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Macroeconomia I

Modelos de Crescimento Endógeno: AK, e Learning-by-Doing e P&D

Edilean Aragón

PPGE/UFPB

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1. Introdução

• Nos modelos de Solow e de Ramsey, temos que: – a taxa de crescimento per capita no estado estacionário é igual a taxa de

progresso tecnológico suposta exógena; – mudanças na taxa de poupança não afetam a taxa de crescimento das

variáveis expressas em termos per capita.

• Motivo: capital apresenta retornos decrescentes.

• No modelo AK, os retornos para o capital são sempre constantes. – Essa suposição é razoável se pensarmos o capital como a soma de capital

físico e humano.

• Retornos constantes podem gerar crescimento endógeno. – Não é necessário supor que alguma variável (por exemplo, tecnologia) cresça

a uma taxa exógena para gerar crescimento do produto per capita no longo prazo.

• Nós combinaremos a tecnologia AK com o comportamento otimizador de famílias e firmas. Nós verificaremos se a alocação de uma economia descentralizada é ótima no sentido de Pareto.

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1. Introdução

• Adicionalmente, nós estudaremos o modelo de learning-by-doing com transbordamento de conhecimento.

• Embora o modelo resulte em crescimento endógeno, a solução encontrada não é um ótimo de Pareto. – Esse resultado tem importantes implicações para formulação de políticas

governamentais.

• Por fim, nós apresentaremos o modelo crescimento para uma economia com dois setores: um que produz bens e outro que produz conhecimento. Nós estudaremos quais são as varáveis que determinam a taxa de crescimento do conhecimento e do produto por trabalhador nesse modelo.

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2. O modelo AK

2.1 Famílias

• Famílias vivendo infinitamente maximizam utilidade, dada por:

sujeita a restrição:

• Impõe-se a condição non-Ponzi game, dada por:

• As condições para otimização são:

1( )

0

1(1)

1

n t cU e dt

( ) (2)a r n a w c

0lim ( )exp [ ( ) ] 0 (3)

t

ta t r v n dv

/ (1/ )( ) (4)c c r

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e a condição de transversalidade

2.2 Empresas

• Firmas tem uma função de produção linear:

• Observe que o PMgK não é decrescente (f´´= 0) e as condições de Inada são violadas (f´(k) = A quando k tende para 0 ou infinito).

• Condição de maximização de lucro:

2.3 Equilíbrio

• Para uma economia fechada, a = k é mantido.

0lim ( )exp [ ( ) ] 0 (5)

t

ta t r n d

( ) (6)y f k Ak

(7)R r ou r A

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• Substituindo a = k e (7) em (2), (4) e (5), chegamos a

• Sendo c(0) o consumo em t = 0, c(t) é dado por:

• Assume-se que

isto é, a função de produção é suficientemente produtiva para assegurar crescimento em c, mas não para assegurar uma utilidade ilimitada.

• (9) mostra que o consumo sempre crescerá a uma taxa constante e independente de k. Assim, não há dinâmica de transição e a economia está sempre no SS.

( )

( ) (8)

(1/ )( ) (9)

lim ( ) 0 (10)A n t

t

k A n k c

c c A

k t e

(1/ )( )( ) (0) (11)A tc t c e

( )(1 ) (12)A A n

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• Dividindo (8) por k, pode-se expressar c/k como:

• No estado estacionário, o crescimento do capital per capita é constante. Logo, c/k é constante e k (e y) crescem a mesma taxa que c, dada por (9).

– No modelo AK, isso não é válido apenas no SS, mas em todo o tempo.

2.4 A dinâmica de transição

• Substituindo (11) em (8):

• A solução geral desta ED é:

onde

/ ( ) /c k A n k k

(1/ )( )( ) (0) A tk A n k c e

( ) (1/ )( )( ) (constante) [ (0) / ] (13)A n t A tk t e c e

( )( 1) / / ( ) 0 (14)A n A n

8

onde γ é dado por (9).

• Substituindo (13) na condição de transversalidade (10), temos:

• Como c(0) é finito e φ > 0, o segundo termo dentro das chaves converge para zero. Assim, a condição de transversalidade requer que a constante seja zero.

• Assim, (11) e (13) implicam que:

• Visto que y = Ak, segue que y, k e c crescem a mesma taxa, dada por (16). O modelo não tem dinâmica transacional. As variáveis k, c e y começam em k(0), c(0)= φk(0) e y(0)=Ak(0) e crescem sempre a mesma taxa.

lim constante+[ (0) / ] 0t

tc e

( ) ( ) (15)

/ / (1/ )( ) (16)

c t k t

k k c c A

9

• Pode-se observar ainda que um aumento permanente de n não afeta a taxa de crescimento (16), mas reduz o consumo per capita [ver (14) e (15)].

• Por outro lado, mudanças em A, θ e ρ afetam a taxa de crescimento e o nível de c e k.

• A taxa de poupança é dada por:

2.5 Determinantes do crescimento

• No modelo AK, taxa de crescimento de longo prazo depende dos parâmetros que determinam o desejo de poupar e a produtividade do capital.

( 1)( ) / (1/ )( / ) (17)

A ns K K Y A k k n

A

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• Valores mais baixos para ρ e θ (que indicam um aumentam o desejo de poupar) implicam em uma taxa de poupança mais alta (ver eq. 17) e uma taxa de crescimento (ver eq. 16) mais elevada.

• Um aperfeiçoamento da tecnologia (A) aumenta a produtividade marginal e média do capital, e também aumenta a taxa de crescimento per capita.

• Em contraposição, no modelo de Ramsey, as variáveis per capita crescem, no longo prazo, a taxa de progresso tecnológico, considerada como exógena. Um aumento no desejo de poupar ou em A aumenta o nível do capital e produto por trabalhador efetivo, mas não afeta a taxa de crescimento per capita.

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• Quantitativamente, o tamanho da diferença entre o modelo neoclássico e o modelo AK depende de quão rapidamente os retornos são decrescentes, o que determina por sua vez quão rapidamente a economia converge para o estado estacionário.

• Se os retornos decrescem lentamente, o período de convergência é longo. Assim, um aumento no desejo de poupar ou na produtividade pode afetar a taxa de crescimento per capita do modelo de Ramsey por um longo tempo, ainda que não seja para sempre.

• Assim, as diferenças entre os dois modelos ganham mais importância se a convergência ocorre rapidamente.

Problema do modelo: não prevê convergência absoluta ou condicional.

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Importante: o equilíbrio no modelo AK é ótimo de Pareto.

• Problema do planejador social benevolente com a mesma forma de função objetivo que a família representativa.

• Das CPO, pode-se demonstrar que:

• No qual é a mesma taxa de crescimento observada para a economia descentralizada [ver eq. (9)]

/ (1/ )( )c c A

1( )

0

1max

1

. ( ) ; ( ) 0; (0) .

n t ce dt

s a k Ak c n k c t k dado

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3. O modelo de um setor com capital físico e humano

• Função de produção:

onde H denota o capital humano. (18) apresenta retornos constantes de escala em K e H.

• Função de produção na forma intensiva:

onde f´(H/K) > 0.

• Produto pode ser usado (na base de um para um) para consumo, investimento em capital físico ou investimento em capital humano.

( , ) (18)Y F K H

( / ) (19)Y Kf H K

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• Os estoques de capital físico e capital humano depreciam-se a taxas δK e δH, respectivamente.

• L é suposta constante, de modo que, mudanças em H refletem apenas investimento líquido em capital humano.

• Deixe RK e RH serem os preços do aluguel pago por firmas competitivas pelo uso dos dois tipos de capital.

• Na ausência de barreiras à entrada, a condição de maximização de lucro e lucro zero implicam que os PMg de cada fator sejam iguais ao preço do aluguel:

• Visto que os dois tipos de capital são substitutos perfeitos entre si e com os bens de consumo, o preço de cada capital pode ser fixado em 1.

/ ( / ) ( / ) (́ / ) (20)

/ (́ / )

K

K

Y K f H K H K f H K R

Y H f H K R

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• Assim, as taxas de retorno dos proprietários de capital são RK - δK e RH – δH. Em equilíbrio, cada taxa de retorno deve ser igual a taxa r.

• Usando (20), a igualdade entre as taxas de retorno implicam que:

• Esta condição determina um único valor constante de H/K.

• Se definirmos A = f(H/K), então (19) implica que Y = AK. Assim, este modelo com dois tipos de capital é essencialmente o mesmo que o modelo AK.

• Isto mostra que se considerarmos K como uma proxy de capital físico e humano e retornos constantes para os dois tipos de capital, então o modelo AK pode ser visto como uma representação satisfatória deste modelo ampliado.

( / ) (́ / )(1 / ) (21)K Hf H K f H K H K

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4. Modelos com Learning by Doing e Spillovers de Conhecimento

4.1 Tecnologia

• Frankel (1962), Griliches (1979), Romer (1986), Lucas (1988) e outros tem construído modelos de crescimento endógeno onde efeitos transbordamentos tem uma importância central.

• Romer (1986) é o trabalho que tem exercido maior influência. Ele elimina a tendência de retornos decrescentes do capital ao assumir que a criação de conhecimento é um resultado do investimento.

• Uma firma que aumenta seu capital físico aprende simultaneamente como produzir com maior eficiência. Este efeito positivo é chamado de learning by doing (aprendizado pela prática).

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• Considere a função de produção para firma i:

• F(.) apresenta retornos constantes de escala, retornos marginais positivos e decrescentes para cada fator e satisfaz as condições de Inada.

• Tecnologia é aumentadora de trabalhado.

– Um estado estacionário existe quando Ai cresce a uma taxa constante (mas não exógena).

• A força de trabalho agregada, L, é suposta constante.

• Duas suposições sobre o crescimento da produtividade. Primeira, um aumento do estoque de capital da firma leva a um aumento no seu estoque de conhecimento.

• Isso reflete a ideia de Arrow (1962) de que conhecimento e ganhos de produtividade vem do investimento e produção.

( , ) (22)i i i iY F K AL

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• A segunda suposição é que o conhecimento de cada firma é um bem público que pode ser acessado por outras a um custo zero.

• Esta suposição implica que a mudança no termo de tecnologia de cada firma, Ȧi, corresponde a um aprendizado global da economia, Ȧ, e é, por isso, proporcional a uma mudança do estoque de capital agregado, dK/dt.

• Combinando essas duas suposições, nós podemos trocar Ai por K em (22):

• Se K e Li são constantes, cada firma depara-se com retornos decrescentes em Ki. Entretanto, se cada firma expandir Ki, então K aumenta e provoca um benefício do transbordamento que aumenta a produtividade de todas as firmas.

( , ) (23)i i iY F K KL

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• Além disso, (23) é homogênea de primeiro grau em Ki e K para um dado Li, isto é, há retornos constantes para o capital em nível agregado.

• É importante destacar que, por um lado, a suposição de transbordamento é natural porque o conhecimento é não rival.

• Por outro lado, as firmas tem incentivos para manter as suas descobertas em segredo e há proteção formal para isso (as patentes). Assim, inovações geram vantagens competitivas por algum tempo para a firma inovadora.

• A suposição extrema utilizada aqui, de que todas as descobertas tornam-se de conhecimento comum, permite manter a estrutura de competição perfeita.

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• O lucro da firma:

• Assumi-se que cada firma é pequena o suficiente para negligenciar sua própria contribuição para K, tomando assim essa variável como dada.

• Condição de maximização de lucro e lucro-zero:

onde F1(.) é o PMg do capital privado, ki.

• No equilíbrio, todas as firmas fazem a mesma escolha, de modo que ki = k e K = kL pode ser aplicado. Como F(ki, K) é homogênea de grau 1 em ki e K, o produto médio do capital pode ser expresso como:

onde f(L) – o PMe do capital – satisfaz f´(L) > 0 e f´´(L) < 0.

[ ( , ) ( ) ] (24)i i iL F k K r k w

1

1

/ ( , ) (25)

/ ( , ) ( , )

i i i

i i i i i

y k F k K r

Y L F k K k F k K w

( , ) / ( / ) ( ) (26)i i iF k K k f K k f L

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• Usando (26), o PMg do capital privado pode ser expresso como:

• Vê-se que esse PMg é menor que PMe, f(L), e invariante com relação a k.

1( , ) ( ) (́ ) (27)iF k K f L Lf L

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4.2 Equilíbrio

• Supondo que a economia é fechada e com famílias maximizadoras de utilidade que vivem infinitamente, temos que a restrição orçamentária é dada por (2), a taxa de crescimento do consumo per capita por (4) e a condição de transversalidade por (5).

• Usando a condição r = F1(ki,K) - δ e (27), então (4) fica:

• Como no modelo AK, (28) é constante pois L está fixado.

• Assume-se também que os parâmetros são tais que (ver eq. 12):

/ (1/ )[ ( ) (́ ) ] (28)c c f L Lf L

( ) (́ ) (1 )[ ( ) (́ ) ]/ (29)f L Lf L f L Lf L

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• Substituindo a = k e a CPO (25) em (2), chega-se a:

• Usando (30) e a condição de transversalidade (5), é possível demonstrar que o modelo não apresenta dinâmica de transição: k e y sempre crescem a mesma taxa que c, (28).

4.3 Não-otimalidade de Pareto e implicações de política

• Para verificar se o resultado acima é ótimo no sentido de Pareto, compara-se a solução de uma economia descentralizada com a solução do problema de um planejador central benevolente.

• O planejador maximiza (1) (com n igual a 0) sujeito a restrição de acumulação (30).

( ) (30)k f L k c k

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• Diferente do produtor individual, o planejador reconhece que o aumento do estoque de capital de uma firma eleva o capital agregado e, assim, contribui para aumentar a produtividade das demais firmas. Ele internaliza o transbordamento de conhecimento.

• O Hamiltoniano é dado por:

• Da manipulação das CPO, pode-se chegar a:

• (31) mostra que o planejador ajusta a taxa de crescimento de c de acordo com a PMe do capital, f(L).

• Para uma economia descentralizada, (28) mostra que a taxa de crescimento de c é ajustada de acordo a PMg do capital privado.

• Como PMg do capital privado < PMe do capital, então a taxa de crescimento é menor em uma economia descentralizada.

1( 1) /(1 ) [ ( ) ]tJ e c v f L k c k

/ (planejador) (1/ )[ ( ) ] (31)c c f L

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• Em termos de implicações de políticas, é possível que o ótimo social possa ser alcançado em uma economia descentralizada através da compra subsidiada de bens de capital.

• Uma alternativa para encontrar o ótimo social é o governo subsidiar a produção.

• Para evitar outras distorções, os subsídios ao capital ou produção devem ser financiados com impostos lump-sum.

4.4 Um exemplo

• Considere a função de produção Cobb-Douglas:

• Substituindo yi = Yi/Li, ki = Ki/Li e k = K/L, e ajustando yi = y e ki = k, o PMe do capital é:

1( ) ( ) (32)i i iY A K KL

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• Derivando (32) com relação a Ki, mantendo K e L fixados e substituindo ki = k, temos que o PMg do capital privado é:

• Como 0 < α < 1, então temos que o PMg (34) é menor que o PMe (33).

• Substituindo (34) em (28), temos que a taxa de crescimento para uma economia descentralizada é:

• Substituindo (33) em (31), temos que a taxa de crescimento para o planejador social é:

1/ ( ) (33)y k f L AL

1/ (34)i iY K A L

1/ (1/ )[ ] (35)c c A L

1/ (planejador) (1/ )[ ] (36)c c AL

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• Como α < 1, então (35) < (36).

• O ótimo social pode ser encontrado na economia descentralizada se o governo introduzir um subsídio a produção de taxa igual a (1 - α)/α.

• Uma alternativa seria o governo conceder um crédito fiscal para o investimento com taxa de 1 - α e financiá-lo com imposto lump-sum.

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5. Modelos de Pesquisa e Desenvolvimento (P&D)

5.1 Suposições

• Progresso tecnológico é uma possível razão pela qual as economias atualmente produzam uma maior quantidade bens, dado a quantidade de trabalho e capital.

• Nesta seção, nós introduziremos um setor de P&D e estudaremos a produção de novas tecnologias.

• Nos assumiremos que capital, trabalho e tecnologia são utilizadas pelo setor de P&D para a produção de nova tecnologia (novo conhecimento).

• O modelo é uma versão simplificada dos modelos apresentados por Romer (1990), Grossman e Helpman (1991) e Aghion e Howitt (1992).

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• A economia tem dois setores: o setor que produz bens e o setor de P&D.

• A quantidade de produto produzido no tempo t é dada por:

onde 1-aK (1-aL) é a fração do capital (força de trabalho) usado no setor que produz bens. A função de produção (37) implica em retornos constantes em K e L.

• A produção de novas ideias é dada por:

onde B é um parâmetro de deslocamento.

• Observe que nós não assumimos que a função de produção de conhecimento apresenta retornos constantes de escala em K e L (a ideia de replicação não faz sentido).

• Nós consideramos a possibilidade de retornos decrescentes ou de retornos crescentes para essa função.

1( ) [(1 ) ( )] [ ( )(1 ) ( )] , 0 1 (37)K LY t a K t A t a L t

( ) [ ( )] [ ( )] ( ) , 0, 0, 0 (38)K LA t B a K t a L t A t B

30

• O parâmetro θ mede o efeito do conhecimento existente sobre o sucesso da P&D. Ele pode ser positivo ou negativo.

• Se as descobertas do passado proveem ideias e ferramentas que facilitam novas descobertas, então θ > 0.

• Se as descobertas mais fáceis são feitas primeiramente, então pode ser mais difícil fazer novas descobertas quando o estoque de conhecimento é grande. Neste caso, θ < 0.

• A taxa de poupança (s) é suposta exógena e constante, e a taxa depreciação é igual a zero. Assim:

• A população cresce a uma taxa constante e igual a n. Logo:

( ) ( ) (39)K t sY t

( ) ( ), 0 (40)L t nL t n

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5.2 O modelo sem capital

• Quando não há capital, temos que:

• Aplicando Ln em ambos os lados de (43) e diferenciando com relação a t, temos:

• Multiplicando ambos os lados de (44) por gA(t), temos:

• Os valores iniciais de L e A e os parâmetros do modelo determinam o valor inicial de gA, e (45) determina o seu comportamento subsequente.

( ) ( )(1 ) ( ) (41)LY t A t a L t

( ) [ ( )] ( ) (42)LA t B a L t A t 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (43)A Lg t A t A t Ba L t A t

( )( 1) ( ) (44)

( )

AA

A

g tn g t

g t

2( ) ( ) ( 1)[ ( )] (45)A A Ag t ng t g t

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• Para analisarmos como a taxa de crescimento de gA se comporta (e assim caracterizarmos o comportamento de Y/L), vamos analisar três casos: θ < 1, θ > 1, e θ = 1.

Caso 1: θ < 1

• A Figura a seguir mostra o diagrama de fases para gA quando θ < 1. Veja que (42) implica que gA (dado por 43) é sempre positivo. Para pequenos (grandes) valores de gA , ġA é positivo (negativo).

• O valor de gA que implica em ġA = 0 é dado por:

• Veja que, independente das condições iniciais, gA converge para g*A .

• Quando gA alcança g*A , A e Y/L crescem a uma taxa constante e igual a

(46). A economia está na trajetória de crescimento equilibrado.

* (46)1

Ag n

33

34

• O modelo apresenta crescimento endógeno: a taxa de crescimento de Y/L no longo prazo é determinada dentro do modelo, e não por uma taxa exógena de crescimento tecnológico.

Implicação 1: g*A é uma função crescente de n. Além disso, crescimento

populacional positivo é necessário para o crescimento sustentado de Y/L.

Problema: crescimento de Y/L não é mais rápido em países com maiores valores de n.

• Se pensarmos neste modelo como um modelo de crescimento para a economia mundial, a implicação acima é razoável. – Quanto maior a população mundial, maior a quantidade de pessoas fazendo

novas descobertas.

35

Implicação 2: a fração da força de trabalho engajada no setor de P&D, aL, não afeta o crescimento de longo prazo. – Poderíamos esperar que, como o progresso tecnológico é endógeno, um

aumento na fração de recursos da economia destinados ao setor de P&D levasse a um aumento do crescimento no longo prazo.

• A implicação 2 é observada porque, com θ < 1, o aumento de aL tem um efeito de nível, mas não um efeito de crescimento sobre a trajetória de A.

• Porque a contribuição de conhecimento adicional para produzir novo conhecimento é limitada, o aumento de gA não é sustentado.

36

Caso 2: θ > 1

• Este corresponde ao caso em que a produção de novo conhecimento aumenta mais que proporcionalmente com o estoque existente.

• A eq. (45) implica que ġA é crescente em gA. O diagrama de fases é apresentado abaixo.

37

Implicação 1: a economia exibe um crescimento sempre crescente, ao invés de convergir para uma trajetória de crescimento equilibrado. – Grande importância do conhecimento: Um aumento marginal no nível de

conhecimento gera um aumento tão grande de novo conhecimento que a taxa de crescimento do conhecimento aumenta.

Implicação 2: um aumento de aL causa uma elevação em gA e, consequentemente, em ġA .

Caso 3: θ = 1

• Neste caso, as expressões (43) e (45) são simplificadas para:

• Se n > 0, gA é crescente no tempo. A dinâmica é similar a caso θ > 1. O diagrama de fases é apresentado na figura a seguir.

( ) ( ) (47)A Lg t Ba L t

( ) ( ) (48)A Ag t ng t

38

39

• Se o crescimento populacional é zero, gA é constante independente da sua situação inicial. – Não há ajustamento para a trajetória de crescimento equilibrado: de

imediato, as variáveis conhecimento, produto e produto por trabalhador crescem todas a uma taxa igual Baγ

L Lγ.

Implicação 1: aL afeta a taxa de crescimento de longo prazo da economia.

• Observe que, neste modelo, o produto é usado apenas para o consumo. Assim, 1-aL denota a fração de recursos da economia destinados à produção de bens para o consumo corrente, enquanto que aL é a fração de recursos destinados à produção de um bem (conhecimento) que aumenta o produto no futuro.

• Logo, nós podemos pensar em aL como uma mensuração da taxa de poupança.

• Tal como no modelo AK, este modelo implica que a taxa de poupança afeta o crescimento de longo prazo.

40

5.3 O caso geral

• Quando introduzimos capital, o modelo passa a ser descrito pelas equações (37)-(40). Nesse caso, há duas variáveis de estoque endógenas, A e K.

• Substituindo (37) em (39), temos:

• Dividindo ambos os lados por K(t) e definindo cK = s(1-aK)α(1-aL)1-α, temos:

• Aplicando Ln em ambos os lados e diferenciando com relação ao tempo, obtemos:

1 1 1( ) (1 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) (49)K LK t s a a K t A t L t

1

( ) ( )( ) ( ) ( ) (50)

( )K K

A t L tg t K t K t c

K t

( )(1 )[ ( ) ( )] (51)

( )

KA K

K

g tg t n g t

g t

41

• (50) mostra que gK é sempre positivo. Assim, gK está crescendo quando gA + n - gK é positivo, caindo se essa expressão é negativa, e constante se gK = gA + n.

42

• Dividindo ambos os lados de (38) por A(t), temos:

• Aplicando Ln de ambos os lados e diferenciando com relação ao tempo, temos:

• Assim, gA está crescendo quando βgK + γn + (θ-1)gA é positiva, caindo se essa expressão é negativa, e constante se ela é igual a zero. Observe que ġA = 0 implica que:

• A figura a seguir apresenta o locus ġA = 0 para o caso em que θ < 1.

1( ) ( ) ( ) ( ) (52)A Ag t c K t L t A t

( )( ) ( 1) ( ) (53)

( )

AK A

A

g tg t n g t

g t

1(54)K A

ng g

43

44

• Observe que a função de produção (37) apresenta retornos constantes de escala em K e A.

• Nesta situação, a existência de retornos líquidos de escala constantes, decrescentes ou crescentes dependerá dos retornos de escala na função de produção de conhecimentos (38). – O grau de retornos de escala na produção de conhecimento é dado por β+θ:

aumentando K e A em um fator X, a produção de conhecimento eleva-se por um fator Xβ+θ.

• Agora, para sabermos a chave determinante do comportamento da economia no longo prazo, devemos comparar β+θ com 1. – Nós analisaremos dois casos: i) β + θ < 1; e ii) β + θ = 1 com n = 0.

– Os casos β + θ > 1 e β + θ = 1 com n > 0 tem implicações semelhantes ao de θ > 1 no modelo visto na seção 5.2

45

Caso 1: β + θ < 1

• β + θ < 1 implica que (1- θ)/β > 1. Assim, o locus ġA é mais inclinado que o locus ġK. O diagrama de fases é apresentado na figura a seguir.

• Os valores de gA e gK são determinados pelos parâmetros do modelo e pelos valores iniciais de A, K e L.

• Independente de onde gA e gK comecem, eles convergirão para o ponto E. Nesse ponto, ġA = ġK = 0 e logo:

• Sabendo que g*K = g*

A + n, substituindo isso em (56) e resolvendo para g*

A , temos:

* *

* *

0 (55)

( 1) 0 (56)

A K

K A

g n g

g n g

* (57)1 ( )

Ag n

46

47

• Resultados (semelhantes ao caso θ <1):

– Taxa de crescimento de longo prazo da economia é endógena;

– Crescimento de longo prazo é uma função crescente do crescimento populacional;

– Crescimento populacional zero implica em crescimento de longo prazo igual a zero;

– aK e aL não afetam o crescimento de longo prazo.

Caso 2: β + θ = 1 e n = 0

• Neste caso, as expressões dos locus ġA = 0 e ġK = 0 são ambas dadas por gK = gA. O diagrama de fases é mostrado a seguir.

• Independente de onde a economia comece, a dinâmica gK e gA levam a economia para a linha de 45 graus. Nesta linha, gK e gA são constantes e a economia está na sua trajetória de crescimento equilibrado.

48

49

• O modelo não diz qual é a trajetória para qual a economia converge, mas é possível demonstrar que, dado os valores dos parâmetros, há apenas uma trajetória de crescimento equilibrado.

Referência

Barro, R. e Sala-i-Martin, X. Economic Growth, 2ª ed., cap. 4.

Romer, D. Advanced Macroeconomics, 3ª ed., cap. 3, seções 3.1-3.3.

50