MATEMÁTICA I – MARCOS MACIEL

TRIGONOMETRIA – ENSINO MÉDIO.

•Diferentes maneiras de ser estudante, escrita por um estudanteEsta é uma história que se passa em qualquer canto do Brasil, em qualquer escola, com

qualquer aluno, comigo, com você...Eram quatro alunos que estudavam numa escola em uma mesma classe: Arrependido,

Falso, Mínimo e Quero Fazer.Arrependido era um aluno desanimado com os estudos, não fazia nada na sala de aula e

muitos menos os estudos extra-classe. Não pensava no seu futuro e vivia achando que estava perdendo tempo naquela escola e por isso arrependia-se por não poder ficar pelas ruas com seus colegas. Por não gostar de estudar, tirava notas baixas.

Falso era um aluno mentiroso e um pouco preguiçoso para com os estudos. Ou copiava de alguém ou falsificava o que fazia. Na realidade mesmo, nada fazia e era tão falso quanto sua própria nota, apesar de ser razoável, pois tudo que precisava era colar ou confiar no amigo na hora da avaliação. Raramente isso falhava.

Mínimo era um aluno que não pensava em ir muito longe. Para ele, o que importava era conseguir uma nota que o aprovasse, portanto estudava pouco, mas não “colava’ nas avaliações e não passava disso. 5,0 era o bastante e contentava-se com esse mínimo. Sempre tinha um pensamento: “tenho boas notas porque não perdi nenhuma”.

Quero fazer gostava do que fazia. Quando lhe apresentavam algo novo, uns problemas que ele não soubesse, ele dizia “vou resolvê-los” e quase sempre conseguia. Não era nem mais, nem menos inteligente que os outros. Mas tinha força de vontade e determinação. Suas notas eram boas, porém não estudava para tirar notas e sim para aprender. Era bom aluno todos os dias e sua persistência o ajudava a vencer.

Assim, Quero fazer era o primeiro da classe. Em termos de aprendizagem. Mínimo era o penúltimo, Falso era o último e Arrependido abandonou a escola.

Hoje, todos já são homens feitos e cada um teve seu destino:Arrependido mora numa grande favela chamada Tarde Demais.Falso queria ser político, mas foi infeliz porque descobriram sua falsidade. Foi julgado e

condenado por um juiz chamado Verdade.Mínimo, com seu conhecimento mínimo tem um emprego mínimo. Ganha um salário mínimo

e tem um patrão muito exigente chamado Máximo que sempre lhe cobra 100%.Quero Fazer se saiu melhor e hoje é presidente de um país chamado “República

Democrática dos Sucessos”.

• EMENTA• Relações trigonométricas no triângulo retângulo; o círculo trigonométrico;

funções circulares; identidades trigonométricas; transformações; equações e inequações trigonométricas; lei dos senos e dos co-senos; funções trigonométricas, suas inversas e gráficos. Aplicações.

• JUSTIFICATIVA• A trigonometria se desenvolveu em intima com os vários ramos da ciência.

Vamos-nos verificar sua existência e seguir os caminhos do astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C. ganhou o direito de ser chamado “o pai da Trigonometria”. A disciplina apresenta ao aluno conceitos e técnicas básicas para utilização em seus estudos, sem se ater ao formalismo e rigor excessivos, de maneira que haja estreita ligação com aplicação.

• OBJETIVOS DA DISCIPLINA• Ampliar e utilizar o domínio das diferentes linguagens técnico-científicas

na construção/ apropriação do conhecimento como recurso para a observação interpretação, análise e avaliação de fenômenos naturais e sociais tendo em vista o exercício da cidadania;

• Saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos; questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação;

• Desenvolver o sentido de pertencer ao mundo, recebendo suas influências e nele atuando, a fim de enriquecer-se com essas experiências.

CONTEUDOS- Trigonometria

- Circulo: arcos, ângulos, corda, flecha, raio, diâmetro, segmento de arco;

- Funções trigonométricas “seno, co-seno e tangente”: posição de cada eixo relacionado a uma função, sinais, quadrantes, redução de quadrantes, arcos complementares, suplementares e replementares, relação fundamental da trigonometria, tabela dos ângulos notáveis, ciclo trigonométrico, gráficos, funções inversas, identidades, Propriedades com arcos usando funções trigonométricas, adição de arcos, arcos duplos, Multiplicação e divisão de arcos, com as funções seno, co-seno e tangente, lei dos senos e lei dos co-senos, área de um triângulo em função de dois lados e o ângulo formado por eles.

• REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS• - CARMO, M. P., MORGADO, A. C. & WAGNER, E. Trigonometria, Números

Complexos. Coleção do Professor de Matemática. SBM, Rio de Janeiro, l992,

• - PAIVA, MANOEL. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. São Paulo: moderna, 2003.

• - http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm.

• - http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo01.htm• Nesta página:• - o papel da trigonometria;• - ponto móvel sobre uma curva;• - arcos da circunferência;• - medida de um arco;• - o número pi;• - unidades de medida de arcos;• - arcos de uma volta;• - mudança de unidades. s da

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigon1/mod114.htm• Nesta página:• - Trigonometria e aplicações;• - Triângulo Retângulo;• - Lados de um triângulo retângulo;• - Nomenclatura dos catetos;• - Propriedades do triângulo retângulo;• - A hipotenusa como base de um triângulo retângulo;• - Projeções de segmentos;• - Projeções no triângulo retângulo;• - Relações Métricas no triângulo retângulo;• - Funções trigonométricas básicas;• - Relação fundamental.

• - http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo02.htm• Nesta página:• - Círculo Trigonométrico;• - Arcos com mais de uma volta;• - Arcos côngruos e Ângulos;• - Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX;• - Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OY;• - Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à

origem. s

• - http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo03.htm• Nesta página:• - Seno e co-seno;• - Tangente;• - Ângulos no segundo quadrante;• - Ângulos no terceiro quadrante;• - Ângulos no quarto quadrante;• - Simetria em relação ao eixo OX;• - Simetria em relação ao eixo OY;• - Simetria em relação à origem;• - Senos e co-senos de alguns ângulos notáveis;• - Primeira relação fundamental;• - Segunda relação fundamental;• - Seno, co-seno e tangente da soma e da diferença.

• - http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo04.htm• Nesta página:• - Cotangente;• - Ângulos no segundo quadrante;• - Ângulos no terceiro quadrante;• - Ângulos no quarto quadrante;• - Secante e co-secante;• - Algumas propriedades da secante e da co-secante;• - Relações trigonométricas com secante e co-secante;• - Alguns ângulos notáveis.

• - http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo05.htm• Nesta página:• - Resolução de triângulos;• - Lei dos Senos;• - Lei dos Co-senos;• - Área de um triângulo em função dos lados.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo06.htm• Nesta página:• - Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade;• - Fórmulas de arco duplo;• - Fórmulas de arco metade. s

• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo01-a.htm

• Nesta página:• - Exercícios sobre elementos gerais

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo02-a.htm

• Nesta página:• - Exercícios sobre o círculo trigonométrico;

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo03-a.htm

• Nesta página:• - Exercícios sobre seno, co-seno e tangente;

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo04-a.htm

• Nesta página:• - Exercícios sobre cotangente, secante e co-

secante;

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo05-a.htm

• Nesta página:• - Exercícios sobre resolução de triângulos;

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo06-a.htm

• Nesta página:• - Exercícios sobre adição e subtração de arcos;

Identidades trigonométricas

1)(cos)( 5)

todopara válidaRelação )(

1)(cos 4)

2 todopara válidaRelação

)cos(

1)sec( 3)

todopara válidaRelação )(

)cos()(cot 2)

2 todopara válidaRelação

)cos(

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22

xxsen

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Fórmulas da adição

quadrante. primeiro ao pertence

soma cuja positivos, arcos para as verdadeirsão acima fórmulas As

2)(p/

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Fórmulas da multiplicação

)(1

)(.2)2( 14)

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2

22

xtg

xtgxtg

xsenxx

xxsenxsen

Fórmulas da transformação em produto

2.

2.2)cos()cos( 18)

2cos.

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2.2sen(y)-sen(x) 16)

2cos.

2.2)()( 15)

yxsen

yxsenyx

yxyxyx

yxyxsen

yxyxsenysenxsen