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INPE-11829-PRP/244

MODELAGEM, IDENTIFICAÇÃO E CONTROLE DE ESTRUTURAS FLEXÍVEIS DE RASTREAMENTO LINEARES E

NÃO LINEARES COM APLICAÇÕES AEROESPACIAIS (SATÉLITES E ROBÓTICA) –VOLUME 1

FAPESP: PROCESSO 01/02858-5

André Fenili

Esta relatório teve a colaboração do Dr. Luiz Carlos Gadelha de Souza da Divisão de Mecânica Espacial e Controle (DMC).

INPE São José dos Campos

2004

Í n d i c e

Capítulo 1

Solução analítica ( método das múltiplas escalas ) e localização dos casos ressonantes ( curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal ) Aspectos Gerais.............................................................................................................1

Parte A - Equação governante do movimento..........................................................6 A.1 – Ressonâncias secundárias e caso não ressonante –

Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1)............................................6 A.1.1 – Sem amortecimento estrutural.................................................................6 A.1.2 – Com amortecimento estrutural................................................................7

A.2 – Ressonância primária – Excitação : amplitude de O( 2∈ ) e freqüência de O(1)................................................................................................8 A.2.1 – Sem amortecimento estrutural.................................................................9 A.2.2 – Com amortecimento estrutural................................................................9

Parte B - Aplicação do método das múltiplas escalas ( MME ) : a busca por

uma solução analítica................................................................................10

B.1 – Ressonâncias secundárias e caso não ressonante – Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1)..........................................10 B.1.1 – Sem amortecimento estrutural...............................................................10 B.1.2 – Com amortecimento estrutural..............................................................14

B.2 – Ressonância primária – Excitação : amplitude de O( 2∈ ) e freqüência de O(1)..............................................................................................15 B.2.1 – Sem amortecimento estrutural...............................................................15 B.2.2 – Com amortecimento estrutural..............................................................17

Parte C - Localização dos casos ressonantes ( e não ressonantes )........................17

Parte D - O caso 0≈Ω Excitação : amplitude de O(1) e

freqüência de O( 2∈ )..................................................................................19 D.1 – Sem amortecimento estrutural...........................................................................20 D.2 – Com amortecimento estrutural...........................................................................21

Considerações finais..................................................................................................22

Capítulo 2

Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência ( curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal )

Caso I - Ressonância secundária : ressonância super-harmônica : 13/1 w≈Ω ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1) )

Parte A - Obtenção das equações de modulação de amplitude e fase...................23

A.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................23 A.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................25

Parte B - Função de resposta em freqüência

( amplitude da resposta X freqüência da excitação ).............................27

B.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................27 B.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................28

Parte C - Estudo da estabilidade das soluções de equilíbrio

encontradas na Parte B.............................................................................29

C.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................29

C.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................31

Capítulo 3

Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência ( curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal ) Caso II - Ressonância secundária : o caso 0≈Ω ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O( 2∈ ) )



Parte B – Análise em regime permanente...............................................................35


Capítulo 4

Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência ( curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal ) Caso III - Ressonância secundária : ressonância sub-harmônica : 13 w≈Ω ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1) )




( amplitude da resposta X freqüência da excitação )...........................................41





C.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................43

Capítulo 5

Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência ( curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal ) Caso IV - Ressonância primária : 1w≈Ω ( Excitação : amplitude de O( 2∈ ) e freqüência de O(1) )




( amplitude da resposta X freqüência da excitação ).............................49





C.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................52 Capítulo 6

Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência ( curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal )

Caso V – Caso não ressonante : Ω distante de 13/1 w , 13 w e 0 ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1) )



Parte B – Análise em regime permanente...............................................................57


Capítulo 7

Equações diferenciais parciais governantes do movimento – curvatura linear - sistema ideal

Solução Analítica

7.1 – Introdução...........................................................................................................59 PARTE A - A solução homogênea............................................................................61

7.2 – Separação de variáveis..............................................................................61 7.3 – Solução da equação homogênea espacial..................................................63 7.4 – Solução da equação homogênea temporal................................................67 7.5 – Solução geral da equação homogênea.......................................................85

PARTE B - A solução particular..............................................................................86

7.6 – Separação de variáveis...............................................................................86

PARTE C - A solução geral.......................................................................................93

Capítulo 8

Conclusões, atividades desenvolvidas no período e planejamento futuro

8.1 – Conclusões e atividades futuras.......................................................................99 8.2 – Sobre a parte experimental............................................................................100 8.3 – Sobre parte da pesquisa a ser desenvolvida no exterior..............................100 8.4 – Atividades desenvolvidas durante o período.................................................101 8.5 – Novas atividades incluídas na pesquisa e cronograma atualizado..............104

Referências Bibliográficas................................................................................................107 Apêndices

Apêndice A - Relações importantes........................................................................109 Apêndice B - Solução do problema linear associado............................................110 Apêndice C - Coeficientes da equação diferencial ordinária para a

componente temporal q1 de v( x, t ).................................................111

1

Capítulo 1

Solução analítica ( método das múltiplas escalas ) e localização dos casos ressonantes

curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal

Aspectos Gerais

Sistemas lineares, sujeitos a excitações harmônicas, responderão na mesma freqüência e

apresentarão comportamento crítico apenas nos casos em que a freqüência de excitação estiver

suficientemente próxima de alguma das freqüências naturais desse sistema ( ou se for uma

delas ). As primeiras freqüências naturais ( geralmente a primeira e a segunda ), associadas às

maiores amplitudes de vibração, são as mais críticas. Teoricamente, nesses casos, a amplitude de

vibração desse sistema será infinita. Na prática, o sistema dinâmico entrará em colapso.

Sistemas lineares que possuam apenas um grau de liberdade, possuirão apenas uma dessas

condições críticas. Sistemas lineares mais complexos, que possuam n graus de liberdade,

possuirão n condições críticas de vibração.

Seja, por exemplo, uma massa m conectada a uma mola de constante elástica k, conforme

mostra a figura 1.

Figura 1 : O mais simples sistema linear de um grau de liberdade

k

m

x

F

2

A freqüência natural ( única ) desse sistema será dada por :

w1 = mk

para o caso não amortecido. A força na mola será dada por f = k x.

Caso a força F, conforme apresentada na figura 1, seja do tipo harmônica e esteja atuando

na mesma freqüência w1, o sistema apresentará a maior amplitude possível de vibração. Diz-se

que o sistema entrou em ressonância. Nos casos em que a freqüência da excitação harmônica

assuma qualquer outro valor, o sistema linear responderá na mesma freqüência da excitação e

com amplitudes sempre menores em comparação com este caso crítico.

Para sistemas lineares de parâmetros distribuídos, novas complexidades e teorias poderão

estar incorporadas na modelagem e análise matemática das equações governantes do movimento

mas o que foi exposto anteriormente continua sendo verdade. Ademais, sistemas deste tipo

sempre podem ser discretizados quando for conveniente.

O que foi brevemente apresentado até aqui, neste capítulo, então, vale para qualquer

sistema ( dinâmico ) linear, apresentando maior ou menor complexidade.

O mesmo sistema dinâmico descrito anteriormente ( figura 1 ) pode, por alguma razão

( acuidade, por exemplo ), necessitar ser representado por um modelo matemático não linear.

Novos conceitos deverão, então, ser assimilados para que a análise do comportamento dinâmico

de tais sistemas possa ser empreendida ( veja, por exemplo, Nayfeh e Mook, 1979, para uma

excelente referência sobre o estudo de sistemas não lineares ).

O modelo matemático não precisa ser extremamente complexo para que a análise linear

falhe. Por exemplo, se a força na mola for descrita por f = kx + kx3 . A equação dinâmica do

movimento resultante é conhecida como equação de Duffing e incontáveis estudos têm sido

realizados sobre a mesma ( Nayfeh e Mook, 1979; Nayfeh, 1981; para citar apenas alguns ). Esse

modelo não linear descreve fenômenos que não são detectados em modelos matemáticos lineares

para o mesmo sistema dinâmico.

Não-linearidades presentes em sistemas dinâmicos podem ser estudadas como perturbações

em torno de um sistema linear bem conhecido. Pode-se falar, então, em sistema linear associado

e sistema fracamente não linear. Sob esse enfoque, uma análise de sistema linear precede a

análise do sistema não linear.

3

Para o sistema massa-mola não linear ( sistemas não lineares em geral ), excitações com

freqüências múltiplas ou fracionárias de alguma freqüência natural do sistema linear associado

também podem levar o sistema à condição ressonante ( Nayfeh e Mook, 1979 ). Por essa razão,

várias condições críticas deverão ser cuidadosamente analisadas. Quando a freqüência de

excitação aproxima-se de alguma das freqüência naturais do sistema linear associado, fala-se em

ressonância primária. Nos casos em que a freqüência de excitação assume valores próximos aos

das freqüências associadas à parte não linear do sistema ( sub-harmônicos e super-harmônicos ),

fala-se em ressonâncias secundárias, que são todas as demais com exceção das primárias.

O aspecto e obtenção das curvas de resposta em freqüência para sistema não lineares são

diferentes daqueles empregados para sistemas lineares, conforme será visto neste trabalho. Essa

diferenciação permitirá que ocorram nos primeiros fenômenos não observados nesses últimos,

como é o caso de variações bruscas na amplitude de vibração do sistema quando a freqüência ( ou

a amplitude ) de excitação variam ligeiramente. Este fenômeno recebe o nome de salto.

Regiões de salto são regiões associadas a bifurcações e aonde comportamentos peculiares

denominados caóticos podem se manifestar em um sistema dinâmico ( por exemplo : Thompson

e Bishop, 1994 ).

Neste trabalho, todas as excitações consideradas serão do tipo harmônico e o sistema

dinâmico em estudo é do tipo contínuo ( ou de parâmetros distribuídos ). Não-linearidades

geométricas cúbicas advindas de um modelo de curvatura não linear de uma estrutura tipo viga

( figura 2 ) serão analisadas no contexto da teoria de sistemas fracamente não lineares.

A excitação harmônica sobre a estrutura flexível será providenciada pelo deslocamento

angular θ e suas derivadas. O comportamento dessa variável ( e de suas derivadas ) poderá estar

acoplado ou não ao comportamento da estrutura flexível. O deslocamento angular, nesse

contexto, também é denominado de movimento de rastreamento ( Fenili, 2000 ) ou movimento de

varredura ( slewing em inglês ).

No estudo realizado aqui, o comportamento da variável θ será prescrito e não será

influenciado pela dinâmica da estrutura sobre a qual atua, caso em que teria também de ser

investigado ( conhecido ) juntamente com a dinâmica da estrutura. Em casos semelhantes ao

primeiro, o sistema dinâmico é dito ideal. No caso da excitação não poder ser conhecida de

antemão, fala-se em sistema não ideal e a análise torna-se mais complexa ( Kononenko, 1969 ).

4

Para a prescrição do perfil da excitação (θ (t) ), propõe-se que a estrutura flexível oscile

entre os extremos Aθ ( condição inicial ) e Cθ , conforme visto na figura 2, harmonicamente,

com amplitude C e freqüência Ω .

Para o estudo das ressonâncias primárias, aonde a amplitude da excitação deverá ser da

ordem das não linearidades e do amortecimento estrutural, o sistema fracamente não linear

deverá ser estudado nas vizinhanças da vibração livre da viga. Para o estudo das ressonâncias

secundárias e dos casos não ressonantes, a amplitude da excitação deverá ser de O(1) para que

sua influência seja significativa. Neste caso o sistema fracamente não linear deverá ser estudado

nas vizinhanças da vibração forçada da viga linear. A figura 3 apresenta um roteiro das diferentes

considerações a serem feitas durante esta investigação.

Figura 2 – Esquema geral do problema analisado. A viga é representada sem deflexão e com deflexão em uma posição qualquer Bθ .

Para cada uma das condições anteriormente citadas, o comportamento do sistema é

investigado sempre em regime permanente. É nesta condição que as curvas de resposta em

freqüência serão obtidas. Por outro lado, as equações de modulação de amplitude e fase obtidas a

partir da análise desenvolvida neste capítulo ( objeto de estudo dos capítulos 2 a 6 ) levam em

consideração também o regime transiente e deverão ser devidamente integradas.

θ

AθBθ

Cθ

5

44444444444444 344444444444444 21

quando Ω está longe de w1 , o efeito da excitação será pequeno a menos que a amplitude C=O(1)

Figura 3 – As diferentes ordens a serem consideradas na excitação durante as investigações de oscilações forçadas de sistemas com um grau de liberdade.

Em protótipos experimentais ou sistemas físicos reais, o cubo ao qual a viga se encontra

conectada ( engastada ) e que é responsável pela excitação, θ , sobre a mesma pode ser entendido

)tcos(C)ntoamortecimelinearesnãotermos(qwq 21

211 Ω=+∈++&&

ressonâncias primárias

ressonâncias secundárias

casos não ressonantes

1w31

≈Ω

super-harmônica

1w3≈Ω

sub-harmônica

0≈Ω

Ω longe de

1w31 , 3w1 e

0.

1w≈Ω

excitação :

)tcos(c2 Ω=∈θ

excitação :

)tcos(C Ω

excitação :

)tcos(C Ω

excitação :

)tcos(C Ω

excitação :

)tcos(C 2σ∈

6

como algum tipo de atuador, tal qual um motor de corrente contínua ( por exemplo, para

aplicações em manipuladores robóticos ).

Figura 4 – Esquema geral da Parte A deste capítulo.

Um esquema geral do estudo realizado neste capítulo ( Parte A ) é apresentado na figura 4.

As Partes B e C seguem este esquema.

Parte A Equação governante do movimento

A.1 – Ressonâncias secundárias e caso não ressonante – Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1)

A.1.1 – Sem amortecimento estrutural

A equação diferencial ordinária perturbada ( discretizada considerando apenas um modo,

por exemplo, o primeiro modo de flexão ) governante do movimento para a componente temporal

da variável de deflexão transversal, v(x,t), é apresentada em (1), a seguir ( Fenili, 2000 ).

equações diferenciais perturbadas

governantes do movimento

amplitude da excitação de O(1) e freqüência

da excitação de O(1)

amplitude da excitação

de O( 2∈ ) e freqüência de

excitação de O(1)

sem amortecimento estrutural

com amortecimento estrutural

amplitude da excitação de O(1) e freqüência

da excitação

de O( 2∈ )





7

[

] 03111111

211111

2111111

21111111111

211

211

211

=Γ+Λ+Λ+

+−℘−∈+++

qqqqq

qqqqqwq

&&&

&&&&&&&&& θλθθβθα

(1)

Os coeficientes na Equação (1) são apresentados no Apêndice C.

Os termos em (1) que indicam o acoplamento entre a variável espaço-temporal v ( ou, no

caso, q1 e suas derivadas na discretização ) e a variável prescrita θ ( e suas derivadas ) são

representados por :

][ 21111111111

211

2 qqqq θλθθβ &&&&& −℘−∈ (2)

Para o caso de sistema ideal e considerando Ω longe de zero ( o caso 0≈Ω será tratado na

Parte D deste ) , os perfis harmônicos prescritos de θ ( e suas derivadas ) serão considerados de

acordo com :

( )titi eei2

1C)tsen(C Ω−Ω −=Ω=θ (3)

( )titi ee2

C)tcos(C Ω−Ω +Ω

=ΩΩ=θ& (4)

( )titi2

2 eei2

C)tsen(C Ω−Ω −Ω

−=ΩΩ−=θ&& (5)

aonde, inicialmente ( item A.1), a amplitude C será considerada igual a 1 ( portanto, de O(1)).

A.1.2 – Com amortecimento estrutural

O amortecimento estrutural da viga, µ , será agora incluído no modelo matemático

apresentado em (1). Desta forma, gera-se um modelo matemático mais realista e novos

fenômenos poderão ser investigados.

Seja :

cµµµ =∗ (6)

8

aonde :

=∗µ amortecimento estrutural adimensional ;

=µ amortecimento estrutural dimensional [ Kg / m.s ] ;

=cµ amortecimento característico = ρEI

L2

2

8780.1 [ m.s / Kg ].

Incluindo o amortecimento estrutural ( de acordo com (6) ) na Equação (1) na mesma

ordem das não-linearidades ( ou seja, O( 2∈ ) ), a nova equação governante do movimento

torna-se :

[

] 03111111

211111

2111111

21111

1111112

1112

11211

=Γ+Λ+Λ+−

−℘−+∈+++

qqqqqq

qqqqqwq

&&&&&

&&&&&&&&

θλ

θθβµθα (7)

aonde o amortecimento estrutural adimensional, por conveniência, passa a ser representado sem o

(*).

A.2 – Ressonância primária –

Excitação : amplitude de O( 2∈ ) e freqüência de O(1)

Os perfis harmônicos prescritos para o deslocamento angular θ ( e suas derivadas ),

apresentados no item anterior (A.1) em (3)-(5), serão agora reordenados de acordo com :

( )titi22 eei2

1c)tsen(c Ω−Ω −=∈Ω∈=θ (8)

( )titi22 ee2

c)tcos(c Ω−Ω +Ω

=∈ΩΩ=∈θ& (9)

( )titi2

222 eei2

c)tsen(c Ω−Ω −Ω

∈−=ΩΩ∈−=θ&& (10)

9

aonde a amplitude C é de O( 2∈ ) e dada por C = c2∈ .

Esta abordagem é a mais apropriada ao se estudar ressonâncias primárias de sistemas

fracamente não lineares ( Nayfeh e Mook, 1979 ) e garante que a amplitude do sistema linear

associado, q10, não se torne consideravelmente grande ( ilimitada ) quando ≈Ω wn ( aonde wn

representa cada uma das freqüências naturais lineares associadas a ressonâncias primárias do

sistema fracamente não linear ). De outra forma, tenta-se garantir que os termos não lineares não

se tornem tão importantes quanto os termos lineares, uma vez que, como será visto adiante, a

solução de O( 0∈ ) ( solução do sistema linear associado, q10 ) aparece no lado direito da equação

de O( 2∈ ) para a solução q11.

A.2.1 – Sem amortecimento estrutural

Utilizando as relações (8) a (10), a equação (1) torna-se :

[ ] 0qqqqqqwq 3111111

211111

21111111

21

211 =Γ+Λ+Λ+∈++ &&&&&&& θα

(11)

aonde todos os termos de ordem maior que 2∈ foram desprezados. Os termos de acoplamento,

conforme descritos em (2), aparecem nas ordens negligenciadas e não são importantes quando C

= c2∈ . Neste caso, o sistema não possuirá acoplamento significativo entre o comportamento

rígido e o comportamento flexível do sistema, conforme observado no item A.1. O

comportamento do sistema será estudado nas vizinhanças de sua condição linear de vibração livre

não amortecida.

A.2.2 – Com amortecimento estrutural

Utilizando as relações (8) a (10), a equação (7) torna-se :

[ ] 0qqqqqqqwq 3111111

211111

211111111

21

211 =Γ+Λ+Λ++∈++ &&&&&&&& θαµ

(12)

10

Parte B Aplicação do método das múltiplas

escalas ( MME ) : a busca por uma solução analítica

B.1 – Ressonâncias secundárias e caso não ressonante – Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1)

B.1.1 – Sem amortecimento estrutural

A solução para o problema linear associado à equação (1) é apresentada no Apêndice B.

Para a solução do sistema perturbado representado por esta equação, propõe-se uma expansão

uniforme do tipo ( Nayfeh, 1981 ) :

),(),( 10112

10101 TTqTTqq ∈+= (13)

Substituindo a equação (13) na equação (1) e levando em consideração as relações

apresentadas no Apêndice A, obtém-se :

−∈++

∂∂∂

∈+

∂∂∂

∈+

∂

∂∈+

∂

∂11

21

210

21

10

112

4

10

102

22

0

112

22

0

102

22 qwqwTT

qTT

qTq

Tq

( ) +−Ω

− Ω−Ω 00

2

2

1TiTi ee

iα 2∈ ( ) +++

Ω

Ω−Ω

1022

211 00 24

qee TiTiβ

( ) ( )( ++Ω℘

−++Ω

∈+ Ω−ΩΩ−Ω10

11111

222

112 0000

22

4qeeqee TiTiTiTiβ

)112 q∈+ +

∂∂

∈+

∂∂

∈+

∂∂

∈+∂∂

1

114

1

102

0

112

0

10

Tq

Tq

Tq

Tq ( −

Ω Ω 0

2

2111 Tie

iλ

)( ) ( +Λ+∈+∈+− Ω−101111

211

41110

2210 20 qqqqqe Ti ) +

∂∂

∈

2

0

1011

2

Tq

q

11

+

∂∂

∈+

∂∂

∂∂

∈+

∂∂

∂∂

∈+

∂∂

∂∂

∈+2

0

114

1

11

0

104

1

10

0

102

0

11

0

102 222Tq

Tq

Tq

Tq

Tq

Tq

Tq

+

∂∂

∂∂

∈+

∂∂

∈+

∂∂

∂∂

∈+

∂∂

∂∂

∈+1

11

1

1062

1

104

1

11

0

116

1

10

0

114 222Tq

Tq

Tq

Tq

Tq

Tq

Tq

+

∂∂

∈+2

1

118

Tq ( )2

114

111022

101111 2 qqqq ∈+∈+Λ +

∂

∂∈+

∂

∂

2

0

112

22

0

102

Tq

Tq

+

∂∂∂

∈+

∂∂∂

∈+10

112

4

10

102

2 22TT

qTT

q ( +∈+∈+Γ 21110

411

210

23101111 33 qqqqq

) 0311

6 =

∈+ q (14)

Coletando, na Equação (14), os termos de mesma ordem de ∈ ( e considerando-se apenas

as duas primeiras ordens deste parâmetro, a saber, O ( 0∈ ) e O ( 2∈ ) ), obtém-se :

a) termos de O ( 0∈ ):

=+∂

∂10

212

0

102

qwTq ( )00

2

2

1TiTi ee

iΩ−Ω −

Ωα (15)

b) termos de O ( 2∈ ):

∂∂∂

−=+∂

∂

10

102

11212

0

112

2TT

qqw

Tq ( ) +++

Ω− Ω−Ω

1022

211 00 24

qee TiTiβ

( ) 1011100

2qee TiTi Ω−Ω +

Ω℘+ −

∂∂

0

10

Tq

( 0

2

2111 Tie

iΩΩλ ) −− Ω− 2

100 qe Ti

101111 qΛ− −

∂∂

2

0

10

Tq ( )2

101111 qΛ −∂

∂2

0

102

Tq

03101111 =Γ q

(16)

12

De acordo com o Apêndice B ( equação B.3 ), a solução da equação (15) será escrita

como :

000101

)(2)(2)()( 22

1

21

221

21

1110TiTiTiwTiw e

wie

wieTAeTAq Ω−Ω−

Ω−

Ω−

Ω−

Ω++=

αα

(17)

Ao contrário do apresentado no Apêndice B, no entanto, C1 e 1C serão agora funções da

escala de tempo lenta T1 e passarão a ser representados por A(T1) e )( 1TA . Doravante, e por

conveniência, sejam A(T1) e )( 1TA representados simplesmente por A e A .

Seja também

Ω−

Ω=

)(2 221

21

wiB

α

Desta forma, substituindo a Equação (17) na Equação (16) resulta :

−

∂∂

+

∂∂

−=+∂

∂ − 0101

11

1111

212

0

112

22 TiwTiw eTAiwe

TAiwqw

Tq

+−++

Ω− ΩΩΩ−−Ω+ 000101 3)2()2(

211

4TiTiTwiTwi BeBeeAAe

β

++−+++ Ω−Ω−Ω− 01000101 )2(222 TwiTiTiTiwTiw AeBeBeeAAe

+

−+ Ω−Ω+− 001 3)2( TiTwi BeeA

++

Ω℘+ Ω−Ω+ 0101 )2(2

1)2(2

1111 2TwiTwi eAiweAiw

−Ω−−Ω+Ω++ Ω−Ω+ 010101 )2(1

)2(1 )(2)( TwiTiwTwi ewiABABeiewiAB

13

−

Ω−Ω−Ω+

+Ω+Ω−+Ω−−

−Ω+−−

Ω−Ω−Ω

−Ω−−Ω+−

ΩΩ+−Ω−−

000

010101

00101

23232

)2(1

)2(1

2)2(21

)2(21

2)()(

TiTiTi

TiwTwiTwi

TiTwiTwi

eBieBieBi

BeAiewBAiewBAi

eBieAiweAiw

−

−+−

−−+++

+−−−+−+

++−

Ω−

Ω+−Ω−−−

Ω−ΩΩ+−Ω−−

Ω−ΩΩ−

Ω+Ω−Ω+

010101

000101

000101

010101

)2(2)2(2

3232)2()2(

22)2(

)2()2(2)2(22

111

4

22

)32()32(42

22

TwiTwiTiw

TiTiTwiTwi

TiTiTiwTwi

TwiTwiTwi

eAeABeA

eBeBBeABeA

eBAAeBAAABeABe

ABeeAeAi

λ

+−Ω−+Ω−

−Ω−+−

Λ−

Ω−Ω+ 012221

21

012221

21

0122221

0133211111

22

2

T)w(iT)w(i

TiwTwi

e)BAwBAw(e)BAwBAw(

e)ABAAw(eAw

−

Ω+Ω−

−Ω−Ω++Ω+

+−Ω+Ω+

+Ω−+Ω−Ω+

+Ω−Ω+Ω−

−Ω−−−Ω−+

Ω+−

Ω−−Ω+−

Ω−−Ω−

−Ω−

ΩΩ+

Ω−−Ω

0212221

0212221

012221

21

012221

21

0332

0122221

0212221

03320212221

03221

013321

03221

2

22

2

22

2

22

T)w(i

T)w(iT)w(i

T)w(iTi

TiwT)w(i

TiT)w(i

TiTwiTi

e)BABAw(

e)BABAw(e)BAwBAw(

e)BAwBAw(eB

e)BAAAw(e)ABABw(

eBe)ABABw(

e)BBAAw(eAwe)BBAAw(

+−−Ω++

+Ω−Ω+Ω−Ω+

+−Ω++−

Λ−

−−

ΩΩΩ−

0101

000

0101

3321

221

22221

232332332

221

22221

33211111

)342(

)23(

)242(

TwiTiw

TiTiTi

TiwTwi

eAweAAwBABAw

eBAABeBeB

eAAwABABweAw

14

−Ω+−Ω++

+Ω+−Ω+−

−Ω+−Ω++

+Ω+−Ω−Ω+

Ω−−Ω+−

Ω−−Ω−

Ω+Ω−

Ω+Ω−

02122221

01222221

01222221

02122221

02122221

01222221

01222221

0322

22

22

22

32

T)w(iT)w(i

T)w(iT)w(i

T)w(iT)w(i

T)w(iTi

e)BABAw(e)BABAw(

e)BABAw(e)ABABw(

e)ABABw(e)BABAw(

e)BABAw(e)BBAA(

−

Ω+− Ω+− 0212222

1 2 T)w(ie)BABAw( −+

Γ − 01330133

1111TwiTwi eAeA

++− ΩΩ− 033033 TiTi eBeB +− 0122 63 Tiwe)ABAA(

+−+−+ Ω−Ω 0303 2332 TiTi e)BAAB(e)BBAA(

+−+−+ Ω−Ω+− 012201220122 3363 T)w(iT)w(iTiw e)BA(e)BA(e)BAAA(

−+++ Ω−−Ω−Ω+ 012202120212 333 T)w(iT)w(iT)w(i e)BA(e)AB(e)AB(

++− Ω+−Ω−−Ω+− 021202120122 333 T)w(iT)w(iT)w(i e)BA(e)BA(e)BA(

(18)

Na parte C serão apresentadas as condições para que os termos seculares e pequenos

divisores na equação (18) não comprometam a solução da equação (1). Serão, então,

apresentados todos os casos ressonantes de acordo com esse modelo matemático.

B.1.2 – Com amortecimento estrutural

Seguindo os mesmos passos apresentados anteriormente para o caso não amortecido

( item B.1.1 ), na equação (14) acrescenta-se agora o termo :

∂∂

∈+

∂∂

∈+

∂∂

∈+∂∂

∈

1

114

1

102

0

112

0

102

Tq

Tq

Tq

Tq

µ (19)

No lado direito da equação (16) será introduzido o termo :

15

∂∂

−0

10

Tq

µ (20)

Finalmente, na equação (18), aparecerão os termos :

( )00010111

TiTiTiwTiw eiBeiBewAieiAw Ω−Ω− Ω+Ω+−− µ (21)

aonde o termo 011

TiweiAw está associado a termos seculares que comprometem a solução

periódica desejada e o termo 0TieiB ΩΩ está associado a pequenos divisores que igualmente

comprometem a solução pretendida ( quando 1w≈Ω ) e ambos deverão ser eliminados

apropriadamente ( ver Parte C ).

B.2 – Ressonância primária – Excitação : amplitude de O( 2∈ ) e freqüência de O(1)

B.2.1 – Sem amortecimento estrutural

Para a solução do sistema perturbado representado pela equação (11), propõe-se a mesma

expansão proposta em (13). Substituindo (13) na equação (11) e levando em consideração as

relações apresentadas no Apêndice A, obtém-se :

+∈++

∂∂∂

∈+

∂∂∂

∈+

∂

∂∈+

∂

∂11

21

210

21

10

112

4

10

102

22

0

112

22

0

102

22 qwqwTT

qTT

q

T

q

T

q

+ 2∈

( ) +−Ω

− Ω−Ω 002

1 2TiTi ee

icα ( +Λ 101111 q ) +

∂∂

∈

2

0

1011

2

Tq

q

+

∂∂

∈+

∂∂

∂∂

∈+

∂∂

∂∂

∈+

∂∂

∂∂

∈+2

0

114

1

11

0

104

1

10

0

102

0

11

0

102 222Tq

Tq

Tq

Tq

Tq

Tq

Tq

16

+

∂∂

∂∂

∈+

∂∂

∈+

∂∂

∂∂

∈+

∂∂

∂∂

∈+1

11

1

1062

1

104

1

11

0

116

1

10

0

114 222Tq

Tq

Tq

Tq

Tq

Tq

Tq

+

∂∂

∈+2

1

118

Tq ( )2

114

111022

101111 2 qqqq ∈+∈+Λ +

∂

∂∈+

∂

∂

2

0

112

22

0

102

Tq

Tq

+

∂∂∂

∈+

∂∂∂

∈+10

112

4

10

102

2 22TT

qTT

q ( +∈+∈+Γ 21110

411

210

23101111 33 qqqqq

) 0311

6 =

∈+ q (22)

Coletando na equação (22) os termos de mesma ordem de ∈ ( e novamente considerando-

se apenas as duas primeiras ordens deste parâmetro ), obtém-se :

a) termos de ordem 0∈ :

=+∂

∂10

212

0

102

qwTq

0 (23)

b) termos de ordem 2∈ :

=+∂

∂11

212

0

112

qwT

q

∂∂∂

−10

102

2TT

q ( ) −−Ω

− Ω−Ω 002

1 2TiTi ee

icα

101111 qΛ− −

∂∂

2

0

10

Tq ( )2

101111 qΛ −∂

∂2

0

102

T

q03

101111 =Γ q (24)

A solução da equação (23) será escrita como :

01

101

110TiwTiw e)T(Ae)T(Aq −+= (25)

Substituindo (25) em (24) resulta :

17

−

∂∂

+

∂∂

−=+∂

∂ − 0101

11

1111

212

0

112

22 TiwTiw eTAiwe

TAiwqw

Tq ( ) −−

Ω Ω−Ω 002

1 2TiTi ee

icα

+−+−

Λ− − 01332

10122

101332

11111TwiTiwTwi eAweAAweAw

−

+ − 0122

1TiweAAw −−−

Λ 0122

101332

11111 2 TiwTwi eAAweAw

−

−− −− 01332

10122

13 TwiTiw eAweAAw +

Γ 0133

1111TwieA

+++ −− 0120120133 33 TiwTiwTwi eAAeAAeA (26)

As condições críticas envolvendo a solução da equação (26) ( casos ressonantes ) serão

discutidas na Parte C, a seguir.

B.2.2 – Com amortecimento estrutural

O mesmo apresentado no item anterior (B.2.1) vale aqui. A equação (23) é idêntica e

continua valendo a solução (25). Na equação (24), acrescenta-se à direita o termo dado por (20).

Na equação (26), acrescentam-se à direita os termos :

∂∂

−0

10

Tq

µ = ( )010111

TiwTiw eAwieAwi −−µ−

(27)

Parte C Localização dos casos ressonantes ( e não ressonantes )

As equações a partir das quais serão identificados os casos ressonantes para Ω longe de

zero e longe de w1, ou seja, os casos de ressonância secundária : equação (18) para o modelo

apresentado em A.1.1 e equação (18) incluindo à direita os termos apresentados em (21) para o

18

modelo apresentado em A.1.2 e as equações a partir das quais serão identificados os caso de

ressonância primária : equação (26) para o modelo apresentado em A.2.1 e a equação (26)

incluindo à direita os termos apresentados em (27) para o modelo apresentado em A.2.2 são do

tipo:

=+ xwx 21&& termos multiplicados por 0Tie Ξ± (28)

na equação (18) , o termo representado por

gera na solução efeito do tipo

condição crítica quando

situação

01Tiwe

termo secular

sempre

1

01Tiwe−

nenhum

013 Twie

nenhum

013 Twie−

nenhum

0Tie Ω

nenhum

0Tie Ω−

nenhum

03 Tie Ω

pequeno divisor

131 w≈Ω

2

03 Tie Ω−

nenhum

01 )2( Twie Ω+

nenhum

01 )2( Twie Ω+−

nenhum

01 )2( Twie Ω−

nenhum

01 )2( Twie Ω−−

nenhum

01 )2( Twie Ω+

nenhum

01 )2( Twie Ω+−

nenhum

01 )2( Twie Ω−

nenhum

01 )2( Twie Ω−−

pequeno divisor

13w≈Ω

3

Tabela 1 – Apresentação dos termos que produzem termos seculares ou pequenos divisores na solução almejada para Ω distante de zero e de w1 ( ressonâncias secundárias ).

19

aonde Ξ representa cada um dos expoentes apresentados nas tabelas 1 ( ressonâncias

secundárias ) e 2 ( ressonância primária ).

Os termos 01 )2( Twie Ω+ e 01 )2( Twie Ω− que aparecem em (18) não são críticos na investigação

das ressonâncias secundárias porque a freqüência da excitação, Ω , encontra-se longe de zero. Da

mesma forma os termos 0Tie Ω , 01 )2( Twie Ω−− e 01 )2( Twie Ω− que aparecem na mesma equação (18)

não são críticos na análise das ressonâncias secundárias porque Ω encontra-se longe de w1.




situação

01Tiwe

termo secular

sempre

4

01Tiwe−

nenhum

013 Twie

nenhum

013 Twie−

nenhum

0Tie Ω

pequeno divisor

1w≈Ω

5

0Tie Ω−

nenhum

Tabela 2 – Apresentação dos termos que produzem termos seculares ou pequenos divisores na solução almejada para Ω distante de zero e próximo de w1 ( ressonância primária ).

A tabela 2 apresenta as situações críticas relacionadas à investigação das ressonância

primária obtidas através da equação (26).

Parte D O caso 0≈Ω

Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O( 2∈ )

Para o caso aonde a freqüência de excitação Ω encontra-se próxima de zero, tem-se :

σ=∈σ∈+=Ω 220

20

ou :

102

0 TTTt σ=σ∈=Ω=Ω

e os perfis harmônicos prescritos de θ ( e suas derivadas ) serão considerados de acordo com :

( )11

21)sen( 0

2 TiTi eei

CTC σσσθ −−=∈= (29)

( )11

2)cos(

2

022 TiTi eeCTC σ−σ +

σ∈=σ∈σ∈=θ& (30)

( )11

2)sen(

24

0224 TiTi ee

iCTC σ−σ −

σ∈−=σ∈σ∈−=θ&& (31)

D.1 – Sem amortecimento estrutural

Utilizando (29) a (31), a equação governante do movimento para o primeiro modo de

flexão torna-se :

[ ] 03111111

211111

2111111

21

211 =Γ+Λ+Λ∈++ qqqqqqwq &&&&& (32)

Os demais procedimentos vistos anteriormente seguem idênticos. Neste caso, a solução de

ordem 0∈ será dada por :

0101 )()( 1110

TiwTiw eTAeTAq −+= (33)

e os termos que gerarão termos seculares na solução serão coletados de :

−

∂∂

+

∂∂

−=+∂

∂ − 0101

11

1111

212

0

112

22 TiwTiw eTAiwe

TAiwqw

Tq

++−

Λ− 0101 22

1332

11111TiwTwi eAAweAw −+ −− 0101 22

1332

1TiwTwi eAAweAw

21

−

−−−− −− 01010101 332

122

122

1332

1 32 TwiTiwTiwTwi eAweAAweAAweAw

−+

Γ− − 0101 3333

1111TwiTwi eAeA +0123 TiweAA 03 012 =

− TiweAA

(34)

Neste caso não existirão termos associados à geração de pequenos divisores.




situação

01Tiwe

termo secular

sempre

6

01Tiwe−

nenhum

013 Twie

nenhum

013 Twie−

nenhum

Tabela 3 – Apresentação dos termos que produzem termos seculares ou pequenos divisores na solução desejada quando 0≈Ω .

D.2 – Com amortecimento estrutural

Considerando amortecimento estrutural, a equação (32) torna-se :

[ ] 03111111

211111

21111111

21

211 =Γ+Λ+Λ+µ∈++ qqqqqqqwq &&&&&&

(34)

e os termos que gerarão termos seculares e pequenos divisores na solução serão coletados de (33)

mais o acréscimo dado pelos termos (21).

22

Considerações finais

De acordo com as tabelas 1,2 e 3, os casos a serem investigados nos próximos capítulos e

os tipos de ressonância encontrados são :

caso

tipo de

ressonância

I : situação 1 + situação 2 ( capítulo 2 )

1:1/3

II : situação 6 ( capítulo 3 )

1:0

III : situação 1 + situação 3 ( capítulo 4 )

1:3

IV : situação 4 + situação 5 ( capítulo 5 )

1:1

V : região distante de qualquer ressonância ( capítulo 6 )

caso não

ressonante

Tabela 4 – Casos de interesse a serem investigados ( e os respectivos capítulos

deste aonde o problema será tratado )

Cada um dos casos de interesse apresentados na tabela 4 deverá ser investigado

separadamente e terá a sua própria função de resposta em freqüência, suas próprias equações de

modulação de amplitude e fase e condições de estabilidade e caos ( Nayfeh, 1981 ).

O caso tratado no capítulo 5 ( ressonância primária ) também incluirá o estudo do

levantamento experimental das curvas de resposta em freqüência e a identificação de parâmetros

para sistemas não lineares.

O capítulo 7 trata da solução analítica da equação diferencial parcial para uma viga linear

em movimento de rastreamento ( slewing ) diretamente, resultando no estudo de equações

diferenciais com coeficientes variáveis no tempo.

O capítulo 8 apresenta algumas conclusões sobre este trabalho, comenta perspectivas

futuras e apresenta as atividades desenvolvidas no período.

23

Capítulo 2

Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência


Caso I : ressonância secundária Ressonância super-harmônica : 13

1 w≈Ω ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1) )

Parte A Obtenção das equações de modulação de

amplitude e fase

A.1 – Sem amortecimento estrutural

Desenvolve-se a investigação a seguir nas vizinhanças de um ponto crítico para o

sistema. Assim, fazendo:

σ213 ∈+=Ω w (1)

aonde σ é denominado parâmetro de ajuste, pode-se escrever :

10102

0103 TTwTTwT σσ +=∈+=Ω

Desta forma, o termo 03 Tie Ω na equação (18) do capítulo 1 é transformado em

01Tiwe 1Tie σ . (2)

24

Todos os termos nessa mesma equação (18) multiplicados por 01Tiwe ou por 03 Tie Ω

devem ser eliminados pois irão gerar na solução do sistema original, respectivamente,

termos seculares ou pequenos divisores.

Coletando ( no capítulo anterior ) esses termos e utilizando as relações (1) e (2),

escreve-se :

0)( 144

232

11 =∆+∆+∆+∆+

∂∂

∆ σTiba eiAAA

TAi (3)

aonde :

Ω−

Ω=

)(2 221

21

wBR

α

RBiB −=

11 2w−=∆

RRRR BBBwB 2111

21111

2211111

221111

211

2 6222

Ω℘+Γ−Λ+ΩΛ+Ω

−=∆β

11112111113 3Γ−Λ=∆ w

2

22111

4R

aBΩ

−=∆λ

22

4

221113

111132

1111

211

4R

RRR

bB

BBB Ω℘

−Γ−ΩΛ+Ωβ

=∆

Para que a solução analítica do sistema original perturbado ( capítulo 1, equação (1) )

seja periódica, a equação (3) deve ser satisfeita.

Expressando A ( na equação (3) ) em forma polar, ou seja, fazendo :

βiaeA21

=

25

e substituindo na mesma equação (3), obtém-se

( ) 081

21

21

21 )(

443

32111 =∆+∆+∆+∆+∆′−′∆ −βσβ Ti

ba eiaaaai (4)

A Equação (4) pode ser reescrita como :

0)cos()sen(

)sen()cos(81

21

21

21

1414

14143

3211

=−∆+−∆+

+−∆−−∆+∆+∆+∆′−′∆

βσβσ

βσβσβ

TiTi

TTaaaai

ba

ba

(5)

Separando os termos na equação (5) em parte real e parte imaginária, resulta :

)cos(2

)sen(2

11

41

1

4 βσβσ −∆∆

−−∆∆

−=′ TTa ba (6a)

)sen(2

)cos(2

4 11

41

1

43

1

3

1

2 βσβσβ −∆∆

−−∆∆

+∆∆

+∆∆

=′ TTaaa ba (6b)

As equações (6) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase ( β )

para o caso de ressonância 1:1/3 do sistema modelado de acordo com a equação (1) do

capítulo 1.

A.2 – Com amortecimento estrutural

Para que a solução analítica do sistema original perturbado amortecido ( capítulo 1,

equação (7) ) seja periódica ( com amplitude decrescente ), ou seja, para a eliminação de

termos seculares e pequenos divisores em na equação (18) + inserção dada por (21), ambos

vistos no capítulo 1, deve-se ter :

26

0)()( 144322

11 =∆+∆+∆+∆+∆+

∂∂

∆ Tibaba eiAAAi

TAi σ (7)

aonde :

Ω−

Ω=

)(2 221

21

wBR

α

RBiB −=

11 2w−=∆

RRRRa BBBwB 2111

21111

2211111

221111

211

2 6222

Ω℘+Γ−Λ+ΩΛ+Ω

−=∆β

12 wb µ−=∆

11112111113 3Γ−Λ=∆ w

2

22111

4R

aBΩ

−=∆λ

22

4

221113

111132

1111

211

4R

RRR

bB

BBB Ω℘

−Γ−ΩΛ+Ωβ

=∆

As equações de modulação de amplitude e fase não autônomas para o caso

amortecido são dadas por :

)cos(2

)sen(2

11

41

1

4

1

2 β−σ∆∆

−β−σ∆∆

−∆∆

=′ TTaa bab (8a)

)sen(2

)cos(2

4 11

41

1

43

1

3

1

2 β−σ∆∆

−β−σ∆∆

+∆∆

+∆∆

=β′ TTaaa baa (8b)

27


para o caso de ressonância 1:1/3 do sistema amortecido modelado de acordo com a equação

(7) do capítulo 1.

Parte B Função de resposta em freqüência

( amplitude da resposta X freqüência da excitação )

B.1 – Sem amortecimento estrutural

As equações (6) apresentam-se como equações não autônomas pois apresentam

dependência explícita em T1. Para transformá-las em um sistema autônomo, seja :

βσγ −= 1T (9)

e, portanto,

βσγ ′−=′ (10)

Substituindo as expressões (9) e (10) nas equações (6), obtém-se o sistema autônomo

)cos(2

)sen(2

1

4

1

4 γγ∆∆

−∆∆

−=′ baa (11a)

)sen(2

)cos(2

4 1

4

1

43

1

3

1

2 γγσγ∆∆

+∆∆

−∆∆

−∆∆

−=′ baaaaa (11b)

A solução em regime permanente ( em outras palavras, os pontos fixos ou de

equilíbrio do sistema de equações (11) ) será dada por :

28

0)cos(2

)sen(2

1

4

1

4 =∆∆

+∆∆

γγ ba (12a)

3

1

3

1

2

1

4

1

4

4)sen(

2)cos(

2aaaba

∆∆

−∆∆

−=∆∆

−∆∆

σγγ (12b)

Elevando ao quadrado os dois lados de cada uma das equações (12) e somando-as,

resulta

0)(42

2216 21

24

242

21

22

1

224

1

321

32621

23 =

∆

∆+∆−

∆

∆+

∆∆

−+

∆∆

−∆

∆∆+

∆

∆ baaaa σσσ

(13)

A equação (13) representa a função de resposta em freqüência do sistema

representado pela equação (1) do capítulo 1 para o caso aonde 131 w≈Ω .

B.2 – Com amortecimento estrutural

Seguindo o mesmo raciocínio desenvolvido no item anterior ( B.1.1), as equações de

modulação de amplitude e fase na forma autônomas para o caso amortecido são dadas por :

γγ cos2

sen2

1

4

1

4

1

2

∆∆

−∆∆

−∆∆

=′ bab aa (14a)

γγσγ sen2

cos2

4 1

4

1

43

1

3

1

2

∆∆

+∆∆

−∆∆

−∆∆

−=′ baa aaaa (14b)

Seguindo o mesmo raciocínio desenvolvido no item (B.1.1), a função de resposta em

freqüência para o caso amortecido será escrita da seguinte forma :

29

0)(42

2216 21

24

242

21

22

21

22

1

224

1

321

32621

23 =

∆

∆+∆−

∆

∆+

∆

∆+

∆∆

−+

∆∆

−∆

∆∆+

∆

∆ babaaa aaa σσσ

(15)

Parte C Estudo da estabilidade das soluções de equilíbrio

encontradas na Parte B

C.1 – Sem amortecimento estrutural

As figuras a seguir foram obtidas fazendo w1 = 1 e 31

=Ω . Para plotar os cada uma

das soluções em regime permanente, varia-se σ na relação :

σ213

1∈+=Ω w (16)

Os valores dos parâmetros do sistema investigado considerados nas simulações

numéricas a seguir são apresentados na tabela 1.

Parâmetro

Valor

comprimento da viga

1.5 (m)

secção reta da viga

0.0008 (m) X 0.0100 (m)

módulo de Young ( alumínio ) : viga

0.7 1011 N/m

densidade ( alumínio ) : viga

2700 kg/m3

pequeno parâmetro : ∈ 2.3704 10-8

Tabela 1 – Parâmetros utilizados nas simulações

As figuras 1 a 3 representam a maneira como a amplitude de vibração ( em regime

permanente ) varia com a freqüência de excitação ( Ω ) nas condições apresentadas.

30

As linhas cheias observadas nas figura 1 a 2 indicam soluções estáveis. A linha

tracejada nessas mesmas figuras indica soluções instáveis e irrealizáveis

experimentalmente.

Pode-se caminhar nos dois sentidos na curva de resposta em freqüência de sistemas

não lineares.

Quando se caminha nessas curvas no sentido do aumento da freqüência de excitação,

ocorre o que se denomina salto direto. Quando se caminha no sentido contrário ( da

diminuição da freqüência de excitação ) ocorre o denominado salto reverso.

Uma vez que neste item ( C.1 ) o amortecimento estrutural da viga, µ , não está sendo

considerado matematicamente ( serão considerados vários valores para esse parâmetro no

próximo item, C.2 ), pode-se observar apenas o salto reverso na amplitude de vibração da

viga. O salto direto ocorre ( teoricamente ) no infinito e jamais poderá ser presenciado

nesse caso. Na figura 1, o salto reverso ocorre na passagem de A → B.

Figura 1 – Curva de resposta em freqüência para 131 w≈Ω .

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

σ

a

A

B

31

C.2 – Com amortecimento estrutural

Assim como ocorre com as funções de resposta em freqüência para sistemas lineares,

para sistemas não lineares o amortecimento estrutural também atua trazendo o pico da

curva de resposta em freqüência para mais próximo da origem ( do sistema de coordenadas

adotado ). Neste caso, o salto direto também poderá ser observado.

Nas figuras 2 e 3 os dois tipos de salto podem ser observados.

Figura 2 – Curva de resposta em freqüência amortecida para 131 w≈Ω . Os valores deµ

utilizados são ( a partir da curva de maior amplitude de pico ), em Kg/s : 0.00010, 0.00015 e 0.00020.

A figura 2 apresenta a influência do parâmetroµ sobre a amplitude ( em regime

permanente ) da vibração da viga. Quanto maior o valor desse parâmetro mais o

comportamento da curva de resposta em freqüência se assemelha àquela dos casos lineares.

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

σ

a

32

Figura 3 – Salto reverso ( A → B ) e salto direto ( C → D ) para o caso µ = 0.00010.

A figura 3 ilustra ( evidencia ) os dois tipos de salto ( direto e reverso ) para uma das

curvas apresentadas na figura 2 ( um dos casos de amortecimento estrutural ). O salto direto

ocorre na passagem de C → D quando se caminha no sentido do aumento da freqüência de

excitação e o salto reverso ocorre na passagem de A → B quando se caminha no sentido da

diminuição da freqüência de excitação.

O tipo de salto que ocorrerá depende do sentido percorrido sobre a curva.

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

σ

a

A

B

C

D

33

Capítulo 3



Caso II : ressonância secundária o caso 0≈Ω

( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O( 2∈ ) )


amplitude e fase


Para a eliminação, na equação (33) do capítulo 1, de todos os termos multiplicados

por 01Tiwe , os quais irão gerar termos seculares na solução do sistema original, deve-se ter :

∂∂

−1

12TAiw

+ 2

11111wΛ

Γ− 11113 AA2 = 0 (1)

ou :

i

∂∂

ε1

1 TA + 2ε AA2 = 0 (2)

aonde :

=ε1 12w−

34

=ε 2 1111211111 3Γ−Λ w

Escrevendo A em (2) na forma polar e separando os termos em parte real e parte

imaginária, obtém-se :

0=′a (3a)

3

1

2

4aa

εε

=β′ (3b)


para o caso 0≈Ω do sistema não amortecido matematicamente modelado de acordo com a

equação (1) do capítulo 1.


Na investigação da solução analítica do sistema perturbado amortecido ( descrito no

capítulo 1 pela equação (7) ), visando a eliminação de termos seculares para o caso 0≈Ω ,

na equação (33) + inserção apresentada em (21) ( também apresentados no capítulo 1 ),

deve-se ter :

i

∂∂

ε1

1 TA + 2ε AA2 Ai 3ε+ = 0 (4)

aonde 1ε e 2ε são os mesmos definidos anteriormente e :

3ε = 1wµ−

Escrevendo A na forma polar e substituindo em (4) obtém-se :

β′ε−′ε aai 11 + 04 3

32 =ε+

ε

aia (5)

35


aa1

3

εε

−=′ (6a)

3

1

2

4aa

εε

=β′ (6b)

As equações (6) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase (β )

autônomas para o caso 0≈Ω do sistema dinâmico amortecido matematicamente modelado

de acordo com a equação (7) do capítulo 1.

Parte B Análise em regime permanente


Neste caso o sistema não possui uma função de resposta em freqüência e o sistema

(3) pode ser resolvido diretamente para a e β . Obtém-se, então :

a = a0 = cte (7)

2

1

2

4a

εε

=β t + 0β (8)

aonde 0β é uma constante de integração. A amplitude a é constante, uma vez que não

existe amortecimento neste modelo. A freqüência de excitação pequena ( ≈0 ) ajuda a

manter o sistema estável. A estrutura flexível se move ( gira ) lentamente ( em movimento

de rastreamento ( slewing )).

36


Assim como visto no tem B.1, neste caso o sistema também não possui uma função

de resposta em freqüência e o sistema (6) pode ser resolvido para a e β , obtendo-se :

0=a (9)

cte=β (10)

A amplitude a é igual a zero em regime devido ao efeito do amortecimento

estrutural. O sistema, novamente, será sempre estável.

37

Capítulo 4



Caso III : ressonância secundária Ressonância sub-harmônica : 13w≈Ω ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1) )


amplitude e fase


Fazendo:

σ∈+=Ω 213w (1)

pode-se escrever :

10102

010 33 TTwTTwT σ+=σ∈+=Ω (2)

Desta forma, o termo 01 )2( Twie Ω−− na equação (18) do capítulo 1 é transformado em

101 TiTiw ee σ .

38

Todos os termos na referida equação (18) multiplicados por 01Tiwe ou por 01 )2( Twie Ω−−

devem ser eliminados pois irão gerar na solução investigada, respectivamente, termos

seculares ou pequenos divisores. Coletando esses termos naquela equação e utilizando as

relações (1) e (2), escreve-se :

0124

232

11 =Π+Π+Π+

∂∂

Π σTieAiAAATAi (3)

aonde :

Ω−

Ω=

)(2 221

21

wBR

α

RBiB −=

11 2w−=Π

112 21β−

=Π RB111℘+ RB1112λ− 22

11112 Ω

Λ+ RB 22

111112 RBwΛ+ 211116 RBΓ−

=Π3211111 wΛ 11113Γ−

=Π 4 −

Ω℘−

21111 w

Ωλ2

2111

RBww

Γ−ΩΛ−ΩΛ+Λ

− 111111111

21111

211111 323

Para que a solução analítica pretendida para a equação (1) seja periódica, a equação

(3) deve ser satisfeita.

Expressando A em forma polar, fazendo β−σ=γ 31T e utilizando a equação (3)

obtém-se :

0)sen(41)cos(

41

81

21

61

61

21 2

42

43

32111 =γΠ−γΠ+Π+Π+γ′Π+σΠ−′Π aaiaaaaai

(4)

39


)cos(

21 2

1

4 γΠΠ

−=′ aa (5a)

)sen(23

433 2

1

43

1

3

1

2 γΠΠ

+ΠΠ

−

ΠΠ

−σ=γ′ aaaa (5b)

As equações (5) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase ( γ )

para o caso de ressonância 1:3 para o sistema dinâmico modelado de acordo com a equação

(1) do capítulo 1.


Para que a solução analítica do sistema perturbado amortecido ( descrito no capítulo 1

pela equação (7) ) seja periódica ( com amplitude decrescente ), ou seja, para a eliminação

de termos seculares e pequenos divisores na equação (18) + inserção apresentada em (21)

( também apresentados no capítulo 1 ), deve-se ter :

0)( 124

2322

11 =Π+Π+Π+Π+

∂∂

Π σTiba eAiAAAi

TAi (6)

aonde B, BR, 1Π , 3Π e 4Π são os mesmos definidos anteriormente e :

1122 21β−

=Π=Π a RB111℘+ RB1112λ− 22

11112 Ω

Λ+ RB −Λ+ 22

111112 RBw

211116 RBΓ−

=Π b2 1wµ−


40

β′Π−′Π aai 11 024

)( )3(243322

1 =

Π

+

Π

+Π+Π+ β−σTi

ba eaiaai

(7)

A equação (7) pode ser reescrita como :

β′Π−′Π aai 11 +

Π

+Π+Π+ 33

22 4)( aai ba

0)3sen(2

)3cos(2

21

41

4 =

β−σ

Π

−β−σ

Π

+ aTTi (8)


a′ = ab

1

2

ΠΠ

− 21

1

4 )3cos(2

aT β−σ

ΠΠ

− (9a)

β′a = 3

1

3

1

2

4aaa

ΠΠ

+

ΠΠ 2

11

4 )3sen(2

aT β−σ

ΠΠ

− (9b)

Fazendo β−σ=γ 31T em (9) resulta :

=′a ab

1

2

ΠΠ

− )cos(21 2

1

4 γΠΠ

− a (10a)

)sen(23

433 2

1

43

1

3

1

2 γΠΠ

+ΠΠ

−

ΠΠ

−σ=γ′ aaaa a (10b)


autônomas para o caso de ressonância 1:3 do sistema dinâmico amortecido

matematicamente modelado de acordo com a equação (7) do capítulo 1.

41




A solução em regime permanente ( ou, em outras palavras, os pontos fixos ou de

equilíbrio do sistema de equações (5) ) será dada por :

0)cos(21 2

1

4 =γΠΠ

a (11a)

3

1

3

1

22

1

4433)sen(

23 aaa

ΠΠ

+

ΠΠ

−σ−=γΠΠ

(11b)

Elevando ao quadrado os dois lados de cada uma das equações (11) e somando-as,

resulta :

043

89

4

23

241

2222

21221

42432

31623

=

Π+σ

ΠΠ

−σ

Π

+

+

Π−ΠΠ+σ

ΠΠ−

+

Π

aa

aa

(12)


representado pela equação (1) do capítulo 1 para o caso aonde 13w≈Ω .


A solução em regime permanente ( ou, em outras palavras, os pontos fixos ou de

equilíbrio do sistema de equações (10) ) será dado por :

42

)cos(21 2

1

4 γΠΠ

a = ab

1

2

ΠΠ

− (13a)

)sen(23 2

1

4 γΠΠ

a = 3

1

3

1

2

433 aaa

ΠΠ

+

ΠΠ

−σ− (13b)

Elevando ao quadrado ambos os lados de cada uma das equações (13) e somando-as,

resulta :

6234

1 a

Π

42

43231 2

32

aa

Π−ΠΠ+σ

ΠΠ−

+ +

+ 222

22

21221 44

38

94

abaa

Π+Π+σ

ΠΠ

−σ

Π

= 0

(14)

A equação (14) representa a função de resposta em freqüência do sistema amortecido

representado pela equação (7) do capítulo 1 para o caso aonde 13w≈Ω .




Os valores utilizados nas simulações a seguir para os parâmetros do sistema

investigado são os mesmos apresentados na tabela 1 do capítulo2.

Nas figuras 1 e 2, novamente, as linhas cheias representam as soluções estáveis em

regime permanente e as linhas tracejadas representam as soluções instáveis e irrealizáveis

experimentalmente.

43

Para este tipo de ressonância, os saltos apresentados no capítulo 2 não aparecem. Este

fenômeno não ocorre nesta ressonância.

Figura 1 – Curva de resposta em freqüência para 13w≈Ω .

Embora a escala adotada para a figura 2 possa intuir, a curva de soluções instáveis

não intercepta o eixo das freqüências.

De acordo com a mesma figura, pode-se concluir que a ressonância 1:3 começará a

existir apenas a partir de uma determinada proximidade do valor 3 w1, ou seja, três vezes a

freqüência natural linear w1 ( ou, em outras palavras, a proximidade deσ = 0 ). Este mesmo

fato será observado no item C.2, a seguir, para o caso amortecido.


A figura 2 apresenta a influência do parâmetro µ sobre a amplitude de vibração da

viga em regime permanente.

-30 -20 -10 0 10 20 30-1

0

1

2

3

4

5

6

7

σ

a

44

Figura 2 – Curva de resposta em freqüência amortecida para 13w≈Ω . Os valores deµ utilizados são ( a partir da curva de mínimo mais próximo do eixo das freqüências ), em Kg/s :

0.01000, 0.05000, 0.10000, 0.30000 e 0.50000.

De acordo com a figura 2, percebe-se que quanto maior o valor do amortecimento

estrutural, maior será o valor da primeira amplitude de vibração do sistema, no instante em

que a ressonância 1:3 for acionada. Nota-se também o efeito deµ no sentido de retardar a

ativação da referida ressonância ( quando se caminha da esquerda para a direita, na direção

de aumento das freqüências ).

As amplitudes de vibração em regime permanente, nesse caso, irão depender das

condições iniciais consideradas. Observa-se, na mesma figura 2, que amplitudes nulas

( linha cheia em a = 0 ) também são possíveis soluções em regime permanente.

-30 -20 -10 0 10 20 30-1

0

1

2

3

4

5

6

7

σ

a

45

Capítulo 5



Caso IV : ressonância primária ( 1w≈Ω ) ( Excitação : amplitude de O( 2∈ ) e freqüência de O(1) )


amplitude e fase


Para a eliminação, na equação (26) do capítulo 1, dos termos multiplicados por 01Tiwe

e por 0Tie Ω , responsáveis pelo aparecimento na solução periódica do sistema original,

respectivamente, de termos seculares e pequenos divisores, deve-se ter :

∂∂

−1

12TAiw AAw 22

11111Λ+ AA211113Γ−

01Tiwe

+ i

c2

21Ωα

0Tie Ω = 0

(1)

A equação (1) somente terá efeito variando-se o valor da freqüência de excitação, Ω ,

em torno de uma das freqüências naturais lineares associadas a uma condição de

ressonância primária ( por exemplo, em torno da primeira freqüência natural de flexão ).

Assim, faz-se :

46

σ21 ∈+=Ω w (2)

aonde σ é denominado parâmetro de ajuste. Pode-se, então, escrever :

10102

010 TTwTTwT σσ +=∈+=Ω

Desta forma, o termo 0Tie Ω na equação (1) é transformado em

01Tiwe 1Tie σ (3)


∂∂

−1

12TAiw AAw 22

11111Λ+ AA211113Γ−

+ i

c2

21Ωα

1Tie σ = 0

ou :

2− i

∂∂

11 T

Aw + 1Φ AA2 + i 2Φ 1Tie σ = 0 (4)

aonde :

=Φ1 211111wΛ 11113Γ−

=Φ 2 2

21 cΩα

Escrevendo A na forma polar ( βiaeA21

= ) e substituindo em (4) obtém-se :

β′+′− awaiw 11 + 181Φ 3a + i 2Φ )( 1 β−σTie = 0 (5)

47


β′+′− awaiw 11 + 181Φ 3a + 2Φ ( i )sen()cos( 11 β−σ−β−σ TT ) = 0

(6)


a′ =

1

2

wΦ )cos( 1 β−σT

(7a)

β′a =

1

1

8wΦ

−

3a +

1

2

wΦ

)sen( 1 β−σT

(7b)


para o caso de ressonância primária 1:1 do sistema modelado de acordo com a equação (1)

do capítulo 1.




de termos seculares e pequenos divisores na equação (26) + inserção representada pelos

termos (27) ( também descritos no capítulo 1 ), deve-se ter :

2− i

∂∂

11 T

Aw + 1Φ AA2 + i 3Φ A + i 2Φ 1Tie σ = 0

(8)

aonde 1Φ e 2Φ são os mesmos definidos anteriormente e :

=Φ 3 1wµ−

48


β′+′− awaiw 11 + 181Φ 3a + i 32

1Φ a + i 2Φ )( 1 β−σTie = 0 (9)


β′+′− awaiw 11 + 181Φ 3a + i 32

1Φ a )sen( 12 β−σΦ− T + i 2Φ )cos( 1 β−σT = 0

(10)


a′ = 1

3

2wΦ

a + 1

2

wΦ

)cos( 1 β−σT (11a)

β′a = 1

1

8wΦ

− 3a )sen( 11

2 β−σΦ

+ Tw

(11b)

Fazendo β−σ=γ 1T em (11) resulta :

a′ = 1

3

2wΦ

a + 1

2

wΦ

)(cos γ (12a)

γ′a = σa1

1

8wΦ

+ 3a )(sen1

2 γΦ

−w

(12b)


autônomas para o caso de ressonância 1:1 do sistema dinâmico amortecido

matematicamente modelado de acordo com a equação (7) do capítulo 1.

49




Transformando o sistema de equações (7) em um sistema autônomo ( conforme visto

no capítulo 2 ), obtém-se :

a′ =

1

2

wΦ )cos(γ

(13a)

γ′a = σa

+

1

1

8wΦ

3a

−

1

2

wΦ

)sen(γ

(13b)


equilíbrio ) do sistema de equações (13) será dada por :

1

2

wΦ

)cos(γ

= 0 (14a)

σa +

1

1

8wΦ

−3a

1

2

wΦ

)sen(γ

= 0 (14b)

ou :

1

2

wΦ

)cos(γ = 0 (15a)

1

2

wΦ

)sen(γ = +σa

1

1

8wΦ

3a (15b)

50

Elevando ao quadrado cada uma das equações (15) e somando os resultados,

obtém-se :

21

21

64wΦ

6a +

1

1

4wΦ

σ

4a + 22 a

σ

− 2

1

22

wΦ

= 0

(16)


representado pela equação (1) do capítulo 1 para o caso aonde 1w≈Ω , ou seja, para uma

ressonância primária.



equilíbrio ) do sistema de equações (12) será dada por :

1

2

wΦ

)(cos γ = 1

3

2wΦ

− a (17a)

)(sen1

2 γΦ

−w

= σ− a1

1

8wΦ

− 3a (17b)

Elevando ao quadrado cada uma das equações (17) e somando os resultados obtidos,

encontra-se :

21

21

64wΦ 6a

+ σ

Φ

1

1

4w4a

+

2σ21

23

4wΦ

+ 2a

−

21

22

wΦ

= 0

(18)

A equação (18) representa a função de resposta em freqüência do sistema dinâmico

amortecido representado pela equação (7) do capítulo 1 para o caso aonde 1w≈Ω , ou seja,

para a ressonância primária do primeiro modo linear.

51




Muito do que foi observado no capítulo 2 continua válido aqui.

Os valores utilizados nas simulações numéricas, a seguir, para os parâmetros do

sistema investigado são os mesmos apresentados na tabela 1 do capítulo2.

Na figura 1, a passagem entre soluções em regime permanente A → B caracteriza o

salto reverso. O salto direto não pode ser verificado nas curvas não amortecidas ( µ = 0 ).

Figura 1 – Curva de resposta em freqüência para 1w≈Ω .

Linhas cheias representam soluções estáveis em regime permanente e linhas

tracejadas soluções instáveis em regime permanente e não realizáveis na prática.

-4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

σ

a

A

B

52


A figura 2 apresenta a influência do parâmetroµ sobre a amplitude ( em regime

permanente ) da vibração da viga. Ocorre comportamento semelhante àquele observado na

figura 2 do capítulo 2.

Figura 2 – Curva de resposta em freqüência amortecida para 1w≈Ω . Os valores deµ utilizados são ( a partir da curva de maior amplitude de pico ), em Kg/s :

0.00800, 0.01000 e 0.02000.

A figura 3 evidencia os dois tipos de salto ( direto e reverso ) para uma das curvas

apresentadas na figura 2. O salto direto ocorre na passagem das soluções em regime

permanente C → D quando se caminha no sentido do aumento da freqüência de excitação

e o salto reverso ocorre na passagem das soluções de regime permanente A → B quando se

caminha no sentido da diminuição da freqüência de excitação.

O tipo de salto que ocorrerá depende do sentido percorrido sobre a curva.

-1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

σ

a

53

Figura 3 – Salto reverso ( A → B ) e salto direto ( C → D ) para o caso µ = 0.00800.

-4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

σ

a

A

B

C

D

54

Capítulo 6



Caso V : caso não ressonante Ω distante de 13

1w , 13w e 0 ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1) )


amplitude e fase


Neste caso, a freqüência de excitação,Ω , está longe de qualquer um dos casos

críticos comentados anteriormente. Os únicos termos problemáticos são aqueles aonde

aparece 01Tiwe . Para a eliminação, na equação (18) do capítulo 1, de todos os termos

multiplicados por 01Tiwe , os quais irão gerar na solução do sistema original termos

seculares, obtém-se :

∂∂

−1

12TAiw A

2

211Ω−

βiAB2

111Ω℘+ −Ω

+ ABei

21112λ

−Λ 22111112 ABw

AAwAB 2211111

2211112 Λ+ΩΛ− 2

11112

1111 63 ABAA Γ+Γ−

001 =Tiwe (1)

55

aonde RBiB −= e

Ω−

Ω=

)(2 221

21

wBR

α

A equação (1) será reescrita como :

2− i

∂∂

11 T

Aw + 1ς A + 2ς AA2 = 0 (2)

aonde :

=1ς2

1121

Ω− β + RB2111Ω℘ 2− RB2

111Ωλ 22111112 RBwΛ+ −ΩΛ+ 22

11112 RB 211116 RABΓ

=2ς

211111wΛ 11113Γ−

Expressando A na equação (2) em forma polar, pode-se reescrevê-la como :

081

21 3

2111 =ς+ς+β′+′− aaawawi (3)


0=′a (4a)

3

1

2

1

1

82a

wa

wa

ς−

+

ς−

=β′ (4b)


para o caso não ressonante associado ao sistema modelado de acordo com a equação (1) do

capítulo 1.

56




de termos seculares na equação (18) + inserção apresentada em (21) ( também apresentados

no capítulo 1 ), deve-se ter :

2− i

∂∂

11 T

Aw + ( a1ς + i b1ς )A + 2ς AA2 = 0 (5)

aonde B, BR e 2ς são os mesmos definidos anteriormente e :

=ς=ς 11a2

1121

Ω− β + RB2111Ω℘ 2− RB2

111Ωλ 22111112 RBwΛ+ −ΩΛ+ 22

11112 RB

211116 RABΓ−

=ς b1 1wµ−


081

21

21 3

21111 =ς+ς+ς+β′+′− aaiaawawi ba (6)


aw

a b

1

1

2ς

=′ (7a)

3

1

2

1

1

82a

wa

wa a ς

−ς

−=β′ (7b)

As equações (7) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase (β )

autônomas para a situação em que Ω encontra-se distante de qualquer caso crítico

57

( ressonantes ) para o sistema dinâmico amortecido matematicamente modelado de acordo

com a equação (7) do capítulo 1.

Parte B Análise em regime permanente


A exemplo do que ocorre no capítulo 3, neste caso o sistema também não possui uma

função de resposta em freqüência e o sistema (4) pode ser resolvido para a e β . Obtém-se,

então :

a = a 0 = cte (8)

ς−

+

ς−

=β 2

1

2

1

1

82a

ww t + 0β (9)

aonde 0β é uma constante de integração.

A amplitude a é constante, uma vez que não existe amortecimento neste modelo.

A freqüência de excitação encontra-se distante de qualquer um dos casos ressonantes,

o que ajuda a manter o sistema estável.


Conforme observado anteriormente no capítulo 3, neste caso o sistema amortecido

também não possui uma função de resposta em freqüência e o sistema (7) pode ser

resolvido diretamente para a e β , obtendo-se :

0=a (10)

58

01

1

2β+

ς−=β t

wa (11)

aonde 0β é uma constante de integração. O sistema será sempre estável.

59

Capítulo 7

Equações diferenciais parciais governantes do movimento - curvatura linear - sistema ideal

Solução Analítica

7.1 - Introdução

O objetivo deste capítulo será apresentar a solução analítica da equação diferencial

parcial não homogênea e com coeficientes variantes no tempo :

E I 0),()()(),(),( 2

2

2

4

4

=θρ−θρ+

∂

∂ρ+

∂

∂txvtxt

ttxv

xtxv &&& (1)

que representa um modelo matemático para o comportamento de uma estrutura flexível

( curvatura linear ) em movimento de rastreamento ( slewing ), conforme representada na

Figura 1. Em outras palavras, conhecer o comportamento dinâmico desse sistema.

O comportamento da variável θ e suas derivadas é considerado conhecido de

antemão ( prescritos ) e não representam incógnitas para o problema.

Caso o módulo da velocidade angular, θ& , seja constante, a equação (1) reduz-se a :

E I 0),()(),(),( 2

2

2

4

4

=θρ−

∂

∂ρ+

∂

∂txvt

ttxv

xtxv & (2)

Caso o módulo da mesma velocidade angular não seja constante mas suficientemente

pequeno ( baixas velocidades de rotação da estrutura flexível ), a equação (1) reduz-se a :

60

E I 0)(),(),(

2

2

4

4

=θρ+

∂

∂ρ+

∂

∂xt

ttxv

xtxv && (3)

As considerações representadas pelas equações (2) e (3) são comumente encontradas

na literatura. Essa equações são facilmente resolvidas por separação de variáveis. Essa

técnica bastante empregada na solução de equações diferencias parciais não se aplica

diretamente à equação (1). O caso geral representado pela equação (1) será tratado aqui.

Figura 1 – A estrutura flexível em movimento de rastreamento

( XY : eixo inercial ; xy eixo móvel )

Seja a equação (1) reescrita como :

E I xttxvtt

txvx

txv)(),()(

),(),( 22

2

4

4

θρ−=θρ−

∂

∂ρ+

∂

∂ &&& (4)

61

O termo à direita não contém a variável espaço-temporal, v(x,t), e, portanto, torna a

equação (4) não homogênea.

A seguir serão determinadas as soluções homogênea (H) e particular (P) da equação

(4) e, então, a solução geral (H+P).

PARTE A A solução homogênea

7.2 – Separação de variáveis

Seja a equação homogênea ( da equação (4)) representada por :

E I 0)t,x(v)t(t

)t,x(vx

)t,x(vH

22

H2

4H

4

=θρ−

∂

∂ρ+

∂

∂ & (5)

e seja uma solução da equação (5) da forma :

vH (x,t) = X(x) T (t) (6)


E I 0)()()()()( 2

2

2

4

4

=θρ−

ρ+

tTxXt

tdtTd

Xxd

xXdT & (7)

Dividindo a equação (7) por X(x)T(t) resulta :

E I 0)()(

)(1)(

)(1 2

2

2

4

4

=θρ−

ρ+

t

tdtTd

tTxdxXd

xX& (8)

62

Representando as derivadas em relação à variável independente x por (´) e as

derivadas em relação à variável independente t por (. ), a equação (8) poderá ser reescrita

como :

E I 0)()()(

)()( 2 =θρ−ρ+ t

tTtT

xXxX IV

&&&

ou :

E I)()()(

)()( 2

tTtTt

xXxX IV &&

& ρ−θρ=

ou, finalmente :

=)()(

xXxX IV

EIρ 2)t(θ&

EIρ

−)()(

tTtT&& (9)

O lado esquerdo da equação (9) é função apenas de x e o lado direito da equação (9)

função apenas de t. Para que esta igualdade sega válida deve-se ter :

=)()(

xXxX IV

λ (10)

EIρ 2)t(θ&

EIρ

−)()(

tTtT&& λ= (11)

aonde λ é uma constante.

De (10) e (11) escreve-se :

0=λ− XX IV (12)

T&& 2θ

− &

ρλ

−EI T = 0 (13)

63

aonde, a partir deste ponto, passa-se a omitir os parênteses (x) e (t) indicando o fato de X e

T ( e θ& ) serem funções das variáveis independentes x e t respectivamente.

Os próximos passos a serem desenvolvidos serão :

(a) resolver a equação diferencial ordinária (12) e determinar X ;

(b) resolver a equação diferencial ordinária (13) e determinar T ;

(c) determinar a solução da equação diferencial parcial homogênea (5) fazendo X T.

7.3 – Solução da equação homogênea espacial

Substituindo X em (12) por e r x resulta :

r4 e r x - λ e r x = 0

Portanto conclui-se que :

r4 - λ = 0 (14)


( r 2 - λ ) ( r 2 + λ ) = 0 cujas raízes são dadas por :

r1 = 4 λ (15a)

r2 = 4 λ− (15b)

r3 = 4i λ (15c)

r4 = 4i λ− (15d)

Seja β = 4 λ . Assim, a forma da solução para a equação (12) dada por :

X = C1xr1e + C2

xr2e + C3xr3e + C4

xr4e

64

torna-se :

X = C1xeβ + C2

xe β− + C3xie β + C4

xie β− (16)

aonde Ci são constantes arbitrárias a serem determinadas.

A forma da equação (16) é complexa. Com o intuito de transformar a forma desta

solução em uma outra forma mais conveniente ( não explicitamente complexa ), vale-se do

seguinte estratagema.

Se xeβ e xe β−

( que representam a parte real da solução (16)) são soluções de (12), a

soma e o produto desses termos também o são. O mesmo vale para a parte complexa da

solução (16), ou seja, os termos xie β e xie β− . Portanto,

xeβ + xe β− = 2 cosh ( xβ ) (17a)

xeβ - xe β− = 2 senh ( xβ ) (17b)

xie β + xie β− = 2 cos ( xβ ) (17c)

xie β - xie β−

= 2 sen ( xβ ) (17d)

Desprezando o fator 2 nos termos apresentados em (17), o qual estará incluso nas

constantes Ci , a solução (16) pode ser reescrita como :

X = C1 cosh ( xβ ) + C2 senh ( xβ ) + C3 cos ( xβ ) + C4 sen ( xβ )

(18)

Para determinação das constantes Ci na equação (18), algumas derivadas desta em

relação a x deverão ser determinadas. Assim :

X ′ = β C1senh ( xβ ) + β C2cosh ( xβ ) - β C3sen ( xβ ) + β C4cos ( xβ ) (19)

X ′′ = 2β C1cosh ( xβ ) + 2β C2senh ( xβ ) - 2β C3cos ( xβ ) - 2β C4sen ( xβ ) (20)

X ′′′ = 3β C1senh ( xβ ) + 3β C2cosh ( xβ ) + 3β C3sen ( xβ ) + 3β C4cos ( xβ ) (21)

65

As condições de contorno para este problema são :

v (0,t) = X (0) T (t) = 0 (22)

v′ (0,t) = X ′ (0) T (t) = 0 (23)

v ′′ (L,t) = X ′′ (L) T (t) = 0 (24)

v ′′′ (L,t) = X ′′′ (L) T (t) = 0 (25)

Aplicando as condições de contorno em (18) a (21) obtém-se :

C1 + C3 = 0 (26)

C2 + C4 = 0 (27)

C1cosh ( Lβ ) + C2senh ( Lβ ) - C3cos ( Lβ ) - C4sen ( Lβ ) = 0 (28)

C1senh ( Lβ ) + C2cosh ( Lβ ) + C3sen ( Lβ ) - C4cos ( Lβ ) = 0 (29)

O sistema de equações (26) a (29) possui sempre a solução trivial C1 = C2 = C3 = C4 =

0. Isto resulta na conclusão inaceitável de que v(x,t) é identicamente nulo. As soluções não

triviais das equações (26) a (29) existirão se e somente se o determinante de seus

coeficientes for igual a zero, ou seja,

)Lcos()Lsen()Lcosh()Lsenh()Lsen()Lcos()Lsenh()Lcosh(

10100101

β−ββββ−β−ββ

= 0 (30)

Expandindo (25) resulta :

(cos( Lβ )) 2 + 2cos( Lβ )cosh( Lβ ) + (cosh( Lβ )) 2 + (sin( Lβ )) 2 - (sinh( Lβ )) 2 = 0

66

ou:

1)L(cos)L(cosh −=ββ (31)

A equação (31) possui um conjunto infinito de soluções.

Das equações (26) e (27) pode-se concluir que :

C1 = - C3 (32)

C2 = - C4 (33)

Substituindo as relações (32) e (33) na equação (28) resulta :

C1cosh ( Lβ ) + C2senh ( Lβ ) + C1cos ( Lβ ) + C2sen ( Lβ ) = 0 (34)

ou :

β+ββ+β

−=)Lcos()Lcosh()Lsen()Lsenh(CC 21 (35)

As equações (32), (33) e (35) podem ser combinadas com a equação (18) para

fornecer a forma dos modos ( autofunções ) :

X = A1 (

( senh ( xβ ) - sen ( xβ ) ) -

β+ββ+β

)Lcos()Lcosh()Lsen()Lsenh( ( cosh ( xβ ) - cos ( xβ )

)

(36)

aonde A1 é uma amplitude arbitrária constante.

A expressão (36), que representa a solução da equação (12), representa também a

parte espacial da solução da equação homogênea (5).

67

Os quatro primeiros valores para β ( autovalores ) podem ser obtidos numericamente

e são dados por ( Meirovitch, 1980 ; Thomson, 1981 ) :

L

L

L

L

9960.10

8548.7

6941.4

8751.1

4

3

2

1

=β

=β

=β

=β

(37)

Os autovalores iβ dados pelas relações (37) estão associados à freqüência

natural do sistema (1).

7.4 – Solução da equação homogênea temporal

Seja a equação (13) reescrita a seguir :

T&&

θ−

ρλ

+ 2)t(EI & T = 0 (38)

aonde θ& (t) é uma função qualquer ( conhecida ) do tempo.

Seja o deslocamento angular, )t(θ , dado por :

))t(cos1(A)t( Ω−=θ (39)

68

Figura 2 : Deslocamento angular prescrito com expressão dada por (39) : A= 0.5 rad ; Ω = 4πs

rad .

Combinando as expressões (38) e (39), escreve-se :

T&&

ΩΩ−

ρλ

+ )t(senAEI 222 T = 0 (40)

Fazendo ))t2cos(1(21)t(sen 2 Ω−=Ω , a equação (40) pode ser reescrita como :

+T&&

Ω

Ω+

Ω−

ρλ )t2(cos

2A

2AEI 2222

T = 0 (41)

Seja a seguinte mudança de variável :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

t (s)

θ (g

raus

)

69

zt =Ω (42)

T = y (43)

Desta forma :

===dtdz

dzdy

dtdy

dtdΤ

dzdy

Ω (44)

=+

=

=

==

2

22

2

2

2

2

2

2

dtzd

dzdy

dtdz

dzyd

dtdz

dtdz

dzdy

dzd

dtdz

dzdy

dtd

dtyd

dtd Τ

2

22

dzyd

Ω

(45)

Utilizando (44) e (45), a equação (41) pode ser reescrita como :

y)z2(cos2

A2

AEIdz

yd 22

22

2

+−

Ωρ

λ+ = 0 (46)

A equação (46) está na forma da Equação de Mathieu,

y))z2(cosq2a(dz

yd2

2++ = 0 (47)

aonde :

2

AEIa2

2−

Ωρ

λ= (48)

4Aq

2= (49)

Na equação (47), a excitação manifesta-se através de um coeficiente dependente do

tempo. Tais excitações são chamadas de excitações paramétricas.

70

Equações lineares com coeficientes periódicos ou variantes no tempo têm sido

estudados exaustivamente ( Drazin, 1994 ; Erugin, 1966 ; Farkas, 1994 e Schmidt e Tondl,

1986, para citar apenas alguns ). ( Richards, 1983 ) é dedicado inteiramente a esse assunto e

apresenta muitas aplicações práticas para o estudo dessas equações. A equação mais

simples deste tipo é a equação de Mathieu.

A relação entre a e q será dada por :

q2EIa2−

Ωρ

λ= (50)

Relembrando, cada uma das freqüências naturais da viga, 2iw , é representada por :

2iw

ρλ

= iEI


a = 2

2iw

Ωq2− (51)

A relação (51) tem grande importância na análise das equações do tipo Mathieu.

Dependendo das combinações entre a e q, a solução de (47) pode ser instável ou estável

( Cunningham, 1958 ; Erugin, 1966 ). Neste trabalho, conforme será visto posteriormente, a

estabilidade da solução de (47), apesar de imprescindível, não garante a estabilidade da

solução de (1), devido à natureza do problema aqui estudado.

Embora não sejam utilizadas neste trabalho, técnicas de perturbação tais como

método das múltiplas escalas ou a expansão direta também podem ser utilizadas para a

obtenção das soluções aproximadas da equação (47) ( Nayfeh e Mook, 1979 ; Nayfeh,

1981 ; Nayfeh, 1993 ). Nestes textos constam também boas discussões acerca da

estabilidade das soluções.

71

O objetivo agora passa a ser, então, resolver a equação (47) aonde a e q são definidos

em (48) e (49) e estão vinculados pela relação (51).

De acordo com ( Hayashi, 1964 ), (Whittaker, 1913-14) e (Whittaker e Watson,1935),

a solução de (47) será da forma :

)z(ey zφ= µ (52)

aonde:

...)z3sen(b)z3cos(a)zsen()z( 33 +σ−+σ−+σ−=φ

(53)

para valores suficientemente pequenos de q .

Substituindo (52) em (47) obtém-se :

0)z())z2cos(q2a()z()z(2)z(2 =φ++φ+φµ+φµ &&& (54)


( )+σ−+σ−+σ−µ )z3sen(b)z3cos(a)zsen( 332 ( +σ−−σ−µ )z3sen(a3)zcos(2 3

)+σ−+ )z3cos(b3 3 ( )+σ−−σ−−σ−− )z3sen(b9)z3cos(a9)zsen( 33

( )zsen(a σ−+ )+σ−+σ−+ )z3sen(b)z3cos(a 33 ( ))zsen()z2cos(q2 σ− = 0

(55)

Para a expansão da função )z(φ multiplicando o )z2cos(q2 em (54) considerou-se

apenas o primeiro termo de (53) a fim de que não fossem introduzidos em (55) termos

multiplicados por sen(5z) e cos(5z).

Sejam as seguintes igualdades trigonométricas:

)sen()zcos()cos()zsen()zsen( σ−σ=σ− (56)

72

)sen()z3cos()cos()z3sen()z3sen( σ−σ=σ− (57)

)sen()zsen()cos()zcos()zcos( σ+σ=σ− (58)

)sen()z3sen()cos()z3cos()z3cos( σ+σ=σ− (59)

[ ] [ ] =σ−σ )sen()zcos()z2cos()cos()zsen()z2cos(

= −σ

−

)cos(

2)zsen()z3sen( )sen(

2)zcos()z3cos(

σ

+

(60)

Substituindo (56) a (60) em (55) resulta :

+

σ−σ+

+σ+σ+σ−σ

µ

)sen()z3cos(b)cos()z3sen(b

)sen()z3sen(a)cos()z3cos(a)sen()zcos()cos()zsen(

33

332

+

σ+σ+

+σ+σ−σ+σ

µ+

)sen()z3sen(b3)cos()z3cos(b3

)sen()z3cos(a3)cos()z3sen(a3)sen()zsen()cos()zcos(2

33

33

+

σ+σ−

−σ−σ−σ+σ−

+

)sen()z3cos(b9)cos()z3sen(b9

)sen()z3sen(a9)cos()z3cos(a9)sen()zcos()cos()zsen(

33

33

+

σ−σ+

+σ+σ+σ−σ

+

)sen()z3cos(b)cos()z3sen(b

)sen()z3sen(a)cos()z3cos(a)sen()zcos()cos()zsen(a

33

33

0)sen()zcos()sen()z3cos()cos()zsen()cos()z3sen(q =

σ−σ−σ−σ

+

(61)

73

Em (61), coletando-se os termos multiplicados por sen(z), obtém-se:

0)cos(q)cos(a)cos()sen(2)cos(2 =σ−σ+σ−σµ+σµ (62)

Em (61), coletando-se os termos multiplicados por cos(z), obtém-se:

0)sen(q)sen(a)sen()cos(2)sen(2 =σ−σ−σ+σµ+σµ− (63)

Em (61), coletando-se os termos multiplicados por sen(3z), obtém-se:

0)cos(q)cos(ab)sen(aa)cos(b9)sen(a9)sen(b6)cos(a6)cos(b)sen(a

33

33332

32

3=σ+σ+σ+

+σ−σ−σµ+σµ−σµ+σµ

(64)

Em (61), coletando-se os termos multiplicados por cos(3z), obtém-se:

0)sen(q)sen(ab)cos(aa)sen(b9)cos(a9)cos(b6)sen(a6)sen(b)cos(a

33

33332

32

3=σ−σ−σ+

+σ+σ−σµ+σµ+σµ−σµ

(65)

Seja o sistema formado pelas equações (62) e (63) reproduzidas a seguir :

0)cos(q)cos(a)cos()sen(2)cos(2 =σ−σ+σ−σµ+σµ (66a )

0)sen(q)sen(a)sen()cos(2)sen(2 =σ−σ−σ+σµ+σµ− (66b)

Resolvendo (66) para µ e σ obtém-se todas as dezesseis possibilidades apresentadas

na Tabela 1

74

µ

σ

+

+−−

−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

+−−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

+−

−

q2qa4

q1

21arccos

2

q2qa4

q1

21

q2qa4

q1

21q

22 ++−

+−+−

+

+−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

+−−

−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

+−−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

+−

−

q2qa4

q1

21arccos

2

q2qa4

q1

21

q2qa4

q1

21q

22 ++−

+−+

+

+−

q2qa4

q1

21arccos

2

75

+

−−−

−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

−−−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

−−

−

q2qa4

q1

21arccos

2

q2qa4

q1

21

q2qa4

q1

21q

22 +++

+−−−

+

−−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

−−−

−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

−−−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

−−

−

q2qa4

q1

21arccos

2

q2qa4

q1

21

q2qa4

q1

21q

22 +++

+−−

+

−−

q2qa4

q1

21arccos

2

Tabela 1 – Todas as soluções do sistema (66).

76

Para os valores de σ , uma vez que não existem valores imaginários de cosseno e os

mesmos estão compreendidos entre –1 e 1, deve-se garantir que :

1q2

qa4q1

210

2≤

++−≤ (67)

1q2

qa4q1

210

2≤

+−−≤ (68)

De (67) conclui-se que :

q1aq1 +≤≤− (69)

Como (68) jamais será verdade, todos os valores de σ representados por esta

expressão não existem. Portanto, as soluções possíveis apresentadas na Tabela 1 reduzem-

se à metade dos valores apresentados.

Seja o sistema formado pelas equações (64) e (65) reproduzidas a seguir:

0)cos(q)cos(ab)sen(aa)cos(b9)sen(a9)sen(b6)cos(a6)cos(b)sen(a

33

33332

32

3=σ+σ+σ+

+σ−σ−σµ+σµ−σµ+σµ

(70a)

0)sen(q)sen(ab)cos(aa)sen(b9)cos(a9)cos(b6)sen(a6)sen(b)cos(a

33

33332

32

3=σ−σ−σ+

+σ+σ−σµ+σµ+σµ−σµ

(70b)

Resolvendo o sistema (70) para a3 e b3 obtém-se :

42223a218aa1881

q6aµ+µ+µ++−

µ= (71)

4222

23

a218aa1881

qaqq9b

µ+µ+µ++−

µ++−−= (72)

77

Assim, escreve-se (53) como:

)zsen()z( σ−=φ +σ−

µ+µ+µ++−

µ

+ )z3cos(

a218aa1881

q64222

0)z3sen(a218aa1881

qaqq94222

2=σ−

µ+µ+µ++−

µ++−−

+

(73)

A solução (52) é reescrita da seguinte forma :

zey µ= )zsen( σ−

+σ−

µ+µ+µ++−

µ

+ )z3cos(

a218aa1881

q64222

0)z3sen(a218aa1881

qaqq94222

2=

σ−

µ+µ+µ++−

µ++−−

+ (74)

aonde cada par ( σµ, ) é especificado na Tabela 1.

Substituindo em (74) as relações (42) e (43), obtém-se :

T te Ωµ= )t(sen σ−Ω

+σ−Ω

µ+µ+µ++−

µ

+ )t3(cos

a218aa1881

q64222

0)t3sen(a218aa1881

qaqq94222

2=

σ−Ω

µ+µ+µ++−

µ++−−

+ (75)

a (primeira ) solução temporal da homogênea. Os parâmetros a e q são dados pelas relações

(49) e (51).

O termo que tornará a solução (75) estável ou instável será :

te Ωµ (76)

78

ou, mais especificamente, o sinal de µ .

Se o sinal do parâmetro µ for positivo o sistema será instável; se o sinal do parâmetro

µ for negativo o sistema será estável. Na Tabela 1 existem valores de µ associados a

soluções estáveis e a soluções instáveis de (47).

Seguem os procedimentos de cálculo para a vibração dos dois primeiros modos.

Seja a relação (69) entre a e q apresentada graficamente pela Figura 3. Para um

determinado valor de q, por exemplo q = 0.2, a linha tracejada indica a faixa de valores

possíveis para a. Seja a = 0.85.

Figura 3 : Relação entre a e q para os valores possíveis deσ

De acordo com as propriedades da estrutura :

comprimento, L = 1 m

secção reta = 0.010 m X 0.001 m

E = 7 1010 Kg / ms2

I = 8.3 10-13 m4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

q

a

a=1+q

a=1-q

79

ρ= 0.027 Kg / m

1λ = 1.8762

tem-se:

1w =ρ

λ=

4

41

L

IE5.16 rad/s = 0.82 Hz

Utilizando (51), conclui-se que um bom valor para a freqüência da excitação será :

=+

=Ωq2a

w 2i 4.62 rad/s = 0.74 Hz

Com os valores de a e q na Tabela 1 obtém-se :

µ

σ ( rad )

-1.9497

1.9497

-1.1919

-0.0687

1.1919

-1.9497

1.9497

-1.1919

0.0687

1.1919

Tabela 2 – Soluções possíveis do sistema (66) para q = 0.2 e a = 0.85. Os primeiros quatro valores do par ( σµ, ) representam soluções estáveis. Os últimos quatro valores representam soluções instáveis.

80

Para o primeiro caso estável e para o primeiro modo, a solução temporal representada

equação (75) escreve-se :

T t3174.0e−= )9497.1t62.4(sen +

++− )9497.1t86.13(cos0012.0

0)9497.1t86.13(sen0245.0 =

++ (77)

Seja uma segunda solução linearmente independente de (47) da forma :

z2 2ey µ= ...))z3sen(b)z3cos(a)z(cos( 2322322 +σ−+σ−+σ− (78)

Seguindo os mesmos procedimentos desenvolvidos anteriormente para a solução

(52), obtém-se os resultados apresentados na Tabela 3.

2µ

2σ

+

−+−

−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

−+−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

−+

−

q2qa4

q1

21arccos

2

q2qa4

q1

21

q2qa4

q1

21q

22 ++−

+−+−

+

−+

q2qa4

q1

21arccos

2

81

+

−+−

−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

−+−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

−+

−

q2qa4

q1

21arccos

2

q2qa4

q1

21

q2qa4

q1

21q

22 ++−

+−+

+

−+

q2qa4

q1

21arccos

2

+

++−

−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

++−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

++

−

q2qa4

q1

21arccos

2

q2qa4

q1

21

q2qa4

q1

21q

22 +++

+−−−

+

++

q2qa4

q1

21arccos

2

82

+

++−

−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

++−

q2qa4

q1

21arccos

2

+

++

−

q2qa4

q1

21arccos

2

q2qa4

q1

21

q2qa4

q1

21q

22 +++

+−−

+

++

q2qa4

q1

21arccos

2

Tabela 3 – Todas as possibilidades para 2µ e 2σ em (78).

Comparando a Tabela 3 e a Tabela 1 verifica-se que 2µ=µ . Para esta segunda

solução, todas as dezesseis possibilidades apresentadas para o par ( 2µ , 2σ ) também não

são possíveis. Os valores possíveis para 2σ estão associados aos mesmos dois primeiros

valores de 2µ na Tabela 3 ( conforme visto anteriormente para (µ ,σ ) ).

2µ ( = µ )

2σ ( rad )

-2.7627

2.7627

-0.3789

-0.0687

0.3789

83

-2.7627

2.7627

-0.3789

0.0687

0.3789

Tabela 4 – Valores possíveis associados à segunda solução independente para q = 0.2 e a = 0.85. Os primeiros quatro valores do par ( 22 ,σµ ) representam soluções estáveis. Os últimos quatro valores

representam soluções instáveis.

A relação (69) entre a e q também é válida para os parâmetros na Tabela 3.

Fazendo q = 0.2 e a = 0.85 obtém-se os valores na Tabela 4, a seguir.

E seguindo novamente os mesmos procedimentos desenvolvidos anteriormente para a

primeira solução, obtém-se :

4222

232

a218aa1881

qaqq9a

µ+µ+µ++−

µ++−−= (79)

422232a218aa1881

q6bµ+µ+µ++−

µ−= (80)

Assim, a solução completa de (47) pode ser escrita como :

T( t ) t1 eC Ωµ= )t(sen 1σ−Ω

+σ−Ω

µ+µ+µ++−

µ

+ )t3(cos

a218aa1881

q614222

+

σ−Ω

µ+µ+µ++−

µ++−−

+ )t3sen(

a218aa1881

qaqq914222

2

84

t2 eC Ωµ+ )tcos( 2σ−Ω

+σ−Ω

µ+µ+µ++−

µ++−−

+ )t3cos(

a218aa1881

qaqq924222

2

µ+µ+µ++−

µ−

+

4222 a218aa1881

q6

σ−Ω )t3sen( 2 (81)

aonde σ=σ1 .

No exemplo numérico a seguir, verifica-se que :

)cos()sen()sen()cos(

21

21σ=σσ=σ

O Wronskiano das soluções (52) e (78) é realmente diferente de zero, provando a

independência linear das mesmas ( Boyce e DiPrima, 1990 ). A saber :

W(y1,y2) = ã 2 t m W WCos s 1 - s 2 - 1 + 4 Sin 2 t W a - 3 a 32 - 4 Co s 2 t W b 3 - 3 b32 (82)

aonde y1 = y.

A solução (77) completa pode, assim, ser escrita da seguinte forma :

T t3174.01 eC −= )9497.1t62.4(sen +

++− )9497.1t86.13(cos0012.0

++ )9497.1t86.13(sen0245.0 t3174.0

2 eC −+ ++

)7627.2t62.4(cos

+++ )7627.2t86.13(cos0245.0

+ )7627.2t86.13(sen0012.0 (83)

Ou ainda :

85

T t3174.01 eC −= )9497.1t62.4(sen +

++− )9497.1t86.13(cos0012.0

++ )9497.1t86.13(sen0245.0 t3174.0

2 eC −+ ++

)7627.2t62.4(cos

+++ )7627.2t86.13(cos0245.0

+ )7627.2t86.13(sen0012.0

(83)

As constantes C1 e C2 serão posteriormente determinadas.

7.5 – Solução geral da equação homogênea

Seja a forma da solução geral (6) da equação homogênea (5), reescrita a seguir :

vH (x,t) = X(x) T (t) (84)

Substituindo as soluções encontradas (36) e (81) na forma (84), a solução geral da

equação homogênea (5) ou, de outra maneira, a solução homogênea do sistema original (1)

será dada por :

vH (x,t) =

A1

( senh ( xβ ) - sen ( xβ ) )

β+ββ+β

−)Lcos()Lcosh()Lsen()Lsenh( ( cosh ( xβ ) –

- cos ( xβ ) )

t

1 eC Ωµ

+σ−Ω

)t(sen 1

+σ−Ω

µ+µ+µ++−

µ

+ )t3(cos

a218aa1881q6

14222

)t3sen(a218aa1881

qaqq914222

2

σ−Ω

µ+µ+µ++−

µ++−−

+ +

86

+σ−Ω

+ Ωµ )tcos(eC 2

t2

+σ−Ω

µ+µ+µ++−

µ++−−

+ )t3cos(

a218aa1881qaqq9

24222

2

µ+µ+µ++−

µ−

+ 4222 a218aa1881

q6

σ−Ω )t3sen( 2 (85)

aonde A1 = ½.

PARTE B A solução particular

7.6 – Separação de variáveis

Seja a equação não homogênea (4) reproduzida a seguir.

EI x)t()t,x(v)t(t

)t,x(v

x

)t,x(vP

22

P2

4P

4θρ−=θρ−

∂

∂ρ+

∂

∂ &&&

(86)

aonde o subscrito P refere-se à solução particular.

Seja a variável vP em (86) representada por uma série de autofunções de acordo

com :

)x()t(b)t,x(v nn1n

P ϕ∑=∞

= (87)

87

aonde )x(nϕ representa cada uma das autofunções definidas por (36). O problema passa a

ser definir os coeficientes temporais bn(t) ( Boyce e DiPrima, 1990 ).


x)t()x()t(b)t()x()t(b)x()t(bEI nn1n

2nn

1n

ivnn

1nθρ−=ϕθρ−ϕρ+ϕ ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

&&&&&

(88)

De acordo com (12), o primeiro termo de (88) pode ser reescrito como :

)x()t(b)x()t(b nnn1n

ivnn

1nϕλ∑=ϕ∑

∞

=

∞

= (89)

Os segundo e terceiro termos de (88) podem ser reescritos como :

[ ])t(b))t(()t(b)x()x()t(b)t()x()t(b n2

nn1n

nn1n

2nn

1nθ−ϕρ=ϕθρ−ϕρ ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

&&&&&&

(90)

O termo que torna a equação não homogênea, x)t(θρ− && , também deve ser escrito

como uma série de autofunções. Desta forma :

)x()t()t,x(Fx)t( nn1n

ϕψ∑ρ−==θρ−∞

=

&& (91)

De (91) conclui-se que :

dx)x()t,x(F)t( nL

0n ϕρ−=ψ ∫ (92)

Como F(x,t) é uma função conhecida, pode-se considerar também como conhecidos

os coeficientes temporais )t(nψ . Lembrar que )t(θ foi definido em (39).

88

Substituindo (89), (90) e (91) em (88) resulta:

EI )x()t(b nnn1n

ϕλ∑∞

=[ ])t(b))t(()t(b)x( n

2nn

1nθ−ϕρ+ ∑

∞

=

&&& = )x()t( nn1n

ϕψρ− ∑∞

=

(93)

A Equação (93) pode ser reescrita como :

nn1n

)t(EIb λ

∑∞

=))t(b))t(()t(b( n

2n θ−ρ+ &&& 0)x()t( nn =ϕ

ρψ+

(94)

Para que (94) seja satisfeita para qualquer valor de x variando de 0 a L, deve-se ter:

)t()t(b)t(EI

)t(b nn2n

n ψ−=

θ−

ρλ

+ &&& (95)

Substituindo )t(θ de acordo com (39) obtém-se :

∫ ϕΩΩ−=

ΩΩ−

ρλ

+

L

0n

2n

222nn dx)x(x)tcos(A)t(b)t(senA

EI)t(b&&

(96)

cuja solução homogênea já é conhecida ( a saber, (85)). Seja :

∫ ϕΩΩ−=L

0n

2 dx)x(x)tcos(A)t(G (97)

Então, (96) pode ser reescrita como :

)t(G)t(b)t(senAEI

)t(b n222n

n =

ΩΩ−

ρλ

+&& (98)

89

A solução de (98), utilizando as duas soluções independentes que formam (85),

fornecerá os coeficientes bn(t).

Fazendo :

)t(senAEI

)t( 222n ΩΩ−ρλ

=ξ (99)

a equação (98) será reescrita como :

)t(G)t(b)t()t(b nn =ξ+&& (100)

Seja bn1(t) uma das soluções linearmente independentes da homogênea de (100)

( anteriormente denominada y1 ou simplesmente y e apresentada em (52) ) e bn2(t) uma

outra solução linearmente independente desta mesma equação ( anteriormente denominada

y2 e apresentada em (78)). Estas duas soluções serão utilizadas para a determinação da

solução particular de (100) através do método de variação de parâmetros.

A solução geral da homogênea de (100) ( ou a equação (85) ) será representada por :

bnH (t) = C1 bn1(t) + C2 bn2(t) (101)

O método de variação de parâmetros para o caso analisado aqui envolve a

substituição das constantes C1 e C2 em (101) pelas funções u1(t) e u2(t) de modo que

bnP (t) = u1(t) bn1(t) + u2(t) bn2(t) (102)

satisfaça a equação diferencial não homogênea (100) ( Fernandez, 1975 ; Figueiredo,

1979 ; Boyce e DiPrima, 1990 ).

Sejam as derivadas primeira e segunda de (102) em relação ao tempo dadas por :

))t(b)t(u)t(b)t(u())t(b)t(u)t(b)t(u()t(b 2n21n12n21n1nP&&&&& +++=

(103)

90

))t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u(

))t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u()t(b

2n21n12n21n1

2n21n12n21n1nP&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

++++

++++=

(104)

Os termos no segundo parênteses de (104) podem ser escritos como :

))t(b)t(u)t(b)t(u(dtd

)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u

2n21n1

2n21n12n21n1

&&

&&&&&&&&

+=

=+++

Para auxiliar na solução, impõe-se que :

0)t(b)t(u)t(b)t(u 2n21n1 =+ && (105)

Substituindo (105) em (103) e em (104) resulta :

)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b 2n21n1nP&&& += (106)

)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b 2n21n12n21n1nP&&&&&&&&&& +++= (107)

Substituindo (102) e (107) em (100) :

)t(G)t(b)t(u)t(b)t(u))t(b)t()t(b)(t(u))t(b)t()t(b)(t(u 2n21n12n2n21n1n1 =++ξ++ξ+ &&&&&&&&

(108)

Como bn1 e bn2 são solução da homogênea, os dois primeiros parênteses se anulam e

a equação (108) reduz-se a :

)t(G)t(b)t(u)t(b)t(u 2n21n1 =+ &&&& (109)

As equações (105) e (109) formam o seguinte sistema para as funções incógnitas 1u& e

2u& :

91

0)t(b)t(u)t(b)t(u 2n21n1 =+ && (110a)

)t(G)t(b)t(u)t(b)t(u 2n21n1 =+ &&&& (110b)

A solução do sistema (110) conduz a :

)t(b)t(b)t(b)t(b)t(G)t(b

)t(u2n1n2n1n

2n1 &&&

−

−= (111)

)t(b)t(b)t(b)t(b)t(G)t(b

)t(u2n1n2n1n

1n2 &&&

−= (112)

Como bn1 e bn2 são soluções linearmente independentes da equação homogênea, o

denominador em (111) e (112) não se anula no intervalo de interesse. Os coeficientes u1 e

u2 serão dados por :

ηηη−ηη

ηη−= ∫ d

)(b)(b)(b)(b)(G)(b

)t(u2n1n2n1n

2nt

01 &&

(113)

ηηη−ηη

ηη= ∫ d

)(b)(b)(b)(b)(G)(b

)t(u2n1n2n1n

1nt

02 &&

(114)

Assim, a solução particular de (100) será dada por :

bnP(t) = ηηη−ηη

ηη∫ d

)(b)(b)(b)(b)(G)(b

)t(b2n1n2n1n

2nt

01n &&

+

+ ηηη−ηη

ηη∫ d

)(b)(b)(b)(b)(G)(b

)t(b2n1n2n1n

1nt

02n &&

(115)

92

Substituindo as funções que aparecem nos integrandos em (115), a solução particular

resulta :

bnP(t) =

= +η

ηΩβ+ηΩβ+β

ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+σ

β ηΩµ−∫ d

)2cos()2sen()4cos()4sen()2sen()2cos()cos(e)t(b

11109

87652t

01n0

η

ηΩβ+ηΩβ+β


β+ ηΩµ−∫ d

)2cos()2sen()4sen()4cos()2cos()2sen()sen(e)t(b

11109

43211t

02n0

(116)

aonde :

Ω

ϕ

−=β ∫ 2

Adx)x(xL

0n0

)cos()1b()sen(a 13131 σ++σ=β

)sen()1b()cos(a 13132 σ+−σ=β

)sen(b)cos(a 13133 σ−σ=β

)cos(b)sen(a 13134 σ+σ=β

)sen(a)cos()1b( 23235 σ+σ+=β

)cos(a)sen()1b( 23236 σ−σ+=β

)cos(a)sen(b 23237 σ−σ=β

)sen(a)cos(b 23238 σ+σ=β

σσ+σσ

−−−

=β )cos()cos()sen()sen(b3a31 2121

23

239

=β 310 a4

σσ+σσ

)cos()cos()sen()sen( 2121

−=β 311 b4

σσ+σσ

)cos()cos()sen()sen( 2121

Considerando os valores numéricos para o caso apresentado aqui, a solução (116)

será escrita como :

93

bnP(t) = +)t(b8633.3 1n )t(b0301.4 2n

(117)

Finalmente, a solução particular ( espaço-temporal ) de (4) ( ou (86)) para cada um

dos termos da expansão de vP(x,t) será dada por :

...)x()t,x(v n1n

P

ϕ= ∑

∞

=

+η

ηΩβ+ηΩβ+β


β ηΩµ−∫ d

)2cos()2sen()4cos()4sen()2sen()2cos()cos(e)t(b...

11109

87652t

01n0

η

ηΩβ+ηΩβ+β


β+ ηΩµ−∫ d


11109

43211t

02n0

(118)

Considerando os valores numéricos para o caso apresentado aqui, a solução (118)

será escrita como :

)x()t,x(v n1n

P ϕ= ∑∞

=+)t(y8633.3( 1 ))t(y0301.4 2

(119)

Considerando n=1 :

)x()t,x(v 1P ϕ= +)t(y8633.3( 1 ))t(y0301.4 2

(120)

PARTE C A solução geral

A solução geral de (4) para cada um dos modos considerados na expansão de v(x,t)

será dada por (85) + (118), ou :

94

v(x,t) = ∑∞

=1n A1

( senh ( xnβ ) - sen ( xnβ ) )

β+ββ+β

−)Lcos()Lcosh()Lsen()Lsenh(

nn

nn ( cosh ( xnβ ) –

- cos ( xnβ ) )

t1 eC Ωµ

+σ−Ω

)t(sen 1

+σ−Ω

µ+µ+µ++−

µ

+ )t3(cos

a218aa1881

q614222

+

σ−Ω

µ+µ+µ++−µ++−

−

+ )t3sen(

a218aa1881qaqq9

14222

2

t2 eC Ωµ+ +σ−Ω

)tcos( 2 +σ−Ω

µ+µ+µ++−µ++−

−

)t3cos(

a218aa1881qaqq9

24222

2

µ+µ+µ++−

µ−

+

4222 a218aa1881

q6+

σ−Ω )t3sen( 2

+η

ηΩβ+ηΩβ+β


β+ ηΩµ−∫ d

)2cos()2sen()4cos()4sen()2sen()2cos()cos(e)t(b

11109

87652t

01n0

η

ηΩβ+ηΩβ+β


β+ ηΩµ−∫ d


11109

43211t

02n0

(121)

A determinação de C1 e C2 será feita da seguinte forma. Seja T(t) a parte temporal de

(121), representado pelo segundo termo entre chaves. Duas equações algébricas envolvendo

C1 e C2 podem ser obtidas aplicando-se as condições iniciais T(0) = 0 e 0)0(T =& . Ou seja :

=+=+

pnCmC0hCgC

21

21

cuja solução é representada por :

gnmhph

C1 −=

95

gnmhgpC2 −

−=

aonde :

g = +σ− )(sen 1 +σ

µ+µ+µ++−

µ

)(cos

a218aa1881q6

14222

)sen(a218aa1881

qaqq914222

2

σ

µ+µ+µ++−

µ++−

+

h = +σ )cos( 2 +σ

µ+µ+µ++−

µ++−−

)cos(

a218aa1881qaqq9

24222

2

µ+µ+µ++−

µ

+ 4222 a218aa1881

q6

σ )sen( 2

m = +σΩµ− )(sen 1 +σ

µ+µ+µ++−

Ωµ

)(cos

a218aa1881q6

14222

2

+σ

µ+µ+µ++−

Ωµµ++−

+ )sen(

a218aa1881)qaqq9(

14222

2+σΩ )(cos 1

+σ

µ+µ+µ++−

µΩ

+ )(sen

a218aa1881q18

14222

)cos(a218aa1881

)qaqq9(314222

2σ

µ+µ+µ++−

µ++−Ω−

+

n = +σΩµ )cos( 2 +σ

µ+µ+µ++−µ++−Ωµ

−

)cos(

a218aa1881)qaqq9(

24222

2

µ+µ+µ++−

Ωµ

+ 4222

2

a218aa1881q6

+σ )sen( 2

+σΩ+ )sen( 2 +σ

µ+µ+µ++−µ++−Ω

−

)sen(

a218aa1881)qaqq9(3

24222

2

96

µ+µ+µ++−

µΩ−

+ 4222 a218aa1881

q18 )cos( 2σ

p = −

β+β

β+β+σ

β−

119

8520

)cos(g

β+β

β+β+σ

β

119

3210

)sen(h

Para os valores numéricos considerados obtém-se :

C1 = 0.3792 C2 = 0.3795

A Figura 4 ilustra o primeiro modo de flexão dado por (36). A Figura 5 ilustra a

amplitude do primeiro modo de flexão ( parte temporal de (121)). A Figura 6 ilustra a

solução geral de (1) dada por (121) para o primeiro modo de flexão. Os valores numéricos

utilizados são os apresentados até aqui neste capítulo.

Figura 4 : Primeiro modo de flexão.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x (m)

X

97

Figura 5 : Amplitude do primeiro modo de flexão ( parte temporal da solução geral (121)).

Figura 6 : Comportamento espaço-temporal ( primeiro modo de flexão ) de uma estrutura flexível tipo viga de acordo com a solução analítica apresentada em (121) : solução geral.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t (s)

T (m

)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 01

23

4

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t (s)x (m)

v1(x

,t)

(m

)

98

O comportamento desse sistema é instável não importando a combinação de

parâmetros a ser verificada. Este fato advém da natureza do problema em questão. Uma vez

conhecido o comportamento dinâmico do sistema, técnicas de controle deverão ser

investigadas com o propósito de torna-lo estável e utilizável em aplicações práticas, tais

como processos industriais associados a linhas de montagem.

99

Capítulo 8

Conclusões, atividades desenvolvidas no período

e planejamento futuro

8.1 – Conclusões e atividades futuras

Os resultados apresentados neste relatório são os primeiros resultados de uma

pesquisa maior e mais complexa : o estudo de sistemas contínuos ( de parâmetros

distribuídos ) apresentando comportamento não linear.

O comportamento das soluções das equações governantes do movimento ( não

lineares ) pode ser mais facilmente verificado através da integração das equações de

modulação de amplitude e fase. Essas equações são obtidas neste trabalho para todos os

possíveis casos de ressonância ( primária e secundária ) e longe dessas regiões críticas. O

próximo passo será integrá-las e estudar seu comportamento ( em regime permanente ).

Com os modelos matemáticos satisfatoriamente representativos, técnicas de controle

também serão investigadas para esse sistema, visando a redução da vibração na estrutura

flexível e sua conseqüente influência no comportamento do motor. Na investigação de

sistemas não ideais, essa influência pode ser estudada com o propósito de auxiliar nas

estratégias de controle. Esses estudos também deverão ser efetuados futuramente.

Uma parte experimental foi projetada e montada com o intuito de estudar a

ressonância primária do primeiro modo de flexão da estrutura flexível, construir a curva de

resposta em freqüência experimental do sistema nessa região e posteriormente, utilizando

esses resultados, identificar as não linearidades e parâmetros físicos do sistema. O capítulo

5 deste relatório apresenta os primeiros resultados teóricos nesse sentido.

100

Sobre a parte experimental apresenta-se mais alguns comentários no item 8.2.

8.2 – Sobre a parte experimental

Uma montagem experimental associada ao estudo de sistemas não lineares do tipo

investigado neste trabalho foi projetada e desenvolvida, encontrando-se operacional. Esta

montagem encontra-se em um dos laboratórios da Divisão de Engenharia Mecânica

Aeronáutica do ITA ( sob responsabilidade do Dr. Luiz Carlos Sandoval Góes ). Trata-se de

uma viga de alumínio suficientemente flexível engastada ( em posição vertical ) em uma

das extremidades em um shaker.

Esta montagem experimental está sendo utilizada inicialmente com o objetivo de se

levantar as curvas de resposta em freqüência experimentais não lineares ( para a

ressonância primária do primeiro modo linear de flexão da viga ). Estas curvas deverão ser

comparadas com as curvas teóricas apresentadas neste relatório. O objetivo maior visando

esta montagem consiste na identificação experimental das características não lineares da

estrutura flexível no sentido de aperfeiçoar o modelo matemático. A comparação das FRFs

dirá o quão longe o comportamento predito pelo modelo matemático está do

comportamento do sistema real.

Uma vez que os dados experimentais até então obtidos na montagem experimental

ainda não são significativos, os mesmos não foram apresentados neste relatório.

8.3 – Sobre parte da pesquisa a ser desenvolvida no exterior

Quando da apresentação da proposta para obtenção desta bolsa de pós-doutoramento,

comentou-se sobre a possibilidade de realizar parte da pesquisa em uma instituição no

exterior. Essa possibilidade se concretiza.

Acordos entre pesquisadores do ITA e do INPE que participam como colaboradores

deste projeto de pós-doutoramento com o DLR ( Deutsches Zentrum für Luft- und

Raumfahrt e.V. / Institut für Robotik und Systemdynamik ) na Alemanha através do Dr.

Bernd Schäfer abriram a possibilidade de uma relevante permanência na referida instituição

alemã.

101

O Dr. Bernd deverá enviar em breve um documento confirmando o interesse na ida

deste para sua instituição. Detalhes deste intercâmbio, tais como cronogramas das

atividades a serem desenvolvidas na DLR, o tempo total necessário para o desenvolvimento

da pesquisa no exterior ( de acordo com este cronograma ) e informações acerca da ajuda

de custo que a instituição alemã está disposta a pagar para este durante a permanência

naquela instituição seguirão futuramente. Estes documentos e informações não foram

enviados a tempo de serem remetidos junto com o relatório e seguirão após este.

8.4 – Atividades desenvolvidas durante o período

8.4.1 – Artigos publicados em revistas indexadas

8.4.1.1 – Fenili, A., Balthazar, J. M., Mook, D. T.

“A brief note on the experimental identification of dc motor

parameters”

Ciência e Engenharia ( Science and Engineering Journal ) – Revista

de Ciências Exatas e Tecnologia.

ISSN 0103-944X / 10(1) : 105-108, 2001 ( janeiro/junho )

8.4.1.2 – Fenili, A., Balthazar, J. M., Mook, D. T., Weber, H. I.

“Application of the center manifold theory to the study of slewing

flexible non-ideal structures with nonlinear curvature : a case study”

RBCM – Revista Brasileira de Ciências Mecânicas / Journal of the

Brazilian Society of Mechanical Sciences. ISSN 0100-7386

8.4.2 – Artigo aceito para publicação em revista indexada

8.4.3.1 – Balthazar, J. M., Mook, D. T., Weber, H. I., Brazil, R. M. L. R. F.,

Fenili, A., Belato, D. and Felix, J.L. P.

“An overview on non-ideal vibrations”

Mechanica

CODEN MECCB ISSN 90025- 6455

102

8.4.3 – Artigo submetido para publicação em revista indexada

8.4.4.1 – Fenili, A., Balthazar, J. M.

“Resonant cases in the investigation of beam-like flexible structures

mathematically modeled assuming nonlinear curvature in slewing

motion” submetido à revista Journal of Sound and Vibration

IDS Number: 460TM.. ISSN 0022-460X

8.4.4 – Artigos apresentados em congressos e conferências

8.2.1 – Fenili, A., Balthazar, J. M., Mook, D. T.

“On a flexible slewing dynamical system : some numerical results”

SBA – 54o. Seminário Brasileiro de Análise

São José do Rio Preto, 21 a 24 de novembro de 2001

páginas 493-506

8.2.2 – Balthazar, J. M., Mook, D. T., Brazil, R. M. L. R. F., Weber, H. I.,

Fenili, A., Belato, D. and Felix, J.L. P.

“Recent results on vibrating problems with limited power supply”

6th Conference on Dynamical Systems – Theory and Applications

Lódz, Polônia – 10 a 12 dezembro de 2001

Proceedings : ISBN 83-910309-8-9

8.4.5 – Artigos aceitos em congressos

8.4.5.1 – Fenili, A., Góes, L. C. S., Souza, L. C. G., Balthazar, J. M.,

Macau, E. E. N.

“Dynamical Behavior of a Forced Nonlinear Cantilevered Beam. I –

Superharmonic Resonance”

International Conference on Structural Dynamics – Modelling, Test,

Analysis, Correlation and Validation,

Madeira Island, Portugal – 3 a 5 de junho de 2002.

103

8.4.5.2 – Fenili, A., Góes, L. C. S., Souza, L. C. G., Balthazar, J. M.,

Macau, E. E. N. "On the Damping Effect of Nonideal Interaction in Beam Like

Flexible Structures in Slewing Motion"

ESDA2002 - 6th Biennial Conference on Engineering Systems

Design And Analysis

Istanbul, Turkey, July 8-11, 2002

8.4.6 –Participação em cursos na pós-graduação ( como Professor Colaborador )

8.4.6.1 – INPE : com o Dr. Ijar Milagre da Fonseca

CMC205 – Mecânica analítica

Segundo Período de 2001

8.4.6.2 – ITA : com o Dr. Luiz Carlos Sandoval Góes

MP297 – Dinâmica e controle de estruturas flexíveis

Segundo Período de 2001

8.4.7 – Participação em banca examinadora de dissertação e defesa de tese

8.4.7.1 – Dissertação de mestrado de Cássio Fabian Sarquis de Campos, aluno

do Curso de Engenharia e Tecnologia Espaciais / Mecânica Espacial

e Controle intitulada “Dinâmica e controle de um manipulador

robótico rígido / flexível”. Defendida em 21 de setembro de 2001 no

INPE.

8.4.8 – Convite para participar de banca examinadora de dissertação/defesa de

tese

8.4.8.1 – Dissertação de mestrado de Adriana Trigolo, aluna do Curso de

Engenharia e Tecnologia Espaciais / Mecânica Espacial e Controle

intitulada “Estudo do desempenho do sistema de controle de atitude

de um satélite rígido / flexível” a ser defendida em 20 de fevereiro

de 2002 no INPE.

104

8.4.9 – Orientação de alunos de mestrado / doutorado

8.4.9.1 – Mestrado

8.4.9.1.1 – José Ricardo Soria Porro

Curso de Engenharia e Tecnologia Espaciais com área de

concentração em Mecânica Espacial e Controle no INPE.

Em andamento.

8.5 – Novas atividades incluídas na pesquisa e cronograma atualizado

As novas atividades de pesquisa incorporadas a este projeto dizem respeito àquelas

que serão desenvolvidas no DLR, a saber, o estudo e aplicação da dinâmica do contato

entre corpos. Este estudo representa uma extensão do estudo de estruturas flexíveis

( aplicados à robótica ) e sistemas não lineares. A aplicação em mente para esta

investigação é a utilização de ferramentas em manipuladores robóticos conectados a

satélites especiais a serem utilizados para a recuperação de outros satélites. Esta pesquisa

encontra-se em andamento no DLR e dificuldades de modelagem e controle encontradas

motivaram o intercâmbio anteriormente citado.

As atividades a serem desenvolvidas no DLR não constam da tabela 1 devido ao fato

de informações daquela instituição acerca deste novo intercâmbio INPE/ITA/DLR ainda

não terem chegado a tempo quanto ao envio deste relatório.

Segue uma atualização do cronograma inicial proposto para este projeto. Na tabela 1,

a seguir, constam os dois anos inicialmente propostos para a bolsa de pós-doutoramento.

Para esta tabela vale a seguinte legenda :

atividades desenvolvidas no período de vigência da bolsa

atividades a serem desenvolvidas no

segundo ano de vigência da bolsa

105

C R O N O G R A M A D E A T I V I D A D E S

PRIMEIRO ANO

SEGUNDO ANO

TRIMESTRES

TRIMESTRES

E T A P A S

1

2

3

4

5

6

7

8

Projeto e construção de um protótipo para o estudo de características não lineares em estruturas flexíveis ( malha aberta )

Estudo qualitativo das equações governantes do movimento e busca de soluções analíticas

Estudo de ressonâncias em sistemas não lineares aplicado a estruturas flexíveis em movimento de rastreamento ( slewing )

Identificação de parâmetros no protótipo experimental

Identificação de parâmetros : comparação de técnicas visando controle adaptativo

Análise do comportamento dinâmico do protótipo com controle ( implementação da malha de controle )

Participação em cursos na pós-graduação ( como Professor Colaborador ) e demais atividades acadêmicas

Relatórios de atividades

Tabela 1 – Cronograma atualizado

As seguinte atividades foram modificadas e adequadas :

1 – Ao invés de adequar os protótipos pré-existentes no Laboratório da Divisão de

Engenharia Mecânica e Aeronáutica do ITA para o estudo do comportamento de

estruturas flexíveis não lineares ( investigado neste trabalho ) foi desenvolvido um

protótipo mais simples ( viga engastada em um shaker ) e que mantivesse

características semelhantes e desejáveis para o referido estudo, conforme

apresentado no relatório.

106

2 – Ao invés de iniciar o estudo do controle de estruturas flexíveis neste primeiro ano,

optou-se por dedicar o tempo reservado a este assunto ao estudo dos casos

ressonantes desse sistema. Este estudo será importante no próximo ano quando

forem investigadas as técnicas de controle. Ter-se-á, então, um maior

conhecimento acerca dos casos críticos de vibração da estrutura flexível.

Vale ressaltar que o intercâmbio com o DLR, assim que forem definidas as atividades

a serem desenvolvidas na instituição alemã, irá alterar este cronograma para o segundo ano.

107

Referências Bibliográficas

Boyce, W. e DiPrima, R. C., “Equações Diferencias Elementares e Problemas de Valores

de Contorno”, Editora Guanabara ( versão em português ), 1990.

Cunningham, W. J., “Introduction to Nonlinear Analysis”, McGraw-Hill Book Company,

1958.

Drazin, P. G., “Nonlinear Systems”, Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge

University Pres, 1994.

Erugin, N. P., “Linear Systems of Ordinary Differential Equations with Periodic and Quasi-

Periodic Coefficients”, Academic Press, Inc., 1966.

Farkas, M., “Periodic Motions”, Applied Mathematical Sciences 104, Springer-Verlag,

1994.

Fenili, A., " Modelagem matemática e análise dos comportamentos ideal e não ideal de

estruturas flexíveis de rastreamento", Tese de Doutorado financiada pela Fapesp a ser

defendida em dezembro de 2000 pela Faculdade de Engenharia Mecânica da

Universidade Estadual de Campinas.

Fernandez, D. L., “Equações Diferenciais e séries de Funções”, IMPA-10º Colóquio

Brasileiro de Matemática, Poços de Caldas, MG, Brasil, 7 a 26 de Julho, 1975.

Figueiredo, D. G., “Equações Diferenciais Aplicadas”, IMPA-12º Colóquio Brasileiro de

Matemática, Poços de Caldas, MG, Brasil, 16 a 28 de Julho, 1979.

108

Hayashi, C., “Nonlinear Oscillations in Physical Systems”, McGraw-Hill Book Company,

1964.

Kononenko, V. O., “Vibrating systems with a limited power supply”, Iliffe Books Ltd.,

1969.

Meirovitch, L., “Computational Methods in Structural Dynamics”, Sijthoff and Noordhoff

International Publishers B. V., 1980.

Nayfeh, A. H. e Mook, D. T., “Nonlinear Oscillations”, John Wiley and Sons, Inc., 1979.

Nayfeh, A. H., “Introduction to Perturbation Techniques”, John Wiley and Sons, Inc., 1981.

Nayfeh, A. H., “Problems in Perturbation”, John Wiley and Sons, Inc., 1993.

Richards, J. A., “Analysis of Periodically Time-Varying Systems”, Springer-Verlag, 1983.

Schmidt, G. e Tondl, A., “Non-linear Vibrations”, Cambridge University Pres, 1986.

Thomson, W. T., “Theory of Vibration with Applications”, Prentice-Hall, Inc., 1981.

Thompson, J. M. T. e Bishop, S. R., “Nonlinearity and Chaos in Engineering Dynamics”,

John Wiley & Sons, Inglaterra, 1994.

Whittaker, E. T., “General Solution of Mathieu’s Equation”, Proc. Edinburgh Math. Soc.,

32, 75-80, 1913-14.

Whittaker, E. T. e Watson, G. N., “A Course of Modern Analysis”, Cambridge University

Pres, 1935.

109

Apêndices

110

Apêndice A

Relações importantes

)sen()sen( 0Tt Ω→Ω A.1

)cos()cos( 0Tt Ω→Ω A.2

1

2

0 TTdtd

∂∂

∈+∂∂

= A.3

10

22

0

2

2

22

TTTdtd

∂∂∂

∈+∂

∂= A.4

)(sen)(cos 11)( 1 βσβσβσ −+−=− TiTe Ti A.5

111

Apêndice B

Solução do problema linear associado

Na Equação (1), fazendo 0∈= obtém-se :

011211 =++ θα &&&& qwq B.1

Utilizando a Equação (4), a equação B.1 pode ser rescrita como :

=+ 1

211 qwq&& )sen(2

1 tΩΩα

ou

=+ 1211 qwq&& ( )titi ee

iΩ−Ω −

Ω2

2

1α B.2

A solução de B.2 é representada por:

tititiwtiw ewi

ewi

eCeCq Ω−Ω−

Ω−

Ω−

Ω−

Ω++=

)(2)(2 221

21

221

21

11111

αα

B.3

112

Apêndice C

Coeficientes da equação diferencial ordinária para a componente temporal q1 de v( x, t ).

Coeficientes para qualquer número de função admissível, κφ ( aonde κ = i ou j ou k ou l nas expressões a seguir ) :

=φ )(xi cosh( aiL x ) - cos( aiL x ) - iα ( senh( aiL x ) - sen( aiL x ) )

)()()cos()cosh(

LasenLasenhLaLa

ii

iii +

+=α

4

2

41

22

8780.1)(nn

jw

Law

w ==

( ) ( ) ( ) ( )R d Rij i j ji

xx x= ′ ′ =∫ φ ξ φ ξ ξ

0

( ) ( )V dxi ix = −∫ φ ξ ξ1

( ) ( ) ( )S d d0ij i jx

x = − ′ ′

∫∫ φ ξ φ ξ ξ η

η1

( ) ( ) ( )W dij xx i j= − ′∫ φ ξ φ ξ ξ

1

∫ φ=α1

0xdx ll

1])1(21[ 1

02 −

φφ ′′−+φφ′=β ∫ xdxx iii lll

113

( )∫ φφφ′−φφ ′′−φ=℘1

0222 xdVR jijiijij llll

∫

φφφ′+φφ ′′+φ−=λ

1

0

1 xdVR2 jijiijij llll

Λ ijkl ( )∫ φφ′+φφ′′=1

0xdRS ijkijk ll

( )∫

φφ ′′+φφ′φφ′+φφ ′′φ ′′φ ′′+φφ ′′′φ ′′φ′=Γ

1

02

44 )8780.1(23

8780.13 xdWw kijkjijjikjiijk lllll

Nos casos tratados neste trabalho considera-se apenas uma função admissível e,

portanto, tem-se :

i = j = k = l = 1.

Documents

MODELAGEM, IDENTIFICAÇÃO E CONTROLE DE ESTRUTURAS ...mtc-m16.sid.inpe.br/col/sid.inpe.br/marciana/2004/... · que o sistema entrou em ressonância. Nos casos em que a freqüência