MODELOS COMPUTACIONAIS PARA OPTIMIZAÇÃO DA TOPOLOGIA … · DEM-Instituto Superior Técnico MODELOS COMPUTACIONAIS PARA OPTIMIZAÇÃO DA TOPOLOGIA E DO MATERIAL DE ESTRUTURAS Helder

DEM-Instituto Superior Técnico

MODELOS COMPUTACIONAIS MODELOS COMPUTACIONAIS PARA OPTIMIZAPARA OPTIMIZAÇÇÃO DA ÃO DA

TOPOLOGIA E DO MATERIAL TOPOLOGIA E DO MATERIAL DE ESTRUTURASDE ESTRUTURAS

Helder C. RodriguesDepartamento de Engenharia Mecânica

IST - UTL


DEM-Instituto Superior TécnicoDEM-Instituto Superior Técnico

- Optimização da Topologia de Estruturas

- Modelo Material

- Homogeneização

- Exemplos

- Projecto Óptimo de Materiais Celulares

-Modelos Hierárquicos

SUMÁRIO


A optimização da topologia de estruturas é um processo

de identificação das regiões com e sem material

(estrutural) num domínio admissível de forma a identificar

a estrutura óptima, para um dado objectivo e satisfazendo

constrangimentos que garantam a sua funcionalidade.

INTRODUÇÃO


MODELO DISCRETO


MODELO CONTÍNUO


MODELO MATERIAL PARA OPTIMIZAÇÃO DA TOPOLOGIA

u = 0x

3x

2x1x

b

Ωt

tΓ

uΓ

B

2aB

1

2aB

2

2aB

3

θB

A1/8 da célula

θA 2aA

1

2aA

2

2aA

3

DENSIDADE RELATIVA: ORIENTAÇÃO : θ

1 2 31 a a aμ = −


HOMOGENEIZAÇÃO

As propriedades equivalentes do materialklpH

ijkl ijkl ijpmm¥

E E E dYy

∂χ= μ −

∂∫klχ Solução da equação de equilíbrio

klp i i

ijpm ijklm j j¥ ¥

v vE dY E dY Yy y y∂χ ∂ ∂

= ∀ −∂ ∂ ∂∫ ∫ v Periódico

2c

2b

2a

Y3y

2y1y

¥ 1/8 da célula unitária

a2

a3

a1


Nota: Material de base ortotrópico e homogéneo

Problema Local 2D -klχ

12χ22χ11χ



- Homogeneização

-As propriedades elásticas equivalentes são obtidas por interpolação polinomial.

3D - Célula com furo cúbico

E, ν=0.3

E1111=E2222=E3333

E1122=E1133=E2233

E1212=E1313=E2323

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 0.14 0.37 0.63 0.85 1

μ

HE


Problema de OptimizaçãoEstrutural

• MAXIMIZAR RIGIDEZ ESTRUTURAL

• Constrangimento no PESO


Formulação do Problema de Cargas Múltiplas

[ ]

( )

( ) ( ) ( )

it

t

NCP P P P P

i i i ia 0,1 P 1

1 2 3

H P P P P P Pijkl ij kl i i i i

P Pu u

min b u d t u d

1 a a a d V

E , e e d b v d t v d 0

0 em e em

∈= Ω Γ

Ω

Ω Ω Γ

⎛ ⎞α Ω + Γ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

− Ω ≤

Ω− Ω− Γ =

∀ = Γ = Γ

∑ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫a u v

v u 0

θ

θ


Exemplo - Viga apoiada

sem penalização

penalização


Exemplo - Cubo (cargas múltiplas)

p1

p2


Example – cylindrical support

• cylinder fixed in the interior• only the block is design domain• 15% of block volume available• no friction


Final solution - multiload


• only the blocks are design domain• 30% of blocks volume available• no friction

Example – flexible pin joint

penalized solution , single load penalized solution , multiload (2 loads)


Optimal Design of Optimal Design of MicrostruturesMicrostrutures for for StiffnessStiffness

x1

x2

Celular Material

D

Y

Material Unit Cell

y1

y2


d 0D→

d


“Correction”“average”

Equivalent Properties

Y

1 dY Y

μ = ρ∫

μ – Relative density

kmH rijkm ijkm ijrsY Y

s

1 1E E dY E dYY Y y

∂χ= −

∂∫ ∫

HijklE Equivalent stiffness coeficients


Y


Problem Formulation22rσ

• Cellular Material

11rσ

12rσ

12rσ

22rσ

12rσ

12rσ

11rσ

• Multiple load cases


[ ]0,1∈ρ

• Relative density for base material

1=ρ

0=ρ


Optimization ProblemStress Formulation

[ ]( ){ }1H 1 1 M M

ijkl 1 ij kl M ij kl0,1min E ....

−

ρ∈⎡ ⎤λ σ σ + + λ σ σ⎣ ⎦

+ Material symmetry, manufacturing constraints

Y

dY ρ = μ∫ Cellular material relative density



Example

• 4 load cases• Plane stress• Relative density μ=0.5

2λ (1 )

2λ−(1 )

2λ−

2λ



Results

μ=0.5

λ=0.2 λ=0.8λ=0.5



Comparison with Analitycal Solution


0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

λ

Ener

gy

Bound

Single Scale


0

0.2707E+00 0.8966E-01 -0.1509E-160.2699E+00 -0.1714E-15 *

0.9251E-01

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

EH ESymmetric

Unit Cell Aspect Ratio 1/ 3


Example

• 19 shear load cases withvarying orientation θ

• Plane stress• Relative density μ=0.5

Note: Due to the number of loads (19) the optimal material should bealmost isotropic

θ


H

0.2593 0.0854 00.2593 0

0.0827

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

E E

3% error from isotropy


Coeficiente de Poissonnegativo

Expansão térmica negativa

Azul - αVermelho – 10 α

Outros Exemplos

H 4.17α = − α

Com permissão de Ole Sigmund , DTU, DK.


3D EXAMPLES3D EXAMPLES((Eng. Pedro CoelhoEng. Pedro Coelho))


Tridimensional applicationVolume fraction constraint:

μ* = 0.5

Uni-axial load pattern

Honeycomb-like structure

Bi-axial load plate-like structure

pattern⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

111111111

ε *


Part IV – Tridimensional application

Base cell Periodic patternStrain field

ICCB 2005 – 14-16 September 2005

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

235398583

ε *

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

549415.195.12

ε *


Manufactured at the Material Science Dep. IST by DMLS process – Direct Metal Laser Sintering from

computational result


3D Image from .STL rapid prototyping file

Base cell

Computational Result Periodic Pattern


Hierarchical OptimizationHierarchical OptimizationMaterial and StructureMaterial and Structure


[ ] ( ) ( )( )21, : ,2

tgJ T dθ γ θ θΩ

= − Ω∫ x x

Hierarchical Model: Assumes two scales in the problem

Macro Scale: Relative volume fraction Mat1 (ω)

Micro Scale: Identifies geometry ofmaterial cell

( ) ( )1 ,x

xx Y

x x y dYY

ω γ= ∫

Hierarchical Model: Mat1 High, Mat2 LowHierarchical Model: Mat1 High, Mat2 Low



V=83.3%

q =-10∧

( )0 100xθ∧

=

q = -10∧

2nd NUMERICAL EXAMPLE


Target Density Distribution

?Target Temperature Distribution

θtg = 75 ºC in all the domain

22ºº EXAMPLEEXAMPLE


Initial Density Distribution

Initial ρ(x) =0.83

INITIAL RESULTSINITIAL RESULTS

Initial Temperature Distribution


FINAL RESULTSFINAL RESULTS

Final Density Distribution Final Temperature Distribution



HIERARCHICAL OPTIMIZATION

OF

MATERIAL AND STRUCTURE

(3-D applications)


18×1+9×½

MACRO DENSITY FIELD AND MICROSTRUCTURES – 3D

9×1

27×19×1

18×1+9×½

Beam loaded at midspan w/ fixed supports at the ends•Mesh: 12×4×2 F.E.

•Global vol. fraction: 50%

9×1 cells

9×1

Cubic base cell•Mesh: 20×20×20 F.E.

Macro-DensityScale


MACRO DENSITY FIELD AND MICROSTRUCTURESCantilever beam loaded at the end: Mesh: 12×6×4 F.E. ; Global vol. fraction: 50%

Macro-DensityScale

Macro-DensityScale

Cubic base cellsMesh: 20×20×20 F.E.


Comentários Finais


A optimizaoptimizaçção de topologiaão de topologia é uma ferramenta de projecto que atingiu um elevado grau de desenvolvimento demonstrado na sua grande aplicação industrial.

Novos Desenvolvimentos:

Problemas Multidisciplinares

Projecto de materiais celulares/compósitos:Materiais compósitos piezo-elétricos.

Materiais para absorção de energia de impacto.

Controlo de Vibrações


AGRADECIMENTOS

• Prof. Jose Miranda Guedes (IST)• Prof. Joao Folgado (IST)• Prof. Paulo Fernandes (IST)• Eng. Pedro Coelho (UNL) • Prof. Martin Bendsoe (DTU)

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