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Facultad de Economía, UPC
Modelo de crecimiento deSolow-Swan (I)
Carlos Rojas Quirozwww.carlos-rojas-quiroz.weebly.com
Agosto del 2017
1 Modelo de Solow sin cambio tecnológico1.1 La estructura básica del modelo1.2 Análisis del estado estacionario1.3 La dinámica de la transición
2 Modelo de Solow con cambio tecnológico2.1 La estructura básica del modelo2.2 Análisis del Estado Estacionario2.3 La dinámica de la transición
3 Anexos3.1 Anexo 13.2 Anexo 2
Índice
2/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Hogares y producción:• Considere una economía cerrada, con un único bien final.• La economía es habitada por un número grande de
hogares.• Los hogares ahorran una fracción exógena constante,
s ∈ (0,1), de su ingreso disponible.
La estructura básica del modelo
3/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
• Todas las firmas de la economía tienen acceso a la mismafunción de producción para el único bien final.
• Función de producción agregada:
Y (t) = F(K (t),L(t),A(t))
Donde Y (t) es la producción del bien final, K (t) es el stockde capital, L(t) es el trabajo y A(t) es la tecnología.
La estructura básica del modelo
4/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Si hay un único bien en la economía, ¿qué es el capital?
Fuente: Bayer4Crops
La estructura básica del modelo
5/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
¿Qué es A(t)?• Tecnología / Progreso técnico / Productividad Total de
Factores• Efectos de la organización de la producción y de los
mercados sobre la eficiencia con la que los factores deproducción son utilizados
• La tecnología es libre, está disponible públicamente y esun bien:
• no rival, por que el consumo de unos no disminuye el deotros
• no excluible, porque no es posible prohibirle a una personasu uso o consumo
La estructura básica del modelo
6/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Supuesto 1
La función de producción F : R3+ → R+ es dos veces
diferenciable en K y en L, y satisface:
FK (K ,L,A)≡∂F(K ,L,A)
∂K >0 FL(K ,L,A)≡∂F(K ,L,A)
∂L >0
FKK (K ,L,A)≡∂2F(K ,L,A)
∂K 2 <0 FLL(K ,L,A)≡∂2F(K ,L,A)
∂L2 <0
Además, F exhibe retornos constantes a escala en K y en L.
La estructura básica del modelo
7/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Definición 1Sea k ∈ N. La función G : Rk+2 → R es homogénea de gradom en x ∈ R e y ∈ R si:
G(λx , λy , z) = λmG(x , y , z) ∀ λ ∈ R, z ∈ Rk
La estructura básica del modelo
8/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
• Retornos constantes a escala:
F(λK (t), λL(t),A(t)) = λF(K (t),L(t),A(t))
Además:• Economía suficientemente desarrollada.• Factores productivos fuera de K , L y A no son importantes.
La estructura básica del modelo
9/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Teorema 1Suponga que G : Rk+2 → R es diferenciable en x ∈ R y eny ∈ R, con derivadas parciales denotadas por Gx y Gy , y eshomogénea de grado m en x e y. Entonces:
mG(x , y , z) = Gx (x , y , z)x+Gy (x , y , z)y ∀ x ∈ R, y ∈ R, z ∈ Rk
Además, Gx (x , y , z) y Gy (x , y , z) son por sí mismashomogéneas de grado m − 1 en x e y.
La estructura básica del modelo
10/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Dotaciones iniciales:• Asignación inicial de recursos depende de características
institucionales de la economía.Market structure:• Mercados competitivos. Hogares y firmas son tomadoras
de precios y maximizan sus propios “objetivos”. Losprecios “limpian” mercados.
La estructura básica del modelo
11/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
• Los hogares son dueños de los factores de producción.• La oferta de trabajo es inelástica.
L(t) = L(t)
• Si definimos el precio de la mano de obra, el salario real,como w(t), entonces el mercado de trabajo se “vacía”cuando:
L(t) ≤ L(t), w(t) ≥ 0 y (L(t)− L(t))w(t) = 0
La estructura básica del modelo
12/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
• Por el lado del capital, los hogares son dueños de estefactor productivo, y lo alquilan a las empresas, al precioR(t).
• Condición de equilibrio del mercado de capital:
K (t) = K (t)
• Dotación inicial de capital del hogar: K (0) ≥ 0.• El capital se deprecia a la tasa δ ∈ (0,1).• La tasa de interés a la que se enfrentan los hogares es
r(t) = R(t)− δ.
La estructura básica del modelo
13/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Optimización de la firma y equilibrio:• El objetivo de la firma es maximizar beneficios.• El mercado de capitales funciona correctamente, por lo
que las firmas pueden alquilar capital en el mercado, sinproblemas.
m«axK≥0,L≥0
F(K ,L,A(t))− R(t)K − w(t)L
La estructura básica del modelo
14/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
• El problema de maximización de la firma está establecidoen variables agregadas.
• No hay un precio multiplicando la función F , dado que seasume que P = 1.
• La firma toma como dados los precios de los factoresproductivos: mercados competitivos.
• Problema cóncavo desde que F lo es.
La estructura básica del modelo
15/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
• Dadas las ofertas de capital y trabajo en el período t , K (t)y L(t), los precios de factores deben satisfacer la siguientecondición:
w(t) = FL(K (t),L(t),A(t)) (1)
R(t) = FK (K (t),L(t),A(t)) (2)
• Recordando el Teorema 1, podemos intuir que la firmagenera cero beneficios.
La estructura básica del modelo
16/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Proposición 1
Si el Supuesto 1 se mantiene, entonces en el equilibrio delmodelo de Solow las firmas generan cero beneficios y, enparticular:
Y (t) = w(t)L(t) + R(t)K (t) (3)
La estructura básica del modelo
17/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Supuesto 2
F satisface las condiciones de Inada:
limK→0FK (K ,L,A) =∞ y limK→∞FK (K ,L,A) = 0 ∀ L > 0 y A
limL→0FL(K ,L,A) =∞ y limL→∞FL(K ,L,A) = 0 ∀ K > 0 y A
Además, F(0,L,A) = 0 ∀ L y A.
La estructura básica del modelo
18/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
K
F(K , L,A)
K
F(K , L,A)
La estructura básica del modelo
19/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
La ecuación fundamental de Solow :• Ahorro de hogares: S(t) = sY (t)• Consumo de hogares:
C(t) = (1− s)Y (t) (4)
• Crecimiento de la población:
L(t) = nL(t) (5)
• No hay crecimiento de la tecnología• Cambio de variable (capital per cápita):
k(t) ≡ K (t)L(t)
La estructura básica del modelo
20/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
• Tasa de crecimiento del capital per cápita(
k(t)k(t)
):
∂k(t)∂t
≡ k(t) =∂K (t)∂t
1L(t)
− K (t)L(t)
∂L(t)∂t
1L(t)
k(t) =K (t)L(t)
− L(t)L(t)
K (t)L(t)
k(t) =K (t)K (t)
K (t)L(t)
− L(t)L(t)
K (t)L(t)
k(t)k(t)
=K (t)K (t)
− L(t)L(t)
k(t)k(t)
=K (t)K (t)
− n
La estructura básica del modelo
21/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Ecuación de movimiento del capital
K (t) = sF(K (t),L(t),A(t))− δK (t) (6)
Modificando la ecuación 6, en términos per cápita:
k(t)k(t)
=sF(K (t),L(t),A(t))
K− (δ + n)
kk
=sF(K ,L,A)/L
K/L− (δ + n)
kk
=sf(k)
k− (δ + n) (7)
La estructura básica del modelo
22/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Definición 2En el modelo básico de Solow, con crecimiento poblacional a latasa n, sin progreso tecnológico y con un capital inicial deK (0), la senda de equilibrio está dada por secuencias decapital, trabajo, producción, consumo, salarios y tasas dealquiler [K (t),L(t),Y (t),C(t),w(t),R(t)]∞t=0, tal que:• L(t) satisface la ecuación 5
• k(t) ≡ K (t)L(t) satisface la ecuación 7
• Y (t) está dado por la ecuación 3• C(t) está dado por la ecuación 4• w(t) y R(t) estan determinadas por las ecuaciones 1 y 2
La estructura básica del modelo
23/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Cuando k(t)→ k∗:f (k∗)
k∗=
n + δ
s(8)
En estado estacionario, la cantidad de inversión es usada parareponer el ratio capital-trabajo.
Análisis del estado estacionario
24/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
k
f (k)
k∗
sf (k(t))sf (k∗)
f (k(t))f (k∗)
(δ + n)k(t)
consumo
inversión
Análisis del estado estacionario
25/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Proposición 2
Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces existe un únicoequilibrio de estado estacionario cuando el ratio capital-trabajosea igual a k∗ ∈ (0,∞) y satisface la ecuación 8. El PBI percápita es:
y∗ = f (k∗)
Y el consumo per cápita es:
c∗ = (1− s)f (k∗)
Análisis del estado estacionario
26/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Definiendo f (k) = Af (k), entonces:
Definición 3Si los supuestos 1 y 2 se mantienen y f(k) = Af(k), el nivel deestado estacionario del ratio capital-trabajo k∗(A, s, δ,n) y elnivel de estado estacionario del producto per cápitay∗(A, s, δ,n), entonces:
∂k∗
∂A> 0,
∂y∗
∂A> 0,
∂k∗
∂s> 0,
∂y∗
∂s> 0,
∂k∗
∂δ< 0,
∂y∗
∂δ< 0,
∂k∗
∂n< 0;
∂y∗
∂n< 0.
Análisis del estado estacionario
27/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Proposición 3
Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces el modelo deSolow con crecimiento poblacional y sin progreso técnico esglobal y asintóticamente estable, por lo que si se empiezadesde el punto k(0) > 0, monotónicamente converge a k∗.
La dinámica de la transición
28/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
k
k
k∗
La dinámica de la transición
29/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
k(t)
k(t)k(t)
k∗
La dinámica de la transición
30/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
1 Modelo de Solow sin cambio tecnológico1.1 La estructura básica del modelo1.2 Análisis del estado estacionario1.3 La dinámica de la transición
2 Modelo de Solow con cambio tecnológico2.1 La estructura básica del modelo2.2 Análisis del Estado Estacionario2.3 La dinámica de la transición
3 Anexos3.1 Anexo 13.2 Anexo 2
Índice
31/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Fuente: Acemoglu (2009).
La estructura básica del modelo
32/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Crecimiento balanceado
• Se refiere a la situación donde el PBI crece a una tasaconstante, mientras que el ratio capital/producto, la tasa deinterés, y los porcentajes de los factores de producción semantienen constantes.
La estructura básica del modelo
33/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Tipos de progreso tecnológico neutralPosibles funciones de producción, de acuerdo a “posición” delprogreso técnico, A(t):• Neutral en el sentido de Harrod
Y (t) = F(K (t),A(t)L(t))
• Neutral en el sentido de Solow
Y (t) = F(A(t)K (t),L(t))
• Neutral en el sentido de Hicks
Y (t) = A(t)F(K (t),L(t))
La estructura básica del modelo
34/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
A: Hicks neutral, B: Solow neutral, C: Harrod neutral.Fuente: Acemoglu (2009).
La estructura básica del modelo
35/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Importante:Para que exista crecimiento balanceado se necesita que lafunción de producción sea neutral en el sentido de Harrod(Usawa’s Theorem).
La estructura básica del modelo
36/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Evolución en el tiempo de los factores de producción:
L(t) = nL(t)
A(t) = gA(t) (9)
Donde n y g son parámetros exógenos. Además, g > 0.Crecimiento exponencial
La estructura básica del modelo
37/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Ecuación fundamental en niveles:
K (t) = sF(K (t),A(t)L(t))− δK (t) (10)
“Normalizamos” las variables en términos “efectivos”.Definimos k(t):
k(t) ≡ K (t)A(t)L(t)
(11)
La estructura básica del modelo
38/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
• Tasa de crecimiento del capital per cápita(
˙k(t)k(t)
):
∂k(t)∂t
≡ ˙k(t) =K (t)
A(t)L(t)K (t)K (t)
− K (t)A(t)L(t)
L(t)L(t)− K (t)
A(t)L(t)A(t)A(t)
˙k(t)k(t)
=K (t)K (t)
− L(t)L(t)
− A(t)A(t)
˙k(t)k(t)
=K (t)K (t)
− n − g
La estructura básica del modelo
39/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Además:y(t) ≡ Y (t)
A(t)L(t)
En forma intensiva:
1A(t)L(t)
×F(K (t),A(t)L(t)) = F(
K (t)A(t)L(t)
,1)≡ f (k(t))
Llamando y(t) ≡ Y (t)L(t) , entonces:
y(t) = A(t)y(t) (12)
y(t) = A(t)f (k(t))
La estructura básica del modelo
40/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
˙k(t)k(t)
=sF(K (t),A(t)L(t))
K (t)− (δ + g + n)
˙k(t)k(t)
=sF(K (t),A(t)L(t))× 1
A(t)L(t)
K (t)× 1A(t)L(t)
− (δ + g + n)
˙k(t)k(t)
=sf (k(t))
k(t)− (δ + g + n) (13)
Donde:• sf (k(t)): inversión por unidad de trabajo efectivo.• (δ + g + n)k(t): inversión de reposición.• Restricción adicional es que δ + g + n > 0.
La estructura básica del modelo
41/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Proposición 4
Considere el modelo de crecimiento de Solow con tecnologíaneutral en el sentido de Harrod, progreso técnico a una tasa gy crecimiento poblacional a tasa n. Si los supuestos 1 y 2 semantienen, entonces existe una única senda de crecimientobalanceado, donde el ratio capital-trabajo efectivo es igual ak∗ ∈ (0,∞), dado por:
f (k∗)k∗
=δ + g + n
s(14)
Además, el PBI per cápita y el consumo crecen a una tasa g.
Análisis del Estado Estacionario
42/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Definición 4Si los supuestos 1 y 2 se mantienen y sea A(0) el nivel inicialde tecnología, el nivel de estado estacionario del ratiocapital-trabajo efectivo consistente con la senda balanceadak∗(A(0), s, δ,n) y el nivel de estado estacionario del productoper cápita y∗(A(0), s, δ,n, t), entonces:
∂k∗
∂A(0)= 0,
∂y∗
∂A(0)> 0,
∂k∗
∂s> 0,
∂y∗
∂s> 0,
∂k∗
∂δ< 0,
∂y∗
∂δ< 0,
∂k∗
∂n< 0;
∂y∗
∂n< 0 ∀ t .
Análisis del Estado Estacionario
43/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
k
f (k)
k∗
sf (k(t))sf (k∗)
f (k(t))f (k∗)
(δ + n + g)k(t)
consumo
inversión
Regla dorada
Análisis del Estado Estacionario
44/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Proposición 5
Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces la senda decrecimiento balanceada del modelo de Solow con progresotecnológico a la Harrod y crecimiento poblacional esasintóticamente estable, por lo que si se empieza de cualquierk(0) > 0, el ratio de capital trabajo efectivo converge a k∗
(k(t)→ k∗).
Senda de crecimiento balanceada
Ejercicio
La dinámica de la transición
45/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
k
f (k)
k∗viejo k∗nuevo
sviejof (k(t))
snuevof (k(t))
(δ + n + g)k(t)
Dinámica comparativa
46/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
k(t)
˙k(t)k(t)
k∗viejo k∗nuevo
sviejo f (k(t))
k(t)− (δ + g + n)
snuevo f (k(t))k(t)
− (δ + g + n)
Dinámica comparativa
47/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Fuente: Romer (2006).
Dinámica comparativa
48/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
ConsumoFuente: Romer (2006).
Dinámica comparativa
49/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
1 Modelo de Solow sin cambio tecnológico1.1 La estructura básica del modelo1.2 Análisis del estado estacionario1.3 La dinámica de la transición
2 Modelo de Solow con cambio tecnológico2.1 La estructura básica del modelo2.2 Análisis del Estado Estacionario2.3 La dinámica de la transición
3 Anexos3.1 Anexo 13.2 Anexo 2
Índice
50/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Evolución en el tiempo de los factores de producción:
L(t) = nL(t) (15)
A(t) = gA(t) (16)
Donde n y g son parámetros exógenos. Además, una variablecon “punto” indica la derivada de esa variable respecto altiempo:
X (t) =∂X (t)∂t
(17)
Anexo 1 Crecimiento exponencial
51/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Tasa de crecimiento de una variable:
X (t)X (t)
=∂lnX (t)∂t
=∂lnX (t)∂X (t)
∂X (t)∂t
(18)
Aplicando esto en las ecuaciones 15 y 16, se tiene:
lnL(t) = lnL(0) + nt (19)
lnA(t) = lnA(0) + gt (20)
Anexo 1
52/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Aplicando operador exponencial a ambos lados de lasecuaciones 19 y 20:
L(t) = L(0) expnt (21)
A(t) = A(0) expgt (22)
Por tanto, L y A crecen exponencialmente a una tasa exógenade n y g, respectivamente.
Anexo 1
53/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan
Senda de crecimiento balanceada:Cuando k → k∗, ¿Qué sucede con las otras variables deinterés?• K = AL× k , si llegamos a k = k∗, entonces K
K = n + g.
• Y = F(K ,AL) = AL× f (k∗,1), luego YY = n + g.
• k = A× k∗, entonces kk = g.
• y = A× y∗, por lo que yy = g.
1 Todas las variables de interés del modelo crecen a unatasa constante.
2 En Estado Estacionario, la tasa de crecimiento de laproducción per cápita depende sólo de la tasa decrecimiento tecnológico (progreso técnico).
Anexo 2 Senda de crecimiento balanceada
54/54 Facultad de Economía, UPC Modelo de crecimiento de Solow-Swan