rotação, carga de agente

fragmentador, etc., nos Moinhos de Tambor, como veremos adiante;

Pk – parâmetro < 1 que comanda o decrescimento da função destruição

com o calibre e que está realicionado com as características dos

agentes fragmentadores (geometria das forras, massa e número de

barras ou bolas, etc) e eventualmente com a textura do minério.

Função Formação – uma vez que esta função representa ela própria a

distribuição do material fragmentado de uma classe de calibre pelas classes de

calibre inferiores, há legitimidade para propor para esta função a forma de uma

Lei Granulométrica clássica, como, por exemplo, a Lei de Harris. Neste caso os

parâmetros a incluir no modelo serão um ou dois parâmetros forma e um

parâmetro escala que representará, por exemplo, o calibre máximo gerado. Para

simplificação, o calibre máximo gerado poderá ser considerado o calibre limite

inferior da classe que foi destruída. Se, por ventura, não forem visíveis

variações claras do tipo textural ao longo da escala de calibres, então será

também admissível que as diferentes distribuições das partículas, gerados pela

cominuição que ocorreu em cada uma das classes de calibre, tenham a mesma

forma e difiram apenas nos respectivos parâmetros escala.

A experiência tem demonstrado que os parâmetros da Formação estão tenden-

cialmente correlacionados com as características texturais do minério.

Com a adopção destas duas proposta de condensação paramétrica, os anteriores 35+9

= 46 parâmetros necessários para operacionalizar o modelo desenvolvido, resumir-se-

ão a:

2 parâmetros – Pa e Pk – para determinar os 9 Si;

2 ou 3 parâmetros – 1 ou 2 parâmetros forma e 1 parâmetro escala – para

determinar os 35 Bij.

1

11 e

i

ii PkPaPkSSPaS


- 11 -

2. MODELOS DE FRAGMENTADORES FINOS

MOINHOS DE TAMBOR

2.1 Fragmentadores de Tambor

Contrariamente aos fragmentadores graúdos, os moinhos de tambor são

máquinas de Tempo de Residência variável (Tr) e dependente do caudal de

alimentação. Essa dependência é expressa pela relação:

2.2 Modelos de Transição Instantânea

Na perspectiva da variação do Tempo de Residência, esta torna-se, na

moagem, a variável fundamental do processo, pois dela vai depender a extensão da

interacção dos agentes fragmentadores com as partículas do minério, em suma, a

extensão do próprio fenómeno da fragmentação.

Há, assim, necessidade de introduzir a variável tempo na anterior equação de

balanço, escrita para descrever a fragmentação em regime estacionário. Na concepção

empírica do processo foi introduzido o conceito de Função Destruição como sendo a

fracção de material destruído (isto é, que deixou de pertencer a uma dada classe de

calibre porque as acções de fragmentação sobre ele foram exercidas obrigaram as

partículas a diminuir o seu calibre):

Si Função Destruição, tal que Si . fi . M é a massa de material destruído.

Ora, como em termos cinéticos, a fragmentação num moinho de tambor é um

processo contínuo no tempo, resulta evidente que essa massa de material destruído

tem que depender directamente do Tempo de Residência, logo:

Si = Ki . t em que Ki tem as dimensões [T-1

]

e é definida como velocidade de destruição.

Com esta transformação a equação de balanço, que representa um processo de

fragmentação, passará a escrever-se:

1i

1j

j,ijjiiii BfSfSfp

1

1

,)()()()(i

j

jijjiiii BtftKtftKtfttf

1

1

,)()()()( i

j

jijjii

ii BtfKtfKt

tfttf

Fazendo t 0

h

hm

mVTr

3

3

médio Caudal

útil olume


- 12 -

1

1

,)()()( i

j

jijjii

i BtfKtfKdt

tdf

equação diferencial que representa um processo de fragmentação em termos cinéticos.

Tal como anteriormente, esta equação pode ser escrita em forma matricial:

)()(

tfLdt

tfd

em que L é a MATRIZ ALTERAÇÃO INSTANTÂNEA DA COMPOSIÇÃO

GRANULOMÉTRICA (o leitor deduzirá que esta matriz tem expressão

ligeiramente distinta da Matriz Transição anteriormente deduzida).

O modelo de fragmentação descrito desta forma diz-se Modelo de Transição

Instantânea, em contraposição ao Modelo de Transição Finita que descreve

exclusivamente um evento singular de fragmentação.

2.3 Integração das Equações da Moagem Batch

A equação local da cominuição, acima deduzida:

)()(

tfLdt

tfd

na qual o produto matricial )(tfL exprime a alteração instantânea da composição, é

uma equação (matricial) cinética de primeira ordem. A implementação do MODELO

DE COMINUIÇÃO implica a resolução dessa equação diferencial matricial (ou seja,

um sistema de equações diferenciais), que, para o caso em que L pode ser considerado

independente de t e de )(tf , se obtém directamente por separação de variáveis:

)0()exp()( ftLtf

expressão da EQUAÇÃO GERAL DA COMINUIÇÃO, em que )0(f representa a

composição granulométrica da alimentação.

Contudo, esta solução analítica, é apenas viável face à independência de L de

t e de )(tf , isto é, à sua invariabilidade no decorrer do processo de fragmentação. A

sua determinação, porém, envolve o cálculo da exponencial da matriz L , para cuja

solução é necessário recorrer ao conceito de FUNÇÃO DE MATRIZ que se passa a

expor.

Define-se valor próprio duma matriz do seguinte modo:

seja L uma matriz de elementos Lik

e P um vector cujas componentes

formam a matriz coluna Pk;


- 13 -

se pela aplicação da matriz L ao vector P se obtiver unicamente uma sua

dilatação ou contracção de valor , diz-se que P é um vector próprio de

L e que é um seu valor próprio;

isto é:

PPL

ou ainda:

i

kiik PPL , para cada k = 1, 2, ... , n

=

2222121

1212111

PPLPL

PPLPL

ou seja,

=

0

0

222121

212111

PLPL

PLPL

Este sistema determina as componentes do vector P , desde que assuma um

dos seus valores.

Este sistema, sendo de n equações lineares homogéneas só é possível desde

que o seu determinante seja nulo. Pode, pois, escrever-se:

02221

1211

LL

LL

que é a expressão algébrica da EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA da matriz L que,

mediante resolução duma equação algébrica de grau n, determina os seus possíveis

valores próprios, .

Porém, como vimos, a matriz é triangular inferior e, portanto, os elementos da

diagonal principal são os seus valores próprios que, no caso presente, representam os

elementos Kj da matriz destruição.

Entretanto construamos uma matriz P em que os elementos de cada coluna, j,

são as componentes Pij do vector próprio P

j correspondente ao valor próprio K

j da

matriz L . Seja também Q a matriz inversa de P . Então, estas duas matrizes P e Q

diagonalizam a matriz L na matriz dos seus valores próprios Kj , ou seja:

PLQK


- 14 -

sendo K a matriz diagonal cujos elementos Ki,i

são os valores próprios Kj. Mas como

IQ P , multiplicando à direita a anterior expressão por Q , obteremos:

LQQPLQQK

e agora multiplicando à esquerda por P

LLQPQKP

obtêm-se a desejada decomposição de L :

QKPL

Uma vez que destas matrizes, até ao momento, apenas se conhece K , há que

determinar as restantes.

Para um dado valor próprio Kk, escreva-se o sistema anterior que determina os

respectivos valores de Pmk

, componentes do vector próprio correspondente:

kkk PKPL

ou seja, para cada k (isto é, para cada valor próprio):

kmk

i

kiim PKPL ,,, com m = 1,2,...,n (componente de cada vector)

ou, desenvolvidamente:

jkkjkjjkkjkkjkj

kkkkkkkkkkk

kkkk

kkk

PKPLPLPLPLjm

PKPLPLPLkm

PKPLPLm

PKPLm

2211

2211

2222121

1111

2

1

Porém, a matriz L obtém-se a partir das matrizes destruição e formação,

conforme o estabelecido anteriormente:

jiBK

jiK

ji

L

ijj

jij

0

ou ijijjij BKL

pelo que substituindo nas expressões anteriores, teremos:


- 15 -

0

0

02

01

222111

222111

221211

11

jkkjkkjkkkjkj

kkkkkkkk

kkk

kk

PKKPBKPBKPBKjm

PKKPBKPBKkm

PKKPBKm

PKKm

As primeiras k-1 equações conduzem a Pjk

= 0 , com j < k . A equação de

ordem k é uma identidade, pelo que a indeterminação do sistema forçada pela equação

característica nos permite considerar arbitrariamente, Pkk

= 1.

As restantes equações definem todos os elementos, Pjk

para j > k :

1j

ki

ikjiijkkj PBKPKK

Poder-se-á escrever, então:

kjKK

PBK

kj

kj

P

kj

j

ki

ikjij

jk

1

1

0

Para determinar os elementos da matriz Q , inversa de P , poderemos recorrer

à relação IQ P , que conduz a:

ij

jik

kjik QP ,

ji

e, portanto, com j< k < i, de onde se pode tirar uma formula de recorrência para os

Qij:

jiQP

ji

Qi

jk

kjikij

1

1

A partir da factorização desenvolvida, o cálculo da exponencial que figura na

integração da EQUAÇÃO GERAL DA COMINUIÇÃO resulta simplificado:


- 16 -

QKPtL t .)exp()exp(

e, como K é matriz diagonal,

EKK ijij )exp()exp(

teremos, finalmente,

)0()( fQEPtft

expressão cuja manipulação se torna viável em qualquer algoritmo de cálculo através

das definições anteriormente deduzidas para as matrizes P e Q , e que exprime a

solução analítica da integração do sistema de equações diferenciais que modelam a

moagem linear (modelo batch).


- 17 -

3. SISTEMAS DE FLUXO CONTÍNUO

MODELOS PARA MOAGEM EM REGIME PERMANENTE

ESTACIONÁRIO

A passagem ao regime de fluxo contínuo faz-se, em geral, a partir da equação

do regime batch. Aliás, já no modelo de fragmentador graúdo, desenvolvido no

parágrafo anterior, se chamou a atenção para o facto de que o uso do modelo batch

integrado ao longo dum tempo de residência igual para todas as partículas,

corresponde à aceitação implícita dum regime contínuo de transporte perfeito.

Independentemente do modelo de regime de transporte aceite, a formulação

dum processo em contínuo a partir do batch obtém-se, genericamente, aproximando-a

ao comportamento médio do sistema ponderado pela respectiva distribuição de

tempos de residência (RTD), isto é:

0

)()(*)( dtttftf BC

em que BC ff e são as composições granulométricas finais em regime contínuo e

em batch, respectivamente, e (t) a distribuição de tempos de residência, RTD, tal

que, (t).dt representa a fracção de partículas que reside no interior do moinho um

tempo entre t e t+dt, sendo t* o tempo aparente de residência da respectiva RTD

(3) .

No parágrafo anterior apresentou-se a integração analítica das equações da

moagem batch na forma:

)0()( B

t

B fQEPtf

sendo

)exp( , tKE ii

t

uma matriz diagonal (Ki,j é elemento da matriz destruição), a única dependente

directamente da variável de integração, t. Deste modo a equação do contínuo virá:

)0()(*)(0

B

t

C fQdttEPtf

)0()()exp(0

, Bii fQdtttSP

A expressão integral pode ser resolvida para cada forma concreta de RTD

utilizada. Concretamente, para os casos simples de transporte perfeito (plug flow) e

de mistura perfeita (perfect mixing) as expressões são facilmente dedutíveis:

3 Note-se que t* é um parâmetro e não uma variável e que *)(tfC é função desse pa-

râmetro e não função de t. Com efeito, a integração em t fez cair a dependência ini-

cial de )(tf B em t.


- 18 -

a) No caso do transporte perfeito (pug flow) ou também designado por

transporte de pistão, a RTD é um Dirac:

( ) ( * )t t t

pelo que a expressão integral anterior assume a forma dum integral de

convolução por um Dirac centrado em t*, que, como se sabe, é dado pelo valor

da função na origem do Dirac

*

0*)(

tt

EdtttE

, ou substituindo a matriz t

E pelo valor de

cada um dos seus elementos da diagonal:

*)exp(*)()exp( ,0

, tKdttttK iiii

Esta expressão quando substituída na equação do contínuo conduz exac-

tamente à equação do batch. Este resultado justifica formalmente os

procedimentos anteriores em que se associou o regime contínuo de transporte

perfeito ao regime batch;

b) Para a mistura perfeita (perfect mixing) a RTD tem a forma já anterior-

mente deduzida:

)*

exp(*

1)(

t

t

tt

que, por substituição no integral da equação do contínuo aplicada a cada

elemento da diagonal da matriz t

E , conduz a:

dtt

Ktt

dtt

t

ttK iiii

0,

0, )

*

1(exp

*

1)

*exp(

*

1)exp(

*1

1))

*

1(exp(

*

1*

1

*

1

,0

,

, tKtKt

t

tKt ii

ii

ii

Deste modo, a integração analítica do modelo contínuo, em regime perma-

nente estacionário, para fluxo de mistura perfeita é obtida substituindo o termo

integral pelos valores da última expressão deduzida, organizados segundo a

forma duma matriz diagonal.

Contudo, é sabido que estes dois regimes de fluxo são apenas aproximações

válidas em alguns raros casos práticos. Nomeadamente no caso dos fragmentadores é

difícil justificar a existência simples de estes dois comportamentos extremos.

No entanto, do ponto de vista exclusivamente teórico, é concebível promover

associações de misturadores perfeitos em série, configuração que impedirá a saída do

sistema de partículas com tempos de residência muito curtos, probabilidade que

aumentará à medida que aumenta o número de unidades em série que se utilizam para

representar o sistema. Demonstra-se que no limite, quando o número de unidade


- 19 -

misturadoras em série tende para infinito o sistema comporta-se como sendo um

transportador perfeito, isto é, todas as partículas têm o mesmo tempo de residência.

Ora, aceitando-se que a associação em série de misturadores é uma forma de

impedir a saída de partículas com tempos de residência muito curtos, situação que o

senso comum associa ao funcionamento normal de um moinho de tambor tradicional,

negando assim a validade do modelo de misturador simples, a utilização de cascatas

de misturadores – em série ou mesmo com ramos em paralelo – é uma solução

tecnicamente utilizada por muitos autores para simular regimes de transporte contínuo

em moinhos de tambor. Por exemplo, é comum utilizar um transportador perfeito em

paralelo com um misturador, servindo este para simular o atravessamento rápido

típico das partículas finas e, aquele, o atraso dos graúdos.

Note-se, no entanto, que estes modelos, embora com todos os defeitos que lhes

são conhecidos, continuam a ser utilizados apenas porque facilitam extraordinaria-

mente a integração no tempo da equação da moagem em contínuo. Em qualquer outra

formulação as equações são de tal modo complexas que não são integráveis

analiticamente, sendo necessário procurar a solução por via numérica.

Assim, quando se utilizam estes modelos com alguma eficácia, isso apenas

quererá dizer que os dados foram minimamente ajustados pelo modelo e que este pode

ser usado para representar a realidade a que se ajustou. Contudo, em caso algum

poderá aceitar-se que a morfologia da associação em série, ou em paralelo, que foi

imaginado, corresponda a qualquer descrição fenomenológica minimamente realista

do processo de transporte das partículas no interior do moinho. Um modelo construído

desta forma, a partir do momento em que é usado na forma integrada, deixa de

depender da variável tempo. A este tipo de modelos costuma dar-se a designação de

modelos de constantes concentradas.

Quando este tipo de aproximação for aceitável, face à fiabilidade desejada

para a previsão, e a solução analítica for um imperativo para acelerar a velocidade de

cálculo, vários autores têm sugerido para o caso dos moinhos de tambor a associação

em série de um misturador perfeito de grande volume com dois misturadores

igualmente perfeitos mas mais pequenos. Neste caso ou se processa o cálculo em três

fases sucessivas correspondentes aos três estágios, o primeiro, de tempo de residência

t1, partindo da alimentação inicial e o segundo e o terceiro partindo dos produtos

descarregados, respectivamente, pelo primeiro e pelo segundo, com tempos de

residência iguais, t2 , ou, de uma vez só, usando a expressão global:

22,1, 1

1

1

1

tKtKiiii


- 20 -

4. TRANSPORTE DIFERENCIAL NO CALIBRE

A experiência de simulação de moinhos de barras – caracterizados por uma

fortíssima selectividade do mecanismo de transporte face ao calibre das partículas –

tem mostrado de modo muito claro a ineficácia dos modelos de fluxo descritos nos

parágrafos anteriores, mesmo alguns bem sofisticados como os que possuem à cabeça

um classificador que encaminha as partículas graúdas para o modelo de transporte

perfeito enquanto permite que os finos percorram uma cascata de misturadores.

Embora seja uma tentativa legítima de tentar um modelo de parâmetros concen-

trados para fazer alguma fenomenologia, a solução terá de ser procurada assumindo

de raiz o objectivo de simular um transporte verdadeiramente selectivo no calibre.

Relativamente a uma possível classificação dos modelos consoante a sua

capacidade de descrição fenomenológica, merece a pena referir um parágrafo dum

artigo de Herbst & Fuerstenau. Os vários tipos de modelos podem ser classificados de

acordo com o detalhe físico que descrevem e com a complexidade experimental e

computacional associada ao seu uso. Na figura seguinte representa-se esquematica-

mente uma classificação genérica proposta por esses autores.

Cada tipo de modelo está referenciado a um nível do diagrama. Os níveis, de I

a V, estão organizados em ordem ascendente de complexidade do detalho físico,

matemático e computacional.

PARÂMETROS DISTRIBUÍDOS

TRANSPORTE E CLASSIFICAÇÃO

IV - FRAGMENTAÇÃO NÃO-LINEAR,

III - FRAGMENTAÇÃO LINEAR,

TRANSPORTE E CLASSIFICAÇÃO

PARÂMETROS DISTRIBUÍDOS

II - FRAGMENTAÇÃO LINEAR

TRANSP. e CLASS. CONDENSADOS

I - MODELOS DE CORRELAÇÃO

V - MODELOS FENOMENOLÓGICOS

NÍVEIS DE COMPLEXIDADE

DOS MODELOS DE SIMULAÇÃO

No nível I todos os sub-processos físicos como, por exemplo, a cinética da

fragmentação, a cinética do transporte e os fenómenos de classificação são

representados por uma simples equação do tipo correlação. Esta equação, sendo o

resultado duma série de integrações nas variáveis intervenientes no processo e na

extensão dos seus domínios de variação, não revela já a dependência explícita nessas

variáveis. A este tipo de modelos é corrente chamar modelos de parâmetros concen-

trados (lumped models). Um exemplo típico são as anteriores Curvas Padrão para

simulação de granuladores, a Lei de Bond para a moagem, etc. Os modelos de

transporte apresentados no parágrafo anterior são do tipo de parâmetros concentrados,

pois referem globalmente o regime estacionário de um transporte através de uma

RTD. O leitor poderá reanalizar, à luz destes novos conceitos, os desenvolvimentos


- 21 -

então deduzidos e confirmar que nesses modelos a variável tempo deixou de fazer

parte do modelo (porque foi efectuada uma integração ao longo do seu intervalo de

variação), ficando apenas dependentes dum parâmetro (e não variável!) que se

designou por tempo aparente de residência, t*. Estes modelos, de um modo geral, são

apenas válidos quando as cinéticas de fragmentação e de transporte são, em primeira

aproximação, independentes do calibre.

No nível V os modelos são desenvolvidos a partir de princípios primeiros e,

consequentemente, garantem legitimidade às extrapolações necessárias à previsibili-

dade desejada. São o limite máximo da performance dos modelos. Infelizmente, este

nível de sofisticação é frequentemente inatingível devido à complexidade, quer dos

fenómenos naturais que os modelos tentam reproduzir, quer da estrutura matemática e

computacional a que o detalhe da descrição física por vezes obriga.

4.1 - Um Modelo Fenomenológico para Moinho de Barras

Em primeiro lugar e antes de avançarmos para a descrição do modelo, é

conveniente relembrar que, como atrás foi dito, os modelos deste tipotem por base a

fenomenologia do processo, aparecendo as RTD's como resultado desse mesmo

processo e não como ponto de partida para qualquer ajuste.

Assim, a estrutura fundamental do modelo assenta numa constatação factual

que pode ser sintéticamente descrita da seguinte forma: dentro de um moinho de

tambor, o minério constitui um obstáculo à sua própria passagem.

Dentro desta linha de pensamento, e se se considerar o moinho dividido em n

volumes elementares v, podemos dizer que as partículas contidas em cada um desses

volumes, definido por duas secções transversais contíguas, s, e separadas por uma

distância l, constituem um obstáculo às partículas que se encontram no volume

elementar imediatamente anterior. Se no limite l0, podemos supôr cada volume

elementar reduzido a uma secção filtrante que actua selectivamente sobre as partículas

que tentam atravessá-la em função de factores como o calibre, a fluidez de polpa ou a

densidade dos grãos. Este obstáculo ao avanço das partículas é representado, em

termos de modelo, por um conjunto de n funções (uma por cada volume elementar)

que podem entrar em conta com alguns ou todos esses factores. A cada uma dessas

funções dá-se o nome de função de passagem.

O transporte é então modelado à custa do conjunto destas funções, cada uma

das quais se decompõe, por sua vez, num parâmetro PSi, que avalia o nível de

saturação da zona activa de moagem e o transporte das partículas fora desta zona, e

num filtro que vai comandar o transporte nessa mesma zona activa. Este filtro é por

sua vez uma função ajustável e bem definida que pode ser comandada por dois

parâmetros, PVi

50 e PFi, que dão indicações respectivamente sobre a estrutura

granulométrica da polpa e a sua fluidez.

Os n parâmetros PVi

50 estão por sua vez condensados em apenas dois, PVn

50 e

PM, do seguinte modo:

50

1

50

2

50

1

50 ,,, nn PVPVPVPV

sendo


- 22 -

505050

nii PVPVPMPV

Quanto à função de passagem, toma a seguinte forma para cada moinho

elementar i

j

iijijii VLFtQ ,,

representando

Fij - é o filtro, função de PVn

50 e de PF que nos vai indicar a

probabilidade de passagem de cada calibre j do moinho i ao

moinho i+1 seguinte;

i - o estabilizador de passagem de cada moinho que garante o

cumprimento do princípio da conservação da massa;

Lij - distribuição granulométrica do moinho elementar i;

Vi - volume mássico do moinho elementar i;

Qi - caudal mássico do moinho elementar i ;

t - intervalo de tempo em que é feita cada observação.

Das variáveis apresentadas, Vi pode ser determinado experimen-

talmente, Lij calculado indirectamente através da cinética de moagem e Fij arbitrado.

O estabilizador de passagem i vai ser calculado a partir dos restantes, dando origem

à função de estabilidade de passagem.

Este estabilizador de passagem, representa a percentagem do volume do

moinho elementar mi que é necessário submeter à filtragem para se obter a massa dos

diferentes lotes que irá transitar para o moinho elementar seguinte (mi+1). Ao mesmo

tempo, este estabilizador, garante que o caudal total que está a atravessar esse volume

elementar, satisfaça as condições impostas pelo filtro F.

A não linearidade do modelo ocorre de uma forma activa, quando as

características da alimentação sofrem oscilações violentas que obrigam à subida do

valor de i que, quando atinge o seu valor máximo admissível para as condições

normais de funcionamento, em termos de previsibilidade do modelo, vai alterar os

parâmetros do filtro de modo a que essas condições de previsibilidade se mantenham.


- 23 -

5. PARTICULARIDADES DA MOAGEM BOLAS E BARRAS

AS NÃO-LINEARIDADES INTRÍNSECAS

No modelo geral da cominuição anteriormente apresentado à Matriz de

Transição T , ou à Matriz Alteração da Composição L , atribuiu-se toda a respon-

sabilidade na caracterização quantitativa das propriedades, quer do minério sob o

ponto de vista da sua triturabilidade, quer do moinho, tambor e carga, já que em si

mesma integra os dois fenómenos físicos típicos dum processo de fragmentação: a

destruição, normalmente relacionada mais de perto com a energia consumida e com a

triturabilidade do minério, e a formação frequentemente associada às características

texturais do minério. Se essa matriz de transição tem por função descrever as

condições operatórias do moinho a laborar com um dado minério, então os seus

valores deverão, forçosamente, variar com as características desse minério, com o

rgime de funcionamento da máquina e com as particularidades do agente fragmen-

tador, podendo ou não variar com o tempo. No caso mais simples da invariabilidade

no tempo, diz-se que o processo de cominuição é linear ou homogéneo no tempo.

Quando a função transição varia, directa ou indirectamente, com o tempo o

modelo torna-se mais complexo e a fragmentação passa a designar-se por não-linear,

do tipo paramétrico no caso da variação directa e strictu senso no outro caso. Esta

dependência da matriz transição pode resultar basicamente:

da degradação das condições de moagem, devida a desgastes dos agentes de

fragmentação ou a desafinações - caso paramétrico;

do carácter colectivo da fragmentação inerente ao processo de moagem em

moinhos de tambor, que acarreta para a função de transição uma

dependência das características granulométricas da carga, na medida em

que certos lotes passam a interferir na fragmentação de outros. Neste

sentido, uma vez que a evolução no tempo da composição granulométrica

da carga é a própria essência do fenómeno da cominuição, a matriz

transição varia indirectamente com o tempo e a moagem apresenta o refrido

comportamento não-linear strictu sensu.

Pela formulação apresentada para as não-linearidades propriamente ditas o

processo de moagem e, por arrastamento, a função de transição, variará com a

quantidade maior ou menor de determinados lotes, em dado instante, na medida em

que estes interferem com a moagem de outros lotes, de maior ou menor calibre,

também presentes na máquina nesse instante.

Distinguem-se dois tipos distintos de situações:

os diferentes lotes competem segundo o seu calibre por uma zona

activa de fragmentação;

determinados lotes presentes dificultam a acção dos agentes de

fragmentação sobre outros.

Qualquer uma destas situações influencia fundamentalmente a função

destruição, Ki, que passará a ter uma formulação condicional do tipo K

i(tC

i(t)),

podendo ou não afectar a função formação. Genericamente este comportamento pode

ser explicitado como segue:

m

mmjjj

m

jmmjij CZKKKCZCK ,, 1


- 24 -

em que Ci representa a composição granulométrica total no instante considerado, C

m a

fracção granulométrica correspondente ao lote m e Zj,m

a influência da presença deste

lote na destruição Kj do lote j .

Da prática corrente com moinhos de tambor são particularmente conhecidos

dois mecanismos que ilustram esta situação:

efeito de escudo (umbrella) em que as maiores partículas protegendo as

mais pequenas da acção dos agentes fragmentadores, lhes fazem diminuir a

destruição. Este efeito é típico no moinho de barras e largamente

conhecido na prática industrial por ser responsável pela fraca produção de

finos, característica deste tipo de moinhos;

efeito de colchão (mattress) em que as partículas de menores dimensões

funcionam como amortecedores à acção dos agentes fragmentadores sobre

os calibres maiores. Corresponde a uma diminuição da transmissão de

energia das bolas ou barras para as partículas em presença e, como tal, a um

abrandamento global da destruição dos graúdos.

Na medida em que estas não linearidades strictu sensu possam ser descritas

como efeitos da composição granulométrica da carga sobre os diferentes parâmetros

de moagem, é possível uma análise fina do processo com base em fenómenos

fisicamente identificáveis.

Este tipo de análise contrasta fortemente com as descrições formais e ou

empíricas tão caracterísricas da cinética química. Com efeito é a partir da definição

das não-linearidades que a teoria cinética da moagem se afasta da metodologia e dos

formalismos da teoria cinética química, teoria de que, historicamente, foi a grande via

de acesso. Note-se, de passagem, que adoptar uma tal formulação para as não-

linearidades, fazendo-a incidir sobre a variabilidade no tempo das velocidades

cinéticas, permite continuar a utilizar uma cinética de primeira ordem, atribuindo-lhe

a justificação física corrente, para simular um processo não-linear!

Finalmente convém chamar à atenção que o uso deste tipo de formulações

para os fenómenos não-lineares obrigará, necessariamente, que o sistema de equações

diferenciais que representam a cinética de primeira ordem da cominuição seja

integrado numericamente.


- 25 -

6. MÉTODOS PARA CÁLCULO DO REGIME PERMANENTE

EM CIRCUITO FECHADO

6.1 Equação do Circuito Fechado utilizando um Modelo de Curva Padrão

O Modelo de Curva Padrão, usado frequentemente para simular o funciona-

mento dos fragmentadores graúdos, de maxilas ou cones, é, por definição, um modelo

de transição finita, que descreve, portanto, um evento singular de fragmentação.

Todavia, para além dessa limitação, esse modelo é ainda mais limitado porque, como

tivemos oportunidade de analisar, é insensível às variações granulométricas da

alimentação. Para superar essa limitação, este modelo só é aplicável a máquinas de

tempo de residência semi-fixo e baixo e em circuitos com alimentação classificada à

cabeça.

Com base nesta concepção, resulta evidente que, para um dado fragmentador

graúdo, afinado a uma dada regulação e descrito por uma curva (cumulante)

granulométrica padrão imutável, a previsão da sua descarga apresenta uma

invariabilidade da percentagem de redução a qualquer calibre. Obviamente que,

quando o fragmentador está em circuito fechado, admite-se que a percentagem q de

redução abaixo do calibre de corte do classificador é constante

Assim, quando o fragmentador estiver num circuito fechado em regime

permanente estacionário (steady state), então o caudal de entrada é igual ao da

descarga. Isto é:

P = A

Mas, conhecendo a Curva Padrão que representa o funcionamento do fragmen-

tador, e admitindo para o crivo uma Partição em Degrau Perfeito, virá que os caudais,

P de produto final e R de retorno, se exprimem por:

P = M . q

R = M . (1-q) (ver Nota no fim do parágrafo)

Quando o circuito estiver em equilíbrio (regime permanente estacionário),

então o caudal através do fragmentador, M, será dado por:

+

P,pi R

A,fi

M,mi


- 26 -

q

A

q

PM

expressão já conhecida desde a disciplina de Fragmentação e utilizada nos trabalhos

práticos para calcular o Circuito Fechado de um Fragmentador Graúdo, após

estabilização.

A Curva Padrão pode ser representada por uma Cumulante clássica (SG, RR ou HH), )()()( 11 ii

x

xi xwtxwtxwtm i

i

Admitindo o Classificador Perfeito, com Partição em Degrau de Heaviside h(x), então a composição do Produto Final pi virá em

função da Curva Padrão mi, dada por:

i

ii

iii

xhmM

xhmMp

)(

)(

, expressão cujo denominador representa o Caudal i

ii xhmMP )(

e, como, por definição, a percentagem de redução q, de material reduzido pelo fragmentador a calibre inferior ao calibre de corte

é dada por

)(.

i

i

i

xi

i xhmmqi

vem que qMP c.q.d

Quando o Classificador for descrito por uma partição )(i , então a anterior expressão de pi será dada por

i

i

i

i

i

ii

im

im

imM

imMp

))(1(

))(1(

))(1(

))(1(

6.2 Equação Global do Circuito Fechado em

Regime Permanente Estacionário

Para o estabelecimento da equação genérica que simula a fragmentação ope-

rada num circuito fechado em regime permanente estacionário (steady state) vai

ser necessária a equação do regime contínuo anteriormente deduzida, incluindo a

RTD mais aconselhada para o moinho em questão, bem como a descrição cinética do

classificador usado para o fecho do circuito, que permitirão escrever as equações de

balanço de cada calibre nos vários nós do circuito. No caso em análise o classificador

vai ser descrito exclusivamente por uma matriz classificação, C , matriz diagonal

cujos elementos representam uma Curva de Partição de Tromp.

Na figura seguinte, representaremos por letra minúscula as matrizes vector dos

histogramas de calibre de cada fluxo, enquanto a letra maiúscula representa o

respectivo fluxo mássico.

F H H F

f a h p_ _ __

TC=

=

De acordo com o que já anteriormente foi estabelecido, a matriz transição da

moagem em fluxo contínuo é representada por:

QdtttKPtT ii

0, )()exp(*)(

Recordaremos que P e Q são matrizes inversas construídas com os elementos

das funções Destruição e Formação, respectivamente Kii e Bij e (t) é a distribuição de

tempos de residência (DTR) do transporte no interior do moinho, sendo que (t).dt


- 27 -

representa a fracção de material que reside no interior do moinho ente t e t+dt

unidades de tempo.

Como vimos, quando o Transporte for Perfeito (pistão ou plug flow), a DTR é um

Dirac centrado no tempo de residência t* e o resultado do integral definido é uma

matriz diagonal de elementos exp(-Kii.t*). Quando se admitir um Transporte de

Mistura de tempo médio de residência t*, após integração, os elementos da diagonal

dessa matriz serão os quocientes:

*

,1

1

tK ii

Surge então como evidente que a matriz de transição da moagem em

regime contínuo, )( *tT é uma função de t*, tempo médio de residência da RTD

(t) que for utilizada, o qual, por sua vez, terá que ser entendido como função do

volume útil (mássico) do moinho V e do caudal mássico que o atravessa, H:

*

H

Vt

Assim sendo, a expressão da moagem em contínuo evidencia a dependência da

matriz transição em fluxo contínuo no caudal mássico que alimenta o moinho.

aTatThH

V )( *

Com base nestes pressupostos, admitamos que o anterior circuito se encontra

em regime permanente estacionário, única circunstância em que poderemos admitir

que é satisfeito o princípio da conservação da massa e se podem escrever as

respectivas equações de balanço.

Assim, a composição que alimenta o moinho resulta directamente da equação

de balanço de massa no nó de mistura:

H

hCHfFa

, mas como atTh )( *

virá que

H

hCHfFTh

e, portanto hCTHfTFhH

Se se admitir que a matriz de classificação, C , não depende substancialmente

da composição granulométrica h que alimenta o classificador, então a complexidade

da anterior expressão pode ser reduzida, colocando h em evidência.


- 28 -

fThCTIF

H

Após multiplicação à esquerda,

fTCTIhF

H

1

e, tomando em consideração a identidade 11

TCITTCTI

teremos: fTCIThF

H

1

Finalmente, considerando o balanço material em cada calibre em volta do nó

do classificador, teremos:

hHCIhCHhHpF

pelo que

hF

HCIp

Por substituição do valor determinado acima, chegaremos à expressão que

define a composição granulométrica final produzida pelo circuito fechado à custa da

matriz transição (função do tempo aparente de residência), da matriz classifi-

cação e da composição granulométrica do produto inicial:

fTCITCIp

1

Equação equivalente poderá ser escrita para o circuito fechado com

classificador à cabeça:

F H

f a h

p

_ __ _T

C=

=

m

M

_F

As equações cinéticas da moagem e da classificação permitem escrever:

mM= e CaHaHThH

pelo que

m CTMhH

e do balanço no nó mistura vem:


- 29 -

hHfFmM e substituindo na anterior,

hCTHfCTFhHfFCThH

fCTFhCTIH

ou seja,

fCTCTIhF

H

1

Finalmente, da equação de balanço no nó do classificador é possível tirar:

hHfFCImMCImCMmMpF

e de seguida, por substituição da equação anterior,

fCTCTIfCIp1

ou, finalmente, usando a distributividade à direita e a comutatividade da soma de

matrizes, obteremos a equação geral para o circuito fechado de moagem com

classificador à cabeça em regime permanente estacionário:

fICTCTICIp

1

Uma manipulação algébrica semelhante à seguida na dedução do Modelo de Lynch (que contempla internamente um Circuito Fechado co m Classificador à Cabeça, como o que aqui está a ser estudado, permite chegar a uma equação equivalente:

As equações cinéticas da moagem e da classificação permitem escrever:

aTHhH e )( mCHFaH

pelo que

m)( CTHFhH

e do balanço no nó mistura vem:

mHFhHfF )(

mCTIHFfF

mHFmCTHFfF

)(

)()(

de onde se retira

mHFfCTIF

)(1

Da equação de balanço no nó do classificador é possível tirar:

mCIHFpF

)(

e por substituição da equação anterior,

fCTICIFpF

1

ou, finalmente,

fCTICIp 1


- 30 -

Um olhar atento para as rotinas que acabam de ser expostas permite concluir

que o método seguido consistiu no estabelecimento dum sistema de equações

lineares obtidas directamente sobre todas as unidades processuais do diagrama, a

saber:

o nó de mistura, considerada perfeita;

a unidade de fragmentação, descrita pela equação geral de fluxo contínuo;

a unidade de classificação, descrita pela sua curva de partição.

Contudo, como o caminho analítico seguido para obter a equação final deseja-

da camuflou ligeiramente esse sistema de equações, em favor duma exposição mais

genérica, que abre perspectivas de utilização da mesma metodologia para cálculos

completos de circuitos, é importante repor a estrutura global do sistema.

Genericamente, o cálculo dum circuito envolve a determinação de caudais e

de composições de todos os circuitos admitindo conhecidos o caudal e a composição

da alimentação e os modelos das unidades de processo, devidamente parametrados.

No caso do classificador aos pés o assunto coloca-se com toda a generalidade

na seguinte base:

1. Número total de incógnitas em presença (admitindo 10 classes de calibre):

- caudal H 1 incógnita;

- vector a 10 incógnitas

- vector h 10 incógnitas

- vector p 10 incógnitas

Total 31 incógnitas

2. Número total de equações escritas:

aTh 10 equações

H

hCHfFa

10 equações

hF

HCIp 10 equações

Total 30 equações

3. Para a determinação do sistema é necessário escrever mais uma equação

independente. Note-se, de passagem, que no problema anterior só foi possível

chegar à solução porque, na verdade, se prescindiu da obtenção directa dos

vectores a e h e do caudal H. Para escrever a equação em falta recorde-se

que as equações de balanço manipulam sempre massas, ou caudais mássicos,

sendo os histogramas de composição obtidos por normalização sobre os cau-

dais totais. Assim, por exemplo, o caudal de retorno, dado por H-F obtém-se

somando os caudais mássicos de todos os calibres desse fluxo, ou seja,

somando todos elementos do vector representante desse fluxo:

4.

i

hCHFH 1 equação


- 31 -

Se, porventura, estivéssemos também interessados na composição granulo-

métrica deste produto de retorno, obviamente que ao problema seriam

acrescidas mais 10 incógnitas, pelo que seria necessário introduzir as

respectivas equações, na forma:

hCFH

Hr

10 equações

O leitor com facilidade reformula o problema para o caso do circuito com

classificador à cabeça, com base nas equações anteriormente escritas.

6.3 Método Iterativo para cálculo de um Circuito Fechado

Porque, frequentemente, o método anterior se torna demasiado laborioso na

especificação de todas as equações e preparação dos dados de modo a serem

introduzidos em rotinas de resolução de sistemas de equações lineares, é costume

usar-se um método iterativo para resolução do problema que consiste basicamente

em cortar um ramo do ciclo fechado de cálculo e resolvê-lo por refinamentos

sucessivos a partir dum guess inicial.

Todavia, antes de avançar por este método, convém evidenciar uma grave

lacuna, ou mesmo defeito, imputável ao método anterior que reside na

impossibilidade de reajuste da matriz de transição para os diferentes valores do

caudal mássico que aflui ao moinho! Com efeito, foi devidamente anotada a

dependência da matriz transição nesse caudal através do tempo médio aparente, t*, da

respectiva RTD, mas, contudo, o sistema de equações lineares, embora admita o

caudal H como uma incógnita, a solução só é alcançável em face de valores de T

constantes, isto é, não ajustáveis ao valor de H, só conhecido a posteriori.

Neste ponto reside a grande objecção a fazer ao método anterior, nome-

adamente em problemas de modelagem em que se pretende estudar as vantagens das

diminuições dos tempos de residência, por aumento dos caudais de atravessamento

dos moinhos, casos em que se justifica o uso do método iterativo.

Em termos práticos, no método iterativo escrevem-se todas as equações na

forma em que foram apresentadas anteriormente, pela respectiva ordem a partir da

ramo do circuito que foi cortado, ponto por onde se vai iniciar o cálculo. Porém, para

que este seja possível, vai ser necessário arbitrar (diz-se, normalmente, fazer um

"guess") das variáveis que funcionam como inputs dessa primeira operação.

Seguidamente, efectua-se todo o cálculo do circuito, sequencialmente, operação a

operação, até ao outro extremo do circuito onde se efectuou o corte. Uma vez

chegados a este ponto, já que foram calculadas todas as variáveis do circuito, deve

comparar-se o "guess inicial" com os valores calculados: se forem valores aceitáveis,

dentro da gama de erro preconizada, então o circuito atingiu a convergência e o pro-

cesso iterativo termina, caso contrário recomeça novo ciclo de cálculo, partindo agora

dos valores acabados de calcular e assim sucessivamente até à convergência final.

A grande habilidade está, não só em escolher um bom "guess" inicial, mas,

sobretudo, em estabelecer um bom critério de convergência capaz de reflectir os

objectivos do problema em estudo, pois a convergência absoluta pode ser difícil de

atingir. Por exemplo, os caudais podem estar razoavelmente estabilizados, mas a

gama de calibres finos ainda estar ainda a oscilar muito. Normalmente usa-se como


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critério de convergência a diferença relativa entre dois valores consecutivos do

cálculo:

calculado

calculado -anteriorvalor =critério

a aplicar a cada componente do sistema -- caudais de sólidos, caudal de água, e

fracções granulométricas -- segundo os objectivos pré-definidos.

Podem ainda ser utilizados algoritmos aceleradores de convergência. Um dos

mais comumente utilizados é o algoritmo de WEGSTEIN que consiste basicamente

em intersectar a recta que une os dois últimos valores calculados com a recta y=x e

considerar a intersecção como novo guess. Se forem, por exemplo, x1, y1 e x2, y2,

respectivamente, "guess" e calculado nos dois últimos passos da iteração, então o

"guess" para o passo seguinte deverá ser dado pela intersecção referida, ou seja:

1221

21213

yyxx

xyyxx

Contudo estes algoritmos devem ser criteriosamente escolhidos sob pena de, se não

respeitarem a estrutura típica da evolução das variáveis em estudo, poderem conduzir

a desvios irreparáveis na busca da solução final.

Documents

Modelagem I