MODELOS DE ÍNDICES...MODELOS DE ÍNDICES Profa. Maria Paula Vieira Cicogna Bodie et. al. (2014), cap. 8 1 Estimativa de Muitos Parâmetros Utilizar a matriz de variância-covariância

MODELOS DE ÍNDICES

Profa. Maria Paula Vieira Cicogna

Bodie et. al. (2014), cap. 8

1

Estimativa de Muitos Parâmetros

Utilizar a matriz de variância-covariância para estimar as fontes de riscos de cada um dos ativos pode ter um elevado custo de tempo e computacional

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Para uma carteira com 50 ativos,

envolve a estimativa de:

50 retornos esperados

50 variâncias

1.225 covariâncias

Claramente 50 ativos é pouco, mas já envolve um grande número de

estimativas! Além disso:

Estimar os retornos esperados deve envolver um modelo melhor do

que a média dos retornos passados quanto melhor a estimativa

dos retornos esperados, mais preciso será o cálculo da sua taxa de

recompensa pelo risco

A matriz de variância-covariância deve ser positiva definida para

garantir o cálculo adequado do risco

Matriz positiva definida:

Seja M uma matriz quadrada de ordem n. Se M é positiva definida, as seguintes afirmações são equivalentes:

Os determinantes da n submatrizes de M são positivos;

zTMz > 0 para todos os vetores não-nulos z, com entradas reais 𝑧 𝜖 𝑅𝑛 , sendo zT o transposto de z;

Todos os autovalores de M são positivos; e

M é linearmente independente.

Retornos Conjuntamente Normalmente Distribuídos

Se considerarmos que as fontes de risco dos ativos de risco são o risco sistemático e o risco não sistemático, podemos simplificar a forma como calculamos o risco dos ativos

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A simplificação surge do fato que de o risco sistemático afeta todos os ativos de risco, assim, podemos decompor

a incerteza de cada ativo em seu risco sistemático e seu risco específico, da seguinte forma:

𝒓𝒊 = 𝑬 𝒓𝒊 + 𝒆𝒊

Em que: 𝑒𝑖 = retorno não esperado, com média zero e desvio-padrão (𝜎𝑖), dado pela medida da incerteza do retorno do ativo

A decomposição acima reduz de forma considerável o problema da estimativa da matriz de variância-covariância,

considerando que os ativos são conjuntamente normalmente distribuídos

Pressuposto da distribuição Normal conjunta = retornos dos ativos são influenciados por uma ou mais variáveis

comuns, de forma que dizemos que os retornos possuem distribuição Normal multivariada

Quando apenas uma variável afeta a distribuição Normal conjunta dos retornos mercado de ativos de

fator único

Quando mais de uma variável afeta a distribuição Normal conjunta dos retornos mercado de ativos

multi-fatores

Mercado de Ativos de Fator Único

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Seja m o fator comum que afeta o retorno de todas as empresas.

Podemos, então, decompor as fontes de incerteza do retorno do ativo i na incerteza econômica como um todo,

capturada por m, e na incerteza específica da empresa, capturada pelo termo e. Assim:

𝒓𝒊 = 𝑬 𝒓𝒊 +𝒎+ 𝒆𝒊

Em que:

m = incerteza macroeconômica (risco sistemático), com média zero e desvio-padrão 𝜎𝑚 gera a correlação entre empresas i

𝑒𝑖 = retorno não esperado (risco específico), com média zero e desvio-padrão (𝜎𝑖), não correlacionado entre as empresas i

m e 𝒆𝒊 são não correlacionados

𝒆𝒊 é o termo específico, independente do fator de choques comuns que afeta toda a economia

A variância de ri deve-se, então, a duas fontes de risco não correlacionadas: risco sistemático e o risco específico,

logo:

𝝈𝒊𝟐 = 𝝈𝒎

𝟐 + 𝝈𝟐 𝒆𝒊

Mercado de Ativos de Fator Único

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Sendo m não correlacionado com o termo específico 𝑒𝑖, a covariância entre quaisquer dois ativos i e j é:

𝒄𝒐𝒗 𝒓𝒊, 𝒓𝒋 = 𝒄𝒐𝒗(𝒎 + 𝒆𝒊,𝒎 + 𝒆𝒋) = 𝝈𝒎𝟐

Como algumas empresas são mais sensíveis aos fatores econômicos do que outras, vamos atribuir a cada

empresa i um coeficiente de sensibilidade do retorno da empresa i ao fator m, obtendo o Modelo de Único Fator:

𝒓𝒊 = 𝑬 𝒓𝒊 + 𝜷𝒊.𝒎 + 𝒆𝒊

O risco total do ativo i é dado por:

𝝈𝒊𝟐 = 𝜷𝒊

𝟐. 𝝈𝒎𝟐 + 𝝈𝟐 𝒆𝒊

Risco sistemático

do ativo i

Empresas cíclicas possuem

maior sensibilidade ao mercado

e, portanto, maior risco

sistemático

A covariância entre quaisquer dois pares de ativos é determinada pelos seus betas:

𝒄𝒐𝒗 𝒓𝒊, 𝒓𝒋 = 𝒄𝒐𝒗(𝜷𝒊𝒎+ 𝒆𝒊, 𝜷𝒋𝒎+ 𝒆𝒋) = 𝜷𝒊𝜷𝒋𝝈𝒎𝟐

Ativos com betas equivalentes possuem posições de mercado equivalentes em relação

ao risco sistemático e à exposição de mercado

Mercado de Ativos de Índice Único

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Precisamos identificar uma variável proxy para o fator comum, que deve ser observável: precisamos

estimar sua volatilidade e os betas dos retornos dos ativos

Empiricamente sabe-se que: a variância do fator comum geralmente se altera pouco ao longo do tempo, assim

como a variância e covariância dos retornos de ativos de risco

Para retornos diários, é comum estimar a regressão considerando a (boa) aproximação 𝒓𝒇 ≅ 𝟎

Modelo de Índice Único (Modelo de Sharpe)

Proxy para o fator comum = índice de

mercado (M)

Excesso de retorno: 𝑹𝑴 = 𝒓𝑴 − 𝒓𝒇

(sendo rf: retorno do ativo livre de risco)

Desvio-padrão: 𝝈𝑴

Como o modelo é linear, podemos estimar o coeficiente beta do

ativo de risco pela regressão do excesso de risco do ativo i,

dado por 𝑹𝒊 = 𝒓𝒊 − 𝒓𝒇, em relação a RM por meio da seguinte

equação de regressão:

𝑹𝒊 𝒕 = 𝜶𝒊 + 𝜷𝒊. 𝑹𝑴 𝒕 + 𝒆𝒊(𝒕)

em que: t é a data para a qual o par de excesso de retornos foi

calculado

𝜶𝒊 (intercepto): excesso de retorno do ativo quando o excesso de retorno do mercado é zero;

𝜷𝒊 (inclinação): sensibilidade do excesso de retorno do ativo i ao índice de mercado M variação do excesso de retorno do ativo i para uma variação de 1 ponto percentual (1%) do excesso de retorno do índice de mercado M

𝐞𝐢 (resíduo ou termo de erro): variação específica do ativo (média zero)

Relação Retorno-Beta

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A relação esperada retorno-beta do modelo de Índice Único é encontrada quando calculamos o valor esperado do

retorno do ativo i, dada por:

𝑬(𝑹𝒊) = 𝜶𝒊 + 𝜷𝒊. 𝑬(𝑹𝑴)

Pois: 𝐸 𝑒𝑖 = 0 Parte do prêmio de risco do ativo deve-se ao

prêmio do risco do índice de mercado,

multiplicado pelo seu fator de sensibilidade (beta)

Esse fator é chamado de Prêmio de Risco Sistemático

O prêmio de risco não explicado pelo Prêmio de Risco Sistemático é calculado por 𝜶: Prêmio de Risco Específico (não mercado) um ativo com alpha elevado pode estar mal precificado e, portanto, oferece um

retorno esperado atrativo em relação ao mercado

A reta formada pelos parâmetros

estimados recebe o nome de

Linha Característica do Ativo

(SCL*, sigla em inglês)

*SCL: security characteristic line

Risco e Covariância

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Sabemos que as variâncias e covariâncias são determinadas pelos betas dos ativos e pelas propriedades do

índice de mercado, de forma que:

Risco Total = Risco Sistemático + Risco Específico

𝝈𝒊𝟐 = 𝜷𝒊

𝟐. 𝝈𝑴𝟐 + 𝝈𝟐 𝒆𝒊

Covariância = Multiplicação dos Betas x Risco do Índice de Mercado

𝒄𝒐𝒗 𝒓𝒊, 𝒓𝒋 = 𝜷𝒊𝜷𝒋𝝈𝑴𝟐

Como decorrência, a correlação é dada por:

𝒄𝒐𝒓𝒓 𝒓𝒊, 𝒓𝒋 =𝜷𝒊𝜷𝒋𝝈𝑴

𝟐

𝝈𝒊𝝈𝒋=𝜷𝒊𝝈𝑴

𝟐 𝜷𝒋𝝈𝑴𝟐

𝝈𝒊𝝈𝑴𝝈𝒋𝝈𝑴= 𝒄𝒐𝒓𝒓 𝒓𝒊, 𝒓𝑴 × 𝒄𝒐𝒓𝒓 𝒓𝒋, 𝒓𝑴

O conjunto de parâmetros que deve ser estimado pelo Modelo de Índice Único é 𝜶, 𝜷 e 𝝈(𝒆) dos ativos individuais e o prêmio de risco e a variância do índice de mercado

(muito menos parâmetros do que no Modelo de Markowitz)

Modelo de Índice Único

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Exercício:

Os dados da tabela a seguir descrevem um mercado formado por três ações, que satisfaz o modelo de Índice

Único:

Ação Valor de Mercado

Beta Excesso de

Retorno Médio Desvio- Padrão

A $3.000 1,0 10% 40%

B $1.940 0,2 2% 30%

C $1.360 1,7 17% 50%

O desvio-padrão do índice de mercado é 25%.

Com base nessas informações, responda:

a) Qual o excesso de retorno médio do índice de mercado?

b) Qual a covariância entre as ações A e B?

c) Qual a covariância entre a ação B e o índice de mercado?

d) Quebre a variância da ação B entre os componentes sistemático e específico.

Respostas: a) 0,0905; b) 0,0125; c) 0,0125; d) Risco sistemático = 0,000025 e risco específico = 0,0899

Modelo de Índice Único

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Exercício:

Suponha que o modelo de Índice para as ações A e B tenha resultado nas seguintes equações:

𝑹𝑨 = 𝟎, 𝟎𝟏 + 𝟎, 𝟗. 𝑹𝑴 + 𝒆𝑨

𝑹𝑩 = −𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟏, 𝟏. 𝑹𝑴 + 𝒆𝑩

𝝈𝑴 = 𝟎, 𝟐

𝝈(𝒆𝑨) = 𝟎, 𝟑

𝝈(𝒆𝑩) = 𝟎, 𝟏

Calcule o desvio-padrão do excesso de retorno de cada ação e a covariância entre eles.

Respostas: 𝝈𝑨 = 𝟎, 𝟑𝟒𝟗𝟗; 𝝈𝑩 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟏𝟕; 𝒄𝒐𝒗 𝒓𝑨, 𝒓𝑩 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟗𝟔

Modelo de Índice Único x Modelo de Markowitz

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VANTAGENS DO MODELO DE ÍNDICE ÚNICO DESVANTAGENS DO MODELO DE ÍNDICE ÚNICO

Baixo número de parâmetros a serem estimados

O cálculo da covariância entre dois ativos quaisquer

por meio da multiplicação dos betas e do risco do

mercado permite que analistas de ativos possam se

especializar em uma ação ou grupo de ações

específico e depois encontrar sua covariância com

os demais por meio do uso dos betas respectivos

para formar sua carteira eficiente, não havendo a

necessidade de estimar todos os pares de

correlações covariâncias entre ativos devem-se à

influência do fator comum

A simplificação do modelo em relação às fontes de

risco sistemático e específico ignora outras fontes

de influência sobre o risco dos ativos, como efeitos

setoriais, eventos que impactam algumas indústrias

sem afetar substancialmente a economia como um

todo, como oscilações nos preços de algumas

commodities etc.

Resíduos entre empresas do mesmo tipo de negócio

tendem a ser correlacionados, o que vai contra os

pressupostos dos modelo ao calcular todos os

pares de covariâncias, o Modelo de Markowitz

incorpora correlações diferentes de zero entre os

resíduos

A modelagem dos Modelos de Índices e de Markowitz parte de pressupostos diferentes e não é

diretamente comparável; entretanto, podemos mencionar algumas situações em que um dos modelos é

mais recomendável do que o outro com base nas suas características

Modelo de Índice Único x Modelo de Markowitz

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Quando se considera um número pequeno de ativos, os modelos de Índices e de Markowitz resultam em

carteiras ótimas substancialmente diferentes.

A carteira de Markowitz colocará pouco peso nos ativos com elevada covariância: a covariância elevada

reduz o benefício da diversificação, resultando em uma carteira eficiente com baixa covariância

Quando a correlação entre os ativos é negativa, o Modelo de Índices ignora o potencial valor de

diversificação dos ativos, resultando em uma carteira com baixo peso nesses ativos, gerando variância alta

de forma desnecessária para a carteira ótima

O portfolio ótimo derivado do Modelo de Índice Único pode ser significantemente inferior ao modelo de

Markowitz quando os ativos com resíduos correlacionados possuem elevados valores de alpha e,

portanto, ganham alta representatividade na carteira ótima do modelo de Índice Único

Se muitos pares de ativos possuírem correlação nos seus resíduos, é possível que o Modelo Multi-Índices

apresente um resultado melhor ao incluir outros fatores para capturar as fontes extras de correlação entre os

ativos (o Modelo Multi-Índices será apresentado em capítulos posteriores)

Diversificação no Modelo de Índice Único

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O excesso de retorno de cada ativo é dado por:

𝑹𝒊 = 𝜶𝒊 + 𝜷𝒊. 𝑹𝑴 + 𝒆𝒊

Seja P o portfolio de ativos de risco, com n ativos com pesos iguais. Podemos escrever seu excesso de retorno

como:

𝑹𝑷 = 𝜶𝒊 + 𝜷𝑷. 𝑹𝑴 + 𝒆𝑷

Sendo 𝑤𝑖 =1

𝑛 , podemos escrever RP como:

Comparando as duas expressões acima,

podemos afirmar que a sensibilidade do

portfolio P ao índice de mercado é: média dos betas individuais


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Ainda utilizando a comparação entre as duas expressões, temos que:

O prêmio de risco específico

(não-mercado) do portfolio P é: +

Risco específico

(variável média zero)

Média dos alphas

individuais

A variância do portfolio P é dada por: 𝝈𝑷𝟐 = 𝜷𝑷

𝟐 . 𝝈𝑴𝟐 + 𝝈𝟐 𝒆𝑷

Essa parcela do risco persistirá

independentemente da diversificação do portfolio:

a exposição comum dos ativos ao mercado será

refletida no risco sistemático do portfolio

Componente do risco sistemático depende da

sensibilidade dos coeficientes dos ativos individuais e

do risco do índice de mercado

Mas, o risco específico dos ativos é diversificável

O componente não sistemático do risco do portfolio, 𝝈𝟐 𝒆𝑷 , deve-se ao risco específico dos ativos (𝒆𝒊), que são termos independentes, com média zero pela média dos termos de erro, quanto mais ativos forem incluídos no

portfolio, o termos de risco dos componentes específicos dos ativos tendem a se cancelar, resultando em

parcelas cada vez menores do risco específico dos ativos


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Graficamente, a diversificação pode ser representada como:

Quanto mais ativos são combinados em um

portfolio, a variância total do portfolio se aproxima

da variância do índice de mercado utilizado

multiplicada pelo quadrado do coeficiente de

sensibilidade do portfolio

A redução da variância do portfolio P deve-se à

diversificação do risco específico, mas o poder da

diversificação é limitado ao fator de mercado

risco sistemático é dito ser não diversificável

Estimação do Modelo de Índice Único (exemplo)

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Modelo estimado com ações de seis grandes empresas norte-americanas:

Setor de tecnologia da informação: Hewlett-Packard (HP) e Dell

Setor de varejo: Target e Wal-Mart

Setor de energia: British Petroleum (BP) e Royal Dutch Shell (Shell)

Foram utilizados retornos mensais das 6 ações

O índice de mercado utilizado foi o S&P500

O ativo livre de risco é o título do governo dos EUA (T-bill)

Período dos dados: abril 2001 a março de 2006 (60 observações)

Inicialmente, calculou-se o excesso de retorno para todos os sete ativos de risco (6 ações + índice de mercado)

em relação aos retornos do T-bill.

Os detalhes das estimativas a seguir foram feitos para os retornos da HP e foram seguidos os mesmos passos

para as demais ações.


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Estimativas HP

O modelo de Índice Único para os retornos da HP é:

O gráfico abaixo compara os retornos da HP em relação

aos retornos do S&P500 no período considerado

É possível observar que os retornos da HP seguem os

retornos do S&P500, mas com maior oscilação:

𝜎𝐻𝑃 = 38,17% e 𝜎𝑆𝑃 = 13,58%

O gráfico abaixo mostra a dispersão dos pontos

de dados dos retornos da HP com o S&P500,

juntamente com a reta de regressão. A distância

vertical de cada ponto até a reta de regressão é o

valor do resíduo 𝑒𝐻𝑃(𝑡)


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Estimativas HP


Estatísticas da regressão

A tabela ao lado mostra os resultados da regressão

para os retornos da HP:

Correlação entre os retornos da HP e S&P500 é

elevada: 0,7238

R-quadrado e R-quadrado ajustado mostram que

a variação dos retornos do S&P500 explica

aproximadamente 52% da variações da HP

O DP dos resíduos é de 0,0767

Análise da Variância (ANOVA)

Soma dos quadrados (SS) da regressão mostra que 37,52% da variância do excesso de retornos da HP é

explicada pelos retornos do S&P500 (igual a 𝛽𝐻𝑃2 . 𝜎𝐻𝑃

2 )

Já o SS dos resíduos 𝜎2 𝑒𝐻𝑃 mostra que 34,10% da variância da variância dos retornos da HP não é explicada pelos retornos do mercado


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Estimativas HP


Os coeficientes estimados e suas estatísticas mostram que:

Alpha da HP não é significativo: o valor estimado de 0,86% por mês possui um elevado desvio-padrão, o

que mostra que há alta probabilidade de erro na estimativa p-valor mostra que o valor de alpha não é

significativamente diferente de zero

Beta mostra que o retorno da HP varia pouco mais de 2 vezes o retorno do índice de mercado, com um

baixo desvio-padrão p-valor mostra que o valor de Beta é significativamente diferente de zero


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Demais Estimativas: outras ações e o S&P500

Painel 1: parâmetros estimados para todas

as 6 ações em relação ao S&P500

Elevado desvio-padrão dos resíduos mostra a

relevância da diversificação para a carteira

ações possuem risco específico elevado:

carteiras concentradas nesses ativos carregam

volatilidade desnecessária e Índices de Sharpe

inferiores

Painel 2: matriz de correlação dos resíduos

(células em cinza mostram correlações das ações de mesmo setor)

Modelo de Índices pressupõe que os resíduos são não

correlacionados Correlações entre

empresas do

mesmo setor

tende a ser maior

do que empresas

de setores

diferentes

Painel 3: covariâncias resultantes do modelo

Diagonal principal: variância calculada por 𝝈𝒊𝟐 = 𝜷𝒊

𝟐. 𝝈𝑴𝟐 + 𝝈𝟐 𝒆𝒊

Fora da diagonal principal: 𝒄𝒐𝒗 𝒓𝒊, 𝒓𝒋 = 𝜷𝒊𝜷𝒋𝝈𝑴𝟐

Formação de Carteiras com o Modelo de Índice Único

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Uma das maiores vantagens do uso do Modelo de Índice Único para a formação de carteiras ótimas é a

obtenção de estimativas macroeconômicas e dos ativos específicos de forma rápida e consistente*

*o uso do Modelo de Índices para a construção de portfolios ótimos de risco foi originalmente desenvolvida por Jack Treynor e Fisher Black

em “How to use Security Analysis to Improve Portfolio Selection”, Jounal os Business, jan. 1973.

O modelo de Índice Único permite criar um arcabouço que separa as duas principais fontes de risco para os

ativos: previsões macroeconômicas e específicas dos ativos

A hierarquia para formação dos inputs do Modelo de Índice Único é:

1) Análise macroeconômica para estimar o prêmio de risco e o risco do índice de mercado;

2) Análise estatística para estimar os betas de todos os ativos e as variâncias de seus resíduos 𝜎2 𝑒𝑖 ;

3) Uso dos valores calculados em 1 e 2 para estimar o retorno esperado de mercado, sem qualquer

contribuição da análise do ativo em si. O retorno esperado de mercado calculado é condicional à

informação comum a todos os ativos, não à informação colhida de ativos (empresas) específicos. O retorno

esperado de mercado pode ser usado como benchmark (valor de comparação para o retorno esperado do

ativo específico);

4) Estimativa do retorno esperado específico do ativo (alphas específicos), calculados por meio de modelos de

valuation. O valor do alpha específico do ativo refina o prêmio de risco incremental atribuído à informação

privada desenvolvida da análise do ativo.


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Lista de inputs para

formação da carteira

ótima com:

n ativos de risco

(carteira ativa) + índice de mercado

(carteira passiva)

1. Prêmio de risco do índice de mercado (carteira passiva)

2. Estimativa do desvio padrão da carteira do índice de mercado

3. n estimativas de: (a) betas dos ativos, (b) variâncias dos resíduos dos ativos,

e (c) valores de alpha

Os valores dos alphas juntamente com o prêmio de risco do índice de mercado

e os betas de cada ativo serão utilizados para o cálculo de (n + 1) retornos

esperados

Com a estimativa dos betas, das variâncias dos resíduos e da variância do índice de mercado, podemos construir

a matriz de covariância, conforme mostrado no exemplo anterior. Usando a matriz de covariância estimada e os

prêmios de risco calculados (alphas) construção da fronteira eficiente pela combinação ótima dos ativos

Seja o portfolio ótimo P formado pelos n ativos

específicos + 1 índice de mercado.

Dessa forma, os parâmetros do portfolio P são:

(wi são os pesos dos ativos no portfolio P)


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O objetivo é maximizar a taxa de recompensa pela volatilidade (ou Índice de Sharpe) variando os pesos wi dos

ativos de risco (w1,...,wn+1). Assim:

Retorno esperado do portfolio P:

Desvio-padrão do portfolio P:

Taxa de recompensa pela

volatilidade (índice de Sharpe):

O portfolio P é encontrado pela maximização de SP, sujeito às restrições do cálculo do retorno e da

volatilidade, mais a restrição de soma dos pesos = 1 (assim como utilizamos no modelo de Markowitz)

A solução do portfolio ótimo fornece importantes considerações sobre o uso eficiente da análise dos ativos na

construção do portfolio se estivéssemos interessados apenas na diversificação, bastaria utilizar o índice de

mercado

Carteira Ótima do Modelo de Índice Único

24

A busca pelo alpha por meio da análise especializada dos ativos traz à luz ativos com alpha diferente de

zero e permite montar posições diferenciadas nesses ativos. O custo dessas posições é assumir risco

específico desnecessário; o benefício é poder buscar alphas acima do índice de mercado

O portfolio ótimo de risco é uma combinação de duas estratégias de alocação em ativos de risco:

(1) Portfolio ativo: n ativos de risco (portfolio A)

(2) Portfolio passivo: ativo (n+1) índice de mercado (portfolio M)

Considerando que o portfolio ótimo P é formado pela alocação na estratégia ativa A e na estratégia passiva M, de

forma que wA + wM = 1, então, a alocação ótima em A é:

Em que: 𝑤𝐴0 é a posição inicial no portfolio ativo A com 𝛽𝐴 = 1. Neste caso, o peso ótimo no portfolio ativo é

proporcional à sua taxa de recompensa pela vol 𝑆𝐴 =𝛼𝐴

𝜎2(𝑒𝐴) . De forma análoga, a taxa de recompensa pela

vol do portfolio passivo é 𝑆𝑀 =𝐸 𝑅𝑀

𝜎𝑀2 , assim, a posição inicial no portfolio ativo A com 𝛽𝐴 = 1 é:


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Sendo wA* a posição ótima no portfolio de estratégia ativa e (1 – wA*) a posição ótima no portfolio com estratégia

passiva, podemos calcular o retorno esperado, o desvio padrão e o índice de Sharpe do portfolio ótimo de risco P

O Índice de Sharpe de um portfolio ótimo de risco é maior do que o índice de Sharpe da estratégia passivo

(portfolio de mercado), com a seguinte relação:

Taxa de informação (Information Ratio):

contribuição da estratégia ativa para o

Índice de Sharpe do portfolio de risco

ótimo P

A Taxa de Informação (IR) mede o retorno adicional que pode ser obtido pela análise do ativo relativamente ao

risco específico do ativo incorporado à carteira quando sobre alocamos ou sub alocamos ativos de risco no

índice passivo de mercado

para maximizar o índice de Sharpe do portfolio P, devemos maximizar a Taxa de Informação do

portfolio ativo

A Taxa de Informação do portfolio ativo é maximizada quando investimos em cada ativo em proporção à sua

contribuição da sua taxa de recompensa pela vol 𝑆𝑖 =𝛼𝑖

𝜎2(𝑒𝑖)


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Assim, a posição ótima de cada ativo no portfolio ativo total (A) deve somar wA*, de forma que:

Ou seja, a contribuição de cada ativo à taxa de informação do portfolio

ativo depende de sua própria taxa de informação, dada por:

Vantagem da análise de ativos: a contribuição positiva de um ativo para o portfolio ótimo é dada pela

adição do prêmio de risco da carteira ativo (alpha); o impacto negativo é o aumento da variância do

portfolio ótimo devido ao risco específico do ativo (variância dos resíduos)

O componente sistemático do prêmio de risco 𝛽𝑖𝐸 𝑅𝑀 é compensado pelo risco não diversificável do ativo 𝛽𝑖2𝜎𝑀

2 e ambos são calculados pelo mesmo beta: qualquer ativo com o mesmo beta tem a mesma contribuição

para o risco e para o retorno o beta de um ativo é uma propriedade que afeta simultaneamente o risco e o

prêmio de risco

Se um ativo tiver alpha negativo, então o portfolio ótimo irá assumir posição vendida neste ativo. Se as

posições vendidas não forem admitidas no portfolio ótimo, então o ativo terá peso zero; conforme o número de

ativos com peso positivo aumentar (alphas positivos), o portfolio ativo será mais diversificado e seu peso no

portfolio de risco total (P) irá aumentar

O portfolio passivo é eficiente apenas se todos os valores de alpha forem nulos

Etapas do Processo de Otimização

27

1) Calcular a posição inicial de cada ativo no portfolio ativo (A) como 𝑤𝑖0 = 𝛼𝑖 𝜎2(𝑒𝑖)

2) Considerar que a soma dos ativos no portfolio ativo deve somar 1, de forma a calcular:

3) Calcular o alpha do portfolio ativo:

4) Calcular a variância dos resíduos do portfolio ativo:

5) Calcular a posição inicial no portfolio ativo:

6) Calcular o beta do portfolio ativo:

Etapas do Processo de Otimização

28

7) Ajustar a posição inicial do portfolio ativo:

(o portfolio de risco ótimo agora tem pesos: )

8) Calcular o prêmio de risco do portfolio ótimo à partir do prêmio de risco do portfolio do índice de mercado e do

alpha do portfolio ativo:

O beta do portfolio de risco é dado por: 𝛽𝑃 = 𝑤𝑀∗ +𝑤𝐴

∗𝛽𝐴 porque o beta do portfolio de índice é igual a 1.

9) Calcular a variância do portfolio ótimo de risco por:

Portfolio Ótimo...Retomando o exemplo anterior

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O painel abaixo mostra as estimativas de alpha

e do prêmio de risco de cada ação:

Cálculos para o portfolio ótimo de risco:


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Exercício:

Siga os passos dos slides 27 e 08 para replicar os resultados do portfolio ótimo obtidos no slide anterior.


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Comparação entre a fronteira eficiente com o modelo de índice único e o modelo de Markowitz (full

covariance) mostra diferenças mínimas nos resultados dos dois modelos

A diferença maior está quando compara-se a carteira de variância mínima;

Conforme nos movemos para cima na FE, os retornos esperados exercem maior influência nas diferenças

da matriz de covariância e os portfolios ficam muito parecidos na sua performance

Gestão do Portfolio pelo Modelo de Índices

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O Modelo de Índices é inferior ao Modelo de Markowitz?

Modelo de Markowitz permite maior flexibilidade na modelagem da estrutura da covariância entre os

ativos comparativamente ao Modelo de Índice Único;

Essa vantagem é real apenas se for possível estimar as covariâncias com grau elevado de confiança:

Modelo de Markowitz envolve a estimativa de muitos parâmetros

Resultado do Modelo de Markowitz pode ser inferior devido ao efeito cumulativo de muitos erros de

estimativas comparativamente ao Modelo de Índice Único

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