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SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO
Hipóteses do Modelo
Economia fechada e sem governo;
Economia produz um único bem que pode ser investido ou consumido (PIB);
Os fatores de produção são transformados através de uma função de produção que contém um conceito de máximo possível através da transformação dos Fatores de Produção;
Mercados competitivos, estrutura de equilíbrio geral, com livre mobilidade de fatores;
Preços flexíveis (todos os preços, incluindo juros, salários etc), reagindo à oferta e procura, logo determinados pela escassez relativa;
Há certo ‘estado das artes’, por ora exógeno.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO
A primeira questão que queremos colocar para discussão é:
É possível que uma economia desfrute de taxas de crescimento positivas simplesmente economizando e investindo em seu estoque de capital?
Qual é a resposta do Modelo Básico de Solow para tal questão?
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO
A estrutura básica do Modelo de Solow:
O modelo de Solow foca 4 variáveis: Produto (Y), Capital (K), Emprego (L) e Tecnologia (A), inicialmente daremos ênfase em um modelo sem progresso técnico.
O modelo é construído em torno de duas equações:
1) Uma função de produção que descreve como os insumos (K,L) são combinados para gerar produto (Y)
2) Uma equação de acumulação de capital.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
Função de Produção:
𝒀𝒕 = 𝑭(𝑲𝒕, 𝑳𝒕)
Onde:
𝑌𝑡 é o fluxo de produto produzido no tempo t;
𝐾𝑡 representa o capital físico, tal com máquina, prédios, etc.;
𝐿𝑡 representa o número de trabalhadores e as horas de trabalho;
Assume-se um setor de produção no qual o produto é homogêneo e pode ser consumido(C) ou Investido (I).
O investimento é usado para criar novas unidades de bens de capital ou para repor adepreciação.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
Propriedades da função de produção neoclássica:
1) RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA
𝐹(λK, λL) = λ F(K,L) para qualquer λ > 0
É importante notar que a definição de escala inclui somente os dois insumos rivais.
2) Rendimentos marginais positivos, mas decrescentes:
𝜕𝐹
𝜕𝐾> 0,
𝜕2𝐹
𝜕𝐾2< 0
𝜕𝐹
𝜕𝐿> 0,
𝜕2𝐿
𝜕𝐿< 0
O uso adicional do fator variável adiciona positivamente o produto, mas essas adições decrescem com o aumento do uso do fator variável
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
Propriedades da função de produção neoclássica:
3) Condições Inada (Inada, 1963)
lim𝐾→0
𝜕𝐹
𝜕𝐾= lim
𝐿→0
𝜕𝐹
𝜕𝐿=∞
lim𝐾→∞
𝜕𝐹
𝜕𝐾= lim
𝐿→∞
𝜕𝐹
𝜕𝐿=0
O produto marginal do capital (ou trabalho) se aproxima do infinito se o capital (ou trabalho) se aproxima a zero, e se aproxima a zero, se o capital (ou trabalho) tende para o infinito.
4) Essencialidade
𝐹 0, 𝐿 = 𝐹 𝐾, 0 = 0
É Impossível produzir com zero de algum dos insumos.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
Uma forma funcional específica que atenda a tais propriedades, para expressar a Primeira equação Fundamental do modelo, a Função Cobb-Douglas:
Eq 1 𝑌 = 𝐾𝛼𝐿1−𝛼
α é constante com valor 0 < α < 1.
O modelo de Solow quer então mostrar de que maneira o crescimento do estoque de capital, e o crescimento populacional (sem considerar por ora os avanços técnicos) interagem e como afetam a produção total de bens e serviços.
a) discutiremos a oferta total a partir de uma função e produção do tipo Cobb-Douglas.
b) apresentaremos a demanda através de sua forma intensiva (variáveis por trabalhador) e dividiremos a produção por trabalhador (y) em consumo por trabalhador (c) e investimento por trabalhador (i)
Logo: y = c + i, equação que retomaremos ao longo da exposição
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
A função de Produção na forma intensiva (per capita)
𝑌
𝐿=
𝐾𝛼𝐿1−𝛼
𝐿=⇒
Eq (2) 𝑦 = 𝑘𝛼
Onde:
𝑦 =𝑌
𝐿𝑒 𝑘 =
𝐾
𝐿
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL
A segunda equação fundamental: Acumulação de Capital
Eq (3) 𝐾 = 𝑠𝑌 − 𝑑𝐾 reescrevendo
Eq (3.1) 𝐾
𝐾= 𝑠
𝑌
𝐾− 𝑑
𝐾 = 𝐾𝑡 − 𝐾𝑡−1 variação do estoque de capital por ‘período’, ou seja, 𝐾 =𝑑𝐾
𝑑𝑡
s = Taxa de poupança => S/Y
d = taxa de depreciação
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL
Escrevendo a equação de acumulação de capital em sua forma intensiva (em termos per capita)
Sabe-se que 𝑘 =𝐾
𝐿; Vamos aplicar log e derivar essa equação em relação ao
tempo para encontrar taxas.
Log k = log K – log L => Derivando em relação ao tempo temos
Eq (3.2) 𝑘
𝑘=
𝐾
𝐾−
𝐿
𝐿𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜
Eq (3.3) 𝐾
𝐾=
𝑘
𝑘+
𝐿
𝐿, Igualando 3.3 e 3.1 temos
Eq (3.3) 𝑘
𝑘= 𝑠
𝑌
𝐾− 𝑑 − 𝑛
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL
(cont...)Equação capital forma intensiva (em termos per capita)
Eq (3.3) 𝑘
𝑘= 𝑠
𝑌
𝐾− 𝑑 − 𝑛, fazendo (
𝑌
𝐿) (
𝐾
𝐿) 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠
Eq (3.4) 𝑘 = 𝑠𝑦 − 𝑑 + 𝑛 𝑘
No estado estacionário 𝑘=0 => 𝑠𝑦 = 𝑑 + 𝑛 𝑘
A equação 3.4 (de acumulação de capital per capita) permite afirmar que:
A acumulação de capital per capita, 𝑘, tende a aumentar se aumenta ‘s’;
e tende a diminuir se a depreciação ou o crescimento populacional crescem.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: AS DUAS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS NA FORMA INTENSIVA
Eq (2) 𝑦 = 𝑘𝛼
Eq (3.4) 𝑘 = 𝑠𝑦 − 𝑑 + 𝑛 𝑘 em s.s 𝑠𝑦 = 𝑑 + 𝑛 𝑘
Agora estamos aptos a analisar algumas mudanças em seus parâmetros.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EFEITO MUDANÇA NA TAXA DE POUPANÇA
As simulações a seguir foram produzidas imaginando uma economia inicialmente em s.s com as seguintes condições iniciais:
s old: 0,3 ; s new: 0,4 ; k inicial=9 ; d=0,1
À nova taxa de poupança o capital aumenta, mas não imediatamente para o novo nível de s.s (k*), de modo que ao nível de k inicial, o investimento supera o necessário para manter k constante. Mais recursos são usados para i e delta k é positivo, logo k começa a crescer. 𝑘 cai gradativamente devido à hipótese de rendimentos decrescentes para o capital.
Logo, mudanças na taxa de poupança geram efeito-nível permanente nas variáveis per capta e efeito taxa apenas temporário.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EFEITO MUDANÇA NA TAXA DE POUPANÇA
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
1 7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97
103
109
115
121
127
133
139
145
151
s
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151
6
8
10
12
14
16
18
1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151
k
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151
i
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151
c
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151
y
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: PROPRIEDADES DO S.S.
Em s.s 𝑠𝑦∗ = 𝑑 + 𝑛 𝑘∗ Os asteriscos indicam que as variáveis se encontram em s.s.
Logo, 𝑘∗ =𝑠𝑦∗
𝑛+𝑑, mas 𝑦∗ = 𝑘∗𝛼
Então 𝑘∗ =𝑠𝑘∗𝛼
𝑛+𝑑=> 𝑘∗1−𝛼 =
𝑠
𝑛+𝑑=> 𝑘∗ =
𝑠
𝑛+𝑑
1
1−𝛼Substituindo na fção de produção
𝑦∗ = 𝑘∗𝛼
Temos: 𝑦∗ =𝑠
𝑛+𝑑
∝
1−𝛼
Assim, em s.s
Δs > 0 => Δy > 0 ou seja, maior taxa de poupança implica nível de produto per capta maior;
Δn ou Δf > 0 => Δy < 0, maiores taxas de cresc populacional ou de depreciação, implicam menor nível de produto per capta.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: PROPRIEDADES DO S.S.
Taxa de crescimento do produto agregado Y
Sabe-se que 𝑦 =𝑌
𝐿
Log y = log Y – log L (derivando em t) temos: 𝑑 log 𝑦
𝑑𝑡=
𝑑 log 𝑌
𝑑𝑡-𝑑 log 𝐿
𝑑𝑡=>
𝑦
𝑦=
𝑌
𝑌−
𝐿
𝐿
Como em s.s. 𝑦
𝑦=0, temos que
𝑌
𝑌= 𝑛
Taxa de crescimento do estoque de capital agregado, K
Sabe-se que 𝑦 =𝐾
𝐿 log k = log K – log L (derivando em t) temos:
𝑘
𝑘=
𝐾
𝐾− 𝑛
Como em s.s. 𝑘
𝑘=0, temos que
𝐾
𝐾= 𝑛
Logo a tx de crescimento do produto (Y) e do capital (K) em ss é ‘n’
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: SÍNTESE DOS RESULTADOS
Trajetória de Crescimento equilibrado
Solow Básico – sem progresso técnico
Variável Taxa de crescimento
Y* n
K* n
C* = (1-s) Y* n
I* = sY* n
W* = 1 * *Y n
* * *Y n
y* 0
k* 0
c*=(1-s) y* 0
i*=sy* 0
w*= 1 * *y 0
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO
Conclusão:
A experiência mostra que crescimento e investimento possuem taxas positivamente relacionadas no LP e no modelo de Solow o efeito de um aumento permanente da taxa de poupança (e no investimento) leva apenas a efeitos transitórios sobre as taxas de crescimento per capta no longo prazo.
Além disso, a experiência mostra que as variáveis per capta têm crescimento positivo no LP, o que essa versão do modelo também não é capaz de explicar.
Logo, o modelo básico de Solow não dá uma resposta satisfatória para tais fatos. As extensões do modelo buscam dar respostas mais aceitáveis para esses.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO – ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO
Análise da Distribuição no modelo neoclássico:
Os fatores de produção são remunerados de acordo com suas produtividades marginais (isso pode ser derivado das condições de maximização de lucro. Da maxlucro sabe-se que o valor do PmgL (p*PmgL)=W
𝑌 = 𝐾𝛼𝐿1−𝛼 (1)
𝑃𝑚𝑔𝐿 =𝜕𝑌
𝜕𝐿= 1 − 𝛼 𝐾𝛼𝐿−𝛼 ⇒ 𝑃𝑚𝑔𝐿 = (1 − 𝛼)
𝐾
𝐿
𝛼(2)
𝑃𝑚𝑔𝐾 =𝜕𝑌
𝜕𝐾= 𝛼𝐾𝛼−1𝐿1−𝛼 ⇒ 𝑃𝑚𝑔𝐾 = 𝛼
𝐿
𝐾
1−𝛼(3)
De 2 e 3 pode-se notar que um aumento na quantidade de Trabalho (capital), faz cair (aumentar) a produtividade marginal do trabalho e aumentar (cair) a produtividade marginal do capital.
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO – ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO
Reescrevendo os produtos marginais, para discutir distribuição:
𝑃𝑚𝑔𝐿 = 1 − 𝛼𝑌
𝐿(4) (Para provar basta substituir a função de produção em Y)
𝑃𝑚𝑔𝐾 = 𝛼𝑌
𝐾(5)
Podemos agora verificar que se os fatores são remunerados às suas respectivas produtividades marginais, o parâmetro α de fato informa quando da renda se destina à m.d.o e quanto se destina ao capital.
F(K,L) = (PmgL x L) + (PmgK x K) ou, de modo equivalente:
F(K,L) = wL + rK = Y
O que significa que o pagamento aos fatores exaure o produto. Y = wL + rK e (...)
SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO – ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO
Disso resulta que o montante total pago à mão de obra é simplesmente igual a (1- α ), vejamos:
𝑃𝑚𝑔𝐿 ∗ 𝐿 = 1 − 𝛼𝑌
𝐿∗ 𝐿 ⇒ 1 − 𝛼 𝑌
Logo (1-α)Y é a participação dos salários na produção.
𝑃𝑚𝑔𝐾 ∗ 𝐾 = 𝛼𝑌
𝐾∗ 𝐾 ⇒ 𝛼𝑌
Logo αY é a participação da remuneração do capital na produção.
Esse resultado mostra que a Participação/distribuição da renda correspondente àm.d.o e ao capital são uma constante. Bem como, a proporção entre a renda do capitale do trabalho, também são uma constante (α/1- α).