Modelos determinísticos de trânsitos de potência Documento complementar à dissertação

José Iria – ee06210@fe.up.pt - 10-03-2011

Modelo AC

Num estudo de trânsito de potência determinístico AC, as quantidades conhecidas são

a potência activa injectada (Pi) em todos os barramentos (PQ e PV) com excepção do

barramento de compensação, as potências reactivas injectadas para todas as cargas (PQ) e a

amplitude da tensão em todos os geradores. Ou seja, os dados iniciais do problema

correspondem às variáveis especificadas e podem ser enunciados pelo conjunto de equações

seguinte:

( )

( )

Onde:

barramentos

são a potência activa e potência reactiva injectada no barramento j

são a amplitude e o ângulo da tensão no barramento j.

As equações que exprimem no problema o equilíbrio de potência activa e reactiva em

coordenadas polares são dadas por:

∑ ( )

∑ ( )

Onde:

e são os elementos da parte real e imaginária da matriz das admitâncias nodais

(Y=G+jB).

O problema consiste assim no cálculo dos desvios de potência, correspondendo (1.5)

aos barramentos PV e PQ e (1.6) e para os barramentos PQ:

∑ ( )

∑ ( )

onde sp e calc representam, respectivamente, as potências especificadas e as potências

calculadas em cada iteração. Na solução óptima do problema do problema, (1.5) e (1.6)

corresponderão a um desvio nulo.

A primeira etapa da resolução consiste no cálculo das tensões nos barramentos. Esta é

a etapa mais demorada, pois as equações inerentes aos barramentos são não lineares o que

obriga à utilização de um processo iterativo. São conhecidos dois métodos que podem ser

utilizados na resolução desta etapa:

- Método de Gauss-Seidel formulado para a matriz Y e para a matriz Z;

- Método de Newton-Raphson [Tinney e Hart, 1967];

- Método Rápido de Desacoplamento [Stott e Alsac, 1972; 1974].

Em qualquer destes métodos é realizada uma estimativa para o valor inicial das

amplitudes de argumentos das tensões para a primeira iteração. O processo repete-se até que

se obtenha uma solução óptima ou próxima do óptimo que é função de critérios de

convergência definidos. Os critérios utilizados correspondem a (1.7) e (1.8) sendo

normalmente aceite que .

| |

| |

A segunda etapa da solução do problema de trânsito de potência permite obter a

potência injectada no barramento de compensação em função dos valores das amplitudes e

argumentos (1.3 – 1.4) das tensões. Finalmente, a terceira etapa permite o cálculo dos

trânsitos de potência nos ramos (1.9 – 1.10).

( )

( )

onde, , e, C representam respectivamente a resistência, a reactância e o contributo

da admitância shunt da linha j-k

O trânsito de potência AC pode ser descrito matematicamente pelo conjunto de

equações:

Onde:

Y representa o vector das variáveis de entrada do problema. Estas são as variáveis

especificadas para o sistema e correspondem à potência activa e potência reactiva injectadas

nos barramentos PQ, às amplitudes das tensões e potências activas injectadas nos

barramentos PV.

X representa o vector das variáveis de estado do problema. Estas variáveis são incógnitas e

correspondem às amplitudes e argumentos das tensões nos barramentos PQ, aos argumentos

das tensões e potências reactivas geradas nos barramentos PV.

Z corresponde ao vector das variáveis de saída do problema, ou seja trânsitos de potência

activa e reactiva nos ramos do SEE.

A solução de (1.11) terá de ser encontrada por um processo iterativo. Este ponto

corresponde à primeira etapa referida anteriormente. Sendo obtida a solução para as

variáveis de estado (X), a solução para (1.12) é imediata já que bastará substituir os valores

obtidos em (1.5) e (1.6).

Em cada interacção é calculado o erro associado derivado das estimativas que foram

realizadas inicialmente para as tensões nos barramentos. Sendo a solução obtida X’, as

diferenças calculam-se de acordo com (1.13). Este calculo corresponde às equações (1.5) e

(1.6).

Se for utilizado o método de Newton-Raphson, a expressão (1.11) é linearizada até X’

e a actualização (nova solução) é realizada de acordo com (1.14). O processo repete-se até

que (1.5-1.6) apresentem um valor abaixo do predefinido.

onde corresponde ao desvio entre a solução inicial e a nova solução com (inverso do

Jacobiano utilizado no Newton-Raphson) avaliado em X’. O processo iterativo continuará após

actualização dos valores das amplitudes e argumentos das tensões, sendo o novo ponto de

partida para a iteração seguinte (X’’) dado por (1.15):

Quando se atingir o critério de convergência terão início as etapas 2 e 3 referidas

anteriormente.

Modelo DC

Em redes de grande dimensão onde se deseja a obtenção dos fluxos de potência

activa de forma mais rápida, em vez de se usar o modelo AC, utiliza-se um modelo

simplificado, conhecido por modelo DC.

O Modelo DC permite linearizar as equações de trânsito de potência AC de Newton-

Raphson, descrevendo uma relação entre a potência injectada e a tensão nos nós.

No modelo DC, em todos os barramentos é conhecida a potência produzida, com

excepção do barramento de referência. O barramento de referência é o barramento de

origem das fases. Em todos os barramentos é conhecida a potência consumida.

O modelo DC apresenta as seguintes simplificações:

- Só é considerada a geração, produção e o trânsito de potência activa;

- As linhas e os transformadores são representados só pela sua reactância, ou

seja, a resistência é considerada nula tal como a admitância à terra;

- As tensões nos barramentos são aproximadamente 1 p.u;

- Desfasamentos pequenos entre barramentos .

As equações básicas do trânsito de potência determinístico, modelo DC podem ser

determinadas a partir do desenvolvimento das equações nodais .

∑

∑

∑

∑(

)

Definindo agora

∑

A expressão anterior poderá escrever-se:

∑( )

Matricialmente,

[ ] [ ] [ ]

Onde :

nb – Número de barramentos;

- Vector das potências injectadas (pu);

- Vector dos ângulos das tensões (radianos);

- Vector da parte imaginária da matriz das admitâncias (pu);

- Reactância da linha, entre o barramento j e k (pu).

Como o determinante de B é nulo, o sistema de equações é indeterminado,

reflectindo o facto de que é necessário definir a origem das fases. Fixando e

eliminando uma equação (em geral a correspondente ao barramento de referência), obtém-se

um sistema de equações resolúvel (1.25).

[ ̂] [ ̂] [ ̂]

A potência activa gerada no barramento de referência vem igual à diferença entre as

potências produzidas em outros barramentos e as potências consumidas no SEE. O vector do

argumento das tensões e o vector do fluxo de carga entre o barramento j e k são calculados,

respectivamente por (1.26) e (1.27).

[ ̂] [ ̂]

[ ̂]

Repare-se que o método apenas fornece valores para as fases das tensões e para os

trânsitos de potência activa nos ramos. Os módulos das tensões são supostos, como se disse,

iguais a 1 pu, e o trânsito de potência reactiva é desprezado. Não obstante estas limitações, o

método é utilizado industrialmente, seja quando só se pretendem resultados aproximados

(planeamento), seja quando é indispensável um modelo linear (certos problemas de

optimização).

Por outro lado, chama-se a atenção para o facto de, se a rede não se alterar mas se

quiserem estudar vários regimes de funcionamento (variação de cargas, diversos despachos),

não ser necessário inverter novamente a matriz. Torna-se assim muito fácil realizar estudos

sucessivos sobre a mesma rede.

Também é possível calcular directamente o trânsito de potência , com recurso à

matriz de sensibilidades (A) que se define em (2.28), onde relaciona a potência

transita no ramo j-k com a potência injectada no barramento i.

Sendo

[ ] [ ̂ ]

O trânsito de potência activa em cada ramo é determinado por:

[ ] [ ] [ ]

onde corresponde ao vector dos trânsitos de potência nos ramos e P corresponde ao vector

das potências injectadas.

Sobre a designação de modelo determinístico interessa referir que estes modelos são

designados desta forma por não considerarem directamente incerteza nos dados de entrada

do sistema eléctrico de energia. De facto, o estado do sistema corresponde a uma

“fotografia” tirada no tempo, ou e o que é mais vulgar, a um conjunto de valores

determinísticos fornecidos por um especialista. Como as variáveis de entrada estão

naturalmente sujeitas a incerteza (variações de carga ou variações de produção), o analista

tem de fazer um grande número de escolhas e em consequência executar um igualmente

grande conjunto de problemas de trânsito de potências se quiser considerar diversos alguns

cenários.

A necessidade de incluir incerteza em estudos de trânsito de potência levou à definição de

novas metodologias. Matematicamente existem dois tipos principais de formulações

considerando incerteza: os Trânsitos de Potência Probabilísticos e os Trânsitos de Potência

Difusos (ou possibilísticos).