Modelos Hidrodinâmicos

Conservação da massa

)( PFfusivoaDoFluxoDidivergêncivectivoaDoFluxoAddivergênciaçãoTaxaAcumul

PFx

P

xx

Pu

t

P

jjj

j

Se P for a massa volúmica (que não tem fontes nem poços, nem se difunde porque ao movimento resultante das moléculas se chama velocidade….)

0

j

j

x

u

t

0

j

j

x

u

Se incompressível:

Conservação Quantidade de Movimento

)( PFfusivoaDoFluxoDidivergêncivectivoaDoFluxoAddivergênciaçãoTaxaAcumul

PFx

P

xx

Pu

t

P

jjj

j

Se P for a quantidade de movimento por unidade de volume ( ):

gravidadepressãoj

i

jj

ij

i FFx

u

xx

uu

t

u

ij

i

jij

ij

i gx

u

xx

P

x

uu

t

u

iu

j

ij

i

j

ji

j

ij

i

j

jii

x

uu

t

u

x

u

tu

x

uu

t

u

x

uu

t

u

Águas pouco profundas

• Pressão hidrostática (aceleração vertical baixa).• Se escolhermos dois eixos horizontais e um vertical:

ii

z

xg

x

P

zgP

gdzP

gz

P

)( h

η

z

hH

Zero hidrográfico

Comprimentos na coluna de água: Elevação em relação ao “Zero Hidrográfico e Profundidade medida no mapa (h), que pode ser negativa nas zonas que descobrem com a maré. A altura da coluna de água é a soma das duas (é nula ou positiva).

Equações das águas pouco profundas

)2,1(

ix

u

xxg

x

uu

t

u

j

i

jij

ij

i

0

j

j

x

u

)2,1(0

idzuxt ii

0

i

i

x

Hu

t

x

hu

xuudz

xdzx

uhz

z

hz

z

z

hz

y

hv

yvvdz

xdzy

vhz

z

hz

z

z

hz

hzz

z

hz

wwdzz

w

z

w

y

v

x

u

x

u

i

i

0

0

0;

y

HV

x

HU

t

vdzy

udzxt

t

h

y

hv

x

hu

t

h

dt

dhw

yv

xu

tdt

dw

hh

hzhzhz

zzz

Volume finito

Caso bidimensional

xx hH xxxx hH

Taxa de acumulação= Entra - Sai

y

Hv

x

Hu

t

HuHvHuHut

yxt

volyyyxxx

Caso unidimensionalL

xAxxA

Taxa de acumulação= Entra - Sai

0

x

Q

tL

AuAut

xLt

Ax

t

volxxx

Transp. Quantidade Movimento: Caso Unidimensional

Lb: Perímetro molhado

Ls

A

bbss

bs

ixxx

xxx

LLx

gAx

UQ

t

Q

LLx

gAx

UA

xx

UQ

t

Q

SSvolx

UA

x

UAAuUAUU

t

AUx

t

volU

)((( 0

A difusão horizontal é desprezável quando comparada com a vertical

Malha

QiQi-1 Qi+1zizi-1

Discretizando

0

:

0

2/2/

2/2/*

2/*

2/

*2/

*2/

*2/

*2/

*2/

*2/

x

QQ

tL

LLx

gAx

UQUQ

t

QQ

Explícitox

QQ

tL

LLx

gAx

UQUQ

t

QQ

tx

tx

tx

ttxt

s

bbss

ttx

ttxxx

ttt

xxtx

ttxt

s

bbssxxxx

ttt

Precisamos de uma malha descentrada .A discretização temporal pode ser explícita, implícita ou Crank-Nicholson

Tensão de corte sobre o fundo

α

025.0

)(23/4

22

n

mulaManningForUR

ngUc

z

utg

hfb

b

Caso bidimensional

fsj

i

jij

iji

j

i

fsj

i

jij

iji

Hx

UH

xHxg

x

UHU

Ht

U

ou

x

HU

t

x

UH

xxgH

x

UHU

t

HU

111

:

0

Estabilidade

• Explícito (1D):

• Implícito: Incondicionalmente estável• Explícito 2D:

1

x

tgH

1)2/(

x

tgH

Discretização Temporal

0

:

0

:

0

2/2/

2/2/

2/2/

2/2/

2/2/

2/2/

2/2/

2/2/2/2/

*2/

*2/

*2/

*2/

*2/

*2/

x

QQ

tL

LLx

gAx

UQUQ

t

QQ

implícitoSemix

QQ

tL

LLx

gAx

UQUQ

t

QQ

Explícitox

QQ

tL

LLx

gAx

UQUQ

t

QQ

ttx

tx

tx

ttxt

s

ttbbss

ttx

ttx

ttx

ttx

ttt

tx

tx

tx

ttxt

s

ttbbss

ttx

ttx

tx

tx

ttt

xxtx

ttxt

s

bbssxxxx

ttt

Condiçõs de fronteira

Q2Q1 z2z1z0

•Os se impõem os níveis na primeira célula ou os caudais.•Podem impôr-se condições de radiação.

Condições iniciais

• O sistema é dissipativo e por isso as condições iniciais podem ser quaiquer, desde que fisicamente possíveis e consistentes com o valor da difusividade que vamos usar no modelo. Essa difusividade é baseada nas intensidades de turbulência típicas do oceano e num comprimento de mistura da ordem do passo espacial.

Implementação de um modelo

• Modelo matemático (equações, algorítmo e programa).• Condições de fronteira,• Condições iniciais,• A batimetria é a condição de fronteira mais trabalhosa de

fornecer. A definição da malha também.• Para o MOHID foi desenvolvido um sistema de SIG para

simplificar este processo. Foi ainda desenvolvido um sistema de palavras chave para entrar os dados (na mesma lógica do xml).

MOHID GIS