Modelagem do Problema doPndulo Invertido

Prof. Rodrigo da Silva Guerra, Ph.D.

Novembro de 2012

Resumo

O equilbrio dinmico de um pndulo invertido um problemaclssico usado como referncia para se testar e comparar diferentesestratgias de controle bem como ferramenta didtica. Este trabalhodemonstra como o problema do pndulo invertido pode ser modelado.

1 Introduo

A figura 1 ilustra uma das muitas possveis implementaes do problema dopndulo invertido. O pndulo consiste em uma haste rgida de comprimentodefinido, presa por uma de suas extremidades a um piv que lhe permite girarlivremente. O ngulo de inclinao desta haste pode ser medido atravs daleitura de um encoder incremental ligado ao eixo do piv que a segura. Estesistema montado sobre uma mesa de deslocamento linear capaz de mover-se sobre trilhos. Uma flange prende esta mesa a um fuso ao qual se aplicaum torque atravs de um motor de assncrono. O problema consiste emcontrolar o torque aplicado pelo motor, causando um movimento linear namesa de forma a manter o pndulo na posio vertical, usando para isto aretroalimentao do ngulo lido pelo encoder.

2 Modelo

Existem diversas formas de se modelar o problema do pndulo invertido,resultando emmodelos simples ou complexos dependendo do nvel de detalhe.Para o modelo aqui descrito sero feitas algumas simplificaes, ignorando-sepor exemplo as foras de atrito bem como as possveis folgas e deformaesdos corpos.

1

Figura 1: Exemplo de implementao do problema do pndulo invertido.

2

Figura 2: Modelo da haste.

Assume-se que a haste um corpo rgido, que no sofre deformao, deformato cilndrico alongado, feita de um material de densidade uniforme.Esta haste de massa, espessura e comprimento definidos pode ser modeladapor uma haste hipottica equivalente, de comprimento definido, mas semespessura nem massa, na ponta da qual se prende uma massa hipotticaconcentrada em um nico ponto, conforme ilustrado pela figura 2.

A figura 3 descreve o modelo simplificado do sistema completo.

3 Pndulo Estacionrio

Pela segunda lei de Newton, aplicada ao caso do movimento rotacional, otorque do sistema deve ser igual ao momento de inrcia multiplicado pelaacelerao angular:

= I (1)

O torque devido gravidade dado pela alavanca de comprimentol sen (componente horizontal do comprimento l) multiplicada pelo pesom2 g da massa puntual:

= m2 g l sen (2)

O momento de inrcia da haste conceitual, modelada conforme descritona seo 2 dado por:

I = m2 l2 (3)

Substituindo as equaes (2) e (3) na equao (1) tem-se:

m2 g l sen = m2 l2

3

Figura 3: Modelo simplificado de um pndulo invertido sobre uma mesa dedeslocamento linear.

Dividindo ambos lados da equao acima por m2 l2 encontramos a equa-o que descreve o movimento do pndulo:

=g

lsen

4 Modelagem Dinmica

Na mecnica clssica, o comportamento de um sistema dinmico descritopelas chamadas equaes de movimento. Nos casos mais simples as equaesde movimento podem ser obtidas atravs da aplicao da segunda lei deNewton, F = ma. J em casos mais gerais, prefere-se a formulao propostapela mecnica Lagrangiana.

A Lagrangiana de um sistema dinmico uma funo da mecnica cls-sica que descreve a dinmica do sistema, definida como:

L = T VOnde T a energia cintica do sistema e V sua energia potencial. Esta

funo aplicada na equao de Euler-Lagrange:

d

dt(L

q) = Qext (4)

4

Onde q = [q1 q2 qn]T o vetor de estado, composto pelas variveisque descrevem o estado do sistema, Qext = [Qext1 , Qext2 , ..., Qextn ] o vetor deforas externas generalizadas e Qextn =

F extn um somatrio das foras

externas para cada varivel de estado. Em um sistema com n variveis deestado a equao (4) resulta em um sistema de n equaes de movimento,correspondendo s derivadas parciais da Lagrangiana com relao a cadavarivel de estado qi. Apesar da Lagrangiana de um sistema no ser nica, asoluo de qualquer Lagrangiana na equao de Euler-Lagrange resulta nasmesmas equaes de movimento do sistema.

4.1 Energia Cintica

A energia cintica de um corpo em movimento dada por

T =mv2

2

onde m sua massa e v sua velocidade.Para calcular a energia cintica do pndulo invertido modelado conforme

a figura 3, temos que considerar o movimento linear da mesa, e o movimentoangular da massa puntual da haste.

A velocidade da mesa dada pela derivada de sua posio x no eixohorizontal:

v1 = x

A energia cintica devido ao movimento horizontal da mesa dada por:

TM =Mx2

2(5)

A energia cintica devido ao movimento da massa pontual dada por

Tm = T1 + T2 + TI

= T1 + T2 +I2

2(6)

J a velocidade da massa puntual pode ser descrita atravs de suas com-ponentes vertical e horizontal. No eixo vertical a velocidade da massa pun-tual corresponde derivada de sua altura, que dada por l cos :

v2 =d

dt(l cos )

A energia cintica desta componente dada por:

5

T1 =1

2m

(d

dtl cos

)2=ml2

2

(d

dtcos

)2=ml2 2 sen2

2

No eixo horizontal a velocidade dada pela derivada da posio da massapuntual no eixo horizontal, que encontrada atravs da composio da com-ponente horizontal devida ao ngulo do pndulo l sen combinada com aposio horizontal da mesa x.

v3 =d

dt(x+ l sen )

A energia cintica devido ao movimento horizontal da massa pontual dada por:

T2 =1

2m[

d

dt(x+ lsen)]2

=m

2[x+ l(cos)]2

=mx2

2+mlxcos +

ml22cos2

2

Sendo Tm = T1 + T2, combinando as energias cinticas encontradas nasequaes (5) e (6) temos a energia cintica total do sistema:

T = TM + Tm +I2

2

=Mx2

2+ml22sen2

2+mx2

2+mlxcos +

ml22cos22

+I2

2

Como sabe-se que sen2u + cos2u = 1, ento a equao acima pode sersimplificada como:

T =(M +m)x2 +ml22

2+mlxcos +

I2

2(7)

6

4.2 Energia Potencial

A energia potencial de um corpo rgido suspenso sujeito fora da gravidade dada por:

V = mg h

Onde m a massa do corpo, g a acelerao da gravidade, e h a altura docorpo em relao a uma altura base de referncia.

No caso do pndulo temos a energia potencial devido gravidade sobre amassa puntual, cuja altura dada pela componente vertical de sua posio,l cos .

Esta energia potencial portanto dada pela equao:

V = m2 g l cos (8)

4.3 Equaes de Movimento

Combinando a energia cintica da equao (7) e a energia potencial da equa-o (8) encontramos a Lagrangiana:

L = T V

=(M +m) x2 +ml2 2

2+ (ml x mg l) cos + I

2

2

As equaes de movimento so encontradas derivando-se a equao acimacom respeito s variveis de estado x e e aplicando estas derivadas parciaisna equao (4). Resolvendo primeiramente as derivadas parciais, encontra-se:

L

x= (M +m)x+ml cos ,

L

x= 0

L

= ml2 +ml x cos + I ,

L

= (mg l ml x ) sen

Aplicando a frmula de Euler-Lagrange para o movimento em x:

d

dt

L

x Lx

=

F extn

d

dt[(M +m)x+ (mlcos] 0 = u fa

(M +m)x+mlcos ml2sen + fa = u

7

E aplicando para o movimento rotacional theta

d

dt

L

L

= 0

d

dt[ml2 +mlxcos + I] (mgl mlx)sen = 0

(ml2 + I) +mlxcos mglsen = 0

Resultando nas equaes de movimento:

(M +m)x+ml cos ml 2 sen + fa = u (9)(ml2 + I) +mlxcos mglsen = 0 (10)

4.4 Representao Compacta

O sistema descrito pelas equaes (9) e (10) pode ser representado de maneiramais compacta na forma matricial, em funo das variveis x e :[

M +m ml cos mlcos ml2 + I

]

M

[x

]+

[ ml 2 sen mgl sen

]+

[10

]fa =

[10

]u (11)

Note que havendo a matriz M1 possvel se encontrar uma soluofechada para x e . Para verificar seM1 existe podemos comear verificandose |M | 6= 0. Lembrando que o determinante de uma matriz 22 dado por: a bc d

= ad cbEnto temos |M | = (M +m)(ml2+I) (mlcos)2 |M | 6= 0 . A soluopara M1 trivial, bastando lembrar que a inversa de uma matriz 2 2 :[

a bc d

]1=

1

ad cb[

d bc a

]Sendo assim encontramos:

M1 =1

(M +m)(ml2 + I) (mlcos)2[ml2 + I ml cos mlcos M +m

]

8

Figura 4: Linearizao.

Desta maneira a equao (11) pode ser escrita como:[x

]=M1

[ml 2 sen mgl sen

]M1

[10

]fa +M

1[10

]u

=

([(ml2 + I)(ml2 sen (ml)22cossen(ml)22sencos + (M +m)mglsen

][ml2 + Imlcos

]fa +

[ml2 + Imlcos

]u

)(M +m)(ml2 + I) (mlcos)2

5 Linearizao

Considerando que deseja-se manter o pndulo verticalmente em equilbrio,as equaes de movimento podem ser linearizadas em torno do ponto 0.

Conforme demonstrado graficamente na figura 4 a linerizao de umafuno f(x) em torno do ponto x = a dada pela equao:

f(x) f(a) + f (a)(x a) (12)Definimos assim duas funes, sen e cos , a serem linearizadas em

torno ponto de equilbrio = 0, onde aplicando a linearizao da equao(12) encontramos:

sen sen 0 + cos 0 = (13)cos cos 0 sen 0 = 1 (14)

9

Substituindo as linearizaes (13) e (14) nas equaes (9) e (10), e negli-genciando o termo de alta ordem 2 0 encontramos:

(M +m)x+ml + fa = u

(ml2 + I) +mlxmgl = 0

6 Espao de Estados

A partir da equao ?? possvel se encontrar a representao do sistemalinear em espao de estados. Para isso definimos o vetor de estados q =[x x ]T , e a partir da encontramos as matrizes A e B que satisfazema equao q = Aq + B u, onde a entrada u = f representa a fora linearexercida sobre a mesa. Assim encontramos:

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