Modelo matricial Introdução aos - Autenticação...Introdução aos Sistemas de Informação Geográfica Alexandre Gonçalves DECivil - IST [email protected]

Introdução aos Sistemas de Informação Geográfica

Alexandre GonçalvesDECivil - IST

[email protected]

Aulas 5 e 6Modelo matricial

Modelo matricial

1. Resolução2. Tipos de valores e dados3. Compatibilização4. Álgebra de mapas: funções locais, focais,

zonais (e globais)5. Interpolação6. Conversão vetorialmatricial7. Vetorial versus matricial

ISIG – MEC – IST 2019-20

Modelo matricial

Divide a área de estudo numa grelha regular de células numa sequência específica formando uma tesselação ou pavimentação

– cada célula tem um valor numérico associado– todo o local no interior da área de estudo é

preenchido com uma célula

Modelo matricial

As células não têm de ser quadradas.Quais os polígonos regulares que formam

tesselações (pavimentações)?

com pentágonos não dá


Resolução espacial

5ISIG – MEC – IST 2019-20

Tipos de valores e dados

• Valores– Inteiros (pode ser uma grandeza

medida ou codificar algo)– Reais

• Dados– Funções contínuas (ex. temperatura,

altitude)– Dados categóricos (ex. uso do solo)

• Cada célula só tem um valor– muitas vezes inadequado: uma fronteira pode passar a meio de uma

célula• tem de haver alguma regra de decisão de classificação (ver

conversão vetorialmatricial, no fim)– onde não há dados, há o valor Sem valor / No Data / Null

No Data / NULL

6 (valor de um dos atributos

desta layer vetorial)

6aqui não há

nada

vetorial matricial


Exemplos de CDG matriciais

7

(têm tabela de atributos) (não têm tabela de atributos)


Estrutura de uma matriz


Zonas são grupos de células com o mesmo valor

– Cada zona está associada a uma linha da tabela de atributos da matriz

Regiões são zonas contíguas

– O número de regiões varia consoante a definição de contiguidade de células

4

0 4 4 11

0 4 4 11

0 0 4 11

4

4

0

0

4

4

Null 11

4 11 11

11

Estrutura: Zonas e Regiões

Nesta matriz há ___ zonas e ___ regiões


Reamostragem

• Reamostragem é a alteração da resolução espacial de uma matriz (é produzida uma matriz nova com células de tamanho diferente)

• É preciso determinar o modo como se calcula o valor de cada célula da nova matriz

10ISIG – MEC – IST 2019-20

Quando se georreferencia uma imagem ou se transformam coordenadas é necessário “mover” e “alterar” um CDG matricial

• O valor da célula na imagem/grelha corrigida é o valor da célula mais próximo na imagem/grelha original, independentemente do desvio existente.

• Vantagens– Computacionalmente simples

– Não altera os valores originais

– Aplicável a escalas nominais

• Desvantagens– Objetos sofrem desvio de até meia célula

– Estruturas lineares ficam com aspeto zigzag

Compatibilização pelo método vizinho mais próximo

Imagem/grelha corrigida

11ISIG – MEC – IST 2019-20

Compatibilização pelo método da interpolação bilinear

• O valor da célula na matriz corrigida é uma média ponderada do valor das 4 células mais próximas na matriz original.

• Vantagens– Adequado a funções contínuas…

• Desvantagens– Pode suavizar demasiado os valores…– Altera os valores das células para

valores que não existiam na matriz original, pelo que não serve para dados nominais

Imagem/grelha original

Imagem/grelha corrigida

12ISIG – MEC – IST 2019-20

Álgebra de mapas (análise espacial matricial)• Funções locais

Usam o valor da célula na mesma posição na matriz(es) de entrada

• Funções focaisUsam os valores das células num foco de forma fixa

• Funções zonaisUsam os valores das células definidas segundo zonas

• Funções globaisTodas as restantes funções de álgebra de mapas

Funções locais

Populacao2010 Populacao2000 VarPop

_ =

Designam-se por funções locais as funções obtidas por combinação dos valores de uma ou mais matrizes com a mesma posição na matriz.

169 3 99 35 87 2 94 24 94 1 5 11

Null 62 46 19 Null 32 39 13 Null 30 7 6

Null 74 156 38 Null 74 89 35 Null 0 75 3

52 100 34 123 48 69 22 100 4 31 12 23

14ISIG – MEC – IST 2019-20

Funções locais

VarPop=((Pop2010–Pop2000)/(Pop2000))*100

169 3 99 35 87 2 94 24

Null 62 46 19 Null 32 39 13

Null 74 156 38 Null 74 89 35

52 100 34 123 48 69 22 100

0 0 0 0 94 50 5 46

Null 0 0 0 Null 94 18 46

Null 0 0 0 Null 0 75 9

0 0 0 0 8 45 55 23

Pop2010 Pop2000

resultado se se usar a

divisão inteira(onde 2/3 = 0)

resultado se se usar a

divisão real

15

Funções locaisOperadores Aritméticos

•Os operadores básicos (+,-,*,/) estão geralmente disponíveis.•Atenção aos problemas de arredondamento e precedência de operadores.

Operadores Booleanos ou LógicosOutput: 0=FALSE, 1=TRUE / Input: 0=FALSE, ~0=TRUE

AND =0 3 5 1 Null 0 2 Null Null 0 1 Null

Null 3 1 8 Null 2 0 7 Null 1 0 1

Null 9 5 4 Null 2 3 0 Null 1 1 0

6 5 7 3 0 3 2 1 0 1 1 1

16ISIG – MEC – IST 2019-20

Funções locais: Reclassificação

é uma dasoperações mais usadas

3 1 [0,2]=0 ]2,6]=1 ]6,9]=2

2

7

6 5

9

1 5

8

0 1 0

1 1

2 2 2

17

Funções focais

...

6 4 5 9

3 7 5 6

4 5 6 7

...

...

5

...

6

As funções focais têm em consideração não somente o valor de uma célula isolada mas também os valores das células situadas numa vizinhança próxima, definida em geral por uma janela, designada foco.

exemplo: média focal com janela de 3x3

18ISIG – MEC – IST 2019-20

Funções focais

Nas funções focais propriamente ditas há uma janela móvel, i.e., as vizinhanças sobrepõem-se.

Nas funções de bloco as vizinhanças são justapostas.

O valor de output é igual em todas as células de um dado bloco.

19

Funções focaisdefinição de um foco

O foco pode tomar qualquer forma

vizinhança circular

células incluídas no foco

célula a processar

vizinhança anelar (donut)

células incluídas no foco

célula a processar

20ISIG – MEC – IST 2019-20

Funções focais

© Paul Bolstad, GIS Fundamentals

Exemplos de aplicação:• Remoção do “ruído” (deteção de

erros/outliers)• Cálculo de declive e orientação• Índice de rugosidade

2

,

)( celji

ijcel XXR −=

21

Funções zonais

• As funções zonais são semelhantes às focais, com a diferença de a vizinhança não ter uma forma fixa, podendo a zona ser definida numa outra matriz.

• Calculam para cada célula uma determinada função ou estatística usando o valor dessa célula e de todas as que pertencem à mesma zona.

• Algumas funções zonais (tipo I) nas quais as zonas são definidas por um valor isolado permitem obter estatísticas ou quantificar as características da geometria das zonas de input.

• Outras funções zonais (tipo II) nas quais as zonas são definidas através de uma segunda matriz permitem obter estatísticas ou preencher zonas específicas com valores da matriz de input.

22ISIG – MEC – IST 2019-20

Funções zonaisExemplos do tipo I:Área zonal, Perímetro zonal, Profundidade zonal

resposta a perguntas do tipo “Qual a área de cada zona”, “Qual o perímetro de cada zona”, “Qual a distância mínima a que se encontram células de outro valor?”

23ISIG – MEC – IST 2019-20

Funções zonais

A

G A A X

G A A X

G G A X

A

1

1

1

3

A

G

G

A

A

Null X

A X X

X

2 2

0 0

5 6

2 1

0 3

2 4

0 1

2

1 12

2

2

0

1

25

25

25

25

10 25

25 25

Null 14

14 14

10 10

25 10

10 10

25

25 25

14

14

14

14

resultado de uma soma zonal

layer de zonas layer de valores a agrupar

Exemplos do tipo II:Maioria, Máximo, Média, Mediana, Mínimo, Minoria, Intervalo, Desvio-padrão, Variância, Soma, Variedade

Outras funções• Distâncias• Interpolação• ...

ISIG – MEC – IST 2019-2025

Distância euclidiana• Pode ser a aplicada a um

conjunto de entidades (pontos, linhas, polígonos)

• Cada célula contém a distância (do centro) até à entidade mais próxima

ISIG – MEC – IST 2019-20 26

Interpolação

• A interpolação é uma técnica para estimar valores desconhecidos de uma função a partir de valores conhecidos da mesma função

x f(x)

a f(a)

b ?

c f(c)

d f(d)

ISIG – MEC – IST 2019-2027

Interpolação na conversão de formatos

Necessária na conversão de pontos matrizOpcional na conversão de matriz pontos

Dois modos de considerar os valores da grandeza representada por uma matriz: com interpolação usando os valores mais próximos (esq.) ou usando só o mais próximo (dir.)

3D

latt

ice –

su

ave

3D

gri

d –

po

r b

loco

s

28ISIG – MEC – IST 2019-20

Interpolação na reamostragem

• Vizinho mais próximo– para dados categóricos (discretos)

• Interpolação bilinear• Convolução cúbica/bicúbica

Matriz original

Nova matriz

Reamostragem é a alteração da resolução espacial de uma

matriz, ou o recálculo dos valores das células que é

necessário quando se faz uma transformação de coordenadas

29ISIG – MEC – IST 2019-20


• Vizinho mais próximo• Interpolação bilinear

– para funções contínuas

• Convolução cúbica/bicúbica Matriz original

Nova matriz

30ISIG – MEC – IST 2019-20


• Vizinho mais próximo• Interpolação bilinear• Convolução cúbica/bicúbica

– para funções contínuas

31ISIG – MEC – IST 2019-20


ww

w.c

hri

sm

ad

de

n.c

o.u

k

32

Interpolação na reamostragemOutra maneira, como função focal

33

Interpolação

34

Interpolação

Interpolação linear (grau 1)

Interpolação polinomial (grau >1)

35ISIG – MEC – IST 2019-20

Interpolação

• Splines (regularized / tension)• Utilizam splines baseados nos pontos

de input mais próximos• Criam superfícies suavizadas de

curvatura mínima• Exatas nos pontos de input

• Triangulações• A mais simples interp. linear

K

J

I

AOJKAOIJ

AOIK

O

f(x,y) = z = ax + by + c

z1 = ax1 + by1 + c z2 = ax2 + by2 + c z3 = ax3 + by3 + c

ISIG – MEC – IST 2019-2036

Interpolação

• IDW – Inverse Distance Weighted

Parâmetros:• Potência n• Número máximo de

vizinhos ou raio de procura máximo

37ISIG – MEC – IST 2019-20

Interpolação

• IDW– quanto maior a potência, maior a

diferença entre células vizinhas– quanto maior a vizinhança, mais

suave será a superfície– estima exctamente nos pontos

amostrais– à medida que se afasta destes, tende

para a média da região– necessita de boa distribuição das

amostras

ISIG – MEC – IST 2019-2038

Interpolação

• Exemplo de IDWx y f(x,y)=zi Dist. à obs.

8 = diwi=1/ di

(1/di) / (ΣΣΣΣ1/di)

1 61 139 477 4.5 0.2222 0.2088

2 63 140 696 3.6 0.2778 0.2610

3 64 129 227 8.1 0.1235 0.1160

4 68 128 646 9.5 0.1053 0.0989

5 71 140 606 6.7 0.1493 0.1402

6 73 141 791 8.9 0.1124 0.1056

7 75 128 783 13.5 0.0741 0.696

8 65 137 ? 0 0 0

ΣΣΣΣ1/di = 1.0644 1.0

f ^(65,137) = 594.0

pesos normalizadospesos

ISIG – MEC – IST 2019-2039

Interpolação

• Vizinho mais próximo

40

Interpolação

• Vizinho natural– a área de cada polígono de

Thiessen dá o peso de cada ponto/polígono para calcular o valor

ISIG – MEC – IST 2019-2041

Interpolação

• Raio fixo

ISIG – MEC – IST 2019-2042

Interpolação

• Trend– Polinómio ajustado por mínimos

quadrados (até grau 12 no ArcGIS)– Não exata

ISIG – MEC – IST 2019-2043

Interpolação

• Krigagem– baseada na variabilidade espacial, segundo direções e segundo a

distância entre pontos– considera autocorrelação (relação estatística entre pontos amostrais)– múltiplos métodos, e cada um usa fórmulas para avaliar a relação

entre a posição dos pontos e os respetivos valores da grandeza a interpolar

– fornecem ainda medida (e mapa) da incerteza de estimação

44

Interpolação

• Quantificação de margens de erro

e = f^(x,y) - f(x,y) erro de estimação

e = 1/n Σ f^(x,y) - f(x,y) erro médiopara os n pontos

MAE =e = 1/n Σ f^(x,y) - f(x,y) erro absolutomédio

MSE = 1/n Σ [ f^(x,y) - f(x,y) ]2 erro quadrático médio

f^(x,y) é o valor estimado; f(x,y) é o valor conhecido

45ISIG – MEC – IST 2019-20

Álgebra de mapas: cuidados

© Paul Bolstad, GIS Fundamentals

• As matrizes podem diferir– Na resolução espacial– Na orientação dos eixos– Nas coordenadas dos cantos– No tipo de valores numéricos

que guardam– No valor associado a NoData– ...

46ISIG – MEC – IST 2019-20

Conversão vetorialmatricial

• só há um valor por célula• necessidade de regras de atribuição

– maior parte da área (para áreas)– valor no centro– presença na célula (para entidades lineares)– necessidade de preservar algumas entidades “raras”

• escolha da resolução espacial: é boa prática a regra de escolher para resolução espacial nunca mais que ½ do menor comprimento ou ¼ da área do menor elemento vetorial não pontual

Conversão vetorialmatricial

48ISIG – MEC – IST 2019-20

“Vantagens” do matricial

• Estrutura de dados simples

• Análise fácil• A plataforma

computacional não é exigente

• Dados da deteção remota são em formato matricial

• Modelação simples• Algoritmia geralmente

mais simples

49

• Inexatidão posicional• Como cada célula tende à

generalização do conteúdo, o resultado tem resolução inferior ao vetorial.

• Não indica precisamente o que existe em dado local.

• Cada célula tem de ser classificada, mesmo que nada lá exista.

• Grande volume de dados

“Desvantagens” do matricial

50

“Vantagens” do vetorial

• Mais aproximado aos “mapas”

• Resolução mais elevada

• Maior precisão no posicionamento dos objetos

• Menor volume de dados (em geral)

• Interpretação evidente• Topologia• Produtos cartográficos

mais “apelativos”

51

“Desvantagens” do vetorial

• Manipulação mais “difícil” do que matricial

• Requer processamento geométrico

• Edição mais demorada

ISIG – MEC – IST 2019-2052

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