Modelagem Matemática: Equações diferenciais ordinárias em ...· Dados Internacionais de Catalogação

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  • Modelagem Matemtica: Equaes diferenciais ordinrias em cursos de graduao

    Marcos Afonso da Silva

    Trabalho de Concluso do Curso Superior de Licenciatura em Matemtica, orientado pelo Prof. Ms. Henrique Marins de Carvalho.

    IFSP So Paulo

    2014

  • Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)

    Silva, Marcos AfonsoModelagem Matemtica: Equaes Diferenciais Ordinrias em

    Cursos de Graduao / Marcos Afonso da Silva - So Paulo: IFSP,2014.

    140f.

    Trabalho de Concluso do Curso Superior de Licenciatura emMatemtica - Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia deSo Paulo

    Orientador: Henrique Marins de Carvalho

    1. Modelagem Matemtica. 2. Equaes diferenciais ordinrias. 3.Aplicaes. I.Modelagem Matemtica: Equaes Diferenciais Ordinriasem Cursos de Graduao.

  • Eu te farei ter perspiccia e te instruireino caminho em que deves andar. Voudar conselho com o meu olho [fixo] emti.Salmos 32:8

  • Aos meus pais, irmo e irm e meustios pelo apoio e companheirismo emtantos momentos difceis nessa jornada.Aos amigos, por tudo que passamosjuntos em todo esse tempo.

  • AgradecimentosPrimeiramente, agradeo ao Verdadeiro DEUS cuja morada est nos mais altos dos

    cus. Sem Seu amor, Sua benignidade imerecida, Seus maravilhosos conselhos e princpios,Sua sabedoria ilimitada e muitas outras qualidades infinitas que s o Senhor possui eu noseria nada. Obrigado, Pai Amado por toda sua proviso durante todos esses anos e porme fazer perspicaz em todos os momentos de acordo com seus propsitos. Obrigado porme segurar com sua mo direita de justia sempre quando estive prestes a cair. Todas ascoisas que eu lhe peo e agradeo nunca so por mritos prprios, pois nada mereo de ti.Tudo so nos mritos do Seu Amado Filho, nosso Senhor Jesus.

    Agradeo minha famlia: minha me Luiza, meu pai Sergio, meu irmo Marcelo,minha irm Fernanda e meus tios Gonalo, Lourival, Aparecido e Joo, minha cunhadaTatiana e sobrinhas Mariana e Sophia, pois sem o apoio de cada um de vocs, sem os seuscarinhos em diversos momentos que em minha cabea passava a palavra desistncia e euestava praticamente cado vocs me pegaram pelo brao e me levantaram para que eucontinuasse a lutar at o fim. Esse apoio foi fundamental para que todos ns consegussemoschegar at o fim.

    Agradeo a todos os meus amigos que, nessa hora, bastante difcil citar um porum, pois foram muitos que lutaram a cada dia comigo nessa jornada, pela pacincia, pelasajudas, pelos estudos dirios e alguns at mesmo de madrugada, pelos momentos divertidosque tivemos em todos esses semestres, por abdicarem de vrios momentos em que poderiamestar fazendo outras atividades, mas estavam l comigo lutando para atingirmos os mesmosobjetivos.

    Agradeo a oportunidade de ser orientado pelo Professor Ms. Henrique Marins deCarvalho que aceitou de braos abertos este projeto e contribuiu de forma excelente para ocrescimento do mesmo. Agradeo sua pacincia, dedicao, humildade, compartilhamentodo conhecimento em que eu pude aprender muitas coisas que jamais imaginaria aprender eisso me fez amadurecer e crescer academicamente. Mais importante do que isso, em nomede todos os alunos agradeo por, antes de ser nosso Professor e Coordenador, voc semprefoi nosso amigo acima disso. Ficam aqui nossos agradecimentos.

    Agradeo ao Professor Dr. Marcio Matsumoto do curso de Licenciatura em Qumicapor sua pacincia, humildade e dedicao nesse projeto, sempre me atendendo da melhormaneira possvel dentro de suas possibilidades e fornecendo ricas sugestes em todos nossosencontros. Meu muito obrigado.

    Agradeo a Professora Ms. Elisabete Teresinha Guerato por ter feito parte dessaminha caminhada como futuro professor e por ter confiado a mim substitu-la na Oficinade Artes e Ensino onde estou at hoje e, aproveitando o ensejo, agradeo tambm a Ndia eMariangela pela oportunidade de ser um dos professores da oficina e por terem participado

  • ativamente todo esse tempo do meu crescimento sempre confiando e me dando a foranecessria para continuar batalhando por nossos alunos.

    Agradeo a Professora Dra. Graziela Marchi Tiago pelo convite para participar doprojeto de Iniciao Cientfica em que eu pude aprender muito e crescer academicamente.Muito obrigado.

    Agradeo ao Professor Ms. Jose Maria Carlini por trabalhar contigo durante algunssemestres nos textos do reforo para o Ensino Mdio. Pode ter certeza que esse contato etrabalho me fez aprender e crescer muito contigo.

    Agradeo EMEF Professor Amadeu Mendes e toda sua direo que me acolheudesde os meus primeiros anos de estudo at minha formao. Agradeo a todos osprofessores principalmente dois: Professor Sidnei Ribeiro e Professor Renato Arebas.Ambos contriburam muito em todos os sentidos dessa maravilhosa profisso; sendo elesbastante atenciosos, humildes, guerreiros e com energia inesgotvel na luta para umaeducao melhor para nossos alunos. Professores, muito obrigado.

    Agradeo Professora Ms. Cristina Lopomo Defendi pela pacincia, ricas contri-buies, sugestes, correes referentes Lngua Portuguesa no trabalho.

    Agradeo tambm a todo o corpo docente do curso de Licenciatura em Matemticado IFSP, pois sem nenhuma exceo fizeram parte da minha vida acadmica e do meucrescimento pessoal e profissional.

  • ResumoEste trabalho tem como objetivo apresentar e estudar modelos matemticos descritos porEquaes Diferenciais Ordinrias (EDO) presentes nas grandes reas do conhecimentoprincipalmente em cursos de graduao. Tais reas so Engenharias, Fsica, Biologia eQumica e foram escolhidas por fazerem parte dos cursos oferecidos no Instituto Federal deEducao, Cincia e Tecnologia de So Paulo - IFSP. Os fenmenos que foram modeladosso as vibraes livres amortecida e no-amortecida, os circuitos eltricos RC, RL, LCe RLC, o corpo em queda livre com influncia do atrito, a dinmica de crescimento deum tumor, um modelo matemtico para absoro de drogas (medicamentos) e a funode onda na mecnica quntica. A anlise dos modelos foi feita a partir das etapas decriao de um modelo matemtico segundo Bassanezi (2002). Ao final de cada captulo,apresentamos algumas aplicaes de cada rea.

    Palavras-chave: Modelagem Matemtica, Equaes Diferenciais Ordinrias, Aplicaes.

  • AbstractThe aim of this is to present and study mathematical models described by OrdinaryDifferential Equations (ODE) present in the large area of knowledge, particularly inthe graduation. These areas are Engineering, Physics, Biology and Chemistry and theywere chosen because are courses offered by the Instituto Federal de Educao, Cincia eTecnologia de So Paulo - IFSP. The phenomena modeled are vibrations (damped andundamped free vibrations), electrical circuits RC, RL, LC e RLC, free fall bodies withfriction influence, dynamic of tumor growth, a mathematical model for drugs absorption(medicament) and the wave function in the quantum mechanics. The models analysis wasmade from creation steps of a mathematical model according Bassanezi (2002). At theend of each chapter, we presented some application for each knowledge area.

    Keywords: Mathematical Modelling, Ordinary Differential Equations, Applications.

  • Lista de figuras

    Figura 1 Funcionalidade da transformada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 2 Mola em equilbrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 3 Mola aps sofrer uma tenso (esticamento). . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 4 Grfico: deslocamento versus tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Figura 5 Movimento subamortecido considerando = 0, 4. . . . . . . . . . . . . 47Figura 6 Movimento criticamente amortecido considerando = 1. . . . . . . . . 49Figura 7 Movimento superamortecido considerando = 1, 3. . . . . . . . . . . . 51Figura 8 Comparao entre os movimentos criticamente amortecido e superamor-

    tecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Figura 9 Comparao entre as velocidades de retorno posio zero. . . . . . . 52Figura 10 Circuito eltrico simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 11 Circuito RC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Figura 12 Circuito RL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Figura 13 Circuito LC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Figura 14 Circuito RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Figura 15 Grfico do deslocamento em funo do tempo - ressonncia. . . . . . . 74Figura 16 Grfico da carga de carregamento do capacitor. . . . . . . . . . . . . . 76Figura 17 Grfico da corrente de carregamento do capacitor. . . . . . . . . . . . . 76Figura 18 Grfico da diferena de potencial entre as placas do capacitor. . . . . . 77Figura 19 Grfico da descarga do capacitor em funo do tempo. . . . . . . . . . 78Figura 20 Grfico da corrente eltrica de descarga do capacitor em funo do tempo. 79Figura 21 Grfico da corrente eltrica no circuito RL. . . . . . . . . . . . . . . . 80Figura 22 Grfico da diferena de potencial no indutor L. . . . . . . . . . . . . . 81Figura 23 Grfico da diferena de potencial no indutor R. . . . . . . . . . . . . . 81Figura 24 Grfico da oscilao da carga no circuito LC. . . . . . . . . . . . . . . 83Figura 25 Grfico da oscilao da corrente no circuito LC. . . . . . . . . . . . . . 83Figura 26 Grfico da oscilao subamortecida da carga no circuito RLC. . . . . . 84Figura 27 Grfico da oscilao subamortecida da corrente no circuito RLC. . . . 85Figura 28 Grfico da oscilao superamortecida da carga no circuito RLC. . . . . 87Figura 29 Grfico da oscilao superamortecida da corrente no circuito RLC. . . 87Figura 30 Grfico da oscilao criticamente amortecida da carga no circuito RLC. 89Figura 31 Grfico da oscilao criticamente amortecida da corrente no circuito

    RLC. . . . . . . . . . .