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Joel Roberto Guimaraes Vasco
Modelo conceitual de dissipacao da energia
da onda que se propaga por fundos
vegetados
Ilha Solteira
Agosto de 2005
Livros Grátis
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Joel Roberto Guimaraes Vasco
Modelo conceitual de dissipacao da energia
da onda que se propaga por fundos
vegetados
Dissertacao de mestrado apresentada aocurso Pos-Graduacao em Engenharia Civilda Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira- Universidade Estadual Paulista, como pre-requisito para a obtencao do tıtulo de Mestreem Recursos Hıdricos e Tecnologias Ambien-tais
Orientador:
Geraldo de Freitas Maciel
Universidade Estadual PaulistaCampus de Ilha Solteira
Ilha Solteira
Agosto de 2005
Dedicatoria
Para Marcela e Rodolfo
Agradecimentos
Dificilmente um bom trabalho e realizado sem o apoio de varias pessoas que, mesmo com
uma conversa informal, garante-nos o conforto e a forca necessaria para prosseguirmos e
atingirmos nossos objetivos. E neste momento oportuno essas pessoas e/ou entidades sao
lembradas. Listarei todos aqueles que de alguma forma contribuıram para a conclusao com
sucesso dessa dissertacao de mestrado, mas nao por ordem de importancia. De antemao,
peco desculpas a alguem que porventura venha a esquecer. Isto posto, agradeco:
A agencia de fomento FAPESP pela concessao de bolsa de mestrado, garantindo
minha dedicacao exclusiva a pesquisa. Agradeco tambem a Faculdade de Engenharia
de Ilha Solteira e ao Programa de Pos-Graduacao de Engenharia Civil (PPGEC), por
garantir minha formacao em um ambiente de trabalho propıcio a troca de ideias e excelente
convıvio social.
A CAPES, que atraves do projeto PROCAD intitulado “Amigos de Boussinesq”
possibilitou-me um intercambio fundamental a consolidacao de conhecimento adquirido e
contato com outras unidades de ensino superior. Neste contexto, agradeco o IPH-UFRGS
pelo convıvio, embora rapido, mas de grande importancia. Nao posso deixar de citar a
Profa. Nara Rosauro, pela paciencia e “dicas numericas” e o Prof. Paulo Kroeff, pelo
apoio logıstico.
Ao pessoal da Coppe-UFRJ que recebeu-me de bracos abertos durante o perıodo de
marco a maio de 2004. Agradeco ao Prof. Claudio Neves, pela dedicacao na docencia e
conversas informais, que em muito contribuiu para garantir uma boa estada no Rio de
Janeiro. Aos amigos do Rio: Maria Francisca, Savio, Antonio, Max, Pedro Cardoso e
Carlos “CH” Henrique.
Ao laboratorio da Poli-USP, na figura dos pesquisadores Joao Alcino Martins e Car-
los Alberto, que tanto colaboraram na parte experimental, pensando junto conosco e
propondo solucoes sempre objetivas e bem-vindas. Agradeco tambem ao INPH-RJ, pelo
acolhimento e disposicao para os ensaios experimentais.
A banca examinadora, por aceitar contribuir, com entusiasmo e criterio cientıfico, na
avaliacao deste trabalho.
Aos docentes de Ilha Solteira, pelo convıvio de longa data . . . Agradeco ao Prof. Ge-
raldo Maciel, que me orienta desde a iniciacao cientıfica, apostando em meu potencial.
Alem disso, agradeco pelas oportunidades vislumbradas, concretizadas e por tudo que
me foi ensinado durante o tempo de convıvio. Agradeco ao Prof. Milton Dall’Aglio, pela
capacidade em resolver problemas em diversos assuntos e bons conselhos. Apenas lamento
nao poder ter aprendido tudo dele o que julgo suficiente.
Ao pessoal de Ilha Solteira, amigos nesta luta profissional. Fernando Rufato, Pe-
dro “Ceara” Segundinho, Marcelo, Wagner, Peron, Hamilton, Rodrigo “Porva” Menossi,
Andre, Mario, Otoniel, Tarso, Hugo, Eduardo “Antimonio” Lourenco, Roberta e Hum-
berto. Agradeco especialmente a Ana Carolina, a “Carol”, pela atuacao fundamental,
tanto como crıtica como revisora do trabalho final.
A minha famılia, principalmente pelo apoio incondicional e por entender os motivos
pelos quais nunca podia me ausentar muito de Ilha Solteira. Agradeco tambem aos meus
amigos de minha terra natal, Orlando Cavalari e Fabrıcio de Paula.
Resumo
O objetivo desta dissertacao de mestrado e investigar a dissipacao da energia da ondaquando esta se propaga por obstaculos naturais, como a vegetacao e demais organismosaquaticos semelhantes, que habitam os fundos de corpos d’agua. Procura-se avaliar tantoo efeito do organismo na onda (aspecto energetico) quanto o efeito da onda incidentesobre o organismo (aspecto dinamico). O efeito do organismo sobre a onda e a dissipacaode energia, avaliada em termos da reducao da altura da onda. O aspecto energeticoe quantificado atraves do trabalho realizado pela onda para movimentar os organismosaquaticos.
O efeito da onda sobre o organismo e investigado em termos da oscilacao adquiridapelo mesmo. Para modelar o aspecto dinamico, e empreendida uma analogia do com-portamento dos organismos como vigas viscoelasticas engastadas, tendo a equacao dadinamica sido deduzida para um grupo particular de organismos (frageis/rıgidos).
Ensaios de cunho experimental sao realizados em canal de ondas em grandes labo-ratorios no paıs, e analises numericas de sensibilidade e aplicabilidade do modelo con-ceitual desenvolvido, sao sistematicamente empreendidas. Os resultados experimentaisavaliam o aspecto energetico e dinamico, simulando a mecanica dos organismos aquaticospor cordas de nylon (fragil). Os resultados numericos, por sua vez, avaliam parametrosfısicos no comportamento geral dos organismos (rıgidos). De um modo geral, os ensaiosnumericos com o modelo desenvolvido, apontam para prognosticos que corroboram mo-delos da literatura.
Palavras-chave: ondas de gravidade, dissipacao de energia, vegetacao, resultadosexperimentais e numericos
Abstract
This master of science’s thesis has as an aim to investigate the energy loss due tonatural obstacles, as the vegetation and similar organisms that live on lakes’ bottom. Ithas been evaluated how the organisms can affect the waves (energy point of view) and alsohow the waves can affect the organisms (dinamic point of view). The energy loss is howthe organism affect waves, and it is quantified through the wave height decreases. Theenergetic aspect is represented by the wave work made to oscilate the aquatics organisms.
The way that the waves can affect the organisms is represented by the oscilationaquired by them. In order to model de dinamic aspect, it was made an analogy of theorganisms with cantilevered viscoelastic beams, and the dinamic equation is obtained toa particular group of organisms (tensile/bending classification).
There were made experimental tests in wave flumes on the greatest laboratories inBrazil, and numerical analysis of sensibility and aplicability in the developed model.The experimental results evaluate the energetic and dinamic aspects, simulating aquaticsorganisms by nylon ropes (tensile). The numerical results, however, evaluated physicalproperties on the general behavior of organisms (bending). In a general way, the numericaltests with the developed model, show good agreement with literature models.
Key words: gravity waves, energy loss, vegetation, numerical and experimental re-sults
Sumario
Lista de Sımbolos
Lista de Figuras
1 Introducao p. 18
1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19
2 Estado da arte p. 23
2.1 Vertente Mecanicista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26
2.1.1 Modelo de Price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27
2.1.2 Modelo de Dalrymple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29
2.1.3 Modelo de Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30
2.1.4 Modelo de Mendez e Losada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32
2.2 Vertente Biomecanicista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35
2.2.1 Organismos frageis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
2.2.1.1 Modelo de Utter e Denny . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
2.2.1.2 Modelo de Gaylord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40
2.2.2 Organismos rıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41
2.2.2.1 Modelo de Gaylord et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41
3 Coeficiente de arrasto p. 43
3.1 Estruturas rıgidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44
3.2 Estruturas flexıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46
Sumario
4 Apresentacao do modelo p. 50
4.1 Parcela dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50
4.1.1 Concepcao e proposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50
4.1.2 Relacao tensao-deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53
4.1.3 Isotropia do organismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55
4.1.4 Equacao de Euler-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56
4.1.5 Fases da dissipacao de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56
4.1.6 Forcas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57
4.2 Parcela energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59
5 Atividades experimentais p. 62
5.1 Atividades de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62
5.2 Atividades laboratoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67
5.2.1 Organismo simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67
5.2.2 Ensaios na EPUSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69
5.2.3 Ensaios no INPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 72
6 Resultados p. 75
6.1 Resultados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76
6.1.1 Aspecto dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76
6.1.2 Aspecto energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78
6.2 Resultados Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 82
6.2.1 Aspecto dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 82
6.2.2 Aspecto energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 87
7 Conclusoes e perspectivas futuras p. 92
Referencias p. 96
Sumario
Apendice A -- Discretizacao da equacao da dinamica p. 98
Apendice B -- Resultados complementares p. 106
B.1 Domınios de validade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 106
Lista de Sımbolos
A : area de bloqueio ao escoamento [m2]
A∗ : area efetiva [m2]
AS : area da secao transversal do organismo [m2]
AT : area de bloqueio total, soma das areas de bloqueio individuais [m2]
~a : vetor aceleracao do fluido [m/s2]
~aK : vetor aceleracao adquirida pelo organismo [m/s2]
~aR : vetor aceleracao relativa entre o fluido e o organismo [m/s2]
~B : vetor empuxo [N ]
bP : espacamento entre os organismos [m]
bV : area de bloqueio de cada organismo pro unidade de de altura [m]
CA : coeficiente de massa adicional [adimensional]
CD : coeficiente de arrasto [adimensional]
CM : coeficiente de inercia [adimensional]
cG : celeridade de grupo [m/s]
D : diametro representativo do organismo [m]
D′
: coeficiente que fornece indicadores do grau de amortecimento da energia da onda
[s−1]
E : energia da onda por unidade de largura da crista por comprimento de onda [N/m]
E0 : energia da onda incidente [N/m]
Eloss : modulo de perda [N/m2]
ES : modulo elastico a flexao [N/m2]
ET : modulo elastico a tracao [N/m2]
Evisc : modulo viscoso [Ns/m2]
e1 : indicador de reducao do arrasto devido a flexibilidade dos organismos [adimensional]
~F : forca total atuante no organismo aquatico [N ]
F45 : forca necessaria para flexionar o elemento em 45 graus [N ]
~FD : forca de arrasto atuante no organismo aquatico [N ]
FD : intensidade da forca de arrasto atuante no organismo aquatico [N ]
~FI : forca de inercia do organismo aquatico [N ]
Lista de Sımbolos
~FT : forca de tracao atuante no organismo aquatico [N ]
fI : resistencia inercial [N/m]
g : intensidade da aceleracao gravitacional [m/s2]
H : funcao altura da onda [m]
H0 : altura da onda que incide no campo de organismos (H em y = 0) [m]
h : lamina normal [m]
h0 : profundidade inicial (quando considerada uma declividade nao-nula) [m]
I : momento de inercia [m4]
K : coeficiente de Keulegan-Carpenter [adimensional]
KE : coeficiente que depende da area projetada, massa especıfica e coeficiente de arrasto
[adimensional]
KM : coeficiente de atenuacao para uma determinada posicao [adimensional]
KS : shoaling coefficient [adimensional]
KV : coeficiente de atenuacao adimensional [adimensional]
k : numero de onda [m−1]
kI : coeficiente de atenuacao segundo funcao exponencial (parte imaginaria do numero de
onda) [m−1]
kR : parte real do numero de onda [m−1]
L : comprimento de onda [m]
l : altura do organismo aquatico [m]
l1 : distancia do fundo ao ponto de aplicacao do arrasto; altura efetiva [m]
lC : extensao do campo de organismos [m]
M : momento fletor interno da secao [Nm2]
ME : massa total efetiva do organismo [kg]
m : massa linear do elemento [kg/m]
N : numero de organismos por unidade de area horizontal [m−2]
P : esforco pontual [N ]
p : intensidade da forca externa transversal ao elemento por metro [N/m]
q : intensidade da forca externa longitudinal ao elemento por unidade de volume [N/m3]
Re : numero de Reynolds [adimensional]
RH : raio hidraulico [m]
S0 : declividade [adimensional]
SD : coeficiente de forma empırico (semelhante ao coeficiente de arrasto) [adimensional]
T : perıodo da onda [s]
TP : perıodo de pico [s]
Lista de Sımbolos
t : variavel temporal [s]
~u : vetor velocidade do fluido [m/s]
~uK : vetor velocidade adquirida pelo organismo [m/s]
~uR : vetor velocidade relativa entre o fluido e o organismo [m/s]
u : intensidade da componente horizontal do vetor velocidade do fluido [m/s]
u∗ : velocidade de atrito [m/s]
uC : maxima velocidade horizontal no meio do campo com organismos [m/s]
V : volume ocupado pelo organismo (volume submerso) [m3]
V ′ : esforco cisalhante [N ]
~v : vetor velocidade vertical do fluido [m/s]
w : frequencia angular [s−1]
x : eixo transversal a direcao de propagacao da onda [m]
y : eixo (direcao) de propagacao da onda [m]
α1 : coeficiente de atenuacao segundo funcao quociente [m−1]
β0 : coeficiente que relaciona arrasto e velocidade relativa [adimensional]
β1 : coeficiente de atenuacao segundo funcao quociente, obtido por Mendez e Losada
(2004) [m−1]
γ : coeficiente de atenuacao segundo funcao tipo raız quadrada [m−1]
ε0 : erro medio
ε : deformacao do elemento [adimensional]
εG : taxa de dissipacao de energia medianizada em um perıodo de onda [Nm−1s−1]
η : denivelacao da superfıcie livre [m]
η0 : relacao entre comprimento fletido e comprimento total do organismo [adimensional]
ν : viscosidade cinematica do fluido [m2/s]
ρ : massa especıfica do fluido [kg/m3]
ρK : massa especıfica do organismo aquatico [kg/m3]
κ : curvatura da secao [adimensional]
σ : tensao axial total [N/m2]
σ0 : tensao axial [N/m2]
χ : representa o deslocamento longitudinal do organismo (na direcao do eixo x) [m]
ζ : representa o deslocamento transversal do organismo (na direcao do eixo y) [m]
Lista de Figuras
1 Processos erosivos nas margens do lago formado pela barragem de Ilha
Solteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18
2 Vista da Represa de Salto Grande (Americana-SP) a 50m da barragem p. 19
3 Posicao dos eixos coordenados adotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24
4 Modelo adotado, com a divisao do escoamento em duas regioes sobrepostas p. 29
5 Surgimento de instabilidades tipo Kelvin-Helmholtz no escoamento osci-
latorio com a presenca de obstaculos - organismos aquaticos . . . . . . p. 31
6 Esquema do modelo adotado e adaptado de Utter e Denny (1996) . . . p. 37
7 Diminuicao do arrasto e diminuicao da flexao da alga Chondrus crispus
localizada na regiao de “esteira” (fonte: Johnson (2001)) . . . . . . . . p. 44
8 Esquema do metodo de determinacao de ES (alterado de Freeman, Rah-
meyer e Copeland (2000)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48
9 Organismo submetido a um carregamento hidrodinamico, modelado como
uma viga viscoelastica engastada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52
10 a) Material perfeitamente elastico, b) Material perfeitamente viscoso e
c) Material viscoelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54
11 a) Modelo de Voigt, b) Modelo de Maxwell e c) Modelo hıbrido . . . . p. 55
12 a) Vista da Fazenda de Ensino da FEIS-Unesp e b) incidencia de ondas
em campo vegetado no sıtio de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62
13 a) Erosao nas margens do lago formado pela barragem de Ilha Solteira e
b) organismo predominante no sıtio de estudo (Brachiaria subquadrıpara) p. 63
14 a) Esquema da gaiola e disposicao dos sensores e b) gaiola com a tela de
nylon (aparato concebido a partir de experimentos de Pereira (2001)) . p. 64
Lista de Figuras
15 a) e b) Momentos do lancamento da torre PEM no lago e a c) torre
implantada, com a gaiola e os sensores capacitivos . . . . . . . . . . . . p. 65
16 Levantamento topografico do sıtio de estudo . . . . . . . . . . . . . . . p. 66
17 Representacao do organismo utilizado por a) Lovas e Torum (2001) e b)
Ghisalberti e Nepf (2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68
18 Representacao do 1 ◦ campo vegetado adotado para o modelo desenvolvido p. 68
19 Outros tipos de representantes da vegetacao (da esquerda para a direita):
a) tiras de saco plastico, tiras de garrafa plastica de refrigerante, tiras de
borracha, canudo plastico b) e corda de nylon . . . . . . . . . . . . . . p. 69
20 Laboratorio de Engenharia Naval e Oceanica da USP-SP, (a) canal e (b)
gerador tipo cunha (plunger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70
21 Posicionamento das sondas S1 (sonda 1), S2 (sonda 2) e S3 (sonda 3) no
canal da EPUSP-SP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70
22 a) Cordas de nylon simulando a vegetacao no Laboratorio de Engenharia
Naval e Oceanica da USP-Sao Paulo e b) detalhe das cordas de nylon . p. 71
23 Espectros de frequencia para uma onda de altura de 4, 13cm, perıodo de
1, 75s e profundidade de 0, 8m. Sao mostrados os casos (a) com e (b)
sem vegetacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71
24 Ensaio com campo de cordas de nylon com extensao lC = 2m, cujas
caracterısticas da onda incidente sao: H0 = 2.47cm, T = 0, 58s e h = 0, 8m p. 72
25 a) Cordas de nylon e b) disposicao das sondas resistivas ao longo do canal
de ondas do INPH-RJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73
26 Disposicao da malha onde foram fixadas as cordas de nylon em a) planta
e b) corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73
27 Comparacao entre o modelo desenvolvido e o resultado experimental,
para uma altura de onda de 0, 1m, perıodo de 1s e profundidade local de
0, 75m (deslocamento da ponta da corda de nylon) . . . . . . . . . . . p. 74
28 Variacao do CD calibrado em termos da profundidade relativa h/L . . . p. 77
29 (a) Deslocamentos e (b) velocidades do no superior da corda de nylon,
para a configuracao de ensaio E02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78
Lista de Figuras
30 (a) Deslocamentos e (b) velocidades do no superior da corda de nylon,
para a configuracao de ensaio E08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 79
31 (a) Deslocamentos e (b) velocidades do no superior da corda de nylon,
para a configuracao de ensaio E11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 80
32 Variacao de CD com o numero de Keulegan-Carpenter (K) . . . . . . . p. 80
33 Dissipacao de energia da onda, para a configuracao de ensaio E22 . . . p. 81
34 Dissipacao de energia da onda, para a configuracao de ensaio E25 . . . p. 81
35 Dissipacao de energia da onda, para a configuracao de ensaio E28 . . . p. 81
36 Esforco transiente representando a quebra da onda em regioes entre
mares, segundo Gaylord, Hale e Denny (2001) . . . . . . . . . . . . . . p. 83
37 Comportamento dinamico, segundo a variacao do a) diametro D e b)
massa especıfica ρK do organismo simulado . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84
38 Comportamento dinamico, segundo a variacao do modulo viscoso Evisc
do organismo simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 85
39 Comportamento dinamico, segundo a variacao do modulo a flexao ES do
organismo simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 85
40 Comportamento dinamico, segundo a variacao de β0, para uma onda
com: H = 0, 1m, T = 1, 5s, l = 0, 6m, h = 0, 7m, CD = 0, 5, largura do
campo (lC) = 5m, espacamento entre os organismos (e = 0, 05m) . . . . p. 86
41 Evolucao dos deslocamentos do organismo com o tempo, para um a)
pulso senoidal e b) onda com T = 1s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 86
42 Porcentagem da dissipacao da energia da onda em um perıodo de onda,
segundo a variacao da profundidade relativa h/L. As caracterısticas do
ensaio numerico sao: H = 0, 1m, l = 0, 6m, h = 0, 7m, CD = 0, 5, largura
do campo (lC) = 3m, espacamento entre os organismos (e = 0, 05m) . . p. 87
43 Porcentagem da atenuacao da energia da onda em um campo com orga-
nismos aquaticos, analisando o efeito da profundidade relativa h/L . . . p. 88
44 Atenuacao de energia da onda em um campo, com as seguintes carac-
terısticas: lC = 10m, e = 0, 05m, CD = 0, 5 e ES = 5× 1010N/m2 . . . p. 89
Lista de Figuras
45 Perda de energia da onda em termos percentuais ao longo da extensao
do campo de organismos, segundo a variacao de β0, para uma onda com:
H = 0, 1m, T = 1, 5s, l = 0, 6m, h = 0, 7m, CD = 0, 5, largura do campo
(lC) = 5m, espacamento entre os organismos (e = 0, 05m) . . . . . . . . p. 90
46 Influencia da densidade de organismos por metro quadrado na dissipacao
da energia da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 91
47 Esquema de um caso particular estudo - viga elastica com carregamento
pontual (∆ = 0 no caso da abordagem linear) . . . . . . . . . . . . . . p. 106
48 Domınios de validade das abordagens linear e nao-linear, sendo a area
hachurada a faixa onde o modelo e valido . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 107
49 Comparacao entre a deformada do modelo e as diferentes abordagens,
com Pl2/EI = 2, 37× 10−6 e y/l = 6, 79× 10−7 . . . . . . . . . . . . . p. 107
18
1 Introducao
A acao de ondas gravitacionais e correntes pode se constituir em um elemento de
grande preocupacao para os engenheiros. Assim, a modificacao de conformacoes de praia,
transporte de sedimentos ao longo da costa e na calha fluvial, acesso a portos, etc, sao
apenas alguns exemplos dos efeitos nocivos da acao das ondas para o homem. Devido a
elevacao relativa do nıvel medio do mar, cabe ainda lembrar a questao da defesa de litoral.
Em um contexto regional, focalizando o potencial navegavel da regiao do noroeste
paulista, as ondas gravitacionais atuam no sentido de erodir margens de rios e encostas
de corpos d’agua, causando dificuldades para navegabilidade e perda de investimento
financeiro. O homem, atraves de obras de contencao, procura amenizar os efeitos nocivos
causados pelas ondas.
A natureza possui, entretanto, mecanismos proprios de amenizar a energia das ondas.
A pratica de proteger a vegetacao que habita as margens de corpos d’agua ou planta-las
(figuras 1a e 1b) e um exemplo. Entretanto, o mecanismo pelo qual a energia da onda e
absorvida pela vegetacao nao e ainda inteiramente conhecido.
Figura 1: Processos erosivos nas margens do lago formado pela barragem de Ilha Solteira
A interacao entre onda e a vegetacao aquatica vai alem de uma relacao puramente
mecanica. Ha relatos de pesquisadores afirmando que ha uma relacao ıntima entre o
19
desenvolvimento de certos ecossistemas e o movimento oscilatorio da agua. Segundo
Massel, Furukawa e Brinkman (1999), este e o caso das florestas de mangue. Nao e
necessario lembrar a importancia da manutencao de tais ecossistemas, tendo em vista
aspectos nao so ambientais, mas tambem economicos.
Lovas e Torum (2001) citam as varias utilizacoes de algas aquaticas que habitam os
mares da Noruega, como na industria farmaceutica, alimentıcia, textil, setores agrıcolas,
entre outras. Os autores alertam, contudo, para os eventuais problemas causados pela
extracao descontrolada desse tipo de alga.
Por outro lado, o crescimento descontrolado de comunidades vegetais se apresenta
como um problema normalmente diagnosticado em lagos formados artificialmente. Este e
o caso de lagos formados por usinas hidreletricas, que normalmente sao ricos em nutrientes,
provocando o fenomeno conhecido como eutrofizacao. A figura 2 mostra o lago da Represa
de Salto Grande (Americana-SP) tomado pela vegetacao.
Figura 2: Vista da Represa de Salto Grande (Americana-SP) a 50m da barragem
1.1 Objetivos
Frente ao apresentado, surge o interesse em investigar o fenomeno da dissipacao da
energia da onda propagando-se por fundos com vegetacao. E pretendido, primeiramente,
determinar uma lei de decaimento da altura da onda, baseada na vizualizacao da in-
teracao onda-organismo aquatico nas margens do lago formado pela Usina Hidreletrica
de Ilha Solteira. Num segundo momento, pretende-se verificar a adequabilidade da lei de
decaimento encontrada, tanto em testes puramente numericos quanto na reproducao de
ensaios em laboratorio.
20
Pode-se notar, de antemao, o aspecto multidisciplinar do assunto tratado, podendo
ser resumidamente descrito como “o estudo da interacao onda-vegetacao no que se refere
ao aspecto energetico”. Sendo assim, identificam-se pelo menos duas grandes vertentes: a
mecanicista (no que tange a representacao da onda, ou mais globalmente, do escoamento
em si) e a biomecanicista (responsavel por representar a vegetacao, suas caracterısticas
morfologicas e seus aspectos mecanicos).
Em se tratando primeiramente da variavel onda, nao e necessario comentar que suas
caracterısticas estao diretamente relacionadas a dissipacao da energia. A variabilidade
da frequencia, angulo de incidencia, variacao da profundidade, refracao e difracao, sao
apenas citados como alguns exemplos. Fica claro tambem que a complexidade associada
ao problema depende de quao global e o modelo, assim como da teoria de onda adotada.
Cogita-se, preliminarmente, que o fenomeno da dissipacao de energia da onda, devido
ao efeito da vegetacao submersa, seja estritamente de aguas rasas. Tal suposicao, entre-
tanto, e abandonada a medida que se avanca no estado da arte. Ao contrario do que se
imagina, a teoria de onda linear e largamente utilizada, com resultados satisfatorios.
Num segundo plano, a funcao da vegetacao aquatica esta bem alem de ser apenas um
obstaculo para ondas gravitacionais ou elemento que debita energia da onda gravitacio-
nal. Se analisada num contexto de ecossistema, a vegetacao pode ser alimento, esconderijo
e responsavel por controlar ciclos biogeoquımicos. A variavel ecologica, embora se torne
menos importante segundo uma optica mecanica, pode contribuir com indicativos do com-
portamento de organismos, se avaliada corretamente. Para exemplificar esse fato, Koehl
(1999) cita o coral caribenho Acropora cervicornis, que analisado biomecanicamente, mos-
tra que sua estrutura parte-se com facilidade em ambientes expostos a correntes de alta
velocidade. No estudo populacional, entretanto, percebe-se que as partes quebradas sobre-
vivem e crescem. Essa estrategia de reproducao assexuada e um dos principais fatores que
permitem a fixacao de uma colonia desse tipo de coral em ambientes de alta velocidade.
Neste contexto, a proximidade com o lago formado pela construcao da Usina Hi-
dreletrica de Ilha Solteira permite uma constatacao regional do efeito amortecedor dos
organismos aquaticos sobre a onda gravitacional. Entretanto, a diversidade de especies de
organismos que habitam lagos artificiais torna impraticavel o estudo da interacao onda-
vegetacao sem que haja uma particularizacao previa do organismo aquatico. A origem
dessa diversidade de organismos que crescem em lagos de barragem pode ser atribuida,
dentre outros fatores, a natureza distinta dos nutrientes presentes no meio lıquido. O
sıtio de estudo de campo apresenta um tipo de vegetacao dominante, a Brachiaria sub-
21
quadrıpara, cujas caracterısticas serao adotadas inicialmente. Sera mostrado no decorrer
do trabalho, que em um momento abandona-se a individualizacao do organismo estudado,
tratando grupos de organismos que se comportam de maneira semelhante.
Esta pesquisa foi inicialmente motivada pela participacao desse autor no programa
PROCAD da CAPES, com o projeto “Amigos de Boussinesq”: Rede Cooperativa de
Pesquisa sobre Hidrodinamica de Aguas Costeiras e Aguas Rasas (Proc. 0144/01-0),
envolvendo, alem da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira - Universidade Estadual
Paulista (FEIS-Unesp), a Universidade Federal do Rio de Janeiro (Coppe-UFRJ) e a
Universidade Federal do Rio Grande do Sul (IPH-UFRGS). Esta rede de cooperacao
dedica-se ao estudo teorico, numerico e experimental de ondas em aguas rasas, alem de
promover a formacao de mestres e doutores na tematica.
Esta dissertacao esta estruturada em 7 capıtulos, conforme se segue:
O capıtulo 1 pontua os diversos fenomenos que estao direta ou indiretamente ligados
a interacao onda-organismo aquatico, alem de fornecer um panorama geral acerca dos
objetivos almejados neste trabalho.
No capıtulo 2 sao descritos alguns modelos da literatura que tratam da interacao
onda-organismo aquatico. Propoe-se uma classificacao previa, baseada no enfoque dado
aos trabalhos estudados, objetivando facilitar a analise dos modelos. Sao estudados os
trabalhos considerados mais relevantes da literatura, trazendo em discussao as considera-
coes gerais adotadas no estudo da interacao onda-organismo.
No capıtulo 3 os metodos de calculo para a avaliacao do coeficiente de arrasto. O fato
da onda incidir em organismos vivos cria uma situacao em que o coeficiente de arrasto
tradicional (estruturas rıgidas, como pilares de estruturas off-shore, por exemplo) precisa
ser revisto.
No capıtulo 4 sao feitas a deducao da equacao da dinamica dos organismos e a des-
cricao do modelo energetico. Aposta-se em um modelo viscoelastico onde todo o processo
de concepcao e construcao do equacionamento, sempre discutindo as hipoteses de simpli-
ficacao assumidas, e feito. Sao apresentados tambem dois apendices: o apendice A, onde
a equacao da dinamica obtida e discretizada, aplicando metodos de resolucao numerica
e o apendice B, onde sao realizados estudos adicionais, fornecendo indicadores inicias no
estudo dos efeitos nao-lineares na dinamica dos organismos.
O capıtulo 5 aborda as diversas atividades envolvidas: ensaios em campo e laboratorio,
destacando-se a devida importancia de cada frente de trabalho.
22
No capıtulo 6 sao mostrados resultados tanto de cunho numerico quanto experimental.
No que diz respeito a parte experimental, sao avaliados o deslocamento e velocidades do
organismo ensaiado (simulado por cordas de nylon em canal de ondas), assim como os
balancos de energia. Ja na parte numerica, procura-se reproduzir as condicoes de ensaio,
analisando a performance do modelo global desenvolvido concernente ao aspecto dinamico
e energetico. Os estudos de caso realizados utilizaram dados de calibracao com cordas de
nylon e da literatura para um campo de organismos de caracterısticas similares a de um
coral.
Finalmente, no capıtulo 7, apresentam-se as conclusoes a partir dos resultados obti-
dos e discutem-se os objetivos e as linhas de trabalho mais promissoras que podem dar
continuidade a pesquisa.
23
2 Estado da arte
A dissipacao da energia da onda pela presenca de organismos aquaticos e um assunto
que vem sendo tratado ha relativamente pouco tempo pela comunidade cientıfica. E
observado que neste perıodo os modelos de dissipacao tem mostrado uma evolucao signi-
ficativa com o passar do tempo. Alem disso, nota-se um aumento no numero de trabalhos
publicados acerca da tematica abordada, refletindo o interesse da comunidade na melhor
compreensao do fenomeno da interacao onda-organismos aquaticos.
Por se tratar de um assunto multidisciplinar, encontram-se varios enfoques diferentes
no estado da arte. Basicamente, podem-se identificar duas grandes vertentes do conheci-
mento que tratam de tal assunto: a mecanicista (no que tange a representacao da onda, ou
mais globalmente, do escoamento em si) e a biomecanicista (responsavel por representar a
vegetacao, suas caracterısticas morfologicas e seus aspectos mecanicos). Esta classificacao
permite especificar a vertente de cada um dos trabalhos da literatura, facilitando sua
compreensao e analise.
A vertente mecanicista prioriza os aspectos mecanicos do escoamento. Os traba-
lhos que seguem esta linha procuram resolver a dissipacao da energia da onda de forma
analıtica, tratando normalmente o organismo aquatico como um obstaculo rıgido e imovel.
O objetivo e estabelecer uma lei que preve a altura da onda em qualquer ponto na area
com organismos. Existem duas leis de decaimento que aparecem com frequencia:
• Queda exponencial da altura da onda:
H
H0
= e−kIy
sendo H a altura da onda, H0 a altura da onda incidente e kI a parcela imaginaria do
numero de onda k, ou coeficiente de atenuacao.
De modo a facilitar a compreensao das equacoes com relacao a posicao dos eixos coor-
denados, apresenta-se na figura 3 a configuracao adotada neste trabalho. Diferentemente
24
do tradicional ou mais comumente adotado, o eixo de propagacao da onda e o eixo y e o
eixo vertical e o eixo x.
Figura 3: Posicao dos eixos coordenados adotados
Retornando ao modelo de decaimento da energia da onda segundo uma funcao ex-
ponencial, sabe-se que este comportamento da funcao advem da solucao da equacao que
rege a onda linear (equacao de Laplace). Tal solucao leva em consideracao o valor de
uma constante k (numero de onda), que para satisfazer a condicao de periodicidade em
y exige que k tenha uma parte real (kR). A solucao do problema da onda linear admite
ainda que, considerando que a onda que viaja perde energia de alguma forma (ou ganha,
no caso de ondas em areas de geracao), possa haver uma solucao exponencial em x, desde
que a constante k admita tambem uma parcela imaginaria (kI). Por ser responsavel di-
retamente pela atenuacao da energia, a parte imaginaria do numero de onda kI recebe
a denominacao de coeficiente de atenuacao. Kobayashi, Raichle e Asano (1993) e Mork
(1996) sao exemplos de pesquisadores que admitem a queda exponencial da altura da
onda em areas sujeitas a dissipacao de energia.
• Queda da altura da onda segundo uma funcao do tipo quociente:
H
H0
=1
1 + α1y
sendo α1 o coeficiente de atenuacao do modelo.
Nesta abordagem, analisa-se o fluxo de energia (EcG, onde E e a energia da onda por
unidade de largura da crista por comprimento de onda e cG e a celeridade de grupo) gerado
pela passagem da onda. Admite-se que a variacao espacial do fluxo de energia e igual a
uma constante (εG) e essa constante e a taxa com a qual a energia da onda e dissipada.
A resolucao desta equacao diferencial gera a lei de decaimento apresentada. Dalrymple,
25
Kirby e Hwang (1984) e Mendez e Losada (2004) podem ser citados como pesquisadores
que seguem este modelo de decaimento em problemas envolvendo a dissipacao da energia
da onda.
Em se tratando da vertente biomecanicista, ha uma preocupacao com o comporta-
mento do organismo frente aos esforcos hidrodinamicos. Alem disso, a vertente biomecani-
cista da espaco as interacoes organismo-organismo em nıvel de ecossistema. Os objetivos
dos trabalhos que seguem a vertente biomecanicista sao variados, mas sempre ligados as
caracterısticas do organismo.
A diversa gama de especies de organismos aquaticos, suas formas e capacidade de
deformar, tornaria uma analise geral, sem perder de vista suas principais particularidades
mecanicas, impossibilitada. Mesmo quando se trata de um ecossistema particular (o caso
de estudo proposto no lago formado pela Usina Hidreletrica de Ilha Solteira), a parti-
cularizacao das caracterısticas dos organismos aquaticos parece inevitavel. Entretanto,
utiliza-se um artifıcio proposto por diversos autores (GAYLORD; HALE; DENNY, 2001;
KOEHL, 1999), que dividem os organismos em duas categorias gerais, baseadas na sua
bioestrutura: organismos rıgidos e frageis.
Os organismos frageis sao solicitados a tracao, fixam-se levemente ao solo e geralmente
sao capazes de se deformar consideravelmente na longitudinal (possuem modulo elastico a
tracao, ET ), alem de possuir baixa rigidez. Do ponto de vista da Mecanica das Estruturas,
o vınculo de apoio entre solo-organismo e considerado como um apoio fixo, nao resiste a
momentos fletores externos, caracterizando uma estrutura hipostatica.
Organismos rıgidos sao aqueles que possuem ligacao fixa com o solo, possuem alta
rigidez e estabilidade. Sao solicitados a flexao e o vınculo de apoio solo-organismo e con-
siderado engastado, caracterizando-se como uma estrutura isostatica, possuindo portanto
alto modulo elastico a flexao (ES). A subdivisao da vertente biomecanicista generaliza os
tipos de organismos responsaveis pela atenuacao da energia da onda e sera adotada neste
trabalho.
Ambos tipos de organismos (rıgidos e frageis) podem, mesmo com caracterısticas di-
ferentes, conviver em um mesmo habitat devido a estrategias de sobrevivencia distintas.
Koehl (1999), exemplifica esse fato analisando a biomecanica de duas algas marinhas:
Lessonia nigrescens e Durvellia antartica. Analises biomecanicas mostraram que a L. ni-
grescens possui estrutura mais rıgida e apropriada a diminuir as chances de ser quebrada
pelas ondas (organismo rıgido), diferente da D. antartica, de estrutura mais fragil (orga-
nismo fragil). Embora do ponto de vista biomecanico fosse muito difıcil que um organismo
26
fragil como a D. antartica se desenvolvesse em um ambiente submetido a fortes ondas,
Koehl (1999) mostrou que as estrategias distintas de sobrevivencia dessas duas algas eram
fundamentais para seu desenvolvimento. Como a D. antartica era fragil, ligava-se leve-
mente ao solo, caracterizando essa ligacao como um no flexıvel. Dessa forma essa especie
de alga marinha diminuıa a forca de reacao devido ao carregamento hidrodinamico se
comparada com a ligacao rıgida entre alga-solo da L. nigrescens.
E apresentado a seguir um breve comentario a respeito de alguns dos modelos mais
representativos de cada vertente.
2.1 Vertente Mecanicista
Como anteriormente salientado, os modelos que tratam a interacao onda-organismo
vem evoluindo significativamente com o tempo. Tanto modelos matematicos classicos
quanto modelos empıricos desenvolvidos por diversos autores (PRICE; TOMLINSON; HUNT,
1968; CAMFIELD, 1983, 1977; DALRYMPLE; KIRBY; HWANG, 1984; KOBAYASHI; RAI-
CHLE; ASANO, 1993; MORK, 1996; MENDEZ; LOSADA, 2004) procuram, com hipoteses
distintas, determinar a equacao que rege a atenuacao da energia da onda ao atravessar
uma area com organismos.
Estabelecendo uma linha cronologica, referendando os trabalhos de maior importancia
dentro do contexto, pode-se citar como um dos primeiros trabalhos que tentaram estabele-
cer uma lei de decaimento da energia da onda o de Price, Tomlinson e Hunt (1968). Estes
autores analisavam o efeito da vegetacao na alteracao do perfil praial e tentaram estimar,
atraves de uma viscosidade aparente, um fator de decaimento da energia da onda. A
consideracao de uma viscosidade aparente, feita pelos pesquisadores evidencia a inclusao
de um atrito de fundo adicional para determinacao do coeficiente de atenuacao.
Posteriormente, Dalrymple, Kirby e Hwang (1984) formularam um modelo represen-
tando os organismos considerados obstaculos como cilindros rıgidos indeformaveis. Para
compensar tal simplificacao, um coeficiente empırico de ajuste e calibrado experimental-
mente (no caso, o coeficiente de arrasto CD). Este trabalho utiliza a teoria de onda linear
e e considerado uma referencia na area.
Kobayashi, Raichle e Asano (1993) tambem desprezam o movimento adquirido pe-
los organismos quando da passagem da onda, alterando um parametro empırico (CD).
A forca de arrasto atuante e linearizada e, fazendo determinadas simplificacoes, o mo-
delo de Kobayashi, Raichle e Asano (1993) consegue reproduzir os resultados previos de
27
Dalrymple, Kirby e Hwang (1984).
Mork (1996) trabalha com a rotacionalidade do escoamento restrita a uma pequena
regiao proxima a copa do organismo estudado. Esse autor considera certa mobilidade do
organismo e consegue uma expressao para o coeficiente de atenuacao, em termos da parte
imaginaria do numero de onda.
Mendez e Losada (2004) estendem os resultados previos de Dalrymple, Kirby e Hwang
(1984) para o caso de fundos com certa inclinacao. Esses autores tentam abandonar a
linearizacao da forca de arrasto. Mendez e Losada (2004) tambem questionam a utilizacao
de certas formulacoes classicas, alem de refletirem sobre a dinamica do organismo quando
da passagem de ondas.
Como pode ser observado, com o avanco dos modelos aumenta-se a preocupacao em
quantificar nao so as modificacoes geradas pelo organismo na onda (efeito dissipador),
mas tambem da onda sobre o organismo (movimentacao adquirida pelo organismo). Essa
caracterıstica mostra que, nos dias atuais, pode-se falar realmente em interacao onda-
organismo, mostrando que o organismo aquatico deixa de ser apenas um obstaculo ao
escoamento e passa a ser agente efetivo do fenomeno da dissipacao da energia da onda.
Desconsiderar a dinamica dos organismos era pratica comumente adotada em modelos
iniciais, caracterizando de certa maneira uma tendencia a resolucao do problema do ponto
de vista puramente mecanicista. A partir da evolucao dos modelos da literatura, ha a
incorporacao de alguns aspectos da vertente biomecanicista em escoamentos uniformes
e oscilatorios, inicialmente representadas pela quantificacao da dinamica do organismo.
Asano, Deguchi e Kobayashi (apud MENDEZ; LOSADA, 2004) foram os primeiros a incluir,
num modelo de dissipacao, o movimento da vegetacao.
Passa-se agora a uma descricao mais detalhada dos principais modelos norteadores
deste trabalho. Para os modelos da vertente mecanicista e privilegiada a apresentacao da
lei de decaimento da energia da onda, assim como os passos para obtencao do coeficiente
de atenuacao.
2.1.1 Modelo de Price
O trabalho que primeiramente tratou da atenuacao da energia da onda e de Price,
Tomlinson e Hunt (1968). O foco principal dos autores residia, entretanto, na verificacao
da influencia da presenca de vegetacao na alteracao do perfil praial. Price, Tomlinson
e Hunt (1968) usaram fibras de plastico para simular a vegetacao e constataram que ha
28
uma intensificacao do transporte de massa na direcao da propagacao das ondas, (ou seja,
na direcao da praia) promovendo a engorda do perfil.
Quanto ao modelo de atenuacao, a vegetacao apresenta-se como agente dissipador
de energia cinetica do escoamento livre. Os autores retratam a dificuldade do fluido ao
escoar na regiao com vegetacao, inserindo nessa regiao uma viscosidade maior do que a
viscosidade do fluido. Nao ha, entretanto, qualquer alteracao das propriedades reologicas
do fluido, apenas uma analogia fısica do fenomeno, representando os eventuais efeitos
da vegetacao por um atrito adicional equivalente. Pode-se, entao, resumir o efeito da
vegetacao no modelo de Price, Tomlinson e Hunt (1968) em uma extensao do atrito de
fundo, o que corresponde a um aumento na espessura da camada limite laminar.
Utilizando a teoria linear e admitindo que a queda na altura da onda no campo
vegetado segue uma funcao exponencial, tem-se a equacao 2.1:
η =H0
2exp(−kIy) cos(kRy − wt) (2.1)
onde: η e a denivelacao da superfıcie livre, H0 e a altura da onda que incide na vegetacao,
kI o coeficiente de atenuacao, kR o numero de onda (2π/L, L e o comprimento de onda),
w a frequencia angular (2π/T , T e o perıodo da onda) e t e o tempo.
Price, Tomlinson e Hunt (1968) trabalharam com a dissipacao de energia em es-
coamentos de fluidos com varias camadas. As equacoes que seguem (2.2 e 2.3) foram
baseadas em outros trabalhos. Para o caso de um fluido homogeneo com dissipacao de
energia restrita ao fundo, o coeficiente de decaimento pode ser expresso por:
kI =
√2ν
w
k2R
2kRh + sinh(2kRh)(2.2)
sendo: ν a viscosidade cinematica do fluido e h a profundidade.
Para o caso particular de um fluido composto por duas camadas (uma camada com
vegetacao e outra sem vegetacao - figura 4), a equacao 2.2 fica:
kI =
√2ν2
w
k2R
2kRh + sinh(2kRh)(2.3)
sendo: ν2 a viscosidade cinematica efetiva do fluido na regiao com vegetacao (zona 2).
Portanto, no modelo proposto por Price, Tomlinson e Hunt (1968), o fator de decai-
mento da onda dependera exclusivamente da viscosidade efetiva na zona com vegetacao.
29
Figura 4: Modelo adotado, com a divisao do escoamento em duas regioes sobrepostas
2.1.2 Modelo de Dalrymple
Dalrymple, Kirby e Hwang (1984) afirmam que, em areas de dissipacao de energia, as
ondas incidentes, alem de atenuar, difratam. Para incluir esse efeito, os autores utilizaram
um modelo parabolico de acao combinada refracao-difracao. Foi incluida um parcela
correspondente a perda de energia devido a cilindros verticais rıgidos, com possibilidade
de extrapolacao para outros meios dissipativos (fundo poroso, lamoso, etc).
Para o caso particular da vegetacao aquatica, o modelo de dissipacao e baseado na
equacao da conservacao da energia e supoe que a teoria linear e valida, que o coeficiente
de arrasto (CD) e constante ao longo da vegetacao e o fundo e plano. A equacao da
conservacao de energia e dada por:
(EcG)y = −εG (2.4)
onde: o subscrito y indica derivacao com relacao a y, E = 1/8ρgH2 e a energia da onda por
unidade de area superficial, ρ e a massa especıfica do fuido, g a aceleracao gravitacional,
H a altura da onda e cG = nc e a velocidade de grupo, com:
n =1
2
(1 +
2kRh
sinh (2kRh)
)
onde: kR e a parte real do numero de onda complexo = 2π/L; L e o comprimento de
onda; h e a profundidade e εG e a dissipacao de energia medianizada num perıodo de
onda. Considerando a dissipacao apenas em funcao da forca de arrasto, tem-se:
εG = FDu
em que: FD e a forca de arrasto na planta e u e a componente horizontal do vetor
30
velocidade. Calculando εG ao longo da altura da vegetacao e medianizando em um perıodo
de onda, tem-se:
εG =1
T
∫ t+T
t
∫ l
0
1
8ρCDAu|u| · udx = B1H
3 (2.5)
com: B1 = 2ρCDD
3πkR
sinh3(kRl) + 3 sinh(kRl)
3 cosh3(kRh)
(gkR
2w
)31
b2P
onde: l e a altura da vegetacao, bP o espacamento entre as plantas e D e o diametro
representativo da vegetacao.
Substituindo 2.5 em 2.4, tem-se:
(EcG)y =1
8ρgcG(H2)y = −B1H
3 (2.6)
Lembrando que a celeridade de grupo e constante, uma vez que a profundidade e
constante e resolvendo a equacao 2.6, tem-se:
H
H0
=1
1 + B2H0y
4
; com: B2 =2B1
ρgcG
(2.7)
onde H0 e a amplitude da onda incidente e H a altura de onda depois do efeito causado
pelo campo vegetado. A equacao 2.7 pode ser reescrita como:
H
H0
=1
1 + α1y, com: α1 = B2
H0
4
onde α1 e o coeficiente de decaimento do modelo, que e dado pela equacao 2.8:
α1 =4
9πCDD
H0
b2P
kRsinh3(kRl) + 3 sinh(kRl)
(sinh(2kRh) + 2kRh) sinh(kRh)(2.8)
A equacao da onda escrita na forma parabolica incluindo efeitos de difracao-refracao
com termo dissipativo pode facilmente ser resolvida numericamente. Dalrymple, Kirby
e Hwang (1984) usaram o metodo de Crank-Nicholson e simularam um quebra-mar em
regiao de dissipacao de energia. Os resultados do modelo numerico mostraram-se em
acordo com os obtidos teoricamente.
2.1.3 Modelo de Kobayashi
A aproximacao dos autores e baseada na equacao da conservacao da energia medi-
anizada no tempo, sendo que os efeitos dissipativos devido a presenca das plantas sao
introduzidos, num fundo plano. O problema e resolvido a partir da construcao de um
Problema de Valor de Contorno (PVC) com condicoes de contorno definidas, baseadas na
31
equacao da conservacao da massa e quantidade de movimento em duas regioes distintas
(com e sem vegetacao). O escoamento e suposto como sendo incompressıvel e o problema
e linearizado. A vegetacao e caracterizada por cilindros de pequeno diametro onde a forca
dominante e o arrasto (DALRYMPLE; KIRBY; HWANG, 1984) e a solucao analıtica do
problema proposto e encontrada linearizando a forca de arrasto induzida FD (forca por
unidade de volume).
Segundo a solucao da equacao de Laplace no problema da onda, esta admite como
solucao um numero de onda k da forma: k = kR + ikI , que traduz a periodicidade em y e
um decaimento exponencial em x. Segundo comentado inicialmente, a lei de decaimento
da energia da onda para esse tipo de abordagem e do tipo:
H
H0
= e−kIy
Na figura 4, e mostrada a representacao adotada por Kobayashi, Raichle e Asano
(1993) na modelagem do escoamento. A forca de arrasto linearizada e dada por:
FD ≈1
2ρCDbV Nu2|u2| ≈ ρD
′u2
onde CD e coeficiente de arrasto, bV e a area de bloqueio por altura unitaria de cada
vegetacao normal a u2, N e o numero de plantas por unidade de area horizontal e D′
e um coeficiente que fornece indicadores do grau de amortecimento da energia da onda.
Para o caso de D′= 0, os autores demonstram que a solucao obtida reduz-se a solucao
do problema linear com profundidade constante e fundo plano.
A condicao de compatibilidade na regiao de interface entre as zonas 1 e 2 implica
na descontinuidade no perfil de velocidade horizontal. Tal descontinuidade pode levar
a instabilidades de Kelvin-Helmholtz, ilustradas na figura 5 (conforme observacoes de
Ghisalberti e Nepf (2002)).
Figura 5: Surgimento de instabilidades tipo Kelvin-Helmholtz no escoamento oscilatoriocom a presenca de obstaculos - organismos aquaticos
A solucao analıtica do problema apresentado torna possıvel a determinacao do coefi-
32
ciente de decaimento exponencial kI em funcao dos parametros supracitados. Para isso,
e introduzido um coeficiente de atenuacao adimensional:
KV =D
′
2w
Considerando o caso de baixa atenuacao (KV � 1), tem-se a equacao de dispersao,
utilizada para determinacao do numero de onda real kR (equacao 2.9):
w2 ≈ kRg tanh(kRh) (2.9)
O coeficiente KV e dado por:
KV ≈1
9πCDbV NH0
sinh(3kRl) + 9 sinh(kRl)
(2kRl + sinh(2kRl)) sinh(kRh)
Por ultimo, a expressao do coeficiente de atenuacao procurado fica:
kI ≈ kRKV2kRl + sinh(2kRl)
2kRh + sinh(2kRh)
Os resultados obtidos por esses autores parecem satisfatorios. A comparacao dos
resultados experimentais e teoricos indicam uma faixa de erro de 10%. Um dos problemas
relatados pelos autores e a incerteza na calibracao do coeficiente de arraste CD, que varia
em uma faixa bem ampla. Segundo Kobayashi, Raichle e Asano (1993), o coeficiente CD
pode ainda estar sofrendo influencia da movimentacao da vegetacao e efeitos viscosos,
desconsiderados na analise do problema. Esses autores mostraram ainda que a equacao
da conservacao da energia (equacao 2.4) so poderia ser aplicada para o caso de atenuacao
pequena (KV � 1).
2.1.4 Modelo de Mendez e Losada
O modelo de Mendez e Losada (2004) e obtido a partir das equacoes de conservacao
da energia e forca de arrasto, para os casos de declividade nula (DALRYMPLE; KIRBY;
HWANG, 1984) e declividade constante.
• Fundo horizontal e profundidade constante
(H2)y = −A0H3
com: A0 =8
9πCDbV NkR
sinh3(kRl) + 3 sinh(kRl)
(sinh(2kRh) + 2kRh) sinh(kRh)
33
onde H e a altura da onda, CD e o coeficiente de arrasto, bV e a area de bloqueio de cada
vegetacao por unidade de altura, normal a u, l e a altura da vegetacao, N e a quantidade
de plantas por metro quadrado, h a profundidade local e kR o numero de onda real.
Resolvendo esta equacao diferencial e supondo que a altura da onda H(y = 0) = H0, a
evolucao da altura da onda e:
H =H0
1 + β1y= KMH0;
com: KM =1
1 + β1y(2.10)
e β1 =A0H0
2=
4
9πCDbV NH0kR
sinh3(kRl) + 3 sinh(kRl)
(sinh(2kRh) + 2kRh) sinh(kRh)(2.11)
sendo KM um coeficiente de atenuacao para uma posicao y pre-determinada e β1 re-
presenta o coeficiente de atenuacao do modelo. O coeficiente de atenuacao encontrado
(equacao 2.11) e o mesmo determinado anteriormente por Dalrymple, Kirby e Hwang
(1984) (equacao 2.8).
Comparando de forma analoga a Dalrymple, Kirby e Hwang (1984) com a solucao ba-
seada no decaimento exponencial (KOBAYASHI; RAICHLE; ASANO, 1993; MORK, 1996),
a expansao em series do coeficiente de atenuacao KM e exp(kIy) fica:
KM = (1 + β1y)−1 = 1− β1y + (β1y)2 − (β1y)3 + . . .
exp(−kIy) = 1− kIy + (kIy)2/2− (kIy)3/3 + . . .
Percebe-se que para valores pequenos de β1 e kI(< 0, 1), pode-se adotar kI = β1.
• Fundo com declividade constante
(H2h1/2)y =−D0H
3
h1/2(2.12)
com: D0 =2CDbV Nl
3πh
Considerando o fundo como h = h0 − S0y, fazendo a transformacao x = H2h1/2, a
equacao 2.12 e reescrita como:
xy =−D0H
3
h1/2⇒ xhhy =
−D0Hx
h⇒ xh =
−D0
S0
x3/2
h5/4
Integrando, vem:
x =(
2D0
S0h1/4+ C
)−2
34
onde C e uma constante de integracao. Aplicando H = H0 em h = h0:
H = H0KMKS com : KS =
(h0
h
)1/4
O coeficiente de atenuacao e:
KM =(1 +
2D0
S0
H0(KS − 1))−1
O caso para S0 → 0 (fundo plano):
KM =(1 +
D0H0y
2h0
)−1
(2.13)
sendo que: limS0→0
1
S0
h1/40
(h0 − S0y)1/4− 1
=y
4h0
A equacao 2.13 e a aproximacao em aguas rasas da equacao 2.10 para fundo plano.
Dependendo do valor de D0H0/S0, a curvatura da evolucao da onda nao corresponde sem-
pre ao decaimento exponencial conhecido. Mendez e Losada (2004) afirmam que o sucesso
do modelo apresentado depende do conhecimento do coeficiente de arrasto volumetrico
CD, ficando explıcita a necessidade de caracterizacao fısica da vegetacao.
Segundo Mendez e Losada (2004), ao inves de usar a dependencia direta entre CD e o
numero de Reynolds (Re), utiliza-se a relacao de CD com o numero de Keulegan-Carpenter
(K), definido como:
K =uCTP
bV
onde uC , velocidade caracterıstica agindo na vegetacao e definida como a maxima veloci-
dade horizontal no meio do campo vegetado u(y = lC/2) (sendo lC e a extensao do campo
vegetado) e TP e o perıodo de pico.
Com os resultados, Mendez e Losada (2004) mostram que a influencia da vegetacao na
propagacao da onda nao depende somente da altura da planta, mas tambem da largura do
campo. O aumento na altura da vegetacao resulta numa maior dissipacao, uma vez que a
forca de arrasto (ou o termo de dissipacao de energia) aumenta. Alem disso, largos campos
vegetados resultam em maiores reducoes da onda. Como pode ser visto, as propriedades
geometricas do campo vegetado tem importante funcao na transformacao da onda.
35
2.2 Vertente Biomecanicista
Os objetivos dos trabalhos que seguem a vertente biomecanicista sao variados, mas
sempre ligados, direta ou indiretamente, as caracterısticas do organismo. A dinamica do
organismo aquatico ou a sua capacidade de resistir a solicitacao hidrodinamica sao alguns
exemplos de objetivos perseguidos pela vertente biomecanicista.
Procura-se, nesta secao, fornecer um panorama geral do estado da arte acerca de
alguns trabalhos. A dinamica de organismos e a quantificacao dos esforcos foram selecio-
nadas como caracterısticas essenciais que devem ser discutidas no ambito desta dissertacao
de mestrado. Com relacao a dinamica dos organismos, pode-se comprovar, pelos relatos
pormenorizados no contexto da vertente mecanicista, que ha um interesse geral em melhor
compreende-la. Esse fato nao e diferente quando se trata da vertente biomecanicista.
Ja a quantificacao de esforcos nos organismos aquaticos devido a passagem da onda
surge como topico vital para o sucesso de um modelo. A maneira tradicional de descrever
a forca gerada por ondas em cilindros rıgidos submersos e atraves da equacao de Morison
(equacao 2.14). Esta equacao considera duas parcelas: o arrasto provocado pela oposicao
do cilindro ao movimento (~FD) e o gradiente de pressao gerado pela curvatura das linhas
de corrente (~FI):
~F = ~FD + ~FI
=1
2CDρA~u|~u|+ CMρV
d~u
dt(2.14)
onde ~FD e a forca de arrasto, ~FI e a forca de inercia, CD e o coeficiente de arrasto, ρ e
a massa especıfica do fluido, A e a projecao da area normal ao escoamento, ~u e o vetor
velocidade, CM e o coeficiente de inercia, V e o volume ocupado pelo corpo (volume
submerso) e d~u/dt e a aceleracao total.
Entretanto, a equacao de Morison e normalmente aplicada a estruturas rıgidas. A
forca de arrasto aplicada nos modelos da vertente mecanicista (que normalmente conside-
ram os organismos aquaticos como estruturas rıgidas) e a mesma da equacao de Morison.
Como pretende-se, dentro da vertente biomecanicista, modelar o aspecto dinamico do
organismo (ou seja, uma estrutura flexıvel), a equacao 2.14 perde sua validade. Faz-
se uma ressalva com relacao a nomenclatura empregada: o termo estrutura rıgida nao
tem qualquer ligacao com organismo rıgido e representa a indeformabilidade do objeto
de estudo. Ja o termo estrutura flexıvel pode ser utilizado tanto para representar um
organismo rıgido quanto um fragil, apenas indicando que a estrutura estudada possui
36
mobilidade.
Para aplicar a equacao de Morison para o caso de estruturas flexıveis, faz-se uma ligeira
alteracao da equacao 2.14, modificando alguns parametros empıricos. Um parametro que
merece um tratamento especial e o coeficiente de arrasto (CD). Este coeficiente empırico
varia com o tipo de estrutura considerada (rıgida ou flexıvel), alem de necessitar de
calibracao experimental. As particularidades acerca da determinacao deste coeficiente
serao discutidas com detalhes no capıtulo 3.
Por ora, os modelos apresentados serao divididos segundo o tipo de organismo no qual
se aplicam. Inicialmente, tratando-se de organismos frageis, mostra-se o modelo de Utter
e Denny (1996). Estes autores quantificam os esforcos sobre um organismo fragil, que e
representado apenas por um elemento pontual. O elemento pontual desloca-se devido a
resultante das forcas externas, que varia de intensidade, direcao e sentido em cada instante
de tempo.
Ainda com relacao aos organismos frageis, Gaylord, Hale e Denny (2001) propoe
um modelo dinamico para representar a movimentacao de organismos submetidos a es-
forcos pre-estabelecidos. Estes autores analisam numericamente o comportamento da
deformacao do tecido do organismo, que e considerado um material de propriedades vis-
coelasticas.
Em se tratando dos organismos rıgidos, toma-se o mesmo trabalho de Gaylord, Hale
e Denny (2001), que estendem suas analises ao comportamento dinamico dos organismos
rıgidos.
2.2.1 Organismos frageis
2.2.1.1 Modelo de Utter e Denny
Utter e Denny (1996) idealizam que o organismo estudado (Macrocystis pyrifera)
seja representado apenas por um elemento individual e pontual, preso ao substrato por
uma haste flexıvel, que possui um modulo de rigidez a tracao, mas nao a compressao ou
flexao. Em qualquer instante, o elemento pontual tem coordenadas (y, x), velocidade ~uK
e aceleracao ~aK . O fluido e caracterizado pela velocidade ~u e aceleracao ~a. A velocidade
relativa do elemento pontual e ~uR = ~u− ~uK e a regiao do fluido acelerado pelo elemento
fica com aceleracao ~aR = d ~uR/dt. A figura 6 ilustra o esquema adotado por Utter e Denny
(1996).
37
Figura 6: Esquema do modelo adotado e adaptado de Utter e Denny (1996)
O elemento pontual move-se em resposta as forcas atuantes, sendo elas: empuxo,
arrasto, forca inercial e tensao (GAYLORD; BLANCHETTE; DENNY, 1994 apud UTTER;
DENNY, 1996).
• Empuxo:
Como a vegetacao possui uma massa especıfica diferente da massa especıfica do fluido ao
seu redor, esta esta sujeita ao empuxo definido por:
~B = −~gV (ρK − ρ)
onde g e o vetor aceleracao da gravidade; V e o volume do fluido deslocado pela vegetacao,
ρ e a massa especıfica do fluido e ρK e a massa especıfica global da vegetacao.
• Arrasto:
Essa forca e definida por Denny (apud UTTER; DENNY, 1996):
~FD =1
2ρ ~uR
β0ASD (2.15)
onde uR e a velocidade relativa (subtracao da velocidade do fluido da velocidade adquirida
pelo elemento pontual: uR = u − uK), β0 ≤ 2, dependendo da forma do objeto (quanto
mais hidrodinamico e/ou flexıvel, menor e o valor de β0), A e a area projetada maxima de
cada elemento da vegetacao (area de bloqueio individual) e SD um coeficiente de forma
empırico.
38
Pode-se perceber a semelhanca entre a equacao 2.15 e o termo da forca de arrasto
da equacao de Morison (equacao 2.14). Entretanto, algumas diferencas sao marcantes.
Em primeiro lugar, a velocidade utilizada para quantificar a forca de arrasto nao e a
velocidade do escoamento e sim uma velocidade relativa (uR). Entao, analisando apenas
a velocidade, entende-se que a forca atuante em estruturas flexıveis e menor do que em
estruturas rıgidas, uma vez que as estruturas flexıveis diminuem a velocidade atuante
acompanhando o escoamento (uK 6= 0).
Outro aspecto que merece destaque e a relacao entre a forca de arrasto e a velocidade
relativa (parametro β0 da equacao 2.15). Se β0 ≤ 2, percebe-se que ha uma diminuicao
da forca de arrasto. Varios outros autores contestam a teoria classica de que a forca de
arrasto e proporcional ao quadrado da velocidade no caso de estruturas flexıveis (ALBEN;
SHELLEY; ZHANG, 2002; UTTER; DENNY, 1996; MENDEZ; LOSADA, 2004), adotando
para estes casos valores de β0 inferiores a dois. A determinacao de β0, entretanto, necessita
de intensa investigacao experimental e ensaios especıficos, normalmente obtida quando
analisado o comportamento da forca de arrasto medida em relacao a velocidade relativa
atuante.
• Forca de inercia:
Quando a vegetacao e acelerada em um fluido que possui ele proprio aceleracao, aparece
uma forca inercial que e definida pela soma de duas parcelas:
~FI = ρCAV ~aK + ρV~a (2.16)
onde CA e um coeficiente de massa adicional, ~aK e a aceleracao do elemento pontual e ~a
e a aceleracao do escoamento.
Fazendo a mesma analise para o arrasto, nota-se apenas uma pequena diferenca entre a
equacao 2.16 e a forca de inercia proposta por Morison (equacao 2.14). Como o coeficiente
de inercia pode ser definido por CM = 1+CA, ha apenas uma alteracao no primeiro termo
da equacao 2.16, onde a aceleracao do escoamento ~a e substituıda pela aceleracao relativa
~aK . A segunda parcela, que representa os esforcos gerados pelo gradiente de pressao
associados com a aceleracao do fluido, permanece a mesma.
Entretanto, como os organismos aquaticos possuem, geralmente, diametro pequeno
(algo em torno da ordem de O(10−2)), a forca de inercia e normalmente desprezada.
• Tensao:
39
A tensao na haste e funcao da area transversal (AS) e do alongamento da haste.
~FT =
1, 91× 107
(√(x2+y2)−l1
l1
)1,4068
AS para x2 + y2 > l1
0 para x2 + y2 ≤ l1
Essa expressao foi obtida de uma curva tensao-deformacao para a M. pyrifera; sendo
l1 a distancia efetiva determinada para que o elemento pontual que representa a vegetacao
ficasse no ponto de aplicacao da forca de arrasto:
l1 =
∑ni=1 1/2liρuβ0
i,maxAiSD∑ni=1 ρuβ
i,maxAiSD
onde li e a distancia do fundo ate o ponto medio do i-esimo segmento da vegetacao, Ai e
a area projetada de cada segmento, ui,max a velocidade maxima naquela profundidade e
n e o numero total dos segmentos. E suposto que a haste seja elastica, ou seja, nao haja
perda de energia em processos viscosos. O movimento oscilatorio da agua e adotado com
sendo regido pela teoria da onda linear.
• Balanco de Forcas: ME~aK = ~B + ~FD + ~FI + ~FT
onde ME e a massa total efetiva da planta. Entao:
~aK =~B + ~FD + ~FI + ~FT
ME
(2.17)
A equacao 2.17 e integrada numericamente no tempo para determinacao de uK e das
coordenadas (y, x). O coeficiente de forma SD e o coeficiente β0 sao calculados usando
dados experimentais de arrasto contra velocidade do escoamento. A equacao 2.17 e resol-
vida simultaneamente para as componentes y e x usando um algoritmo de Runge-Kutta
de quarta ordem e com passo de tempo de 0, 001s. Variaveis sao inicializados em t = 0
tal que em y = 0, a velocidade vertical v = 0 e a posicao vertical x = l1.
Utter e Denny (1996) comentam que o modelo, analisando de forma geral, subestima
a forca medida em ate 30%. Especificamente para forcas consideradas altas (> 6N), o
modelo subestima as forcas em cerca de 10% em media. Sendo assim, o modelo mostrou-se
com boa performance somente para forcas cuja intensidade e superior a 6N . Os autores
concluem, pelos resultados obtidos, que as velocidades relativas ao elemento pontual nao
traduzem o efeito real da vegetacao.
40
2.2.1.2 Modelo de Gaylord
O entendimento do desenvolvimento de organismos considerados frageis do ponto de
vista biomecanico, em ambientes submetidos a esforcos intensos, surge como um desafio
aos pesquisadores que trabalham nessa tematica. Ha varias teorias para explicar esse
desenvolvimento, a maioria delas levando em consideracao a deformabilidade como prin-
cipal responsavel a sobrevivencia dos organismos frageis. Gaylord, Hale e Denny (2001)
abordam dois aspectos: a capacidade de deformacao dos organismos viscoelasticos e a
variacao da forma como mecanismo de amenizacao de carregamentos instantaneos.
Os autores relatam alguns exemplos de interacao morfologica e lembram o ecossis-
tema entre mares (intertidal), que pode ser submetido a forcas hidrodinamicas intensas,
esperando que os organismos presentes possam ser dotados de materiais resistentes em
sua morfologia. No entanto, e apresentada uma variedade de opcoes mecanicas bem maior
do que a esperada. Gaylord, Hale e Denny (2001) adotam as duas formas mais comuns
de representar os organismos aquaticos, o que reflete nas formas de carregamento hi-
drodinamico as quais estes serao submetidos (tracao nos organismos frageis e flexao nos
organismos rıgidos).
Como organismos frageis precisam se alongar mais do que os mais rıgidos, e como o
alongamento leva tempo, a deformacao completa pode nao ser atingida em forcas transi-
entes de curta duracao. Neste caso, duas componentes sao importantes:
• A massa do organismo precisa ser acelerada antes que qualquer deformacao aconteca,
um carregamento breve pode nao ter tempo para exceder a resistencia inercial do
organismo;
• O retardo na deformacao devido a aplicacao de uma forca, visto que o comporta-
mento viscoso, segundo observacoes de Gaylord, Hale e Denny (2001), pode aumen-
tar a rigidez estrutural de um organismo sujeito a um carregamento transiente.
Para um organismo tracionado, viscoelastico e de forma cilındrica, a tensao axial apli-
cada e considerada dependente da deformacao axial e da taxa da deformacao (KOLSKY,
1963):
σ0 = ET χx + Eviscχxt (2.18)
onde: χ representa o deslocamento ao longo do elemento (eixo x), σ0 e a tensao axial
de tracao, ET e o modulo elastico a tracao e Evisc e o modulo viscoso, que quantifica as
perdas de energia devido a viscosidade do tecido, definido por Eloss/w, onde Eloss e o
41
modulo de perda e w a frequencia do carregamento imposto.
Um gradiente de tensao aplicado a um elemento infinitesimal ira provocar uma acele-
racao, que segundo a Lei de Newton fica:
σ0,x = ρKχtt (2.19)
onde ρK e a massa especıfica da vegetacao. Sustituındo as equacoes 2.18 e 2.19, resulta:
ρKχtt = ET χxx + Eviscχxxt
Como o modelo de Gaylord, Hale e Denny (2001) explora tambem os organismos
rıgidos, segue-se no proximo topico a continuacao do equacionamento, fechando com a
conclusao dos autores.
2.2.2 Organismos rıgidos
2.2.2.1 Modelo de Gaylord et al.
Para o caso de organismos rıgidos, o momento fletor interno (M), a uma dada posicao
num organismo, depende da curvatura (κ) e da taxa de variacao da curvatura (GERE;
TIMOSHENKO, 1990):
M = −ESIκ− EviscIκ (2.20)
onde I e o momento de inercia de uma secao circular (πD4/64) e ES o modulo elastico a
flexao. Para pequenas curvaturas:
κ = ζxx (2.21)
com: ζ representando o deslocamento transversal do elemento (eixo y).
Se forem desconsiderados os efeitos de rotacao, pode-se supor valida a seguinte igual-
dade da estatica:
V ′ = Mx (2.22)
onde V ′ e o esforco cisalhante. Segundo a Lei de Newton, um gradiente de forca num
elemento infinitesimal provoca uma aceleracao, ou seja:
V ′x = ρASζtt (2.23)
sendo AS a area da secao transversal.
42
Combinando as equacoes 2.20, 2.21, 2.22 e 2.23 resulta:
ρASζtt = −EIζxxxx − EviscIζxxxxt (2.24)
As equacoes puderam ser verificadas pelos autores atraves da aplicacao de carrega-
mentos hidrodinamicos instantaneos. Segundo os autores, as vantagens da baixa rigidez e
alta capacidade de deformacao residem, principalmente, na reconfiguracao e reorientacao
do organismo. A habilidade de experimentar menores forcas de pico enquanto absorvem
valores equivalentes de energia e a capacidade de amenizar os efeitos de carregamentos ins-
tantaneos atraves do aumento do tempo de resposta, tambem aparecem como estrategias
de organismos viscoelasticos. Os autores salientam ainda que o estudo por eles proposto
seria adequado para verificacao das consequencias de carregamentos instantaneos e forcas
impostas pela quebra da onda em organismos na praia.
43
3 Coeficiente de arrasto
Como ja comentado, o sucesso da representacao de fenomenos naturais esta na ca-
pacidade de traduzir em equacoes aquilo que e percebido no ambiente. O coeficiente de
arrasto (CD), no contexto apresentado, tem importante papel na atenuacao da energia
da onda, pois esta intimamente ligado ao arrasto provocado pela presenca da vegetacao.
Ou seja, o desafio em quantificar os esforcos aplicados aos organismos deve-se, em grande
parte, a correta determinacao do coeficiente de arrasto.
Pode-se fazer uma distincao a respeito da forca atuante em estruturas rıgidas e
flexıveis, mediante o que foi apresentado no capıtulo 2. Como pode ser visto no capıtulo em
questao, faz-se uma adaptacao a equacao de Morison (equacao 2.14) quando o obstaculo
tratado nao e uma estrutura rıgida. A adaptacao na equacao de Morison refere-se a al-
teracao, dentre outros fatores, do coeficiente de arrasto. Em outras palavras, a maneira
com que as estruturas flexıveis interagem com o escoamento confere, a estas estruturas,
um carregamento solicitante menor. Cogita-se, por inducao, que o coeficiente de arrasto
atuante em estruturas flexıveis tambem seja alterado, se comparado a uma estrutura rıgida
com mesmas caracterısticas geometricas. Vale lembrar que muitos dos modelos da ver-
tente mecanicista (que utilizam estruturas rıgidas representando os organismos aquaticos),
consideram um coeficiente de arrasto menor quando o organismo solicitado apresenta mo-
bilidade consideravel (DALRYMPLE; KIRBY; HWANG, 1984; KOBAYASHI; RAICHLE;
ASANO, 1993).
Alem da diferenciacao do coeficiente de arrasto para estruturas rıgidas e flexıvies,
pode-se afirmar que em alguns casos o coeficiente de arrasto nao e constante, mas va-
ria espacialmente, tanto ao longo do comprimento do organismo (l) quanto ao longo da
extensao do campo de organismos (lC). Para exempificar esse fato, podem-se citar as
algas com que Mork (1996) e Lovas e Torum (2001) trabalharam (Laminaria hyperborea
(Gunnerus) Foslie), cujos efeitos de dissipacao de energia ficam restritos a copa destes
organismos, caracterizando uma distribuicao nao uniforme do coeficiente de arrasto ao
longo de sua extensao.
44
Por outro lado, Johnson (2001) realizou testes com a alga Chondrus crispus e verificou
uma reducao de mais de 65% no arrasto de uma alga posicionada atras da outra (figura
7). Este fato e analogo a intuitiva reducao de forca que um ciclista ou carro de corrida
experimenta quando “esta no vacuo” deixado pelo companheiro da frente. A estrategia
de diminuir os esforcos atuantes pode ser vista tambem em outros seres vivos, como as
passaros em suas migracoes, que mantem uma formacao de voo para reduzir o desgaste
sofrido por longas viagens. A reducao na forca de arrasto e decorrente da diminuicao do
coeficiente de arrasto, que ocorre em resposta a esteira formada no escoamento (figura 7).
Figura 7: Diminuicao do arrasto e diminuicao da flexao da alga Chondrus crispus locali-zada na regiao de “esteira” (fonte: Johnson (2001))
Frente ao apresentado, alguns metodos de determinacao de CD, tanto para estruturas
rıgidas quanto para estruturas flexıveis, sao explicitados.
3.1 Estruturas rıgidas
A determinacao do coeficiente de arrasto (CD) tem importancia em varios ramos de
estudo cientıfico, sobretudo no desenvolvimento de formas aero e hidrodinamicas que a-
presentem menor resistencia a um fluido qualquer em escoamento. Nestas areas, avancos
significativos tem contribuıdo para o entendimento da camada limite de escoamentos em
torno de objetos, diminuindo as incertezas que cercam tal fenomeno. Contudo, a quanti-
ficacao do coeficiente CD em objetos de formas variadas e flexıveis (que e o caso da alguns
tipos de organismos aquaticos), esta longe de ser convencional ou amplamente conhecida.
O coeficiente CD e importante, entre outras areas, em aerodinamica, procurando sinteti-
zar algumas variaveis das quais o arrasto depende diretamente como a forma, inclinacao
e condicoes do escoamento.
Em se tratando dos metodos de determinacao de CD, podem-se descrever pelo menos
45
duas maneiras distintas, descritas em detalhes por Dean e Dalrymple (1991) e transcritas
aqui. No primeiro metodo, considera-se a medicao de forcas onde a fase da onda anula
a parcela inercial da equacao de Morison (ou seja, onde a aceleracao do fluido se anula).
Desta forma, o coeficiente CD seria dado pela equacao 3.1:
CD =F
1/2ρAu2(3.1)
Um segundo metodo, baseia-se na minimizacao do erro medio quadrado ε20 entre as
forcas previstas e as medidas, dividindo os dados em grupos de numero de Reynolds
aproximadamente iguais (equacao 3.2):
ε20 =
1
n
n∑i=1
(FMi − FPi)2 (3.2)
onde n e o numero total de dados do grupo e os subscritos [M] e [P] referem-se aos
dados medidos e preditos respectivamente. O processo de minimizacao gera as seguintes
equacoes:
ε20,CD
=2
n
n∑i=1
(FMi − FPi)FPi,CD
ε20,CM
=2
n
n∑i=1
(FMi − FPi)FPi,CM(3.3)
Simplificando o sistema de equacoes 3.3 resulta:
A1CD + A2CM = A3
A2CD + A4CM = A5 (3.4)
com:
A1 =ρAI
2
n∑i=1
(u|u|)2i
A2 = ρVn∑
i=1
(du
dt
)i
(u|u|)i
A3 =n∑
i=1
FMi(u|u|)i
A4 = ρVn∑
i=1
(du
dt
)2
i
A5 =n∑
i=1
FMi
(du
dt
)i
46
Resolvendo o sistema de equacoes 3.4 tem-se, para CD:
CD =A5A2 − A3A4
A22 − A1A4
Segundo os autores citados, o agrupamento de numeros de Reynolds baixo leva a um
bom resultado para o coeficiente CM , mas um prognostico ruim para o coeficiente CD. Ja
para numeros de Reynolds altos, acorre o contrario. Esse fato acontece devido a propria
caracterıstica da equacao de Morison. Por exemplo, para o numero de Reynolds baixo
(Re = O(1)) as forcas de inercia tem papel importante (assim como as forcas viscosas),
tornando o arrasto apenas uma parcela da forca total, dificultando sua determinacao.
3.2 Estruturas flexıveis
Ensaios experimentais que definem o coeficiente CD para estruturas flexıveis tem
algumas particularidades. A teoria classica de que a forca de arrasto e proporcional ao
quadrado da velocidade nao se aplica nos casos de corpos flexıveis (ALBEN; SHELLEY;
ZHANG, 2002; UTTER; DENNY, 1996; FREEMAN; RAHMEYER; COPELAND, 2000).
Alem disso, deve ser notado que a correta determinacao do arrasto utiliza a velocidade
relativa uR entre o fluido e a vegetacao ao inves da velocidade do escoamento u (MENDEZ;
LOSADA, 2004). O coeficiente de arrasto nao e, portanto, o unico parametro na equacao
de Morison que deve ser ajustado para representar estruturas flexıveis.
Alben, Shelley e Zhang (2002) sugerem que o coeficiente de arrasto em estruturas
flexıveis seja expresso como uma funcao do coeficiente de arrasto de estruturas rıgidas,
corrigido por um coeficiente (η0) que exprime a relacao entre o comprimento total de um
elemento e seu respectivo comprimento fletido (l0):
η0 =
(l
l0
)3/2
com: l0 =
(2ES
ρDu2
)1/3
onde ES e o modulo elatico a flexao e D e o diametro do elemento.
O coeficiente de arrasto, seria entao dado por:
CD =FD
1/2ρAu2η2
0
Freeman, Rahmeyer e Copeland (2000) construıram um modelo de previsao de perda
de carga e coeficiente de arrasto em canais, baseado em diversos ensaios fısicos de varias
especies de plantas. Embora os autores nao tenham trabalhado com escoamento os-
47
cilatorio, cabe a reflexao na determinacao do coeficiente de arrasto para escoamentos
permanentes.
O modelo dos autores baseia-se na premissa de que a resistencia ao escoamento e igual
a soma das forcas de arrasto induzidas na vegetacao. O coeficiente de arrasto para objetos
flexıveis e funcao de varios fatores:
CD = f(Re, h, l, tipo, forma e flexibilidade da planta, N)
sendo Re o numero de Reynolds, h a profundidade, l a altura da vegetacao e N a densidade
de plantas por metro quadrado.
A realizacao de diversos ensaios, com variacao de todos os fatores que influenciam CD
mostraram que o coeficiente de arrasto diminui com o aumento de velocidade, profundi-
dade, densidade das plantas, flexibilidade das plantas e espacamento das plantas.
Freeman, Rahmeyer e Copeland (2000) usaram a analise dimensional na selecao de
parametros que pudessem relacionar o arrasto ou resistencia ao escoamento e as variaveis
morfologicas das plantas. Quatro parametros foram entao escolhidos como significantes,
sendo:
• Relacao entre a forca de arrasto e as forcas de resistencia a flexao da planta;
• Relacao entre a profundidade e altura da planta;
• Area normal ao escoamento;
• Numero de Reynolds.
Entao, tem-se resumidamente (equacao 3.5):
CD = f
(ρu2A
ESAT
,h
l, NA, Re
)(3.5)
onde ES e o modulo elastico a flexao da vegetacao, AT e a area total (soma de todas
as areas individuais das plantas na secao transversal, area de bloqueio total) e h e a
profundidade.
A determinacao do modulo elastico a flexao das plantas e indispensavel para o metodo
descrito, pois ES controla a deformabilidade da vegetacao. E calculado segundo a equacao
3.6:
ES =F45l
2
3I= 6, 791
F45l2
d4(3.6)
48
onde F45 e a forca necessaria para flexionar em 45 graus a planta (figura 8) e I o momento
de inercia de segunda ordem para uma secao circular (I = πD4/64). O diametro D
e medido a l/4 a partir do fundo. Como fica difıcil aplicar a equacao 3.6, devido a
determinacao de F45, foi desenvolvida uma equacao com base no fator l/D, com coeficiente
de correlacao proximo a 90%:
ES(N/m2) = 7, 648.106
(l
D
)+ 2, 174.104
(l
D
)2
+ 1, 809.103
(l
D
)3
(3.7)
Figura 8: Esquema do metodo de determinacao de ES (alterado de Freeman, Rahmeyere Copeland (2000))
Os autores, para diferenciar o efeito da vegetacao, subdividiram o calculo para os
casos de plantas submersas, parcialmente submersas e a associacao dos dois tipos. Para
a vegetacao totalmente submersa, os ensaios de laboratorio apontaram, de acordo com a
regressao de potencia, coeficiente de correlacao de 96%, para equacao 3.8:
CD = 0, 183
(ESAT
ρAu∗2
)0,183 (l
h
)0,243
(NA)0,273(
ν
u∗RH
)0,115
(3.8)
onde RH e o raio hidraulico (area molhada do escoamento sobre o perımetro molhado),
u∗ e a velocidade de atrito (u∗ =√
gRHS0) e S0 e a declividade do fundo.
Vale lembrar que l, A e AT sao os valores iniciais, antes da planta ser submetida ao
escoamento. Ja para o caso da vegetacao parcialmente submersa, os autores obtiveram
a equacao 3.9 a partir de uma regressao dos dados experimentais, com coeficiente de
correlacao de 85%:
CD = 3, 487× 10−5
(ESAT
ρA∗u∗2
)0,15
(NA∗)0,166(
u∗RH
ν
)0,622
(3.9)
A area A foi alterada na equacao 3.9 para uma area efetiva A∗, pois como as plantas estao
49
parcialmente submersas, somente uma porcao da area ira afetar o escoamento. A area
efetiva A∗ pode ser aproximada por:
A∗ = (h− (l − lS))D
onde lS e a altura submersa da vegetacao. Para plantas parcialmente submersas e sub-
mersas (multiplos tipos), todas as variaveis, quando quantificadas, devem ser ponderadas
pela densidade relativa na area de interesse.
50
4 Apresentacao do modelo
Neste capıtulo, sao mostrados os passos tomados para obter o modelo conceitual de
dissipacao de energia, ou modelo geral. A premissa norteadora do modelo conceitual e de
que a energia dissipada se deve ao trabalho realizado pela onda sobre o organismo para
movimenta-lo. Sendo assim, o modelo geral e composto de duas partes: a parcela dinamica
e a parcela energetica. Num primeiro momento, e apresentada a parcela dinamica, carac-
terizada pela equacao da dinamica do organismo aquatico empregada. Sera discutida a
concepcao da equacao da dinamica como um todo, elucidando as vantagens e desvantagens
de cada escolha cogitada. As hipotes de simplificacao, a medida que sao efetuadas, sao
comentadas e sua justificativa e imediatamente apresentada.
Num segundo momento, e apresentada a forma escolhida para representar a perda
de energia de onda, constituindo a parcela energetica do modelo geral. Assim como na
parcela dinamica, tecem-se comentarios acerca das hipoteses de simplificacao a medida
que o equacionamento evolui.
4.1 Parcela dinamica
4.1.1 Concepcao e proposicao
A concepcao da parcela dinamica e uma etapa importante do processo de construcao
do modelo conceitual de dissipacao de energia. Para analisar a parcela dinamica, recorre-se
a analogia do comportamento do organismo com problemas dinamicos conhecidos. Foram
avaliados dois tipos de problemas: viga e pendulo. As duas formas apresentadas possuem
vantagens e desvantagens, que serao comentadas, justificando a escolha efetuada.
Tentar representar a dinamica dos organismos aquaticos por vigas parece uma ideia
intuitiva, mas contraria a realidade em alguns aspectos. Com essa analogia, surge a
necessidade de extrair do organismo estudado parametros fısicos caracterısticos de vigas
(como, por exemplo, o modulo elastico a flexao ES). A obtencao desses parametros fica
51
comprometida principalmente quando se trata de organismos frageis, que nao possuem
sustentabilidade propria (dependem do empuxo para permanecerem na vertical).
A determinacao do modulo a flexao do organismo aquatico, nesses casos, nao pode
ser feita de maneira convencional, porque o organismo nao apresenta qualquer resistencia
a flexao. Usando uma corda com massa especıfica menor que a da agua como exem-
plo, percebe-se que esta permanece na vertical apenas quando completamente submersa,
mesmo sem apresentar consideravel resistencia a flexao. Neste caso, o efeito do empuxo
na corda cria um modulo a flexao artificial. A dificuldade aparece na tentativa de quan-
tificacao deste modulo a flexao artificial em organismos frageis. Ou seja, o modelo de
viga pode ser aplicado a organismos rıgidos e frageis, com a devida correcao no modulo a
flexao para os organismos frageis.
Outro modelo que foi cogitado para representar os organismos aquaticos submetidos a
acao das ondas, baseia-se na nocao de que os organismos oscilam como pendulos invertidos.
Neste caso, tem-se um pendulo forcado (acao externa - arrasto) e a forca de restauracao
seria o empuxo, o que tornaria o modelo mais atrativo onde o empuxo fosse da ordem
de grandeza das outras forcas envolvidas (que e o caso dos organismos frageis). Esse e
justamente o caso onde o modelo de viga falha (na verdade, exige um parametro difıcil
de quantificar, o modulo a flexao artificial).
Um ponto negativo do modelo pendulo invertido e que a sua precisao fica comprome-
tida por representar o organismo por apenas um elemento. Existe, no entanto, a possi-
bilidade de estender o numero de elementos discretizados (numero de pesos do pendulo).
Se esse numero for grande, a complexidade da solucao do sistema final e aumentada de
forma significativa.
Outro detalhe, do qual ambos modelos (viga e pendulo) dependem e a dificuldade
da busca da solucao do problema nao-linear. Ou seja, na busca de uma solucao direta,
os modelos assumem a hipotese de pequenos angulos ou pequenos deslocamentos (ou
deformacoes) totais. Em ambientes sujeitos a esforcos intensos, essa hipotese pode nao
ser verificada.
Frente ao apresentado, escolhe-se o modelo de viga como norteador da parcela dinamica
do modelo geral, devido a sua aplicabilidade a diferentes tipos de organismos. Esta carac-
terıstica de criacao de um modelo mais geral sera observada em algumas escolhas feitas
ao longo do trabalho.
Seja a figura 9 abaixo representando um elemento unidimensional (viga) submetido a
52
um carregamento transversal:
Figura 9: Organismo submetido a um carregamento hidrodinamico, modelado como umaviga viscoelastica engastada
Equilıbrio de forcas:
• Somatoria de forcas na vertical:
V′(x, t) + p(x, t)dx− (V
′(x, t) + V
′
x(x, t)dx)− fI(x, t)dx = 0 (4.1)
com: V′representando o esforco cortante, p(x, t) a forca externa atuante por metro do
elemento e fI a resistencia inercial, dada por:
fI(x, t) = m(x)ytt(x, t) (4.2)
onde m e a massa linear (massa por unidade de comprimento do elemento) e y o desloca-
mento horizontal.
Substituındo a equacao 4.2 na 4.1 resulta:
V′
x(x, t) = p(x, t)−m(x)ytt(x, t) (4.3)
• Somatoria dos momentos:
Desconsiderando efeitos de ordem superior, ou seja, a rotacao inercial, tem-se:
M(x, t) + V′(x, t)dx− (M(x, t) + Mx(x, t)dx) = 0
onde M e o momento fletor na secao transversal considerada, que resulta em:
Mx(x, t) = V′(x, t) (4.4)
53
Derivando a equacao 4.4 com relacao a x e substituındo o resultado na equacao 4.3,
tem-se:
Mxx(x, t) + m(x)ytt(x, t) = p(x, t) (4.5)
Neste ponto pode-se perceber como alguns modelos da literatura adaptam a equacao
4.5 dependendo do organismo estudado. Em uma classificacao geral comumente em-
pregada, denomina-se os organismos frageis aqueles que apresentam pouca ou nenhuma
resistencia a acao externa e organismos rıgidos aqueles que possuem resistencia. Entao,
para os organismos frageis, o termo Mxx da equacao 4.5 e pequeno em relacao aos outros
dois, ja que o momento esta relacionado a elasticidade do organismo. Percebe-se dessa
forma que para organismos frageis a equacao de balanco reduz-se a compatibilizacao dos
esforcos, ou seja:
m(x)ytt(x, t) = p(x, t) (4.6)
Com base no exposto, a equacao de partida 4.6 seria suficiente para reproduzir a
dinamica de grande parte dos organismos aquaticos. Entretanto, opta-se pelo desenvol-
vimento da equacao completa (equacao 4.5), que reproduz tanto os organismos frageis
(atraves de uma adaptacao) quanto os rıgidos. Para isso, e necessario expressar o termo
Mxx em funcao do deslocamento (resultando em uma equacao diferencial em y). Recorre-
se entao as relacoes de tensao-deformacao e raio de curvatura-momento (equacao de Euler-
Bernoulli).
4.1.2 Relacao tensao-deformacao
Para que a relacao tensao-deformacao seja definida, deve-se identificar o comporta-
mento mecanico do material constituinte dos organismos aquaticos. Existem basicamente
dois tipos de materias: elasticos e viscosos.
Os materiais totalmente elasticos sao aqueles em que toda energia aplicada a uma
amostra e recuperada quando o carregamento e removido. Como consequencia, as curvas
de tensao e deformacao neste material estao em fase, no caso de um carregamento cıclico
(figura 10). Pode-se aplicar a lei de Hooke a este material, ou seja, a tensao e proporcional
a deformacao e o modulo elastico e definido como a relacao entre a tensao e a deformacao.
Ja os materiais viscosos de comportamento Newtoniano nao recuperam nenhuma
quantidade de energia aplicada quando o carregamento e retirado. Esses materiais nao
possuem rigidez e a tensao aplicada e proporcional a taxa de deformacao.
54
Figura 10: a) Material perfeitamente elastico, b) Material perfeitamente viscoso e c)Material viscoelastico
Os materiais que nao se enquadram nestas duas classificacoes extremas sao chamados
de materiais viscoelasticos. Os materiais viscoelasticos preservam parte das caracterısticas
dos materiais elasticos e viscosos: recuperam uma parte da energia quando o carregamento
e retirado e a curva da tensao esta fora de fase da curva da deformacao de um angulo φ
(0 < φ < π/2). O angulo φ e uma medida do grau de amortecimento do material.
De modo a alcancar uma variedade maior de materiais, opta-se por definir os orga-
nismos no modelo como viscoelasticos. Existem varias formas de descrever o compor-
tamento mecanico destes materiais, sendo utilizada no modelo a denominacao de solido
viscoelastico de Voigt, extendendo uma definicao previa de Meyer (KOLSKY, 1963). Voigt
assumiu que a tensao pode ser expressa como a soma de duas parcelas: uma proporcio-
nal a deformacao e outra proporcional a taxa de deformacao. Considerando o material
isotropico e fazendo uma analise unidimensional, a relacao tensao-deformacao pode ser
representada por:
σ = ESε + Eviscε (4.7)
onde: σ e a tensao total, ES e o modulo elastico a flexao, Evisc e o modulo viscoso e ε e
a deformacao do elemento (ε = yx).
Esquematicamente, o solido proposto por Voigt seria composto de uma mola (parte
elastica) e um amortecedor (parte viscosa) em paralelo (figura 11a). Existem outras for-
mas de representar um solido, como por exemplo o modelo proposto por Maxwell (figura
55
11b), em que a parte elastica e viscosa estao associadas em serie. Existem ainda modelos
hıbridos, combinando os modelos de Voigt e Maxwell (figura 11c). No presente traba-
lho, opta-se pelo modelo de Voigt, principalmente por duas razoes: a primeira e que nao
se tem notıcia do comportamento viscoelastico real da vegetacao, esse fato esta implıcito
nas observacoes de varios pesquisadores (MORK, 1996; GAYLORD; HALE; DENNY, 2001).
Ou seja, nao se pode apontar um tipo de solido que descreva detalhadamente o compor-
tamento da vegetacao sem antes extensa investigacao experimental. A segunda razao
e a facilidade de implementacao do tipo de solido de Voigt, em comparacao aos outros
modelos.
Figura 11: a) Modelo de Voigt, b) Modelo de Maxwell e c) Modelo hıbrido
Fica evidente na equacao 4.7 que o modelo se restringe ao regime elastico do material e
adota uma reologia Newtoniana para representar o amortecimento viscoso. A consideracao
de que o material do organismo segue uma reologia Newtoniana vem do desconhecimento
do comportamento do material, onde apenas ensaios fısicos especıficos poderiam esclarecer
o comportamento reologico de cada tipo de organismo.
4.1.3 Isotropia do organismo
Ja que a equacao 4.7 foi obtida mediante a hipotese do material ser isotropico, discute-
se o motivo de tal consideracao. Em primeiro lugar, em se tratando de propagacao de
ondas em corpos d’agua que possuem nichos de organismos aquaticos que amortecem a
energia da onda, nao ha duvidas que esses tipos de fenomenos serao melhores representados
bi ou tridimensionalmente.
Alem disso, pelo fato das ondas serem geradas, em tais situacoes, principalmente pelo
vento, existem varias direcoes distintas de incidencia das ondas em um mesmo campo de
organismos. Considerando um organismo vegetal, supoe-se inicialmente que este apre-
sente anisotropia, ou seja, este organismo responde mecanicamente de maneira diferente
56
dependendo da direcao da onda. O que e realizado no modelo conceitual geral e con-
siderar apenas a direcao principal de propagacao da onda (ensaios fısicos em canal de
ondas), reduzindo o problema a um problema unidimensional considerando a isotropia do
organismo aquatico.
4.1.4 Equacao de Euler-Bernoulli
A equacao de Euler-Bernoulli vem da relacao entre a curvatura de um elemento e o
momento fletor em uma secao transversal circular, sendo esta equacao dada por:
M = ESIκ + EviscIκ (4.8)
onde M e o momento fletor na secao transversal considerada, κ e a curvatura do elemento,
I e o momento de inercia de uma secao circular (πD4/64, D e o diametro do organismo),
ES e o modulo elastico a flexao e Evisc e o modulo viscoso.
Segundo a equacao de Euler-Bernoulli, a curvatura e dada por (GERE; TIMOSHENKO,
1990):
κ =yxx
(1 + y2x)
3/2(4.9)
A solucao analıtica da equacao 4.8 so foi possıvel de ser determinada no seculo pas-
sado com o surgimento das integrais elıpticas. Neste instante, pode-se considerar valida a
hipotese de que o organismo, quando oscila, o faz com pequenos valores absolutos das de-
formacoes (ou seja, yx ≈ 0). Assim posto, a expressao da curvatura pode ser simplificada
para:
κ = yxx (4.10)
Pode-se justificar a hipotese de pequenas deformacoes adotada para obtencao da
equacao 4.10. Para isso, deve-se avaliar as condicoes naturais onde acorre a dissipacao da
energia da onda pela acao de organismos submersos. Os efeitos nao-lineares (yx significa-
tivos) sao equacionados na secao Forcas externas.
4.1.5 Fases da dissipacao de energia
As ondas resultantes de ventos atuando em espelhos d’agua de lagos, possuem altura,
direcao e perıodos variados, sendo comumente representados por espectros de frequencia.
Entretanto, o problema exposto assume que apenas a direcao principal incide no orga-
nismo, e que este reage de maneira isotropica. A perda da energia da onda e, sem duvida,
57
um fenomeno complexo, podendo ser dividido em duas partes principais:
• Perda de energia inicial, quando a onda que se propaga geralmente e de aguas
profundas ou intermediarias, onde as forcas atuantes nos organismos aquaticos sao
pequenas e a movimentacao adquirida pelo organismo e pequena;
• Perda de energia final, de maior intensidade, presenca de ondas de aguas rasas
gerando forcas significativas, causando grande movimentacao dos organismos aqua-
ticos.
Pela descricao das zonas de dissipacao de energia percebe-se o motivo da considera-
cao da teoria de onda linear como sendo o agente motor. A consideracao de pequenas
deformacoes (analise linear do problema, equacao 4.10) restringe a intensidade da forcante
externa que, consequentemente, limita os deslocamentos maximos sofridos pelo organismo.
Como a forcante e regida pela teoria de onda linear (ou teoria de pequenas amplitudes),
entende-se que o modelo empreendido se aplica em uma etapa inicial de dissipacao, pre-
dominantemente em regioes submetidas a esforcos menos intensos.
Uma vez obtidas as relacoes de tensao-deformacao e raio de curvatura-momento
(equacao de Euler-Bernoulli) e esclarecida a adocao da teoria linear, pode-se retornar
a deducao da equacao motriz do problema. Substituindo a equacao 4.10 em 4.8, resulta:
M = ESIyxx + EviscIyxxt (4.11)
Substituındo a equacao 4.11 em 4.5, tem-se a expressao geral:
(ESIyxx + EviscIyxxt)xx + m(x)ytt = p(x, t) (4.12)
Supondo que as propriedades fısicas do organismo sejam constantes, tem-se a seguinte
equacao:
mytt + ESIyxxxx + EviscIyxxxxt = p(x, t) (4.13)
A discretizacao da equacao 4.13 esta demonstrada passo-a-passo no Apendice A.
4.1.6 Forcas externas
Para aplicacao da equacao 4.13 apenas resta definir a funcao p(x, t), que representa os
esforcos externos atuantes no organismos. Dentre estas forcas podem ser citadas: arrasto
e tracao/compressao. Sabe-se que a forca externa de maior relevancia e a forca de arrasto
58
horizontal. Utiliza-se entao a formulacao definida pela equacao 4.14, segundo referencia
da literatura, sendo a intensidade do arrasto dado por:
FD =1
2CDρAuβ0
R (4.14)
onde ρ e a massa especıfica do fluido, β0 e um coeficiente adimensional cujo valor esta
relacionado a forma do objeto (β0 ≤ 2, quanto mais hidrodinamico e/ou flexıvel, menor
e o valor de β0), A e a area projetada maxima (area de bloqueio) e CD e o coeficiente de
arrasto.
Acredita-se que tal formulacao (equacao 4.14) seja capaz de representar tanto um
organismo rıgido quanto um flexıvel, aumentando a capacidade de atuacao do modelo
geral. Existem varias formas de representar a forca de arrasto, como por exemplo a
formulacao encontrada em Johnson (2001):
FD = KEue1+2
sendo que um valor negativo de e1 indica reducao do arrasto devido a flexibilidade da
alga, mostrando que a velocidade nao se relaciona de forma quadratica com o arrasto,
e KE e um coeficiente que depende da area projetada, massa especıfica e coeficiente de
arrasto.
A forca de arrasto vertical e desconsiderada no modelo, baseada primeiramente na
constatacao de diversos autores da literatura (DALRYMPLE; KIRBY; HWANG, 1984; KO-
BAYASHI; RAICHLE; ASANO, 1993; MENDEZ; LOSADA, 2004). A magnitude das forcas
de arrasto vertical frente a resistencia a tracao/compressao do organismo impossibilita-o
de sofrer deslocamentos longitudinais significativos. Alem disso, numa abordagem linear,
desconsideram-se eventuais deslocamentos no eixo do organismo. Se os efeitos de tracao ou
compressao fossem pronunciados (e se estivesse sendo utilizada a abordagem nao-linear)
o deslocamento total do organismo seria dado por um conjunto de equacoes, que seria da
forma: ρKASytt + ESI(yxx/(1 + y2x)
3/2)xx + EviscI(yxx/(1 + y2x)
3/2)xxt = p(x, t)
ρKχtt + ET χxx + Eviscχxxt = q(x, t)
com: χ e o deslocamento do elemento ao longo de seu comprimento (eixo x), ρK e a massa
especıfica do organismo, ES e o modulo elastico a flexao, ET e o modulo elastico a tracao,
I e o momento de inercia de segunda ordem para uma secao circular, Evisc e o modulo
viscoso, p(x, t) e a forca de arrasto na horizontal por comprimento do organismo e q(x, t)
e a forca de arrasto na vertical por unidade de volume.
59
Esse sistema de equacoes, uma vez resolvido, forneceria as coordenadas (x, y) em cada
instante de tempo. Entretanto, essa formulacao nao e utilizada no modelo conceitual pro-
posto. Esse fato ocorre primeiramente pelo modelo proposto aplicar-se apenas a uma fase
inicial da dissipacao da energia da onda. O fator experimental tambem merece atencao,
uma vez que os casos ensaiados se restringem ao limite entre aguas profundas e inter-
mediarias, como sera ilustrado no capıtulo 6. Dessa forma, optou-se por nao implementar
de imediato um modelo nao-linear para a dinamica dos organismos e preservar a teoria
de onda adotada. Esse fato, nao impede, num primeiro momento, esse autor pesquisar
a influencia ou peso da nao-linearidade do problema para uma caso particular de viga
elastica com carregamento pontual na extremidade livre. Tais analises teorico-numericas
sao apresentadas no Apendice B.
4.2 Parcela energetica
Pode-se estimar a energia dissipada da onda atraves do trabalho realizado sobre o
organismo para movimenta-lo. Ou seja, a taxa de energia dissipada pode ser expressa
atraves de uma equacao semelhante aquela proposta por Dalrymple, Kirby e Hwang (1984)
e verificada posteriormente como um caso particular de Kobayashi, Raichle e Asano (1993)
para o caso de pequeno amortecimento. Entao, tem-se a equacao da conservacao de energia
(equacao 2.4), reescrita aqui:
(EcG)y = −εG (4.15)
onde: E = 1/8ρgH2 e a energia da onda por unidade de area, ρ e a massa especıfica, g
a aceleracao gravitacional, H a altura da onda, εG e a dissipacao de energia medianizada
num perıodo de onda e cG = nc e a velocidade de grupo, com:
n =1
2
(1 +
2kRh
sinh (2kRh)
)
onde: kR e a parte real do numero de onda complexo = 2π/L, L e o comprimento de onda
e h e a profundidade.
A dissipacao de energia medianizada num perıodo de onda e determinada fazendo:
εG =1
T
∫ t+T
t
∫ l
0
~F ~uRdx (4.16)
sendo ~F a forca total aplicada ao organismo, ~uR o vetor velocidade relativa e T e o
perıodo da onda. Como sao considerados como forca externa apenas o arrasto horizontal,
60
a equacao 4.16 fica:
εG =1
T
∫ t+T
t
∫ l
0FDuRdx (4.17)
Percebe-se, no entanto, a utilizacao da velocidade relativa ao inves da velocidade do
escoamento na equacao 4.17. Para estimar a altura de onda dentro do campo vegetado,
utiliza-se a taxa de dissipacao de energia determinada pela equacao 4.17 atraves de um
metodo de integracao numerica (1/3 de Simpson) e substitui-se na equacao 4.15, que
discretizada fica:1/8ρgcGH2
i − 1/8ρgcGH2i−1
∆y= −εG (4.18)
Desenvolvendo resulta em:
Hi =
√H2
i−1 −8εG∆y
ρgcG
(4.19)
A equacao 4.19 pode ainda ser reescrita na forma:
H
H0
=√
1− γy (4.20)
com:
γ =8εG
ρgcGH20
ou γ =εG
E0cG
(4.21)
sendo E0 a energia da onda incidente.
Uma outra maneira de representar a equacao 4.20 e atraves da porcentagem de energia
dissipada, dada por:
% de energia dissipada =(1− E
E0
)× 100 (4.22)
A equacao 4.20 e capaz de predizer a altura de onda em qualquer ponto do campo
vegetado. O coeficiente de atenuacao do modelo (γ), como pode ser notado na equacao
4.21, e a razao entre a taxa de energia e a energia da onda incidente. Cabe ainda salientar
que a funcao que representa o decaimento da energia da onda apresentada pela equacao
4.20 e diferente das funcoes conhecidas e tratadas na literatura:
H
H0
=1
1 + α1ye
H
H0
= e−kIy
sendo α1 e kI coeficientes de atenuacao.
O modelo energetico desenvolvido nesta dissertacao de mestrado preve, portanto, uma
61
nova funcao de decaimento de energia da onda. Observa-se que a equacao da parcela ener-
getica (equacao 4.20) nao possui um limite assintotico quando o coeficiente de atenuacao γ
tende ao infinito. Com isso, a analise comparativa entre as equacoes de atenuacao mostra
que, a medida que a onda evolui no campo de organismos, ha um distanciamento entre
as equacoes do modelo e da literatura. Dessa forma, restringe-se a concordancia entre as
equacoes proposta e da literatura a uma regiao do campo de organismos. Uma analise
mais apurada sobre o modelo energetico sera estabelecida no capıtulo 6
62
5 Atividades experimentais
Serao mostradas, inicialmente, as atividades experimentais empreendidas, em mea-
dos de 2003, junto ao lago formado pela barragem de Ilha Solteira. Essa etapa teve a
cooperacao da Coppe-UFRJ e o IPH-UFRGS, no ambito da Rede de Pesquisa em Hi-
drodinamica e Aguas Rasas “Amigos de Boussinesq”, demostrando o interesse de outros
centros de pesquisa em estudar interacao onda-vegetacao.
Quanto as atividades de laboratorio, foram realizados ensaios controlados em dois
centros: O Laboratorio de Engenharia Naval e Oceanica da Universidade de Sao Paulo
(EPUSP-SP) e o Instituto Nacional de Pesquisas Hidroviarias (INPH-RJ). Serao des-
critas as atividades realizadas nesses dois laboratorios, que contribuıram para melhor
compreensao da interacao onda-vegetacao.
5.1 Atividades de campo
O local escolhido para as experimentacoes foi a Fazenda de Ensino da FEIS-Unesp,
que margeia o lago formado pela barragem de Ilha Solteira, caracterizando sıtio de estudo
ideal, pois possui em grande parte do ano vegetacao que fica submersa. Na figura 12
pode-se observar o panorama da regiao de interesse.
Figura 12: a) Vista da Fazenda de Ensino da FEIS-Unesp e b) incidencia de ondas emcampo vegetado no sıtio de estudo
63
O sıtio de estudo e povoado por varios tipos de organismos, que atuam proximos as
margens como agentes atenuadores da energia da onda. Mesmo assim, nao e raro observar
erosoes ao longo da margem do lago (figura 13a). Percebe-se, pelo fato da formacao do
lago da barragem de Ilha Solteira ser recente e artificial, que o relevo ainda esta em fase de
acomodacao com os agentes hidrodinamicos, mesmo quando as margens sao cobertas por
vegetacao. Diante do exposto, reforca-se a importancia da acao dissipativa dos organismos
aquaticos, bem como a necessidade de seu entendimento.
Em se tratando particularmente do sıtio de estudo, pode-se identificar um tipo pre-
dominante de vegetacao, a Brachiaria subquadrıpara (figura 13b). Esta planta tem varios
caules, que sao delgados e finos, de onde folhas crescem verticalmente. A Brachiaria sub-
quadrıpara nao possui sustentacao propria, permanecendo na vertical por meio da acao
do empuxo quando submersa, possuindo baixa rigidez. De maneira geral, pode-se dizer
que este organismo pode ser classificado como um organismo fragil. Pelo menos mais dois
tipos de plantas tambem sao encontrados com frequencia: o capim coloniao (Panicum
maximum) e a grama seda (Cynodon dactilon).
Figura 13: a) Erosao nas margens do lago formado pela barragem de Ilha Solteira e b)organismo predominante no sıtio de estudo (Brachiaria subquadrıpara)
Para quantificar a atenuacao de energia sofrida pela onda, e preciso comparar a altura
da onda que incide no campo com a altura em um ponto dentro do campo com organismos.
Para isso, foram escolhidos dois pontos de medicao: o Ponto Externo de Medicao (PEM) e
o Ponto Interno de Medicao (PIM). Conhecida a direcao principal de propagacao da onda
e a distancia entre os pontos PEM e PIM, as alturas das ondas podem ser comparadas e
a atenuacao da energia determinada.
Sendo assim, e necessario que os pontos de medicao fornecam, alem da altura das
64
ondas, sua direcao. A altura e adquirida atraves de sensores capacitivos, que fariam a
aquisicao do nıvel d’agua em regime de trabalho contınuo, fornecendo em tempo integral
as alturas instantaneas de ondas incidentes na vegetacao (PEM), assim como um ponto
de medicao na propria vegetacao (PIM).
A direcao das ondas seria determinada atraves da associacao de tres sensores capa-
citivos, por meio da defasagem da onda registrada nos sensores. As sondas sao entao
alojadas em um tipo de gaiola formada por uma estrutura metalica prismatica revestida
de uma tela de nylon, sendo que tres pontas capacitivas lineares seriam dispostas em tres
arestas da gaiola (figura 14a e 14b). A funcao da tela de nylon era impedir qualquer tipo
de acao externa nao prevista que pudesse danificar os sensores de medicao (os efeitos de
atenuacao da tela de nylon foram ajustados previamente, de acordo com os procedimentos
de Pereira (2001)).
Ja em relacao a locacao dos pontos de medicao escolhidos, devido a profundidade do
lago no PEM de aproximadamente 4m, foi necessaria a construcao de uma torre metalica
de 6m de altura, que serviria de suporte a gaiola com as sondas capacitivas. O lancamento
da torre de suporte no lago (figuras 15a e 15b) envolveu a participacao de varios membros
da FEIS-Unesp, Coppe-UFRJ, IPH-UFRGS, alem da colaboracao de barqueiros locais.
A parte de aquisicao dos dados (data logger) foi desenvolvida pelo IPH-UFRGS, a torre
e sensores de medicao foram disponibilizadas pela Coppe-UFRJ e o apoio tecnico e infra-
estrutura disponibilizados pela FEIS-Unesp. A torre em sua posicao final e mostrada na
figura 15c.
Figura 14: a) Esquema da gaiola e disposicao dos sensores e b) gaiola com a tela de nylon(aparato concebido a partir de experimentos de Pereira (2001))
65
Figura 15: a) e b) Momentos do lancamento da torre PEM no lago e a c) torre implantada,com a gaiola e os sensores capacitivos
A determinacao do relevo da area estudada mostra-se importante, mesmo em se tra-
tando de uma pequena area margeada por vegetacao, porque e preciso desconsiderar a
refracao da onda na atenuacao da energia da onda. Foram realizados levantamentos
plani-altimetricos da area de estudo em duas oportunidades: em 13/05/2003 e outro em
15/12/2003. Durante o primeiro levantamento, grande parte da area de trabalho estava
inundada, dificultando o acesso. No segundo levantamento, o recuo do nıvel do lago
era bem acentuado, ocasionado pela epoca de estiagem natural. Na figura 16 pode-se
ver o levantamento topografico, bem como a posicao dos pontos PEM e PIM, area com
organismos e demais caracterısticas importantes.
Um aspecto pouco explorado foi a resistencia da cadeia de medicao as intemperies.
Alem disso, com a variacao sazonal do nıvel d’agua, a faixa de linearidade dos sensores
capacitivos nao era garantida e estes nao eram calibrados constantemente. Esses fatores
determinaram o comprometimento dos dados adquiridos, assim como do adiamento desta
empreitada experimental para o tempo de dois meses de medicao (julho a agosto de 2003).
Em contrapartida, o fenomeno pode ser observado e a primeira missao possibilitou
um entendimento maior sobre a complexidade de trabalhar com o problema no campo
experimental. Surgiu entao a necessidade de realizar um experimento mais controlado,
em laboratorio. Devido a infra-estrutura do Laboratorio de Hidraulica da FEIS nao
atender completamente as necessidades exigidas (canal existente na FEIS-Unesp e de
66
Figura 16: Levantamento topografico do sıtio de estudo
pista reduzida, necessidade de implantacao de batedor controlado, etc), foram contactados
Centros Externos (laboratorios que apresentam infra-estrutura adequada) que auxiliariam
a realizar os ensaios fısicos.
67
5.2 Atividades laboratoriais
Para realizacao dos ensaios fısicos, julgou-se apropriado contactar Centros Externos
que, em muito, auxiliaram a realizar os experimentos. Em termos de objetivos na parte
laboratorial, persegue-se inicialmente a atenuacao da energia da onda. Em segundo lugar,
e pretendido investigar experimentalmente a dinamica dos organismos aquaticos.
Surge, como primeira duvida na realizacao dos ensaios em Centros Externos, qual seria
o organismo simulado. Sabe-se, conforme relatos anteriores, que a regiao escolhida como
sıtio de estudo (lago formado pela barragem de Ilha Solteira) apresenta um organismo
predominante na area: a Brachiaria subquadrıpara. Entretanto, cogitou-se a possibilidade
de simular, por meio de outro material, o comportamento mecanico (dinamico) e energe-
tico (dissipacao de energia) do organismo. Ou, de forma mais geral, busca-se um material
que tenha caracterısticas de um organismo predominantemente fragil. A dificuldade no
transporte, condicoes ideais para armazenamento e demais variaveis contribuıram para
substituicao da vegetacao natural por um material artificial. A seguir, sao descritos os
passos que determinaram a escolha do material que ira simular o organismo aquatico
presente no sıtio de estudo.
Em seguida, e comentado em detalhes os ensaios realizados nos Centros Externos,
bem como alguns resultados obtidos nesta etapa do trabalho.
5.2.1 Organismo simulado
A substituicao de organismos aquaticos por qualquer outro material (fibra de vidro
e cordas de nylon, por exemplo), na validacao de um modelo, insere erros de ordem
mecanica, devido a diferenca de comportamento entre os dois materiais. Embora esse fato
seja coerente e indiscutıvel, varios pesquisadores buscam maneiras de simular a presenca
de organismos aquaticos por outros materiais, pelas mais variadas razoes. Como exemplo,
e mostrado na figura 17 os organismos simulados por Lovas e Torum (2001) e Ghisalberti
e Nepf (2002).
Para o caso particular do presente estudo, procurou-se representar o organismo fragil
inicialmente por canudos plasticos, de aproximadamente 12, 5cm de altura, espacados por
3, 5cm, fixados em um corte de vidro retangular (dimensoes: 50cm por 28, 5cm). A figura
18 mostra a configuracao final adotada.
De modo a obter alguns parametros comparativos, o campo da figura 18 foi colo-
68
Figura 17: Representacao do organismo utilizado por a) Lovas e Torum (2001) e b)Ghisalberti e Nepf (2002)
Figura 18: Representacao do 1 ◦ campo vegetado adotado para o modelo desenvolvido
cado no canal do Laboratorio de Hidraulica da FEIS-Unesp, provido de batedor tipo flap
(montado em carater provisorio, com uma mecanica rudimentar). O teste empreendido
tinha como objetivo a escolha de um material que se movimentasse como a vegetacao e
gerasse alguma dissipacao de energia. Nao foi possıvel, entretanto, perceber a atenuacao
sofrida pela presenca dos canudos plasticos, devido principalmente a extensao reduzida
do campo com canudos (apenas 0, 5m) e a altura das ondas, que para laminas d’agua de
trabalho gerava ondas relativamente baixas (H/h < 0, 25). Alem disso, devido a rigidez
dos canudos frente a forcante, nao se percebia a movimentacao do conjunto. Foram entao
propostos outros tipos de atenuadores, diferentes dos canudos plasticos. Os materiais
testados foram:
• plastico proveniente de garrafa de refrigerante;
• borracha;
• saco plastico;
• cordas de nylon
69
Foi analisada a potencialidade de um desses materiais simular os aspectos mecanicos
da vegetacao. A figura 19 ilustra os materiais observados.
Figura 19: Outros tipos de representantes da vegetacao (da esquerda para a direita): a)tiras de saco plastico, tiras de garrafa plastica de refrigerante, tiras de borracha, canudoplastico b) e corda de nylon
Quando submetidos a um regime de ondas, as tiras de borracha, por apresentar um
material de massa especıfica maior que a da agua, nao ficavam na vertical, impossibilitando
sua utilizacao. O fato de uma grande parte das especie de organismos aquaticos apresentar
uma massa especıfica inferior a da agua mostra-se um dos mecanismos essenciais da busca
das especies pela luz solar, fator indispensavel ao seu desenvolvimento.
O plastico proveniente da garrafa de refrigerante mostrou uma eficiencia superior
aos canudos plasticos, mas sua rigidez e alta. As tiras de saco plastico, para o caso
estudado, apresentaram uma movimentacao perceptıvel e considerada satisfatoria, embora
apresente pouca resistencia a acao externa. Dessa forma, a dissipacao de energia no caso
do elemento proveniente de sacos plasticos e pequena. Ja as cordas de nylon apresentaram
movimentacao considerada satisfatoria e possui certa resistencia ao movimento Essa cons-
tatacao de que as cordas de nylon constituem material adequado a representacao de
organismos frageis e de grande mobilidade era corroborada por outra equipe de trabalho
que tratava da mesma tematica em tese de doutoramento (LIMA, 2005). Assim exposto,
esse material foi utilizado para simular o efeito mecanico da vegetacao nos laboratorios
externos a FEIS-Unesp.
5.2.2 Ensaios na EPUSP
O laboratorio de Engenharia Naval e Oceanica da USP-Sao Paulo possui um canal de
ondas de 25m de pista, 1, 0m de altura e 1, 0m de largura. O gerador de ondas (batedor)
70
e do tipo cunha (plunger) e e controlado por mecanismo automatizado, cujas faixas de
funcionamento de frequencia sao de 0, 5 a 2Hz. A figura 20 mostra um panorama geral
do canal e, em detalhe, o gerador de ondas.
Figura 20: Laboratorio de Engenharia Naval e Oceanica da USP-SP, (a) canal e (b)gerador tipo cunha (plunger)
Os ensaios foram realizados com cordas de nylon, de massa especıfica de 681, 43kg/m3,
diametro de 0, 006m e altura de 0, 6m. O campo simulando a vegetacao foi construıdo
em uma malha, com espacamento de 2, 5cm e comprimento total de 2m. As ondas foram
geradas de forma que toda a faixa de frequencia operacional do batedor fosse atingida,
com altura de ondas que variavam de 2 a 5cm.
Figura 21: Posicionamento das sondas S1 (sonda 1), S2 (sonda 2) e S3 (sonda 3) no canalda EPUSP-SP
Tres sensores resistivos foram posicionados ao longo do campo (sonda 1 no comeco,
sonda 2 no meio e sonda 3 no final do campo, figura 21), de modo que pudesse ser notado
o decaimento progressivo da altura da onda. A figura 22 ilustra o campo de cordas de
nylon submetido ao regime de ondas.
Alguns resultados podem ser vistos nas figuras 23a e 23b. Quantifica-se a perda de
energia em termos do espectros de frequencia, obtido a partir do registro dos sensores
capacitivos. Entretanto, como pode ser visto na figura 23, nao houve o padrao esperado
nos resultados (ocorrer perda de energia a medida que a onda se propaga pelo campo).
71
Figura 22: a) Cordas de nylon simulando a vegetacao no Laboratorio de Engenharia Navale Oceanica da USP-Sao Paulo e b) detalhe das cordas de nylon
Varias causas foram atribuıdas ao fato de nao se observar o decaimento desejado, dentre
as quais pode-se citar o tamanho reduzido do campo de cordas (2m).
Figura 23: Espectros de frequencia para uma onda de altura de 4, 13cm, perıodo de 1, 75se profundidade de 0, 8m. Sao mostrados os casos (a) com e (b) sem vegetacao
Uma segunda campanha foi realizada na EPUSP com um campo de cordas de maior
comprimento (4m). O mesmo esquema geral de ensaio foi executado, so que da mesma
forma que na primeira campanha, os resultados nao reproduziram o comportamento espe-
rado. Tal resultado e atribuido a reduzida altura de onda relativa (0, 025 < H/h < 0, 0625)
e a reduzida altura relativa do campo vegetado (l/h = 0, 75). Uma vez que o aspecto
72
energetico nao pode ser determinado, a investigacao da dinamica do organismo simulado
fica comprometida.
Na verdade, depreenderam-se alguns indıcios de atenuacao, conforme ilustra a figura
24, mas que de toda maneira dificulta analises mais aprofundadas na busca de um modelo
conceitual para a dissipacao de energia. Ademais, como o gerador de ondas tipo plunger
nao poderia aumentar a altura das ondas geradas para a mesma profundidade, duas
acoes deveriam ter sido realizadas: aumentar ainda mais a extensao do campo vegetado e
aumentar o comprimento da corda. Entretanto, na ocasiao, essa nova bateria de ensaios
nao foi realizada.
Figura 24: Ensaio com campo de cordas de nylon com extensao lC = 2m, cujas carac-terısticas da onda incidente sao: H0 = 2.47cm, T = 0, 58s e h = 0, 8m
Concomitantemente, dava-se inıcio, no INPH-RJ, campanhas experimentais em canal
de ondas tambem com cordas de nylon no ambito da tese de doutoramento de Lima
(2005).
5.2.3 Ensaios no INPH
De posse dos primeiros resultados de laboratorio (tentativas na FEIS-Unesp e bate-
ria de ensaios controlados na EPUSP-SP), uma campanha experimental conjunta com a
Coppe-UFRJ e o INPH foi empreendida.
O laboratorio do INPH possui canal de ondas com 45m de pista, altura de 1m e largura
de 0, 8m, com gerador de ondas do tipo pistao. Utilizaram-se cinco sensores resistivos na
aquisicao das alturas das ondas, distribuıdos pelo campo de cordas igualmente espacados,
conforme a figura 25b. Os sensores foram calibrados de acordo com metodo estatico
classico, sendo verificada boa linearidade e sem histerese.
73
O comprimento total do campo de cordas utilizado no INPH foi de 3m, com espa-
camento de 0, 75m entre as sondas. A distancia entre o gerador de ondas e a sonda 1
(S1 na figura 25) garantia o comprimento mınimo necessario para que a onda incidente
se estabilizasse (experimento realizado praticamente no meio do canal de ondas).
Figura 25: a) Cordas de nylon e b) disposicao das sondas resistivas ao longo do canal deondas do INPH-RJ
Para fixacao das cordas de nylon, foi utilizada uma malha metalica retangular com
espacamento de 2, 5cm. As cordas de nylon eram amarradas em cada encontro dos fios
da malha metalica, tomando-se o cuidado para garantir uma boa fixacao do conjunto
(reproduzir um engastamento na base da haste). A figura 26 ilustra o esquema geral
adotado.
Figura 26: Disposicao da malha onde foram fixadas as cordas de nylon em a) planta e b)corte
Nos experimentos realizados no INPH, diferentemente dos casos anteriores, foi possıvel
observar e quantificar a reducao de energia da onda. Entretanto, alem do aspecto ener-
getico, a investigacao da dinamica do organismo simulado tambem e desejada dentro do
contexto de interacao onda-organismo aquatico estabelecida ao longo deste trabalho.
Entao, realiza-se uma bateria de ensaios especıficos. Coloca-se apenas uma corda de
nylon no canal, submetendo-a a um regime de ondas pre-estabelecido. Para obtencao
74
Figura 27: Comparacao entre o modelo desenvolvido e o resultado experimental, parauma altura de onda de 0, 1m, perıodo de 1s e profundidade local de 0, 75m (deslocamentoda ponta da corda de nylon)
do deslocamento das cordas de nylon, lanca-se mao da tecnica da cinematografia. Esta
tecnica consiste em filmar o experimento e posteriormente obter o deslocamento da corda
de nylon (atraves de medida direta) e velocidades (medida indireta - deslocamento entre
imagens sucessivas dividido pelo tempo decorrido entre as imagens) a partir da analise das
filmagens. A quantificacao do deslocamento e realizada atraves do acompanhamento de
alguns pontos da corda de nylon, destacados com tinta colorida (nos). O ponto de interesse
maior e a ponta da corda (no superior), onde ocorrem os deslocamentos maximos sofridos
pelo elemento (LIMA, 2005).
A figura 27 mostra, a tıtulo ilustrativo, uma comparacao entre o modelo desevolvido
por esse mestrando e o experimento, para um caso particular.
No capıtulo 6 serao apresentados os testes efetuados e seus resultados, tanto no ambito
energetico (avaliacao da queda na altura da onda e taxa de dissipacao) quanto no dinamico
(movimentacao do organismo simulado).
75
6 Resultados
Neste capıtulo sao mostrados os resultados experimentais, assim como analises do
comportamento do modelo conceitual desenvolvido. Divide-se entao a apresentacao dos
resultados em duas partes: experimental e numerica.
Na parte experimental, serao analisados o aspecto dinamico e energetico de organis-
mos aquaticos simulados por cordas de nylon (representando um organismo fragil), que
foram ensaiadas experimentalmente no canal de ondas do INPH-RJ, com a colaboracao
da Coppe-UFRJ. O aspecto dinamico e quantificado atraves do deslocamento do no supe-
rior da corda de nylon (ponta da corda), comparando o seu movimento com o movimento
calculado pela parcela dinamica do modelo geral. A forcante aplicada e a onda controlada
gerada no canal do INPH-RJ, reproduzida no modelo.
O aspecto energetico e quantificado atraves da relacao entre a altura registrada por
sensores resistivos em diversos pontos do campo de hastes e a altura incidente (altura de
onda inicial que incide no campo de hastes). Os resultados experimentais sao confrontados
com resultados da literatura (com relacao ao aspecto energetico).
Na parte numerica sao avaliados, da mesma forma que na parte experimental, o
aspecto dinamico e energetico. Desta vez, entretanto, e utilizado nas simulacoes um
organismo aquatico com caracterısticas similares a de um coral, considerado como um
organismo rıgido.
O aspecto dinamico e quantificado atraves da aplicacao de esforcos instantaneos, ve-
rificando o comportamento do organismo, assim como a influencia de alguns parametros.
O aspecto energetico e avaliado da mesma forma que na parte experimental, atraves
da relacao entre alturas de onda. Tambem e realizada uma analise da influencia das
caracterısticas do campo de organismos na dissipacao da energia da onda, assim como um
estudo pontual acerca da aplicabilidade do modelo energetico desenvolvido.
76
6.1 Resultados experimentais
6.1.1 Aspecto dinamico
A analise da dinamica da vegetacao e realizada comparando os resultados do modelo
conceitual proposto com o deslocamento e velocidade do no superior de um modelo de
organismo (corda de nylon). Embora a corda de nylon tenha um comportamento mecanico
diferente de um organismo vivo, tem a vantagem no controle maior dos dados adquiridos,
alem de poder testar com maior facilidade a sensibilidade do modelo conceitual como um
todo.
Os dados aqui apresentados foram obtidos na campanha experimental realizada no
INPH-RJ. O plano de ensaio, com as caracterısticas da onda e do organismo e mostrado
na tabela 1.
Tabela 1: Plano de ensaio realizado no INPH-RJ (aspecto dinamico)
Ensaio T (s) H (m) h (m) L (m) l (m) D (m) h/L H/LE01 1,0 0,1 0,75 1,55 0,65 0,006 0,48 0,06E02 1,5 0,1 0,75 3,17 0,65 0,006 0,24 0,03E03 2,0 0,1 0,75 4,74 0,65 0,006 0,16 0,02E04 1,0 0,2 0,75 1,55 0,65 0,006 0,48 0,13E05 1,5 0,2 0,75 3,17 0,65 0,006 0,24 0,06E06 2,0 0,2 0,75 4,74 0,65 0,006 0,16 0,04E07 1,0 0,1 0,55 1,53 0,45 0,006 0,36 0,07E08 1,5 0,1 0,55 2,91 0,45 0,006 0,19 0,03E09 2,0 0,1 0,55 4,22 0,45 0,006 0,13 0,02E10 1,0 0,2 0,55 1,53 0,45 0,006 0,36 0,13E11 1,5 0,2 0,55 2,91 0,45 0,006 0,19 0,07E12 2,0 0,2 0,55 4,22 0,45 0,006 0,13 0,05
Primeiramente, o modelo conceitual proposto precisa ser calibrado. Para simular
um organismo fragil (corda de nylon), julgou-se apropriado minimizar o modulo elastico
(ES) e viscoso (Evisc). Devido a baixa resistencia a flexao e caracterısticas do material,
considera-se que ES = 1N/m2 e Evisc = 0. Vale lembrar que a corda nao apresenta
modulo a flexao, entretanto, quando submersa o empuxo cria um modulo artificial, ou
seja, uma pequena resistencia a flexao.
O coeficiente de arrasto (CD) foi determinado em cada ensaio de modo que o des-
locamento e a velocidade gerados pelo modelo conceitual proposto, se aproximassem o
maximo possıvel do resultado experimental. Embora seja interessante estabelecer uma lei
77
de comportamento para o coeficiente de arrasto, este objetivo nao foi perseguido. Isso se
deve principalmente pela quantidade de ensaios realizados, que e insuficiente para esta-
belecer uma funcao para CD com certa margem de sucesso, embora seja suficiente para a
analise da dinamica e perda de energia.
Em se tratanto dos coeficientes de arrasto calibrados para os ensaios dinamicos, pode-
se perceber pela figura 28 que os valores calibrados apresentam concordancia teorica em
termos da profundidade relativa.
Figura 28: Variacao do CD calibrado em termos da profundidade relativa h/L
Sao mostrados a seguir (figuras 29, 30 e 31) os deslocamentos e velocidades do no
superior da corda de nylon, comparando os resultados experimentais com os do modelo
conceitual proposto, para algumas das configuracoes ensaiadas.
Nao de forma casual, os melhores resultados para deslocamento e velocidade foram
obtidos quando a profundidade relativa e maior (quando se tende para aguas profundas).
A situacao ensaiada e extrema no caso do modelo proposto (organismo fragil e aguas
intermediarias), uma vez que o modelo aplica-se preferencialmente a organismos rıgidos.
Mesmo assim nota-se uma boa performance no que tange a representacao da magnitude
dos deslocamentos e velocidades, assim como da fase de oscilacao do organismo.
A relacao entre o CD calibrado obtido experimentalmente na analise dinamica e o
numero de Keulegan-Carpenter (K) pode ser observada na figura 32. Os aspectos de
tendencia entre CD e o numero de Keulegan-Carpenter reproduzem o esperado teori-
camente, em concordancia com a literatura. Esse fato, entretanto, nao ocorre quando
se observa a relacao entre CD e o numero de Reynolds (Re). Mendez e Losada (2004)
ja haviam notado um comportamento disperso entre CD e Re, sendo que estes autores
tambem obtiveram melhores curvas de ajuste e tendencias relacionando CD com o numero
de Keulegan-Carpenter (K).
78
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5 6
y/y m
ax
t/T
Teoria de onda linearStokes de 2a ordem
Experimental
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5 6
u/u m
ax
t/T
Teoria de onda linearStokes de 2a ordem
Experimental
Figura 29: (a) Deslocamentos e (b) velocidades do no superior da corda de nylon, para aconfiguracao de ensaio E02
6.1.2 Aspecto energetico
Em se tratando de perda de energia devido a acao das ondas, o modelo conceitual
proposto e comparado com outros dois modelos da literatura: um proposto por Dalrymple,
Kirby e Hwang (1984) e outro proposto por Kobayashi, Raichle e Asano (1993), alem dos
ensaios fısicos. Para estes ensaios, foram realizadas as configuracoes mostradas na tabela
2.
Tabela 2: Plano de ensaio realizado no INPH-RJ (aspecto energetico)
Ensaio T (s) H (m) h (m) L (m) l (m) D (m) e (m)E21 1,0 0,05 0,7 1,55 0,6 0,006 0,05E22 1,5 0,05 0,7 3,12 0,6 0,006 0,05E23 2,0 0,05 0,7 4,63 0,6 0,006 0,05E24 1,0 0,10 0,7 1,55 0,6 0,006 0,05E25 1,5 0,10 0,7 3,12 0,6 0,006 0,05E26 2,0 0,10 0,7 4,63 0,6 0,006 0,05E27 1,0 0,15 0,7 1,55 0,6 0,006 0,05E28 1,5 0,15 0,7 3,12 0,6 0,006 0,05E29 2,0 0,15 0,7 4,63 0,6 0,006 0,05
79
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5 6
y/y m
ax
t/T
Teoria de onda linearStokes de 2a ordem
Experimental
-1
-0.5
0
0.5
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0 1 2 3 4 5 6
u/u m
ax
t/T
Teoria de onda linearStokes de 2a ordem
Experimental
Figura 30: (a) Deslocamentos e (b) velocidades do no superior da corda de nylon, para aconfiguracao de ensaio E08
Para a quantificacao do aspecto energetico, foram feitos ensaios experimentais com
um campo de cordas de nylon. A energia e avaliada atraves da diminuicao da altura da
onda percebida pelos sensores resistivos espalhados pelo campo de cordas.
Dalrymple, Kirby e Hwang (1984) consideraram, em seu modelo de difracao de ondas
em areas de atrito elevado, os organismos aquaticos como cilindros rıgidos indeformaveis,
alterando coeficientes de ajuste calibrados experimentalmente para compensar tal simpli-
ficacao. Kobayashi, Raichle e Asano (1993) tambem desprezam o movimento adquirido
pela vegetacao quando da passagem da onda, alterando parametros experimentais (no
caso, o coeficiente de arrasto CD). Vale lembrar tambem que o modelo de Kobayashi,
Raichle e Asano (1993) reproduz o de Dalrymple, Kirby e Hwang (1984) para o caso de
pequeno amortecimento (Kv � 1). Nas figuras seguintes (figuras 33, 34 e 35), mostra-se
a comparacao entre o modelo conceitual proposto, os modelos da literatura e os ensaios
fısicos, no que diz respeito a quantidade de energia dissipada num perıodo de onda.
De modo geral, pode-se perceber que os modelos da literatura apresentam concordancia,
para alguns casos, em relacao aos resultados experimentais. Este comportamento tambem
e seguido pelo modelo conceitual proposto. Analisando todos os dados, entretanto,
80
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5 6
y/y m
ax
t/T
Teoria de onda linearStokes de 2a ordem
Experimental
-1
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0
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1
0 1 2 3 4 5 6
u/u m
ax
t/T
Teoria de onda linearStokes de 2a ordem
Experimental
Figura 31: (a) Deslocamentos e (b) velocidades do no superior da corda de nylon, para aconfiguracao de ensaio E11
Figura 32: Variacao de CD com o numero de Keulegan-Carpenter (K)
percebe-se que os modelos da literatura possuem maior capacidade de perseguir os resulta-
dos experimentais, enquanto que o modelo conceitual proposto restringe-se a concordancia
com alguns casos.
A forma com a qual a onda interage com o organismo fragil ainda requer investigacao.
Lima (2005) observou a mesmo afastamento entre seu modelo construıdo com base nos
organismos frageis e o experimento. Este autor atribui este distanciamento a efeitos nao
computados na analise, como por exemplo a interacao entre organismos. Lima (2005)
81
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
% E
nerg
ia d
issi
pada
Y (m)
NumericoDalrymple et al. (1984)Kobayashi et al. (1993)
Lima (2005)Lima (2005) ajustado
Experimental
Figura 33: Dissipacao de energia da onda, para a configuracao de ensaio E22
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
% E
nerg
ia d
issi
pada
Y (m)
NumericoDalrymple et al. (1984)Kobayashi et al. (1993)
Lima (2005)Lima (2005) ajustado
Experimental
Figura 34: Dissipacao de energia da onda, para a configuracao de ensaio E25
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
% E
nerg
ia d
issi
pada
Y (m)
NumericoDalrymple et al. (1984)Kobayashi et al. (1993)
Lima (2005)Lima (2005) ajustado
Experimental
Figura 35: Dissipacao de energia da onda, para a configuracao de ensaio E28
82
adota entao fatores de interacao que sao diretamente proporcionais a perda de energia
(sao os resultados de Lima (2005) ajustado nas figuras 33, 34 e 35). Entretanto, cogita-se
a hipotese de influencia de β0, sendo que para todas analises empreendidas, foi adotado
β0 = 2.
E necessario lembrar tambem as condicoes em que o teste foi realizado. Em primeiro
lugar, o coeficiente de arrasto utilizado nas simulacoes (modelo conceitual proposto e da
literatura) e o mesmo. Dalrymple, Kirby e Hwang (1984) e Kobayashi, Raichle e Asano
(1993) admitem utilizar um coeficiente de arrasto modificado, exatamente para incluir
os efeitos da dinamica dos organismos e levar em consideracao o trabalho realizado ao
desloca-los. Esses efeitos ficam mais pronunciados a medida que a onda caminha para
aguas rasas.
Alem disso, sera observado na secao 6.2 que a concordancia entre o modelo proposto
e os modelos da literatura melhora a medida que o organismo adquire caracterısticas de
um organismo rıgido. Com base no observado, o modelo gera uma atenuacao menor em
relacao aos modelos da literatura, quando o organismo estudado possui caracterısticas
frageis.
6.2 Resultados Numericos
Nesta secao, serao apresentados os resultados gerados pelo modelo conceitual proposto
para as vertentes dinamica e energetica. O organismo selecionado para os testes possui
caracterısticas de um organismo rıgido (similares a de um coral: ES = 5 × 1010N/m2,
ρK = 2820kg/m3) (VICENT, 1982 apud GAYLORD; HALE; DENNY, 2001), com viscoe-
lasticidade Evisc = 107N/m2s). Deste modo, contemplam-se ambos os tipos de organis-
mos (uma vez que a corda de nylon, tratada na secao 6.1, simulava um organismo fragil),
verificando a performance do modelo em varias situacoes.
6.2.1 Aspecto dinamico
Para a analise dinamica do organismo estudado, escolhe-se como forca excitadora um
pulso semi-senoidal, com duracao de 0, 05s e intensidade maxima unitaria. Este tipo
de carregamento transiente foi escolhido devido as observacoes realizadas por Gaylord,
Hale e Denny (2001), quando da quantificacao dos esforcos maximos impostos por ondas
na regiao entre mares. Esta regiao e submetida a forcas advindas da quebra da onda,
que e um caso extremo em termos de solicitacao ao organismo. Sera avaliado, portanto, o
83
comportamento dinamico do organismo, frente a um caso de esforcos transientes extremos,
verificando o efeito de parametros fısicos na estrategia de sobrevivencia do organismo. A
figura 36 ilustra o esforco transiente aplicado no no superior do organismo simulado.
Figura 36: Esforco transiente representando a quebra da onda em regioes entre mares,segundo Gaylord, Hale e Denny (2001)
Antes de empreender qualquer tipo de analise a respeito dos parametros que influ-
enciam a dinamica do organismo simulado, faz-se apropriado relembrar a equacao da
dinamica e identificar cada termo da equacao. Seja entao a equacao 4.13, a saber:
mytt + ESIyxxxx + EviscIyxxxxt = p(x, t)
Identifica-se na equacao 4.13:
• Termo de inercia: mytt ou ρKASytt
• Termo forca restauradora: ESIyxxxx + EviscIyxxxxt
• Termo forca externa (forcante): p(x, t)
Observa-se inicialmente o comportamento dinamico do no superior do organismo si-
milar a um coral frente a variacao do seu diametro. A variacao do diametro acarreta
a alteracao de dois termos da equacao 4.13: inercia e forca restauradora. A inercia
depende do diametro em termos de D2, enquanto que a forca restauradora e mais afetada:
D4. Pode-se notar pela figura 37a que com o aumento do diametro, maior e a inercia
do organismo, portanto maior e o esforco externo necessario para desloca-lo. A forca
restauradora reflete a evolucao do deslocamento com o tempo. Quanto menor o diametro,
menor a forca restauradora, ou seja, leva-se um tempo maior para o organismo atingir
84
o estado de repouso e consequentemente, as amplitudes de oscilacao com o tempo sao
maiores.
De modo geral, o mesmo ocorre com a figura 37b, que analisa o efeito da variacao da
massa especıfica do organismo, embora a massa especıfica ρK altere apenas sua inercia.
Dessa forma, atribui-se o retardo na forca de pico ao aumento da inercia do organismo.
Figura 37: Comportamento dinamico, segundo a variacao do a) diametro D e b) massaespecıfica ρK do organismo simulado
Alem disso, soma-se a inercia do organismo o efeito retardador do modulo viscoso.
Com isso, leva-se um tempo maior ate que o organismo seja solicitado pela forca maxima,
evidenciando o efeito da inercia e da viscosidade do tecido como estrategias de sobre-
vivencia em ambientes sujeitos a esforcos hidrodinamicos instantaneos intensos.
Num segundo momento, analisa-se a variacao do modulo viscoso na dinamica do no
superior do organismo estudado nesta secao. Como pode-se notar pela figura 38, a forca
de pico e retardada para um alto valor do modulo viscoso, alem de alterar a fase de
oscilacao quando o carregamento instantaneo e retirado. A oscilacao acontece com ciclos
que levam mais tempo para maiores modulos viscosos, mostrando o efeito retardador de
Evisc na forca restauradora do movimento. Ou seja, o modulo viscoso atua como um
verdadeiro amortecedor, garantindo um tempo de ciclo maior.
85
Figura 38: Comportamento dinamico, segundo a variacao do modulo viscoso Evisc doorganismo simulado
Pode-se observar na figura 39 o efeito na dinamica do organismo com a variacao no
modulo a flexao (ES). O modulo a flexao esta diretamente relacionado a forca restau-
radora, portanto as amplitudes de oscilacao das simulacoes com maiores valores de ES
sao menores, e o tempo para o organismo atingir o equilıbrio tambem e menor. Em ou-
tras palavras, um organismo com alto valor de ES (organismo rıgido) experimenta baixas
deformacoes totais (yx), enquanto que um organismo com baixo valor de ES (organismo
fragil) apresenta altas deformacoes. Fica evidenciado, pelo aspecto dinamico, a diferenca
entre os organismos frageis e rıgidos, seus comportamentos frente aos esforcos transientes
e suas estrategias de sobrevivencia.
Figura 39: Comportamento dinamico, segundo a variacao do modulo a flexao ES doorganismo simulado
Um parametro ainda nao contemplado e β0, que traduz os aspectos de flexibilidade
dos organismos. De modo a verificar tal afirmacao, realiza-se um teste numerico para
alguns valores de β0, para o organismo rıgido proposto nesta secao (figura 40). Como o
parametro em questao advem da forca de arrasto, a forcante neste caso e alterada: uma
86
onda com caracterısticas definidas e utilizada.
Figura 40: Comportamento dinamico, segundo a variacao de β0, para uma onda com:H = 0, 1m, T = 1, 5s, l = 0, 6m, h = 0, 7m, CD = 0, 5, largura do campo (lC) = 5m,espacamento entre os organismos (e = 0, 05m)
Percebe-se pela figura 40 que com a diminuicao de β0, o organismo oscila com um
amplitude maior. Esse fato corrobora as observacoes que indicam que os organismos
frageis, por oscilar em amplitudes maiores que os organismos rıgidos, nao apresentam
necessariamente uma relacao quadratica entre forca de arrasto e velocidade relativa, ou
seja, β0 < 2.
De modo a ilustrar o comportamento do organismo aquatico simulado com o tempo,
mostram-se nas figuras 41a e 41b varios instantes em que a posicao do organismo e
capturada.
Figura 41: Evolucao dos deslocamentos do organismo com o tempo, para um a) pulsosenoidal e b) onda com T = 1s
87
6.2.2 Aspecto energetico
De modo a quantificar o aspecto energetico, reproduz-se no modelo conceitual as
caracterısticas de um campo povoado com organismos com caracterısticas similares a
corais. Faz-se tambem a comparacao entre os resultados do modelo conceitual proposto e
alguns modelos da literatura, da mesma maneira que foi realizado na parte experimental.
A forcante, nestas simulacoes, e a onda incidente, sendo que o modelo de energia
foi concebido para retratar a perda de energia da onda. Uma vez entao definidas as
caracterısticas do campo de organismos (densidade de organismos por metro quadrado
e extensao) e da onda incidente (altura, perıodo e profundidade), o modelo conceitual e
capaz de predizer a quantidade de energia dissipada pela onda ao propagar-se pelo campo
com organismos.
Primeiramente, observa-se a reducao de energia para um campo de organismos com a
variacao da profundidade relativa. Percebe-se pela figura 42 a relacao exponencial entre
a porcentagem de energia dissipada em um perıodo de onda e a profundidade relativa
(h/L). A porcentagem de energia dissipada esta relacionada a taxa de energia dissipada
em um perıodo de onda, εG.
Figura 42: Porcentagem da dissipacao da energia da onda em um perıodo de onda, segundoa variacao da profundidade relativa h/L. As caracterısticas do ensaio numerico sao:H = 0, 1m, l = 0, 6m, h = 0, 7m, CD = 0, 5, largura do campo (lC) = 3m, espacamentoentre os organismos (e = 0, 05m)
Nota-se, de antemao, uma boa concordancia entre os modelos da literatura (DALRYM-
PLE; KIRBY; HWANG, 1984; KOBAYASHI; RAICHLE; ASANO, 1993) e o modelo concei-
tual proposto. Isso ocorre principalmente pelas caracterısticas do organismo simulado (or-
ganismo rıgido), que sao as mesmas adotas pelo modelo na concepcao da parte dinamica.
A concordancia entre modelos teoricos e proposto mostra a evolucao do modelo conceitual
proposto no que tange a representacao nao so do aspecto energetico de organismos rıgidos
88
e frageis, mas que tambem contempla, em sua essencia, a dinamica desses organismos
aquaticos.
Ainda de acordo com a figura 42, a medida que a profundidade relativa diminui (ou
seja, caminha-se para a classificacao de aguas rasas), a porcentagem de energia dissipada
cresce rapidamente. Deve-se, entretanto, evitar essa regiao de rapida ascensao, visto
que o limite teorico do modelo proposto nao admite grandes deslocamentos na equacao
dinamica, alem de ser regido pela teoria de onda linear.
Independente das hipoteses teoricas acerca do modelo conceitual, destaca-se a im-
portancia da medianizacao da velocidade e forca de arrasto em um perıodo de onda
como responsavel pela ponderacao dos efeitos dissipadores em cada instante de tempo.
O modelo conceitual proposto realiza tal procedimento utilizando tecnicas de integracao
numerica. A tecnica numerica escolhida foi o Metodo 1/3 de Simpson, metodo este ja
consagrado e de eficiencia comprovada pela literatura.
A figura 43 complementa as observacoes efetuadas acima quando da analise da in-
fluencia da profundidade relativa na energia dissipada da onda, apresentando as porcen-
tagens de energia dissipada ao longo do campo de organismos, para algumas configuracoes
adotadas.
Figura 43: Porcentagem da atenuacao da energia da onda em um campo com organismosaquaticos, analisando o efeito da profundidade relativa h/L
Observa-se agora a influencia das caracterısticas do campo de organismos (extensao
e densidade) na dissipacao da energia da onda. A extensao do campo afeta diretamente
a quantidade de energia dissipada, possibilitando dessa forma analisar os limites do mo-
delo energetico proposto em comparacao com os modelos da literatura. Relembrando as
equacoes de decaimento:
89
• Funcao de decaimento do modelo energetico proposto:
H
H0
=√
1− γy (6.1)
• Funcao de decaimento segundo Dalrymple, Kirby e Hwang (1984)
H
H0
=1
1 + αy(6.2)
• Funcao de decaimento segundo Kobayashi, Raichle e Asano (1993)
H
H0
= e−kIy (6.3)
Percebe-se, pelas caracteristicas das equacoes 6.1, 6.2 e 6.3 e reforcadas pela figura
44, que a equacao de atenuacao concebida pelo modelo energetico proposto (equacao 6.1)
nao possui um limite assintotico quando o coeficiente de atenuacao γ tende ao infinito.
Com isso, a analise comparativa entre as equacoes de atenuacao mostra que, a medida
que a onda evolui no campo de organismos, ha um distanciamento entre as equacoes do
modelo e da literatura. Dessa forma, restringe-se a concordancia entre as equacoes 6.1,
6.2 e 6.3 a uma regiao do campo de organismos.
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10
% E
nerg
ia d
issi
pada
Y (m)
Numerico com Evisc=107
Numerico com Evisc=0Dalrymple et al. (1984)Kobayashi et al. (1993)
Figura 44: Atenuacao de energia da onda em um campo, com as seguintes caracterısticas:lC = 10m, e = 0, 05m, CD = 0, 5 e ES = 5× 1010N/m2
Ressalta-se, entretanto, que o modelo energetico formulado tem forte influencia da
visualizacao dos ensaios realizados no INPH-RJ quando da quantificacao da dissipacao
da energia da onda. Para esses ensaios, a extensao do campo (lC) foi mantida constante,
sendo outros parametros quantificados. Nao ha, portanto, verificacao fısica do modelo
energetico para um campo de organismos com grande extensao.
Sendo assim, para o caso particular analisado, pode ser visto pelos resultados apresen-
tados ate o momento que ha uma boa concordancia entre o modelo energetico proposto
90
e os ensaios experimentais. Os modelos da literatura sao, para os casos onde nao ha
resultados fısicos disponıveis, norteadores e balizadores e servem como referencia.
Retomando parte da discussao a respeito de β0 iniciada na secao anterior, a dimi-
nuicao de β0 aumenta a amplitude de oscilacao do organismo, sendo portanto indicada
para representar os organismos frageis. Com uma amplitude maior, espera-se que a dis-
sipacao de energia tambem seja maior, uma vez que o trabalho da onda incidente sobre o
organismo sera maior. Com isso, conclui-se que o parametro β0 tambem influencia o as-
pecto energetico, constatacao esta feita com base na figura 45 e com base nos comentarios
discutidos neste paragrafo.
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5
% E
nerg
ia d
issi
pada
Y (m)
Numerico com β0=2Numerico com β0=1.8Numerico com β0=1.6
Dalrymple et al. (1984)Kobayashi et al. (1993)
Figura 45: Perda de energia da onda em termos percentuais ao longo da extensao do campode organismos, segundo a variacao de β0, para uma onda com: H = 0, 1m, T = 1, 5s,l = 0, 6m, h = 0, 7m, CD = 0, 5, largura do campo (lC) = 5m, espacamento entre osorganismos (e = 0, 05m)
Avaliando agora a influencia da densidade de organismos por metro quadrado, nota-se
que ha um aumento significativo da porcentegem de energia dissipada com a reducao do
espacamento e (figura 46), assim como o distanciamento ja comentado entre o modelo
conceitual e os modelos da literatura. A forca de arrasto possui relacao direta com a taxa
de dissipacao de energia, portanto varia proporcionalmente com o numero de organismos
dispostos na area. Quanto maior a taxa de dissipacao de energia, maior o coeficiente de
atenuacao γ, portanto maior o distanciamento verificado entre os modelos.
Uma observacao valida e quando o numero de organismos tende ao infinito. Para esta
situacao, nao se pode mais considerar os organismos individualmente, e o mais razoavel
e considerar a presenca de um degrau impermeavel. Esta situacao extrema propicia a
transformacao da onda sobre o degrau, alterando sua altura e o comprimento de onda.
Uma das hipoteses de construcao do modelo conceitual proposto nao preve a mudanca do
comprimento de onda no interior do campo de organismos, assim como uma grande parte
91
Figura 46: Influencia da densidade de organismos por metro quadrado na dissipacao daenergia da onda
da literatura. Mendez e Losada (2004), entretanto, trabalham com um fundo inclinado
e implementam a mudanca no comprimento de onda, mas apenas devido ao fundo e nao
pela presenca de organismos aquaticos.
Uma solucao parcial para este problema seria limitar a forca aplicada aos organismos
quando a densidade e muito grande. A forca maxima seria entao aquela provocada pela
presenca de um degrau, estabelecendo assim qual seria a densidade maxima de organismos
na area. Vale lembrar tambem que a forca de arrasto possui outro limitante, que concerne
a quebra da onda. Em outras palavras, ha um limite para a altura da onda para uma
dada profundidade, de acordo com a teoria de onda linear.
92
7 Conclusoes e perspectivasfuturas
Foi perseguido, desde a concepcao deste trabalho de mestrado, um modelo de dis-
sipacao de energia da onda, evidenciado como objetivo principal. Para isso, foram dados
passos no sentido de evoluir a modelagem da interacao onda-organismos. Modelos prelimi-
nares foram criados, gerando artigos publicados em congressos e encontros internacionais
(VASCO; MACIEL, 2004; VASCO et al., 2004).
A evolucao e incorporacao de novos termos resultaram no modelo final mostrado
nesta dissertacao de mestrado, cujas hipoteses de validacao e restricoes foram discutidas
no capıtulo 4.
Quanto a comparacao entre o modelo final e resultados de laboratorio e numericos,
pode-se dizer que, de acordo com testes previos com os modelos preliminares, a parcela
da forca de inercia pode ser desconsiderada. Essa observacao e corroborada por varios
autores da literatura (DALRYMPLE; KIRBY; HWANG, 1984; KOBAYASHI; RAICHLE;
ASANO, 1993; MENDEZ; LOSADA, 2004).
Alem disso, os casos estudados limitaram-se a organismos cujo diametro geralmente
era da ordem de centımetros. A forca de inercia desses organismos e mınima, e as ondas
de perıodo curto, que poderiam simular um carregamento transiente, geralmente possuem
baixo comprimento de onda, portanto tem uma area de efeito na coluna d’agua pequena.
Esse pode ser mais um motivo pelo qual varios autores da literatura desprezem a forca
de inercia.
A analise dinamica demostrou que o modelo concebido pode, de um modo geral,
representar os deslocamentos do no superior de uma corda de nylon, que simulava um
organismo fragil. Deve-se ressaltar que este ensaio fısico testava um limite extremo do
modelo proposto (que foi idealizado para representar elementos essencialmente rıgidos).
Embora esse teste nao tenha sido ideal, foi capaz de mostrar que o modelo desenvol-
93
vido pode atuar como uma ferramenta auxiliar, quando a quantificacao da dinamica dos
organismos frageis for necessaria.
Do ponto de vista numerico, pode-se comprovar a influencia de diversos termos da
equacao da dinamica discretizada. O organismo selecionado para os testes possuıa ca-
racterısticas de um organismo rıgido (similares a de um coral: ES = 5 × 1010N/m2,
ρK = 2820kg/m3) (VICENT, 1982 apud GAYLORD; HALE; DENNY, 2001), com visco-
elasticidade Evisc = 107N/m2s). Foi aplicado como carregamento transiente um pulso
semi-senoidal, com duracao de 0, 05s e intensidade maxima unitaria na extremidade li-
vre do organismo. Foi observado principalmente alteracoes nos termos de inercia, forca
restauradora e forca externa.
A analise energetica dos ensaios realizados, por sua vez, foi capaz de corroborar os
resultados obtidos pelo modelo desenvolvido com os resultados previos de Lima (2005) sem
ajuste. Esse fato mostra que ainda existem varios aspectos nao elucidados na interacao
onda-organismos, principalmente no que tange as forcas as quais os organismos estao
sujeitos. Todos os equacionamentos classicos ainda partem do pressuposto que a equacao
de Morison e parcialmente valida, ou seja, utilizam uma equacao de Morison ajustada.
O estudo numerico da energia dissipada mostrou concordancia entre os modelos da
literatura (DALRYMPLE; KIRBY; HWANG, 1984; KOBAYASHI; RAICHLE; ASANO, 1993)
e o modelo conceitual proposto. Isso ocorreu principalmente em virtude do organismo
simulado possuir caracterısticas de um organismo rıgido. Entretanto, essa concordancia
esta limitada, pois o comportamento da funcao de decaimento da altura de onda para os
diversos modelos sao diferentes.
Um parametro que mostrou influenciar tanto no aspecto dinamico quanto no ener-
getico e β0. Pelos resultados apresentados, a diminuicao de β0 aumenta a amplitude de
oscilacao do organismo, sendo portanto indicada para representar os organismos frageis.
Com uma amplitude maior, a dissipacao de energia tambem e maior, uma vez que o
trabalho da onda incidente esta intimamente relacionada a dinamica do organismo. Com
isso, conclui-se que os organismos considerados frageis devem necessariamente sofrer uma
reducao no parametro β0. Ou seja, na melhor das hipoteses, a calibracao de um modelo
de organismos frageis requer a determinacao do coeficiente de arrasto (CD) e β0, ou seja,
dois parametros.
Cogita-se que em aguas rasas, a teoria de pequenas amplitudes de onda (linear) perca
a validade, o que resulta na consideracao de uma teoria de ondas nao-linear acoplada a
um modelo dinamico do organismo estudado. Neste caso, acredita-se que a teoria de pe-
94
quenos deslocamentos da dinamica da viga viscoelastica tambem nao seja mais verificada,
tornando o problema totalmente nao-linear. No apendice B tentou-se investigar os limites
de validade da teoria linear acoplada a limitacao de pequenos deslocamentos. Entretanto,
devido as fortes limitacoes empreendidas para analisar o peso da nao-linearidade, pouco
pode-se afirmar acerca do limite das teorias para o caso da forcante onda.
Frente aos resultados apresentados, a proposicao de um modelo baseado no metodo das
diferencas finitas de movimentacao de organismos aquaticos mostrou-se razoavel pela sua
versatilidade e tempo computacional pequeno (da ordem de segundos). A concordancia
entre modelos teoricos e proposto mostra a evolucao do modelo conceitual proposto no que
tange a representacao nao so do aspecto energetico de organismos rıgidos e frageis, mas
tambem da dinamica desses organismos aquaticos. O maior inconveniente e a necessidade
de resultados de calibracao previo, que e uma etapa importante do processo de previsao
por parte do modelo conceitual desenvolvido.
Em termos da evolucao no estado da arte concernente ao comportamento geral dos
organismos aquaticos, e imprescindıvel a criacao de uma equipe multi-disciplinar com
estudiosos de diversas areas, com o objetivo de agilizar a emissao de conclusoes e en-
tendimento da interacao onda-organismo. Alem disso, podem ser verificados potenciais
regionais para o surgimento de determinadas especies de organismos, o que contribui para
o estudo e o entendimento maior do ecossistema no qual o fenomeno esta inserido.
Em termos de perspectivas para trabalhos futuros, tem-se varias possibilidades, tanto
de carater experimental quanto teorico, a saber:
• Intrduzir um modelo de onda nao-linear como forcante atuando nos organismos
aquaticos;
• Trabalhar com a hipotese de grandes deslocamentos e deformacoes, ou seja, utilizar
a equacao da linha elastica em sua forma completa;
• Desenvolver um modelo conceitual de dissipacao da energia da onda baseado na
equacao do pendulo (tanto linear quanto nao-linear), confrontando com resultados
experimentais ja obtidos;
• Resolver teoricamente o problema de uma viga viscoelastica com carregamento qual-
quer, apontando os reais limites de validade do modelo conceitual proposto nesta
dissertacao de mestrado;
• Avaliar a influencia dos modelos reologicos no comportamento global da dinamica
95
dos organismos viscoelasticos;
• Realizar investigacoes experimentais mais especıficas no que tange ao aspecto bio-
mecanico dos organismos estudados.
• Quantificar a reducao da erosao provocada pela acao da onda quando da presenca
de organismos aquaticos.
• Estabelecer parcerias com pesquisadores da area ecologica e afins com o objetivo de
melhor avaliar as condicoes de interacao onda-organismo, resultando em um modelo
geral mais fiel ao aspecto biomecamico de cada comunidade particular.
96
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VASCO, J. R. G.; MACIEL, G. F. Propagacao de ondas em areas vegetadas. In:CONGRESSO DE MeTODOS COMPUTACIONAIS EM ENGENHARIA, 2004, Lisboa.Resumos... Lisboa: Congresso de Metodos Computacionais em Engenharia, 2004.
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VICENT, J. F. V. Structural Biomaterials. London: Macmillan, 1982.
98
APENDICE A -- Discretizacao da equacao
da dinamica
Sao mostrados, neste apendice, todos os passos desenvolvidos na discretizacao da
equacao 4.13 (reescrita aqui como equacao A.1), que e a equacao que rege a dinamica
de uma viga engastada viscoelastica, usando o Metodo de Diferencas Finitas (MDF). A
analogia viga-vegetacao propicia uma serie de vantagens sobre a modelagem adotada. A
dinamica de vigas e um ramo bastante desenvolvido, considerando diversos tipos de carre-
gamento, geometrias e formas de abordagens. Quanto as formas de abordagem, preferiu-se
uma solucao contınua, descrevendo o problema por meio de equacoes diferenciais, tendo
como base o MDF. Essa escolha baseou-se principalmente na habilidade e conhecimento
previo do metodo pela equipe de trabalho, a despeito de uma abordagem discreta, ado-
tando o Metodo dos Elementos Finitos (MEF). O caminho desde o aprendizado ate a
aplicacao de um novo metodo tornaria impraticavel o estudo proposto.
A equacao da dinamica pode ser escrita como:
ρKASytt + ESIyxxxx + EviscIyxxxxt = p(x, t) (A.1)
com: ρK e a massa especıfica do organismo, AS e a area da secao transversal, ES e o
modulo elastico a flexao, I e o momento de inercia de segunda ordem para uma secao
circular, Evisc e o modulo viscoso (que quantifica as perdas de energia devido a viscosidade
do tecido, definido por Eloss/w, onde Eloss e o modulo de perda e w a frequencia do
carregamento imposto) e p(x, t) e a forca externa atuante.
Fazendo a discretizacao temporal da equacao A.1 e aplicando o metodo de Crank-
Nicholson, resulta:
ρKAS
∆t2(yj+1
i − 2yji + yj−1
i ) +EviscI
∆t(yj+1
xxxx − yjxxxx) +
ESI
2(yj+1
xxxx + yjxxxx) (A.2)
Considerando que a discretizacao das derivadas de quarta ordem (yxxxx) sejam da
99
forma:
ytxxxx =
yti+2 − 4yt
i+1 + 6yti − 4yt
i−1 + yti−2
∆y4(A.3)
onde o sobrescrito indica o passo de tempo (no caso, t indica um tempo qualquer, t ≥ 0)
e o subscrito indica o ponto espacial no domınio. Chamando:
C1 =ESI
2∆y4+
EviscI
∆t∆y4, C2 =
ESI
2∆y4− EviscI
∆t∆y4e M =
ρKAS
∆t2(A.4)
Substituindo a equacao A.3 na A.1, utilizando as constantes definidas em A.4, tem-se:
C1yj+1i+2 − 4C1y
j+1i+1 + 6C1y
j+1i − 4C1y
j+1i−1 + C1y
j+1i−2 + Myj+1
i =
−C2yji+2 + 4C2y
ji+1 − 6C2y
ji + 4C2y
ji−1 − C2y
ji−2+
+2Myji −Myj−1
i + pji
(A.5)
Dessa forma, arranjando a equacao A.5, tem-se a equacao geral do modelo:
C1yj+1i+2 − 4C1y
j+1i+1 + (6C1 + M)yj+1
i − 4C1yj+1i−1 + C1y
j+1i−2 = bj
i (A.6)
com:
bji = −C2y
ji+2 + 4C2y
ji+1 + (2M − 6C2)y
ji + 4C2y
ji−1 − C2y
ji−2 −Myj−1
i + pji (A.7)
As condicoes de contorno impostas ao problema sao:
y(0, t) = 0
yx(0, t) = 0
ESIyxx(l, t) + EviscIyxxt(l, t) = 0
ESIyxxx(l, t) + EviscIyxxxt(l, t) = 0
(A.8)
onde l e o comprimento do elemento. Pela forma da equacao A.6, pode-se notar que esta
e valida apenas para 1 < i < l − 1, considerando que y ∈ [0, l].
•Para i = 0:
Quando i = 0, a equacao geral fica:
C1yj+12 − 4C1y
j+11 + (6C1 + M)yj+1
0 − 4C1yj+1−1 + C1y
j+1−2 = bj
0 (A.9)
Como yj+1−1 e yj+1
−2 estao definidos fora do domınio de y, usa-se a condicao de contorno
100
y(0, t) = 0. Entao, basta resolver, para i = 0:
yj+10 = 0 (A.10)
•Para i = 1:
A equacao A.6 fica:
C1yj+13 − 4C1y
j+12 + (6C1 + M)yj+1
1 − 4C1yj+10 + C1y
j+1−1 = bj
1 (A.11)
com:
bj1 = −C2y
j3 + 4C2y
j2 + (2M − 6C2)y
j1 + 4C2y
j0 − C2y
j−1 −Myj−1
1 + pj1 (A.12)
Para calcular yj+1−1 e yj
−1, usa-se a condicao de contorno yx(0, t) = 0, ou seja:
yx(0, t) =yt
1 − yt−1
2∆y= 0 entao yt
−1 = yt1 (A.13)
Substituindo o resultado obtido em A.13 nas equacoes A.11 e A.12, resulta:
C1yj+13 − 4C1y
j+12 + (7C1 + M)yj+1
1 − 4C1yj+10 = bj
1 (A.14)
e:
bj1 = −C2y
j3 + 4C2y
j2 + (2M − 7C2)y
j1 + 4C2y
j0 −Myj−1
1 + pj1 (A.15)
•Para i = l − 1:
A equacao A.6 fica:
C1yj+1l+1 − 4C1y
j+1l + (6C1 + M)yj+1
l−1 − 4C1yj+1l−2 + C1y
j+1l−3 = bj
l−1 (A.16)
com:bjl−1 = −C2y
jl+1 + 4C2y
jl + (2M − 6C2)y
jl−1+
+4C2yjl−2 − C2y
jl−3 −Myj−1
l−1 + pjl−1
(A.17)
Para calcular yj+1l+1 e yj
l+1, usa-se a condicao de contorno:
ESIyxx(l, t) + EviscIyxxt(l, t) = 0
101
Desenvolvendo:
ESI2∆y2 (y
j+1l+1 − 2yj+1
l + yj+1l−1 + yj
l+1 − 2yjl + yj
l−1)+
+ EviscI∆t∆y2 (y
j+1l+1 − 2yj+1
l + yj+1l−1 − yj
l+1 + 2yjl − yj
l−1) = 0
Fazendo:
C3 =ESI
2∆y2+
EviscI
∆t∆y2e C4 =
ESI
2∆y2− EviscI
∆t∆y2(A.18)
Resulta:
C3yj+1l+1 − 2C3y
j+1l + C3y
j+1l−1 = −C4y
jl+1 + 2C4y
jl + C4y
jl−1 (A.19)
Entao yj+1l+1 e dado por:
yj+1l+1 = 2yj+1
l − yj+1l−1 −
C4
C3
(yjl+1 − 2yj
l + yjl−1) (A.20)
Substituindo A.20 em A.16 resulta:
C1(2yj+1l − yj+1
l−1 − C4
C3(yj
l+1 − 2yjl + yj
l−1))−−4C1y
j+1l + (6C1 + M)yj+1
l−1 − 4C1yj+1l−2 + C1y
j+1l−3 = bj
l−1
Que resulta em:
−2C1yj+1l + (5C1 + M)yj+1
l−1 − 4C1yj+1l−2 +
+C1yj+1l−3 = bj
l−1 + C1C4
C3(yj
l+1 − 2yjl + yj
l−1)(A.21)
O vetor bjl−1 fica:
bjl−1 = pj
l−1 − C2yjl+1 + 4C2y
jl + (2M − 6C2)y
jl−1 + 4C2y
jl−2−
−C2yjl−3 −Myj−1
l−1 + C1C4
C3(yj
l+1 − 2yjl + yj
l−1)
Desenvolvendo:
bjl−1 = pj
l−1 + (C1C4
C3− C2)y
jl+1 + (4C2 − 2C1C4
C3)yj
l +
+(2M − 6C2 + C1C4
C3)yj
l−1 + 4C2yjl−2 − C2y
jl−3 −Myj−1
l−1
(A.22)
Substituindo yjl+1 tem-se:
bjl−1 = pj
l−1 + (C1C4
C3− C2)(2y
jl − yj
l−1 − C4
C3(yj−1
l+1−−2yj−1
l + yj−1l−1 )) + (4C2 − 2C1C4
C3)yj
l +
+(2M − 6C2 + C1C4
C3)yj
l−1 + 4C2yjl−2 − C2y
jl−3 −Myj−1
l−1
102
Resultando em:
bjl−1 = pj
l−1 + 2C2yjl + (2M − 5C2)y
jl−1 + 4C2y
jl−2 − C2y
jl−3−
−Myj−1l−1 − (C1C4
C3− C2)
C4
C3(yj−1
l+1 − 2yj−1l + yj−1
l−1 )(A.23)
Se essas operacoes continuarem, a soma final do termo que se repete e zero. Entao:
bjl−1 = pj
l−1 + 2C2yjl + (2M − 5C2)y
jl−1 + 4C2y
jl−2 − C2y
jl−3 −Myj−1
l−1 (A.24)
•Para i = l:
A equacao geral fica:
C1yj+1l+2 − 4C1y
j+1l+1 + (6C1 + M)yj+1
l − 4C1yj+1l−1 + C1y
j+1l−2 = bj
l (A.25)
com:
bjl = −C2y
jl+2 + 4C2y
jl+1 + (2M − 6C2)y
jl + 4C2y
jl−1 − C2y
jl−2 −Myj−1
l + pjl (A.26)
A condicao de contorno e:
ESIyxxx(l, t) + EviscIyxxxt(l, t) = 0
Desenvolvendo:
ESI2∆y3 (y
j+1l+2 − 2yj+1
l+1 + 2yj+1l−1 − yj+1
l−2 + yjl+2 − 2yj
l+1 + 2yjl−1−
−yjl−2) + EviscI
∆t∆y3 (yj+1l+2 − 2yj+1
l+1 + 2yj+1l−1−
−yj+1l−2 − yj
l+2 + 2yjl+1 − 2yj
l−1 + yjl−2) = 0
Fazendo:
C5 =ESI
2∆y3+
EviscI
∆t∆y3e C6 =
ESI
2∆y3− EviscI
∆t∆y3(A.27)
Resulta:C5y
j+1l+2 − 2C5y
j+1l+1 + 2C5y
j+1l−1 − C5y
j+1l−2 =
−C6yjl+2 + 2C6y
jl+1 − 2C+yj
l−1 + C6yjl−2
(A.28)
Entao, yj+1l+2 e dado por:
yj+1l+2 = 2yj+1
l+1 − 2yj+1l−1 + yj+1
l−2 −C6
C5
(yjl+2 − 2yj
l+1 + 2yjl−1 − yj
l−2) (A.29)
103
Substituindo a equacao A.29 na A.25, tem-se:
C1(2yj+1l+1 − 2yj+1
l−1 + yj+1l−2 − C6
C5(yj
l+2 − 2yjl+1 + 2yj
l−1 − yjl−2))−
−4C1yj+1l+1 + (6C1 + M)yj+1
l − 4C1yj+1l−1 + C1y
j+1l−2 = bj
l
(A.30)
Substituindo agora a equacao A.20 na A.30, tem-se:
C1(2yj+1l+1 − 2yj+1
l−1 + yj+1l−2 − C6
C5(yj
l+2 − 2yjl+1 + 2yj
l−1 − yjl−2))−
−4C1(2yj+1l − yj+1
l−1 − C4
C3(yj
l+1 − 2yjl + yj
l−1)) + (6C1 + M)yj+1l −
−4C1yj+1l−1 + C1y
j+1l−2 = bj
l
(A.31)
Desenvolvendo resulta:
(2C1 + M)yj+1l − 4C1y
j+1l−1 + 2C1y
j+1l−2 = bj
l + C1C6
C5(yj
l+2−−2yj
l+1 + 2yjl−1 − yj
l−2)− 2C1C4
C3(yj
l+1 − 2yjl + yj
l−1)(A.32)
O vetor bjl fica:
bjl = pj
l − C2yjl+2 + 4C2y
jl+1 + (2M − 6C2)y
jl +
+4C2yjl−1 − C2y
jl−2 −Myj−1
l +
+C1C6
C5(yj
l+2 − 2yjl+1 + 2yj
l−1 − yjl−2)− 2C1C4
C3(yj
l+1 − 2yjl + yj
l−1)
Que resulta:
bjl = pj
l + (C1C6
C5− C2)y
jl+2 + (4C2 − 2C1C6
C5− 2C1C4
C3)yj
l+1+
+(2M − 6C2 + 4C1C4
C3)yj
l + (4C2 + 2C1C6
C5− 2C1C4
C3)yj
l−1−−(C2 + C1C6
C5)yj
l−2 −Myj−1l
(A.33)
Substituindo yjl+2:
bjl = pj
l + (C1C6
C5− C2)(2y
jl+1 − 2yj
l−1 + yjl−2 − C6
C5(yj−1
l+2−−2yj−1
l+1 + 2yj−1l−1 − yj−1
l−2 )) + (4C2 − 2C1C6
C5− 2C1C4
C3)yj
l+1+
+(2M − 6C2 + 4C1C4
C3)yj
l +
+(4C2 + 2C1C6
C5− 2C1C4
C3)yj
l−1 − (C2 + C1C6
C5)yj
l−2 −Myj−1l
bjl = pj
l + (2C2 − 2C1C4
C3)yj
l+1 + (2M−−6C2 + 4C1C4
C3)yj
l + (6C2 − 2C1C4
C3)yj
l−1−−C2y
jl−2 −Myj−1
l − C1C6
C5(C6
C5(yj−1
l+2 − 2yj−1l+1 + 2yj−1
l−1 − yj−1l−2 ))
104
Substituindo yjl+1:
bjl = pj
l + (2C2 − 2C1C4
C3)yj
l+1 + (2M − 6C2 + 4C1C4
C3)yj
l +
+(6C2 − 2C1C4
C3)yj
l−1 − C2yjl−2−
−Myj−1l − C1C6
C5(C6
C5(yj−1
l+2 − 2yj−1l+1 + 2yj−1
l−1 − yj−1l−2 ))
bjl = pj
l + (2C2 − 2C1C4
C3)(2yj
l − yjl−1 − C4
C3(yj−1
l+1−−2yj−1
l + yj−1l−1 )) + (2M − 6C2 + 4C1C4
C3)yj
l +
+(6C2 − 2C1C4
C3)yj
l−1 − C2yjl−2 −Myj−1
l −−C1C6
C5(C6
C5(yj−1
l+2 − 2yj−1l+1 + 2yj−1
l−1 − yj−1l−2 ))
bjl = pj
l + (2M − 2C2)yjl + 4C2y
jl−1 − 2C2y
jl−2 −Myj−1
l −−C1C6
C5(C6
C5(yj−1
l+2 − 2yj−1l+1 + 2yj−1
l−1 − yj−1l−2 ))−
−(2C2 − 2C1C4
C3)(C4
C3(yj−1
l+1 − 2yj−1l + yj−1
l−1 ))
Se as substituicoes continuarem, resulta em:
bjl = pj
l + (2M − 2C2)yjl + 4C2y
jl−1 − 2C2y
jl−2 −Myj−1
l (A.34)
Entao, o sistema final pode ser escrito de forma sintetizada:
1 0 . . . 0 0
−4C1 7C1 + M . . . 0 0
C1 −4C1 . . . 0 0
0 C1 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . C1 0
0 0 . . . −4C1 C1
0 0 . . . 5C1 + M −2C1
0 0 . . . −4C1 2C1 + M
yj+10
yj+11
yj+12
yj+13
. . .
yj+1l−3
yj+1l−2
yj+1l−1
yj+1l
=
bj0
bj1
bj2
bj3
. . .
bjl−3
bjl−2
bjl−1
bjl
De posse do sistema completo, pode-se aplicar um metodo de solucao de sistemas
lineares para encontrar o deslocamento horizontal no tempo futuro (yj+1). Neste trabalho
foi utilizado o metodo de Gauss-Jordan com pivoteamento por linha, que e aplicado em
problemas do tipo By = b, onde B e a matriz quadrada dos coeficientes (nao-singular), b e
o vetor independente e y e o vetor incognita. A matriz B possui uma banda de elementos
105
bem definida, resultado da forma de discretizacao adotada, sendo esta nao-singular. O
metodo de Gauss-Jordan com pivoteamento por linha tem por finalidade aplicar um certo
numero de operacoes ao sistema de equacoes, reduzindo a matriz dos coeficientes B a
matriz identidade. Dessa forma, o novo vetor independente b∗ gerado e automaticamente
a solucao procurada.
As operacoes realizadas ao sistema sao resumidas da seguinte forma:
•Verificar coluna a coluna o maior valor em modulo. Se o maximo valor da coluna for
elemento da diagonal principal, entao faz-se a divisao da respectiva linha da matriz
B e do vetor b pelo proprio elemento da diagonal principal (pivo). Assim tem-se a
garantia de que este pivo sera igual a um;
•Se o maximo valor em modulo da coluna nao estiver na diagonal principal, troca-se
a linha do maximo pela linha do elemento da diagonal principal;
•Em seguida, deve-se zerar os elementos abaixo e acima do pivo. Para tanto, multi-
plica-se cada elemento da coluna do pivo pela linha do pivo e subtrai a mesma afim
de zerar cada elemento da coluna, exceto o pivo, um a um;
•Apos executar as operacoes para uma coluna inteira, verifica-se o proximo elemento
da diagonal principal, que corresponde ao da coluna seguinte.
Realizadas as etapas descritas acima, e construıda a matriz identidade e a solucao do
sistema e dada pelo vetor b∗.
106
APENDICE B -- Resultados
complementares
Neste apendice sao apresentados alguns resultados complementares. E feita uma breve
analise dos domınios de validade da equacao B.1, no que diz respeito a simplificacao da
equacao da curvatura. Esse teste preliminar garante que o caso simples de uma viga
engastada com carregamento concentrado possa ser reproduzido pelo modelo proposto,
uma vez que se anule certos parametros. A vantagem desse teste e a possibilidade de
discussao do tipo de equacionamento efetuado, verificando as abordagens teoricas.
B.1 Domınios de validade
Seja a viga elastica engastada, submetida a um carregamento pontual como aquela
mostrada na figura 47. A equacao B.1 e a equacao da linha elastica completa, escrita
como:
M = −ESIyxx(
1 + (yxx)2)3/2
(B.1)
Figura 47: Esquema de um caso particular estudo - viga elastica com carregamento pon-tual (∆ = 0 no caso da abordagem linear)
A solucao analıtica da equacao B.1 envolve determinar as integrais elıpticas de pri-
meira e segunda ordens (GERE; TIMOSHENKO, 1990).
107
Figura 48: Domınios de validade das abordagens linear e nao-linear, sendo a area hachu-rada a faixa onde o modelo e valido
Os domınios de validade das teorias de pequenos e grandes deslocamentos (abordagem
linear ou nao-linear) podem ser entendidos atraves da figura 48, que mostra a relacao entre
o deslocamento maximo adimensionalizado e o carregamento concentrado adimensionali-
zado. Pode-se entao perceber determinadas regioes onde as hipoteses de cada teoria sao
validas.
Figura 49: Comparacao entre a deformada do modelo e as diferentes abordagens, comPl2/EI = 2, 37× 10−6 e y/l = 6, 79× 10−7
Pode-se notar pela figura 48 que a medida que a forca adimensional tende a zero, as
duas hipoteses se aproximam. Ou seja, quanto menor for a forca adimensional, maior
a proximidade entre a abordagem linear e a nao-linear. Via de regra, e admitido que a
abordagem linear reproduz a nao-linear enquanto o deslocamento adimensional for inferior
a 10% (GERE; TIMOSHENKO, 1990) (faixa hachurada da figura 48). Alem desse limite,
nao ha sentido em adotar a abordagem linear, apenas a abordagem nao-linear e capaz de
retratar o comportamento real do elemento.
De modo a verificar as afirmacoes efetuadas, toma-se a solucao numerica da abordagem
108
nao-linear (equacao B.1) para o caso de um carregamento concentrado na extremidade
livre da viga engastada e compara-se com o modelo desenvolvido (desprezando a viscoe-
lasticidade e a massa do conjunto). Na figura 49 pode-se observar uma boa concordancia
entre o modelo proposto, a solucao numerica linear e nao-linear. Entretanto, esse fato
ocorre pela regiao no grafico da figura 48 na qual se esta trabalhando. Para o caso desta
simulacao, Pl2/EI = 2, 37 × 10−6 e y/l = 6, 79 × 10−7, ou seja, valores baixos e dentro
da area de concordancia entre as abordagens. Neste caso, a abordagem linear e capaz de
representar o comportamento nao-linear com boa acuracia. Alem disso, pode-se observar
o fato de que o modelo desenvolvido reproduz a abordagem linear, pelo melhor ajuste
(curvas sobrepostas).
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