Modelagem Mecânica de Um Sistema de Suspensão Com o Método Quarter

8/19/2019 Modelagem Mecânica de Um Sistema de Suspensão Com o Método Quarter

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Modelagem mecânica de um sistema de suspensão com o método

Quarter-Car

Felinto Rabelo Fonseca Neto. Cód.: 0912116

Universidade Estadual do Maranhão, São Luís, Maranhão, Brasil.

Resumo. A modelagem mecânica é a parte fundamental para se entender bem o

comportamento de um sistema, neste artigo é abordado um exemplo na prática de uma

modelagem para projeto de suspensão amplamente utilizado nas indústrias como pontapé

inicial e já muito estudado nos projetos científicos.

Palavras-chave: Quarter-Car, Modelagem Mecânica, Suspensão, Equações de movimento,

Função de Transferência, Massa, Rigidez, Amortecimento.

Introdução

A finalidade da modelagem

matemática é representar todos os aspectos

importantes do sistema com o propósito de

obter as equações matemáticas (ou

analíticas) que governam o comportamento

do sistema. O modelo matemático deve

incluir detalhes suficientes para conseguir

descrever o sistema em termos de equações

sem torna-lo complexo (S . Rao, 2008).

Assim, neste trabalho será abordado

uma modelagem simplificada ao máximo,

porém com representação adequada para

descrever o correto comportamento do

sistema.

O início

Para começar-se a modelagem de

um sistema é preciso entender as

características do mesmo, dessa forma, a

suspensão de um carro é dotada de

características próprias. A figura abaixo

mostra o modelo idealizado de suspensão

(Quarter-Car).

Onde m2 = massa suspensa do carro (no

modelo Quarter-Car a massa suspensa é

Figura 1: Sistema simplificado de suspensão

(Quarter-Car)

Fonte: (Katsuhiko Ogata, 2000)



tida como um quarto da massa do carro

menos a massa de uma roda e metade dos

elementos da suspensão); m1 = massa não

suspensa (massa das rodas e metade dos

elementos da suspensão); y =

deslocamento da massa suspensa em

relação ao solo; x = deslocamento da

massa não suspensa em relação ao solo; u

= deslocamento do solo; k 2 = rigidez da

mola da suspensão (idealizada em cima da

roda); k 1 = rigidez do pneu e b =

amortecimento do amortecedor da

suspensão (idealizada em cima da roda).

O modelo representado pelo

Quarter-Car é um modelo idealizado, pois

não leva em consideração parâmetros

importantes para a total compreensão do

seu comportamento como o amortecimento

das buchas da suspensão, o amortecimento

por histerese do pneu e até mesmo o

amortecimento intrínseco à mola.

Entretanto alguns estudiosos, na tentativa

de chegar a uma idealização que se

aproxime do sistema criticamente

amortecido (necessário para que haja o

maior tempo de contato do pneu com o

solo) utilizam uma fração do

amortecimento crítico, a chamada taxa de

amortecimento ou fator de amortecimento

ζ (zeta) e assim idealizam os

amortecimentos embutidos.

Achando as equações do sistema e a

função de transferência.

O sistema Quarter-Car descreve um

sistema vibracional com 2 graus de

liberdade que está sobre condições

forçantes gerais (irregularidade da pista).

Dessa forma, para se começar a

modelagem é preciso entender ou supor o

que acontecerá com o sistema quando sob

excitações.

Quando se olha a figura do Quarter-

Car algumas coisas são supostas, por

exemplo: o deslocamento y é maior que o

deslocamento x, ou seja, o deslocamento

da massa suspensa é maior que o da massa

não suspensa, dessa forma tem-se que o

deslocamento sofrido pela mola k 2 será (y

– x). Semelhantemente pode-se dizer que o

deslocamento provindo do chão será maior

que o deslocamento da massa não suspensa

(m1), ou seja, o deslocamento sofrido pela

mola será (u – x).

Sabendo das suposições anteriores

pode-se dizer então que quando o sistema é

excitado, a massa suspensa (m2) puxa a

massa (m1) e consequentemente também é puxada. De igual modo, como u > x, a

massa não suspensa é empurrada pelo

deslocamento “u”. Assim, a mola k 2 está

sob tensão e a mola k 1 sob compressão.

Por isso, quando entramos com as

suposições no diagrama de corpo livre do

sistema Quarter-Car ele se torna como na

figura a seguir.



Figura 2: Diagrama de corpo livre, Quarter-Car

Fonte: Própria

Onde, y’ , y’’ , x’ e x’’ são as derivadas de

primeira e segunda ordem dos

deslocamentos y e x.

Concluindo a fase de suposições

iniciais pode-se então aplicar a segunda lei

de Newton para se achar as equações de

movimento do sistema, que neste caso

específico, são duas. Assim, temos que:

Para m1,

m1.x’’ = ΣFy1 = Fk2 + Fk1 + F b

m1.x’’ = k 2.(y – x) + k 1.(u – x) + b.(y’ – x’)

m1.x’’ = k 2.y – k 2.x + k 1.u – k 1.x + b.y’ –

b.x’

m1.x’’ = k 2.y + k 1.u – x.(k 2 + k 1) + b.y’ –

b.x’

assim, a primeira equação é:

m1.x’’+ x.(k 2 + k 1) + b.x’ – k 2.y – k 1.u – b.y’ = 0

Para m2,

m2.y’’ = ΣFy2 = Fk2 + F b

m2.y’’ = – k 2.(y – x) – b.(y’– x’)

m2.y’’ = – k 2.y + k 2.x – b.y’ + b.x’

assim, a segunda equação é:

m2.y’’ – b.x’ + b.y’ – k 2.x + k 2.y = 0

O difícil em lidar com estas

equações diretamente é que levaria muito

tempo para resolvê-las de forma direta,

pois primeiramente seria preciso o

encontro da equação característica através

da implantação de uma solução particular,

daí então encontrar as raízes das equações,

que neste caso são quatro devido o fato de

que cada equação dá duas raízes. A partir

deste ponto então, achar os modos de

vibração, as condições iniciais e então

encontrar as soluções das equações

(equações que representam o

comportamento das massas em relação ao

tempo).

Por isso, então, trabalhar-se-á com

transformada de Laplace.

Têm-se, reorganizando as duas equações

do movimento:

m1.x’’+ b.x’ + x.(k 2 + k 1) = – b.y’ – k 2.y –

k 1.u

m2.y’’ + b.y’ + k 2.y = b.x’ + k 2.x



Aplicando-se a transformada de Laplace

para as equações, resulta:

[(m1.s

2

+b.s + (k 1 + k 2)].X(s) = (b.s +k 2).Y(s) + k 1.U(s)

[m2.s2 + b.s + k 2].Y(s) = (b.s + k 2).X(s)

Resolvendo-se estas duas equações para se

encontrar as funções de transferência da

massa suspensa e da não suspensa têm-se,

[Y(s)/U(s)] = (k 1.b.s + k 1.k 2)/{m1.m2.s4 +

(m1 + m2).b.s3 + [k 1.m2 + (m1 + m2).k 2].s2

+ k 1.b.s + k 1.k 2}

e

[X(s)/U(s)] = (k 1.m2.s2 + k 1.b.s + k 1.k 2)/

{m1.m2.s4 + (m1 + m2).b.s3 + [k 1.m2 + (m1

+ m2).k 2].s2 + k 1.b.s + k 1.k 2} .

Aplicando em CAE

Estas duas equações de

transferência agora podem mostrar o

comportamento das duas massas, basta

para isso saberem-se as constantes

utilizadas. Dessa forma, adotando então

constantes utilizadas para se fazer o

cálculo da uma suspensão idealizada pode-

se através do software MATLAB

visualizar-se o curso das massas em

relação ao tempo.

A seguir estão os códigos utilizados

em MATLAB para execução dos gráficos.

%% Quarter-Car

m1 = 20; % em kg massa nao

suspensa m2 = 42.75; % em kg massa suspensa k1 = 41302.55; % dez vezes k2

(Margolis et al, 2001).

k2 = 4130.255; %em N/m % Usar-se-á taxas de amortecimento

(zeta) para cálculo comparativo

entre massas, % assim achando-se também o

coeficiente de amortecimento. b1 = 2*(1)*sqrt(k2*m2); % 1 para

sistema criticamente amortecido; b2 = 2*(1.6)*sqrt(k2*m2); % 1.6

para sistema super-amortecido; b3 = 2*(0.6)*sqrt(k2*m2); % 0.6

para sistema sub-amortecido; %% Calcula-se agora as matrizes

numeradores e denominadores. % para função de tranferência da

massa suspensa num1 = [k1*b1 k1*k2]; % para

massa suspensa (criticamente

amortecido) den1 = [m1*m2 (m1+m2)*b1

(k1*m2+(m1+m2)*k2) k1*b1 k1*k2]; num2 = [k1*b2 k1*k2]; % para

massa suspensa (super-amortecido) den2 = [m1*m2 (m1+m2)*b2

(k1*m2+(m1+m2)*k2) k1*b2 k1*k2]; num3 = [k1*b3 k1*k2]; % para

massa suspensa (sub-amortecido) den3 = [m1*m2 (m1+m2)*b3

(k1*m2+(m1+m2)*k2) k1*b3 k1*k2]; % para função de transferência da

massa não suspensa num11 = [k1*m2 k1*b1 k1*k2]; %

para massa não-suspensa

(criticamente amortecido) den11 = [m1*m2 (m1+m2)*b1

(k1*m2+(m1+m2)*k2) k1*b1 k1*k2]; num22 = [k1*m2 k1*b2 k1*k2]; %

para massa não-suspensa (super-


(k1*m2+(m1+m2)*k2) k1*b2 k1*k2]; num33 = [k1*m2 k1*b3 k1*k2]; %

para massa não-suspensa (sub-


(k1*m2+(m1+m2)*k2) k1*b3 k1*k2]; %% Gráfico t = 0:0.001:1; %tempo g1 = impulse(num1,den1,t); g2 = impulse(num2,den2,t); g3 = impulse(num3,den3,t); g4 = impulse(num11,den11,t); g5 = impulse(num22,den22,t); g6 = impulse(num33,den33,t); g7 = step(num1,den1,t); g8 = step(num2,den2,t);



g9 = step(num3,den3,t); g10 = step(num11,den11,t); g11 = step(num22,den22,t); g12 = step(num33,den33,t); plot(t,g1,'red',t,g4); %Comparação

entre massa suspensa e nãosuspensa para impulso -

criticamente amortecido plot(t,g2,'red',t,g5); %Comparação

entre massa suspensa e não

suspensa para impulso - super-

amortecido plot(t,g3,'red',t,g6);%Comparação


suspensa para impulso - sub-

amortecido plot(t,g7,'red',t,g10);

%Comparação entre massa suspensa e

não suspensa para degrau -criticamente amortecido plot(t,g8,'red',t,g11);

%Comparação entre massa suspensa e

não suspensa para degrau - super-

amortecido plot(t,g9,'red',t,g12);%Comparação


suspensa para degrau - sub-

amortecido plot(t,g1,'red',t,g2,'g',t,g3,'k')

; plot(t,g4,'red',t,g5,'g',t,g6,'k')

; plot(t,g7,'red',t,g8,'g',t,g9,'k'); plot(t,g10,'red',t,g11,'g',t,g12,'

k');

Os gráficos gerados são dos tipos

abaixo.

Conclusão

Foi abordada a necessidade de

conhecerem-se os parâmetros usados para

iniciar-se a modelagem de sistemas

mecânicos assim como alguns passos para

se começar a mesma. Aqui foi introduzido

um sistema mecânico no qual se pode ver

todas as fases para construção da

modelagem, observando os parâmetros

iniciais, o diagrama de corpo livre, as

considerações iniciais, a aplicação da

Gráfico 1: Comparação entre massa suspensa e nãosuspensa com entrada de impulso (super-amortecido)

Fonte: Própria

Gráfico 2: Comparação entre massa suspensa e não

suspensa com entrada de impulso (criticamenteamortecido)

Fonte: Pró ria

Gráfico 3: Comparação massa suspensa com entrada de

impulso para os três amortecimentos

Fonte: Própria



segunda lei de Newton para a aquisição das

equações de movimento, a resolução do

sistema de equações de Laplace para

achar-se as funções de transferência e a

execução da mesma.

Bibliografia

Ogata, Katsuhiko. Engenharia de

controle moderno. 5. ed. São Paulo:

Pearson Prentice Hall, 2010.

Rao, Singiresu S. Vibrações Mecânicas.

4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,

2008.

Milliken, William F.; Douglas L. Milliken.

Race car vehicle dynamics. 1911

Mechanical Modeling of a suspension system, the method Quarter Car

Felinto Rabelo Fonseca Neto. Code: 0912116

State University of Maranhão, São Luís, Maranhão, Brazil.

Abstract. The mechanical modeling is a key part to fully understand the behavior of a system,

in this article is discussed an example in practical of one modeling for a suspension design

widely used in industries as a starting point for understanding the modeling and that is already

much studied in projects scientific projects.

Keywords: Quarter-Car, Mechanical Modeling, Suspension, equations of motion, Transfer

Function, Mass, Stiffness, Damping.

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Modelagem Mecânica de Um Sistema de Suspensão Com o Método Quarter