Modelo de Solow

Aula 2

Características Gerais do Modelo

• O modelo de Solow é construído em torno a duas equações– Função de produção: Y=f(K,L), em que K é

capital, L, trabalho e Y, renda– Acumulação de capital: k=sy-(n+d+g)k, em

que k=K/L, y=Y/L, s, a taxa de poupança, n, a taxa de crescimento populacional, d, depreciação e g, tx. de progresso técnico

Simplificação da Função de Produção

10

),( 1

a

LKLKfY aa

Por conseguinte, a função de produção tem retornos constantes de escala

aaaaaa

aa

LKLKY

LKY

111

1(

Nesta economia, empresas pagarão salários concorrenciais, w, e firmas obterão taxa de lucro concorrencial r, a partir de:

L

Yar

eL

Ya

L

Ka

L

Fw

wLrKLKfa

)

,)1()1(

),(max

Equação 1

y

k

y=ka

a

aa

kyL

L

L

K

L

Y

1

Equação 2 - Acumulação de Capital

dKsYK em que o primeiro termo da equação corresponde à variação contínua no tempo da quantidade de capital, ou a primeira derivada do capital em relação ao tempo.

kdnsyk

dnk

synd

K

sY

L

L

K

K

k

k

LKkL

Kk

)(

)log()log(log

Introduzindo progresso técnico

10

),( 1

a

ALKLKfY aa

Progresso técnico é Harrod neutro, ou seja, atua diretamente sobre o trabalho.

)1( aa Aky

A

Aa

k

ka

y

y )1(

sendo gA

AeAA gt

0

Assim, a equação de acumulação de capital se transformará em:

kgdnsyk )(

Progresso técnico cai como maná dos deuses.

O Diagrama de Solow

ka

ska

(n+g+d)

k

y

s’ka

k k’

Estabilidade do Equilíbrio• O equilíbrio obtido, ou seja, sy=(n+g+d)k, é

estável. Supondo que o sistema se encontre fora do equilíbrio ao alterar a propensão a poupar de s para s’>s– há um deslocamento da curva para cima

– a economia cresce acima de n+g+d

– altera-se a relação K/L, elevando k e caminhando até uma posição de maior estabilidade

kgdnsyk )( Tomemos: dividindo por k:

)(// gdnksykk

O gráfico

n+g+d

k

ska-1

s’ka-1

k/k

k’

Desafios empíricos

• Por que alguns países são mais ricos do que outros?– diferenças podem surgir devido a diferentes taxas de

crescimento em estado estável

– países podem estar fora de suas características de estado estável

• Por que alguns países crescem mais rápido do que outros?– diferenças nas taxas de crescimento da produtividade,

considerada exógena pelo modelo

– diferenças na posição relativa ao estado estável - problemas relacionados com estados transitórios

Fórmula básica da renda per capita

)()()1/(

)1/(

tAdgn

sty

dgn

sy

aak

aak

Ricos x Pobres

• Basicamente, dois tipos de influência para explicar diferenças das características de estado estável:– taxa de poupança reduzida - conforme pode ser

observado no gráfico anterior, taxas de poupanças superiores indicam maior renda por trabalhador

– crescimento da população muito elevado - da mesma maneira, um aumento no crescimento populacional implicará em uma maior inclinação do segundo termo do lado direito da equação de acumulação, o equilíbrio se dando em uma renda por trabalhador inferior (ver gráfico a seguir)

Mudança de n

ka

ska

(n+g+d)

k

y

k

(n’+g+d)

y

y’

PIB país/PIB US x Tx. Investimeno

Taxa de Investimento

50403020100

PIB

Pa

ís/P

IB U

S

120

100

80

60

40

20

0

Fonte: elaboração própria a partir de Summers e Heston, Penn World Tables, versão 6.

Dados são média de 1950 a 2000

PIB país/ PIB US x Tx. Cr. População

Tx. Cresc. População

,05,04,03,02,010,00-,01-,02

PIB

pa

ís /

PIB

US

120

100

80

60

40

20

0

Fonte: elaboração própria a partir de Summers e Heston, Penn World Tables, versão 6.

Dados são média de 1950 a 2000

Regressão - Variável Dependente YCoefficientsa

8,931 4,307 2,073 ,040

1,755 ,200 ,548 8,792 ,000

-554,814 124,214 -,278 -4,467 ,000

(Constant)

KI

GRPOP

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

Standardized

Coefficients

t Sig.

Dependent Variable: Ya.

Model Summary

61,891a ,452 ,445Model1

F R SquareAdjustedR Square

Predictors: (Constant), GRPOP, KIa.

Fonte: elaboração própria a partir de Summers e Heston, Penn World Tables, versão 6.

Dados são média de 1950 a 2000

PIB país/PIB US x PIB país previsto/PIB US previsto

YSTEADY1

1,61,41,21,0,8,6,4,2

Y

120

100

80

60

40

20

0

Fonte: elaboração própria a partir de Summers e Heston, Penn World Tables, versão 6.

Dados são média de 1950 a 2000

O que nos dizem os dados?

1 2 3 4 5PIB por trabalhador (1997) 46693 26488 11775 4995 1988Taxa de Investimento 23,2 21,4 24,9 21,4 19,4Tx. de Cresc. força de trab. 1,4 2,2 3 2,7 2,4PIB por trabalhador (1965) 23358 17471 7378 4358 1973

Renda como % do grupo 1 100 56,7 25,2 10,7 4,3Renda % em estado estável 100 90,5 92,7 87,6 85Número de países 18 14 13 15 13

Média por Grupo de Países

Fonte: Ros, J. (2000) Development Theory and the Economics of Growth, Ann Arbour, Un. Michigan Press, p. 45.

Hipóteses utilizadas: (d+g)=0,05 e uniforme entere os países, parcela da renda do capital (a) igual a 1/3, s é a taxa de investimento.

Contabilidade do Crescimento

• Y=BKaL(1-a)

• B é o termo de produtividade

• Analisam-se, portanto, a contribuição de cada fator para o crescimento do produto

B/B é conhecida como a taxa de crescimento da produtividade total dos fatores – resíduo de Solow

Contabilidade do Crescimento para EUA

Capital Trabalho TFP1960-70 4 0.8 1.2 1.9 2.21970-80 2.7 0.9 1.5 0.2 0.41980-90 2.6 0.8 0.7 1 1.51960-90 3.1 0.9 1.2 1.1 1.4

Contribuição para o Crescimento

Tx Crescimento do PIB por Trabalhador

Tx. De Crescimento

do PIB

Introdução da Variável de Capital Humano

)1()( )1( aa AHKY

u = tempo de estudo, =constante

Dividindo (1) por L, obtém-se: (2) )( )1( aa Ahky

LeH u

ueh Sendo h constante, a taxa de crescimento de y é g.

Dividindo os dois lados da equação por Ah

aky~~

Equação de acumulação

dgn

s

y

k

kdgnysk

k

k

~

~0

~)(~~

)()(

~

)1/(

)1/(

thAdgn

sty

dgn

sy

aak

aak

Introduzindo Diferenças no Nível Tecnológico

h

y

k

yA

a

a

1

A partir da equação (2)

Problema: trata-se de um resíduo assim como a TFP na contabilidade do crescimento

1 2 3 4 5sh 9,5 7,2 6,7 5 2,2Estado estável para h 6 2,6 2,1 1,1 0,4Anos de Educação 7,9 4,7 3,3 3 1,7Renda como % do Grupo 1 100 49,5 27,9 15,6 7,1Renda Prevista 100 63,9 37,9 26,4 18,1Tx. Cresc. Efetiva 4,2 4,3 5,5 4,6 3,3Tx. Cresc. Prevista 4,2 5,2 6,6 6,5 6,5

Média dos Grupos

Problemas com a idéia de capital humano

• Se a importância do capital humano é tão grande quanto a argumentada, então, trabalho altamente qualificado deveria ter rendimentos superiores nos países menos desenvolvidos, de acordo com Romer 10 vezes

• A evidência sobre a importância de qualificação para explicar diferenças no nível de produtividade não parece ser forte

Três componentes explicativos do crescimento: Convergência

• diferenças entre taxas de crescimento em estado estável

• mudanças transitórias - produto efetivo diferente do produto em estado estável

• diferenças no nível do progresso técnico

Tx. Cresc. x PIB 1950

PIB país/PIB US 1950

120100806040200

Tx.

Cre

sc P

IB p

or

Tra

ba

lha

do

r

,05

,04

,03

,02

,01

0,00

-,01

-,02

-,03

Fonte: elaboração própria a partir de Summers e Heston, Penn World Tables, versão 6.

Dados são média de 1950 a 2000

Coefficientsa

-9,53E-04 ,005 -,188 ,851

-3,38E-04 ,000 -,335 -4,281 ,000

(Constant)

YMESTEAD

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

Standardized

Coefficients

t Sig.

Dependent Variable: GRrgdpwoka.

Model Summary

18,327a ,112 ,106Model1

F R SquareAdjustedR Square

Predictors: (Constant), YMESTEADa.

Fonte: elaboração própria a partir de Summers e Heston, Penn World Tables, versão 6.

Dados são média de 1950 a 2000

Coefficientsa

-9,26E-03 ,005 -1,709 ,090

3,309E-02 ,006 ,420 5,572 ,000

(Constant)

YSTEADY1

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

Standardized

Coefficients

t Sig.

Dependent Variable: GRrgdpwoka.

Model Summary

31,043a ,176 ,171Model1

F R SquareAdjustedR Square

Predictors: (Constant), YSTEADY1a.

Fonte: elaboração própria a partir de Summers e Heston, Penn World Tables, versão 6.

Dados são média de 1950 a 2000

Taxas de Crescimento Efetivas e Previstas (1965-97) no Modelo de Solow

1 2 3 4 5PIB (efetiva) 3,5 3,4 4,5 3,1 2,6PIB (prevista) 3,5 4,7 7,9 9,1 10,2PIB por trabalhador (efet.) 2,1 1,3 1,5 0,5 0,2PIB por trabalhador (prev.) 2,1 2,6 4,9 6,5 7,8n 18 14 13 15 13

Média das Taxas de Crescimento

Convergência a taxas inferiores apenas entre grupos 3 e 1+2.