Modelagem de pendulo invertido, trabalho monografico

12

ASSOCIAÇÃO EDUCACIONAL DOM BOSCO

FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE

CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA COM ÊNFASE EM ELETRÔNICA

ALEXANDRE DA SILVA MIGUEL

BRUNO CARVALHO DOS SANTOS

ENOQUE DE JESUS SILVA

ESTUDO, CONSTRUÇÃO E MODELAGEM DE UM PÊNDULO INVERTIDO PARA O

LABORATÓRIO DE CONTROLE DA FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE

RESENDE/RJ

2011

13






Orientador: Prof. MSc. André Tomaz de Carvalho

RESENDE/RJ

2011

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado à Associação Educacional

Dom Bosco como requisito parcial para

a obtenção dos graus de Engenheiros

Eletricistas com Ênfase em Eletrônica.

14






BANCA EXAMINADORA

______________________________________________

Prof. M.Sc Leandro Coimbra da Fonseca

______________________________________________

Prof. M.Sc André Tomaz de Carvalho

______________________________________________

Prof. M.Sc Vinicius Maciel Pinto

APROVADO COM A NOTA:______

Resende, ____ de _____________ de 2011

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado à Associação Educacional

Dom Bosco como requisito parcial para

a obtenção dos graus de Engenheiros

Eletricistas com Ênfase em Eletrônica.

15

DEDICATÓRIA

Aos nossos familiares que sempre

compreenderam nossa ausência e nos

deram todo o apoio necessário

dedicamos este trabalho.

16

AGRADECIMENTOS

Aos nossos mestres e amigos que nos

transmitiram seus conhecimentos e

experiências profissionais com dedicação

e carinho propiciando o desenvolvimento

deste trabalho, expressamos os nossos

maiores agradecimentos.

17

EPÍGRAFE

"Paciência e perseverança têm o

efeito mágico de fazer as

dificuldades desaparecer e os

obstáculos sumirem."

John Quincy Adams

18

RESUMO

O controle automatizado está presente em nosso dia-a-dia, principalmente nas fábricas onde

podemos encontrar diversas malhas cada qual com os mais diversos algoritmos de controle. Com

o objetivo de solidificar e aplicar o conhecimento e as técnicas de controle adquiridas ao longo do

curso, foi desenvolvido um sistema de controle para uma planta de características não lineares, ou

seja, oferece um alto grau de complexidade para o controle. O pêndulo invertido é um ótimo

exemplo de um sistema não linear sendo por isto nosso objeto de estudo.

Devido a suas características de instabilidade a planta do pêndulo invertido é um modelo

ideal para avaliar o desempenho de diferentes técnicas de controle. Este trabalho apresenta a

construção e modelagem de uma planta de um pêndulo invertido.

O controle do pêndulo invertido é um dos exemplos mais importantes na teoria de

controle e é freqüentemente citado em diversas literaturas de controle. Consiste em uma haste

solidária a um eixo livre de um carro deslizante em trilhos, sendo o carro sobre trilhos o elemento

responsável por equilibrar o pêndulo na posição vertical por meio do deslocamento da base do

pêndulo. Esta estrutura é o que podemos chamar de um sistema não linear cuja complexidade

torna o controle por vezes impraticável e a implementação de um controlador para este sistema

requer uma série de considerações e simplificações. Pode-se associar a esse modelo ao controle

de posição de um foguete na fase de lançamento, onde o objetivo do problema de controle de

posição é manter o foguete na posição vertical.

Palavras-chave: Pêndulo invertido, controle automatizado, sistema não linear.

19

ABSTRACT

The automatized control is present in ours day-by-day, mainly in the plants where we can

will find diverse meshes each one with the most diverse algorithms of control. With the aim to

make solid and to apply the knowledge and the acquired techniques of control along the course,

was developed a system of control for a plant of not linear characteristics, that is, it offers one

high degree of complexity for the control. The inverted pendulum is an optimum example of a

not linear system being for this our object of study.

Due to its characteristics of instability the plant of the inverted pendulum is an ideal

model to evaluate the performance of different techniques of control. This work presents the

construction and modeling of a plant of an inverted pendulum.

The control of the inverted pendulum is one of the examples most important in the control theory

and frequently is cited in diverse literatures of control. It consists of a solidary rod to a free axle

of a slippery car in tracks, being the car on tracks the element responsible to balance the

pendulum in the vertical position by means of the displacement from the base of the pendulum.

This structure is what we can call a not linear system whose complexity returns the impracticable

control sometimes and the implementation of a controller for this system requires a series of

considerations and simplifications. It can be associated with this model to the control of position

of a rocket in the launching phase, where the aim of the problem of position control is keeps the

rocket in the vertical position.

Key words: Inverted pendulum, automatized control, not linear system.

20

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 2.1: Pêndulo simples ...........................................................................................14

Figura 2.2: Equilíbrio corda bamba e equilíbrio de pratos .............................................14

Figura 2.3: Planta de pêndulo invertido ..........................................................................15

Figura 2.4: Eixo de rotação de um corpo qualquer .........................................................16

Figura 2.5: Momento de Inércia de um Paralelepípedo ..................................................17

Figura 2.6: Funcionamento das transmissões por roda de fricção e engrenagens ..........17

Figura 2.7: Esquema de funcionamento das transmissões por correias e correntes .......19

Figura 2.8: Pinagem do PIC 16F628A ...........................................................................21

Figura 2.9: Esquema do circuito para a comunicação RS232 ........................................22

Figura 2.10: Vista superior da placa NI USB-6009 ........................................................23

Figura 2.11: Vista em corte do potenciômetro ...............................................................24

Figura 2.12: Diagrama de blocos de um potenciômetro .................................................24

Figura 2.13: Funcionamento do encoder incremental ....................................................25

Figura 2.14: Equivalente elétrico de um motor DC ........................................................26

Figura 3.1: Pêndulo livre ................................................................................................28

Figura 3.2: Programa em Labview para medir o atrito do potenciômetro .....................31

Figura 3.3: Forma de onda do movimento oscilatório característico do pêndulo...........31

Figura 3.4: Média do valor final deslocando o sinal para eixo zero ...............................32

Figura 3.5: Resposta natural retificada e com filtro de 5Hz ...........................................32

Figura 3.6: Curva amortecida e fator de amortecimento ................................................33

Figura 3.7: Diagrama do modelo matemático usando o Simulink .................................34

Figura 3.8: Curva de resposta através do Simulink ........................................................34

Figura 4.1: Planta do pêndulo invertido .........................................................................35

Figura 4.2: Dispositivo de acoplamento do pêndulo ......................................................36

Figura 4.3: Projeto da estrutura do carro ........................................................................36

Figura 4.4: Estrutura do carro .........................................................................................37

Figura 4.5: Projeto conjunto de transmissão de movimento ..........................................37

Figura 4.6: Conjunto de transmissão de movimento extremidade 1 ..............................38

Figura 4.7: Conjunto de transmissão de movimento extremidade 2 ..............................38

Figura 4.8: Projeto fixação do potenciômetro ................................................................39

Figura 4.9: Fixação do potenciômetro ............................................................................39

Figura 4.10: Montagem do encoder ................................................................................40

Figura 4.11: Montagem do limite fim de curso 1 ...........................................................41

Figura 4.12: Montagem do limite fim de curso 2 ...........................................................41

Figura 4.13: Diagrama eletrônica do drive de potência ..................................................42

Figura 4.14: Circuito montado do drive de potência ......................................................42

Figura 4.15: Circuito eletrônico completo ......................................................................44

Figura 4.16: Gravador de PIC .........................................................................................44

Figura 6.1: Pulsos aplicados ao motor ............................................................................51

Figura 6.2: Aquisição do sinal do encoder .....................................................................52

Figura 6.3: Sinal do encoder variável .............................................................................52

Figura 6.4: STFT aplicada ao sinal do encoder ..............................................................53

Figura 6.5: Extração da curva de velocidade do carro ...................................................53

Figura 6.6: Curva de velocidade do motor......................................................................54

Figura 6.7:Curva de resposta do sistema ........................................................................54

Figura 6.8:Função de transferência estimada pelo Labview ..........................................55

Figura 6.9: Root Locus da planta com pólos no semi plano direito................................55

Figura 6.10: Root Locus da planta com controle.............................................................56

Figura 6.11: Resposta ao degrau sem o controle.............................................................57

Figura 6.12: Resposta ao degrau com o controle.............................................................57

21

LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1: Medições de tensão e velocidade para determinação de Ke ........................49

22

SUMÁRIO

1 – INTRODUÇÃO ........................................................................................................12

2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................14

2.1 – PÊNDULO .............................................................................................................14

2.2 – MOMENTO DE INÉRCIA ...................................................................................15

2.3 – MECANISMOS DE TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO .................................17

2.3.1 – Parâmetros de um Sistema de transmissão de Movimento .................................19

2.3.2 – Polia Correia .......................................................................................................19

2.4 – SISTEMA DE PROCESSAMENTO ....................................................................19

2.4.1 – Microcontroladores .............................................................................................19

2.4.1.1 – Microcontrolador PIC ......................................................................................20

24.1.1.1 – PIC 16F628 ....................................................................................................20

2.4.2 – Comunicação RS-232 .........................................................................................21

2.4.3 – Placa NI-USB-6009 ............................................................................................22

2.5 – TRANSDUTORES ................................................................................................23

2.5.1 – Potenciômetro .....................................................................................................23

2.5.1.1 – Modelo Matemático do Potenciômetro ...........................................................24

2.5.2 – Encoder Relativo ou Incremental .......................................................................25

2.6 – MOTOR DC ..........................................................................................................26

2.7 – CRITÉRIOS DE ESTABILIDADE ......................................................................27

3 – MODELAGEM DO PÊNDULO INVERTIDO .......................................................28

3.1 – MODELAGEM TEÓRICA ...................................................................................28

3.2 – ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS ...................................................................30

3.3 – VALIDAÇÕES DOS PARÂMETROS OBTIDOS ..............................................34

4 – CONCEPÇÃO DO PROJETO .................................................................................35

4.1 – ESTRUTURA MECÂNICA .................................................................................35

4.1.1 – Fixação da Haste .................................................................................................35

4.1.2 – O carro ................................................................................................................36

4.1.3 – Dimensões do Redutor do Motor ........................................................................37

4.1.4 – Fixação dos Sensores ..........................................................................................38

4.1.4.1 – Potenciômetro ..................................................................................................38

4.1.4.2 – Encoder ............................................................................................................39

4.1.4.3 – Limites Fim de curso .......................................................................................40

4.2 – DRIVER DE POTÊNCIA .....................................................................................41

4.2.1 – Programação do PIC 16F298 ..............................................................................44

5 – MODELAGEM DO CONJUNTO CARRO MOTOR .............................................45

5.1 – EQUAÇÕES DO MOTOR ....................................................................................45

5.2 – RELAÇÕES DE FORÇA E VELOCIDADE NO CONJUNTO ...........................45

5.3 – DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO ELETROMECÂNICA ...........................................46

6 – DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS.............................................................49

6.1 – PARÂMETROS DO CARRO................................................................................49

6.2 – ESTIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANFERÊNCIA ..........................................51

6.3 – ROOT LOCUS DA PLANTA ...............................................................................55

6.4 – SIMULAÇÃO DO CONTROLE ..........................................................................56

7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................58

7.1 – CONCLUSÃO .......................................................................................................58

7.2 – IMPLEMENTAÇÕES FUTURAS ........................................................................58

8 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................59

9 – ANEXO 1 –PROGRAMA DO PIC ..........................................................................61

9.1 – ANEXO 2 – CÓDIGO FONTE PARA PLOTAR ROOT LOCUS.......................67

23

1 – INTRODUÇÃO

O pêndulo invertido é um sistema mecânico muito útil no estudo de controle de posição

de sistemas instáveis como o controle de posição de veículos espaciais na fase de lançamento

(OGATA 2003).

Este trabalho tem como objetivo a construção da planta física do pêndulo invertido, a

modelagem teórica do sistema, a obtenção dos parâmetros da planta e a modelagem real do

sistema. Visando estruturar o laboratório de controle da Faculdade de Engenharia de Resende,

proporcionando mais recurso para a disciplina de controle de servomecanismos.

Durante a construção da planta física e na modelagem do pêndulo invertido foi percebido

a interação das áreas de eletrônica, mecânica, cálculo e outras que se interagem de forma

harmoniosa para que seja possível a aplicação do controle automatizado na engenharia.

Com a planta montada foi possível à identificação dos parâmetros do pêndulo para

realização de simulações no Matlab®. Os parâmetros do pêndulo invertido foram basicamente

obtidos através da utilização do PIC 16F628A e uma placa da National NI USB-6009, ambos

com interface com o Labview®, software utilizado para a programação dos ensaios no pêndulo

invertido.

O controle do pêndulo invertido é análogo a brincadeira de equilibrar o cabo da vassoura

com as pontas dos dedos, o cabo tende a cair para o lado e para manter o cabo na posição vertical,

então, desloca-se a mão de uma lado para outro, no nosso caso o sistema carro-motor que vai

manter o pêndulo em equilíbrio.

A estabilidade do pêndulo invertido se dá por meio de seu posicionamento em paralelo

com eixo vertical, contudo devido a não linearidade do modelo matemático uma vez posicionado

na vertical ele não irá manter-se em equilíbrio tendendo a cair. Para evitar sua queda buscou-se

através do controlador manipular um atuador, no nosso caso um motor CC, para que haja um

deslocamento horizontal do ponto em que está fixado o pêndulo, este deslocamento tende a

manter o ângulo de inclinação próximo à zero mantendo assim o pêndulo na posição vertical.

No capítulo 2 serão abordados alguns conceitos teóricos para que se possa entender

melhor todo o conteúdo da monografia, serão apresentados conceitos de pêndulo, momento de

inércia e mecanismos de transmissão de movimento, para um melhor entendimento da parte

mecânica do projeto. Também serão descritos os conceitos, características e funcionamento dos

microcontroladores, inclusive um detalhamento do PIC 16F628A utilizado no projeto, da

comunicação RS232 utilizada entre o PIC e o PC, da placa da National NI USB-6009 utilizada

como aquisição de dados, do potenciômetro e do encoder incremental, para um melhor

24

entendimento da parte eletrônica do projeto e também serão abordados conceitos sobre controle

de sistemas instáveis.

O capítulo três apresenta uma modelagem do pêndulo invertido onde é possível ter uma

ideia da complexidade dos sistemas não lineares. De posse dessa modelagem é chegada a hora da

estimação dos parâmetros do modelo através de ensaios realizados em laboratório com o pêndulo

invertido para a determinação da função de transferência do sistema e simulação no Matlab®.

O capítulo quatro trata de forma detalhada como foi realizada a concepção da planta. Na

parte mecânica, será mostrada toda a metodologia e as técnicas empregadas para a construção da

planta do pêndulo invertido. Ainda nessa ideia de concepção segue com a descrição da parte

eletrônica da planta, onde são mencionados com detalhes os componentes e ferramentas

utilizadas.

O capítulo cinco apresenta uma modelagem teórica do conjunto carro-motor e os ensaios

realizados para a determinação dos parâmetros necessários para se obter a função de transferência

do conjunto carro-motor.

Por fim, segue a conclusão do trabalho e também ideias para projetos futuros que podem

usar este trabalho como base e além de servir como mais uma ferramenta para análise de sistemas

de controle.

25

2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 PÊNDULO

Existem dois tipos de pêndulo, Um pêndulo simples é um corpo ideal que

consiste de uma partícula suspensa por um fio inextensível e de massa

desprezível. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o

pêndulo oscilará em um plano vertical sob à ação da gravidade; o

movimento é periódico e oscilatório.

(http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/pêndulo/PênduloSimples_HTM

L.htm)

Figura 2.1: Pêndulo simples

Fonte: <http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/pêndulo/PênduloSimples_HTML.htm>

O outro tipo de pêndulo é chamado de pêndulo invertido e para entendimento pode ser

feita uma analogia com um equilibrista de pratos ou de corda bamba, onde cada um busca

controlar a posição do centro de gravidade mantendo-se em cima da corda ou não deixando cair

os pratos.

Figura2.2: Equilíbrio corda bamba e equilíbrio de pratos

Fonte:<http://minhasaladeestudos.blogspot.com/2011/05/na-corda-bamba.html>

Para o estudo de algoritmos de controle existem algumas opções de plantas para

implementação do pêndulo invertido e em geral a mais utilizada é a que tem como elemento

26

atuador um carro que se desloca no eixo X e tem fixo uma haste com eixo livre, conforme

mostrado na figura 2.3.

Figura 2.3:Planta de pêndulo invertido

Fonte: <http://paginas.fe.up.pt/~ei02009/projectos/Pêndulo.pdf>

O pêndulo invertido é um sistema mecânico muito útil no estudo de

controle de posição de sistemas instáveis como o controle de posição de

veículos espaciais na fase de lançamento.

Ogata(2003apud<http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895

/F809/F809_sem1_2010/CarlosK-Saa_F609_RF2.pdf>)

Como pode ser observado o pêndulo invertido é um sistema naturalmente instável cujo

controle só pode ser exercido em uma pequena região, somente consegue-se estabelecer o

controle do pêndulo se a variação de sua posição vertical for muito pequena, isto quer dizer que

se houver uma perturbação muito grande não seria possível mantê-lo na posição vertical.

Matematicamente o objetivo é manter o ângulo da haste bem próximo a zero, este controle é feito

através dos movimentos do carro que buscam equilibrar a haste.

2.2 MOMENTO DE INÉRCIA

BEER; JOHNSTON (2010) define o momento de inércia como a

resistência que um corpo oferece ao movimento e consideram para

exemplo um corpo com uma pequena massa ∆m presa a uma haste de

massa desprezível que pode girar livremente em torno de um eixo AA’

conforme figura 2.4.

27

Figura 2.4: Eixo de rotação de um corpo qualquer

Fonte: BEER; JOHNSTON; Mecânica Vetorial para Engenheiros (P.655)

Se for aplicado um binário ao sistema, a haste e a massa, consideradas

inicialmente em repouso, começaram a girar em torno de AA’. Deseja-se

indicar o tempo necessário para o sistema alcançar uma velocidade de

rotação proporcional a massa ∆m e ao quadrado da distância r. O produto

r2∆m fornece, portanto, uma média da inércia do sistema, isto é, da

resistência que o sistema oferece quando tentamos colocá-lo em

movimento. Por esta razão, o produto r2∆m é denominado momento de

inércia da massa ∆m em relação ao eixo AA’

Então o momento de inércia é dado pela integral a seguir:

dm (2.1)

Para algumas geometrias básicas os momentos de inércia já são tabelados para fins de

praticidade. No caso da haste do pêndulo podemos considerá-la como sendo um paralelepípedo

cujo momento de inércia é dado conforme equação 2.2.

Paralelepípedo de massa M e de lados a, b e c relativo a um eixo perpendicular a uma de suas

faces, conforme figura 2.5.

Figura 2.5: Momento de Inércia de um Paralelepípedo

Fonte: <http://www.fisica.ufs.br/egsantana/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm>

28

Dividimos o paralelepípedo em placas retangulares de lados a e b e de espessura dx. O

momento de inércia de cada uma das placas relativo seu eixo de simetria é dada pela equação 2.2.

(2.2)

2.3 MECANISMOS DE TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO

Engrenagens que inter–relacionadas entre si ou através de correia de modo coerente para

produzir ou transmitir forças e movimentos, dotada de dentes, transmite sem deslizamento os

movimentos e forças diretamente á outra engrenagem através dos seus dentes com a finalidade de

gerar trabalho.

Exemplo:

Figura 2.6: Esquema de funcionamento das transmissões por roda de fricção e engrenagens.

Fonte: Apostila de transmissão de movimentos do Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo.

Eficiência na transmissão do movimento:

)(

)(

entradaPotência

saídaPotência (2.4)

*Valores típicos 75% a 95%

Potência mecânica de um motor = Torque x velocidade = Tx

Relação de engrenagens e seus ângulos de deslocamento

)(

)(

out

inN (2.5)

2

1

N

NN , sendo 1N e 2N o número de dentes (2.6)

2.22

1.11

RFT

RFT, como 21 FF , logo N

R

R

T

T

2

1

2

1(com o sistema parado) (2.7)

29

xPinPout (2.8)

iTiTout ... 0 (2.9)

Sendo índice ―0‖ = índice 1 e índice‖i‖=índice 2

1

2

2

2

1

1

2

1

2

1

R

R

R

V

R

V

( com o sistema em movimento ) (2.10)

iN

N

TiN

NT

.1

2

.2

10

0

(2.11)

NTTN

NTi

N

N.2.1.

1

2..

2

11 (sistema para 0 ) (2.12)

2.²

1 JN

J Sendo J o momento de inércia (2.13)

A velocidade das engrenagens não é influenciada pelas perdas, só o torque é influenciado

pelas perdas. Isso porque as velocidades 1 e 2 estão ―amarradas‖ entre si pela relação entre os

raios 1R e 2R das engrenagens e devido à própria ligação entre elas.

30

2.3.1 Parâmetros de um sistema de transmissão de movimento

Relação de transmissão Efetiva = N

Eficiência= - Pode ou não depender do sentido da transmissão do movimento. No caso

das engrenagens, independe do sentido (tanto faz girar uma engrenagem ou a outra, ou

seja, usar uma ou outra como entrada e saída).

Folga - Em ângulo (mecânica rotação) e em distância linear (mecânica translação). Afeta

a precisão.

Rigidez - De torção e de translação.

Capacidade de acionamento reverso - Pode ou não apresentar.

2.3.2 Polia - correia

Figura 2.7: Esquema de funcionamento das transmissões por correias e correntes.

Fonte: Apostila de transmissão de movimentos do Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo.

N

1

2

1 (2.14)

NT

T.

2

1 (2.15)

A desvantagem da polia para engrenagem é que na polia a correia pode deslizar, já a

corrente fica acoplada aos dentes da engrenagem.

2.4 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO

2.4.1 Microcontroladores

Os microcontroladores são chips inteligentes programáveis. É composto de um

processador, pinos de entradas/saídas e memória. Com a programação podemos controlar suas

saídas, baseada nas entradas como referência ou uma programação interna.

As principais diferenças entre os diversos tipos de microcontroladores estão na quantidade

de memória interna, velocidade de processamento, pinos de entrada/saída e as instruções de

programação.

31

2.4.1.1 Microcontrolador PIC

O PIC (Controlador de Interface programável) é um circuito integrado, que em um único

dispositivo integra todos os circuitos necessários para realização de um sistema digital

programável, podendo apenas ser visto externamente como um circuito integrado TTL ou

CMOS, mas internamente tem a capacidade de interpretar as instruções de programas através de

uma unidade de processamento central ou Central Process Unit (CPU), armazenar as instruções

de programa em uma memória programável somente para leitura ou Programmable Read Only

Memory (PROM), armazenar as variáveis do programa em uma Memória de Acesso Aleatório ou

Random Access Memory (RAM), além de linhas de entrada e saída (I/O) para aquisitar dados e

controlar dispositivos externos, uma serie de periféricos internos,etc.

O PIC pode ser encontrado em modelos pequenos que são os PIC12xx de 8 pinos, até

chegar a modelos maiores que são os PIC18Cxx de 40 pinos e podem variar a capacidade de

processamento de dados de 8, 16 ou 32bits, possuem núcleos de processamento de 12, 14 ou 16

bits, velocidade de até 48MHz e alimentação de 2 à 6v.

Existem processadores com arquitetura CISQ, ou seja, trabalha com um conjunto de

instruções complexas e em grande quantidade como por exemplo PC’s e os processadores com

arquitetura RISQ que trabalha com um conjunto reduzido de instruções as quais são mais

simples.

2.4.1.1.1 PIC 16F628A

O PIC 16F628A possui 18 pinos, sendo que o pino SSV é destinado para o GND (ponto de

massa) e o DDV é destinado a alimentação do circuito, como esses pontos são simétricos em

relação a terra, não podem ser invertidas as suas polaridades.

A maioria dos pinos possuem múltiplas funções, as quais são definidas pela programação,

com por exemplo se não usar o clock externo existem disponíveis 16 entradas ou 15 saídas

digitais, se utilizar o clock externo existem disponíveis 14 entradas ou 13 saídas digitais. O pino

RA5 é o único que só pode ser utilizado como entrada.

A tensão de alimentação é de 5V, podendo esse valor variar de 2V à 6V.

A freqüência de clock opera em até 20Mhz , possui 128bytes de memória não volátil

(EEPROM) para gravar dados permanentemente, uma memória de 2048bytes não volátil

(PROM) para armazenar o programa, uma memória de 224bytes volátil (RAM) para armazenar

os estados das variáveis utilizadas durante a execução do programa, somente 35 instruções no seu

microcódigo, instruções de 14 bits com 200ns de tempo de execução, dados de 8 bits por

32

endereço de memória, 15 registradores especiais e outras características especiais. Pinagem do

pic é mostrado na figura 2.8.

Figura 2.8: Pinagem do PIC 16F628A.

Fonte: Introdução ao PIC – André Tomaz.

2.4.2 Comunicação RS232

Responsável por fazer a interface entre a porta serial (ligado a um PC) e o PIC, convertendo

os níveis de tensão utilizados pelo PC nos níveis de tensão utilizados pelo PIC. Esse tipo de

comunicação também é chamado de full-duplex, por ter uma linha de transmissão (TX) e outra de

recepção (RX).

Os pinos 10 (entrada) e 12 (saída) fazem a comunicação com o PIC.

Para que esse processo seja possível faz-se necessário a montagem do circuito da figura 2.9

para transformar o nível de tensão TTL para o padrão RS232 ou vise e versa, para TTL de 5Vcc

corresponde no padrão RS232 à tensão de -3 até a15V e para TTL de 0Vcc corresponde no

padrão RS232 à tensão de 3 até 15V.

33

Figura 2.9: Esquema do circuito para a comunicação RS232.

Fonte: ScienceProg.

2.4.3 Placa NI USB-6009

É uma placa de aquisição da National Instruments, que tem a capacidade de aquisitar,

controlar e monitorar via USB-PC, utilizada principalmente com o software Labview.

Possui 8 entradas analógicas com a resolução de 14 bits e taxa máxima de amostragem de 48

KS/s, 2 saídas analógicas com a resolução de 12 bits e taxa máxima de amostragem de 150 S/s,

12 entradas ou saídas digitais, contador de 32 bits, faixa de entrada -5V a 5V,etc

34

Figura 2.10: Vista superior da placa NI USB-6009.

Fonte: Própria.

2.5 TRANSDUTORES

2.5.1 Potenciômetro

Um potenciômetro é um transdutor eletromecânico que converte energia

mecânica em energia elétrica. A entrada do dispositivo é do tipo

deslocamento linear ou rotacional, quando uma tensão é aplicada através

dos terminais fixos do potenciômetro, a tensão de saída é mensurada

através do terminal variável e do terra e esta é proporcional ao

deslocamento da entrada, para um potenciômetro de resposta linear.

(KUO 1995)

Potenciômetros rotacionais são comercialmente encontrados dos tipos

uma volta ou multi-voltas, com movimentos rotacionais limitados ou não.

Os potenciômetros são geralmente formados por um fio resistivo ou um

material plástico de resistência condutiva. Para precisão do controle o

potenciômetro de plástico condutivo é preferível devido a sua infinita

resolução, suavidade de saída e baixo ruído estático. (KUO 1995)

35

Figura 2.11: Vista em corte do potenciômetro

Fonte: KUO, Benjamim C. Automatic Control System (p. 161)

2.5.1.1 Modelo matemático do potenciômetro

Quando o terminal variável é fixado como referência; a tensão de saída e(t) será

proporcional a posição do eixo Ө(t), no caso de um potenciômetro de movimento rotacional.

Então:

e(t) = K Ө(t) (2.16)

Onde K é a constante proporcional. Para N voltas no potenciômetro, o deslocamento total

do terminal variável é 2πN radianos. A constante proporcional K é dada por:

(2.17)

Onde E é a magnitude da tensão de referencia aplicada aos terminais fixos. Então o diagrama de

blocos fica:

Figura 2.12: Diagrama de blocos de um potenciômetro

Fonte: Própria.

K Ө(t).

e(t)

36

2.5.2 Encoder relativo ou incremental

É um sensor de velocidade de alta precisão que está acoplado ao eixo do motor, desta

forma pode se obter informação de posição.

A figura 2.13 ilustra o encoder e suas formas de onda na saída e funciona da seguinte

forma:

O encoder incremental possui um disco perfurado que medida que o motor gira, um feixe

de luz infravermelha, gerado por um emissor que se encontra em um dos lados do disco incide ou

não no sensor fotoelétrico através do orifício, a saída do sensor fotoelétrico será então um trem de

pulso de determinada frequência, a partir da qual meço a velocidade do motor ou sentido de

rotação.

Para saber o sentido de rotação do motor usam-se as duas fontes de luz e dois sensores A

e B, e vice-versa. Se o motor estiver girando no sentido horário o sinal A está defasado em 90º

em relação ao sinal B, e vice-versa. O sinal Z serve de referência, ou seja, a cada volta gera um

pulso, fornecendo a velocidade do motor.

A resolução do encoder incremental é dada por pulsos/revolução, isto é, o encoder gera

certa quantidade de pulsos por uma revolução dele próprio, no caso de um encoder rotativo a

revolução é 360º.

Figura 2.13: Funcionamento do encoder incremental.

Fonte: Automation Engineering.

37

2.6 MOTOR CC

Há muito tempo os motores CC são extensivamente utilizados no

controle de sistemas, para fim de análises é necessários estabelecer um

modelo matemático para motores CC para aplicações de controle.

Usaremos o circuito equivalente mostrado na figura 2.14 para representar

um motor CC. (KUO)

Figura 2.14: Equivalente elétrico de um motor DC.

Fonte: http://www.fatecmm.edu.br/sistema/file/doc/9MOTORESCC.pdf.

O controle de velocidade do motor é feito através da variação do

fluxo magnético na armadura, este controle é exercido com a variação da

tensão, Ua aplicada ao circuito. Para uma análise linear podemos assumir

que o torque desenvolvido pelo motor é proporcional ao fluxo de

entreferro e à corrente de armadura. (KUO)

Então:

(2.18)

Se o fluxo for constante podemos dizer :

(2.19)

Onde Ki é constante de torque dada em N.m/A

A partir do circuito equivalente da figura 2.14 podemos estabelecer as

equações que regem o comportamento do motor.

(2.20)

(2.21)

(2.22)

38

(2.23)

Onde Tl representa o torque de carga oferecido pelo atrito. Através das

equações 2.20 e 2.23 podemos considerar que ea(t) é uma causa, ou seja

provoca um efeito. E também pela equação 2.20 podemos dizer que

é um efeito imediato da tensão aplicada ea(t),então na equação 2.21 a

corrente causa o torque . A equação 2.22 define a força contra

eletromotriz, e finalmente, na equação 2.23 o torque causa a

velocidade angular e o deslocamento

As variáveis de estado podem ser definidas como , e .

Por substituição direta e eliminação das variáveis de não estado da

equação 2.20 através da equação 2.23, as equações de estado de um motor

CC podem ser escrito como um vetor matriz da seguinte forma: (KUO)

(2.24)

Neste caso é tratado como uma segunda entrada na equação de estados3 PROJETO

2.7 CRITÉRIOS DE ESTABILIDADE

Sistema BIBO Estável - Um sistema relaxado é BIBO estável (Bounded-Input —Bounded-

Output) (Entrada-Limitada – Saída-Limitada) se para qualquer entrada limitada a saída também

for limitada.

Teorema: Um sistema SISO (Entrada Única Saída Única) com função de transferência

racional própria G(s) é BIBO estável se e somente se todos os polos de G(s) têm parte real

negativa ou, equivalentemente, estão no semi-plano esquerdo do plano complexo.

39

3 – MODELAGEM DO PÊNDULO INVERTIDO

3.1 MODELAGEM TEÓRICA

A figura 3.1 mostra os vetores V= força referente ao eixo vertical, H= força referente ao

eixo horizontal e mg= força peso do pêndulo e também as variáveis =comprimento da haste do

pêndulo até o centro de gravidade, = deslocamento referente ao ponto onde está fixada a haste

até o eixo de referência vertical y, =deslocamento referente ao centro de gravidade até o eixo

de referência vertical y e =deslocamento referente ao centro de gravidade até o eixo de

referência horizontal x. A partir dos vetores e das variáveis demonstradas foi feita a modelagem

do pêndulo.

Figura 3.1: Pêndulo Livre

Fonte: Propria

Primeiramente são mostradas as equações de movimento do pêndulo nos eixos horizontal

e vertical. A segunda derivada do movimento equivale à aceleração do eixo horizontal e vertical

respectivamente conforme as equações 3.1 e 3.2.

Equações de movimento do pêndulo no eixo horizontal:

;

(3.1)

Equações de movimento do pêndulo no eixo vertical:

(3.2)

Fazendo a somatória das forças no eixo horizontal temos a equação 3.3, definida como H.

40

(3.3)

Fazendo a somatória das forças no eixo vertical temos a equação 3.4, definida como V.

(3.4)

Fazendo a somatória dos momentos de inércia temos a equação 3.5, que define a relação

entre o momento de inércia do pêndulo com as forças H e V.

(3.5)

Substituindo os valores de V e H encontrados anteriormente tem-se a equação 3.6.

(3.6)

Simplificando tem-se a equação 3.7.

(3.7)

Aplicando a relação trigonométrica e simplificando, tem-se a

equação 3.8.

;

; (3.8)

Como a haste é uniforme, possui momento de inércia igual à e assumindo que ,

logo e . Assim tem-se a equação 3.9.

; (3.9)

Dividindo todos os termos por , tem-se a equação 3.10.

; (3.10)

Aplicando a transformada de Laplace tem-se a função de transferência do pêndulo

invertido conforme equação 3.11.

41

(3.11)

3.2 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS

Comparando a função de transferência da modelagem teórica com a função genérica de

controle de segunda ordem da equação 3.12, é possível obter os parâmetros de controle conforme

a equação 3.13.

(3.12)

(3.13)

Extraindo as raízes do denominador da equação 3.12 são encontrados os polos, cujos

valores são dados pela a equação 3.14.

1j 2

nns (3.14)

Depois de feito a decomposição do denominador e sabendo que 12

nd , logo a

função de transferência ficará conforme a equação 3.15.

(3.15)

Rearranjando o denominado e aplicando um degrau unitário na entrada , a saída

apresentará uma resposta no domínio da frequência segundo a equação 3.16.

(3.16)

Aplicando a transformada de Laplace Inversa tem-se a uma resposta subamortecida no

domínio do tempo conforme a equação 3.17.

.cos (3.17)

Através da dedução teórica referente à resposta no domínio tempo feito anteriormente,

concluímos que o fator de amortecimento é igual à .

Para a obtenção do fator de amortecimento foram realizados ensaios posicionando-se a

haste do pêndulo na posição 90º e soltando-a para que a haste pudesse realizar livremente o

movimento oscilatório característico do pêndulo. O potenciômetro, responsável por indicar a

posição da haste, foi ligado à placa de dados NI USB 6009 e foi feito um programa em

Labview® para aquisitar os dados conforme figura 3.2.

42

Figura 3.2: Programa em Labview para medir o atrito do potenciômetro.

Fonte: Própria.

O sinal obtido é mostrado na figura 3.3 e representa a resposta natural do pêndulo quando o

mesmo é solto a partir de 90º que é considerado uma condição inicial.

Figura 3.3: Forma de onda do movimento oscilatório característico do pêndulo.

Fonte: Própria

Como pode ser observado na figura 3.3 o sinal não é simétrico em relação ao nível zero de

tensão para facilitar no processamento foi feito a média do valor final do sinal para que o mesmo

ficasse em torno de zero conforme mostrado na figura 3.4

43

Figura 3.4: Média do valor final deslocando o sinal para eixo zero.

Fonte: Própria

Foi então retificado o sinal e aplicado um filtro passa baixa de 5Hz para eliminar

possíveis ruídos ficando conforme a figura 3.5.

Figura 3.5: Resposta natural retificada e com filtro de 5Hz.

Fonte: Própria

Aplicou-se então um dector de picos a partir do qual foi obtido o gráfico da figura 3.6 e

foi também possível obter o valor da frequência natural e o fator de amortecimento.

44

Figura 3.6: Curva amortecida e fator de amortecimento.

Fonte: Própria

Sendo assim o valor do fator de amortecimento é dado segundo a equação 3.18 e sabendo

que a frequência natural do pêndulo é igual á 1,07 Hz de acordo com a equação 3.19 foi

encontrado o valor de .

(3.18)

(3.19)

O comprimento e a massa do pêndulo foram obtidos através de medição feito no

laboratório, sendo 0,06 Kg e . Com os valores dos parâmetros encontrados

anteriormente foi possível obter o atrito e a constante conforme as equações 3.20 e 3.21.

N/rad/s (3.20)

(3.21)

Em fim com todos os parâmetros obtidos a função de transferência do pêndulo pôde ser

complementada conforme a equação 3.22.

(3.22)

3.3 VALIDAÇÕES DOS PARÂMETROS OBTIDOS

Após a obtenção dos parâmetros da planta foi elaborado um diagrama no Simulink que

representa o modelo matemático do pêndulo conforme mostrado na figura 3.7.

45

Figura 3.7: Diagrama do modelo matemático usando o Simulink.

Fonte: Própria

O resultado obtido com esta simulação é mostrado na figura 3.8, comparando com a figura

3.4, que é o sinal obtido através de ensaio prático, é possível o observar que as mesmas são

similares. O que valida os estudo e dedução dos parâmetros do pêndulo.

Figura 3.8: Curva de resposta através do Simulink.

Fonte: Própria

4 – CONCEPÇÃO DO PROJETO

4.1 ESTRUTURA MECÂNICA

Para que pudéssemos modelar o sistema foi primeiramente necessário o projeto e construção

de uma estrutura mecânica que proporcionasse a uma haste as características de instabilidade de

um pêndulo invertido.

46

Este trabalho visa efetuar a obtenção dos parâmetros do pêndulo apenas no plano X-Y então

a estrutura mecânica proporciona apenas o movimento de translação linear no eixo X.

Pensando nisto foi elaborada uma estrutura em alumínio com 75mmX1000mm de

comprimento e sobre a qual foi acoplado um motor com redução, além de uma correia

sincronizada também com comprimento útil de 1000mm, passo de 2,032mm e largura de 6mm

esta tem por objetivo transferir o movimento de rotação da saída do conjunto motor redutor para

o carro do pêndulo. A figura 4.1 mostra a planta já montada e com o carro acoplado.

Figura 4.1: Planta do pêndulo invertido.

Fonte: Própria.

4.1.1 Fixação da Haste

A haste foi acoplada ao carro através de um eixo livre, utilizando um rolamento, neste

mesmo eixo foi acoplado também um potenciômetro multivoltas que serve como sensor de

posicionamento do pêndulo. A figura 4.2 mostra o eixo livre onde é feito o acoplamento da haste

do pêndulo. Na estrutura mostrada somente o rolamento e o a base de potenciômetro são as partes

que ficam fixadas a o carro o restante do eixo gira livremente limitando-se as 10 voltas do

potenciômetro.

Figura 4.2: Dispositivo de acoplamento do pêndulo.

Fonte: Própria.

Potenciômetro

Multivoltas Rolamento

608

Eixo

47

4.1.2 Carro

O carro é considerado nesta planta parte do elemento atuador, pois é através dele, de seus

movimentos harmônicos no eixo X, que será possível manter a haste na posição vertical. Trata-se

de um conjunto simples composto por um perfil de aproximadamente 80mm e com 4 rolamentos

608 em suas extremidades este perfil em alumínio possui um furo no centro com diâmetro de

220mm que é a medida do rolamento mostrado na figura 4.2 e local onde o conjunto do eixo da

haste deve encaixar. O carro em sua totalidade possui 0,232Kg.

Figura 4.3: Projeto da estrutura do carro.

Fonte: Própria

Figura 4.4: Estrutura do carro.

Fonte: Própria.

48

4.1.3 Dimensões do Redutor do motor

A engrenagem do eixo motor possui um diâmetro de 9,8mm e está acoplado por meio de

uma correia sincronizada a outra engrenagem de 25,3mm de diâmetro, essa engrenagem é

acoplada através de um eixo a uma engrenagem menor com diâmetro de 15,7mm sobre a qual,

esta ultima, é o elemento que transmite movimento para correia. Conforme mostrado na figura

4.5.

Figura 4.5: Projeto conjunto de transmissão de movimento.

Fonte: Própria.

Figura 4.6: Transmissão de movimento extremidade 1.

Fonte: Própria

Transmissão

por correia

Correia de tração do

carro

Coroa livre

49

Figura 4.7: Transmissão de movimento extremidade 2.

Fonte: Própria

4.1.4 Fixação dos Sensores

4.1.4.1 Potenciômetro

Nesta planta são montados 3 sensores para proporcionarem realimentação ao controlador, o

principal deles é o potenciômetro que está montado com a base solidária ao carro de tração e com

o eixo acoplado ao eixo livre do pêndulo conforme mostrado na figura 4.8 e 4.9.

Figura 4.8: Projeto fixação do potenciômetro.

Fonte: Própria.

Base do

Potenciômetro

50

Figura 4.9: Fixação do potenciômetro.

Fonte: Própria.

4.1.4.2 Encoder

O encoder utilizado é do tipo incremental montado na base da armadura do motor, ele

proporciona ao controle três sinais analógicos que permitem ao controle estabelecer maior

precisão no posicionamento do motor. Dos três sinais, um é tido como referência, um pulso por

revolução do motor, já os outros dois são defasados de 180° e definem o sentido de rotação do

motor. Para o caso do pêndulo apenas o sinal de um pulso por revolução será o suficiente para o

processamento da lógica de controle. O local de montagem do Encoder é mostrado na figura

4.10.

Figura 4.10: Montagem do encoder.

Fonte: Própria.

Encoder

Conjunto de

transmissão

51

4.1.4.3 Limites fim de curso

Na planta foram ainda instalados dois limites fim de curso tipo micro switch que enviarão

sinal para o placa de aquisição de dados estes limites serão úteis em alguns ensaios para definir

por exemplo a velocidade que o carro leva para atravessar todo o percurso da planta, além de

informar ao controle o final do curso do carro. As figuras 4.11 e 4.12 mostram os sensores

instalados na planta.

Figura 4.11: Limite fim de curso 1.

Fonte: Própria.

Figura 4.12: Limite fim de curso 2

Fonte: Própria

4.2 DRIVER DE POTÊNCIA

52

O drive de potência é constituído por quatro componentes eletrônicos, um regulador de

tensão LM7805, um conversor de nível MAX232, um microcontrolador PIC 16F628 e uma ponte

H dupla L298HN, além de alguns componentes passivos conforme o diagrama da figura 4.13 e a

foto da figura 4.14

Figura 4.13: Diagrama eletrônica do drive de potência.

Fonte: Própria.

Figura 4.14: Circuito montado do drive de potência.

Fonte: Própria.

O drive de potência é alimentado por uma fonte ATX com + 12VDC, essa tensão vai

diretamente aos pinos de alimentação da ponte H L298N, pino 4 (+12VDC) e pino 8 (GND). A

mesma fonte é conectada ao LM7805 que regula a tensão para + 5VDC, que a partir dos pinos 14

53

e 5 do conversor de nível MAX232 respectivamente com +5VDC e GND. O microcontrolador

PIC 16F628 através da fonte regulada de +5VDC também é alimentado, quando energizado o

pino 16 com +5VDC e o pino 15 com GND.

Ao receber o sinal das variáveis de entrada a placa de aquisição de dados NI USB 6009

por meio do software Labview®, instalado no PC executa a lógica de programação. O drive de

potência recebe o sinal do PC com nível de tensão serial através de um conector DB15, que

converte em nível de tensão TTL a partir do pino 13(RS1 in) e do pino 12(R1 out) do conversor

de nível MAX232. O sinal convertido será transferido para o microcontrolador PIC 16F628 que

coleta o mesmo através do pino 7(RX) , ao receber o sinal o microcontrolador executa a lógica de

programação e envia um trem de pulso de onda quadrada de 0 á +5VDC com uma frequência de

1KHz para a ponte H L298H a partir dos pinos 1 e 2, sendo o primeiro defasado 180° do

segundo.

A ponte H LN298H possui uma entrada que precisa ser energizada para que a mesma seja

habilitada, para que essa situação aconteça o microcontrolador PIC16F628 em seu pino 03 envia

uma tensão de +5VDC para que a mesma seja habilitada.

A ponte H LN298H é chaveada ao receber os trens de pulsos e ao ser habilitada, os trens

de pulso são coletados através do pino 5(Input 1) e pino 7(Input 2) e a habilitação é feita pelo

pino 6(Enable).Desta forma o motor cc que está conectado nas saídas pino 2(Output 1) e pino

3(Output 2) recebe a média da tensão dos pulsos é começa a girar .

A velocidade é controlada pelo microcontrolador PIC16F298 através do método de PWM

(modulação por largura de pulso) modificando o ciclo de trabalho da onda quadrada através de

programação, ou seja, aumentando ou diminuindo o tempo que a onda ficará em T-ON(Nível

alto). Assim a média da tensão que alimenta o motor cc modifica de tal forma a diminuir ou

aumentar a velocidade do motor cc, para ambos os sentidos, de acordo com as necessidades do

controle. A figura 4.15 mostra o circuito eletrônico completo já montado na planta.

54

Figura 4.15: Circuito eletrônico completo.

Fonte: Própria.

4.2.1 Programação do PIC 16F298

A utilização do PIC se deu devido a necessidade de uma taxa de transmissão maior do que a

apresentada pela placa NI USB-6009. Para isso foi necessário fazer um programa em linguagem

C no software CCS C Compiler, para realizar a interface com o PC (software LAbview), PIC e

ponte H, conforme programa no Anexo 2. Para realização da gravação do programa no PIC, foi

utilizado a placa da PICburner USB conforme figura 4.16.

Figura 4.16: Gravador de PIC.

Fonte: World PIC.

5 – MODELAGEM DO CONJUTO CARRO MOTOR

5.1 EQUAÇÕES DO MOTOR

55

A equação 5.1 apresenta as relações de tensão em um motor CC onde a tensão U aplicada

ao motor é dada pela soma das quedas de tensão no circuito equivalente, sendo eb a tensão

induzida na armadura iaR a queda na resistência e dt

diL a queda de tensão na bobina da armadura.

dt

diLRieu ab (5.1)

Já equação 5.2 representa a equação mecânica do motor CC onde o torque, Tm, produzido

pelo motor deve ser o somatório dos torques inerentes ao momento de inércia do eixo, que é

função da taxa de aceleração angular, do atrito oferecido pelo eixo além do torque que é imposto

pela carga, chamada aqui de Tr.

rmmm Tdt

dB

dt

dJT 1

2

1 (5.2)

A equação mecânica se relaciona com a elétrica através da equação 5.3 onde o torque

mecânico produzido é função da corrente do motor.

amm iKT . (5.3)

5.2 RELAÇÕES DE FORÇAS E VELOCIDADE NO CONJUNTO

A equação 5.4 apresenta uma relação de forças no conjunto mecânico onde a força

resultante é o somatório das forças oferecidas pela massa do carro e pelo atrito do conjunto além

da reação do pêndulo quando o carro é movimentado.

Hdt

dxBc

dt

dxMF

2

(5.4)

Como a planta possui um sistema de transmissão por correia é necessário que seja obtida uma

relação de velocidades e de torque pois precisamos referenciar todas as forças a o eixo do motor.

As equações 5.5 a 5.8 apresentam as relações de torque do sistema de correias.

33 .rFT Torque na engrenagem 3 (5.5)

23 TT Torque na engrenagem 2 (5.6)

Relacionando as equações 5.6 e 5.7 é possível obter o torque aplicado ao eixo do motor na

equação 5.8

Fr

rr

r

rTT .

..

2

31

2

121 (5.8)

Para simplificação e melhor entendimento das relações de velocidade chamaremos a partir

de agora a taxa de variação do ângulo do eixo do motor Ө, dt

d 1 de ω1 da mesma forma faremos

com as velocidades 2 e 3 do conjunto de transmissão conforme mostrado abaixo.

11

dt

d

2

2

dt

d

3

3

dt

d

56

As equações 5.9 até 5.12 estabelecem a relação de velocidade angular do eixo do motor e

a velocidade linear do conjunto.

Em 5.9 é apresentada a relação de velocidade angular entre as engrenagens 1 e 2

1

221

r

r (5.9)

Como 23 então:

1

231

r

r (5.10)

Contudo precisamos de uma expressão que relacione a velocidade angular do motor com a

velocidade linear do carro. A velocidade angular do carro é dada por:

3

3r

dtdx

(5.11)

Onde dtdx

é a velocidade linear do carro, então substituindo 5.11 em 5.10 temos uma

expressão que relaciona a velocidade linear do carro com a velocidade angular no eixo do motor,

dada na equação 5.12.

31

21

.rr

r

dt

dx (5.12)

5.3 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO ELETROMECÂNICA

Os passos a seguir tem por objetivo estabelecer uma relação entre a equação elétrica e a

equação mecânica a fim de obter uma expressão que represente o modelo global do conjunto.

Então podemos começar com a equação 5.13 que é um rearranjo da equação 5.1.

dt

diLRieu ab

(5.13)

A equação 5.3 é a chave para estabelecer uma relação entre a mecânica e a elétrica,

podemos então dizer que:

a

m

m iK

T (5.14)

Podemos ainda substituir na equação 5.14 equação 5.2 de forma a obter uma relação

completa que é dada em 5.15.

rmm

m

a Tdt

dB

dt

dJ

Ki 1

2

11 (5.15)

Substituindo 5.15 em 5.13 temos:

57

dt

diLT

dt

dB

dt

dJ

K

Reu rmm

m

b1

2

1 (5.16)

Porem o que queremos é uma relação com a velocidade linear do carro então substituímos

em 5.16 a equação 5.12, o que nos leva a 5.17.

dt

diLT

dt

dx

rr

rB

dt

dx

rr

rJ

K

Reu rmm

m

b

31

2

2

31

2

.. (5.17)

O torque que é o produto de 5.8 e 5.4 é agora acrescentado a equação 5.17 que se torna

em 5.18

dt

diLH

dt

dxBc

dt

dxM

r

rr

dt

dxB

dt

dxJ

rr

r

K

Reu mm

m

b

2

2

31

2

31

2 .

. (5.18)

Sabemos que:

dt

dxK

r

rK

dt

dKe e

r

eeb ...

..31

211 (5.19)

Então substituindo 5.19 em 5.18, colocando eb no lado direito da equação e fazendo em

evidencia os termos de derivada temos a equação 5.20

dt

diLH

r

rr

K

RB

r

rrB

rr

r

K

RK

rr

r

dt

dx

r

rrMJ

rr

r

K

R

dt

dxu

m

cm

m

em

m

..

...

..

...

.

. 2

31

2

31

31

2

31

2

2

31

31

2

2

(5.20)

A parcela H representa a reação da haste ao movimento, nesta modelagem ela será

desconsiderada. Então: 0H

Para facilitar no equacionamento chamaremos a relação de velocidade de Kg.

gKr

rr

2

31 (5.21)

Substituindo 5.21 em 5.20 temos:

dt

diLBK

K

B

K

R

K

K

dt

dxKM

K

J

K

R

dt

dxu cg

g

m

mg

e

g

g

m

m

....2

(5.22)

Fazendo a transformada de Laplace de 5.22 teremos então 5.23:

m

m

cg

g

m

mg

e

g

g

m

m K

TLsBK

K

B

K

R

K

KXsKM

K

J

K

RXssU ....)( 2 (5.23)

Rearranjando a equação 5.23 chegamos a função de transferência do conjunto.

cg

g

mg

g

m

m

cg

g

m

mg

eg

g

m

m

BKK

BsMK

K

J

K

LsBK

K

B

K

R

K

KsKM

K

J

K

Rs

sU

sX

.....

1

)(

)(

2

.

32

(5.24)

58

Melhorando o arranjo de 5.23 chegamos a e 5.24 que é uma função de transferência

melhor definida.

cg

g

m

mg

ecm

g

m

m

g

gm

mg

g

m

m

BKK

B

K

R

K

KsBK

K

B

K

KMR

KK

JRsMK

K

J

K

Ls

sU

sX

......

1

)(

)(

2

.

3

(5.25)

59

6 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS

6.1 PARÂMETROS DO CARRO

Primeiramente foi verificado a medida de cada raio do conjunto de engrenagens, onde

foram obtidos os seguintes valores:

mr 0049,01 ; mr 01265,02 ; mr 00785,03

Substituindo os valores na equação 5.21 obtemos o valor da relação de transmissão dado

em 6.1

0079,02

31

gKr

rr (6.1)

Outro parâmetro também determinado foi a massa do carro feita através de pesagem.

KgM 232,0 (6.2)

Em seguida foi realizado o ensaio a vazio do motor, a partir do qual foi possível encontrar

a constante Km que relaciona corrente elétrica e torque mecânico.

Foi então acoplado um motor ao motor de planta de forma que ele funcionasse como

gerador, variou-se a velocidade do motor primário e no motor da planta foi medida a tensão

gerada nos terminais da armadura e a velocidade do mesmo através do encoder, gerando a tabela

6.1.

A constante de torque, Km, e a constante de velocidade, Ke, são aproximadamente iguais,

de forma que foi determinado a constante Ke, através da equação 6.2. onde eb é a tensão gerada

nos terminais da armadura

02089,0bem

eKK (6.3)

60

Esta relação pode ser verificada através dos valores obtidos na tabela 6.1.

Tabela 6.1: Medições de tensão e velocidade para determinação de Ke

Fonte: Própria.

Tensão gerada

Velocidade (rad/s)

0,53 23,297

0,98 45,580

1,58 75,338

2,09 99,575

2,65 127,061

3,19 152,320

3,75 178,755

4,30 204,665

4,89 233,144

5,42 258,567

5,79 282,389

6,36 305,006

6,86 328,104

7,40 353,980

8,06 384,296

8,50 406,675

9,08 434,867

9,67 460,310

10,22 485,184

10,78 512,880

11,26 539,319

11,81 568,498

12,48 598,453

13,00 619,048

A corrente do motor foi determinada através da queda de tensão no resistor do drive de

potência de 5,6Ω. Dada em 6.3

Aia 535,06,5

3 (6.3)

Após determinada a constante Km em 6.2 e a corrente em 6.3 foi possível determinar o

torque do motor que pode ser obtido através da substituição dos valores na equação 5.14 o que

nos leva a 6.4 que é o valor do torque do motor

mNxTm .0012,0535,00022,0 (6.4)

61

6.2 ESTIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

A saída do sistema é dada pelo deslocamento do carro no trilho e esta variável é medida através

do encoder, ou seja, através de uma frequência variável no tempo. Foi então utilizado um

aplicativo do Labview chamado STFT, Short Term Fourier Transform, que permite fazer uma

análise conjunta no tempo e na frequência.

O primeiro passo foi aplicar pulsos positivos e negativos no motor de 100ms e fazer a

aquisição dos dados do encoder. Os pulsos são mostrados na figura 6.1 e aquisição de dados do

enconder na figura 6.2.

Figura 6.1: Pulsos aplicados ao motor

Fonte: Própria

62

Figura 6.2: Aquisição do sinal do encoder

Fonte: Própria

Pulso positivo e negativo aplicado ao motor implica inversão de movimento, contudo a

freqüência do encoder permanece em módulo, e neste ponto que houve a necessidade de se

utilizar a análise de STFT que foi feita da seguinte forma: Aplicou-se a STFT no sinal do encoder

mostrado na figura 6.2

Figura 6.3: Sinal do encoder variável

Fonte: Própria

Aplicando-se a STFT temos o sinal mostrado na figura 6.4 que é a resposta de frequência

em função do tempo.

Figura 6.4: STFT aplicada ao sinal do encoder

Fonte: Própria

63

A velocidade do carro é proporcional a frequência do enconder, então extraindo-se a

curva de velocidade temos a figura 6.5

Figura 6.5: Extração da curva de velocidade do carro.

Fonte: Própria

Trabalhando essa curva: alternando picos positivos e negativos, e multiplicando por

2PI/200, relação do encoder, temos a velocidade em rad/s mostrada na figura 6.6.:

Figura 6.6: Curva de velocidade do motor.

Fonte: Própria

Com a curva de velocidade obtida foi possível através do Labview verificar a resposta do

sistema e estimar a função de transferência, a resposta do sistema é mostrada na figura 6.7.

64

Figura 6.7:Curva de resposta do sistema.

Fonte: Própria

De posse resposta do sistema foi então estimada uma função de transferência que é

mostrada na figura 6.8

Figura 6.8: Função de transferência estimada pelo Labview.

Fonte: Própria

6.3 ROOT LOCUS DA PLANTA

Fazendo a multiplicação da função do pêndulo dada em 3.22 e da função do carro dada

na figura 6.8 chegamos a função de transferência da planta que é dada em 6.5

(6.5)

65

Com o auxilio do Matlab traçamos o Root Locus da planta mostrado na figura 6.9 com

os pólos no semi plano direito caracterizando um sistema instável. O código fonte do programa

utilizado encontra-se no anexo 2.

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6 System: planta

Gain: 0

Pole: 0.324 + 6.72i

Damping: -0.0483

Overshoot (%): 116

Frequency (rad/sec): 6.72

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 6.9: Root Locus da planta com pólos no semi plano direito.

Fonte: Própria

66

6.4 SIMULAÇÃO DO CONTROLE

Como pode ser observado na figura 6.9 os pólos do semi plano direito estão no semi

plano positivo então a estratégia usada foi a de calcular uma função de controle que posicione o

zero em cima do pólo instável da planta de modo a cancelá-lo. A função de controle é mostrada

na equação 6.6

(6.6)

A figura 6.10 mostra o root lócus do sistema com os pólos do semi plano direito

cancelado pela ação do controle.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-6

-4

-2

0

2

4

6

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 6.10: Root Locus da planta com controle.

Fonte: Própria

A figura 6.11 é possível verificar que a resposta ao degrau para o sistema sem o controle diverge

com o passar do tempo, já com o controle aplicado, conforme mostrado na figura 6.12 a resposta

se lineariza com o passar do tempo.

67

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

8 Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Figura 6.11: Resposta ao degrau sem o controle .

Fonte: Própria

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-6000

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Figura 6.12: Resposta ao degrau com o controle

Fonte: Própria

68

7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS

7.1 CONCLUSÃO

No desenvolvimento do projeto surgiram vários obstáculos relacionados à obtenção dos

parâmetros mecânicos e minimização dos efeitos do atrito e vibração, tais elementos introduzem

ruídos nos sinais de controle dificultando o processamento. Para amenizar tais efeitos formam

elaborados filtros e buffers para que os sinais lidos fossem o mais próximo do estado real das

variáveis. Foi também observado a grande versatilidade do software LabView® que se mostrou

uma ferramenta muito robusta na aquisição e processamento de sinais, sendo de grande

aplicabilidade principalmente no desenvolvimento de sistemas supervisórios. A planta do

pêndulo invertido é ideal para análise e comparação de desempenho de diferentes técnicas de

controle sendo assim este projeto se tornará mais uma ferramenta para o laboratório de

servomecanismos, pois possui poucos elementos possibilitando uma fácil compreensão do

circuito e aplicação das técnicas de controle desejadas.

7.2 IMPLEMENTAÇÕES FUTURAS

Neste projeto foi realizada a modelagem do sistema do pêndulo invertido e simulações do

sistema. As sugestões para projetos futuros é a implementação de controladores clássicos e

modernos aplicados na planta, construir uma placa de aquisição de dados para que possa dar mais

robustez para planta e melhorar a taxa de transmissão e posteriormente a implementação em um

veículo de transporte autônomo, que utiliza o princípio do pêndulo invertido.

69

8 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] KUO, Benjamim C. - Automátic Control Systems Seventh Edition – John Wiley &

Sons, Inc. 1995.

[2] BEER, Ferdinand P.; JR, E. Russell Johnston. Mecânica Vetorial para Engenheiros. São

Paulo: Makron Books, 2010.

[3] ASTROM, K.J. and K. Furuta, ―Swinging up a Pendulum by Energy Control‖, Automatica,

Vol. 36, 2000.

[4] EKER, J, and K.J. Astrom, A Nonlinear Observer for the Inverted Pendulum, 8th IEEE

Conference on Control Application, 1996.

[5] SPIEGEL M.; Manual de Fórmulas, Métodos e Tabelas de Matemática; Makron Books;

São Paulo; 1992.

[6] DORF R. C., Bishop R.H.; Sistemas de Controle Moderno; 8ª. Edição; LTC – Livros

Técnicos e Científicos, Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2000.

[7] LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, 2ª Edição, Bookman, 2008.

[8] OGATA, Katsuhiko, Engenharia de Controle Moderno, Prentice Hall, 1982.

[9] Automationengineering Disponível em: <http://www.automationengineering.co.uk/wp-

content/uploads/2011/06/incremental-encoder1.jpg> Acessado em 15 set. 2011.

[10] UFRJ - Controle automático Disponível em: <http://www.dee.ufrj.br/controle_automatico/

artigos/cobenge2001.pdf > Acessado em 15 set. 2011.

[11] USP - Pêndulo simples Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/

pêndulo/PênduloSimples_HTML.htm> Acessado em 15 set. 2011.

[12] UNICAMP - Pêndulo invertido Disponível em: <http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi

/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem1_2010/CarlosK-Saa_F609_RF2.pdf > Acessado

em: 16 set. 2011.

[13] Portal de Eletrônica Disponível em: <http://www.eletromaniacos.com/modules

.php?name=News&file=article&sid=58> Acessado em 17 set. 2011.

[14] National Instruments - Manual USB-6009 Disponível em :<http://www.ni.com/pdf/

manuals/371303l.pdf> Acessado em 15 nov. 2011.

[15] Control of an Invertede pendulum Disponível em: <http://www.ece.ucsb.edu/~roy/

student_projects/Johnny_Lam_report_238.pdf > Acessado em: 17 set. 2011.

[16] Simulação do pêndulo Disponível em: <http://csd.newcastle.edu.au/simulations/

pend_sim.html> Acessado em : 17 set. 2011.

70

[17] Inverted Pendulum Virtual Control laboratory Disponível em: <http://bibliotecadigital

.ipb.pt/bitstream/10198/1907/1/inverted%20pendulum%20jl-jg-pc-am%20C06.pdf>Acessado

em : 17 set. 2011.

[18] Control Tutorials for MatLab Disponível em : <http://www.engin.umich.edu/group/ctm/

examples/pend/invpen.html> Acessado em : 17 set. 2011.

[19] Biblioteca digital - INVERTED PENDULUM VIRTUAL CONTROLLABORATORY

Disponível em: <http://bibliotecadigital.ipb.pt/handle/10198/1907>Acessado em: 18 set. 2011.

71

ANEXO 1

PROGRAMA DO PIC

Prog.h

#include <16F628A.h>

#include <string.h>

#include <stdlib.h>

#FUSES NOWDT //No Watch Dog Timer

#FUSES HS

#FUSES NOPUT //No Power Up Timer

#FUSES NOPROTECT //Code not protected from reading

#FUSES NOBROWNOUT //No brownout reset

#FUSES NOMCLR //Master Clear pin used for I/O

#FUSES NOLVP //No low voltage prgming, B3(PIC16) or B5(PIC18) used for I/O

#FUSES NOCPD //No EE protection

#use delay(clock=20000000)

#use rs232(baud=9600,parity=N,xmit=PIN_B2,rcv=PIN_B1,bits=8)

#define BUFF_SIZE 32

#define In1 PIN_B4

#define In2 PIN_B5

#define In3 PIN_B6

#define In4 PIN_B7

#define EnA PIN_A0

#define EnB PIN_A1

int16 ton1 = 5000;

int16 L=0;

int8 i=0;

char ch;

int8 ptr_in;

int8 ptr_out;

char Buffer[BUFF_SIZE];

int1 new_cmd;

int8 k;

72

int8 IdCmdo=0;

int8 IdChar=0;

char Cmdo[8][9]; //até 8 cmdos de 7 caracteres por string lida

int8 TargetCmdo=0;

int16 ValorCmdo=0;

char Valor[5];

void main();

void leitura_rs232();

void GetComandos();

void ProcessaCmdo();

prog.c

#include "C:\Documents and Settings\pdix\Desktop\dom bosco\Projects\teste interrupcao usart.h"

#int_RDA

void RDA_isr(void)

leitura_rs232();

void main()

setup_timer_0(RTCC_INTERNAL|RTCC_DIV_1);

setup_timer_1(T1_DISABLED);

setup_timer_2(T2_DISABLED,0,1);

setup_comparator(NC_NC_NC_NC);

setup_vref(FALSE);

enable_interrupts(INT_RDA);

enable_interrupts(GLOBAL);

//Setup_Oscillator parameter not selected from Intr Oscillotar Config tab

// TODO: USER CODE!!

ptr_in=0;

ptr_out=0;

new_cmd=0;

// TODO: USER CODE!!

output_bit(EnB,1);

output_bit(EnA,1);

73

While(TRUE)

//Periodo = 10000;

output_bit(In1,0);

output_bit(In2,1);

output_bit(In3,0);

output_bit(In4,1);

delay_us(ton1);

output_bit(In1,1);

output_bit(In2,0);

output_bit(In3,1);

output_bit(In4,0);

delay_us(999-ton1);

void GetComandos()

//Reconhece e separa cmdos entre < >

IdCmdo=0;

k=0;

while( buffer[k]!= 0 )

if(buffer[k]=='<')

IdChar=0;

while((buffer[k+IdChar]!='>')&(IdChar<8))

Cmdo[IdCmdo][IdChar]= buffer[k+IdChar];

IdChar++;

Cmdo[IdCmdo][IdChar]= buffer[k+IdChar];

Cmdo[IdCmdo][IdChar+1]=0;

//printf("\n\rCmdo%d: %s\n\r",IdCmdo, Cmdo[IdCmdo] );

IdCmdo++;

74

k++;

//fim da rotina reconhece e separa cmdos

void leitura_rs232()

ch=getc();

if(ch==8) // Backspace

//putc(ch);

//putc(' ');

//ptr_in--;

//Buffer[ptr_in+1]=0;

if((ch == '\r' )|(ch == '\n' ))

Buffer[ptr_in]=0;

//printf("\r\nBuffer: %s\n\r",buffer);

new_cmd=1;

ptr_in=0;

GetComandos();

ProcessaCmdo();

else //qualquer outro caractere

//putc(ch);

if (ptr_in > BUFF_SIZE-2)

ptr_in = 0;

buffer[ptr_in]=0;

printf("\n\rErro: Comando muito grande.\n\r");

else

75

Buffer[ptr_in]=ch;

ptr_in = ptr_in + 1;

void ProcessaCmdo()

for(i=0; i<IdCmdo;i++)

L = strlen(Cmdo[i]);

if((Cmdo[i][0]=='<')&(Cmdo[i][L-1]=='>'))

if (Cmdo[i][1]=='M')

Valor[0]=Cmdo[i][2];

Valor[1]=0;

TargetCmdo = atoi(Valor);

for(k=0;k<L-2;k++)

Valor[k]=Cmdo[i][k+4];

Valor[k+1]=0;

ValorCmdo = atol(Valor);

//printf("\n\rT:%d V:%Ld\n\r",TargetCmdo,ValorCmdo);

if(TargetCmdo==1) ton1 = ValorCmdo;

// printf("ton %Ld", ton1);

76

ANEXO 2

CÓDIGO FONTE PARA PLOTAR ROOT LOCUS E RESPOSTA AO DEGRAU

clc clear all

num = [-5 0 0 ]; den = [1 -0.649 45.2]; pen = tf(num,den);

num = [0 0 104.996]; den = [0.00000296258 0.0706631 1]; car= tf(num,den);

planta= pen*car

rlocus (planta)

num = [1 -0.649 45.2] den = [0 1 0] controle= tf(num,den);

sistema = planta*controle

rlocus (sistema)

step (sistema) step (planta)

Education

Modelagem de pendulo invertido, trabalho monografico