Modelagem Sist Eletromecanicos

7/23/2019 Modelagem Sist Eletromecanicos

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Processos em Engenharia:

Modelagem deSistemas Eletromecânicos

Prof. Daniel Coutinho

[email protected]

Departamento de Automacao e Sistemas – DAS

Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC

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Sumário

• Introdução

• Modelagem de Sistemas Elétricos

• Modelagem de Sistemas Mecânicos

• Modelagem do Motor DC

• Exemplos e Exercícios

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Introdução

• Os sistemas elétricos constituem um bom exemplo de

aplicação para os quais a região de validade das hipóteses

de linearidade é relativamente grande.

• A modelagem de sistemas elétricos não apresenta maiores

dificuldades, na medida em que uma convenção de sinais

para as correntes e tensões seja respeitada.

• Os modelos são obtidos utilizando as leis básicas de

circuitos elétricos como as Leis de Kirchhoff para tensão e

corrente.

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Elementos Básicos - I

• Elementos Passivos:

• Relação tensão-corrente

u(t) = Ri(t) , u(t) = Ldi(t)

dt , i(t) = C

du(t)

dt

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Elementos Básicos - II

• Fontes de tensão e corrente:

• ri : resistência interna. Idealmente para fonte de tensão

ri → 0 e para fonte de corrente ri →∞.

• Fontes dependentes: quando a tensão ou corrente

dependem de outras tensões e correntes no circuito

(associados a elementos ativos).

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Leis Básicas de Circuitos

• Leis de Kirchoff: malhas e nós.

• Convenção de sinais para tensão e corrente:

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Lei das Malhas

• O somatório das tensões em uma malha fechada é nulo.

• Convenção: contar uma tensão como positiva se a sua

flecha é na mesma direção do percurso da malha. Contarnegativa no caso contrário.

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Lei dos Nós

• A soma das correntes num nó é nula.

•

Convenção: as correntes são contadas positivas na direçãodo nó e negativas na direção contrária.

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Circuito RL Série

• Equacionamento:

u2(t) = L di(t)dt

, u1(t)−Ri(t)− L di(t)dt

= 0

I (s) =

1

Ls + R U 1(s) ⇒ U 2(s) =

Ls

Ls + R U 1(s)

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Circuito RC Série

• Equacionamento:

i(t) = C du2(t)dt , u1(t)−RC du2(t)dt − u2 = 0

U 2(s) = 1

RCs + 1

U 1(s) , I (s) = Cs

RCs + 1

U 1(s)

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Exercício

• Obter a relação G(s) = I 2(s)/U 1(s) para o circuito abaixo:

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Sistemas Mecânicos - I

• Os movimentos elementares realizados pelos sistemas

mecânicos são translações (movimentos ao longo de um

eixo) ou rotações (movimentos ao redor de um eixo).

• Qualquer outro movimento pode-se decompor sempre em

translações e rotações.

• A obtenção de modelos matemáticos pode ser realizada

utilizando as leis básicas de Newton (balanceamento deforças) ou utilizando balanceamento de energia (equações

de Lagrange).

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Sistemas Mecânicos - II

• Elementos básicos da translação:

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Sistemas Mecânicos - III

• As forças de atrito são altamente não lineares.

• Para simplificar o modelo matemático, separa-se a força de

atrito em duas componentes:

1. Atrito seco (ou estático): é uma força contrária a

colocação de um corpo rígido em movimento.

2. Atrito dinâmico: para um corpo em movimento, a força

de atrito aumenta linearmente com a velocidade.

• A força de atrito seco é muito maior do que a força de atrito

dinâmico logo que o corpo entra em movimento.

•

O atrito dinâmico é oposto ao movimento e nulo quandox(t) = 0.

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Sistemas Mecânicos - IV

• Lei fundamental da mec anica (Lei de Newton):

• Trata-se de uma relação vetorial.

• A direção da aceleração é a mesma da resultante das forças

aplicadas.

• Sendo a massa maior que zero, deve-se adotar uma

convenção de sinais coerente com M > 0.

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Sistemas Mecânicos - V

• Convenc ˜ ao de sinais e procedimentos de modelagem:

Considerar o sistema em repouso como a origem dos

deslocamentos (molas no estado neutro: nem esticadas,

nem comprimidas, ou na posição de equilíbrio).

Contar os graus de liberdade (encontrar e contar todos os

pontos que podem se movimentar livremente).

Definir um sentido positivo para os deslocamentos e as

forças.

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Sistemas Mecânicos - VI

• Convenc ˜ ao de sinais e procedimentos de modelagem:

(continuação)

Para cada ponto material livre, aplicar a lei fundamental da

mecânica (considerando M eventualmente igual a zero para

os pontos de massa nula ou desprezível).

• Convenc ˜ ao: as forças que se opõem ao movimento

(elasticidade, atritos) devem ser contadas sempre

negativamente e as que provocam o movimento devem ser

consideradas positivas.

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Exemplo 1

• Sistema Massa-Mola:

• Equacionamento:

forças = M d2x(t)dt2

F (t)− kx(t) = M d2x(t)

dt2 ⇒ M

d2x(t)

dt2 + kx(t) = F (t)

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Exemplo 2

• Sistema Massa-Mola-Amortecedor: (paralelo)

• Equacionamento:

F (t)−kx(t)−f dx(t)

dt = M

d2x(t)

dt2 ⇒ M

d2x(t)

dt2 +f

dx(t)

dt +kx(t) = F (t)

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Exemplo 3

• Massa-mola-amortecedor: (serie)

• Deslocamento x: F (t)− f

dx(t)dt − dy(t)dt

= M d2

x(t)dt2 .

• Deslocamento y: f

dx(t)dt −

dy(t)dt

− ky(t) = 0.

→ Obtenha a função de transferência X (s)/F (s).

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Rotação - I

• Elementos Basicos da Rotac ˜ ao:

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Rotação - II

• O torque de atrito é não linear em relação a θ(t) e pode ser

aproximado por:

1. O torque de atrito seco (estático) é o torque necessário

para que o corpo comece a girar.

2. O torque de atrito dinâmico é proporcional ao aumentoda velocidade angular θ(t).

• O torque de atrito é sempre oposto ao movimento angular e

existe somente quando se aplica um torque que tende a

provocar movimento.

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Rotação - III

• Lei fundamental da mec anica:

• Convenc ˜ ao de sinais e procedimento de modelagem:

Considerar o sistema em repouso como a origem dos

deslocamentos angulares (molas no estado neutro: nem

esticadas, nem comprimidas).

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Rotação - IV

• Convenc ˜ ao de sinais e procedimento de modelagem:

(continuação)

Determinar os graus de liberdade (encontrar e contar todos

os pontos que podem se movimentar livremente).

Definir um sentido positivo para os deslocamentos e os

torques.

Para cada ponto material livre, aplicar a lei fundamental da

mecânica (com J eventualmente igual a zero para os pontos

de inércia nula ou desprezível).

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Motor DC - I

• A seguir, apresenta-se o modelo completo do motor DC.

•

Para tal, considera-se um motor de corrente contínua comexcitação separada (enrolamento de campo fixo ou ímã

permanente).

• A tensão de alimentação da armadura (bobinado do rotor)

será representada pela variável v(t).

• A carga mecânica aplicada ao motor é constituída pelo

momento de inércia J c e um atrito viscoso f c (supõe-se que

ela é conectada diretamente ao eixo do motor).

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Motor DC - II

• Do ponto de vista mecânico: o torque eletromagnético

gerado pelo motor T m deve acionar o momento de inércia

total

J t = J m + J c

onde J m é a inércia do rotor.

• Para o motor entrar em movimento é necessário vencer as

forças de atrito do motor f m e aqueles da carga f c.

•

Seja, então, f t o coeficiente total ou global de atrito, dadopor f t = f m + f c.

• Além dos torques acima, pode existir um torque resistente

adicional representado por T r.

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Motor DC - III

• Do ponto de vista elétrico, o circuito da armadura

(induzido) é um receptor que apresenta uma f.c.e.m., E (t),

proporcional ao fluxo e à velocidade de rotação Ω(t).

• O circuito da armadura apresenta uma resistência r

pequena e uma autoindutância l.

• Em geral, esse sistema eletromecânico apresenta duas

constantes de tempo bastante distintas: elétrica τ e = l/r e

mecânica τ m = J t/f t.

• Quando τ m >> τ e, pode-se desprezar a autoindutância l

levando a um sistema de primeira ordem.

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Motor DC - IV

• Modelagem e equacionamento:

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Exercício

1. Aplique a transformada de Laplace e obtenha uma

representação por diagrama em blocos para o motor,explicitando os sinais V (s), E (s), Ω(s), I (s) e T m(s).

2. No diagrama acima, como o T r é modelado ?

3. Obtenha a função de transferência relacionando Ω(s)/V (s).

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